初中数学拔尖材料07奇数与偶数性质及其应用

初中数学拔尖材料07 奇数与偶数性质及其应用

在整数中，能被2整除的数叫做偶数，如：0，2±，4±，…；不能被2整除的数叫做奇数，如：1±，3±，5±，…．通常偶数用2k 表示，奇数用21k +或21k -表示，那个地址k 是整数．

在整数分析中，奇偶分析也是一把十分锋利的剑．．．．

，用好此剑，尽显聪慧． 一、奇数和偶数的性质

1．奇偶性：一个数是奇数就不能是偶数，是偶数就不能再是奇数．一个数是偶数仍是奇数，是那个数自身的属性，此称为奇偶性．

2．运算性质：〔这些必需熟悉，并能运用自如〕

①奇数+奇数＝偶数；偶数+偶数＝偶数；奇数+偶数＝奇数．

②++

+=奇数个奇数奇数奇数奇数；+++=偶数个奇数奇数奇数偶数．

③奇数－奇数＝偶数；偶数－偶数＝偶数；奇数－偶数＝奇数；偶数－奇数＝奇数．

④奇数×奇数＝奇数；偶数×偶数＝偶数；奇数×偶数＝偶数．

⑤假设a b 、是整数，那么a b +与a b -有一样的奇偶性．〔* 专门有效〕

⑥两个持续的整数中，必有一个是奇数另一个是偶数；三个持续的整数中，至少有一个奇数和一个偶数．

3．奇偶分析：上述性质看似浅显，假设能巧妙运用，可解决一些看上去很难下手的问题．这种利用奇、偶数的性质解题的方式叫做奇偶分析．

二、典型例题

例1．能不能将1010写成10个持续自然数之和？若是能，把它写出来；若是不能，说明理由．

〔例如75可写成10各持续自然数之和为：75=3+4+5+6+7+8+9+10+11+12〕

增强练习：

小明买了一本共96页的练习本，并依次将它的各面编号〔即由第一面一直编到第192面〕．小亮从该练习本中撕下某25页纸，并将写在它们上面的50个编号相加．试问：小亮所加的和数可否为2021？

例2．若是先任意写三个自然数，然后擦去任意一个，换上未擦去的两个数的和减1，如此持续多次后，变成了199，

2003，2021这三个数．那么，原先最先写的三个自然数都能是偶数吗？都能是奇数吗？

增强练习

2021个球不管多少人采纳什么样的分法，最终每人都分得奇数个球的总人数不能是偶数，什么缘故？

例3．元旦前同窗们彼此写信祝贺新年，若是每人只要接到对方来信就必然回信，那么写了奇数封信的学生人数是奇

数个仍是偶数个?

增强练习

若是两人每通一次 ，每人都记通话一次．问：通话次数是奇数的那些人的总数是奇数仍是偶数？并说明理由．

例4．在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯．若是每次同时拨动4个房间开关，能不能把全数房间的灯关上？什么缘故？

增强练习

有九只杯口向上的杯子放在桌上，每次将其中四只杯同时“翻转〞，使其杯口向下，能不能通过如此有限多次的“翻转〞后，使九只杯口全数向下？什么缘故？

例5．80个数排成一行，除两头的两个数之外，每一个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行的最左侧的几个数是如此的：0，1，3，8，21，…，最右边的一个数是奇数仍是偶数？

增强练习

一次数学考试，某班学生共得48247分．试说明，这次考试得奇数分的总人数不能是偶数，什么缘故？

例6．试题50道，规定答对一题得3分，不答得1分，答错扣1分，阅卷的结果，所有的学生的得分数都是偶数，这是偶然的吗？什么缘故？

增强练习

某校数学竞赛，共有20道填空题，评分标准是每做对一道题得5分，做错一道题倒扣3分，某题没做，该题得0分，结果小英得了69分，那么小英有多少道题没做？

例7．某班49个同窗，坐成7行7列〔在数学里，适应于把横排叫“行〞竖排叫“列〞〕。每一座位的前、后、左、右的位子都叫做它的“邻座〞．要让这49位同窗中的每一人都离开自己的座位，坐到他〔她〕的邻座上去，问：这种方案能不能实现？

增强练习

⨯=间的展览厅，现有人想从入口入内，出口出来，每一个展览室都走到，但不能重复，应如如图，有一个6636

何设计如此的线路？

例8．象棋盘上有一只马，它跳了x步正好回到原处，问x是奇数仍是偶数？什么缘故？

增强练习

将正方形ABCD分割成210个相等的小方格，把相对的极点A C

、染成蓝色，其它交点任意染

、染成红色，把B D

成红、蓝两色中的一种颜色；求证：恰有三个极点同色的小方格的数量必是偶数．

综合练习

1．在1，2，3，…，2021前面任意添上一个加号和减号，它们的代数和是______数．〔填奇．或偶．〕

2．一列数，最前面四个数为一、九、八、4，从第五个数起每一个数都是它前面四个数的平方和的末位数，那么1，9，9，4这四个数______在这列数中依次显现．〔填能．或不能

〕

．．

3．有5张扑克牌，画面向上。小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动假设干次后，使5张牌的画面______都

向下．〔填能．或不能．．

〕 4．元旦前夕，同窗们互赠贺卡，每人只要接到对方贺卡就必然回赠贺卡，那么送了奇数张贺卡的人数是______数．〔填

奇．或偶．

〕 5．某校八年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题给3分，打错一题倒扣1分，某题不答

给1分，那么该校六年级参赛学生得分总和必然是______数．〔填奇．或偶．

〕 6．甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，小李每次任意从甲盒中摸

出两个棋子，若是两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；若是两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒．那么他拿_____次棋子后，甲盒中只剩下一个棋子，那个棋子是_____色．

7．a 、b 、c 中有一个是2001，一个是2002，另一个是2003，判定：(1)(2)(3)a b c ---的结果是奇数仍是偶数？

8．有一类小于200的自然数，每一个数的列位数字之和都是奇数，而且每一个数都是两个两位数的乘积〔如

1441212=⨯〕，把这一类自然数从大到小排列，第三个数是多少？

9．三个质数之积恰好等于它们和的7倍，求这三个质数．

10．设a 、b 、c 都是整数，且a b c ++是偶数，求证：a b c +-、b c a +-、c a b +-都是偶数．