大一高等数学第五章定积分习题

e 0 u 1 ue du (e 2). 6 1 6
例8 设 f ( x ) 在 [0, ] 上连续, 证明 :
0
证

xf (sin x ) f (sin x ) dx dx. 2 2 2 0 1 cos x 1 cos x
令 x t,
s lim v ( i )t i
0 i 1
nBaidu Nhomakorabea
方法:分割、求和、取极限.
2、定积分的定义
定义 设函数 f ( x ) 在[a , b] 上有界，在[a , b]中任意
若干若干个分点
a x x x x
0 1 2
n 1
x b
n
n 把区间[a, b]分成 个小区间，


2 6
例4 求 ln sin 2 xdx.
4 0
解
令 2x t,
4 0 4 0

4 0
I ln sin 2 xdx 4 ln( 2 sin x cos x )dx
0
1 ln sin 2 xdx ln sin tdt. 2
2 0
(ln 2 ln sin x ln cos x )dx
i 1
n
记 max{x1 , x 2 , , x n } ， 如果不论对[a , b]
怎样的分法，也不论在小区间[ x i 1 , x i ] 上 点 i 怎样
的取法，只要当 0 时， S 总趋于确定的极限I ， 和
I 我们称这个极限 为函数 f ( x )在区间[a , b]上的定积分，
F ( x ) f ( t )dt
x a x a
dt ( x a )2 , f (t )
F ( x ) f ( x )
x
x
a
x 1 1 dt f ( t )dt 2( x a ) a f (t ) f ( x)
a
x f (t ) x f ( x) dt dt 2dt , a f ( x) a f (t )
[ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],[ xn1 , xn ],
各小区间的长度依次为 x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ，
在各小区间上任取 一点 i （ i x i ），
作乘积 f ( i )x i
( i 1,2,) 并作和 S f ( i )x i ，
记为
a f ( x )dx I lim f ( i )xi . 0 i 1
b
n
3、存在定理
可积的两个充分条件：
定理1 当函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上连续时，
称 f ( x ) 在区间[a , b] 上可积.
定理2 设函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上有界，
一、主要内容
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理
的定 性积 质分
定积分
广义积分
定 计积 算分 法的
牛顿-莱布尼茨公式

b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
1、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积A）
曲边梯形由连续曲线 y f ( x ) ( f ( x ) 0 ) 、
4 0 2 4
例2 求
2 0
sin x dx. sin x cos x
2 0
解 由I
sin x cos x dx, 设 J 2 dx, 0 sin x cos x sin x cos x
则I J
2 0
dx , 2
2 0
x x 轴与两条直线x a 、 b 所围成.
A lim f ( i )xi
0 i 1
n
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是时间 t 间隔[T1 , T2 ]上 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ，求 物体在这段时间内所经过的路程 S.
cos t 则 x ln sin t , dx dt . sin t
原式
6 2
2 6
ln 2 6
cos t cos t dt cos t ( )dt sin t sin t dt 3 2sin tdt ln( 2 3 ) . sin t 6 2


0
xf (sin x ) f (sin x ) dx dx. 2 2 2 0 1 cos x 1 cos x
例9 设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续，且 f ( x ) 0. b b dx 证明 f ( x )dx ( b a )2 . a a f ( x) 证 作辅助函数
2 x dx 2
1 2 0 2 1
是偶函数,
1 2 dx 2 ln 2. x 3
例7 设 f ( x ) e
x 0
y2 2 y
dy, 求 ( x 1)2 f ( x )dx.
1 0 y2 2 y
解
原式 ( x 1) [ e
1 2 x 0 0
b a b a
分部积分公式
７、广义积分
(1)无穷限的广义积分
a

f ( x )dx lim a f ( x )dx
b b
b
f ( x )dx alim a f ( x )dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
b
(2)无界函数的广义积分
f ( x ) 0,
f ( x ) f (t ) 2 f (t ) f ( x )
x
即 F ( x )
a
f ( x ) f (t ) ( 2)dt 0 f (t ) f ( x )
F ( x ) 单调增加.
又 F (a ) 0,
F (b) F (a ) 0,
ln 2 ln sin xdx ln sin xdx 4 2 ln sin xdx ln 2 2 I ln 2 0 4 4 I ln 2. 4
4 0 2 4
例5
求
1 2 1 2
sin x [ 8 ln 2 (1 x )]dx. x 1
a f ( x )dx a f ( x )dx c
b
c
b
f ( x )dx
性质4
a 1 dx a
b
b
b
dx b a
性质5 如果在区间[a, b] 上 f ( x ) 0 ，
则 f ( x )dx 0
a
(a b)
推论： （1） 如果在区间[a , b] 上 f ( x ) g( x ) ，
0
dx dt ,
( t ) f (sin t ) 左边 ( dt ) 2 1 cos t

0
( x ) f (sin x ) dx 2 1 cos x
xf (sin x ) f (sin x ) dx dx 2 2 0 1 cos x 0 1 cos x f (sin x ) xf (sin x ) 即 2 dx dx 2 2 0 1 cos x 0 1 cos x
x
a
x
f ( t )dt 就是
f ( x ) 在[a , b]上的一个原函数.
定理 3（微积分基本公式） 如果F ( x ) 是连续函数
f ( x ) 在区间[a , b] 上的一个原函数，则
a f ( x )dx F (b) F (a )
也可写成
b

b
a
f ( x )dx [ F ( x )]b . a
0
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
二、典型例题
例1
求
2 0
1 sin 2 xdx.
2 0
解
原式 sin x cos x dx
(cos x sin x )dx (sin x cos x )dx
2 2 2.
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上连续，
则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点 ，
b
性质7 (定积分中值定理)
使 f ( x )dx f ( )(b a )
a
b
(a b)
积分中值公式
5、牛顿—莱布尼茨公式
定理1 如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函数
1 2 1 2
解
原式 0 ln(1 x )dx 1 ln(1 x )dx ln(1 x )dx
0 2 0 1 2
3 3 1 ln ln . 2 2 2
例6
1 2 求 min{ , x }dx. 2 x
2
x2 , x 1 1 2 解 min{ , x } 1 , x 1 x x 2 1 2 原式 2 min{ , x }dx 0 x
2
dy]dx
2
x 11 1 3 y 2 y 1 [ ( x 1) e dy]0 ( x 1)3 e x 0 0 3 3 1 1 ( x 1)2 e ( x 1) 1d [( x 1)2 ] 6 0
2
2 x
dx
令 ( x 1)2 u
a f ( x )dx lim0 a
a f ( x )dx lim0 a
b c
b
b
b
f ( x )dx f ( x )dx
b
b
a f ( x )dx a f ( x )dx c
lim a
0
c
f ( x )dx
b
f ( x )dx lim c f ( x )dx
则 f ( x )dx g( x )dx
a a b b
(a b)
（2）
a f ( x )dx a
b
b
f ( x )dx
(a b)
性质6 设 M 及 m 分别是函数 f ( x ) 在区间[a , b]
上的最大值及最小值，
则
m (b a ) a f ( x )dx M (b a ) .
( x ) a f ( t )dt 在[a , b] 上具有导数，且它的导数 d x 是 ( x ) a f ( t )dt f ( x ) (a x b) dx
定理2（原函数存在定理）如 果 f ( x ) 在[a , b] 上
连续，则积分上限的函数 ( x )
牛顿—莱布尼茨公式
表明 : 一个连续函数在区间[a , b] 上的定积分等于 它的任一原函数在区间 a , b] 上的增量. [
6、定积分的计算法
（1）换元法
a f ( x )dx
（2）分部积分法
b

f [ ( t )] ( t )dt
换元公式

b
a
udv [uv ] vdu
b
即

b
a
f ( x )dx
a
dx ( b a )2 . f ( x)
例10 求下列广义积分:
(1)


2 dx dx ; ( 2) . 2 2 1 x 3x 2x 1 x 4x 9
0
dx dx 解 (1) 原式 x 2 4 x 9 0 x 2 4 x 9 0 b dx dx lim lim 2 a a ( x 2) 5 b 0 ( x 2)2 5
I J
2 0
sin x cos x d (cos x sin x ) 0. dx sin x cos x sin x cos x
故得 2 I , 2
即I . 4
例3
求
ln 2
0
1 e 2 x dx.
x 0 t 2
2
解
令 e x sint ,
且只有有限个间断点，则 f ( x ) 在区间 [a , b]上可积.
4、定积分的性质
性质1
性质2
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
b b
b
b
b
k 为常数) (
性质3 假设a c b