网络流最大流算法共28页
网络流——求网络最大流
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(1,4) V2 (0,+∞) V1
(2,4) V4 (4,4) V6
(1,8)
V3
V5 (2,1)
4 1 4 8
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(-4,2) V2 (0,+∞) V1 4 4
(3,2) V4 4
(4,2) V6
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(5,2) V2 (0,+∞) V1 2 4 4 V4 6
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V2 (0,+∞) V1 4 4
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6 V6 2
2 2
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V3
V5
存储结构
const maxn=100; type nodetype=record{可改进路顶点类型 可改进路顶点类型} 可改进路顶点类型 l,p:integer;{标号、检查标志 标号、 标号 检查标志} end; arctype=record{网顶点类型 网顶点类型} 网顶点类型 c,f:integer;{容量、流量 容量、 容量 流量} end; gtype=array[0..maxn,0..maxn] of arctype; ltype=array[0..maxn] of nodetype; var lt:ltype; g:gtype; n,s,t:integer;{顶点数、源点、汇点 顶点数、 顶点数 源点、汇点} f:text;
增广后的F
(精品) 网络最大流问题 PPT课件
• 每小时能否通过6000辆车
• 32.高价油公司拥有一个从采集地到几个储 存点之间传送石油的管道网络系统.其部分 网络系统如下图所示:
• 1.如果该公司想充分利用此系统能力,以供 给仓储地7,那么将需要多长时间以满足仓储 地7的100,000加仑的需要.此管道系统的最 大流量是多少?
• 2.如果2,3之间的管道出现到仓 储点7需要多长时间?
习题32,石油网络
习题32,石油网络
网络最大流问题
• 发点 • 收点 • 容量 • 网络 • 流量 • 可行流 • 最大流 • 增广链 • 截集（割集） • 容量
未标号点j指向已标号点i,f=0,得不到标号;f>0,得到 标号(-i,min(f,e(i)))
c=f,得不到标号
已标号点i指向未标号点j,流量f小于容量c, 就能得到标号,(i,min(c-f,e(i)))
网络流算法介绍与分析
残量网络
为了更方便算法的实现，一般根据原网 络定义一个残量网络。其中r(u,v)为残量 网络的容量。 r(u,v) = c(u,v) – f(u,v) 通俗地讲：就是对于某一条边（也称 弧），还能再有多少流量经过。 Gf残量网络,Ef表示残量网络的边集.
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网络流
杭州学军中学 魏越闽
-----精品文档---的集合. E表示整个图中所有边的集合. G = (V,E) ,表示整个图. s表示网络的源点,t表示网络的汇点. 对于每条边(u,v),有一个容量c(u,v) (c(u,v)>=0) 如果c(u,v)=0，则表示(u,v)不存在在网络中。 如果原网络中不存在边(u,v)，则令c(u,v)=0 对于每条边(u,v),有一个流量f(u,v).
v1
2
2 2
绿色的即为一条增
广路。
t
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3 v2
2
增广路算法
增广路算法：每次用BFS找一条最 短的增广路径，然后沿着这条路径 修改流量值（实际修改的是残量网 络的边权）。当没有增广路时，算 法停止，此时的流就是最大流。
下面证明增广路算法的正确性.
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为什么要建立后向弧
显然，例1中的画出来的不是一个最大流。 但是，如果我们把s -> v2 -> v1 -> t这条路径 经过的弧的流量都增加2,就得到了该网络的最 大流。 注意到这条路径经过了一条后向弧:(v2,v1)。 如果不设立后向弧，算法就不能发现这条路径。 从本质上说，后向弧为算法纠正自己所犯的错 误提供了可能性，它允许算法取消先前的错误 的行为（让2单位的流从v1流到v2)
网络流入门--最大流算法Dicnic算法
⽹络流⼊门--最⼤流算法Dicnic算法感谢WHD的⼤⼒⽀持最早知道⽹络流的内容便是最⼤流问题，最⼤流问题很好理解：解释⼀定要通俗!如右图所⽰,有⼀个管道系统,节点{1,2,3,4},有向管道{A,B,C,D,E},即有向图⼀张. [1]是源点,有⽆限的⽔量,[4]是汇点,管道容量如图所⽰.试问[4]点最⼤可接收的⽔的流量?这便是简单的最⼤流问题,显然[4]点的最⼤流量为50死理性派请注意:流量是单位时间内的,总可以了吧!然⽽对于复杂图的最⼤流⽅法是什么呢,有EK,Dinic,SAP,etc.下⾯介绍Dinic算法()Dinic 算法Dinic算法的基本思路:1. 根据残量⽹络计算层次图。
2. 在层次图中使⽤DFS进⾏增⼴直到不存在增⼴路3. 重复以上步骤直到⽆法增⼴引⾃,相当简单是吧…⼩贴⼠:⼀般情况下在Dinic算法中,我们只记录某⼀边的剩余流量.残量⽹络:包含反向弧的有向图,Dinic要循环的,每次修改过的图都是残量⽹络,层次图:分层图,以[从原点到某点的最短距离]分层的图,距离相等的为⼀层,(⽐如上图的分层为{1},{2,4},{3})DFS:这个就不⽤说了吧…增⼴ :在现有流量基础上发现新的路径,扩⼤发现的最⼤流量(注意:增加量不⼀定是这条路径的流量,⽽是新的流量与上次流量之差)增⼴路:在现有流量基础上发现的新路径.(快来找茬,和上⼀条有何不同?)剩余流量:当⼀条边被增⼴之后(即它是增⼴路的⼀部分,或者说增⼴路通过这条边),这条边还能通过的流量.反向弧:我们在Dinic算法中,对于⼀条有向边,我们需要建⽴另⼀条反向边(弧),当正向(输⼊数据)边剩余流量减少I时,反向弧剩余流量增加I Comzyh的较详细解释(流程) :⽤BFS建⽴分层图注意:分层图是以当前图为基础建⽴的,所以要重复建⽴分层图⽤DFS的⽅法寻找⼀条由源点到汇点的路径,获得这条路径的流量I 根据这条路径修改整个图,将所经之处正向边流量减少I,反向边流量增加I,注意I是⾮负数重复步骤2,直到DFS找不到新的路径时,重复步骤1注意(可以⽆视):Dinic(其实其他的好多)算法中寻找到增⼴路后要将反向边增加IDinic中DFS时只在分层图中DFS，意思是说DFS的下⼀个节点的Dis(距源点的距离)要⽐⾃⼰的Dis⼤1,例如在图1中第⼀个次DFS中,1->2->4这条路径是不合法的,因为Dis[2]=1;Dis[4]=1;步骤2中“获得这条路径的流量I “实现:DFS函数有参量low,代表从源点到现在最窄的(剩余流量最⼩)的边的剩余流量,当DFS到汇点是,Low便是我们要的流量I对于反向弧(反向边)的理解:这⼀段不理解也不是不可以,对于会写算法没什么帮助,如果你着急,直接⽆视即可.先举⼀个例⼦(如右图):必须使⽤反向弧的流⽹络在这幅图中我们⾸先要增⼴1->2->4->6,这时可以获得⼀个容量为2的流,但是如果不建⽴4->2反向弧的话,则⽆法进⼀步增⼴,最终答案为2,显然是不对的,然⽽如果建⽴了反向弧4->2,则第⼆次能进⾏1->3->4->2->5->6的增⼴,最⼤流为3.Comzyh对反向弧的理解可以说是”偷梁换柱“,请仔细阅读:在上⾯的例⼦中,我们可以看出,最终结果是1->2->5->6和1->2->4->6和1->3->4->6.当增⼴完1->2->4->5(代号A)后,在增⼴1->3->4->2->5->6(代号B),相当于将经过节点2的A流从中截流1(总共是2)⾛2->5>6,⽽不⾛2->4>6了,同时B 流也从节点4截流出1(总共是1)⾛4->6⽽不是4->2->5->6,相当于AB流做加法.简单的说反向弧为今后提供反悔的机会,让前⾯不⾛这条路⽽⾛别的路.Alwa同学⾮要我给他的⽂章加⼀个链接,⼤家可以看看他的⽂章:。
网络流（二）最大流的增广路算法
⽹络流（⼆）最⼤流的增⼴路算法传送门：⽹络流的相关定义：源点：有n个点，有m条有向边，有⼀个点很特殊，只出不进，叫做源点。
汇点：另⼀个点也很特殊，只进不出，叫做汇点。
容量和流量：每条有向边上有两个量，容量和流量，从i到j的容量通常⽤c[i,j]表⽰,流量则通常是f[i,j].通常可以把这些边想象成道路，流量就是这条道路的车流量，容量就是道路可承受的最⼤的车流量。
很显然的，流量<=容量。
⽽对于每个不是源点和汇点的点来说，可以类⽐的想象成没有存储功能的货物的中转站，所有“进⼊”他们的流量和等于所有从他本⾝“出去”的流量。
最⼤流：把源点⽐作⼯⼚的话，问题就是求从⼯⼚最⼤可以发出多少货物，是不⾄于超过道路的容量限制，也就是，最⼤流。
求解思路：⾸先，假如所有边上的流量都没有超过容量(不⼤于容量)，那么就把这⼀组流量，或者说，这个流，称为⼀个可⾏流。
⼀个最简单的例⼦就是，零流，即所有的流量都是0的流。
(1).我们就从这个零流开始考虑，假如有这么⼀条路，这条路从源点开始⼀直⼀段⼀段的连到了汇点，并且，这条路上的每⼀段都满⾜流量<容量，注意，是严格的<,⽽不是<=。
(2).那么，我们⼀定能找到这条路上的每⼀段的(容量-流量)的值当中的最⼩值delta。
我们把这条路上每⼀段的流量都加上这个delta，⼀定可以保证这个流依然是可⾏流，这是显然的。
(3).这样我们就得到了⼀个更⼤的流，他的流量是之前的流量+delta，⽽这条路就叫做增⼴路。
我们不断地从起点开始寻找增⼴路，每次都对其进⾏增⼴，直到源点和汇点不连通，也就是找不到增⼴路为⽌。
(4).当找不到增⼴路的时候，当前的流量就是最⼤流，这个结论⾮常重要。
补充：(1).寻找增⼴路的时候我们可以简单的从源点开始做BFS，并不断修改这条路上的delta 量，直到找到源点或者找不到增⼴路。
(2).在程序实现的时候，我们通常只是⽤⼀个c 数组来记录容量，⽽不记录流量，当流量+delta 的时候，我们可以通过容量-delta 来实现，以⽅便程序的实现。
最大流算法及其应用 PPT课件
0≤Ci≤100，0≤Pi≤100。
分析
看到了“最大”这个字眼，很多人便以为 此题与最小割没有关系，但实际上不是。 由于：
净获利 = 获益之和 - 投入成本之和
= 所有用户群的获益 - （损失用户
分析
实际上我们可以将二分图的最大匹配问题 转换为最大流问题。增加源和汇，将源连 到每个左边的点，将每个右边的点连到汇， 并把原来的边改为有向的，从左边的点指 向右边的点，最后把图中所有弧的容量赋 为1，这个流网络的最大流即为原二分图的 最大匹配。
图3 新建的流网络（图中弧的容量均为1）
s
t
分析（续）
零流，即对于(u,v)∈E时，f(u,v)=0。然后构建残
留网络，寻找增广路径增广，再修改残留网络， 重复此过程，直到无法找到增广路径。此方法 （之所以不是算法，是因为实现方法很多）称为 Ford-Fulkerson方法。
Ford-Fulkerson方法的伪代码
FORD-FULKERSON-METHORD (G, s, t) 1 initialize flow f to 0 2 while there exists an augmenting path p 3 do augment flow f along p 4 return f
算法基本架构
Procedure Shortest_Augmenting_Path; Var …… Begin 预处理流为零流，建立残留网络 计算距离函数d(i) //实际上一开始没有必要用BFS计算，清零就行了 i:=s;
while d(s)<n do
begin
6-3网络最大流
流量
3,1
vs 5,2 1,0 v1
v4
5,2
3,1 2,1 v3 vt
2,2
• 可行流
– 可行流满足：
可行流的流量
1)容量限制条件 : 对（vi , v j ) A 0 f ij cij 2)平衡条件 :
流入量=流出量
对vi , i s, t有 : 对v s 有 : 对vt 有 :
பைடு நூலகம்vs
5
vt
给一个有向图G＝(V,A)指定两个点，一 个点称为发点，记为vs，另一个点称为收点， 记为vt，其余点称为中间点。
容量
对于G中的每一个弧(vi,vj)，相应地给 一个数cij（cij≥0），称为弧(vi,vj)的 容量（表示这条弧的最大通行能力） 通过弧的某种流的实际流量，简记 为fij
调整流量，f=1。继续求出网络的不饱 和边
2 u=8 x=1 x=0 x=0
u=6
x=0 u=2 u=4 4
5
u=9 x=0 x=0 7 u=7 x=0
f=1
1
u=3 x=1
f=1
u=7 3
x=0
u=4
x=1
u=3
u=1
x=0 6
x=1
u=8
求出一条从1到7的不饱和链
2 u=8 f=1 1 u=7 =7 3 x=1 u=3 x=0 u=2 x=0 x=1 =1 x=0 u=4 u=6 =6 x=0 u=4 x=0 5 u=9 =9 x=0 7 u=8 6 f=1
u=1
x=0 6
x=1
u=8
=min {7,5,8}=5, 调整流量 xij’=xij+5, f’=f+5=2+5=7
网络流（最大流-Dinic算法）
⽹络流（最⼤流-Dinic算法）⽹络流定义 在图论中，⽹络流（Network flow）是指在⼀个每条边都有容量（Capacity）的有向图分配流，使⼀条边的流量不会超过它的容量。
通常在运筹学中，有向图称为⽹络。
顶点称为节点（Node）⽽边称为弧（Arc）。
⼀道流必须匹配⼀个结点的进出的流量相同的限制，除⾮这是⼀个源点（Source）──有较多向外的流，或是⼀个汇点（Sink）──有较多向内的流。
⼀个⽹络可以⽤来模拟道路系统的交通量、管中的液体、电路中的电流或类似⼀些东西在⼀个结点的⽹络中游动的任何事物。
————维基百科 最⼤流 正如可以通过将道路交通图模型化为有向图来找到从⼀个城市到另⼀个城市之间的最短路径，我们也可以将⼀个有向图看做是⼀个“流⽹络”并使⽤它来回答关于物料流动⽅⾯的问题。
设想⼀种物料从产⽣它的源结点经过⼀个系统，流向消耗该物料的汇点这样⼀个过程。
源结点以某种稳定的速率⽣成物料，汇点则以同样的速率消耗物料。
从直观上看，物料在系统中任何⼀个点上的“流量”就是物料移动的速率。
这种流⽹络可以⽤来建模很多实际问题，包括液体在管道中的流动、装配线上部件的流动、电⽹中电流的流动和通信⽹络中信息的流动。
我们可以把流⽹络中每条有向边看做是物料的⼀个流通通道。
每条通道有限定的容量，是物料流经该通道时的最⼤速率，如⼀条管道每⼩时可以流过200加仑的液体。
流⽹络中的结点则是通道的连接点。
除了源结点和终结点外，物料在其他结点上只是流过，并不积累或聚集。
换句话说，物料进⼊⼀个结点速率必须与其离开该结点的速率相等。
这个性质称为“流量守恒”，这⾥的流量守恒与Kirchhoff电流定律等价。
在最⼤流问题中，我们希望在不违反任何容量限制的情况下，计算出从源结点运送物料到汇点的最⼤速率。
这是与流⽹络有关的所有问题中最简单的问题之⼀().，这个问题可以由⾼效的算法解决。
⽽且，最⼤流算法中的⼀些基本技巧可以⽤来解决其他⽹络流问题。
网络流算法课件(清华)
最小割算法的时间复杂度分析
01
最小割算法的时间复杂度主要取决于寻找最小割的步骤，即遍 历所有边的次数。
02
如果网络中边的数量为E，则最小割算法的时间复杂度为O(E)，
其中E的数量与网络中节点的数量和边的数量有关。
因此，对于大规模的网络流问题，最小割算法可能会比较耗时
03 。
05
网络流算法的优化与改进
最大流算法的实现步骤
第一步
01
寻找增广路径。增广路径是从源点到汇点的一条路径，该路径
上的所有边的流量都可以增加。
第二步
02
沿着增广路径增广流量。将增广路径上的所有边的流量增加最
小割，得到新的网络流。
第三步
03
重复第一步和第二步，直到找不到增广路径为止。此时，从源
点到汇点的最大流量即为所求。
最大流算法的时间复杂度分析
最大流算法的时间复杂度主要取决于寻 找增广路径的算法。
常见的寻找增广路径的算法有FordFulkerson算法和Edmonds-Karp算法。 Ford-Fulkerson算法的时间复杂度为 O(V^2E)，Edmonds-Karp算法的时间复杂 度为O(VE^2)。
其中，V表示顶点的数量，E表示边 的数量。因此，最大流算法的时间 复杂度与网络的大小成正比。
定义与特点
定义
网络流算法是一种用于解决具有特定 特性的网络流问题的算法。
特点
网络流算法通常具有高效、精确的特 点，能够处理大规模的网络流问题， 广泛应用于计算机科学、运筹学、电 子工程等领域。
网络流算法的应用场景
最大流问题
寻找在网络中从源点到汇点的最大流量。
最小割问题
确定将网络划分为两个子集的最小割点，使得两个子集之间的流量最小。
网络流--BFS增广求最大流
网络流--BFS增广求最大流……2009/01/15 21:35【本文只讲了BFS增广求最大流,ps:本文乃原创,转载说明出处啊.】囧，今天上一天课，就把最大流的BFS增广、先流预推法、最大流最小割定理、最小费用流讲完了。
而我，就只记住了BFS增广和最大流最小割定理。
最小费用流ms差不多明白了。
所以先讲讲BFS增广求最大流的算法吧。
简单的来说，就是从S(源)开始BFS，直到到达T(汇)or不存在增广路。
所谓增广路就是从S开始到T的一条路径，而且这条路径上的所有边都是非饱和边，即f(i,j)<c(i,j)。
因为都是非饱和边，所以这条路径上的边还可以增大经过它们的流，所以称为增广路。
而且，这条增广路可以增加的流量，决定于，这条路径上的剩余容量最小的那一条边，可增加的流量就是这最小的剩余流量。
所以说，求最大流的办法就是，不断地寻找增广路，先找到一条增广路，然后把这条路径上的，所有边，减掉，这条增广路可以增大的流，这样重复，直到找不到增广路为止。
下面看看我这段有注释的代码。
#include<iostream>using namespace std;const long N=110;const long maxint=(1<<31)-1;long n,m,s,t,x,y,z;long g[N][N],pre[N],low[N];//g[][]表示原始图，pre[i]表示路径中第i个节点的前一个节点//low[i]表示到达第i个节点时，路径中可增广的流量，//即到第i个节点时，路径上的边剩余容量的最小值。
//low[t]就是整条增广路里的边的剩余容量的最小值，//就是这条路可以增大的流的大小long q[N],head=0,tail=0;// q[]就是队列，我们用BFS来扩展节点，扩展到了T就表示找到了一条增广路long Maxflow=0;// 记录最大流的大小inline void push(long v){//入队q[++tail]=v;}inline long pop(){//出队return q[++head];}inline void clear(){//队列初始化head=tail=0;}int main(){cin>>n>>m>>s>>t;for(long i=1;i<=m;i++){cin>>x>>y>>z;g[x][y]=g[y][x]=z;}while(true){//初始化memset(low,-1,sizeof(low));memset(pre,-1,sizeof(pre));clear();push(s);low[s]=maxint; //源点入队，low[s]赋为无穷大，不可能赋其他小的值啊，自己想想为什么？//开始广搜while(head<tail){long x=pop();for(long i=1;i<=n;i++){if(g[x][i]>0&&pre[i]<0){//g[x][i]>0表示这条边还没满啊，pre[i]<0就表示还没前驱，就是还没被扩展啦push(i); //入队low[i]=min(low[x],g[x][i]); //然后就考虑这条边的剩余容量是不是比前面所找到的所有都小，//是的话就更新呗，不是的话就等于之前的最小的咯。
网络流之最大流的增广路径算法
⽹络流之最⼤流的增⼴路径算法扩展：多路增⼴⼀般的,在执⾏增⼴路算法时,都是先⽤BFS或DFS从源到汇找到⼀条增⼴路,记录下应修改的流量,然后再顺着路倒回去增⼴.反复这个过程直到增⼴路找不到了为⽌.显然的,我们做了很多⽆⽤功,假设有两条很长的增⼴路,前⾯⼤部分都是重叠的,只是在最后关头分了个岔,⽽程序却把前⾯很长的路⾛了两次.为什么要这样?不妨把两条增⼴路合并起来,不⽌是两条,所有的增⼴路都可以按其前缀合并起来,⽽形成⼀棵增⼴树.找增⼴树可以⽤DFS,正如⽣成搜索树⼀样.简⽽⾔之,对于当前的每⼀个结点记录⼀个可提供的最⼤流量,源点的可供流量显然是⽆穷⼤,当推到下⼀个点时,最⼤流量取边的容量和上个点提供的最⼤流量的较⼩值.当到达汇点时,⾃然DFS开始回朔,这时按当前点的已⽤流量增⼴当前点与他⽗亲相连的边,同时将增⼴值累加到他⽗亲的已⽤流量上,并在他⽗亲的可提供流量上减掉这个值,以便在搜索他⽗亲剩下的⼉⼦时,让所有⼉⼦的已⽤流量总和不⼤于⽗亲的可提供流量,不然就出错了.我们按照以下步骤做:search node(available){1.得到node的可提供流量available2.search node's all son(可提供流量){inc(已⽤流量,当前⼉⼦实际增⼴的流量)dec(可提供流量,<同上>)}3.⽤得到的已⽤流量的值增⼴边(node-node's father)4.return 边的增⼴量到 node'fahter}每进⾏⼀次以上步骤,我们就完成了⼀次多路增⼴,并且返回了⼀个值到源点,即DFS的根.这个值表⽰本次操作中将流量扩⼤了多少.重复操作直到返回值为0.得到最⼤流的数值即累加每次的返回值.#include <iostream>#include <queue>#define msize 1024 //最⼤顶点数⽬using namespace std;int d[msize];//标号int r[msize][msize];//残留⽹络，初始为原图int num[msize];//num[i]表⽰标号为i的顶点数有多少int pre[msize];int n,m,s,t;//m个顶点，n条边，从源点s到汇点tvoid ini_d()//BFS计算标号，汇点t标号为0{int k;queue<int>Q;memset(d,1,sizeof(d));memset(num,0,sizeof(num));Q.push(t);d[t]=0;num[0]=1;while(!Q.empty()){k=Q.front(),Q.pop();for(int i=0;i<m;i++){if(d[i]>=m&&r[i][k]>0){d[i]=d[k]+1;Q.push(i);num[d[i]]++;}}}}int findAlowArc(int i)//从i出发寻找允许弧{int j;for(j=0;j<m;j++)if(r[i][j]>0&&d[i]==d[j]+1)return j;return-1;}int reLable(int i)//重新标号{int mm=INT_MAX;for(int j=0;j<m;j++)if(r[i][j]>0) mm=min(mm,d[j]+1);return mm==INT_MAX?m:mm;}int maxFlow(int s,int t)//从源点s出发的最⼤流{int flow=0,i=s,j;int delta;//增量memset(pre,-1,sizeof(pre));while(d[s]<m){j=findAlowArc(i);if(j>=0){pre[j]=i;i=j;if(i==t)//更新残留⽹络{delta=INT_MAX;for(i=t;i!=s;i=pre[i])delta=min(delta,r[pre[i]][i]);for(i=t;i!=s;i=pre[i])r[pre[i]][i]-= delta, r[i][pre[i]]+= delta;flow += delta;}}else{int x=reLable(i);//重新标号num[x]++;num[d[i]]–;if(num[d[i]]==0)return flow;//间隙优化d[i]=x;if(i!=s) i=pre[i];}}return flow;｝FF算法分为三个步骤，⾸先寻找⼀条增⼴路（如果没有增⼴路，则返回最⼤流），同时保存路径；其次，对路径上的流量求最⼩值，记为min；最后根据路径修改⽹络，对于前向边，减去最⼩值，对于后向边，加上最⼩值，或者直接修改容量。
网络最大流
2+21==23
0 V2
1=1
V1
2=2
2=2 2=2
V3 2=2
V4 2=2
0
V6
22+=12=3 V5
P1: V1 V3 V4 V6
P2: V1 V2 V3 V5 V6 P3: V1 V2 V5 V6
3 V1
2
0 V2
1
2 2
V3
2
V4 2
0
V6
3 V5
可行流与最大流
可行流(可行流的流量V(F)) 满足下述条件的流F称为可行流：
弧的全体记为P+。另一类弧与路的方向相反，叫做后
向弧。后向弧的全体记为P-。
如图，在路P＝{Vl,V3,V2,V4,V6}中
P+＝{(Vl,V3)，(V2,V4)，(V4,V6)}
P -＝{(V3,V2)} 4
V2
4 V4 7
1
V1
4
6
V6
8
2
9
V3
V5
2
在图G中，一个由不同的边组成的序列e1,e2,…,eg， 如果ei是连接Vi-1与Vi(i＝1,2,…,g)的，我们就称这 个序列为从V0到Vg的一条道路，数g称为路长，V0 与Vg称为这条道路的两个端点，Vi(1<=i<=g-1)叫做 道路的内点。
对于
且 Vij A
V ji A
V ji 是边吗？
可改进路P的定义： 设F是一个可行流，P是从Vs到Vt
的一条路，若P满足下列条件： (1)在P的所有前向弧(Vi,Vj)上，
0＜=Fij＜Cij，即P+中的每一条弧是 非饱和孤；
(2)在P的所有后向弧(Vi,Vj)上， 0＜ Fij＜= Cij ，即P-中的每一条弧是 非零流弧。
网络流算法详解
v1 15 s 4 8 v2 3
12
v3 16
9
7 v4
2 5
t
6
图 1 网络流的一个例子
v1 10/15 s 4/4 5/8 0/3 v2
5/12 0/9 4/7 5/6
v3 9/16 0/2 v4 5/5 t
图 2 图 1 的一条流 f
v1 5 s 4 10 3 8
7 5 13 3
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网络流算法详解
网 络 流 算 法 在 许 多 实 际 问 题 中 有 应 用 ， 如 匹 配 问 题 ， 著 名 的 Hall 婚 姻 定 理 。 这里不证明“最大流最小割定理” ，简单解释求最大流的 Ford-Fulkerson 算法。接下来分别 详述时间复杂度为 O(VE2)的 Edmonds-Karp 算法和时间复杂度为 O(V2E)的 Dinic 算法。至 于较新的预留推进算法就不介绍了，这个算法证明比较难，感兴趣的可以看看算法导论。 本文所用到的网络流如图 1，s 为原点，t 为汇点，边上的值表示边的容量 c(u,v)，如 c(s,v1)=15，c(v1,v2)=8。流用符号 f(u,v)表示，如图 2，流的容量 f(s,v1)=10，f(v1,v2)=5。剩 余容量 cf (u,v)=c(u,v)-f(u,v)。在原剩余网络中找到一条流后，修改原网络边的剩余容量得到 剩余网络 Gf，如图 3 所示。注意剩余网络中有一些新添加的边即反向边的容量，为流的反 馈。在图 3 中，有 f(v1,v3)=5,那么有 f(v3,v1)=- f(v1,v3)=-5，然后 cf(v3,v1)=c(v3,v1)-f(v3,v1)=0-(5)=5。
△ f=3。
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