湖南省三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考数学(理)试卷(含答案)

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三湘名校教育联盟• 2019届高三第一次大联考

理科数学

本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 A={183|2--x x x <0}，B={12

|-x x >1},则 = =B A I A. (1,3) B. (1,6) C. (2,3) D. (2,6)

2.已知复数z 满足i i zi 2111+=-+，则其共轭复数z 的虚部为 A.-2 B.-1 C.1 D.2

3.设向量)2

1,21(),1,0(-=-=b a ，则下列结论中正确的是

A.a//b

B.(a+b)丄b

C.(a-b)丄b

D.|a-b|=|b| 4.已知x ，y 满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≥+≤-+≥--0120301y y x y x ,则的最小值为

A. 21

B. 1

C. 2

3 D.2 5.“2=

a ”是“函数)21lg()(2ax x x f -+=为奇函数”的

A.充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A.8

B.16

C.24

D.48

7.设 2ln 21,)1(43,310221

=-==⎰-c dx x b a ,则 A. a

8.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”。其中的“筹”原意是指《孙 子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运

算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：

表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排 列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2268用算筹表示就是=||丄|||.执行如图所示程序框 图，若输人的x=1, y = 2,则输出的S 用算筹表示为

9.过双曲线C: 122

22=-b

y a x (a>b>0)的一个焦点F 向其一条渐近线引垂线，垂足为E ，0为坐标原点，若△O EF 的面积为1，其外接圆面积为4

5π，则C 的离心率为 A. 2

5 B.3 C.2 D. 5 10.设α>0，β>0,将函数x x f sin )(=的图像向左平移α个单位长度得到图像C 1，将函数

)6cos()(π+=x x g 的图像向右平移β个单位长度得到图像C 2，若C 1与C 2重合，则=+)cos(βα A. 23- B. 23 C. 21- D. 2

1 11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球的表面积为π4，则正方体外接球的体积为

A. π68

B. π36

C. π332

D. π664

12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=0＞,12

10,1)(x x x e x f x ，若n m ＜且)()(n f m f =，则m n -的最小值为

A. 12lg 2-

B. 2lg 2-

C. 2lg 1+

D. 2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若6)2(a x -的展开式中3x 的系数为-20,则a = .

14. 抛物线py x 22= (p>0)上纵坐标为4的点A 到其焦点F 的距离为5,则点A 到原点的距离为 .

15.函数x x x f cos 22sin )(+=在区间],0[π上的值域为 .

16.已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边，B A b a 2sin cos ,3,62===，则△ABC 的面积为 .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(―)必考题：共60分。

17.(12分）

已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且112

3+=+n n n a a S . (1)是否存在常数λ，使得n n n a a a λλ++=++12)1(?请说明理由；

(2)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和.

如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA 丄底面ABCD,且PA=2AB ，F 是AB 的中点，点E 在线段PC 上，且PE 丄PC 31. （1）证明：平面丄平面ABCD;

（2）求二面角B-AE-D 的余弦值.

19.(12分）

随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台。已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表：

以这80名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率。

（1）若某送餐员一天送餐的总距离为80千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；

（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定1千米内为短距离，每份3元， 2千米到4千米为中距离，每份5元，超过4千米为远距离，每份9元。

(i)记X 为送餐员送一份外卖的收入（单位：元），求X 的分布列和数学期望；

(ii)若送餐员一天的0标收入不低于150元，试估计一天至少要送多少份外卖？

20.(12分） 已知椭圆C: 122

22=+b

y a x (a>b>0)的上顶点E 与其左、右焦点F 1、F 2构成面积为1的直角三角形。 （1）求椭圆C 的方程；

（2）过点F 2的直线l 交C 于A （11,y x )，B(22,y x )两点，P 是C 上的动点，当

3112

1=+x x 吋，求△PAB 面积的最大值。