二次根式的乘除混合运算
16.3.2二次根式的加减乘除混合运算
50) 6
(2 7 5 2) 6
2 76 5 26 2 42 5 12 (2) (2 6 7 2 ) (7 2 2 6 )
(7 2） （2 6 )
2
2
=98-24 =74
拓展提高
解:(3) (3 5 4 2 ) (2 5 3 2 )
学习难点
1.理解有理化因式的含义,并能运用它进 行二次根式的有理化及化简二次根式. 2.灵活运用二次根式的加减乘除运算法 则化简二次根式并解决相关问题．
知识回顾
一.二次根式的乘除法 (1)二次根式的乘除运算法则是什么?
a b ab （a 0, b 0）
a a （a 0, b 0） b b
2) ( 3 2)] 2) ( 3 2)]
2 32 2 4 6
拓展提高
七.二次根式的混合运算
(1)( 48 50) 6
(2)(2 6 7 2 ) (7 2 2 6 ) (3)(3 5 4 2 ) (2 5 3 2 )
拓展提高
解:(1) ( 48
(2)在进行二次根式的乘除运算时,需要注意什么? 运算结果要:化成最简形式.
知识回顾
二.二次根式的加减法
(1)二次根式的加减运算法则是什么?
a c b c (a b) c
(2)二次根式的加减运算法则的依据是什么? 加减法则的依据是:乘法分配律.
探索学习
三.教你解题:
例1.计算:
(1) ( 7
x y x y
含有二次根式
x y
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果 它们的积不含有二次根式,就说这两个含有二 次根式的非零代数式互为有理化因式.
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算
本文介绍了二次根式的混合运算，其中重点剖析了有理化因式和分母有理化的方法，以及二次根式混合运算的注意事项。
在计算中，需要注意运算顺序和最简二次根式的表示。
文章提供了典型例题，通过运用相关知识点进行计算。
二次根式的混合运算包括加、减、乘、除和整式的加、减、乘。
在实数范围内，过去学过的运算律仍然适用。
分母有理化的一般方法是用分母的有理化因式同时乘以分子和分母。
二次根式混合运算顺序与实数运算类似，先乘方、再乘除，最后加减，整式与分式的运算法则在根式中仍然适用。
每一个根式可看作是一个“单项式”，多个不是同类二次根式之和可以看成一个多项式，因此多项式乘法法则及乘法公式在根式运算中，仍然适用，以简便计算。
在二次根式的综合运算中，除按运算顺序进行以外，还要注意分式性质的灵活运用。
有理化因式不是唯一的，它可以相差一个常数。
例如，3
的有理化因式可以是3,23,33……但在一般情况下，我们所找
的有理化因式应是最简单的。
一般常见的互为有理化的两个代
数式有如下几种情形：a和a，a+b和a-b，a-b和a+b，ma+nb
和ma-nb。
二次根式的除法一般是先写成分式的形式，然后通
过分母有理化来进行。
典型例题中，例1的计算包括四个部分，分别是(1)、(2)、(3)和(4)。
在计算中，需要注意运用a-b=(a+b)(a-b)、分母有理化、最简二次根式的表示和整式除法法则等知识点。
通过对例题的计算，可以更好地理解二次根式的混合运算。
人教版八年级数学下册_16.2二次根式的乘除
特别提醒 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以
整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两 个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再 相除.
感悟新知
例 3 如果
a a－8
a a－8
成立，那么( D )
A.a ≥ 8
B.0 ≤ a ≤ 8
C.a ≥ 0
知3－练
D.a>8
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”成立的条
(式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3)“三化”，即化去被开方数中的分母.
感悟新知
知5－讲
特别提醒 判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件： 1. 被开方数不含分母； 2. 被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因
数(式)的指数都是1. 注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式.
感悟新知
知5－练
例8 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二
次根式？不是最简二次根式的，请说明理由.
(1)
1 ;(2)
x2＋y2 ;(3)
0.2;
3
(4)
24 x；(5)
2 .
3
解题秘方：紧扣“最简二次根式的定义”进行判断.
感悟新知
知5－练
解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母； (3) 不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)； (4)不是最简二次根式，因为被开方数24x 中含有能开得尽 方的因数4，4=22； (2)(5)是最简二次根式.
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知3－讲
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单 项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商 的根号外因数(式) ，被开方数(式)之商作为商的被开方 数(式) ，即a b÷c d = (a÷c ) b d ( b ≥ 0，d ＞ 0，c ≠ 0 ).
《二次根式的乘除混合运算》 说课稿
《二次根式的乘除混合运算》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《二次根式的乘除混合运算》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析本节课是人教版八年级下册第十六章《二次根式》中的重要内容。
二次根式的乘除混合运算既是对二次根式乘法和除法法则的综合运用，也是后续学习二次根式的加减运算以及解二次根式方程的基础。
通过本节课的学习，学生将进一步提高对二次根式运算的理解和掌握，为解决更复杂的数学问题打下坚实的基础。
在教材的编排上，先介绍了二次根式的乘法和除法法则，然后通过实例引入二次根式的乘除混合运算，让学生在实际运算中体会法则的应用，逐步掌握运算方法和技巧。
二、学情分析八年级的学生已经掌握了实数的基本运算和整式的乘除运算，具备了一定的运算能力和逻辑思维能力。
但对于二次根式的运算，尤其是乘除混合运算，可能会在运算顺序、化简过程中出现错误。
部分学生可能对法则的理解不够深入，在应用时容易出现混淆。
因此，在教学过程中，要注重引导学生理解法则的本质，加强练习，及时纠正错误。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够熟练掌握二次根式的乘除混合运算的法则和方法。
（2）能够正确进行二次根式的乘除混合运算，并化简结果。
2、过程与方法目标（1）通过观察、类比、归纳等活动，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
（2）在运算过程中，提高学生的分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生在自主探究和合作交流中，体验数学学习的乐趣，增强学习数学的自信心。
（2）培养学生严谨的学习态度和良好的运算习惯。
四、教学重难点1、教学重点（1）二次根式的乘除混合运算的法则和顺序。
（2）正确化简二次根式的乘除混合运算结果。
2、教学难点（1）运算过程中符号的确定和根式的化简。
（2）灵活运用二次根式的乘除法则进行混合运算。
五、教法与学法1、教法（1）讲授法：讲解二次根式的乘除混合运算的法则和方法，使学生形成系统的知识体系。
八年数学下二次根式加减乘除混合运算考点与讲解二次根式加减乘除混合运算考点与讲解
二次根式加减乘除混合运算考点与解析1．计算：．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：按照•=，从左至右依次相乘即可．解答：解：，=2．点评：本题考查二次根式的乘法运算，比较简单，注意在运算时要细心．2．计算：﹣32+×+|﹣3|考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．解答：解：﹣32+×+|﹣3|=﹣9+×+3﹣=﹣5﹣．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．3．计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．解答：解：原式=﹣1++4﹣3=．点评：该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．4．计算：．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．解答：解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．5．计算：（1）sin60°﹣|﹣|﹣﹣（）﹣1（2）（1+）÷．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）根据特殊角的三角函数值、分母有理化和负整数指数幂的意义得到原式=﹣﹣﹣2，然后合并即可；（2）先把括号内合并和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．解答：解：（1）原式=﹣﹣﹣2=﹣2；（2）原式=•=x．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂和分式的混合运算．6．计算：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，二次根式的除法的运算法则，以及绝对值的求法计算，然后根据加法交换律和结合律，求出算式（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1的值是多少即可．解答：解：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．=1+3=（1+2+3）=6+0=6点评：（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p=（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了绝对值的非负性和应用，要熟练掌握．7．化简：（1）（2）（3）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）、（2）利用二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式；（3）根据平方差公式计算．解答：解：（1）原式=4；（2）原式=；（3）原式=（﹣）（+）=3﹣2=1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．8．计算：（1）（2）﹣5+6（3）×﹣（4）﹣π（精确到0.01）．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘法法则运算；（4）把≈1.414，π=3.142代入原式进行近似计算即可．解答：解：（1）原式=2+4﹣=5；（2）原式=4﹣+=3；（3）原式=﹣=20﹣3=17；（4）原式≈0.5+1.414﹣3.142≈﹣1.23．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．9．计算：﹣﹣（）2+|2﹣|．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先把各二次根式化为最简二次根式，再根据绝对值的意义去绝对值，然后合并即可．解答：解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．计算：（）﹣1﹣|2﹣1|+．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据负整数指数幂和分母有理化的意义得到原式3﹣2+1+，然后合并即可．解答：解：原式=3﹣（2﹣1）+=3﹣2+1+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．11．计算：+（﹣）+．考点：二次根式的混合运算．分析：先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并．解答：解：原式=+1+3﹣3+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法则．12．计算：（）﹣2﹣+（﹣6）0﹣．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=4﹣4+1﹣，然后进行二次根式的除法运算后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+1﹣=1﹣2=﹣1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．13．计算：（2﹣）2+﹣（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据完全平方公式和负整数指数幂的意义得到原式=4﹣4+3﹣3，然后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+3﹣3=1﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．14．计算（1）（2）．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：（1）先算负指数幂，0次幂和绝对值，再进一步合并即可；（2）先利用平方差公式和二次根式的性质化简，再进一步合并即可．解答：解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3+﹣2=﹣3．点评：此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．15．（1）计算：4×÷﹣2sin30°﹣（）﹣1（2）化简：÷﹣．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）分别进行二次根式的乘法运算、除法运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等运算，然后合并；（2）根据分式的混合运算法则求解．解答：解：（1）原式=10÷﹣2×﹣2=10﹣1﹣2=7；（2）原式=•﹣=﹣=．点评：本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．16．计算：（1）+（﹣2013）0﹣（）﹣1+|﹣3|（2）÷﹣×+．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式=3+1﹣2+3，然后进行加减运算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．解答：解：（1）原式=3+1﹣2+3=5；（2）原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．17．计算（1）÷+﹣3（2）（+）（﹣）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行二次根式的除法运算，再先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式计算．解答：解：（1）原式=+2﹣3=0；（2）原式==a﹣2b．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．（1）（2）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行乘方和开方运算，再进行乘法运算，然后进行减法运算；（2）先去括号，然后合并即可．解答：解：（1）原式=4+4×（﹣）=4﹣3=1；（2）原式=2+2﹣=2+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．19．计算题：（1）+﹣；（2）（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先进行二次根式的化简，然后合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后合并．解答：解：（1）原式=3+﹣=4﹣；（2）原式=﹣+﹣3﹣13+4=4﹣2﹣13．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的化简．20．计算（1）+（3+）（2）（﹣）×2（3）先化简，再求值．（a+）﹣（﹣b），其中a=2，b=3．考点：二次根式的混合运算；二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根式得到原式=+2﹣+，然后合并后把a和b的代入即可．解答：解：（1）原式=3+3+2=8；（2）原式=2﹣2=4﹣；（3）原式=+2﹣+=+3当a=2，b=3时，原式=+3．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的化简求值．。
16.2 二次根式的乘除
例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2
÷
2
1
2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
教材新知精讲
(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
例 1 计算:(1)
5
×
3
知识点四
知识点五
综合知识拓展
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:0617:50:0617:509/12/2021 5:50:06 PM
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综合知识拓展
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1217:50:0617:50Sep-2112-Sep-21
平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
教材新知精讲
知识点一
知识点二
2022-2023学年沪教版上海八年级数学上学期同步考点精讲精练16-3-1二次根式的乘除带讲解
16.3.1二次根式的乘除考点一、二次根式的乘法及积的算术平方根1.法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：;≥0，≥0，…..≥0）;(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.考点二、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除..要点：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质（a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.题型1：二次根式的乘法1-数字型10.4 1.6）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8D【分析】根据二次根式乘法法则计算即可．原式0.8===． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次根式乘法法则：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根．2_________． 20 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．解：原式==20=，故答案为：20． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．题型2：二次根式的乘法2-字母型及复合型3__________．4a 【分析】根据二次根式的乘法进行求解即可．4a =； 故答案为：4a 【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 4．下列计算正确的是( )A ．B ()()35=15-⨯-C ．-DDA 选项：24，计算错误，故与题意不符；B 3515=⨯=，计算步骤有误，故与题意不符;C 选项：22233633，计算错误，故与题意不符；D ，计算正确，故与题意相符. 故选D.5．计算（- ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32B 【分析】利用平方差公式进行计算即可．解：（=22=-20128.=-=故选B ．【点睛】本题考查的是利用平方差公式进行二次根式的乘法运算，掌握公式特点是解题的关键．题型3：二次根式的乘法法则成立的条件6230x -=成立的x 的值为（ ）A ．-2B ．3C ．-2或3D ．以上都不对B 【分析】根据二次根式有意义的条件以及二次根式的乘法进行分析即可得答案. 2x 30-=，0=0=， ∴x=-2或x=3，又∵2030x x +≥⎧⎨-≥⎩，∴x=3， 故选B. 【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键.题型4：二次根式的除法1-数字型7___．用二次根式除法法则计算即可．=故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的除法，解题关键是熟练掌握二次根式除法法则，准确进行计算．8_____． 3 【分析】直接利用二次根式的除法运算计算得出即可．3=． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考察了二次根式的除法，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．9_____． 2 【分析】根据二次根式的除法法则计算即可求解．÷2=， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，熟知二次根式的除法法则是解题关键．题型5：二次根式除法法则成立的条件10x 的取值范围是（ ） A ．x ≠2 B ．x ≥0C ．x ≥2D ．x ＞2D【分析】根据被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x 的取值范围即可．由题意可得：020x x ≥⎧⎨-⎩＞，解得：x ＞2．故选D ． 【点睛】二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．11=成立的条件时，则x 的取值范围为 ___．32x -≤<【分析】由二次根式有意义的条件可得30,20x x 再解不等式组即可得到答案.解： 3020x x ①②由①得：3,x ≥-由②得：2,x <所以则x 的取值范围为3 2.x 故答案为：32x -≤< 【点睛】本题考查的是商的算术平方根的运算法则与二次根式有意义的条件，掌握0,0ba b a”是解本题的关键.12．下列各式：==a ＞0，b≥0）；=-，其中一定成立的是________（填序号）． ②③④ 【分析】根据二次根式的性质及运算法则逐项分析即可．①00，a b ≥>≠=00，a b ≥>；③当00，a b >≥时，3133b a a a a== ④3a 成立时，0a ≤3a aaaa ，故一定成立；故答案为：②③④． 【点睛】本题考查二次根式的性质以及乘除远算法则，熟练掌握基本性质计算法则是解题关键．题型6：二次根式的除法2-字母型及复合型13____．根据二次根式的除法法则解决此题．===故答案为： 【点睛】本题主要考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握二次根式的除法法则．14___．根据二次根式的除法运算法则计算即可；原式255yx x y==； 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法法则，准确计算是解题的关键．15=_________． x 【分析】根据二次根式的除法法则计算即可．=123⎛÷ ⎝=x ． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握除法法则是解答本题的关键．二次根式相除，把系数相除作为商的系数，被开方数相除，作为商的被开方数，并化为最简二次根式．16．计算：43434(32)⨯=______24 【分析】运用积的乘方的逆运算：(ab )n =anbn ，把43434(32)⨯写成433434432⨯⨯⨯左到右的顺序运算． 解：43434(32)⨯ =433434432⨯⨯⨯ =3×23 =3×8=24=故答案为：24，【点睛】此题考查了实数的运算，解决问题的关键是掌握正确的运算顺序． 17．当0x >= _________________．94先根据二次根式的定义和除法的性质可得0y >，再根据二次根式的性质化简，然后计算二次根式的除法即可得．由二次根式的定义得：2500x y y x ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，0x，0y ∴≥，又除法运算的除数不能为0，0y ∴≠， 0y ∴>，35xy =3xy==49=94本题考查了二次根式的定义与除法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．题型7：二次根式的乘除法1-数字型18．下列运算错误的是（ ） A=B=C．25= D．2D 【分析】利用二次根式的运算性质分别运算后即可确定错误的选项，从而确定正确的答案． 解：A=BC、25=，正确，不符合题意； D、2故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是了解二次根式的有关的运算性质，难度不大．19___．先把除法转化为乘法，再计算即可完成．=【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，注意运算顺序不要出错．题型8：二次根式的乘除法2-字母型及复合型20．下列结论中，对于实数a、b，成立的个数有（）=a=±；2a．A．0个B．1个C．2个D．3个C【分析】根据二次根式有意义的条件结合二次根式的乘除法及二次根式的性质逐一分析四条结论的正误，由此即可得出结论．①当a、b∴①不成立；②∵a＞0，b≥0，∴ba≥0，②成立；＝|a|，∴③不成立；＝|a 2|＝a 2， ∴④成立．综上可知：成立的结论有②④． 故选C ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的乘除法以及二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的乘除法及二次根式的性质是解题的关键．21=（ ）A B C D ．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出即可．原式==故选：A 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键． 22．计算：（1（20)a >（334÷（4（5）2(0,0)a b >>．（1）19；（2）3a ；（34）5）312-a b【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可； （3）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可；（4）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可；（5）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可．（1）原式19==；（2）原式=3a ==；（3）原式331(2442=÷=⨯÷；（4）原式=（5）原式1 23()2ab =⨯÷-12ab =-212ab a =-⨯312a b =-．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待． 23．计算:（1）（2）(（3）0,0)a b >>（1）2）154-；（3 【分析】 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可；（2）根据二次根式乘除法法则计算即可；（3）根据二次根式乘除法法则计算即可．（1）原式233=⨯2=（2）原式13153()5=844⨯-⨯=-⨯-；（3）原式== 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，主要考查学生的化简能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．题型9：有理化因式241的一个有理化因式是（ ）A B C 1 D ． 1- D【分析】根据有理化因式的定义进行求解即可．两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．解：∵由平方差公式，)111x =-，11-．故选：D ．【点睛】本题主要考查了对有理化因式的理解，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．25的有理化因式是 ___．根据有理化因式的定义（两个根式相乘的积不含根号）即可得答案．3x =-，【点睛】本题考查了有理化因式，熟练掌握有理化的方法是解题关键．26．写出n 的一个有理化因式：_______．n 【分析】根据平方差公式即可得出答案．解：n的有理化因式n，故答案为n．【点睛】此题考查了有理化因式的定义：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式，及平方差计算公式，熟记有理化因式的定义是解题的关键．27．）B C DAC【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．解：∵3(2)x=-，∴故选：C．【点睛】本题考查了有理化因式的定义：两个含二次根式的非零代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一般地，282的有理化因式可以是___．2【分析】利用平方差公式进行有理化即可得．解：因为2)5=--=-，14x x22，2．【点睛】本题考查了有理化因式，熟练掌握有理化的方法是解题关键．题型10：与分母有理化计算变形问题292的倒数是（ ）A 2B ．2C ．2D A【分析】根据二次根式分母有理化的方法进行化简即可．22， 故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，解题关键是熟练运用二次根式性质进行分母有理化．30．已知a=1则a 与b 的关系是( ) A ．互为相反数B ．互为倒数C ．相等D ．互为负倒数A【分析】把的分子分母同乘（1a 比较得出结论即可．1b1=--（1a=1∴a 与b 互为相反数.故选A.【点睛】本题考查分母有理化.31m ＞0，n ＞0)分别作了如下变形：()m n-====关于这两种变形过程的说法正确的是( )A ．甲，乙都正确B ．甲，乙都不正确C ．只有甲正确D ．只有乙正确D【分析】甲的做法是先把分母有理化，再约分；乙的做法是先把分子分解因式，再约分．计算过程中，要考虑m=n 这种情况．甲的做法是先把分母有理化，再约分，如果m=n 则化简不成立；乙的做法是先把分子分解因式，再约分，正确．故本题选D ．【点睛】本题考查的是分母有理化的计算方法．32．若a ，b ＝a b 的值为（ ） A ．12B ．14CD B【分析】将a b 的式子，从而得到a 和b 的关系，继而能得出a b 的值．a ＝=b 44=． ∴14a b =． 故选B ．【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b 的形式．题型11：二次根式乘除的应用33．若一个长方体的长为_______．12【分析】直接根据长方体体积公式求解可得．∵长方体的长为∴长方体的体积=12故答案为：12【点睛】本题考查求长方体的体积，注意正方体的体积求法与长方体类似，为棱长×棱长×棱长．34．站在竖直高度 h m 的地方，看见的水平距离是 d m ，它们近似地符合公式85h d =.某一登山者登上海拔2000 m 的山顶，那么他看到的水平距离是________m . 160 【分析】把h=2000代入公式85h d =进行即可. 解：把h=2000代入公式85h d =得 2000884008201605d ===⨯=所以答案是：160. 【点睛】本题考查了二次根式的计算.熟练掌握二次根式的性质是运算的关键.35．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则22a b +的值是___________．523-【分析】首先根据3的取值范围得出a ，b 的值进而求出即可．解：∵123<<，3的整数部分是a ，小数部分是b ，∴a =1，b =3-1∴()222=1+3-1=5-23a b + 故答案为：523-【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，得出a ，b 的值是解题关键．一、单选题11128 ） A 2B ．2C ．2D 2B【分析】直接根据二次根式的除法计算法则求解即可得到答案．解：原式2=． 故选B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除计算，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的乘除计算法则． 2．下列各运算，正确的是（ ）A ．=B 35=CD x y + B【分析】根据二次根式的运算法则和二次根式有意义的条件进行计算即可．解：A 、30=，故本选项错误；B 35，本选项正确；CD故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的运算法则，二次根式有意义的条件，掌握这些知识点是解题关键．3．计算 ）A B C D ．C【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．原式=故选C ．【点睛】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除法法则，本题属于基础题型．4（ ）（a ＞0，b ＞0）A ．10b a B ．10a b C ．2a D ．2a 2C【分析】根据二次根式的除法法则计算可得．解：原式2a ===， 故选C ．【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是掌握二次根式的除法运算法则．5其中0,a b ≥满足的条件是（ ）A ．b ＜0B ．b ≥0C ．b 必须等于零D ．不能确定B【分析】根据二次根式乘法法则的条件解答即可．解：=0a ≥，∴b ≥0．故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义和乘法法则的理解，属于基础题型，熟知二次根式的被开方数非负是解答的关键．6 ） A ．10到11之间B ．9到10之间C ．8到9之间D ．7到8之间D【分析】先根据二次根式的乘法计算得到原式为4的范围，即可得出答案．解：原式==4∵34<，∴748<+<，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．7）B C DAC【分析】三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高．直角三角形中，两直角边长的乘积等于斜边长与斜边上的高（h=，∴h=．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的运算，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键．8n的最小值是（）A．3 B．2 C．48 D．6A【分析】先将所给二次根式化为最简二次根式，然后再判断n的最小正整数值．∴是一个完全平方数，正整数n的最小值为3．48n是正整数，3n故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的定义，解答本题的关键是能够正确的对二次根式进行化简．9．计算201820192)2)的结果是（ ）A ．2+B 2 C ．2 D B【分析】原式利用积的乘方变形为201820182)2)2)，再利用平方差公式计算，从而得出答案．201820192)2)=201820182)2)2)=))2018222⎡⎤⎣⎦=())201812-2故选B ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．10．已知226a b ab +=，且a >b >0，则a b a b +-的值为( )AB ．C ．2D ．±2 A【分析】已知a 2+b 2=6ab ，变形可得（a +b ）2=8ab ，（a -b ）2=4ab ，可以得出（a +b ）和（a -b ）的值，即可得出答案．解：∵a 2+b 2=6ab ，∴（a +b ）2=8ab ，（a -b ）2=4ab ，∵a ＞b ＞0，∴a +b a -b∴a b a b +-= 故选A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，完全平方公式的变形求值，二次根式的除法，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．二、填空题11．计算；（1=__________________；（2=_________；（3=_________；（4=__________，（5=__________；（6=____________；（7=__________；（8=__________．（1（2 （3； （4 （5 （6 （7， （8）【分析】=00a b ≥>、），反过来，可=00a b ≥>、）．（1= （2=（3=4（5=（6=（7=；（8=． 【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，掌握二次根数的除法法则是解题的关键．12=______．44 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．=4==4故答案为：4【点睛】本题考查二次根式的混合运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则．13．化简；（1）_____________；（2___________()0a >；（3）10111)1)=_____________；45 31．【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则计算，然后利用二次根式性质化简即可；（2）先把被开方式因式分解，利用二次根式性质化简，化简结果也可3（3）利用乘方的逆运算分出一次幂与10次幂即))1110111=，再利用积的乘方逆运将底数用平方差公式化简后再与一次幂因式相乘．解:（1）45==；（23==()0a >；（3）)))101011101)1)111111⎡⎤==⨯=⎣⎦故答案为（1）452）331．【点睛】本题考查二次根式的乘法乘方混合运算，掌握二次根式性质，二次根式乘方与乘法运算法则是解题关键．14y0xy的值为________．=，那么()20201【分析】根据非负数的性质列出方程求出x，y的值，代入所求代数式计算即可．解：由题意得，x0=，y0，解得，x=，y=则xy1=，∴()2020=．xy1故答案为：1.【点睛】本题考查的是算术平方根的非负性，绝对值的非负性，二次根式的乘法运算，有理数乘方的含义，代数式的值，一元一次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．15．不等式>____________．x<利用解不等式的方法与步骤求得解集，进一步化简即可．xx＜x＜故答案为：x＜【点睛】本题考查了二次根式的实际运用，掌握解不等式的方法与二次根式的化简是解答本题的关键．16a b=，用含a、b=_________．ab【分析】的形式，即可求解．=ab故答案为ab【点睛】此题考查了二次根式乘法的逆用，熟练掌握二次根式是解题的关键．17．交通警察在处理事故时，车辆是否超速是划分责任的一个主要依据，根据实际工作经验，刹车后车轮滑过的距离可以用来推算当时的车速，所用的公式为其中v 表示车速=v d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m ），f 表示摩擦系数.在一段限速80km /h 的地段，发生了一起交通事故，警察在现场调查中测得24d m =， 1.3f =，则肇事汽车当时______超速.（填“已经”或“没有”）已经【分析】把d 、f 的值代入公式进行计算即可得解．∵d =24m ，f =1.3，∴v 16×5.59≈89.4km/h ．∵89.4＞80，∴肇事汽车当时已经超速．故答案为已经．【点睛】本题考查了二次根式的应用，把已知数据代入公式进行计算即可，计算时要用计算器．18．==……请你将发现的规律用含自然数n （n ≥1）的等式表示出来__________________．(1)n n =+≥【分析】(2=+(3=+n (n ≥1)(1)n n =+≥=(2=+(3+……，发现的规律用含自然数n (n ≥1)(1)n n =+≥．(1)n n =+≥ 【点睛】 本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n 表示的等式即可．三、解答题19⎛÷ ⎝2a -根据二次根式的乘除计算法则和化简法则求解即可．解：当0a >，0b >时，原式232b b ⎛=⋅- ⎝322⎛=- ⎝2a =- 当0a <，0b <时，原式232b b ⎛=⋅ ⎝⎭ 322⎛= ⎝2a =-∴原式2a =-【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的乘除计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 20．计算：（1）（25；（3）)21；（4）)33；（5）（6（1）；（2）1；（3）6+4）4；（5）5；（6）5．【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则进行计算；（2）根据二次根式的乘法运算法则进行计算；（3）利用完全平方公式进行计算；（4）利用平方差公式进行计算；（5）根据二次根式的乘法运算法则进行计算；（6）根据二次根式的除法运算法则进行计算；解：（1）32⨯=（2555651===-=；（3）)22211516=+=+=+（4）)223331394=-=-=；（5）615==-=；（6235==+=． 【点睛】本题考查二次根式的乘除法，理解二次根式的性质，掌握二次根式乘除运算法则是解题关键．21【分析】 根据二次根式的乘法与除法法则进行计算即可．3112n m m m =⨯m n=362= 本题考查了二次根式的乘除运算及二次根式的化简，掌握二次根式乘除运算的法则并正确化简二次根式是解题的关键．22．【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行即可．12=12==根据题意知：x 与y 同号== 本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握二次根式的乘除运算法则是关键，最后二次根式要化成最简二次根式．23．计算（1（2（x ＜2y ＜0） (1) 203;(2)-21xy 试题分析:(1)根据二次根式的乘法和除法法则计算,(2)根据二次根式的性质进行化简.试题解析÷ =203,（2x ＜2y ＜0） =2122y x y x xy -⨯--, =21xy -. 24．阅读下面问题：1；＝1×1× 试求：________； (2)当n________； (3)…的值．(3)9【分析】（1）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；（2）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；（3）先将所求式子变形，然后计算即可．【小题1】=【小题2】=【小题3】....+11=101=-9=．【点睛】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．。
全面剖析二次根式的乘除及化简
全面剖析二次根式的乘除及化简1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4×3.6；(2)545×3223.分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230.2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简：(1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a3b6(a＞0，b＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a3b6＝42·6·a2·a·(b3)2＝4ab36a.3．二次根式的除法法则对于两个二次根式a，b，如果a≥0，b＞0，那么ab＝ab.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有a b ＝ab.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝mnab (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用 通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝ab，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用： (1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝ab；(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内． (1)535； (2)－2a 12a ；(3)－a－1a ； (4)xyx (x ＜0，y ＜0)．分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15.(2)∵12a ＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a ＝－(2a )2·12a ＝－2a .(3)∵－1a ＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a )＝－a .(4)∵x ＜0，y ＜0， ∴x y x＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x ＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋bb 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2.所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用． (3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件； ②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； ④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式． 【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )．分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．解：(1)9145÷(3235)×12223＝(9÷32×12)145÷35×83 ＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12aba 2b ·a b·a ＝－12ab a 4＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式．a与a；a＋b与a－b；a＋b与a－b；a b＋c d与a b－c d.③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab＜0时，化简ab2，得__________．(2)把代数式x－1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________．(3)把－x3(x－1)2化成最简二次根式是__________．(4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是()．A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab2中，因为ab2≥0，所以ab·b≥0.因为ab＜0，b≠0，所以b＜0，a＞0.原式＝b2·a＝－b a.(2)因为－1x≥0，又由分式的定义x≠0，得x＜0.所以原式＝－(－x)－1x＝－(－x)2(－1x)＝－－x.(3)化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x3≥0，即x≤0,1－x＞0.故原式＝(－x)2·(－x)(1－x)2＝－x1－x－x.(4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a(2)－－x(3)－x1－x－x(4)C8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝__________， 4 4442＋3 3332＝__________， ……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55， 4442＋3332＝308 025＝555， 4 4442＋3 3332 ＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．分析：式子a b ＝ab ，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x－6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎨⎧x ≤9，x >6.∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8. ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6. 【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38.验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23；338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38.(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415.(2)猜想：nnn2－1＝n＋nn2－1(n≥2，n为正整数)．证明：因为nnn2－1＝n3n2－1＝n3－n＋nn2－1＝n(n2－1)＋nn2－1＝n＋nn2－1，所以nnn2－1＝n＋nn2－1.11 / 11。
二次根式的乘除混合运算
二次根式的乘除混合运算二次根式的乘除混合运算是数学中一个常见且重要的概念。
通过深入理解和掌握这种运算，我们可以更好地解决实际问题，并提高解题的速度和准确性。
首先，让我们来回顾一下什么是二次根式。
二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
在实际应用中，二次根式经常出现在几何学、物理学和工程学等领域中，因此了解二次根式的运算规则就显得尤为重要。
考虑以下的例子：计算√9 × √16。
根据乘法的运算规则，我们可以将根号内的数相乘，然后再开方，即√(9 × 16)。
在这个例子中，9和16都是平方数，所以根号内的结果可以直接计算为36。
因此，我们最终得到的答案是6。
接下来，让我们来看一个更复杂的例子：计算√18 ÷ √6。
根据除法的运算规则，我们可以将根号内的数相除，然后再开方，即√(18 ÷ 6)。
在这个例子中，18除以6等于3，所以根号内的结果可以直接计算为3。
因此，我们最终得到的答案是√3。
请注意，在进行二次根式的乘除混合运算时，我们可以将根号内的数相乘或相除，但不能对根号外的系数进行运算。
例如，√2 ×√3并不能简单地相乘为√6。
除了乘法和除法，我们还可以使用二次根式的指数运算。
例如，(√2)²等于2，因为在二次根式的指数运算中，我们可以先开方，然后再求平方。
在实际问题中，我们经常会遇到需要进行二次根式的乘除混合运算的情况。
例如，在计算建筑物的斜边长度时，我们需要根据给定的高度和宽度的平方和来计算。
通过合理运用二次根式的乘除混合运算规则，我们可以简化计算过程，提高工作效率。
总结起来，二次根式的乘除混合运算是数学中的一个重要概念。
通过掌握正确的运算规则，我们可以更好地解决实际问题，并且提高解题的速度和准确性。
在实际应用中，我们可以通过合理运用二次根式的乘除混合运算规则来简化计算过程，并提高工作效率。
因此，深入理解和掌握二次根式的乘除混合运算对我们的学习和工作都具有重要的指导意义。
二次根式加减乘除混合运算100道
二次根式加减乘除混合运算100道【原创版】目录1.题目概述2.二次根式的基本概念3.二次根式的加减乘除运算规则4.混合运算的解题技巧5.练习题目及答案正文一、题目概述二次根式加减乘除混合运算是中学数学中的一个重要内容。
这种题目不仅考查学生对二次根式的理解和掌握程度，还考查学生对数学运算规律的应用能力。
本文将为大家介绍二次根式的加减乘除混合运算 100 道题目，帮助大家更好地掌握这一知识点。
二、二次根式的基本概念二次根式是指形如√ax+bx+c（a≠0）的代数式，其中 a、b、c 为常数，x 为未知数。
二次根式的值表示为非负数，即根式的解为 x=(-b±√(b-4ac))/2a。
在实际运算中，我们通常只考虑正根号，即 x=(-b+√(b-4ac))/2a。
三、二次根式的加减乘除运算规则1.加减运算二次根式的加减运算是将同类二次根式合并，即具有相同根式部分的二次根式可以进行加减运算。
例如：√3x+2x+1+√(3x+2x+1)。
2.乘除运算二次根式的乘除运算是将根式中的系数进行乘除运算。
例如：√3x+2x+1 * √(3x+2x+1)/(√3x+2x+1)。
四、混合运算的解题技巧1.先进行乘除运算，再进行加减运算。
2.注意将同类二次根式合并。
3.灵活运用二次根式的性质，如根式的非负性、乘法公式等。
五、练习题目及答案这里列举 100 道二次根式加减乘除混合运算题目，供大家练习。
在实际操作中，可以先自行解答，再对照答案进行检查。
通过大量的练习，相信你会对二次根式的加减乘除混合运算有更深入的理解和掌握。
（此处省略 100 道题目及答案）总之，掌握二次根式的加减乘除混合运算对于解决相关数学问题至关重要。
八年级数学 暑假同步讲义 第3讲 二次根式的运算(解析版)
二次根式的运算内容分析二次根式的加减法和乘除法是八年级数学上学期第一章第一节内容，是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算．它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性、提高性的综合学习．知识结构模块一：二次根式的加减法知识精讲1.二次根式的加法和减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（化简 合并）．班假暑级年八2 / 19【例1】计算：（1）4817543--； （2）11(0.53)(75)38---． 【答案】（1）332；（2）3442+． 【解析】（1）原式43311=533433--=；（2）原式232353234⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22235343244=--+=+． 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【例2】计算：（1）2391634m m +； （2）850()p q p q-+-． 【答案】（1）m 5；（2）()q p q p -⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+225． 【解析】（1）2323916342353434m m m m m m m +=⨯+⨯=+=；（2）82250()52()2()52()p q p q p q p q p q p q p q ⎛⎫-+=-+-=+- ⎪---⎝⎭． 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【例3】计算：例题解析（1）32832222x x x x x x + （2315032222x x x x x 【答案】（1）x x x 223422⎪⎭⎫ ⎝⎛++；（2）xx 22-【解析】（1）原式22322422224222x x x x x x x x x x ⎛=+=++ ⎝； （2）原式2122422522252222x xx x x x x x x x x x x x =⋅+-==- 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【例4】如图，长方形内有两个正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积． 【答案】222-．【解析】阴影部分的宽为22-，长为2．【总结】本题主要考查利用二次根式的运算求几何图形的面积．【例5】 计算： （133244()(0)a b a b a a b a --->；（25072()m n m n--；（3221a b a b a b a b a b -++--(0)a b >>． 【答案】（1）()b a b --2；（2）()n m n m -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+256；（3222221b a b b a +--．【解析】（1）由题可知：0>-b a ，则原式((22a b a b a b a b b a b =----=--（2）原式()()5562()262m n m n m n m n m n ⎛=--=+- --⎝（3）原式2222222222111a b a b a b a b a b a b a b ---⎛=-=--- +--⎝ 222221b a b b a+--． 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【例6】先化简，再求值：336436y x x xy xy x y y ⎛⎛+- ⎝⎝，其中32x =，27y =． 【答案】2225．【解析】原式364x x y ⎛⎛=+⋅-+ ⎝⎝43x y ⎛==- ⎝当32x =，27y =时，原式=22252723272343=⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-． 【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，注意先化简再带值计算．【例7】设直角三角形的两条直角边分别为a b ，，斜边为c ，周长为C ． （1）如果a b ==C ； （2）如果a b ==，求C ． 【答案】（1）230；（2）17058+．【解析】（1）因为2133382885022==+=+=b a c ， 所以2302132122521328850=++=++=C ；（2）因为1701254522=+=+=b a c ，所以170581705553+=++=C ． 【总结】本题主要考查二次根式的化简以及加法运算在几何图形中的运用．【例8】解不等式：24x x +>- 【答案】5125<x ．【解析】由24x x +>24x x >-2x ->x ． 【总结】本题主要考查二次根式的运算在解不等式中的运用，注意判断不等式两边所除的数的符号．1、二次根式的乘法和除法（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变； （2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．【例9】计算：（1）1232⨯；（2）4xy y ⋅．【答案】（1）68；（2）x y 2．例题解析知识精讲模块二：二次根式的乘除法师生总结1、二次根式加减法的步骤是什么？【解析】（1（2．【总结】本题主要考查二次根式的乘法运算，注意法则的准确运用．【例10】计算．（1（2；（3（4．【答案】（1）3；（2）y xy 26；（3）y yx 552；（4． 【解析】（13==；（2=；（3= （422=． 【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用．【例11】 计算：（1； （2；（3）53； （4【答案】（1）z xyz ；（2）36；（3）a ax 1562；（4）22222222y x y x --．【解析】（113=（2332⎛=÷== ⎝⎭；（3）53536a ax ax ==；（4 【总结】本题主要考查二次根式的乘除运算，注意法则的准确运用．【例12】 计算：（1（2）（3（0,0x y >>）；（4 （0a b >>）．【答案】（1）b b a --2；（2）ab 330；（3）y y x +；（4）cbca cbca ++．【解析】（1）由题意可得：0<b 2a a =⋅-=-；（2）=（3x yy+；（4=．【例13】 计算：（1）；（2）⎛- ⎝【答案】（1）2-2）-【解析】（1）1515288=-=-=-（2）⎛- ⎝332122⎛⎫=-⋅-- ⎪⎝⎭ 【总结】本题主要考查二次根式的乘除运算，注意法则的准确运用以及符号的准确判定．班假暑级年八8 / 19EDCBA【例14】 如图所示，在面积为2a 的正方形ABCD 中，截得直角三角形ABE 的面积为33a ，求BE 的长． 【答案】36a ． 【解析】正方形的边长为a 2，则a AB BE 3321=⋅⋅，则36aBE =． 【总结】本题主要考查二次根式的运算在几何图形中的运用．【例15】 已知2和10是等腰三角形的两条边，其面积为192，求等腰三角形的高． 【答案】腰上的高为：10190；底边上的高为382． 【解析】由题意可得：等腰三角形的三边长为10，10，2， 由2191021=⋅⋅h ，解得：10190=h ，即腰上的高为10190；由119222h ⋅⋅=，解得：382h =，即底边上的高为382． 【总结】本题考查的知识点较多，一方面考查二次根式的乘除运算，另外考查了三角形的三边关系，另一方面此题没有说明是哪条边的高，因此要分类讨论． 【例16】 解方程：32622x -=-． 【答案】324312x +=． 【解析】由32622x -=-，得：26223x =+，则22326x +=，化简，得：324312x +=． 【总结】本题主要考查二次根式的运算在解方程中的运用．随堂检测【习题1】 计算：（1） （2；（3）(⎛- ⎝． 【答案】（1）52511；（2）33172417-；（3）334．【解析】（1）； （2）33172417354233224227581312325.0-=---+=---+；（3）(⎛-== ⎝ 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并．【习题2】 计算：（1（2）-． 【答案】（1）26-；（2）12431--．【解析】（1-（2）-+11==． 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并．【习题3】 计算：（1）（2）263x ⎛ ⎝；（38a 【答案】（1）y x52+；（2）xy x x 7+；（3）a a 2． 【解析】（1）+= （2）2623x ⎛=+= ⎝； （3822a == 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并．【习题4】 计算：（1）(-； （2）⎛- ⎝ ；（3）； （4）(⎛÷ ⎝； 【答案】（1）-108；（2）34-；（3）10；（4）3236+-．【解析】（1）((108-=-=-；（2）(43⎛-=-=- ⎝ ； （3）(=；（4）((18⎛⎛÷=÷=- ⎝⎝⎭【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定． 【习题5】 计算：（1）(3-；（2）3（3）a ． 【答案】（1）()b ab b a -+；（2）()xy y x +-4；（3）a a a a 2221522+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+．【解析】（1）原式(3232b a ab =+-（2）(34x y -+（3）原式21252522a a a a ⎛=++- ⎝【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并，另外只有同类二次根式才能合并．【习题6】 计算：（1）(2； （2）（3 （4）32⎛⨯ ⎝ 【答案】（1）61230-；（2）331-；（3）332-．【解析】（1）(2121830=+-=-（2）1-（3）原式223=-=（4）原式271633881=⨯⨯== 【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定． 【习题7】 计算：（1）（2）（3）3⎛ ⎝； （4）(．【答案】（1）x 365；（2）y x 2108；（3）35；（4）y xy x 2137-+．【解析】（1）155636x÷==；（2）22186108x y x y ==⋅=； （3）533⎛÷= ⎝； （4）(7272x y x y =+=+．【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定．【习题8】 计算． （1（20)y >； （3(-；（4(-⨯ 【答案】（1）c abc 2；（2）xy 32；（3）a a 434-；（4）x x y 8-．【解析】（12=（2；（3((44233a a --⨯-（4(-⨯=--= 【总结】本题主要考查二次根式的乘法运算，注意法则的准确运用．【习题9】 计算． （1） （20)a b >>； （30)u >；（4）- 【答案】（1）1530；（2）bcac bc ac --；（3）uv uv515；（4）b 15-．【解析】（1）263=；（2=；（3；（4）564-=-⨯-． 【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用．【习题10】 计算：（1）3⎛ ⎝；（2()370,0a m ⎛<< ⎝．【答案】（1）0；（2）【解析】（1）原式2230x x y x y ⎛=+=-= ⎝；（2）原式237a m a ⎛=⋅+=- -⎝⎭【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用，（2）中要特别注意被开方数的符号．【习题11】 先化简后求值，当149x y ==， 【答案】0．-1y =⋅=-所以当149x y ==，时，原式30=-=．【总结】本题主要考查二次根式的化简求值．班假暑级年八14 / 19【作业1】 计算：（1）1175253108833+--； （2）()2120.12563232⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭；（3） 11484340.533⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）121813324312-+-． 【答案】（1）313-；（2）2417631+-；（3）22335+；（4）31123+． 【解析】（1）118875253108853318331333333+--=+--=-；（2）()2122211720.1256326642623232434⎛⎫+---=+--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭； （3） 1145484340.54333223223333⎛⎫⎛⎫---=--+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）1218133333221221124312263-+-=-+-=+． 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【作业2】 计算． （1）233835082aa a a a a +-； （2）323272750.755c c c c c+-；（3）22218638xx x x x x ++； 课后作业（4）34⎛⎛- ⎝⎝()00x y >>，． 【答案】（1）a a 2162；（2）c c 33；（3）x x229；（4）xy y 8．【解析】（1）32152162aa a a a ⋅（2）原式225c c =⋅-=（3）原式22623x x x =⋅+=（4）原式7834x x ⎛⎛=--⋅ ⎝⎭⎝88==【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【作业3】 计算．（10.6； （2（3（4） 【答案】（1）205；（2）8；（3）23；（4）35【解析】（110.60.63==；（28；（33122==；（4）1135+6326==-=． 【总结】本题主要考查二次根式的乘除混合运算，注意法则的准确运用．【作业4】 计算：（1）22--；（2）(；（3）(⎛⨯ ⎝； （4）62x 【答案】（1）158；（2）-6；（3）25+-a a ；（4）x 3- 【解析】（1）((22512512-=++-+-=；（2）(12186=-=-；（3）(552a ⎛⨯=+=- ⎝； （4）原式(2233x =-=-．【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．【作业5】 计算．（1(；（2）1(102(0)3m m >；（3(-()00x y >>，． 【答案】（1）ab b a 29；（2）m m ；（3）x xy8-． 【解析】（1）原式22223(992b a b a b =⋅-=-=-；（2）原式21(102223m m m =⋅==；（3）原式16(483y x =-⋅=- 【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用． 【作业6】 化简：（1（2)20x y >>．【答案】（1）ab b ；（2）xy ．【解析】（1）原式2222b b a b a b =++（2）原式22y y x y x y ===-- 【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．【作业7】 若直角三角形的面积是2，求另一条直角边长及斜边上的高线长．【答案】62；632．【解析】另一条直角边长为：623182=÷；斜边上的高为：63233362=÷⋅． 【总结】本题一方面考查二次根式的化简，另一方面考查等积法的运用．【作业8】 化简：2(0,0)a a b m n ÷>>． 【答案】2221ba ab a +-．【解析】原式2221(n a m a b =⋅222222111a ab a ab m m m a b a b ⎛-+=-+= ⎝．【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用． 【作业9】已知3a =+3b =-22a b ab -的值． 【答案】544-．【解析】由题意有：11-=ab ，54=-b a ，所以()2211ab a b a b ab =-=⨯=--- 【总结】本题主要考查利用整体代入的思想求代数式的值．【作业10】 解关于x 的不等式：（11>；（2）())211x x +-．【答案】（1）2332--<x ；（2）52362+-->x ． 【解析】（11>+，1x >，则1x >⎝⎭，1>，解得：x <-；（2）由())211x x +-，得：)22x >则x ，所以5x >．【总结】本题主要考查二次根式在解不等式中的运用，注意判定不等式两边所除的二次根式的符号．【作业11】 已知：3a b +=-，23ab =，求+的值．【答案】6623-． 【解析】由题意可得：0<a ，0<b ，则=+== 代入3a b +=-，23ab =，得原式==． 【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，解题时注意判定a 、b 的符号，最后利用整体代入的思想求值．【作业12】 求下列式子的值：22x xy y -+，其中x y == 【答案】22．【解析】由题意有：72=+y x ，2=xy ，∴()(222233222x xy y x y xy -+=+-=-⨯=．【总结】本题主要考查利用整体代入的思想求多项式的值．。
二次根式的运算知识点及经典试题讲义
二次根式的运算知识点及经典试题知识点一：二次根式的乘法法则：ab b a =⋅（0≥a ，0≥b ），即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释：（1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非负数；（2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：（3）若二次根式相乘的结果能化简必须化简，如416=. 知识点二、积的算术平方根的性质：b a ab ⋅=（0≥a ，0≥b ），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：（1）在这个性质中，a 、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足0≥a ，0≥b 才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； （2） 二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有2a 形式的a 移到根号外面. （3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简（4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式即：()()⨯2②利用积的算术平方根的性质b a ab ⋅=（0≥a ，0≥b ）；③利用⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a （一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些因式移到根号外；（5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简知识点三、二次根式的除法法则：baba =（0≥a ，0>b ），即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：（1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中0≥a ，0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.知识点四、商的算术平方根的性质bab a =（0≥a ，0>b ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中0≥a ，0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0. （2）步骤：①利用商的算术平方根的性质：bab a =（0≥a ，0>b ） ② 分别对a ，b 利用积的算术平方根的性质化简③分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化，即a a =2)(（0≥a ） （3） 被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简知识点五：最简二次根式1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式. 要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的带分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数； (2)被开方数是多项式的要进行因式分解； (3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外； (5)化去分母中的根号； (6)约分.3.把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.知识点六、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式； (3)不是同类二次根式，不能合并 知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.知识点与讲义3二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； (3)合并同类二次根式. 知识点八、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次 式之和或差，或是有理 式. 规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减. (1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：；；(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算1、计算 (1)×； (2)×； (3)×； (4)×.解：(1)×=； (2)×==；(3)×==9； (4)×==.2、计算：(1)； (2)； (3)； (4).思路点拨：直接利用便可直接得出答案．解：(1)===2； (2)==×2=2；(3)===2； (4)===2.3、化简(1)； (2)； (3)； (4)； (5).思路点拨：利用直接化简即可．解：(1)=×=3×4=12； (2)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90；(4)=×=××=3xy (5)==×=3.举一反三【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)； (2)×=4××=4×=4=8.解：(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确改正：×=×===＝4.4、化简：(1)； (2)； (3)； (4).思路点拨：直接利用就可以达到化简之目的．解：(1)=(2)=(3)=；(4)=.举一反三知识点与讲义5【变式1】已知，且x 为偶数，求(1+x)的值．思路点拨：式子=，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9-x ≥0且x-6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．解：由题意得，即∴6＜x ≤9，∵x 为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．5、计算(1)·(-)÷(m ＞0，n ＞0)； (2)-3÷()× (a ＞0).解：(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，还要注意其中的“似非而是”，特别象这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小心.7、把下列各式化成最简二次根式.(1)； (2)； (3)； (4)； (5)思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及进行化简.解：(1) ；(2) ；(3) ；(4)；(5) .类型三、同类二次根式8、如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.解：根据题意，得解之，得，故选D.总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式1】下列根式中，能够与合并的是( ) A. B. C.D.思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.解：合并，故选B.知识点与讲义7总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a 、b 的值．思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；• 事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=•2，2a-b+6=4a+3b ．解：首先把根式化为最简二次根式：==|b|·由题意得，∴，∴a=1，b=1.类型四、二次根式的加减运算 9、计算(1)+(2)-思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)-=4-8=(4-8)=-4总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并. 举一反三 【变式1】计算(1)3-9+3； (2)(+)+(-)；(3)； (4).解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15； (2)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6+；(3)(4)【变式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(结果精确到0.01)解：原式=4---=≈×2.236≈0.45.类型五、二次根式的混合运算10、计算:(1)(+)× (2)(4-3)÷2.思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.11、计算(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).（3）()()200020013232______________-+=思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.（3）略类型六、化简求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．解：4x2+y2-4x-6y+10=04x2-4x+1+y2-6y+9=0∴(2x-1)2+(y-3)2=0∴x=，y=3知识点与讲义9原式=+y2-x 2+5x=2x +-x +5=x+6当x=，y=3时，原式=×+6=+3.举一反三【变式1】先化简，再求值．(6x +)-(4y +)，其中x=，y=27．解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，当x=，y=27时，原式=-=-.【变式2】.已知x=2+1，求（22121x x x x x x +---+）÷1x 的值．类型七、二次根式的应用与探究13、一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？ 解：设底面正方形铁桶的底面边长为x ，则x 2×10=30×30×20，x 2=30×30×2， x=×=30．答：铁桶的底面边长是30厘米.14、如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)15、探究过程：观察下列各式及其验证过程．(1)2=验证：2=×====(2)3=验证：3=×====同理可得：45，……通过上述探究你能猜测出： a=_______(a＞0)，并验证你的结论．解：a=验证：a====.总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力.【变式1】对于题目“化简求值：1a+2212aa+-，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同．甲的解答是：1a+2212aa+-=1a+21()aa-=1a+1a－a=2495aa-=知识点与讲义11乙的解答是：1a +2212a a+-=1a +21()a a -=1a +a －1a =a=15 谁的解答是错误的？为什么？跟踪练习21.1 二次根式： 1. 使式子4x -有意义的条件是 。
二次根式的混合运算
1 −1
2
应用练习
3.3 计算： − 2 × 6 +
3−2 −
1 −1
2
课 堂 小 结
−
− >0
− =0
绝对值的化简： − = ቐ 0
− − − <0
例题讲解四
4.计算： 12 −
1 −1
2
+
1
3−1
− − 3.14
0
+ 2 3−4
应用练习
4.1 计算：
2012 − 1
− − 2
0
+ −
1 −1
3
+ 3 − 12
课 堂 小 结
1. 完全平方公式： +
2
= 2 + 2 + 2 , (a − b)2 = 2 − 2 + 2
2. 平方差公式： + − = 2 − 2
课堂大总结
1.二次根式的混合运算依据：有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、
3.二次根式的除法法则： ÷ =
4.二次根式除法法则的逆用：
5.完全平方公式： +
2
≥ 0, > 0
= ÷ ≥ 0, > 0
= 2 + 2 + 2 , (a − b)2 = 2 − 2 + 2
6.平方差公式： + − = 2 − 2
应用练习
5.2
2
计算：
3
9 − 6
4
+
1
例题讲解六
6. 计算：
二次根式的乘除混合运算
(4)观察下列各式： 1 1 2 1，2 1 3 1，3 1 4 1，
3
3
4
4
5
5
........请你将发现的规律用含 自然数n（n 1)的等式表示出来 __________
反思： 通过这节练习课的练习，学生能够很好的掌握二次根式 的乘除混合运算，并且能够对分母是多项式的进行分母 有理化.
复习：整式的乘除混合运算的顺序是怎样进行的？ 整式的乘除混合运算的顺序从左至右进行，有括号的先算括号里面的.
例如：计算- 2a3b2 2 ab2Байду номын сангаас 4ab 5
问题：你知道二次根式的乘除混合运算的顺序是怎样进行的吗？ 知识点1：二次根式的乘除混合运算的顺序从左至右进行，有 括号的先算括号里面的.
计算
n n 1
(2)利用上面提供的解法化 简：
1 1 1 .......... 1
1
1 2 2 3 3 4
98 99 99 100
选择题：精心选一选，你会很开心！
（1）设 2 a, 3 b,用含a,b的式子表示 0.54，下列表示正确的是（
）
A.0.3ab
B.3ab
C.0.1ab2
(1) 45 3 1 3 5 52
(2) 4 18 2 8 1 54
3
3
(3) 2 b
ab5
6a b2
b ( 3 a2
a3b )
(4)2 ab ( 3 a2b 3 a ) 2
计算：
(1)3 3 1 3
(2) 3 6 2
(5)3 2 2 ( 1 15） 1 2
38
25
分母有理化的重要应用
二次根式的加减乘除混合运算
解：（1）（ 8+ 3） 6 （2）（4 2 3 6 ） 2 2
8 6+ 3 6 4 2 2 2 3 6 2 2
4 3+3 2 .
2 3 3. 2
（3）( 2 3)( 2 5).
解：（3）( 2 3)( 2 5)
此处类比“多项式×
（ 2）2 5 2+3 2 15
多项式”即 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+
(a+b)(a-b)=a2-b2
二次根 式混合 运算
乘法公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
化简 求值
化简已知条件和所求代数式
分母有理化
谢谢大家！
分配律
思考 ： 若把字母a,b,c,m都用二次根式来代替(每个同学 任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
探索新知
二次根式的混合运算 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运 算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则 等仍然适用.
例1 计算：
（1）（ 8+ 3） 6 ；（2）（4 2 3 6 ） 2 2；
解：(1)原式 6 3 3 3 3 6
3 3 . (2)原式 1+2 3 3 3
32.
归纳 有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对 值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
2、利用乘法公式进行二次根式的运算 （1） 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2; 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;
初中数学二次根式的运算(含解析)
初中数学二次根式的运算考试要求：重难点：1.(0)a≥的内涵，(0)a≥是一个非负数；2a=(0)a≥；a=(0)a≥ 及其运用．2.二次根式乘除法的规定及其运用．3.二次根式的加减运算．例题精讲：模块一二次根式的加减运算二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．二次根式加减法的实质是合并同类二次根式，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变．二次根式的加减法步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；（2）找出并合并同类二次根式．【例1】计算：（1）（2【难度】1星【解析】如果几个二次根式的被开方数相同，可以直接进行加减运算；如果所给的二次根式不是最简二次根式应该先化简，再进行加减运算．（1）(3=+；（2(2==+【答案】（1）；（2）．【巩固】485127-＝______．【难度】1星【解析】485127-7=5(14⨯⨯=-=-【答案】-【例2】计算：（1）（2【难度】1星【解析】先化简成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．（1）1132(41)242=⨯⨯⨯-+；（2=1443(212)99⨯⨯-+=【答案】（1（2【巩固】计算：（1） （2【难度】2星 【解析】（1）1(64)5=+=-+=（2）=1(22=--= 【答案】（1（2）．【例3】 如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也下滑1m ？【难度】1星【解析】如图所示，在RT ABC ∆中，由勾股定理，得BC = 当AC=8m时，6BC ==m ； 当AC=7m时，BC =，所以梯子的顶端下滑1m6 1.1≈m ．【答案】梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端不是下滑1m ，而是滑动1.1m ．模块二 二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，要注意几点： （1） 整式和分式的运算法则仍然适用．如CBA=== （2） 多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的．乘法公式：22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a b ab ±=+±．【例4】 计算：（1 （26x 【难度】1星【解析】（1）原式==（2）原式=23223⋅=-【答案】（1（2）-【例5】 计算：（1）2 （2）(2（3）22(2(2-+ （4）20112012(3(3-【难度】2星 【解析】（1）用完全平方公式；（2）逆用平方差公式；（3）用平方差公式；（4）逆用平方差公式．（1）2222184866=-⨯=-=-（2）(2=22[224(82484-+=-=-+=----（3）22(2(2-+(2224(==⨯-=- ；（4）20112012(3(320112011[(3(3(98)(33=-+=-+=+【答案】（1）66- （2）4--（3） -； （4）3+【巩固】（1） （2（3） （4）3ab （0,0a b ≥≥） 【难度】2星【解析】在二次根式的乘除法中，首先确定结果的符号，同时要注意指数和运算顺序，最后的结果必须化成最简二次根式．（1）2(1218624==++-=+；（21=；（3）(61834=⨯⨯⨯⨯；（4）3ab3ab a ==-【答案】（1）24+； （2）1； （3） （4）a -．【例6】 解方程或不等式:（1))11x x +>- （21+=【难度】2星【解析】解不等式时，在系数化为1时，要注意系数的正负．（1))11x x +>- （21x +=x >=x <x =13x <+ x =x【答案】（1）13x <+ （2．【巩固】已知1018222=++a a a a，求a 的值． 【难度】2星【解析】先化原方程中的二次根式为最简二次根式，然后按着解一般整式方程的步骤去解即可．10=10=2=a =【答案】a =模块三 二次根式的化简求值【例7】 （2008年西城二模）先化简，再求值：2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-，其中m =． 【难度】1星【解析】2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-21(2)(2)(1)(1)(1)(2)2(1)m m m m m m m m m --+=⋅⋅-+=+-+-22m m =--，当m 时，原式21-=【答案】1【例8】 （2009年西城二模）先化简，再求值222x y xyx y x y x y +++--，其中x =-，y =．【难度】1星【解析】222x y xyx y x y x y +++-- 222()()22()()()()()()()()()()()x x y y x y xy x xy y xy xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y-+-+++++=++===+-+-+-+-+--．当x =-y =时，原式15==．【答案】15【巩固】（2011年东城区一模）先化简，再求值：2232()111x x xx x x +÷---，其中1x =． 【难度】1星【解析】原式232132[]2(1)(1)111x x x x x x x x x x x --=-⨯=-=-+-++，当1x =时，原式1===-【答案】1【巩固】（2011年东城区二模）先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中x =． 【难度】2星 【解析】原式222441444x x x x x =+++---23x =- ．当x =时 ，原式227153344=-=-=⎝⎭．【答案】154总结：解此类题目时，一定要先化简再代入求值．【例9】已知x =，y =，求2y x x y ++的值．【难度】2星【解析】当分母中含有根号时，要先化简再求值．x ==231)+，y231)=-=， ∴2y xx y ++222(3336===+-=． 【答案】36【例10】 已知121x x +=，121x x ⋅=-，求12x x 的值． 【难度】3星【解析】12x x -==，12x x ∴-=22221111212221122()()22x x x x x x x x x x x x ⋅++-∴==⋅21212121212[()2][()()]2x x x x x x x x x x +-++-==．总结：该类题目直接将a ，b （或a ，b 化简后的结果）代入所求的式子中，计算都相对繁琐．在类似的题目中，要灵活的应用公式的变形，以便使计算过程大大的简化．【例11】2011++的值． 【难度】2星【解析】通过观察可以知道，先进行分母有理化，通过前几项的分母有理化发现，每一项的结果都是分母的后一项前去分母前一项，这样把每项展开，即可相加减，也就得出了结果． 原式1201211+-=-+【答案】1-+【例12】【巩固】2011+【难度】2星【解析】原式=2[1)(20122(12⨯---=-⨯-+=-【答案】2-总结：=利用这个公式解题．【例13】当a=，求代数式2963a aa-++-的值．【难度】2星【解析】原式=211(3)33(1)(1)a aaaa a aa a---+=-+---，2)212a a=-∴=-=<+原式=111333(1)(1)a aa a aa a a a a---+=-+=----，当a=时，原式= 2321+=．【答案】1【巩固】已知13a=-，12b=【难度】2星【解析】由题可知，0b a->，∴原式13a=-，12b=时，原式=115231622+==⨯．总结：在这类题目中，依然是对原题目进行化简，化简过程中出现了绝对值，此时应特别注意绝对值里面式子的正负，不能贸然的去掉绝对值符号．模块四二次根式的大小比较通过平方比较大小【例14】比较大小（1）1+（2）133-【难度】1星【解析】比较大小可以左右平方，比较平方数的大小，对于两个正数，平方大的就大；对于两个负数，平方大的反而小．（1）2(13=+23=，3223+>，1∴（2）2(10=，221101001(3)()113399-===，110119<，133-．【巩固】比较大小：【难度】1星【解析】略 【答案】>【巩固】实数-3-的大小关系是 ．（用“＞”表示） 【难度】1星【解析】通过比较平方数的大小来比较原数的大小．【答案】3->-．总结：在比较两个数或式子的大小时，如果只是数，可以平方之后再比较原数的大小；如果是式子且每个式子只含有一个根号时，可以采用平方法比较大小．通过做差比较大小【例15】 比较大小【难度】2星【解析】直接比较大小，无从入手，所以可以通过做差的方法比较大小．0=，<通过取倒数比较大小【例16】 比较大小（1 （2【难度】2星【解析】（1=====65+（2=2011+，【答案】（1<；（2<．总结：在比较两个式子的大小，且每一个式子都含有两个二次根式，可以通过取倒数比较大小．由上题我模块五 非负数性质的综合应用0≥且0a ≥，以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是中考中必考的三个非负性．【例17】 2(4)0y -=，则y x 的值等于 ． 【难度】1星【解析】对二次根式和平方非负性的直接考察． 【答案】1【例18】 如果2y =，则2x y += ． 【难度】1星【解析】对二次根式非负性的直接考察． 解：注意到230320x x -≥-≥，， 0230230x x ∴≤-≤-=， 232x y ∴==， 25x y ∴+=． 【答案】5【例19】 当x【难度】1星【解析】因为二次根式的被开方数大于或等于零，所以222012x x x≥-+．因为x >，．【巩固】已知0a <的值．【难度】2星【解析】原式= （*）因为21()0a a --≥但21()0a a --≤故只有21()0a a --=即1a a=又0a <，所以1a =- 代入（*）得：原式=2-． 【答案】2-【例20】 已知实数x ，y ，z满足2144104x y z z -+-+=，求2()x z y +⋅的值． 【难度】2星【解析】对绝对值、二次根式和平方非负性的考察．原式可化为1441()02x y z -+-=，441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪∴+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩22111()()()0224x z y ∴+⋅=-+⨯-=．【答案】0【巩固】已知实数a ，b ，c满足212102a b c c -+-+=，求()a b c +【难度】2星【解析】略【答案】14-课堂检测：【练习1】下列计算正确的是（ ）A B C D【难度】1星【解析】考察二次根式的运算．【答案】A【练习22得（ ）．A 2B C D【难度】1星【解析】 因为230x -≥，23232x x ≥=-，，所以210|21|21x x x ->-=-221(23)2x x =---=．故选A ．【答案】A【练习3化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值．【难度】2星【解析】这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间．但要注意x 的取值范围是2x >．原式===2,x >∴取4x =，原式＝2．【答案】2（合理即可）【练习4】设22a b c==-=＝，则a，b，c的大小关系是（）A a b c>>B a c b>> C c b a>> D b c a>>【难度】2星【解析】1a===，同理1122b c=220>>，所以1110,c b ac b a>>><<．故选A．【答案】A【练习53x=+，求11xy++的值．【难度】2星【解析】考察的是非负性，同时也对分式进行了考察．3x=+，2309030x yxx-=⎧⎪∴-=⎨⎪+≠⎩，解得31xy=⎧⎨=⎩，1312111xy++∴==++．【答案】2课后作业：1.化简时，==，乙的解法：==，以下判断正确的是（）．A 甲的解法正确，乙的解法不正确B 甲的解法不正确，乙的解法正确C 甲、乙的解法都正确D 甲、乙的解法都不正确【难度】2星【解析】甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化，乙是利用3=进行约分，所以二人都是正确的，故选C ．【答案】C2. 计算：（1）（2） 【难度】1星【解析】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应“先化简——再判断——最后合并”．（1）原式=1121023⎛⎛=+-- ⎝⎝= （2）原式=2a b b a b =⎛=- -⎝= 【答案】（1（23.化简 【难度】1星 【解析】初看此题像没有给出化简条件，但充分发掘隐含条件，由二次根式的定义可知10a->，即．故用分母有理化化简的第三步中1a 应为1a -． 原式1a a a a ===⋅=- 【答案】4.已知x=，y=222)x xy y x y+++-的值．【难度】２星【解析】x=2)2==2222)())x xy y x y x y x y∴+++-=++-，把x y==代入得原式=2402416=-=．【答案】165.请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值．÷【难度】２星【解析】原式====当2x=时，原式=当3x=时，原式=．2x=时，原式=3x=时，原式=．6.=a、x、y是两两不同的实数，求22223x xy yx xy y+--+的值．【难度】3星【解析】由题可知，()0()0a x aa y ax aa y-≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩，解得x aaa ya≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≤⎩，0a∴=，此时，原式变为0,x y=-把x y=-代入有222222222222222233()()3()()3x xy y y y y y y y y yx xy y y y y y y y y y+--+----∴===-+---+++，a、x、y是两两不同的实数，0y∴≠，原式13=．【答案】13。
二次根式的乘除(课件)八年级数学下册(苏科版)
2h
.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高
10
空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解:由题意得
t2
t1
2 100
10 20 2.
10
2 50
10
课堂练习
1.化简
A．9
18 2 的结果是（ B ）
B．3
C． 3 2
D．
2 3
2.下列根式中，最简二次根式是（ C ）
注意：被开方数 a，b 既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非
负的．
典型例题
例1 计算：
1
3 5；
2
1
27.
3
解： 1 3 5= 3 5= 15；
2
1
1
27 = 27 = 9=3.
3
3
提示：
两个二次根式相乘，把被开方数
相乘，根指数不变.即：
a b ab (a≥0，b≥0)
7
7
5
× × ＝
2²×2×5
2 10
＝
．
5×5
5
8
5
探究新知
二次根式的乘除混合运算中的四点注意：
（1）带分数要化成假分数；
（2）要注意确定最后结果的符号；
（3）最后结果一般要化为最简二次根式或整式；
（4）在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用．
05
二次根式乘除法的应用
典型例题
例题9. 一个长方形的长和宽分别是 10 和2 2 .求这个
可以发现这些数不能再化简，这些数有两个特点：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
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第三课时 二次根式的乘除混合运算
学习目标 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 温故知新、知识链接
计算：（1）=53
(2）=272
3 （3）=a 28
自主学习、新知探究
1．观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
(1)．被开方数不含分母；
(2)．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2.下列二次根式①30②21③32④2a 3⑤28x ⑥4b ⑦22y x +⑧2)(y x +中最简二次根式有 （填序号）
3．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h 1km ，h 2km ，•那么它们的传播半径的比是_________．
那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．
4.化简：(1) 1253
(2) 2442y x y x + (3) 328y x
研讨交流、 答疑解惑
观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 121212)12)(12(1211
21
-=--=-+-⨯=+）（ 232323)23)(23(2312
31-=--=-+-⨯=+）（
同理可得：34341
-=+，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
））（（12002200120021
341
231
121
+++⋅⋅⋅++++++的值．
总结反思、拓展延伸
（1）．重点：如何将一个二次根式化成最简二次根式。
（2）．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 课堂练习
1．将y
x 化为最简二次根式是（ ） A ．y
x B ．xy C ．y xy D ．以上都不对 2．化简272
3-的结果是（ ）
A ．-32
B ．-3
2 C ．-36 D ．3．化简=+224y x x ．
4．2
1a a a +-化简二次根式后的结果是 ． 5．把11)1(--
-a a 中根号外的（a-1）移入根号内得 ． 6．化简：)0(2223<<+--a b a
b a ab b a b a
7．若x 、y 为实数，且y=2
14422++-+-x x x ，求y x y x -⋅+的值．
8．（1）65027÷⨯ （2）a b a b a ab 121322÷⋅。