【教学设计】2.6.应用一元二次方程(第一课时)教学设计(北师大版九年级数学上册)

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2.6应用一元二次方程(第1课时)-北师大版九年级数学上册教教案

2.6 应用一元二次方程（第1课时）- 北师大版九年级数学上册教教案教学目标1.理解一元二次方程的概念和性质。

2.掌握应用一元二次方程解决实际问题的方法。

3.提高学生解决实际问题的思维能力和应用数学知识的能力。

教学内容1.一元二次方程的概念和性质。

2.应用一元二次方程解决实际问题的方法。

教学重点1.理解一元二次方程的概念和性质。

2.掌握应用一元二次方程解决实际问题的方法。

教学难点1.解决实际问题时，转化问题为一元二次方程的能力。

教学准备1.教师准备：课件、教案、黑板、白板、多媒体设备。

2.学生准备：课本、笔、纸。

1. 导入新知•教师通过引导学生回顾一元一次方程的解法，让学生回答两元一次方程的解法。

2. 引入新概念•教师引入一元二次方程的概念，告诉学生一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0，其中a eq0，x是未知数。

•教师解释方程中的系数a、b、c的含义，比较一元二次方程和一元一次方程的区别。

•教师给出一些一元二次方程的例子，让学生观察并总结规律。

3. 解一元二次方程•教师介绍解一元二次方程的方法。

首先，可以尝试因式分解法；如果无法因式分解，可以使用求根公式。

•教师通过例题演示两种解法的步骤和思路。

4. 应用一元二次方程解实际问题•教师给出一些实际问题，引导学生把问题转化为一元二次方程，并解决问题。

•学生进行小组活动，在小组内相互讨论和解决问题。

5. 练习•教师布置练习题，让学生独立完成，然后进行讲评。

6. 总结•教师总结本节课的内容和方法，强化学生对一元二次方程概念和解法的理解。

1.学生可以自行查找更多一元二次方程的应用问题，并尝试解决。

2.学生可以通过编写一元二次方程的计算机程序来加深对一元二次方程的理解。

课后作业1.完成课后习题，对本节课的知识进行复习和巩固。

2.分析一些实际问题，并尝试将其转化为一元二次方程，解决问题。

参考资料1.《北师大版九年级数学上册》2.《数学教育课程标准》。

九年级数学上册2.6应用一元二次方程第1课时教学课件新版北师大版

例题分析
例1 如图：某海军基地位于A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。小岛F位于 BC中点。一艘军舰从A出发，经B到 C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。
x2 1002 300 2x2 .
A
北
整理,得3x2 1200x 100000 0.
东
解这个方程, 得
D
x1
200
100 3
6
118.4,
BE F
C
x2
200 100 3
6 不合题意,舍去.
相遇时补给船大约航行了118.4海里.
新课讲解
《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何。”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3 。乙一直向东走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲、乙各走了多远？
DF CF, 2DF CD.
A
DF CF 2 CD
2
2 100 2 100海里.
D
2
小岛D和小岛F相距100海里. B E F
北东
C
例题分析
设相遇时补给船航行了x海里,则DE=x海里,AB+BE=2x海
里,EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)海里.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
新课引入
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是 :

应用一元二次方程题教学设计北师大版数学九年级上册

2.一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手。这次会议到会的人数是多少？
第三环节：练一练，巩固新知
2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
分析：本题的主要等量关系：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元
巩固练习：
1.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
XXXXX中学后“茶馆式”教学设计
学科
数学
课题
2.6.2 应用一元二次方程
课型
新课
主备人
上课人
上课时间
教材分析
本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。
（利润问题）
1审清题意
2设未知数
3找等量关系
4列一元二次方程
5解方程
6作答
作业设计
习题2.9 2题、3题、4题（可勾选）

初中数学北师大版九年级上册《26应用一元二次方程(1)》教学设计

北师大版数学九年级上 2.6 应用一元二次方程（1）教学设计同学们，这些天我们学习了一元二次方程的相关知识，下面请回答：问题：还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？如图,一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米？提示：如果设梯子底端滑动x m ，那么你能列出怎样的方程？解：(x +6)2+72=10212651,651x x =-+=--（舍）（1）在这个问题中，梯子顶端下滑1m 时，梯子底端滑动的距离大于1m ，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？解：设梯子顶端下滑x 米时，顶端滑动距离与梯子底端滑动的距离相等.梯子底端原来离墙的距离：例1：如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile 处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C．小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点．一艘军舰从A出发，经B到C 匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1 n mile）解：连接DF．∵AD=CD，BF=CF，∴DF是△ABC的中位线.解：设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行AB=3x，甲共行AC+BC=7x，∵AC=10，∴BC=7x−10，又∵∠A=90°，∴BC2=AC2+AB2，∴(7x−10)2=102+(3x)2，∴x=0(舍去)或x=3.5，∴AB=3x=10.5，AC+BC=7x=24.5，答：甲走了24.5步，乙走了10.5步.1．如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为()A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米答案：A2．在一块长为35m，宽为26m的矩形绿地上有宽度相同的两条路，如图所示，其中绿地面积为850m2，求小路的宽．解：设小路的宽为x m，则(26－x)(35－x)＝850，x2－61x＋60＝0，解得：x1＝1，x2＝60(舍去)．答：小路的宽为1m.3．如图是由三个边长分别为6，9和x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是()A．1或9B．3或5C．4或6D．3或6答案：D某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价。

北师大版九年级上册数学 2.6.应用一元二次方程(第一课时)教学设计

第二章一元二次方程6．应用一元二次方程（一）一、学生知识状况分析学生已经学习了一元二次方程及其解法，对于方程的解及解方程并不陌生，对于实际问题的应用，虽然在七、八年级学生已经进行了有关的训练，但还是有一定的难度。

由于本节内容针对的学习者是九年级上学期的学生，已经具备了一定的生活经验和初步的解一元二次方程的经验，乐意并能够与同伴进行合作交流。

二、教学任务分析本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。

但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。

因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。

显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。

为此，本节课的教学目标是：知识目标：通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。

三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固，情境导入；第二环节：做一做，探索新知；第三环节：练一练，巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。

第一环节；回忆巩固，情境导入活动内容：提出问题：还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？①在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？②如果梯子长度是13米，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？分组讨论：①怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理来列方程？②涉及到解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少。

北师大课标版初中数学九年级上册第二章2.6应用一元二次方程教学设计

北师大课标版初中数学九年级上册第二章2.6应用一元二次方程教学设计500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?二、探索新知1、问题3分析：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x 元，•则每件平均利润应是（0.3-x ）元，总件数应是（500+0.1x ×100）解：设每张贺年卡应降价x 元，则（0.3-x ）（500+1000.1x ）=120 解得：x=0.1 答：每张贺年卡应降价0.1元．2、例2：2019年4月30日，龙泉山旅游度假区正式对外开放后，经过试验发现每天的门票收益与门票价格成一定关系.门票为40元/人时，平均每天来的人数380人，当门票每增加1元，平均每天就减少2人。

要使每天的门票收入达到24000元，门票的价格应定多少元？教师活动：组织学生讨论：（1）指导学生理解问题，着重理解门票每增加一元，平均每天就减少2人的含义.（2）引导学生设什么为x 才好？设门票增加了x 元.（3）指导学生用x 表示其他相关量.增加后的门票价格为（40+x)元，平均每天来的人数为（380-2x)人.（4）指导学生列方程、解方程，并进行检验.并请每位同学自己进行检验两根发现什么？（x+40）(380-2x)=24000, 解得x 1=40,x 2=110. 经经验，x 1=40,x 2=110都是方程的解，且符合题意. 答：门票的价格定为80元或150元时，每天的门票收入都能达到24000元.学生活动：合作交流，讨论解答。

【设计意图】使学生充分体会变化率问题的数量关系，掌握两种及以上对象的变化的解题方法，进一步提升学生对这类问题的解题能力。

三、拓展训练某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的关系式．（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg ．（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过1000040=250kg ，在这个提前下，•求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．解：（1）销售量 500-5×10=450（kg ）；销售利润 450×（55-40）=450×15=6750元（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000解得：x1=80，x2=60当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．四、小结通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？本节课应掌握什么？五、作业：教材P53，第7题．。

2.6《应用一元二次方程第1课时》北师大版九年级数学上册教案

第二章一元二次方程6 应用一元二次方程第1课时一、教学目标1.利用一元二次方程解决简单的行程问题和几何问题.2.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程.3.在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的般步骤.4.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力.二、教学重难点重点：利用一元二次方程解决简单的行程问题和几何问题.难点：分析具体问题中的数量关系、建立方程模型解决问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一知识回顾【复习回顾】教师活动：学生已学过列一元一次方程解应用题，通过想一想环节让学生说出列方程解应用题的一般步骤，再选用“梯子下滑”的问题作为情境，引入新课的学习.想一想：列方程解应用题的一般步骤是什么？预设：①审：审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；②设：设未知数，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种；③列：根据题中的等量关系列方程；④解：求出所列方程的解；思考并举手回答.复习回顾已学知识，并为新课的学习做准备.⑤验：“检验”，即验证是否符合题意；⑥答：回答题目中要解决的问题.【情境导入】你还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？原题：如图，一个长为10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？(1) 在这个问题中，梯子顶端下滑1 米时，梯子底端滑动的距离大于 1 米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？预设：设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米.(8-x)2+(6+x)2 =102.x2-2x = 0.x1= 0(舍)，x2 = 2.因此，梯子底端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等.(2) 如果梯子长度是13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？预设：尝试列方程，独立解决选用“梯子下滑”的问题作为情境，引入用一元二次方程解决实际问题的内容.设梯子顶端下滑x 米，底端滑动x米.(12-x)2+(5+x)2 =132.x2-7x = 0.x1= 0(舍)，x2= 7.因此，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离相等为7m.环节二典例探究【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例1如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向200 n mile 处有一重要目标B，在 B 的正东方向200 n mile 处有一重要目标C.小岛D 位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F 位于BC 中点.一艘军舰从 A 出发，经 B到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于点E，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1 nmile）分析：明确例题的做法在例题的教学中，引导学生关注列方程解应用题的三个重要环节：其一是整体(1)要求DE 的长，需要如何设未知数？预设：一般求什么设什么，可设DE的长为x n mile.(2)怎样建立含DE 未知数的等量关系？预设：根据已知条件，可考虑利用勾股定理建立等量关系.(3)利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？预设：连接DF，由三角形中位线得AB∥DF，从而DF⊥EF，构造出Rt△DEF.(4)构造出Rt△DEF 后，三条边长DE，DF，EF 分别是多少？预设：DF=100 n mile，DE=x n mile，EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x) n mile.解：连接DF.∵AD = CD，BF = CF，∴DF是△ABC的中位线.∴DF∥AB，且DF =12AB.∵AB⊥BC，AB=BC= 200 n mile，∴DF⊥BC，DF = 100 n mile，BF = 100 n mile.设相遇时补给船航行了x n mile，那么DE = x nmile，AB + BE = 2x n mile，地、系统地弄懂题意；其二是把握问题中的等量关系；其三是正确求解方程并检验解的合理性.EF = AB + BF -(AB + BE)=(300-2x) n mile.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2 = 1002 + (300-2x)2，整理，得3x2 -1200x + 100 000 = 0.解这个方程，得x1=200-10063≈118.4,x2=200+10063(不合题意）.所以，相遇时补给船大约航行了118.4 n mile.例2 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64cm2？分析：设t秒后五边形APQCD的面积为64cm2，则AP=t cm，BQ=2t cm，所以PB=(6-t)cm由S五边形APQCD =S矩形ABCD- S△PBQ，可得：64 = 6×12 - 2t(6-t) ÷2.从而求得满足条件的解即可.解：设t秒后五边形APQCD的面积为64cm2，根据题意，得64=6×12-2t(6-t) ÷2整理得t2- 6t+8 = 0.解方程，得t1= 2 ，t2 =4 .因此，在第2秒和第4秒时五边形的面积都是64cm2. 尝试用式子表示边的关系，并找到等量关系环节三总结归纳【方法归纳】通过上述两个例题，让学生先独立思考，然后再小组交流探讨，列一元二次方程解实际问题的一般步骤.想一想：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？注意：在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求.独立思考，交流讨论明确列一元二次方程解决实际问题的步骤，培养学生的总结概括能力.环节四巩固练习教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为 3.乙一直向东走，甲先向南走了10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远？2.有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？3.如图：在Rt△ACB中，∠C = 90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是 1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？自主完成练习，然后集体交流评价.通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.4.如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78 m 2，上口比渠底宽 0.6 m ，渠深比渠底少 0.4 m ，求渠深.答案：1.解：如图所示，甲、乙二人同时从点O 出发，在点B 处相遇.设甲乙两人走的时间为x ，则甲走的路程为3x ，乙走的路程为7x ，依题意得：102+(3x )2=(7x -10)2解得：x 1＝72，x 2＝0(舍去)所以，相遇时，甲走了10.5步，乙走了24.5步.2.解: 设较多的钱为 x ，则较少的为20-x .由题意，可得 x (20- x )＝96，解得 x 1＝12，x 2＝8 (舍去)．所以，赛义德得到的钱数为12.3.解: 设经过 t s ，△PCQ 面积为 Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得12(8－t )(6－t )＝12×6×8×12 ，解方程，得 t 1＝2，t 2＝12 (舍去)．所以，2s 后△PCQ 面积为Rt △ACB 面积的一半．4.解：设渠深为 x m ，则渠底为 (x ＋0.4) m ．S ＝12[(x ＋0.4＋0.6＋x ＋0.4)]x ＝ 0.78，解得 x 1＝－1.3(舍去)，x 2＝0.6．所以，渠深 0.6 m ．环节五课堂小结思维导图的形式呈现本节课的主要内容：学生尝试归纳总结本节所学内容及收获.回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.环节六布置作业教科书第55页习题2.9 第4题.学生课后自主完成.加深认识，深化提高.。

北师大版九年级上册2.6应用一元二次方程(教案)

实践活动和小组讨论环节，学生们积极参与，展示了良好的团队协作能力和问题解决能力。但在讨论过程中，我也发现有些学生过于依赖同伴，自己的思考不够深入。针对这一问题，我计划在接下来的课程中加强引导，鼓励学生们独立思考，提高他们的批判性思维能力。
此外，在课堂总结环节，我强调了掌握一元二次方程的重要性，并提醒学生们遇到疑问时要主动提问。然而，我也意识到在课堂上，对于一些学生提出的疑问，我的解答可能还不够详细和耐心。为了提高教学效果，我决定在课后抽出更多时间，针对学生的疑问进行一对一辅导，确保他们真正理解并掌握一元二次方程的应用。
b.在求解一元二次方程时，选择合适的方法。学生需要根据方程的特点，灵活选用ห้องสมุดไป่ตู้方法、公式法或因式分解法求解；
c.将数学解答还原为实际问题的答案。学生在求出数学解答后，需要将其与实际问题相结合，得出合理的实际意义。
-举例：在解决几何中的面积和长度问题时，学生需要理解几何图形之间的相互关系，找到对应的数量关系，建立一元二次方程。此外，在求解过程中，学生可能对如何选择合适的求解方法感到困惑，需要教师在教学中给予指导。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，它可以帮助我们解决许多实际问题。它在物理学、几何学、经济学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析案例，了解一元二次方程在实际问题中的建立和求解过程。
b.熟练运用配方法、公式法及因式分解法求解一元二次方程；
c.能够将实际问题转化为数学问题，进而解决问题。
-举例：在解决物理中的匀加速直线运动问题时，学生需要根据速度、时间和位移之间的关系建立一元二次方程，然后运用所学求解方法解决问题。

北师大初中数学九上《26应用一元二次方程》word教案(2)

2.6 应用一元二次方程教学目标：知识技能目标通过探索，学会解决有关增长率的问题. 过程性目标经历探索过程，培养合作学习的意识，体会数学与实际生活的联系.情感态度目标通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.重点和难点：重点：列一元二次方程解决实际问题.难点：寻找实际问题中的相等关系.教学过程：一、创设情境我们经常从电视新闻中听到或看到有关增长率的问题，例如今年我市人均收入Q 元，比去年同期增长x %；环境污染比去年降低y %；某厂预计两年后使生产总值翻一番……由此我们可以看出，增长率问题无处不在，无时不有，这节课我们就一起来探索增长率问题．二、探究归纳分析翻一番，即为原净收入的2倍.若设原值为1，那么两年后的值就是2．解设原值为1，平均年增长率为x ,则根据题意得2)1(12=+⨯x解这个方程得 12,1221--=-=x x ．因为122--=x 不合题意舍去，所以%4.4112≈-=x ．答这两年的平均增长率约为41.4%．例2 为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵.已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级每年植树数的平均增长率.（精确到0.1%）分析至今已成活2000棵，指的是连续三年春季上山植树的总和.解设这个年级每年植树数的平均增长率为x ，则第二年种了400(1+x )棵；第三年种了400(1+x )2棵；三年一共种了400＋400(1+x )＋400(1+x )2棵；三年一共成活了[400＋400(1+x )＋400(1+x )2]×95％棵.根据题意列方程得[400＋400(1+x )＋400(1+x )2]×95％＝2000解这个方程得x 1≈0.624=62.4%x 2≈-3.624=-362.4%但x 2=-362.4%不合题意，舍去，所以x =62.4%．答这个年级每年植树数的平均增长率为62.4% .课堂练习1.某工厂准备在两年内使产值翻一番，求平均每年增长的百分率．（精确到0. 1%）三、交流反思这节棵学习了两个有关增长率的问题，通过探索，掌握了增长率问题的解题方法，学会了解相同增长率和不同增长率的问题.四、检测反馈五、布置作业习题2.10。

北师大版九年级数学上册教案：应用一元二次方程

2.6 应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题1．经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程．2．在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤．(重点)3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．(重点)阅读教材P52～53，完成下列问题：(一)知识探究1．列方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的相等关系；(2)“设”：设元，也就是设________；(3)“________”：列方程，找出题中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程；(4)“解”：求出所列方程的________；(5)“验”检验方程的解能否保证实际问题________；(6)“答”：就是写出答案．2．解决与几何图形有关的一元二次方程的应用题时，关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后用几何原理来寻找它们之间的关系，从而列出有关的一元二次方程，使问题得以解决．(二)自学反馈要为一幅长29 cm ，宽22 cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？利用一元二次方程解决实际问题的关键是寻找等量关系，此题是利用矩形的面积公式作为相等关系列方程．活动1 小组讨论例如图，某海军基地位于A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标B ，在B 的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D 位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F 位于BC 的中点．一艘军舰从A 出发，经B 到C 匀速巡航，一艘补给船同时从D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)解：连接DF.∵AD ＝CD ，BF ＝CF ，∴DF 是△ABC 的中位线．∴DF ∥AB ，且DF ＝12AB. ∵AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝200海里，∴DF ⊥BC ，DF ＝100海里，BF ＝100海里．设相遇时补给船航行x 海里，那么DE ＝x 海里，AB ＋BE ＝2x 海里，EF ＝AB ＋BF －(AB ＋BE)＝(300－2x)海里．在Rt △DEF 中，根据勾股定理可得x 2＝1002＋(300－2x)2，整理，得3x 2－1 200x ＋100 000＝0.解这个方程，得x 1＝200－10063≈118.4，x 2＝200＋10063(不合题意，舍去)．所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里．解本题的关键是找到等量关系，利用勾股定理列方程求解．活动2 跟踪训练 1．从正方形铁片上截去2 cm 宽的一条长方形，余下的矩形的面积是48 cm 2，则原来的正方形铁片的面积是( )A ．8 cmB ．64 cmC ．8 cm 2D ．64 cm 22．将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m ，另一边减少了3 m ，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )A ．7 mB ．8 mC ．9 mD ．10 m3．用一根长40 cm 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm 2.(1)求此长方形的宽是多少？(2)能围成一个面积为101 cm 2的长方形吗？如果能，说明围法．4．如图，某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与AB平行，另一条与AD 平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积都是144 m 2，求马路的宽．这类修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形．活动3 课堂小结用一元二次方程解决的特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程．【预习导学】(一)知识探究1．(2)未知数 (3)列 (4)解 (5)有意义(二)自学反馈设镜框边的宽度为x cm ，则有(29＋2x)(22＋2x)＝(14＋1)×(29×22)，即4x 2＋102x －159.5＝0，解得x 1＝1.48，. 【合作探究】活动2 跟踪训练1．D 2.A 3.(1)设此长方形的宽为.根据题意，得x(20－x)＝75，解得x 1＝5，.(2)不能．理由：由题意，得x(20－x)＝101，即x 2－20x ＋101＝0.∵Δ＝202－4×101＝－4＜0，∴此方程无实数解，故不能围成一个面积为101 cm2的长方形．4．假设三条马路修在如图所示位置．设马路宽为x ，则有(40－2x)(26－x)＝144×6，化简，得x 2－46x ＋88＝0，解得x 1＝2，x 2＝44.由题意，知40－2x ＞0，26－x ＞0，则x ＜20.故x 2＝44不合题意，应舍去，∴．第2课时利用一元二次方程解决营销问题会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题．(重点)阅读教材P54～55，完成下列问题： (一)知识探究 1．单件商品利润＝________－________.2．利润率＝利润进价＝售价－进价进价. 3．售价＝进价×(1＋________)4．总利润＝每件商品的________×商品的________．(二)自学反馈某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件．如果每天盈利1 600元，每件应降价多少元？活动1 小组讨论例新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元．调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元？分析：本题的主要等量关系是：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5 000元．如果设每台冰箱降价x 元，那么每台冰箱的定价就是(2 900－x)元，每台冰箱的销售利润为(2 900－x －2 500)元，平均每天销售冰箱的数量为(8＋4×x 50)台．这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决．解：设每台冰箱降价x 元，根据题意，得(2 900－x －2 500)(8＋4×x 50)＝5 000. 解这个方程，得x 1＝x 2＝150.2 900－150＝2 750.所以，每台冰箱应定价为2 750元．利用一元二次方程解决实际问题时，要根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．活动2 跟踪训练1．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6 125元，每件商品应降价( )A ．3元B ．2.5元C ．2元D ．5元2．某县为大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造和更新.县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为( )A ．20%或－220%B ．40%C ．－220%D ．20%3．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价________元时，商场日盈利可达到2 100元．4．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？活动3 课堂小结找准题目中的等量关系，会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题．【预习导学】(一)知识探究1．售价进价 3.利润率 4.利润销量(二)自学反馈设每件应降价x元，根据题意，得(44－x)(20＋5x)＝1 600.整理得x2－40x＋144＝0.解这个方程，得x1＝4，x2＝36(不合题意，舍去)．答：每件服装应降价4元．【合作探究】活动2跟踪训练1．B 2.D 3.204．设每件降价x元，则每件销售价为(60－x)元，每星期销量为(300＋20x)件，根据题意，得(60－x－40)(300＋20x)＝6 080，解得x1＝1，x2＝4.因为在顾客得实惠的前提下进行降价，所以取x＝4.所以定价为60－x＝56(元)．答：应将销售单价定为56元．。

北师大版九年级数学上册2.6应用一元二次方程教案

第二章一元二次方程2. 6 应用一元二次方程本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务.但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力.因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成.显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力.1.通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程.2.经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；3.在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力.【教学重点】能够利用一元二次方程解决有关实际问题.【教学难点】分析和建模的过程.课件.一、复习回顾（一）回忆：用配方法解一元二次方程的步骤:1. 化1:把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系数）;2. 移项:把常数项移到方程的右边;3. 配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;◆教学重难点◆◆教学目标◆教材分析◆课前准备◆◆教学过程4. 变形:方程左边配方,右边合并同类项;5. 开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6. 求解:解一元一次方程;7. 定解:写出原方程的解.（二）一般地,对于一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a≠0）240,:b ac -≥当时它的根是)2402b x b ac a -±=-≥。

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.二、合作交流，探究新知（一）认识黄金分割如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果,AC BC AB AC=那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比称为黄金比.其实,黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊线段AB,AC 和BC.其中线段AC 是线段AB 和线段BC 的比例中项,也可写成AC 2=AB ·BC.,20.6181AC BC AB AC ==≈学习一元二次方程之后我们可以求得如何求得黄金分割？2:,AC CB AC AB CB AB AC==⋅解由得 1,,1AB AC x CB x ===-设则()211,x x ∴=⨯-210x x +-=即,解这个方程得12x -±∴=1215215(,)x x -+∴=--=不合题意舍去 150.618AC AB -+∴=≈黄金比。

北师大版九年级上册6应用一元二次方程课程设计

北师大版九年级上册6应用一元二次方程课程设计一、课程目标本节课旨在帮助学生掌握一元二次方程的概念、方法和应用，特别是几何问题的解法，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和思维方法。

二、教学内容1. 一元二次方程的基本概念和表示方法•定义一元二次方程及其特征；•掌握二次项系数、一次项系数和常数项的含义和作用；•理解一元二次方程与二次函数的关系。

2. 一元二次方程求解的基本方法•掌握利用因式分解、配方法、公式法等方法求解一元二次方程的基本步骤；•理解求解过程中各种变形的合理性和操作技巧。

3. 应用一元二次方程解决实际问题•了解一元二次方程在几何问题中的应用；•掌握利用一元二次方程解决实际问题的方法和技巧。

三、教学重点•掌握一元二次方程的基本概念和表示方法；•掌握一元二次方程求解的基本方法；•掌握应用一元二次方程解决实际问题的方法和技巧。

四、教学难点•理解一元二次方程与二次函数的关系；•理解求解过程中各种变形的合理性和操作技巧；•掌握应用一元二次方程解决实际问题的方法和技巧。

五、教学方法本节课采用讲授、演示和练习相结合的方法，以启发式教学为主，注重培养学生的思维能力和解决实际问题的能力。

六、教学过程设计1. 导入（5分钟）为了让学生更好地理解一元二次方程，教师可先引导学生回顾一些基础概念和公式，如平方、平方根、求两点间距离等，以便为后续教学做好铺垫。

2. 授课（40分钟）（1）一元二次方程的基本概念和表示方法教师通过幻灯片和板书讲解一元二次方程的定义、特征、一次项系数、二次项系数和常数项的含义，并结合实例进行讲解。

（2）一元二次方程求解的基本方法教师讲解三种基本方法：因式分解法、配方法和公式法，并让学生通过实例模拟演算，进一步加深理解。

（3）应用一元二次方程解决实际问题教师讲解一些经典的几何问题，如长方形的周长和面积、正方形的对角线长度、三角形的面积等，通过建方程和求解，让学生体会到数学在实际问题中的威力。

2.6应用一元二次方程(第1课时)-北师大版九年级数学上册教说课稿

2.6 应用一元二次方程（第1课时）- 北师大版九年级数学上册教说课稿1. 引言本说课稿是针对北师大版九年级数学上册第2.6课时的教学内容进行讲述。

本课时的主要内容是应用一元二次方程，通过实际问题的分析和解决，培养学生运用一元二次方程解决实际问题的能力。

2. 教学目标•知识与能力目标：掌握一元二次方程在实际问题中的应用方法，能够运用一元二次方程解决实际问题。

•过程与方法目标：通过引导学生合作探究、自主学习的方式，培养学生的发现和解决问题的能力。

•情感态度价值观目标：培养学生的数学兴趣，提高学生的数学学习能力和解决实际问题的能力。

3. 教学准备•板书准备：预先准备好板书，包括本课的标题和重点内容。

•教具准备：课本、笔记本、黑板、粉笔、计算器等。

4. 教学过程步骤一：引入新课1.引导学生回顾一元二次方程的定义和基本概念，并提醒学生一元二次方程的解法。

2.提出一个实际问题：一个矩形的长是宽的3倍，周长为28米，请问这个矩形的长和宽各是多少？并引导学生思考如何用一元二次方程解决这个问题。

步骤二：小组探究1.将学生分为小组，每个小组由3-4名学生组成。

2.每个小组从课本上选取一个应用一元二次方程解决实际问题的例子，并让小组成员在讨论中尝试解决问题。

3.每个小组选派一名代表，向全班介绍所选题目，并阐述他们的解题思路。

步骤三：整合讨论1.引导学生对各组解题思路进行讨论和比较。

2.汇总各小组的解题思路，并引导学生发现其中的共性和特点。

3.通过整合讨论的过程，引导学生总结出应用一元二次方程解决实际问题的一般方法。

步骤四：讲解解题方法1.通过引导学生总结，讲解应用一元二次方程解决实际问题的一般步骤。

2.结合具体例子，逐步讲解如何将实际问题转化为一元二次方程，并解答学生关于解题过程中的疑惑。

步骤五：练习和拓展1.提供一些练习题给学生进行课堂练习，巩固所学内容。

2.鼓励学生尝试更复杂的实际问题，并引导他们运用所学知识解决。

2.6 应用一元二次方程(一) 教学设计 2022—2023学年北师大版数学九年级上册

2.6 应用一元二次方程（一）教学设计一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够： 1. 掌握一元二次方程的基本概念及解法；2. 理解一元二次方程在实际问题中的应用，并能够解决相关问题；3. 发展数学建模和解决实际问题的能力。

二、教学内容本节课主要教学内容包括： 1. 一元二次方程的基本概念回顾； 2. 讨论一元二次方程在实际问题中的应用； 3. 解答一元二次方程应用题。

三、教学重点1.掌握一元二次方程在实际问题中的应用方法；2.解决一元二次方程应用题的能力。

四、教学方法本节课将采用以下教学方法： 1. 合作探究：学生以小组形式共同探究一元二次方程在实际问题中的应用方法； 2. 案例分析：通过分析实际问题的案例，引发学生思考和讨论。

五、教学过程1. 导入新知教师通过一个生活中的实际问题引入本节课的学习内容。

例如，教师可以提出以下问题：“小明在打篮球比赛中发现，他射门得分的概率可以用一元二次方程来表示，请问一元二次方程在这个问题中的应用是什么？”2. 导入课堂讨论学生以小组形式讨论并回答教师提出的问题。

教师引导学生思考一元二次方程在该问题中的应用方法，并鼓励学生积极参与讨论，共同探索。

3. 学习新知教师介绍一元二次方程的基本概念，并回顾一元二次方程的解法。

教师通过示例和解题过程，讲解一元二次方程在实际问题中的应用方法，包括建立方程、转化为标准形式、解方程等。

4. 练习应用教师提供一些实际问题，要求学生应用一元二次方程解决。

学生以小组形式分工合作，分析问题，建立方程，解方程，最后给出问题的解答。

在解答过程中，教师适时给予指导和帮助。

5. 总结归纳教师与学生共同总结一元二次方程在实际问题中的应用方法，加深学生对本节课内容的理解和记忆，并纠正常见错误。

六、教学评价1.教师观察学生在小组讨论中的表现，评价学生合作探究的能力；2.收集学生解答问题的结果，评价学生运用一元二次方程解决实际问题的能力；3.教师针对学生的表现提出指导性意见和建议。