数值分析第1章
数值分析(第一章)修正版描述
2
例:为使 x 20 的近似值 x 的相对误差不超过 问查开方表时至少要取几位有效数字? * 解:设近似值 x 取n位有效数字可满足题设要求。 对于 x
1 103 2
*
20, 有x1 4
* r
1 1 1 n 1 n e 10 10 由定理,有 2 x1 8
1 1 1 n 3 10 10 令 8 解得 2
e* x* x * ，则称 * 为x* 近似x的一个绝对 差限，简称误差限。 误 . 实际计算中所要求的绝对误差，是指估计一个 尽可能小的绝对误差限。
*
2.相对误差及相对误差限
0) 的一个近似,称 定义 设 x 是准确值 x( *
*
为 x 近似x的一个绝对误差。在不引起混淆时，简称符 * * 号 er ( x )为 er * * * * 因 e e e x x
(1)有效数字
定义 :设x的近似值 x 有如下标准形式
*
x 10 0.x1x2 xn1 xp 9且x1 0, p n 其中m为整数, xi 0,1,2 ，
*
1 mn e x x 10 如果 2
* *
, * 则称 x 为的具有n位有效数字的近似数. 或称 x* 准确到 10m n 位,其中数字 x1 x2 xn ,分别 * x 被称为 的第一,第二,…第n个有效数字.
*
n
* i *
x * * f 'i ( x1 , x2 , i 1 y
n
* i *
x )er ( x )
* n
* i
绝对误差限和相对误差限满足传播不等式：
( y ) f 'i ( x , x ,
数值分析课件 第一章 绪论
1 e 0 1 x n e 0 d I n x 1 e 0 1 x n e 1 d x e 1 1 ( ) I n n n 1 1
公式一：I n 1 e [ x n e x 1 0 n 0 1 x n 1 e x d x ] 1 n I n 1
I01 e 01exdx11 e0.63212 记为0I5 0* 6 此公式精确成
初始的小扰动 |E 0|0.51 0 8迅速积累，误差呈递增趋势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： I n 1 n I n 1 I n 1 n 1 ( 1 I n )
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。 注 意在e此理(N 公论1 式上1)与等公价IN 式。一N 1 1
)
0 .0 6 6 8 7 0 2 2 0
I
12
1 (1 13
I
13
)
0 .0 7 1 7 7 9 2 1 4
I
11
1 (1 12
I
12
)
0 .0 7 7 3 5 1 7 3 2
I
10
1 11
(1
I
11
)
0 .0 8 3 8 7 7 1 1 5
I
1
1 2
(1
I
2
)
0 .3 6 7 8 7 9 4 4
0
2! 3! 4!
11/1e111 e1 x 2d1x11 1 3 2! 50 3! 7 4! 9
取 01ex2dxS4 ,
S4
R4 /* Remainder */
则 R 44 1 !1 9 由 留5 1 !下1 部1 分1 称为截断误差 /* Truncation Error */
《数值分析》杨大地-答案(第一章)精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版数值分析-第1章1．填空题(1)为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为有限次的四则运算；(2)在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个相近数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值远小于分子的绝对值；(3)误差有四大来源,数值分析主要处理其中的截断误差和舍入误差；(4)有效数字越多,相对误差越小；2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字。
//见P4解题思路：假定x0是√a的一个近似值，x0>0，则ax0也是√a的一个近似值,且x0和ax0两个近似值必有一个大于√a，另一个小于√a，设想它们的平均值应为√a的更好的近似值，于是x k+1=1 2(x k+ax k)，k=0，1，2，……解：取x0=3，按算法x k+1=12(x k+ax k)，k=0，1，2，……迭代3次有：x1=12(x0+10x0)=(3+103)≈3.167x2=12(x1+10x1)=(3.167+103.167)≈3.162x3=12(x2+10x2)=(3.162+103.162)≈3.1623. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差。
//见P8解：已知f(x)=√x，设x∗是准确值，令x是x∗的一个近似值,则相对误差e(f(x))=f(x)−f(x∗)，由Taylor公式f(x∗)=f(x)0！ +f′(x)1！(x∗−x)+f"(x)2！(x∗−x)2+⋯+f n(x)n！(x∗−x)n+R n(x)其中，R n(x)=f n+1(ξ)(n+1)！(x∗−x)n+1将f(x∗)展开分析有：f(x∗)=√x2√x x∗−x)+⋯+f n(ξ)n！(x∗−x)n+R n(x)∴e(f(x))=f(x)−f(x∗)=− (2√x x∗−x)+⋯+f n(ξ)n！(x∗−x)n+R n(x))∴|e(f(x))|≤ ε(f(x))≤|2√x |ε(x)+⋯+|f n(ξ)n！εn(x)|+|R n(x)|忽略二阶以上无穷小，可得f(x)的误差限公式为ε(f(x))≈2√x(x)。
《数值分析》第1章 引言
( 1.2)
可见结果是相当精确的.实际上结果的六位数字都是正确的.
2 算法常表现为一个连续过程的离散化
例2 计算积分值
1
I
1
dx
0 1 x
编辑ppt
结束
将［0，1］分为4等分，分别计算4个小曲边梯形的面积的 近似值，然后加起来作为积分的近似值(如图1-1).记被积 函数为 f(x) ，即 f (x) 1
数值分析是计算数学的一个主要部分，方法解决科 学研究或工程技术问题，一般按如下途径进行：
实际问题
模型设计
算法设计
程序设计
上机计算
编辑ppt
问题的解 结束
其中算法设计是数值分析课程的主要内容.
数值分析课程研究常见的基本数学问题的数值解法.包含 了数值代数(线性方程组的解法、非线性方程的解法、矩阵求 逆、矩阵特征值计算等)、数值逼近、数值微分与数值积分、 常微分方程及偏微分方程的数值解法等.它的基本理论和研究 方法建立在数学理论基础之上，研究对象是数学问题，因此 它是数学的分支之一.
误差限：*|e*|的一个上 . 界
例如，毫 76米 5x尺 0.5
在工程中常记为：x= x*± *.
如 l=10.2±０.０５mm ，R=1500±100Ω
编辑ppt
2、相对误差与相对误差限 误差不能完全刻画近似值的 精度.如测量百米跑道产生10cm的误差与测量一个课桌长度 产生1cm的误差，我们不能简单地认为后者更精确，还应考 虑被测值的大小.下面给出定义：
误差分析是一门比较艰深的专门学科.在数值分析中主要 讨论截断误差及舍入误差.但一个训练有素的计算工作者， 当发现计算结果与实际不符时，应当能诊断出误差的来源， 并采取相应的措施加以改进，直至建议对模型进行修改.
数值分析--绪论
有效数字
定义：设数 a 是数 x 的近似值，如果 定义： 的近似值， （1）a 的绝对误差限是它的某一位的半个单位， ） 的绝对误差限是它的某一位的半个单位， a （2）从该位到它的第一位非零数字共有 位。 ）从该位到它的第一位非零数字共有n 位有效数字。 则称用 a 近似 x 时有 n 位有效数字。 注：凡是由四舍五入得来的近似值，从最末位到第一位非零数字都是 凡是由四舍五入得来的近似值， 有效数字。 有效数字。
算法 算法——规定了怎样从输入数据计算出数值问 规定了怎样从输入数据计算出数值问 题解的一个有限的基本运算序列 衡量算法优劣的标准： 衡量算法优劣的标准：
1 可靠的理论基础，正确性，收敛性，数值稳定性以 可靠的理论基础，正确性，收敛性， 及可作误差分析。 及可作误差分析。 2.良好的计算复杂性，包括时间复杂性，空间复杂性 良好的计算复杂性，包括时间复杂性， 良好的计算复杂性
17
§1.3 向量范数与矩阵范数 1.3.1 向量范数 定义：Rn空间的实值函数 || || ,对任意 x, y ∈ Rn满足下列条件 对任意
(1)非负性 非负性
|| x || ≥ 0; || x || = 0 x = 0 (2)齐次性 || k x || =| k | || x || 对任意 k∈R 齐次性
13
设计算法时遵循的原则
1.减少运算次数. 1.减少运算次数. 减少运算次数
例 计算多项式的值
Pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n .
乘法计算次数 1+2+…+n
算法一 算法一：
s0 = a0 sk = ak x k , k = 1, 2,L , n P ( x) = s + s + L + s 0 1 n n
数值分析第一章
(3) 有好的计算复杂性：
节省时间（时间复杂性）和计算机存储空间 （空间复杂性）
(4) 要有数值实验。
通过数值实验证明是有效的.
研究的内容 1 非线性方程与方程组的数值方法；(第2、5章)
2 线性方程组的数值方法；(第3、4章)
3 插值与数值逼近；(第6、7章) 4 数值积分与数值微分；(第8章) 5 微分方程的数值解法. (第9章) 6 特征值与特征向量的计算. (第10章)
f ( x ) tan( x ) 1 2 f ( x ) 1 tan ( x) 2 cos ( x ) x * f ( x*) 1 Cp x* tan( x*) f ( x*) tan( x*)
1 | x x | 10m n , 2
称 x 有n位有效数字.
例：按四舍五入原则将下列各数保留到5位有 效数字：187.9325, 0.03785551, 8.000033. 解：
187.9325 187.93 0.03785551 0.037856 8.000033 8.0000
1 10 ( n1) 2(a1 1)
(a1 1) 10
1 10m n 2
m 1
所以 x 至少具有n位有效数字.
定理１说明有效数字越多，相对误差限越小. 例 要使 20 的近似值的相对误差限小于0.1% 要取几位有效数字？ 解 假设取n位有效数字，由定理1可知
从而 即
x 0.5 x x 0.5,
70 0.5 x 70 0.5, x [69.5,70.5].
或
设某量的准确值为x, x 是x的近似值， 定义： * er 为 x 的相对误差，若 e 为 x 的绝对误差，
数值分析-第一章绪论
I 0 的近似值
对算法 1，有
En 5En1 (5)n E0。
按以上初始值 I 0 的取法有 E0 0.5 10 ，事实上 E0 0.2210 。这样，我们得 6 * 到 E6 5 E0 0.34。这个数已经大大超过了I 6 的大小，所以I 6 连一位有效数字 也没有了，误差掩盖了真值。
1 mn 4舍5入得到的近似数，则x x 10 。 2
设 x (0. a1 a n a n1 ) 10 m (a1 0, m 是整数)，x 是 x 的an1
有效数字与相对误差之间的关系
（0. a1 a n） 10 m ( a1 0)， 定理 1 设 x 的近似数是 x 若x 具有n 位有效数字, 则 x 的相对误差限为
略去高阶项：A A f ( x ,, x ) f ( x1 ,, xn ) f ( x ) ( x j xj )
1 n
n j 1
xj
f ( x) ( A ) 或 e( A ) e ( x j )； e e ( A ) x j 1 j
数
值
分
析
第一章 绪论
1.1 计算方法的研究对象和特点
引例 x 【1.1】求函数 f ( x ) e 在 x 1 处的函 数值。 2 【1.2】求函数f ( x ) x 2 在 [1,2] 上的零点。
总结
科学与工程计算 （1）应用广泛 边缘学科 计算机模拟实验
（2）主要工作
则 x至少具有 n 位有效数字 .
4、误差的传播
设多元函数 A f ( x1 , x 2 ,, x n )， x1 , x 2 , , x n 为 x1 , x 2 ,, x n的近似值
数值分析第一章
n L2 n Ln / cos 2n
Ln n si n
ˆ (4L L ) / 3 L 2n 2n n
n L error 192 3.1414524 1.4e-004 384 3.1415576 3.5e-005 3.1415926 4.6e-010
通信卫星信号覆盖率
设地球为球体, R为地球半径,H为 卫星高度,覆盖面为球冠面积
(4)尽量减少计算工作量(乘、除法次数)
例 计算 P(x) = 1+2x+3x2+4x3 + 5x4 的值 秦九韶算法 P(x)=1+x(2+x(3+x(4+5x)))
应用: 2进制数转换为10进制数算法
(1 1 1 0 1 1 1 0)2 = 27+26 +25 +0 +23 +22 +2 +0 =((((((1· 2+1)2+1)2+0)2+1)2+1)2+1)2+0 =238
x
dx n x n1e x dx) 1 nI n1
0
19/25
e (x e
1
x 1 0
1
递推公式: In = 1 – nIn-1 (I0 = 1- e-1)
–1 ≈0.63212055882856 I = 1 – e 初值： 0
S0=1-exp(-1);S(1)=1-S0; for n=2:20 |e(S0)|=|S0 –I0|<0.5· 10-14 S(n)=1-n*S(n-1) end error
n=20时，S20= -30.19239488558378 实际计算: Sn=1-nSn-1,S0=0.63212055882856
数值分析第一章 绪论
1 (e1 1 ) 0.0684 2 10 10
，递推可得：
I9 0.0684 I7 0.1121 I5 0.1455 I3 0.2073 I1 0.3679
I8 0.1035 I6 0.1268 I4 0.1709 I2 0.2642 I0 0.6321
可见,I0已精确到小数点后四位。
y
er (x)
y x y
er ( y)
可见，当x与y很接近时，z的相对误差有可能很大。
在数值计算中，如果遇到两个相近的数相减运算，可
考虑改变一下算法以避免两数相减。例如：
当x1
x2时，有 log
x1
log
x2
log
x1 x2
当x 0时，有1cosx 2sin 2 x 2
当x 1时，有
ln
2
1
1 2
1 3
1 41 5ln2
1
1 2
1 3
1 4
1 5
这里产生误差（记作R5）
R5
1 6
1 7
1 8
1 9
1 10
...
4.舍入误差 由于计算机只能对有限位数进行运算，
在运算中象 e、
2
、1 等都要按舍入原则保留有限位，这 3
时产生的误差称为舍入误差或计算误差。
e x
x* x
x
r =/|x|称为近似值x的相对误差限。|er|≤r.
例1 设x=1.24是由精确值x*经过四舍五入得到的近似 值,求x的绝对误差限和相对误差限。
数值分析原理课件第一章
第一章 绪 论本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题．§1.1 引 言计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。
由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法． 这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括(1)非线性方程的近似求解方法；(2)线性代数方程组的求解方法；(3)函数的插值近似和数据的拟合近似；(4)积分和微分的近似计算方法；(5)常微分方程初值问题的数值解法；(6)优化问题的近似解法；等等从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”． 之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关．计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差．我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，从而产生截断误差． 如的计算是无穷过程，当用作为的 +++=!21!111e !1!21!111n e n ++++= e 近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了截断误差．e e n - 当用计算机计算时，因为舍入误差的存在，我们也只能得到的近似值，也就是n e n e *e 说最终用近似，该近似值既包含有舍入误差，也包含有截断误差．*e e 当参与计算的原始数据是从仪器中观测得来时，也不可避免得有观测误差．由于这些误差的大量存在，我们得到的只能是近似结果，进而对这些结果的“可靠性”进行分析就是必须的，它成为计算方法的第二个显著特点． 可靠性分析包括原问题的适定性和算法的收敛性、稳定性．所谓适定性问题是指解存在、惟一，且解对原始数据具有连续依赖性的问题． 对于非适定问题的求解，通常需要作特殊的预处理，然后才能做数值计算． 在这里，如无特殊说明，都是对适定的问题进行求解．对于给定的算法，若有限步内得不到精确解，则需研究其收敛性． 收敛性是研究当允许计算时间越来越长时，是否能够得到越来越可靠的结果，也就是研究截断误差是否能够趋于零．对于给定的算法，稳定性分析是指随着计算过程的逐步向前推进，研究观测误差、舍入对于同一类模型问题的求解算法可能不止一种，常希望从中选出高效可靠的求解算法． 如我国南宋时期著名的数学家秦九韶就提出求n 次多项式值0111a x a x a x a n n nn ++++-- 的如下快速算法；n a s =； k n a t -=t sx s +=),,2,1(n k =它通过n 次乘法和n 次加法就计算出了任意n 次多项式的值． 再如幂函数可以通过如下64x 快速算法计算出其值；x s =；循环6次s s s ⋅=如上算法仅用了6次乘法运算，就得到运算结果．算法最终需要在计算机上运行相应程序，才能得到结果，这样就要关注算法的时间复杂度(计算机运行程序所需时间的度量)、空间复杂度(程序、数据对存储空间需求的度量)和逻辑复杂度(关联程序的开发周期、可维护性以及可扩展性)． 事实上，每一种算法都有自己的局限性和优点，仅仅理论分析是很不够的，大量的实际计算也非常重要，结合理论分析以及相当的数值算例结果才有可能选择出适合自己关心问题的有效求解算法． 也正因如此，只有理论分析结合实际计算才能真正把握准算法．§1.2 误差的度量与传播一、误差的度量误差的度量方式有绝对误差、相对误差和有效数字．定义1.1 用作为量的近似，则称为近似值的绝对误差．*x x )(:**x e x x =-*x 由于量x 的真值通常未知，所以绝对误差不能依据定义求得，但根据测量工具或计算情况，可以估计出绝对误差绝对值的一个较小上界，即有ε (1.1)ε≤-=x x x e **)(称正数为近似值的绝对误差限，简称误差． 这样得到不等式ε*x εε+≤≤-**x x x 工程中常用ε±=*x x 表示近似值的精度或真值x 所在的范围．*x 误差是有量纲的，所以仅误差数值的大小不足以刻划近似的准确程度． 如量 (1.2)m m cm s μ50001230000005.023.15.0123±=±=±=为此，我们需要引入相对误差定义1.2 用作为量的近似，称为近似值的相对误差． 当0*≠x x )(:**x e xxx r =-*x 是x 的较好近似时，也可以用如下公式计算相对误差*x (1.3)***)(xx x x e r -= 显然，相对误差是一个无量纲量，它不随使用单位变化． 如式(1.2)中的量s 的近似，无论使用何种单位，它的相对误差都是同一个值．同样地，因为量x 的真值未知，我们需要引入近似值的相对误差限，它是相*x )(*x r ε对误差绝对值的较小上界． 结合式(1.1)和(1.3)，相对误差限可通过绝对误差限除以近似*x 值的绝对值得到，即(1.4)***)()(xx x r εε=为给出近似数的一种表示法，使之既能表示其大小，又能体现其精确程度，需引入有效数字以及有效数的概念．定义1.3 设量的近似值有如下标准形式x *x p n ma a a a x 21*.010⨯±= (1.5)()pm p n m n m m a a a a ----⨯++⨯++⨯+⨯±101010102211 ＝其中且，m 为近似值的量级． 如果使不等式}9,,1,0{}{1 ⊂=pi i a 01≠a (1.6)n m x x -⨯≤-1021*成立的最大整数为n ，则称近似值具有n 位有效数字，它们分别是、、… 和 ． *x 1a 2a n a 特别地，如果有，即最后一位数字也是有效数字，则称是有效数．p n =*x 从定义可以看出，近似数是有效数的充分必要条件是末位数字所在位置的单位一半是绝对误差限． 利用该定义也可以证明，对真值进行“四舍五入”得到的是有效数． 对于有效数，有效数字的位数等于从第一位非零数字开始算起，该近似数具有的位数． 注意，不能给有效数的末位之后随意添加零，否则就改变了它的精度．例1.1 设量，其近似值，，． 试回答这三个近π=x 141.3*1=x 142.3*2=x 722*3=x 似值分别有几位有效数字，它们是有效数吗？解 这三个近似值的量级，因为有1=m 312*110211021005.000059.0--⨯=⨯=≤=- x x 413*2102110210005.00004.0--⨯=⨯=≤=- x x571428571428.3*3=x 312*310211021005.0001.0--⨯=⨯=≤=- x x 所以和都有3位有效数字，但不是有效数． 具有4位有效数字，是有效数．*1x *3x *2x 二、误差的传播这里仅介绍初值误差传播，即假设自变量带有误差，函数值的计算不引入新的误差． 对于函数有近似值，利用在点处),,,(21n x x x f y =),,,(**2*1*n x x x f y =),,,(**2*1n x x x 的泰勒公式(Taylor Formula)，可以得到 )(),,,()(*1**2*1**i i ni n i x x x x xf y y y e -≈-=∑=(1.7))(),,,(*1**2*1i ni n i x e x x xf ∑== 其中，是的近似值，是的绝对误差． 式(1.7)表明函ii x f f ∂∂=:*i x i x )(*i x e *i x ),,2,1(n i =数值的绝对误差近似等于自变量绝对误差的线性组合，组合系数为相应的偏导数值． 从式(1.7)也可以推得如下函数值的相对误差传播近似计算公式 (1.8))(),,,()(***1**2*1*i r i ni ni r x e yx x x x f y e ∑=≈对于一元函数，从式(1.7)和(1.8)可得到如下初值误差传播近似计算公式)(x f y = (1.9))()()(***x e x f y e '≈ (1.10))()()(*****x e yx x f y e r r '≈式(1.9)表明，当导数值的绝对值很大时，即使自变量的绝对误差比较小，函数值的绝对误差也可能很大．例1.2 试建立函数的绝对误差(限)、相对误差n n x x x x x x f y +++== 2121),,,(的近似传播公式，以及时的相对误差限传播公式．{}ni i x 1*0=> 解 由公式(1.7)和(1.8)可分别推得和的绝对误差、相对误差传播公式如下(1.11)∑∑==≈ni i ini nix e x e x x xf y e 1**1**2*1*)()(),,,()(＝ (1.12)∑∑==≈ni i r i i r i ni ni r x e yx x e y x x x x f y e 1******1**2*1*)()(),,,()(＝ 进而有∑∑∑===≤≤≈ni i n i ini ix x e xe y e 1*1*1**)()()()(ε于是有和的绝对误差限近似传播公式 ∑=≈ni ixy 1**)()(εε当时，由式(1.3)推得相对误差限的近似传播公式{}ni i x 1*=>)(max )(max )(max )()()(*11***11***11****1**i r ni ni i ir n i ni i i r n i ni i r i ni ir x yx x yx x x y x yxy εεεεεε≤≤=≤≤=≤≤====≤=≈∑∑∑∑ 例1.3使用足够长且最小刻度为1mm 的尺子，量得某桌面长的近似值3.1304*=a mm ，宽的近似值mm (数据的最后一位均为估计值)． 试求桌子面积近似值的绝8.704*=b 对误差限和相对误差限．解 长和宽的近似值的最后一位都是估计位，尺子的最小刻度是毫米，故有误差限 mm ，mm 5.0)(*=a ε5.0)(*=b ε面积，由式(1.7)得到近似值的绝对误差近似为ab S =***b a S = )()()(*****b e a a e b S e +≈进而有绝对误差限 mm 255.10045.03.13045.08.704)()()(*****=⨯+⨯=+≈b a a b S εεε相对误差限 %11.00011.08.7043.130455.1004)()(***=≈⨯=≈S S S r εε§1.3 数值实验与算法性能比较本节通过几个简单算例说明解决同一个问题可以有不同的算法，但算法的性能并不完全相同，他们各自有自己的适用范围，并进而指出算法设计时应该注意的事项． 算例1.1 表达式，在计算过程中保留7位有效数字，研究对不同)1(1111+=+-x x x x 的x ，两种计算公式的计算精度的差异．说明1：Matlab 软件采用IEEE 规定的双精度浮点系统，即64位浮点系统，其中尾数占52位，阶码占10位，尾数以及阶码的符号各占1位． 机器数的相对误差限(机器精度)eps=2－52≈2.220446×10－16，能够表示的数的绝对值在区间(2.2250739×10－308，1.797693×10308)内，该区间内的数能够近似表达，但有舍入误差，能够保留至少15位有效数字． 其原理可参阅参考文献[2, 4]．分析算法1： 和算法2： 的误差时，精确解用双精111)(1+-=x x x y )1(1)(2+=x x x y 度的计算结果代替． 我们选取点集中的点作为x ，比较两种方法误差的差异．301}{=i i π 从图1.1可以看出，当x 不是很大时，两种算法的精度相当，但当x 很大时算法2的精度明显高于算法1． 这是因为，当x 很大时，和是相近数，用算法1进行计算时出x 111+x 现相近数相减，相同的有效数字相减后变成零，于是有效数字位数急剧减少，自然相对误差增大． 这一事实也可以从误差传播公式(1.12)分析出． 鉴于此，算法设计时，应该避免相近数相减．在图1.2中我们给出了当x 接近时，两种算法的精度比较，其中变量x 依次取为1-． 从图中可以看出两种方法的相对误差基本上都为，因而二者的精度相当．{}3011=--i iπ710-图1.1 算例1.1中两种算法的相对误差图（）+∞→x图1.2 算例1.1中两种算法的精度比较)1(-→x 算例1.2 试用不同位数的浮点数系统求解如下线性方程组⎩⎨⎧=+=+2321200001.02121x x x x 说明2：浮点数系统中的加减法在运算时，首先按较大的阶对齐，其次对尾数实施相应的加减法运算，最后规范化存入计算机．算法1 首先用第一个方程乘以适当的系数加至第二个方程，使得第二个方程的的系1x 数为零，这时可解出；其次将带入第一个方程，进而求得(在第三章中称该方法为高2x 2x 1x 斯消元法)． 当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法1a 和算法1b ． 算法 2 首先交换两个方程的位置，其次按算法1计算未知数 (第三章中称其为选主元的高斯消元法)． 当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法2a 和算法2b ．方程组的精确解为， ，用不同的算法计算出的...25000187.01=x ...49999874.02=x 结果见表1.1．表1.1 对算例1.2用不同算法的计算结果比较算例1.2*1x )(*1x r ε*2x )(*2x r ε算法1a 0.00000.10×1010.50000.25×10－7算法2a 0.25000.75×10－70.50000.25×10－7算法1b 0.26000000.40×10－10.49999870.10×10－6算法2b0.25000200.50×10－80.50000000.25×10－7对于算例1.2，表中的数据表明，当用4位尾数计算时，算法1给出错误的结果，算法2则给出解很好的近似． 这是因为在实现算法1时，需要给第一个方程乘以加00001.0/2－至第二个方程，从而削去第二个方程中的系数，但在计算的系数时需做如下运算1x 2x(1.13)661610000003.0104.0103.0104.03200001.02⨯⨯⨯⨯=+⨯＋＝－＋－－对上式用4位尾数进行计算，其结果为． 因为舍入误差，给相对较大的数加以6104.0⨯－相对较小的数时，出现大数“吃掉”小数的现象． 计算右端项时，需做如下运算(1.14)661610000002.0102.0102.0102.02100001.02⨯⨯⨯⨯=+⨯＋＝－＋－－同样出现了大数吃小数现象，其结果为． 这样，得到的变形方程组6102.0⨯－⎩⎨⎧⨯-=⨯-⨯=⨯+⨯62612114102.0104.0101.0102.0101.0x x x 中没有原方程组中第二个方程的信息，因而其解远偏离于原方程组的解． 该算法中之所以出现较大数的原因是因为运算，因而算法设计中尽可能避免用绝对值较大的数00001.0/2－除以绝对值较小的数． 其实当分子的量级远远大于分母的量级时，除法运算还会导致溢出，计算机终止运行．虽从单纯的一步计算来看，大数吃掉小数，只是精度有所损失，但多次的大数吃小数，累计起来可能带来巨大的误差，甚至导致错误． 例如在算法1a 中出现了两次大数吃小数现象，带来严重的后果． 因而尽可能避免大数吃小数的出现在算法设计中也是非常必要的． 当用较多的尾数位数进行计算，舍入误差减小，算法1和2的结果都有所改善，算法1的改进幅度更大些．算例1.3 计算积分有递推公式，已知⎰+=1055dx x x I n ),2,1(511 =-=-n I nI n n ． 采用IEEE 双精度浮点数，分别用如下两种算法计算的近似值．56ln 0=I 30I算法1 取的近似值为，按递推公式计算0I 6793950.18232155*0=I *1*51--=n n I nI *30I 算法2 因为，取的近似值为)139(5156)139(611039103939+⨯=<<=+⨯⎰⎰dx x I dx x 39I ，按递推公式计算3333330.004583332001240121*39≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=I ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-**1151n n I n I *30I 算法1和算法2 的计算结果见表1.2． 误差绝对值的对数图见图1.3．表1.2 算例1.3的计算结果算法1算法2n *nI n n I I -*n *nI nn I I -*18.8392e-002 1.9429e-01639 4.5833e-0033.9959e-0042 5.8039e-0029.8532e-016384.2115e-0037.9919e-0053 4.3139e-002 4.9197e-01537 4.4209e-003 1.5984e-0054 3.4306e-002 2.4605e-01436 4.5212e-003 3.1967e-0065 2.8468e-002 1.2304e-01335 4.6513e-003 6.3935e-0076 2.4325e-002 6.1520e-01334 4.7840e-003 1.2787e-007………33 4.9255e-003 2.5574e-00825 1.1740e+001 1.1734e+00132 5.0755e-003 5.1148e-00926-5.8664e+001 5.8670e+00131 5.2349e-003 1.0230e-00927 2.9336e+002 2.9335e+002 305.4046e-003 2.0459e-01028-1.4667e+003 1.4668e+003 297.3338e+0037.3338e+003 30-3.6669e+004 3.6669e+004图1.3 算例1.3用不同算法计算结果的误差绝对值的对数图从表1.2中的计算结果可以看出，算法1随着计算过程的推进，绝对误差几乎不断地以5的倍数增长，即有0*02*221*1*555I I I I I I I I n n n n n n n -≈≈-≈-≈----- 成立． 对于逐步向前推进的算法，若随着过程的进行，相对误差在不断增长，导致产生不可靠的结果，这种算法称之为数值不稳定的算法． 对于算法1绝对误差按5的幂次增长，但真值的绝对值却在不断变小且小于1，相对误差增长的速度快于5的幂次，导致产生错误的结果，因而算法1数值不稳定，不能使用． 而算法2随着计算过程的推进，绝对误差几乎不断地缩小为上一步的1/5，即有m m n m n n n n n n n I I I I I I I I 5/5/5/*22*21*1*++++++-≈≈-≈-≈- 成立． 绝对误差不断变小，真值的绝对值随着过程向前推进却在变大，这样相对误差也越来越小，这样的方法称之为数值稳定的算法． 算法1和算法2的误差对数示意图见图1.3． 这个算例告诉我们应该选用数值稳定的算法．知识结构图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧算法设计要点数值方法的稳定性数值方法的收敛性算法多元函数一元函数传播有效数字相对误差（限）绝对误差（限）度量截断误差舍入误差误差的产生误差误差与算法习题一1 已知有效数，，． 试给出各个近似值的绝对误105.3*1-=x 4*210125.0⨯=x 010.0*3=x 差限和相对误差限，并指出它们各有几位有效数字．2 证明当近似值是x 的较好近似时，计算相对误差的计算公式和相差一个*x x x x -***xxx -和同阶的无穷小量．2*⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x x 3 设x 的近似值具有如式(1.5)的表示形式，试证明*x 1)若具有n 位有效数字，则相对误差；*x n r a x e -⨯≤11*1021)(2)若相对误差，则至少具有n 位有效数字．n r a x e -⨯+≤11*10)1(21)(*x 4 试建立二元算术运算的绝对误差限传播近似计算公式．5 试建立如下表达式的相对误差限近似传播公式，并针对第1题中数据，求下列各近似值的相对误差限．1) ； 2) ； 3) *3*2*1*1x x x y +=3*2*2x y =*3*2*3/x x y =6若例题1.3中使用的尺子长度是80mm ，最小刻度为1mm ，量得某桌面长的近似值mm ，宽的近似值mm ． 试估计桌子长度、宽度的绝对误差限，并3.1304*=a 8.704*=b 求用该近似数据计算出的桌子面积的绝对误差限和相对误差限．7 改变如下计算公式，使其计算结果更为精确．1) 且0,cos 1≠-x xx1<<x 2)1,1ln )1ln()1(ln 1>>--++=⎰+N N N N N xdx N N3) 1,133>>-+x x x 8 (数值试验)试通过分析和数值试验两种手段，比较如下三种计算近似值算法的可靠性．1-e 算法1 ；∑=--≈mn nn e 01!)1( 算法2 ；101!1-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛≈∑m n n e算法3 ；101)!(1-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈∑m n n m e9 (数值试验)设某应用问题归结为如下递推计算公式 ，，72.280=y 251-=-n n y y,2,1=n 在计算时取为具有5位有效数字的有效数． 试分析近似计算公式的2*c **1*5c y y n n -=-绝对误差传播以及相对误差传播情况，并通过数值实验验证 (准确值可以用IEEE 双精度浮点运算结果代替)，该算法可靠可用吗？。
数值分析第一章
x1系数 a3 3 b2 x* 10 b3 7 c2 x* 42 c3 49 p(2)
常数项 a4 4 b3 x* 14 b4 10
1.4
数值计算中算法设计的技术
迭代法与开方求值 以直代曲与化整为“零” 加权平均的松弛技术
2
ε x 的相对误差上限 /* relative accuracy */ 定义为 ε * |x |
* r
1.2 数值计算的误差
有效数字 /* significant digits */
* m 用科学计数法，记 x 0.a1a2 an 10（其中 a1 0 ）。若 | x x* | 0.5 10mn（即 a n 的截取按四舍五入规则），则称 x * 为有n 位有效数字，精确到 10m n 。 897932 ; * 3.1415 例 3.1415926535
对一个数值问题本身, 如果输入数据有微小扰动（即误 差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是病
态问题.
例如计算函数值 f ( x)x*)的相对误差为 x
f ( x) f ( x*) f ( x)
1.3 避免误差危害的若干原则
ε* 0 .5 10m n 10 n εr * m x* 0 .a1a 2 an 10 2 0 .a1 1 10 n1 2a1
1.2 数值计算的误差
相对误差限 有效数字
已知 x* 的相对误差限可写为 εr *
10 n 1 则 | x x* | εr * | x* | 0 .a1a 2 10m 2(a1 1)
算法设计的好坏不但影响计算结果的精度，还可以
大量节省计算时间.
多项式求值的秦九韶算法
数值分析第1章绪论
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算法创新
在数值分析中，创新算法的提出是推 动学科发展的重要动力。新的算法可 以解决传统算法难以处理的问题，提 高计算效率和精度。
Part
05
Байду номын сангаас
数值分析的展望与启示
数值分析与其他学科的交叉研究
数值分析与物理学的交叉
数值分析在解决物理问题中扮演着重要角色，如流体动力学、电磁学和量子力学等领域。 通过数值模拟和计算，可以更深入地理解物理现象和预测新现象。
Part
04
数值分析的挑战与未来发展
数值稳定性的挑战
数值稳定性问题
在数值分析中，算法的数值稳定性是一个重要的问题。不稳定的算法可能会导致计算结果的误差累积，从而影响 结果的精度。
解决方法
为了提高数值稳定性，可以采用多种方法，如改进算法、增加迭代次数、使用稳定的数据类型等。
高性能计算的需求
高性能计算的重要性
或最小化线性目标函数问 题，如单纯形法等。
微分法
数值微分
利用已知函数值估计函数在某点 的导数值。
偏微分方程数值解
通过有限差分法、有限元法等求 解偏微分方程的数值解。
数值积分
利用已知函数值计算函数在某个 区间的积分值。
常微分方程数值解
通过离散化方法求解常微分方程 的数值解，如欧拉法、龙格-库塔 法等。
逼近法
最佳平方逼近
利用已知的离散数据点构造一个多项式，使得该 多项式在最小二乘意义下逼近目标函数。
傅里叶逼近
利用傅里叶级数的性质进行逼近，适用于周期函 数的逼近。
ABCD
切比雪夫逼近
利用切比雪夫多项式的性质进行逼近，具有最佳 逼近和一致逼近的特点。
数值分析第1章
数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求， 对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行
分析. 三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时
间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研 究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现.
1.2.3 数值运算的误差估计
两个近似数 x1*与 x2* ，其误差限分别为 (x1* ) 及 (x2* ) ，
它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别为
(x1* x2* ) (x1* ) (x2* );
(x1* x2* ) x1* (x2* ) x2* (x1* );
4
四、要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要 满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的.
5
1.2 数值计算的误差
1.2.1 误差来源与分类
用计算机解决科学计算问题的过程如下：
首先要建立数学模型， 它是对被描述的实际问题进行抽象、 简化而得到的，因而是近似的.
数学模型与实际问题之间出现 的误差称为模型误差.
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
π 3.14 1 102 , 2
π 3.1416 1 104. 2
18
定义2 若近似值 x *的误差限是某一位的半个单位， 该位到 x *的第一位非零数字共有 n位，就说 x *有 n位有效 数字.
表示为
x* 10m (a1 a2 101 an 10(n1) ), （2.1）
因为按第一种写法
g 9.80 1 102 , 2
按(2.1)的表示方法， m 0, n 3, 按第二种写法
g 0.00980 1 105 , 2
数值分析第一章
n
xi2 ,
i 1
||
x
||
max
1in
|
xi
|
则 || ||1 , |和| ||2 都|是| |向| 量范数.
2 矩阵的范数
❖定义 矩阵的范数是刻画矩阵大小的量, 又叫 矩阵的模.
❖定义 Rnn上的实值函数‖·‖叫矩阵范数, 如果对 Rnn中任意的矩阵 A 和 B, 均满足下列 4 个条件:
复习
§1.3 向量与矩阵的范数
1 向量的范数ຫໍສະໝຸດ ❖定义 向量的范数是刻画向量大小的量, 又
叫向量的模.
❖定义 Rn 上的实值函数 || ·|| 称为向量范数， 如果对任意的 x, y∈Rn, 它均满足下列条件:
(1)正定性: || x ||,且0 x 0;|| x || 0
(2)齐次性:对 k ,有R
(1) A 0, 且 A 0 A 0; (2) k R, kA k A ; (3) A B A B ; (4) AB A B ;
矩阵范数与向量范数的相容性
❖定义 给定向量范数||·||和矩阵范数||·||, 如果对
任意的向量 xRn和任意的矩阵 ARn×n,它们总
满足
Ax A x ,
则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的。
❖定理1.3 设在 Rn 中给定一种向量范数, 对任
意的矩阵 ARn×n，下式 (1.2)中定义的函数
是一种矩阵范数,并且它与给定的向量范数是
相容的.
单位球上的 最大像值
A max Ax || x ||1
(1.2)
|| kx ||;| k | || x ||
(3)三角不等式: || x y || || x.|| || y ||
《数值分析》第一章 数值计算中的误差
值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
14
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 例：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x和y 经过四舍五入而得到的近似值，问: a、b的绝 对误差限、相对误差限各是多少？
解： (a) 0.005 0.5 102
(b) 0.00005 0.5104
n位
≤ 0 . 0 … 0 999... < 0 . 0 … 0 1=1×10－n
n位
n-1位
• 截断法产生的绝对误差限不超过近似数a最末位 的1个单位。
11
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 四舍情况，
A=a0 a1 … am . am+1 … am+n
• 当am+n+1 =0,1,2,3,4时，
4
§2 舍入方法与有效数字
5
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 近似数a的绝对误差 ， 简称误差 设a是精确值A的近似值，
=a－A
• 绝对误差限 ||=|a－A|<(上界)
• 由上式可推知 a－ <A<a+，也可表示为A=aAFra biblioteka-a
a+
6
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 相对误差 ： 绝对误差与精确值之比 =/A。 • 实际计算/a。
代替后误差
a A 1 2
A a Aa
Aa
• 相对误差限 ||=|/a |< /|a|＝ (上界)
• 绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲,有时 亦用百分比、千分比表示。
数值分析课件第一章
Pn ( x) an x n an1x n1 a1x a0 .
秦九韶算法：
S n an , S k xS k 1 ak , (k n-1,,0) P ( x) S . n 0
例： x 3.1415926 , 取三位 取五位 1 * * x3 3.14, | e3 | 0.0015926 0.005 10 2 , 2 1 * * x5 3.1416 | e5 | 0.0000073 0.00005 10 4 . , 2
I 0 1 e1.
* I 9 0.0684, I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. ( B) * * I n1 1 (1 I n ), n 9,8,,1. n 1 1 e1 ( I 9 ( ) 0.0684) 2 10 10
* *
§3 误差定性分析、避免误差危害
一、算法的数值稳定性
定义3 一个算法若输入数据有 误差, 而在计算过程中舍入 误差不增长, 则称此算法是数值稳定 的, 否则是不稳定的.
例5
1 1 n x 计算I n e x e dx, n 0,1,, 0
并估计误差.
I n 1 nI n1 , n 1,2,,
数值分析
数学学院 李胜坤
第1章
一、什么是数值分析
引论
§1 数值分析的研究对象与特点
数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数 学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题 的数值计算方法及其理论与软件实现. 步骤：实际问题→数学模型→数值计算方法 →程序设计→上机计算求出结果
《数值分析》第1章
b
上两式作用得到：
4T ( h) − T ( 2h) = 3 I + O (h4 )
忽略高阶项得， I ≈ T (h) + (T (h) − T (2h)) . 公式的精度为 O (h4 ) .
1 3
此
其中 c1 , c2 ,L与 h 无关，则有，
19
20
§3 误差来源与误差分析的重要性
误差来源（或分类）
(1) 模型误差：建立数学模型时忽略一些次要 因素而引起的与真实情况的误差.
(2) 测量误差：数学模型中的一些已知参数， 由于受到测量工具或其它主观因素的影 响所带来的误差.
21
(3) 截断误差：数学模型常难以求解，往往要 用近似、易于求解的问题代替，这种简化 引起的误差.
P ( x ) = a0 x n + L + an −1 x + an 已知，对输入
的x，要计算P(x)的值，采取方法
u0 = 0 ⎧ t 1 = 1, ⎪ ⎨ t k = xt k − 1 , k = 2 , L , n ⎪u = u k = 1, L , n k −1 + a n− k tk , ⎩ k
29 30
例 15. 为使 20 的相对误差小于 0.1% ，要取几 位有效数字.
例 16. 用 3. 1416 表示π 的近似值，求其相对误 差？
解：因为 a1 = 3, n = 5 ，所以
er ( x ) ≤
1 1 × 10−5 + 1 = × 10−4 2× 3 6
解： 由 er ≤ 只需
1 × 10− n + 1 且 a1 = 4 ， 为使 er ≤ 0.1% ， 2a1
数值分析第一章
即只要对 20 的近似值取4位有效数字，其相对误差限就 小于0.1%. 此时由开方表得 20 4.472.
16
可见 x* 至少有 n 位有效数字。
例：为使 π *的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 解：假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为
εr * 1 10 n 1 2a1
注意相对误差与相对误差限是无量纲的，而绝对误差 与误差限是有量纲的. 例2说明有效位数与小数点后有多少位数无关.
13
14
有效数字与相对误差的关系 有效数字 相对误差限 已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为
例 要使 几位有效数字?
20 的近似值的相对误差限小于0.1%，需取
εr *
g 9.80 1 10 2 , 2
按定义， 上述各数具有5位有效数字的近似数分别是 187.93, 0.037856, 注意：
x 8.000033的5位有效数字近似数是8.0000，而不是8，
8.0000,
2.7183.
按(2.1)的表示方法，m 0, n 3, 按第二种写法
* ( a1 1) 10 m | x x* | | x* | ε r
由于 20 4.4, 知 a1 4，故只要取 n 4 ，就有
* r 0.125 10 3 10 3 0.1%,
10 n 1 0 . 5 10 m n 1 2( a1 1)
函数的误差估计
* * * * 两个近似数: x1 , x2 , 其误差限: ( x1 ), ( x2 ) * * * ( x1* x2 ) ( x1 ) ( x2 ); * * * * * ( x1* x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 ); * ( x1* / x2 ) * * * * | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 ) * 2 | x2 | * ( x2 0)
数值分析--第1章绪论
第一章绪论上世纪中叶诞生的计算机给科学、工程技术和人类的社会生活带来一场新的革命。
它使科学计算平行于理论分析和实验研究，成为人类探索未知科学领域和进行大型工程设计的第三种方法和手段。
在独创性工作的先行性研究中，科学计算更有突出的作用。
在今天，熟练地运用电子计算机进行科学计算，已成为科学工作者的一项基本技能。
然而，科学计算并不是计算机本身的自然产物，而是数学与计算机结合的结果，它的核心内容是以现代化的计算机及数学软件为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
近年来，它同时也成为数学科学本身发展的源泉和途径之一。
1 数值分析的研究对象与特点数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。
一般地说，用计算机解决科学计算问题，首先需要针对实际问题提炼出相应的数学模型，然后为解决数学模型设计出数值计算方法，经过程序设计之后上机计算，求出数值结果，再由实验来检验。
概括为由实际问题的提出到上机求得问题的解答的整个过程都可看作是应用数学的任务。
如果细分的话，由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务，而根据数学模型提出求解的数值计算方法直到编出程序上机计算出结果，这一过程则是计算数学的任务，即数值分析研究的对象。
因此，数值分析是寻求数学问题近似解的方法、过程及其理论的一个数学分支。
它以纯数学作为基础，但却不完全像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是着重研究数学问题求解的数值方法及与此有关的理论，包括方法的收敛性，稳定性及误差分析；还要根据计算机的特点研究计算时间最省（或计算费用最省）的计算方法。
有的方法在理论上虽然还不够完善与严密，但通过对比分析，实际计算和实践检验等手段，被证明是行之有效的方法也可采用。
因此数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点，是一门与使用计算机密切结合的实用性很强的数学课程。
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187.93, 0.037856, 8.0000, 2.7183.
注意：
x 8.000033的5位有效数字近似数是8.0000，而不是8，
因为8只有1位有效数字.
21
例2 重力常数g， 如果以 m/s2 为单位，g 9.80m/s 2 , 若以km/s2为单位，g 0.00980km/s 2 ，它们都具有3位有 效数字，因为按第一种写法
其中 ai (i 1,, l ) 是0到9中的一个数字，a1 0, m 为整数. 若 x *具有 n 位有效数字，则其相对误差限为
* r
1 10 ( n 1) ; 2a1
* r
1 ( n 1) 10 ， 反之，若 x *的相对误差限 2( a1 1)
则 x *至少具有 n 位有效数字.
第 1章 数值分析与科学计算引论
1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.2 数值计算的误差
1.3 误差定性技术
1.5 数学软件
1
1.1
数值分析研究对象与特点
数值分析的定义： 数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，主
要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理
1 * 10 m n 1 , 2
在m 相同的情况下， n 越大则 10 m n 1 越小，故有效位数越 多，绝对误差限越小.
x x*
1 10 m n 1. （2.2） 2
24
定理1 设近似数 x *表示为
x* 10 m (a1 a2 10 1 al 10 (l 1) ), (2.1)
25
证明 由(2.1)′可得 a1 10m x * (a1 1) 10m , 当 x *有 n 位有效数字时
x x* x*
* r
0.5 10 m n 1 1 n 1 10 ; m a1 10 2a1
反之，由
* x x* x* r ( a1 1) 10 m
x* 10,
* x 1;
y* 1000,
* y 5.
* 虽然 * 比 大 4 倍， 但 y x
* y / y* 5 / 1000 0.5%
比
* x / x* 1 / 10 10%
要小得多，这说明 y *近似 y 的程度比 x *近似 x 的程度好. 所以除考虑误差的大小外，还应考虑准确值 x 本身的大 小.
* * ε ( x1 / x2 )
x
* 2 2
* ( x2 0).
28
一般情况下，当自变量有误差时函数值也产生误差， 其误差限可利用函数的泰勒展开式进行估计. 设 f ( x)是一元函数， x 的近似值为 x *，以 f ( x*) 近
似 f ( x)，其误差界记作 ( f ( x*)) ， 利用泰勒展开
( f ( x*)) f ( x*) ( x*).
30
当 f 为多元函数，如计算 A f ( x1 , xn ) 时. 如果
* * ，则 A 的近似值为 x1 ,, xn 的近似值为 x1 , , xn * * A* f ( x1 , xn ),
（2.2）
19
按这个定义， 如取 x* 3.14 作为 π 的近似值， x * 就有3位有效数字，
如取 x* 3.1416 π，x * 就有5位有效数字.
20
例1
按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的
近似数：187.9325, 0.03785551, 8.000033, 2.7182818.
10
1.2.2
误差与有效数字
定义1 设 x为准确值， x * 为 x 的一个近似值，称
e* x * x
为近似值的绝对误差， 简称误差. 通常准确值 x 是未知的，因此误差 e *也是未知的. 若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个
上界，即
e * x * x *
则 * 叫做近似值的误差限， 它总是正数.
11
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 x ，读出和该长 度接近的刻度 x * ，x *是 x 的近似值，它的误差限是 0.5mm， 于是
x * x 0.5mm.
则有 765 x 0.5 . 如读出的长度为 765mm ， 虽然从这个不等式不能知道准确的 x 是多少，但可知
764.5 x 765.5,
结果说明 x 在区间 [764.5, 765.5] 内.
12
对于一般情形 x * x *，即
x * * x x * *,
也可以表示为
x x * * .
需要注意的是误差限的大小并不能完全表示近似值的好坏.
13
例如，有两个量 x 10 1， y 1000 5, 则
数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点， 又有应用数学的广泛性与实际试验的高度技术性的特点， 是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.
3
数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，
对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行
1 10 n 1 2( a1 1)
0.5 10mn 1 ,
故 x *至少有 n 位有效数字. 定理说明，有效位数越多，相对误差限越小.
26
例3 要使 20 的近似值的相对误差限小于0.1%，需取 几位有效数字? 设取 n 位有效数字， 由定理1
1 10 ( n 1). 2a1
首先要建立数学模型， 它是对被描述的实际问题进行抽象、 简化而得到的，因而是近似的. 数学模型与实际问题之间出现 的误差称为模型误差.
6
实际问题
数学模型
在数学模型中往往还有一些根据 观测得到的物理量，如温度、长度、 电压等等，这些参量显然也包含误差. 这种由观测产生的误差称为 观测误差. 以上两种误差不在“数值分析”的讨论范围. 数值分析只研究用数值方法求解数学模型产生的误差. 数学模型
分析.
三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时
间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研 究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现.
4
四、要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要 满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的.
5
1.2
1.2.1
数值计算的误差
误差来源与分类
用计算机解决科学计算问题的过程如下：
f ( x) f ( x*) f ( x*)( x x*) f ( ) ( x x*) 2 , 2 介于x, x * 之间，
取绝对值得
f ( x) f ( x*) f ( x*) ( x*) f ( ) 2
2 ( x*).
29
假定 f ( x*) 与 f ( x*)的比值不太大，可忽略 ( x*) 于是可得计算函数的误差限 的高阶项，
x3 * 3.14,
3 * 0.002,
取5位
x5 * 3.1416, 5 * 0.000008,
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
1 10 2 , 2 1 π 3.1416 10 4. 2 π 3.14
18
定义2
若近似值 x *的误差限是某一位的半个单位，
x*
16
根据定义，上例中 x 与 y 的相对误差限分别为
*x
x*
10%,
*y
y*
0.5%,
可见 y *近似 y 的程度比 x *近似 x 的程度好.
17
当准确值 x 位数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 x 的前几位近似值 x *，例如
x π 3.14159265
取3位
该位到 x *的第一位非零数字共有n位，就说 x *有n位有效数
字. 表示为
x* 10m (a1 a2 101 an 10 ( n 1) ), （2.1）
其中 ai (i 1,, n)是0到9中的一个数字，a1 0, m为整数， 且
1 x x * 10 m n 1. 2
1 10 2 m/s 2 , 2
* ε2
1 105 km/s 2 , 2
但相对误差都是
* r 0.005 / 9.80 0.00005 / 0.00980.
注意相对误差与相对误差限是无量纲的，而绝对误差 与误差限是有量纲的.
例2说明有效位数与小数点后有多少位数无关.
23
从(2.2)可得到具有n位有效数字的近似数 x * ，其绝对 误差限为
近似代替可微函数 f ( x) ， 则数值方法的截断误差是
f ( n 1) (ξ ) n 1 Rn ( x) f ( x) P x , n ( x) (n 1)!
在0与x之间.
有了计算公式后，在用计算机做数值计算时，还要受
计算机字长的限制，原始数据在计算机上表示会产生误差，
计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差.
* r
由于
20 4.4 , 知 a1 4，故只要取 n 4 ，就有
* r 0.125 103 103 0.1%,
即只要对
20 的近似值取4位有效数字，其相对误差限就
27
小于0.1%. 此时由开方表得 20 4.472 .
1.2.3
数值运算的误差估计
* * * * 两个近似数 x1 与 x2 ，其误差限分别为 ( x1 ) 及 ( x2 )，
9
产生的误差 例如，用 3.14159 近似代替 π ，