随机信号分析(常建平-李林海)课后习题答案第四章习题讲解

随机信号分析课后习题答案

1第一次作业：练习一之1、2、3题1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。

求随机变量的数学期望和方差。

解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。

解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。

（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F2解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。

随机信号分析(常建平李海林)习题答案解析

完美 WORD 格式1-9 已知随机变量X的分布函数为0 , x 02F (x) kx , 0 x 1X1 , x 1求：①系数 k；②X落在区间(0.3,0.7) 内的概率；③随机变量X的概率密度。

解：第①问利用F X (x) 右连续的性质k ＝1P 0.3 X 0.7 P 0.3 X 0.7 P X 0.7 第②问F 0.7 F 0.3第③问f (x)Xd F(x)Xdx2x 0 x 10 else专业知识分享完美 WORD 格式x1-10 已知随机变量X 的概率密度为( ) ( )f x ke xX（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X落在区间 (0,1)内的概率③随机变量 X的分布函数解：第①问f x dx 1 k12第②问x2P x X x F x F x f x dx1 2 2 1x1随机变量 X落在区间( x1 , x2 ] 的概率 P{ x1 X x2} 就是曲线y f x 下的曲边梯形的面积。

1P 0 X 1 P 0 X 1 f x dx1 2 1 e1第③问12 f x12xe xxe xxF x f ( x)dx1 1x x xe dx x 0 e x 02 20 1 1 1xx x xe dx e dx x 0 1 e x 02 0 2 2专业知识分享完美 WORD 格式1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。

设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000 辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于 2 的概率是多少？n=1- 分布 (0 1)n ,p 0,np=二项分布泊松分布n 成立，0不成立, p q高斯分布实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布n 10 p 0.1P X kk e＝＝np k!汽车站出事故的次数不小于 2 的概率P(k 2) 1 P k 0 P k 10.1P(k 2) 1 1.1e 答案专业知识分享完美 WORD 格式1-12 已知随机变量 (X,Y)的概率密度为f (x, y) XY(3 x 4 y),ke x 0, y 0, 其它0求：①系数k？②( X ,Y)的分布函数？③P{0 X 1,0 X 2} ？第③问方法一：联合分布函数F XY (x, y) 性质：若任意四个实数 a ab b ，满足1, 2, 1, 2a a bb ，满足a1 a2,b1 b2 ，则P{a X a ,b Y b}F XY(a ,b ) F XY(a ,b) F XY(a ,b ) F XY(a ,b)1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1P{0X 1,0 Y 2} F XY(1,2) F XY(0,0) F XY(1,0) F XY(0,2)方法二：利用P{( x, y) D } f XY u,v dudvD2 1P{0X 1,0 Y 2} f XY x,y dxdy0 0专业知识分享完美 WORD 格式1-13 已知随机变量(X,Y) 的概率密度为f (x, y)1, 0 x 1, y x0 , 其它①求条件概率密度 f X (x| y)和f Y ( y | x) ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。

随机信号分析（第3版）课后习题解答

随机信号分析（第3版）课后习题解答《随机信号分析》课程（32学时）—— 2007年教学内容建议1 概率论基础 1.12 随机信号2.1 两条样本函数为：0)(0=t X 、wt t X cos 21)(1=；1)0,(=x f X 、2)4,(=w x f X π；）（0-)2,(x wx f X δπ= 2.2 3103532)2,(=++=X E 、）（）（）（5-313-312-31)2,(x x x x F X εεε++= 2.3 ）（）（1-2121)21,(x x x F X εε+=、）（）（2-21121)1,(x x x F X εε++=；）（）（）（）（2-,1411,1412-,411,41)1,21,,(21x x x x x x x x x x F X -++-+++=εεεε2.4 略2.5 ）（）（1-1.09.0)5,(x x x F X εε+=；）（）（y x y x y x F ,11.0,9.0)0025.0,0,,(-+=εε；0因为其概率为0.9；1的概率为1（样本函数），它是可预测的，就是样本函数。

2.6 略 2.7 略 2.8 ）（）（121121),(-++=x x n x f X δδ、0121)1(21)(=?+-?=n X E 、{})()]()([)]()()][()([),(2121221121n n n X n X E n m n X n m n X En n Cov X X -==--=δ；不可预测2.9 （2.19）10103523)()(),(2111=?==t t t t Cov σσρ、所以（X,Y ）满足10103;5,2;2,2的高斯分布。

其概率密度函数为：-+--?--?-=-+--?----=5)2(5)2)(2(32)2(5exp215)2(10)2)(2(1010322)2()10/91(21exp 21),(2222y y x x y y x x y x f XY ππ；特征函数为：++-+=)6)(5)(2(21)22(exp ),(21222121v v v v v v j y x XY φ3 平稳性与功率谱密度3.1 kk k u t t u u f-=)4exp(2*21),,;,,(211π ；因为k 阶概率密度函数与绝对时间无关，所以为严格平稳过程。

随机信号分析(常建平李海林)习题答案解析

完美 WORD 格式1-9 已知随机变量X的分布函数为0 , x 02F (x) kx , 0 x 1X1 , x 1求：①系数 k；②X落在区间(0.3,0.7) 内的概率；③随机变量X的概率密度。

解：第①问利用F X (x) 右连续的性质k ＝1P 0.3 X 0.7 P 0.3 X 0.7 P X 0.7 第②问F 0.7 F 0.3第③问f (x)Xd F(x)Xdx2x 0 x 10 else专业知识分享完美 WORD 格式x1-10 已知随机变量X 的概率密度为( ) ( )f x ke xX（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X落在区间 (0,1)内的概率③随机变量 X的分布函数解：第①问f x dx 1 k12第②问x2P x X x F x F x f x dx1 2 2 1x1随机变量 X落在区间( x1 , x2 ] 的概率 P{ x1 X x2} 就是曲线y f x 下的曲边梯形的面积。

1P 0 X 1 P 0 X 1 f x dx1 2 1 e1第③问12 f x12xe xxe xxF x f ( x)dx1 1x x xe dx x 0 e x 02 20 1 1 1xx x xe dx e dx x 0 1 e x 02 0 2 2专业知识分享完美 WORD 格式1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。

设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000 辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于 2 的概率是多少？n=1- 分布 (0 1)n ,p 0,np=二项分布泊松分布n 成立，0不成立, p q高斯分布实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布n 10 p 0.1P X kk e＝＝np k!汽车站出事故的次数不小于 2 的概率P(k 2) 1 P k 0 P k 10.1P(k 2) 1 1.1e 答案专业知识分享完美 WORD 格式1-12 已知随机变量 (X,Y)的概率密度为f (x, y) XY(3 x 4 y),ke x 0, y 0, 其它0求：①系数k？②( X ,Y)的分布函数？③P{0 X 1,0 X 2} ？第③问方法一：联合分布函数F XY (x, y) 性质：若任意四个实数 a ab b ，满足1, 2, 1, 2a a bb ，满足a1 a2,b1 b2 ，则P{a X a ,b Y b}F XY(a ,b ) F XY(a ,b) F XY(a ,b ) F XY(a ,b)1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1P{0X 1,0 Y 2} F XY(1,2) F XY(0,0) F XY(1,0) F XY(0,2)方法二：利用P{( x, y) D } f XY u,v dudvD2 1P{0X 1,0 Y 2} f XY x,y dxdy0 0专业知识分享完美 WORD 格式1-13 已知随机变量(X,Y) 的概率密度为f (x, y)1, 0 x 1, y x0 , 其它①求条件概率密度 f X (x| y)和f Y ( y | x) ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。

第四章习题解答

0)
(
1 e
1 e2
)
(1
1)
1 e2
1 1 ； e e2
E[(
X1
X
2
)2
]
(0
0)2
(1
1) e
(0
1)2
0
(1
0)2
(
1 e
1 e2
)
(1
1) 2
1 e2
1 e
3 e2
；
D( X1
X2)
1 e
3 e2
(1 e
1 e2
)2
1 e
2 e2
2 e3
1 e4
．
解法二由⑴可求得 X1 X 2
44 32
44
16
P{X
2}
C42 (C42 C21C41 ) 44
21 ，P{X 64
3}
C43 44
1 64
，即
X
0 1 2 3
3 32
9 21 1 16 64 64
，
所以
EX 0 3 1 9 2 21 3 1 81 ． 32 16 64 64 64
又 E( X 2 ) 02 3 12 9 22 21 32 1 129 ，所以
i j, i, j 1, 2,
i j,
, n ．所以
Байду номын сангаас
C
ov( X1,Y )
C ov( X1,
1 n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
C ov( X1,
Xi)
2 n
，选（A）．
同理可计算得
D( X1
Y
)
n

随机信号分析(常建平李海林)习题答案解析

y
y
0
1
1
e
e
y
3
2
1
0
else
1-17 已知随机变量 X,Y 的联合分布律为
P X m,Y n
m ne 5
32
, m,n 0,1,2,
m! n!
***
求： ① 边缘分布律
***
P X m (m 0,1,2, ) 和
②条件分布律 P X m |Y
和 n
PY
n|X
m？
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P Y n (n 0,1,2,
0.0001 ，若每天有 1000 辆汽车进
出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于
2 的概率是多少？
二项分布
n=1
- 分布 (0 1)
n
,p 0,np=
泊松分布
n
成立， 0 不成立
,p q
高斯分布
实际计算中，只需满足
，二项分布就趋近于泊松分布 n 10 p 0.1
ke PX k ＝
k!
＝ np
汽车站出事故的次数不小于
X
3
6
7
求： ①X 的分布函数
P 0.2 0.1 0.7 ② 随机变量 Y 3X 1 的分布律
1-15 已知随机变量 X 服从标准高斯分布。求：①随机变量 Z X 的概率密度？的概率密度？ ② 随机变量
分析 : ① f Y (y)
h '(y)
f X h( y)
② f Y ( y) | h' 1 (y) | f X [h 1 ( y)]
第③问
fx Fx
1x 2e
0 x
1x
e 2
0 x

[VIP专享]随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第三章习题讲解

、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中 A 是均值为 2，方差为 1 的高斯变量，B 是（0，2）上均匀分布的随机变量，且 A 和 B 独立。求（1）证明 X(t)是平稳过程。（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
88.8918÷1.2990÷.1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8535.78.208÷023.2173c00÷1*m=29030.3922c=.1÷20m3=2÷120252.=3535=42314c)*523m240341*31.252=31*.1.535.*031342.*9205221.04.455=+213*05*2022.02.854850.3150.*+58c12*5m1*202+.050+0.014*85.20*051000+0+03/8T.+0÷+=55+1*011+010+91÷01454050*0010200+5+0+080+400*+4**1*1510.3910%*C%-*6+÷M(=*M=5÷50)*30*31(÷3110*5+**÷4*1m243.%71e=78%n0)8=8s.5=77.93c.6c0mmc.4*m1*31,0w199o.k2.m4c-cem.5mn2csp26m659*.0.34-50.60c5*pm.3c85m9,c05g.m.05i0rp-l.s.85p6/c50bcm0.om7py.c.6spm5c+mc;0m..7.cmk ; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2

随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第二章习题讲解

A与 B独立 , f AB (a, b) f A (a) fB (b)
X (t) A Bt Y(t) A
A Y(t) X (t) Y (t)
B t
01 J1 1 1
t tt
1
xy 1
xy
f XY (x, y; t ) J f AB (a,b) t f AB ( y, t ) t f A ( y) f B ( t )
E X (t) E A cost XH cost EA XH
D X (t) E X 2 (t ) E2 X (t )
方法 2：
D X (t)
D Acost XH D Acost cos2 t DA cos2 t
12
D XH
公式： D aX＋ bＹ a2 D X b2 D Y 2abC XY
RX (t1, t2 )=E Acost1 XH A cost2 XH
f X (x1；0)
1
x12 e 2，
2Байду номын сангаас
A
1
X (t)
~ N (0, )
t 30
2
4
f X ( x2； 3
)＝
0
2 2
e
2
x2
2
，
X (t) t
＝0，
f ( x3；2
)
0
20
( x3)
(离散型随机变量分布律 )
2-2 如图 2.23 所示，已知随机过程 X (t) 仅由四条样本函数组
成，出现的概率为
数 RX (t1, t2 ) ？②若已知随机变量相 A, B 互独立，
它们的概率密度分别为 f A (a) 和 f B (b) ，求 X (t) 的一

第四章习题答案

5 / 6 1 / 6 解 : 传递矩阵为 PY | X = , 输入信源符号的概率 3 / 4 1 / 4 分布可以写成行向量形式, 即PX = [0.6 0.4] 由信道传递矩阵和输入信源符号概率向量 , 求得输出符号 5 / 6 1 / 6 概率分布为 PY = PX PY | X = [0.6 0.4] = [0.8 0.2] 3 / 4 1 / 4 输入符号和输出符号的联合概率分布为 PXY 0.6 0 5 / 6 1 / 6 0.5 0.1 = 3 / 4 1 / 4 = 0.3 0.1 0 0.4
(1) I ( x 1 ) = − log p( x1 ) = − log 2 0.6 = 0.737(bit ) I ( x 2 ) = − log p( x 2 ) = − log 2 0.4 = 1.322(bit ) p( y1 | x1 ) 5/6 ( 2) I ( x1 ; y1 ) = log = log 2 = 0.059(bit ) p( y1 ) 0.8 p( y 2 | x1 ) 1/ 6 I ( x 1 ; y 2 ) = log = log 2 = 0.269(bit ) p( y 2 ) 0.2 p( y1 | x 2 ) 3/4 I ( x 2 ; y1 ) = log = log 2 = 0.09(bit ) p( y1 ) 0.8 p( y 2 | x 2 ) 1/ 4 I ( x 2 ; y 2 ) = log = log 2 = 0.322(bit ) p( y 2 ) 0.2
解：每个字母占用2× 5ms=10ms ，每秒内发出 1000/10=100个字母的代码组（单位：字母/s）。 (1) 各个字母以等概率出现时，每个字母的代码组含 2bit信息量，传输的平均信息速率R为： R=2×100=200(bit/s) (2) 各字母的出现概率不相等，

随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第三章习题讲解可编辑】

、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B独立。

求（1）证明X(t)是平稳过程。

（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。

（3）画出该随机过程的一个样本函数。

（1）（2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim 2TT T E X t X t X t X t dt A T -→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。

证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j TR E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+ 22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳；②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω？③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω？④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ？⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G eE X t R E X t R e E Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。

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J、随机过程X(t)=A+cos(t+B),其中A是均值为2,方差为1的高斯变量,B是(0, 2兀)上均匀分布的随机变量，且A和B 独立。

求(1)证明X(t)是平稳过程。

(2)X(t)是各态历经过程吗？给出理由。

(3)画出该随机过程的一个样本函数。

(1) E[X(t)] = E[A\ + E[cos(r + 8)] = 2A与与相互独立7?x + 丁] = EA~ H—cos T = 5 —cos T1 1r(2) E[x2(r)] = 5-<oo nX(r)是平稳过程--- 1 C T / \X(0= lim ——\ X (t)dt = AT Too 2T「T ''3-1己知平稳过程x(f)的功率谱密度为G、(〃)=y刀，求：①该过程的平均功率？0+16)②口取值在(-4,4)范围内的平均功率？2x4 42 + ®=4七州 R =R(0)=4 方法二(频域法) f] — ——J Gx(cd)dco =lr_71 J-8 1+ .oo 3? - r” =4CD \ '4JV 1arc tan x) = ---- r7 1 + x 2 (2) 口取值范围为(-4, 4)内的平均功率 •4 32,,da) =2P 2 2〃 7?(r) = F-1[G x (®)] = 4-F-1 (1)： P = E [X 2 (?)] = —方法一(时域法)3-7如图3.10所示，系统的输入X。

)为平稳过程, 系统的输出为W) = x(。

-x(—『)。

证明：输出W) 的功率谱密度为Gy (口) = 2Gx㈣(1 - cos或)期) +--------------------------------------- ------------------- *—延时T ----解：已知平稳过程的表达式n 利用定义求R Y(r) = E[Y(t)Y(t + T)]^G y(®) = F[7?y(r)]7?r(r)= E[y(z)y(r + r)]= E[{X(t)-X(t-T)}{X(t + r)-X(t + T-T}]= 2Rx(f)-Rx(—T)-Rx("T)系统输入输出平稳GxO)0Rx(J)Gy®)。

随机信号分析基础课后练习题含答案

随机信号分析基础课后练习题含答案第一部分随机变量和概率分布练习题1设离散随机变量X的概率分布函数为：X0 1 2 3 4P X0.05 0.15 0.35 0.30 0.15求E(X)和D(X)。

答案1根据概率分布函数的公式有：$$E(X)=\\sum_{i=1}^n x_i P_X(x_i) = 0 \\times 0.05 + 1\\times 0.15 + 2 \\times 0.35 + 3 \\times 0.30 + 4 \\times 0.15 = 2.25$$$$D(X)=\\sum_{i=1}^n (x_i-E(X))^2P_X(x_i) = 0.710625$$ 练习题2已知随机变量X的概率密度函数为：$$f_X(x) = \\begin{cases} \\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}} & x \\geq 0 \\\\ 0 & x < 0 \\end{cases}$$求E(X)和D(X)。

答案2根据概率分布函数的公式有：$$E(X)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}xf_X(x)dx =\\int_{0}^{+\\infty}x\\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}}dx=3$$ $$D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}x^2f_X(x)dx-(E(X))^2=\\int_{0}^{+\\infty}x^2\\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}}dx-9=\\frac{27}{4}$$第二部分随机过程练习题3设二阶矩有限的离散时间随机过程X n的均值序列为m n，自相关函数为R n(i,j)=E(X i−m i)(X j−m j)，其中 $0 \\leq i,j \\leq N$。

若m n=n2,R n(i,j)=ij(i+j)，求 $E(\\sum_{n=0}^N X_n)$。

随机信号分析CH4习题及答案

习题4.1 随机信号()1Y t 与()2Y t 的实测样本函数如下题图4.1(a)与(b)所示，试说明它们是否均值各态历经。

（a ）（b ）题图4.1解：由均值各态历经信号的定义：[][](,)(,)MSEA Y t s E Y t s =，即随机信号的每条样本的时间平均都相同，并在均方误差意义下等于其统计平均。

图（a ）中每条样本的时间平均都不相同，()1Y t 不可能是均值各态历经信号；图（b ）中每条样本的时间平均都可能相同，且大致等于其统计平均，()2Y t 很可能是均值各态历经信号4.2 随机二元传输信号如例3.16所述，试分析它的均值各态历经性。

解：由例3.16，随机二元传输信号的协方差函数为，41(),0Y pq T C TTττττ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭>⎪⎩又根据定理 4.1的充分条件为：()lim 0C ττ→∞=，且()04C pq =<∞，因此，它是均值各态历经信号。

又解：根据定理4.1的充要条件11lim ()4lim 2211lim 240221L TL T L L L pq T C d d L L T pq L ττττ--→∞→∞→∞==⋅⎛⎫- ⎪⎝⋅⋅=⎭⎰⎰因此，它是均值各态历经信号。

4.34.4 随机信号()X t 与()Y t 是联合广义各态历经（各自广义各态历经，且[][]()()()()A X t Y t E X t Y t ττ+=+）的，试分析信号()()()Z t aX t bY t =+的各态历经性，其中a 与b 是常数。

解：由题意，均方意义下有，[][][][]()(),()()A X t E X t A Y t E Y t == [][]()()()()A X t X t E X t X t ττ+=+[][]()()()()A Y t Y t E Y t Y t ττ+=+[][]()()()()A X t Y t E X t Y t ττ+=+[][]()()()()A Y t X t E Y t X t ττ+=+因而[]()[][][][]()[]()()()()()())(()A aX t bY t aA X t bA Y t aE X t b A Z t E E Y t Z t E aX t bY t =+⎡⎤⎣⎦=+=+=+=⎡⎤⎣⎦所以，()Z t 是均值各态历经信号[]()()[][][][][][][][]()()[]2222()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()())A aX t bY t aX t bY t a A X t X t b A Y t Y t abA X t Y t abA Y t X t a A Z t Z t E X t X t b E Y t Y t abE X t Y t abE Y t X t E aX t bY t aX E t Y Z t t b t Z ττττττττττττττ=++++⎡⎤⎣⎦=+++++++=+++++++=++++⎡⎤++⎣⎦==()Z R τ因此，()Z t 是相关各态历经信号，也是广义各态历经。

随机信号分析课后习题答案

第一次作业：练习一之1、2、3题1.1离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。

求随机变量的数学期望和方差。

解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=ii ix X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。

解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f由 1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P 1.3试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。

（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x xx x F（3）0)]()([)(>--=a a x u x u ax x F （4）0)()()(>---=a a x u ax a x u a x x F解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-00e1)(2x x x F x当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数；1)(0≤≤x F 成立； )()(x F x F =+也成立。

随机信号分析(常建平-李林海)课后习题答案第四章习题讲解

4-4设有限时间积分器的单位冲激响应h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数()()()()()22221:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωωπτττ∞-∞⎡⎤==⎣⎦⎡⎤=-==⎣⎦=*⎰思路()()()10()()10()10[()(0.5)]()()10[()(0.5)]XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数00020.025()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)()10()()()10()()10101100.55[()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλλλλλμ∞∞∞∞==⇔====**-=*-=+=+=-=-=⋅=⨯==⎰⎰⎰⎰⎰时域法平均功是白噪声，，，率面积法：225[()][()]5Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率()Y R τ()()()2141224222Y2(P1313711()2415()()()102424115112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτττωωωωωωωωωωωππωωπ---∞∞∞-∞∞--∞⎛⎫--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭-⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫===⎛⎫= ⎪ ⎭⎪⎭⎝⎝⎰⎰⎰P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法）频()()2220000[()][()][()]5Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =⋅=⋅⇒=-===P 交直流分量为平均功率：流4-5 已知系统的单位冲激响应()(1)[()(1)]h t t U t U t =---，其输入平稳信号的自相关函数为()2()9X R τδτ=+，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？分析：直流功率＝直流分量的平方解: 输入平稳输出的直流分量输出的直流功率()2300X X m R σ==±==()()()10332Y X m m h t h t ττ=*=*=⎰=31-d 294Y m =()Y X m m h t =*4-7 已知如图4.21 所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为0N 的白噪声，求：①系统的传递函数()H ω？②输出()Z t 的均方值？其中2222[sin()][()]2ax dx a ax dx axSa π∞∞==⎰⎰()()()()()()()112122121212()()()()()()()()()()()F ()(1)()()11()()()()()()()(()j T Y t X t X t T h t t t T t h t d U t Y X H Y H X H H H H H H e H j H h H t h t H ωωωωωωωωωωωωωωωπδωωωωδδωλδλω-∞-∆∆=--=--⇒=⋅==⇒⇒=-=+=⋅=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦⎰Z Z 可以分别求冲激响应，输入为冲激函数：输入为冲激函数、，冲激响应＝1(1)()1)[()](1)()j Tj T j T e e e j j ωωωπδωπδωωω----=-+=-＋()2222222220022022102(2)(1)(1)2()(1cos )2sin sin 2sin ((0)()()()21sin 21sin (0)2)()()()[()]j T j T Z X j Z Z Z Z Z Z e e H T j j T TN T G G H H N T N e d T R G R R F G R N ωωωτωωωωωωωωωωωωωωωωωπωωπωωττω+∞-∞----=⋅=-⋅=⇒⋅=⋅⋅=⋅-⋅⇒⋅==⋅⎰＝＝＝求输出Z t 的均方值即，所以有2200000sin 2222j e d N TN N T d T τωωπωπωπ∞-∞∞=⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰4-11 已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为2424()109Y G ωωωω+=++求此稳定系统的单位冲激响应()h t ？解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()242223211242()41092243311()()12231311112()0231921Y t Y X X t G s s s s s s G H G H s H s H s s j H s H s s j j h t F H F e e U t j j s s j s H G s ωωωωωωωωωωωωωωωωω----⋅==⇒=-=++=⇒=++++⎛⎫ ⎪+=++-+-+====+ ⎪++ ⎪⎝⎭-+-+-+==系统稳定，则零头、极点都＋在左半平面带入4-12 已知系统输入信号的功率谱密度为223()8X G ωωω+=+ 设计一稳定的线性系统()H ω，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？解：()()()()()221()11()Y X X G G H s s H s G s H s H ωωωω=⇒⋅=⇒==⇒==即4-14 功率谱密度为02N 的白噪声作用于(0)2H =的低通网络上，等效噪声带宽为XH MHz 。

4高斯分布

数学期望
矩
相关理论
新
特征函数
定义性质
一维 n维
特征函数的定义（一维）
1
2
QX
u 噲垐傅傅垐垐立立叶叶垐正逆垐变变换换垎垐
f
x
变换是唯一的
存在2系数，不是傅立叶变换
QX u E[e juX ]

f
xe juxdx

2
1
2
3 条件数学期望
新
随机变量关于某个给定值的条件
数学期望
随机变量关于另一个随机变量的条件数学期望
随机矢量的数字特征
数学期望矩
相关理论特征函数
数学期望方差互相关
协方差
随机矢量的数字特征
数学期望
矩相关理论特征函数
相关系数的引入
不相关、正交
不相关、正交、独立之间的关系
随机矢量的数字特征
n
对比2： X1,K , X n相互独立，Y Xi，则有
一元特征函数性质5
i 1 n
QY u QXi u
i 1
形式相似，内容不同
特征函数的性质（n维）
6、边缘特征函数
uur 随机矢量 X

X1 M
ur 的子矢量Y

X1 M，且已知特征函数QX
Arn LL

O(nr
ur
)n
nn
uur B
B

L
L r 0
n1
两种特殊情况
n维随机变量
a1
1、已知r

n
，A

随机信号分析(常建平-李林海)课后习题答案第四章习题讲解

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