高中数学必修二直线与圆方面的知识点

高中数学必修2知识点——直线与圆

整理 徐福扬

一、直线与方程 （1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0

②过两点的直线的斜率公式：)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程

不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：

11

2121

y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a

b

+=

其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）

注意：○

1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：

平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：

a x =（a 为常数）；

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系

平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数） （二）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；

（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为

()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

（6）两直线平行与垂直

当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，

212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交

交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00

222

111C y B x A C y B x A 的一组解。

方程组无解21//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合

（8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系

中的两个点，

则||AB =

（9）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线

0:1=++C By Ax l 的距离2

2

00B

A C

By Ax d +++=

（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆与方程

圆的标准方程

1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=

圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程

2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：

（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上

（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 4.1.2 圆的一般方程

1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x

2、圆的一般方程的特点：

(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，

圆心)2

,

2

(E

D -

-到直线的距离为d ，

则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；

（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交； 4.2.2 圆与圆的位置关系

两圆的位置关系．

设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；

（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；

（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1

C 与圆2C 内含；

4.2.3 直线与圆的方程的应用

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

y