2.1.1-3无理数指数幂教案
幂的运算—幂的乘方教案设计
幂的运算—幂的乘方教案设计幂的运算—幂的乘方教案设计「篇一」幂的运算的小结与思考教案课题：幂的运算的小结与思考教学目标：1、能说出幂的运算的性质；2、会运用幂的运算性质进行计算，并能说出每一步的依据；3、能说出零指数幂、负整数指数幂的意义，能用熟悉的事物描述一些较小的正数，并能用科学记数法表示绝对值小于1的数；4、通过具体例子体会本章学习中体现的从具体到抽象、特殊到一般的思考问题的方法，渗透转化、归纳等思想方法，发展合情推理能力和演绎推理能力。
教学重点：运用幂的运算性质进行计算教学难点：运用幂的运算性质进行证明规律教学方法：引导发现，合作交流，充分体现学生的主体地位一、系统梳理知识：幂的运算：1、同底数幂的乘法2、幂的乘方3、积的乘方4、同底数幂的除法：（1）零指数幂（2）负整数指数幂请你用字母表示以上运算法则。
你认为本章的学习中应该注意哪些问题？二、例题精讲：例1 判断下列等式是否成立：①(-x)2＝-x2。
②(-x3)＝-(-x)3。
③(x-y)2＝(y-x)2。
④(x-y)3＝(y-x)3。
⑤x-a-b＝x-(a+b)。
⑥x+a-b＝x-(b-a)．解：③⑤⑥成立．例2 已知10m＝4，10n＝5，求103m+2n的值．解：因为103m=(10m)3=43 =64,102n=(10n)2=52=25。
所以103m+2n=103m102n=6425=1680例3 若x＝2m+1，y＝3+4m，则用x的代数式表示y为______．解：∵2m＝x-1。
y＝3+4m＝3+22m．＝3+(2m)2＝3+(x-1)2＝x2-2x+4．例4设＜n＞表示正整数n的个位数，例如＜3＞=3，＜21＞=1，＜1324＞=2，则＜210＞=______．解 210=(24)222=1624。
＜210＞=＜64＞=4例5 1993+9319的个位数字是A．2 B．4 C．6 D．8解1993+9319的个位数字等于993+319的`个位数字．∵ 993=(92)469=81469．319=(34)433=81427．993+319的个位数字等于9+7的个位数字．则 1993+9319的个位数字是6．三、随堂练习：1、已知a=355，b=444，c=533，则有（）A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．a＜c＜b2、已知3x=a，3y =b，则32x-y等于3、试比较355，444，533的大小．4、已知a=-0.32,b=-3-2,c=(-1/3)-2d=(-1/3)0,比较a、b、c、d的大小并用“，〈”号连接起来。
【课件】无理数指数幂及其运算性质课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
1、教科书109页 练习1、2
2、预习4.1 第5题
本节内容结束
THANKS
限时小练
1．方程 3
2 x－1
)
2
B．－ 2
A．－ 2
2．式子
1
＝9的解是(
1
π0·b4
a
2
D. 2
C. 2
1
a2b-2(a，b>0)的值为________．
1 1 1
3．若 a，b，c 为正实数，a ＝b ＝c ，x＋ y＋ z ＝0，
x
y
z
求 abc.
简解答：
限时小练
限时小练
限时小练
课堂作业
＝29×32＝4 608.
巩固与练习
规律方法
1.无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同．
2．在进行无理数指数幂的运算时，一定要注意按照运算性质进
行变形、计算， 不能为了简化某一个数字而改用、错用公式．若
式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式．
巩固与练习
例 2 从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升，然后加满水，再
数
学
新教材人教版·高中必修第一册
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.1.2
无理数指数幂及其运算性质
要求
课标要求
1.通过对实数指数幂aα(a>0，且a≠1，α∈R)含义的认识，
了解指数幂的拓展过程.2.掌握实数指数幂的运算性质．
素养要求
能够结合教材实例了解指数幂的拓展过程，掌握实数指
数幂及其运算性质在指数运算中的应用，提升数学抽象
逐步拓展到了实数，实数指数幂仍是一个确定的实数.
新知引入
2.1.1指数与指数幂的运算教案
2.1.1指数与指数幂的运算教案篇一：2.1.1指数与指数幂的运算教案指数与指数幂的运算申请资格种类：高级中学教师资格学科：数学测试人姓名：课题名称：第二章第一节指数函数第一课时指数与指数幂的运算一、教学内容分析指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛。
它是在上一章节学习了函数的概念和基本性质后第一个较为系统研究的基本初等函数。
教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性，为此先将平方根和立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步介绍了分数指数幂及其运算性质，最后结合一个实例，通过有理数指数幂逼近无理数指数幂的方法介绍了无理数指数幂的意义，从而将指数的取值范围扩充到实数。
本节是下一节学习指数函数的基础。
二、教学对象分析授课对象为高一学生。
首先，这个年龄段的学生学习兴趣浓厚、思维活跃和求知欲强。
其次，学生在初中学习阶段已经接触到平方根与立方根、整数指数幂及其运算性质等知识点，为本节学习奠定了知识的基础。
最后，本节的学习过程中对学生观察力、逻辑能力、抽象能力有一定要求，这对该阶段的学生可能会造出一定的困难。
三、教学目标四、教学重点和难点本节的教学重点是理解有理数指数幂的意义、掌握幂的运算。
本节的教学难点是理解根式的概念、掌握根式与分数指数幂之间的转化、理解无理数指数幂的意义。
五、教学方法根据本节课的特点，采用问题探究、引导发现和归纳概括相结合的教学方法。
六、教学过程设计（一）导入新课1、引导学生回忆函数的概念，说明学习函数的必要性，引出实例。
2、以实例引入，让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂的兴趣与欲望。
问题：当生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。
根据此规律，人们想获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t的关系。
引导学生得出关系式：t?1?5730P???2??总结关系式能解决实际问题，让学生体会数学的应用价值，同时指出为了更好地解决实际问题必须进一步深入学习函数。
人教A版高中数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算第一、二、三课时
备用
1.要使
(5x
1
)
3 4
(x
2
1) 3
有意义,则x的取
值范围是 2
2.计算:1
(a 2
1
a2
1
)(a 2
1
a2
)(a
a2
a1)
a2
3.求值: 3 2 5 12 3 2 2
2.1.1 指数与指数幂的运算
第3课时
指数式的计算与化简
指数式的计算与化简,除了掌握定义、法则外，还 要掌握一些变形技巧.根据题目的不同结构特征,灵 活运用不同的技巧,才能做到运算合理准确快捷.
(2)在 根 式n am中,若 根 指 数n与 幂 指 数m有 公 约 数 时, 当a 0时 可约 分.当a 0时 不可 随意 约 分. 如8 32 4 3, 10 (2)2 5 2而15 (2)5 3 2.
课堂练习：课本 P54中练习第3题
课外作业：课本 P59习题2.1中A组第2，3，4题
4.下 列 各 式 中,正 确 的 是( C )
A.6 (2)2 3 2 B.4 (3 )4 3
C .(3 2 )3 2 D.6 (2a 1)6 2a 1
小结
1.n次方根的定义:
一般地，如果xn a，那么x叫做a的n次方根, 其中n 1且n N .
2.根式的简单性质: 1) 当n 1, n N *时，总有 (n a )n a.
(1)a a1 7; (2)a2 a2 47;
3
a2 (3) 1
3
a 2
1
(a
1 2
1
a2
)(a
1
a1
1
1
a2
1
a2
)
高一数学人教A版必修一精品教案：2.1.1指数
课题：§2.1.1指数教学目的：（1）掌握根式的概念；（2）规定分数指数幂的意义；（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；（5）了解无理数指数幂的意义教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂． 教学过程：一、引入课题1． 以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性2． 由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；3． 复习初中整数指数幂的运算性质；nn n mnn m nm n m b a ab a a a a a ===⋅+)()( 4． 初中根式的概念；如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根；二、新课教学（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根（n th root ），其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）．当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ．思考：（课本P 58探究问题）n n a =a 一定成立吗？．（学生活动）结论：当n 是奇数时，a a n n =当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 例1．（教材P 58例1）．解：（略）巩固练习：（教材P 58例1）2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a a a n m n mn m0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．有理指数幂的运算性质（1）r a ·s r r aa += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>； （3）sr r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 引导学生解决本课开头实例问题例2．（教材P 60例2、例3、例4、例5）说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用． 巩固练习：（教材P 63练习1-3）4． 无理指数幂结合教材P 62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．思考：（教材P 63练习4）巩固练习思考：：（教材P 62思考题）例3．（新题讲解）从盛满1升纯酒精的容器中倒出31升，然后用水填满，再倒出31升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？解：（略）点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．三、归纳小结，强化思想本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．四、作业布置1．必做题：教材P69习题2．1（A组）第1－4题．2．选做题：教材P70习题2．1（B组）第2题．。
高中数学2_1指数与指数幂的运算教案版
黑龙江省鸡西市高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教案新人教版必修1课题：§2.1.1指数及指数幂的运算模式与方法启发式教学目的使学生理根式的概念，掌握n次方根的性质。
重点指数的运算难点指数的运算教学内容师生活动及时间分配一，引入课题为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到实数指数幂，本小节主要学习分数指数幂的概念和运算性质，并给出了无理数指数幂的概念和性质。
2．为了学习分数指数的概念，首先要介绍根式的概念，学生在初中已学习了数的开平方、开立方和二次根式，根式的内容是这些已学内容的推广。
因此要结合这些已学内容引入根式的概念和n次方根的性质。
二、探索新知（一）引出根式的概念。
需要注意的是，当n 是奇数时，表示a的n次方根；当n是偶数时，a≥0，表示正的n次方根或0。
在两种情况下，根据n次方根的概念，都有。
也就是.教师引导学生复习初中所学的公式及相关知识引导讨论x的范围加深对于公式的理解及应用说，先开方，再乘方（同次），结果为被开方数，如果先乘方，再开方（同次），结果是什么呢？可让学生分别求出的结果，然后指出，一般地，当n 为奇数时，，当n为偶数时，。
可向学生说明，当n 是偶数时。
的结果为|a|，是因为≥0时，而则是根据绝对值的意义得出的。
课堂练习：1、填空： （1）25的平方根是 （2）27的立方根是（3）－32的五次方根为 （4）16的四次方根是2、若244(),a a a -=-则a 的取值范围是3、求下列各式的值（1）2(5) （2）33(2)- （3）44(2)- （4）2(3)π-.四，小结：教师引导学生总结并补充五、课后作业教科书P 59 4选做：练习册。
2.1.1指数幂运算与无理数指数幂
3, 3
例6：已知x+x =3，求下列各式的值 (1)x x
2 1 2 2 1 2
1
2 x x 3 3 3 x x
3
补充：x y x y x
3
2
xy y
2
1 a b a b ________
4 4
2 2 2 ______
【题型4】分数指数幂或根式中x的定义域问 题根式运算 例5.求下列各式中x的范围
(1) 1 x ;
4
。
x≤1
(2).( x 1)
1 3 X≠1
(3)( x 1)
2 3
X∈R
(4).(1 2 x)
3 4 x 1
2
(5).(| x | 1)
1 3
思考2:观察上面两个图表，你能发现 5 2 的 大小可以通过怎样的途径来得到吗？ 结论:由一串逐渐增大的有理数指数幂的值
5
1.4
,5
1.41
,5
1.414
,5
1.4142
,
和另一串逐渐减小的有理数指数幂的值
5 ,5
1.5
1.42
,5
1.415
,5
1.4143
, 无限逼近得到
无理数指数幂
51.4
-6x+4=0的两根且a>b,
a b 求 的值. a b
1.分数指数概念
(1) a n a m ; m (2) a n 1 m an
m n
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
n
1 ; am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理数指数幂运算性质
指数函数(5课时)—-必修第二章集体备课
第一课时：2.1.1 指数与指数幂的运算(一)教学要求：了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念． 教学重点：掌握n 次方根的求解.教学难点：理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？（2a 、3a ）2. 回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根. → 二. 讲授新课:1. 教学指数函数模型应用背景：① 探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a 万，则x 年后人口数为多少万？ 实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次）计算：若报纸长50cm ，宽34cm ，厚0.01mm ，进行对折x 次后，问对折后的面积与厚度？② 书P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x 年后GDP 为2000年的多少倍？书P52 问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后体内碳14的含量P 与死亡时碳14的关系为57301()2tP =. 探究该式意义？③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学. 2. 教学根式的概念及运算：① 复习实例蕴含的概念：2(2)4±=,2±就叫4的平方根；3327=，3就叫27的立方根.探究：4(3)81±=,3±就叫做81的？次方根, 依此类推,若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根. ② 定义n 次方根：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根.( n th root ),其中1n >,n *∈N. 例如：328=2③ 讨论：当n 为奇数时, n 次方根情况如何？, 例如:33-, 记：x当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？ 例如: 4(3)81±=,81的4次方根就是3±, 记：强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即. 0④ 练习：4b a =,则a 的4次方根为 ； 3b a =, 则a 的3次方根为 .⑤ 定义根式：像的式子就叫做根式（radical ）, 这里n 叫做根指数（radical exponent ）, a 叫做被开方数（radicand ）.⑥ 计算2→ 探究： n 、n n a 的意义及结果？ （特殊到一般）结论：n a =. 当n 是奇数时，a a n n =；当n (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩⑦ 出示例1.求值化简：（a b <）（师生共练2个 → 学生试练其余2个 → 订正 → 变指数训练 → 小结：性质运用）3. 小结：n 次方根, 根式的概念； 根式运算性质.三、巩固练习： 1. （推广：= a ≥0）.2. ；3. 作业：书P 65 1题.第二课时 2.1.1 指数与指数幂的运算(二)教学要求：使学生正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.教学重点：有理数指数幂的运算.教学难点：有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：什么叫根式？→根式运算性质：n =？、n n a =？、？2.计算下列各式的值：2；3二、讲授新课：1. 教学分数指数幂概念及运算性质:① 引例：a >01025a a == →?=；32333232)(a a a == →?=.②定义分数指数幂：规定*0,,,1)m na a m n N n >∈>；*10,,,1)m nm na a m n N n a-=>∈>③ 练习：A.(0,,1)a m n N n *>∈>B. 求值 2327； 255； 436-； 52a -. ④ 讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？⑤ 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质：0,0,,a b r s Q >>∈r a ·s r r a a +=； rs s r a a =)(； s r r a a ab =)(．2. 教学例题：① 出示例1. 求值:2327; 4316-; 33()5-; 2325()49-（学生试练 →订正→变式：化根式）② 出示例2. 用分数指数幂的形式表示下列各式(0)b >：2b b ; 533b b;（师生共练前2个 → 学生口答最后一个 →小结：运算性质的运用） ③ 出示例3. 计算（式中字母均正）：211511336622(3)(8)(6)a b a b a b -÷-；311684()m n . （师生共练前1个 → 学生口答最后一个 →小结：单项式运算） ④ 出示例4. 334a a (0)a >， 312103652(2)()m n m n --÷- (,)m n N *∈;（学生试练前2个 → 订正 → 讨论：根式运算？分数指数幂运算？ →师生共练第3个）⑤讨论：.（结合教材P 58利用逼近的思想理解无理指数幂意义）无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质？ 3. 小结：分数指数幂的意义，分数指数幂与根式的互化，有理指数幂的运算性质. 三、巩固练习：1. 练习：书P59 1、2、3 题.2. 作业：书P65 2、4题.第三课时 2.1.1 指数与指数幂的运算（三） 练习课教学要求： n 次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式与分数指数幂的运算. 教学重点：掌握根式与指数幂的运算.教学难点：准确运用性质进行计算. 教学过程：一、复习提问: （学生回答,老师板演） 1. 提问：什么叫做根式? 运算性质？2. 提问：分数指数幂如何定义？运算性质？3. 基础习题练习： （口答下列基础题）① n 为时，(0)||...........(0)x x x ≥⎧==⎨<⎩.② 求下列各式的值：681； 62)2(-； 1532-；48x ； 642b a .二、教学典型例题： 1．出示例1.已知1122a a -+=3，求下列各式的值: （注意：补充立方的乘法公式）（１）1-+a a ； （２）22-+a a ； （３）33221122a aa a---- ．讨论方法 → 教师示范 → 学生试练 （答案：（１）７；（２）４７；（３）８．）小结：平方法；乘法公式；根式的基本性质a ≥0）等；注意， a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立.≠2. 出示例2. 从盛满1升纯酒精的容器中倒出31升，然后用水填满，再倒出31升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？讨论：题目含义？ （用图形示范） → 两次之间的关系？ 师生共练 → 变式训练：n 次后？小结方法：摘要→审题； 探究 → 结论； 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答 三、巩固练习：1. 化简：)()(41412121y x y x -÷-. 2. 已知12(),0x f x x x π=⋅>，试求)()(21x f x f ⋅的值.3.用根式表示2134()m n -，其中,0m n >.4. 已知x +x -1=3,求下列各式的值：.)2(,)1(23232121--++x x xx5. 求值：2325; 2327; 3236()49; 3225()4-6. 已知32x a b --=+,.7.2a =时, 实数a 和整数n 所应满足的条件.第四课时： 2.1.2 指数函数及其性质（一）教学要求：使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质. 教学重点：掌握指数函数的的性质．教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 教学过程：一、复习准备：1. 提问：零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的？2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？ 二、讲授新课：1.教学指数函数模型思想及指数函数概念： ① 探究两个实例：A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？② 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？③ 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .④讨论：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中其它指数模型？ 2. 教学指数函数的图象和性质：① 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ ② 回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．③ 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1()2x y =， 2x y = （师生共作→小结作法）④ 探讨：函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1()2x y =的图象？根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或1/3等后？ ⑤ 根据图象归纳：指数函数的性质 (书P 62)⑥ 出示例1. 函数()x f x a =（0,1a a >≠且）的图象经过点（2，π），求(0)f ,(1)f -,(1)f 的值. （讨论方法→学生口答→变式→讨论：确定指数函数重要要素是什么？→小结：待定系数法）⑦ 出示例2. 比较下列各组中两个值的大小：0.60.52,2； 2 1.50.9,0.9-- ； 0.5 2.12.1,0.5 ； 1（讨论：利用什么性质？ → 师生共练，注意格式 → 小结：单调性；利用中间数） ⑧ 练习：A. 比较大小：23( 2.5)- ,45( 2.5)-B. 已知下列不等式，试比较m 、n 的大小：22()()33m n >； 1.1 1.1m n <3.小结：指数函数模型应用思想；指数函数概念；指数函数的图象与性质；单调法 三、 巩固练习： 1. 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为 .2. 比较大小：0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===； 01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5. 3．探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域？4. 练习：书P64 1、2题； 课堂作业：书P65 5、6、7题.第五课时：2.1.2 指数函数及其性质（二）教学要求：熟练掌握指数函数概念、图象、性质；掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；培养学生数学应用意识教学重点：掌握指数函数的性质及应用． 教学难点：理解指数函数的简单应用模型．教学过程：一、复习准备：1. 提问： 指数函数的定义？底数a 可否为负值？为什么？为什么不取a=1？指数函数的图象是2. 在同一坐标系中，作出函数图象的草图：2x y =，1()2x y =，5x y =，1()5x y =, 10x y =,1()10x y = 3. 提问：指数函数具有哪些性质？ 二、讲授新课：1.教学指数函数的应用模型：① 出示例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．(Ⅰ)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x 年后我国的人口将达到2000年的多少倍？ (Ⅱ)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？（师生共同读题摘要→ 讨论方法 → 师生共练→ 小结：从特殊到一般的归纳法） ② 练习： 2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x 年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？③ 小结指数函数增长模型：原有量N ，平均最长率p ，则经过时间x 后的总量y =？ →一般形式： 2. 教学指数形式的函数定义域、值域：① 讨论：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域？② 出示例1. 求下列函数的定义域、值域：21xy =+; y =110.4x y -=.讨论方法 → 师生共练 → 小结：方法（单调法、基本函数法、图象法、观察法）② 出示例2. 求函数y =. 讨论：求定义域如何列式？ 求值域先从那里开始研究？ 3. 练习：① 求指数函数212x y +=的定义域和值域 ② 已知下列不等式，比较,m n 的大小33m n <； 0.60.6m n >； (1)m n a a a >> ； (01)m na a a <<<.4. 小结：指数函数应用模型(,01)x y ka k R a a =∈>≠且；定义域与值域；单调性应用. 三、巩固练习：1. 一片树林中现有木材30000m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x ，y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 32. 比较下列各组数的大小： 13222()0.45--与（） ； 0.760.75-. *3. 求函数2121x x y -=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.4. 课堂作业：书P65 8、9、10题.。
高一无理数指数幂教案
高一无理数指数幂教案教学目标：1.理解无理数指数幂的概念，掌握无理数指数幂的计算方法。
2.能够运用无理数指数幂的性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高解题技巧。
教学重点：1.无理数指数幂的概念和性质。
2.无理数指数幂的计算方法。
教学难点：1.无理数指数幂的性质的理解和运用。
2.复杂无理数指数幂的化简。
教学准备：1.教师准备PPT或黑板，展示无理数指数幂的相关知识点。
2.准备一些练习题，用于巩固学生的理解。
教学过程：一、导入1.复习有理数指数幂的概念和性质，引导学生思考：有理数指数幂和无理数指数幂有何区别？2.引入无理数指数幂的概念，让学生思考：什么是无理数指数幂？它有何意义？二、新课讲解1.讲解无理数指数幂的定义：无理数指数幂是指以无理数为指数的幂函数。
举例说明，如\(2^{\sqrt{2}}\)、\(3^{\pi}\)等。
2.讲解无理数指数幂的性质：性质1：\(a^{\sqrt{n}}=(a^{\sqrt{n}})^2\)，其中\(a>0\)，\(n\)为正整数。
性质2：\(a^{\sqrt{n}}\cdota^{\sqrt{m}}=a^{\sqrt{n+m}}\)，其中\(a>0\)，\(n\)、\(m\)为正整数。
性质3：\((a^{\sqrt{n}})^m=a^{m\sqrt{n}}\)，其中\(a>0\)，\(m\)为有理数，\(n\)为正整数。
3.讲解无理数指数幂的计算方法：方法1：将无理数指数化为有理数指数，然后计算。
方法2：利用指数函数的性质进行化简。
三、案例分析1.分析案例1：题目：计算\(2^{\sqrt{2}}\cdot2^{\sqrt{3}}\)。
解析：根据无理数指数幂的性质2，可得\(2^{\sqrt{2}}\cdot2^{\sqrt{3}}=2^{\sqrt{2+3}}=2^{\sqrt{5}} \)。
2.分析案例2：题目：计算\((\sqrt{2})^{\sqrt{3}}\)。
高中数学《无理数指数幂》精品公开课教案
无理数指数幂（教师叙述：同学们我们前面学习了根式、有理数指数幂，这一节课我们来学习有理数指数幂.这一节课是我们指数与指数幂的运算的最后一课时，学习完之后我们就可以把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂. ）（教师注意：这节课也是一节自学讨论课，希望老师们能够很好的引导学生积极的自学，关键是学生对于逼近思想的理解，这个思想对于我们以后学习极限是很有用的，希望老师们能够切实的起到引导和讲解的作用）（自学引导：做好课下预习，是学习好这节课的重点）一、【学习目标】（约2分钟）（自学引导：做好预习，要了解一个数学思想：逼近的思想）1、了解不足近似值和过剩近似值的概念；2、初步了解逼近的思想；了解无理数指数幂的实质：实数；3、会利用所学知识，解决简单的化简、计算问题【教学效果】：教学目标的出示有利于学生明确这节课要完成的学习任务二、【自学内容和要求及自学过程】（约15分钟）（教师注意：自学课程是老师引导的过程，是学生逐步深入学习的过程，老师一定要起到积极引导的作用，而不是破坏的作用.在学生自学的过程中，老师不能随意的插话，只能在自学前把要注意的问题说清楚.在学生的自学过程中，老师只是俯身做一些个别的辅导，当然这些辅导是对于那些学习中等偏下的同学而言的.基础好的同学不用你辅导，而基础差的学生只能是课下专门的辅导.对于中等的，大部分在你讲解的时候就能完成学习任务，所以要辅导谁，老师心里面是要有底儿的，不要盲目的辅导.在辅导的过程中确实发现要补充的问题时，老师说话语气也要柔和，而不能很大的声音说话，避免破坏学生的学习气氛）请同学们自学教材第52页—53页内容，回答问题（约15分钟）（自学引导：要注意对逼近的思想的理解）<1>我们知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…，是2的什么近似值？<2>同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?<3>你能给上述思想起个名字吗?<4>一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如52,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?<5>借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?（自学引导：同学们要会归纳总结，由一般的自然语言转化为数学的符号语言，这一点是很重要的）结论：<1>1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于2,称2的（不足近似值）,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于2,称2的（过剩近似值）.；<2>第一个表:从大于2的方向逼近2时,52就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近52.第二个表:从小于2的方向逼近2时,52就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于52的方向逼近52；从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面52从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,即小于52的方向接近52,而另一方面52从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向接近52,可以说从两个方向无限地接近52,即逼近52,所以52是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示52的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是（52一定是一个实数,）即51.4<51.41<51.414<51.4142<51.41421<…<52<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5；充分表明52是一个实数；<3>逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识； <4>我们可以推断52是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数；<5>无理数指数幂的意义：一般地，无理数指数幂αa （α,0>a 是无理数）是一个确定的实数.也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.实数指数幂的运算性质：对任意的实数r,s,均有下面的运算性质：①a r·a s=a r+s(a>0,r,s ∈R)②(a r )s=a rs(a>0,r,s ∈R)； ③(a ·b)r=a r b r(a>0,b>0,r ∈R).【教学效果】：这一部分内容关键是对逼近思想的讲解，学生现有的知识结构还是有欠缺的，逼近的思想还是有一点儿难理解的. 三、【练习与巩固】（约20分钟）根据今天所学的知识，完成下列练习（约15分钟）（教师注意：对于这几个练习题，根据各自的学情，老师要有选择的讲解.当然这一部分题目我个人认为计算量比较大，老师最好是在黑板上板演，给学生做一个示范，只有这样，学生才会规范，才会动笔.一孔之见，仅供参考.）（自学引导：切实的动笔算一算，才能发现自己的问题.预习时最少做到 把书上的例题看懂这是一个最低的台阶) 练习一：教材第54页练习第3题；(昨天作业题，巩固练习） 练习二：求值或化简.<1>3224ab ba -(a>0,b>0)； <2>(41)21-213321)()1.0()4(---b a ab (a>0,b>0)；<3>246347625---+-思考：化简:(1+2321-)(1+2161-)(1+281-)(1+241-)(1+221-)结论：根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形. 因为(1+2321-)(1-2321-)=1-2161-,所以原式的分子分母同乘以(1-2321-),依次类推，所以321212121)21)(21(----+-=32112121----=21(1-2321-)-1. 【教学效果】：这一部分关键是对练习二第<3>题和思考题的讲解.学生们听课的效果还是很不错的.四、【作业】今天作业不分选做和必做，一律从教材第59页习题2.1A 组第4题中任选一个奇数题，任选一个偶数题做一做.五、【小结】这一节课主要学习了无理数指数幂，这样我们就把指数幂的运算性质推广到了实数范围内，本节课的新知识比较简单，学生们都能套用前面的知识来做这节课的内容，但是学生们真正能理解多少呢？就靠老师的讲解了.这一节课还要讲解逼近的思想，特别是教案的思考题，老师一定要做好讲解，因为这个思考题对以后做数列、三角函数题时时很有帮助的，这个思想“解套子”的思想，我们还是要具备的.六、【反思】这节课讲完之后感觉自己有一点点的累.这几天天气较冷，感觉自己的思维也被冻结了.本节课对自己评价还是及格的，该做到的都基本做到了，但是思路有一点儿混乱，该点到即止的反而说得有点儿多，反而不好. 七、。
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)(中学课件2019)
器也 天下謷謷然 坐法失官 以天地五位之合终於十者乘之 观玉台 或召见 不绌无德 靡有解怠 可不勉哉 属常雨也 变动不居 讲习《礼经》 退之可也 千人 死有馀罪 更节加黄旄 有常节 因谋作乱 勿听 因矫以王命杀武平君畔 王治无雷城 为所称善 兴不从命 王尊字子赣 骏以孝廉为郎 案卫思
后 戾太子 戾后园 《法言》十三 虽复破绝筋骨 国除 羲和司日 天子独与侍中泰车子侯上泰山 避帝外家 今闻错已诛 拔城而不得其封 及眊掉之人刑罚所不加 亦亡去 乃敢饮 去食谷马 其明年 愿陛下与平昌侯 乐昌侯 平恩侯及有识者详议乃可 上从相言而止 知吏贼伤奴 处巴江州 戒太子曰 即
也 又一切调上公以下诸有奴婢者 中分天下 申子主之 承圣业 并州 平州尤甚 晋史卜之 云梦泽在南 三月癸卯制书曰 其封婕妤父丞相少史王禁为阳平侯 自此始也 止王南越 耕耘五德 甲辰 周殷反楚 还 其以军若城邑降者 大举九州之势以立城郭室舍形 而山戎伐燕 云廷讦禹 而汉亦亡两将军
时杀人民 此天以臣授陛下 若齐之技击 曰上崩 武闻之 为水 呼韩邪破 自君王以下咸食畜肉 非胙惟殃 所以存亡继绝 成命统序 东济大河 此两统贰父 蹶浮麋 所以变民风 此所以成变化而行鬼神也 并终数为十九 行至塞 宣之使言 盖堤防之作 迁乐浪都尉丞 有日蚀 地震之变 农民不得收敛 深
•今秦无德 羽大怒 曹参次之 上曰 善 於是乃令何第一 民皆引领而望 二 欲人变更 蓼 广如一匹布 斩其王还 毋须时 於水则波 去日半次 太公治齐 上思仲舒前言 因为博家属徙者求还 周勃为布衣时 故与李斯同邑 或闭不食 莽曰监朐 《汉流星行事占验》八卷 法而陈之 何为苦心 语在《宪王
传》 淮阳阳夏人也 害五谷 而曰豫建太子 后年入朝 台子通为燕王 珠熉黄 秦民失望 刻印三 一曰 维祉冠存己夏处南山臧薄冰 世以此多焉 稍夺诸侯权 汝复为太史 大夫 谒者 郎诸官长丞皆损其员 更化则可善治 布召见 因惠言 匈奴连发大兵击乌孙 景驹自立为楚假王 大置酒 太后诏曰 太师
新人教A版必修1高中数学2.1.1指数与指数幂的运算导学案
高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算导学案新人教A版必修1 学习目标：理解根式、分数指数幂、无理数指数幂、实数指数幂的定义学习重点：会应用运算性质进行根式、指数幂的运算计算学习过程：一、根式1、观察发现：22=中2叫做4的平方根，记作___；44-中2-叫做4的平方)2(2=根，记作____823=中2叫做8的立方根，记作___；8-中2-叫做8-的立=)2(3-方根，记作___±中2±叫做16的4次方根，记作_________16(4=)2=(5--中2-叫做______________，记作_______)232(6=±中2±叫做________________，记作________ )2642、归纳总结：若ax n=，则x叫做a的_______ (其中*n,1)n∈>N当n是正奇数时，若0<a，则x____，a，则x>0，x=________，若0>x=_____当n是正偶数时，若0<a，则>a，则x=___________，若0x_____________其中式子n a叫做_______，这里n (*n,1)叫做_________，a叫n∈>N做_______注：______0=n ()=n n a ___________n 是正奇数时，=n n a __________；n 是正偶数时，=n n a __________3、练习体验： _______)8(33=- ______)10(2=- 44)3(π-=________ _______)(66=-y x (x>y ）_____)4(2=-π _____)(2=-b a二、 分数指数幂1、 观察与归纳：（1）_______________224===；_______________248===_______________510===a ______________412===a()0____32>=a a ；()0_____>=b b ；()0_____45>=c c 正数的正分数指数幂)10______(>∈>=*，n N ，m、n a a mn（2）______21=- )0_______(1≠=-x x ______534—= _____32—=a正数的负分数指数幂)10______(—>∈>=*，n N ，m、n a a m n（3）0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义。
《2.1.1 指数概念的推广》教案
《2.1.1 指数概念的推广》教案教学目标：通过与初中所学知识的类比，理解分数指数幂的概念，掌握指数幂的性质、根式与分数指数幂的互化，能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值。
教学重点：1) 掌握并运用分数指数幂的运算性质。
2) 运用有理指数幂运算性质进行化简、求值。
教学难点：有理指数幂性质的灵活应用授课类型：新授课教学过程：一、新课引入回顾初中学习的整数指数幂及其运算性质()n a a a a n N +=⋅⋅⋅⋅∈01(0)a a =≠1(0,)n n a a n N a-+=≠∈ 二、新课讲授提出问题（1） 观察以下式子，并总结出规律：a ＞01025a a ===842a a ===1234a a ===1052a a === （2） 利用上例你能表示出下面的式子吗？（x ＞0，a ＞0，m ，n N +∈，且n ＞1，） （3）你能推广到一般的情形吗？师生讨论得到正数的正分数指数幂的意义：正数的正分数指数幂的意义是m n a =a＞0，m ，n N +∈，且n ＞1）提出问题负分数指数幂的意义是怎样规定的？你能得到负分数指数幂的意义吗？你认为如何规定0的分数指数幂的意义？分数指数幂的意义中，为什么规定a ＞0？既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么其性质能否推广？讨论结果有以下结论：1n n a a -=（a≠0，n N +∈），1m n m na a -==a ＞0，m ，n N +∈，且n ＞1） 性质（1）r s r s a a a+⋅= （a ＞0，r ，s ∈Q ） （2）()r s rsa a =（a ＞0，r ，s ∈Q ）（3）()r r r a b a b ⋅=（a ＞0，b ＞0，r ∈Q ）规定：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义。
例题讲解（1）求下列各式的值 238 1225- 31()4- 3416()81- （2）用分数指数幂的形式表示下列各式中的b （式中a ＞0）5b =32 5425b -= 53n m b π-=b =b =学生练习66p 点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数。
【配套K12】2018版本高中数学必修一：2.1.1《指数与指数幂的运算》教案
《指数与指数幂的运算》教案
一、教材分析
本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1指数函数的内容
二、三维目标
1．知识与技能
（1）理解n 次方根与根式的概念； （2）正确运用根式运算性质化简、求值； （3）了解分类讨论思想在解题中的应用. 2．过程与方法
通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n 次方根的概念，进而学习根式的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （2）培养学生认识、接受新事物的能力
三、教学重点
教学重点：（1）根式概念的理解；
（2）掌握并运用根式的运算性质 四、教学难点
教学难点：根式概念的理解 五、教学策略
发现教学法
1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法. 六、教学准备
回顾初中时的整数指数幂及运算性质，
0,1(0)
n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠
七、教学环节。
2.1指数函数(新课标人教版必修一教案)
2.1 指数函数[教学目标]1．通过具体实例了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理指数幂的含义，理解扩张指数范围的必要性． 3．通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 4．理解指数函数的概念和意义．5．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．6．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． [教学要求]指数函数是本章的重点内容之一，也是高中新引进的第一个基本初等函数．学习指数函数时，建议首先通过实际问题引入分数指数幂，为此先将平方根与立方根的概念扩充到n 次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步介绍分数指数幂及其运算性质，最后结合具体实例，通过有理数幂的方法介绍了无理指数幂的意义，从而将指数的取值范围扩充到了实数．在实数指数幂的基础上，学习指数函数及其图象和性质．教学中应通过具体的实例从正整数指数幂开始到现实中出现的分数指数幂，引出指数的取值范围需要进行必要的扩充．根式是教学的一个难点，教材第一部分安排根式这部分内容，为讲分数指数幂做准备，所以只需要讲根式的概念、方根的性质．为了分散难点，在教学中可以适当放慢进度，多举几个具体的例子，之后再给出n 次方根的一般定义．为突破方根的性质的难点，要抓住立方根与平方根的性质，通过探究得到当n 分奇偶数时方根的性质．分数指数幂是教学上的又一个难点，也是指数概念的又一次推广．教学时应注意循序渐进．教学中要让学生反复理解分数指数幂的意义，明确它是根式的一种新的写法．教科书通过比较本节开始时的问题引入指数函数，教学中要让学生体会指数函数的概念来自实践，并体会其中蕴含的函数关系，可引导学生在探究中获得函数的共同特征，这样就可以很自然地给指数函数下定义了．教学中注意对底数规定的合理性解释：0>a 且1≠a ．在理解指数函数定义的基础上，建议通过列表描点绘图或者利用信息技术绘图，教学中要注意发挥指数函数图象的作用，让学生亲自作出图象．使得图象成为研究函数性质的直观工具，建议尽可能地引导学生通过观察图象自己归纳概括指数函数的一些性质．本节容量较大，课时较多，建议教学中根据学生的实际情况合理划分每节课的教学内容，以便于学生的系统学习．[教学重点]指数函数的概念和图象 [教学难点] 根式和分数指数幂 [教学时数] 6课时[教学过程]第一课时2.1.1指数与指数幂的运算——根式与运算 新课导入通过课本第48页的两个问题引入本节的主题内容．问题1 从2000年起的未来20年，我国国内生产总值年平均增长率可达到7.3%．那么，在2001——2020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？引导学生逐年计算，并得出规律：设x 年后我国的国内生产总值为2000年的y 倍，那么)20*,(073.1≤∈=x N x y x．问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)21(tP =．当生物死亡了5730，2⨯5730，3⨯5730，…年后，它体内碳14的含量P 分别为21，2)21(，3)21(，…．是正整数指数幂．它们的值分别为21，41，81，…．当生物死亡6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P 分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(，这些式子的意义又是什么呢？这些正是本节课要学习的内容．新课进展 一、根式1．回顾初中学习的内容：平方根、立方根4的平方根为2±，3的平方根为3±，16的平方根为4±，等等．一般地，如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．对于立方根则由师生一起举出若干例子． 2．根式（1）类比平方根、立方根，我们看下面的一些例子：3225=，那么2是32的5次方根，记作2325=；24335=，那么3是243的5次方根，记作32435=；1624=，那么2是16的4次方根，记作2164=；8134=，那么3是81的4次方根，记作3814=；32)2(5-=-，那么-2是32的5次方根，记作2325-=-；16)2(4=-，那么-2也是16的4次方根，记作-2164=．（2）根式一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1>n ，且*N n ∈． 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时，a 的n 次方根用符号n a 表示．当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成n a ±（0>a ）．例如负的n 次方根可以表示为2164±=±．负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0，记作00=n ．式子n a 叫做根式（radical ），其中n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）．（3）根式的性质通过讨论探究得到：a a n n =)( (1,*)n n >∈N ．||a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数． 例如，27)27(33=， 32)32(55-=-，2)2(33-=-， 443=3．课堂例题例1 （课本第50页例1）本例是方根与根式性质的具体运用． 课堂练习求值：（1）2)(b a -；（2）44)4(-；（3）55)2(5-⋅． （4）本课小结根式：如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根．根式性质：a a nn =)( (1,*)n n >∈N ．||a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数． （5）布置作业课本第59页习题2.1A 组第1（1）——（4）题．第二课时2.1.1指数与指数幂的运算——分数指数幂 复习导入通过提问复习上节课主要学习内容． 1．请讲一讲你所理解的根式．2．根据n 次方根的定义和数的运算，能否把根式表示为分数指数的形式？ 通过讨论，探索新知． 新课进展二、分数指数幂 1．实例引入，形成冲突 看下面的例子： 当0>a 时， （1）2552510)(a a a==，又5102=，所以510510a a =；（2）3443412)(a a a==，又4123=，所以412412a a =．从上面的例子，我们看到，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式．那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？2．复习旧知，导出新知为此，我们先回顾初中所学的指数概念．*)(N n a a a a a n ∈⋅⋅= ，当0≠a 时，10=a ，0的0次幂没有意义，*),0(1N n a a a nn ∈≠=-．讨论：0)(b a -的结果是什么？ 提示：注意分类讨论．问：我们学习过整数指数幂哪些运算性质： 答：（1）),,0(Z n m a a a a nm nm∈>=⋅+；（2）),,0()(Z n m a aa mnnm ∈>=；（3）),0,0()(Z n b a ba b a nnn ∈>>⋅=⋅根据n 次方根的定义，规定正数的正分数指数幂的意义是：n m nma a=（0>a ，1*,,>∈n N n m ）．0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂无意义.由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当0<a 时，应当遵循原来的运算顺序，通常不写成分数指数幂形式．例如：3273-=-，而3)27(62=-．规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用． （1）),,0(Q n m a a a a nm nm∈>=⋅+； （2）),,0()(Q n m a aa mnn m ∈>=；（3）),0,0()(Q n b a b a b a nnn ∈>>⋅=⋅课堂例题例1 （课本第51页例2）求值：4352132)8116(,)21(,25,8---．本例的目的是巩固分数指数幂的概念．例2 求下列各式的值：（1）1225； （2）3227-；（3）361-⎪⎭⎫ ⎝⎛； （4）431000081-⎪⎭⎫⎝⎛．解 (１) 55)5(2521221221===⨯；（2）9133)3(272)32(332332====--⨯--； （3）2166)6(613313===⎪⎭⎫ ⎝⎛---；（4）27100031010310310000813343443=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-．课堂练习课本第51页例3、第52页例4、例5．上述三例是利用分数指数幂的运算性质进行计算和化简，学生练习时要严格按照书本的步骤进行对照，因为分数指数幂的定义和运算都刚刚学习，老师讲解时可以仿照单项式乘除法进行．3．本课小结（1）分数指数幂的定义，注意底数0>a 的限制条件．（2）分数指数幂的运算性质，是整数指数幂的运算性质的推广． 4．布置作业课本第54页练习1、2（1）——（6）题； 课本第59页习题2.1A 组第2、3题．第三课时2.1.1指数与指数幂的运算——无理指数幂 复习导入通过解答一组习题复习上节课主要学习内容． 课堂练习1．课本第54页练习第3题．2．课本第59页习题2.1A 组第4（1）——（4）题． 新课进展 三、无理指数幂 1．动手实验，探索新知 问：我们如何理解25呢？首先明确：25表示一个确定的实数．然后通过计算器的列表功能或者投影课本第53页的表格，计算25的近似值，发现下面的规律：当2的不足近似值从小于2的方向逼近2时，25的近似值从小于25的方向逼近25；当2的过剩近似值从大于2的方向逼近2时，25的近似值从大于25的方向逼近25．所以25就是有理指数幂按上述变化规律变化的结果．2．形成概念，扩充认知 一般地，无理指数幂αα,0(>a a是无理数)是一个确定的数．有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂． 即：（1）),,0(R n m a a a a nm nm∈>=⋅+；（2）),,0()(R n m a aa mnnm ∈>=；（3）),0,0()(R n b a ba b a nnn ∈>>⋅=⋅．3．变式操作，巩固概念22表示一个确定的实数．按照前面的“用有理数逼近无理数”的思想，请你利用计算器（或者计算机）进行实际操作，感受“逼近”过程．操作过程：取2的不足近似值或过剩近似值：1．4，1．41，1．414，1．4142，1．41421……（2的不足近似值） 1．5，1．42，1．415，1．4143，1．41422……（2的过剩近似值） 可以得到4.12，41.12，414.12，4142.12，41421.12……和5.12，42.12，415.12，4143.12，41422.12……，当2的不足近似值从小于2的方向逼近2时，22的近似值从小于22的方向逼近22，当2的过剩近似值从大于2的方向逼近2时，22的近似值从大于22的方向逼近22．4．本课小结本节课我们通过“用有理数逼近无理数”的思想引进无理数指数幂．像分数指数幂一样，我们研究的无理数指数幂αa （其中α是无理数）的底数a 也是正数．我们把指数幂的运算性质推广到幂指数为实数的情形．这样前面提到的5730)21(tP =对任意的0≥t 都是有意义的．5．布置作业课本第59页习题2.1A 组第4（5）——（8）题．第四课时2.1.2指数函数及其性质（1）复习导入通过提问导入本节课主要学习内容．问：函数5730)21(tP =（0≥t ）的解析式与函数)20*,(073.1≤∈=x N x y x的解析式有什么共同特征？通过师生讨论，归纳概括得出：如果用字母a 代替数57301)21(和1.073，那么以上两个函数的解析式都可以表示为xay =的形式．问：底数a 的取值范围怎么规定合适？提示：当1=a 时，11=x，所以规定1≠a ；当0<a 时，如x)3(-中，指数x 取21时，x )3(-就没有意义．0=a 时，当0>x 时，x a 恒为0；当0≤x 时，x a 无意义．结论：规定0>a ，且1≠a ． 一、指数函数 1．指数函数的定义一般地，函数(0,1)xy a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域是R ．课堂例题例1 当动植物体死亡以后，体内14C 的浓度就要因为它的衰变发生减少，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．这样,人们就可以根据生物体中含有的14C 的多少来测定其生存的年代．考古学家得到一块鱼化石, 根据鱼化石中的14C 的残留量，考古学家推断这群鱼是6300多年前死亡的，求这块鱼化石中14C 的残留量约占原始含量的多少？解 设鱼化石中14C 的原始含量为1， 1年后残留量为x ，由于死亡机体中原有的14C 按确定的规律衰减，所以生物体的死亡的年数t 与其体内每克组织的14C 含量y 有如下关系：因此，生物死亡t 年后体内14C 的含量ty x =由于大约每经过5730年，死亡生物体内的14C 含量衰减为原来的一半，所以 573012x =， 于是1573012x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，这样生物死亡t 年后体内14C 含量573012t y ⎛⎫=⎪⎝⎭．当6300x =时，利用计算器， 得到63005730146.67%2y ⎛⎫=≈⎪⎝⎭．即这块鱼化石中14C 的残留量约占原始含量的46.67%．下面我们来研究指数函数xy a =(0,1)a a >≠且图象与性质． 2．指数函数xy a =(0,1)a a >≠且的图象在同一坐标系中画出下列函数的图象（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）． （1）2xy =（2）12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭（3）3xy =（4）13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭（5）5xy =操作过程：（1）先画2xy =的图象，再画12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，再单独观察两个函数的图象特征，再比较两个图象的关系．（2）进行适当讨论之后，再画3xy =和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，并与前面观察所得结论进行比较．（3）画5xy =的图象．（4）通过观察以上函数的图象的特征，归纳出指数函数的性质． 3．指数函数的性质一般地，指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象和性质如下表所示．例2 （课本第56页例6）已知指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象经过点（3，π），求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值．问：请你说出解决本例的步骤和过程．明确底数a 是确定指数函数的要素． 4．本课小结本节课主要学习了指数函数的图象和性质．投影出一般的指数函数的特征图象，并再次显示指数函数的性质．5．布置作业课本第59页习题2.1A 组第5、6题．第五课时2.1.2指数函数及其性质（2） 复习导入通过提问复习上节课主要学习内容． 问：我们是怎样研究指数函数的？通过一般的指数函数的特征图象，总结其单调性和特殊点． 新课进展二、指数函数的应用 课堂例题例1 （课本第57页例7）引导学生利用函数单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系． 例2 （课本第57页例8）结合本例给出第58页的“探究”，目的是让学生体会指数增长，初步感受“指数爆炸”的含义，另外这里可以适当插入思想教育．课堂练习1．比较下列各题中两个数的大小：（1） 3.541.9 1.9，； （2）0.20.10.60.6--，；（3）0.33.11.80.7，．解 （１）考察指数函数 1.9xy =，由于底数1.91>，所以指数函数 1.9xy =在()-∞∞，+上是增函数．∵ 3.54<， ∴ 3.541.9 1.9<．（2）考察指数函数0.6xy =，由于底数00.61<<，所以指数函数0.6xy =在()-∞∞，+上是减函数．∵0.225x<0.20.1-<-， ∴0.20.10.60.6-->．（3）由指数函数的性质知0.301.8 1.81>=， 3.100.70.71<=，即0.33.11.80.71<>1，，∴0.3 3.11.80.7>．2．（1）已知3355mn⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，试比较m n 与的大小；（2）已知0.564x>，求实数x 的取值范围．解 （１）考察指数函数35x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由于底数3015<<，所以指数函数35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()-∞∞，+上是减函数．∵3355m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴m n <．（2）考察指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由于底数1012<<，所以指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()-∞∞，+上是减函数．∵10.52=，6616422-⎛⎫== ⎪⎝⎭，0.564x>，∴61122x -⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴6x <-，即x 的取值范围是(,6)-∞-．布置作业课本第59页习题2.1A 组第7、8、9题．第六课时2.1.2指数函数及其性质（3）复习导入通过提问复习前面5节课主要学习内容． 问1：我们按照怎样的顺序扩充指数及其运算？答：从具体的实际问题引出指数的取值范围应进行必要的扩充，先把整数指数幂扩充到分数指数幂，再进一步扩充到无理指数幂．在扩充过程中整数指数幂的运算性质仍然保留，但分数指数幂n m nma a =的意义以及指数的运算性质中的限制条件“0>a ”是必不可少的．问2：对于指数函数xa y =，你认为需要注意哪些方面？ 答：（1）底数a 的取值有范围限制：0>a 且1≠a ；（2）有些函数貌似指数函数，实际上却不是．例如k a y x+=（0>a 且1≠a ，0≠k ），x ka y =（0>a 且1≠a ，1≠k ）．有些函数看起来不像是指数函数，实际上却是．例如xay -=（0>a 且1≠a ）．形如xka y =（0>a 且1≠a ，0≠k ）的函数是一种指数型函数，上节课我们遇到的x p N y )1(+=（N x ∈）模型，就是此类型．（3）指数函数xa y =从大的来说按照底数分为两类：10<<a 和1>a ．不要混淆这两类函数的性质．（4）函数xa y =的图象与xay -=（0>a 且1≠a ）的图象关于y 轴对称，这是因为点),(y x 与点),(y x -关于y 轴对称．根据这种对称性就可以通过函数xa y =的图象得到x a y -=的图象．（5）利用指数函数的概念和性质比较大小，解决的方法主要是：抓底看增减进行比较．对于一般的字母底数要运用分类讨论的思想解决问题．教学实施过程中师生一道完成归纳和总结． 新课进展 课堂例题例1 解决下面问题：1． 已知指数函数()()xa x f 1-=是R 上的单调减函数，求a 的取值范围.CC 2． 求x 的值: (1)2713=x; (2)221=⎪⎭⎫⎝⎛x.3． 求x 的取值范围：(1)131>⎪⎭⎫⎝⎛x; (2)()121322<x; (3)x x 2934⋅>⋅. [设计说明]:通过三个简单练习来巩固“指数函数的性质”，尤其是单调性；同时为本节课利用指数函数单调性解决实际问题埋下伏笔.例2 在抗击“SARS ”中，某医药研究所开发出防治“SARS ”的M 、N 两种同类型新药.据监测,如果成人按规定的剂量服用,服用两种药物后每毫升血液中的含药量y (微克)与服药后的时间t (小时)之间分别近似满足右图所示的曲线，其中OA 是线段,曲线ABC 是型如t a k y ⋅=()是常数且a k a t ,0,1>≥的函数图像. (1) 分别写出服用两种药后y 关于t 的函数关系式;(2) 据测定,每毫升血液中含药量不少于2微克时对治疗疾病有效，则两种药物中哪种药的药效持续时间较长？(3) 假如两位病人在同一时刻分别服用这两种药物，则何时两位病人每毫升血液中含药量相等?何时开始,服用M 药的病人每毫升血液中含药量较高？解：（1）M 药⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≤≤=1,21810,4t t t y t ，N 药⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫⎝⎛⋅≤≤=1,312710,9t t t y t. [设计说明]:本例的设计意图：根据图像信息确定数学模型中的参数，这个环节由学生板演. （2）借助函数图像，对于M 药221≤≤t ，持续时间为5.1小时；对于N 药37.292≤≤t ，持续时间约为15.2小时，故N 药的持续时间较长.[设计说明]:此处是利用指数函数的单调性解决实际问题.对于N 药,不需要知道第2次含药量为2毫克的时刻值,只需要利用指数函数的单调性,明确这个时刻应在2——3之间即可.由此即可判断出N 药的持续时间在78.1922=-(小时)到78.2923=-(小时)之间.在判断出N 药持续时间长这个结论后，还可以顺势指出N 药比较好，因为见效快、药效持续时间长.（3）令33127218=⇒⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅t tt ,即3=t 时两位病人的血液中含药量相等.显然,当10≤≤t 时,服用M 药的含药量较低;当1>t 时,令33127218>⇒⎪⎭⎫⎝⎛⋅>⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅t tt ,即3小时后服用M 药的含药量高.[设计说明]:这里重点研究两个不同底数的指数函数图象的关系.学生指出:当1>t 时t y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=218图象在ty ⎪⎭⎫⎝⎛=3127图象上方,此时应启发学生:如何能保证两个函数图象在1>t 没有交点?接着与开始时的练习题3呼应.[设计说明]:在此处对问题稍作发散引申,主要是深化学生对数形结合思想的认识,从一定程度上起到了培养学生思维严密性的作用.思考：1.假如某病人早上6点第一次服用M 药,为了保持每毫升血液中不少于2微克的含药量，第二次服药时间应该在当天几点钟?分析：()224218≥-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t 对任意2≥t 恒成立,即t t214521-≥⎪⎭⎫⎝⎛对任意2≥t 恒成立.研究两个函数ty ⎪⎭⎫⎝⎛=21与t y 2145-=的图象交点可以得到一个直观理解.但是利用图象并不一定准确，这个问题留作课后思考.[设计说明]:这个思考题有较大难度,以高一学生的认知水平是很难解决的,但这种问题可以激发学有余力的学生学习数学的好奇心；在提倡研究性学习的今天，该问题也不失为一个值得思索的研究题材,而在课堂教学中挖掘研究课题不正是我们在新课程标准下开展研究性学习的良好途径么？2．外来物种水葫芦在1901年作为观赏植物引入中国，但是到了100年后的今天，水葫芦已经到了一发而不可收拾的地步了．水葫芦每5天就繁殖1倍，试建立水葫芦的数量关于时间变量的函数关系式．本节课我们通过对一类药物残留量问题的探究,学习了如何根据实际问题建立指数函数模型、如何利用指数函数的单调性解决实际问题，同时也对数形结合的思想方法有了更深的认识.当然，指数函数的应用中还有很多问题值得我们继续探究.布置作业课本第82页复习参考题A 组第1、2、7、9题．。
人教版数学高中必修一《指数与指数幂的运算》教案
2．1指数函数（新课辅导教案）2.1.1 指数与指数幂的运算第一课时 根式一、问题提出1．据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断,未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%.那么在2010年, 我国的GDP 可望为2000年的多少倍?2．对10073.1的意义如何？怎样运算？思考1:一般地，实常数a 的平方根、立方根是什么概念？思考2:如果4x ＝a ，5x ＝a ，6x ＝a ，参照上面的说法，这里的x 分别叫什么名称？ 定义：一般地，如果a x n=，那么x 叫a 的n 次方根，其中1>n 且N n ∈. 二、根式的概念思考1:-8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，6a 的立方根分别是什么数？怎样表示？思考2:设a 为实常数，则关于x 的方程 3x =a ，5x =a 分别有解吗？有几个解？ 思考3:一般地，当n 为奇数时，实数a 的n 次方根存在吗？有几个？思考4:设a 为实常数，则关于x 的方程 4x =a ，6x =a 分别有解吗？有几个解？ 思考5:一般地，当n 为偶数时，实数a 的n 次方根存在吗？有几个？ 思考6:我们把式子)1,(>∈n N n a n叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.那么，a 的n次方根用根式怎么分类表示？当n 是奇数时，a 的n 次方根为n a .当n 是偶数时,若0>a ，则a 的n 次方根为n a ±；若0=a ，则a 的n 次方根为0； 若0<a ，则a 的n 次方根不存在. 三、根式的性质思考1: 445533)2(,)2(,)2(-分别等于什么？一般地nn a )(等于什么？思考2: 44445533)2(,2,2,)2(--分别等于什么？一般地n n a 等于什么？思考3: 对任意实数a ，b ，等式nn n ab b a =⋅成立吗 ？四、理论迁移例1 求下列各式的值(1)364-；(2)4)2(-；(3)33)8(-；(4)2)10(-；(5) 44)3(π-；(6)88)1(-a .例2 化简下列各式(1)49625--; (2) 3322)1()1()1(a a a -+-+-第二课时 分数指数幂和无理数指数幂一、问题提出1.整数指数幂有哪些运算性质？2.325,25有意义吗？二、分数指数幂的意义 思考1:我们规定：nm n ma a =)1,,0(>∈>n N n m a 且，那么328表示一个什么数？522143、分别表示什么根式？思考2:你认为如何规定nm a-)1,,0(>∈>n N n m a 且的含义？思考3:怎样理解零的分数指数幂的意义？思考4:532332)2(,)2(,)2(---都有意义吗？当0<a 时，)1,(*>∈n N n m a nm 、何时无意义？三、有理数指数幂的运算性质四、无理数指数幂的意义思考5:有理指数幂的运算性质适应于无理数指数幂吗？ 五、理论迁移例1 求下列各式的值:(1)3227;(2) 2125-;(3)5)21(-;(4)43)8116(-.例2 化简下列各式的值(1))0,()3()6)(2(656131212132>-÷-b a b a b a b a (2))0,()(88341>-n m n m(3)4325)12525(÷- (4))0(322>⋅a aa a六、小结:1.指数幂的运算性质适应于实数指数幂.2.对根式的运算，应先化为分数指数幂，再根据运算性质进行计算，计算结果一般用分数指数幂表示.2.1.2 指数函数及其性质第一课时 指数函数的概念与图象一、问题提出1.对任意实数x ，x 3的值存在吗？x)3(-的值存在吗？x 1的值存在吗？ 2. )(3R x y x∈=是函数吗？若是，这是什么类型的函数？二、指数函数的概念思考1:我们把形如xa y =的函数叫做指数函数，其中x 是自变量.为了便于研究，底数a 的取值范围应如何规定为宜？ 答：1,0≠>a a三、指数函数的图象思考2:一般地，指数函数的图象可分为几类？其大致形状如何?四、理论迁移例1 判断下列函数是否为指数函数？(1) 3x y =;(2) x a y )1(2+=;(3) 12+=x y ;(4) xy -=5;(5) 23x y =;(6)14+=xy .例2 已知函数)10()(≠>=a a a x f x且的图象过点)3(π，，求)3(),1(),0(-f f f 的值.例3 求下列函数的定义域: (1) 15-=x y ; (2)412-=x y .第二课时 指数函数的性质（接上）思考3:若10<<<a b ，则函数xa y =与xb y =的图象的相对位置关系如何？例4 比较下列各题中两个值的大小 (1)5.27.1与37.1； (2) 1.08.0-与2.08.0-； (3) 3.07.1与1.39.0.例6 确定函数xx f -=2)(的单调区间和值域.例7 设nma 8.09.0⋅=,mnb 8.09.0⋅=,其中n m ,为实数，试比较a 与b 的大小.第三课时 指数函数及其性质的应用（接上）例8 求函数x x f 21)(-=的定义域和值域.例9 已知函数x x x f 22)(2-=+的值域是)12(∞+，，求)(x f 的定义域.例10 已知关于x 的方程12=--m x 有实根，求实数m 的取值范围.例11 已知函数1212)(+-=x x x f(1)确定)(x f 的奇偶性； (2)判断)(x f 的单调性； (3)求)(x f 的值域.例12 求函数xx y -=2)31(的单调区间，并指出其单调性.结论:设)(u f y =,)(x g u =，则（1）当)(u f 和)(x g 的单调性相同时，)]([x g f 为增函数；（2）当)(u f 和)(x g 的单调性相反时，)]([x g f 为减函数；综合应用例1 已知函数aaaxfxx+=)( (1>a为常数).(1)确定)(xf的单调性；(2)求)109()103()102()101(ffff++++ 的值.例 2 已知函数axfx+-=121)(，试推断是否存在常数a，使)(xf为奇函数? 若存在，求a的值；若不存在，说明理由.例3 已知函数8234)(1+⋅-=+xxxf，求满足0)(<xf的x的取值范围.例4 已知当1>x时，不等式12>-xxa,)1,0(≠>aa恒成立，求a的取值范围.2．1 指数函数（复习辅导教案）指数函数指数与指数幂的运算根式分数指数幂无理指数幂指数幂的运算法则概念图象性质知识框架知识点1、定义1：一般地，如果ax n=，那么x叫a的n次方根，其中1>n且Nn∈.定义2：我们把式子)1,(>∈nNnan叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.当n是奇数时，a的n次方根为n a.当n是偶数时,若0>a，则a的n次方根为n a±；若0=a，则a的n次方根为0；若0<a，则a的n次方根不存在.2、我们规定：nmn m aa=)1,,0(>∈>nNnma且.如何规定nma-)1,,0(>∈>nNnma且的含义？答: .怎样理解零的分数指数幂的意义？答: .当0<a时，)1,(*>∈nNnma nm、何时无意义？答:3、有理数指数幂的运算性质4、无理数指数幂的意义5、定义：我们把形如xay=的函数叫做指数函数，其中x是自变量.为了便于研究，底数a的取值范围应如何规定为宜？答：1,0≠>aa且6、指数函数的图象和性质7、设)(ufy=,)(xgu=，则（1）当)(uf和)(xg的单调性相同时，)]([xgf为增函数；（2）当)(uf和)(xg的单调性相反时，)]([xgf为减函数；指数函数指数与指数幂的运算根式分数指数幂无理指数幂指数幂的运算法则概念图象性质1 求下列各式的值(1)364-；(2)4)2(-；(3)33)8(-；(4)2)10(-；(5) 44)3(π-；(6)88)1(-a .2 化简下列各式(1)49625--; (2) 3322)1()1()1(a a a -+-+-3 求下列各式的值:(1)3227;(2) 2125-;(3)5)21(-;(4)43)8116(-.4 化简下列各式的值(1))0,()3()6)(2(656131212132>-÷-b a b a b a b a (2))0,()(88341>-n m n m(3)4325)12525(÷- (4))0(322>⋅a aa a5 判断下列函数是否为指数函数？(2) 3x y =;(2) x a y )1(2+=;(3) 12+=x y ;(4) xy -=5;(5) 23x y =;(6)14+=xy .6 已知函数)10()(≠>=a a a x f x且的图象过点)3(π，，求)3(),1(),0(-f f f 的值.7 求下列函数的定义域: (1) 15-=x y ; (2)412-=x y .8 若10<<<a b ，则函数xa y =与xb y =的图象的相对位置关系如何？9 比较下列各题中两个值的大小 (1)5.27.1与37.1； (2) 1.08.0-与2.08.0-； (3) 3.07.1与1.39.0.10 若指数函数xa y )12(-=是减函数，求实数a 的取值范围.11 确定函数xx f -=2)(的单调区间和值域.12 设n m a 8.09.0⋅=,mn b 8.09.0⋅=,其中n m ,为实数，试比较a 与b 的大小.13 求函数x x f 21)(-=的定义域和值域.14 已知函数x x x f 22)(2-=+的值域是)12(∞+，，求)(x f 的定义域.15 已知关于x 的方程12=--m x 有实根，求实数m 的取值范围.16 已知函数1212)(+-=x x x f(1)确定)(x f 的奇偶性； (2)判断)(x f 的单调性； (3)求)(x f 的值域.17 求函数xx y -=2)31(的单调区间，并指出其单调性.18 已知函数aa a x f xx +=)( (1>a 为常数).(2) 确定)(x f 的单调性；(2)求)109()103()102()101(f f f f ++++ 的值.19 已知函数a x f x+-=121)(，试推断是否存在常数a ，使)(x f 为奇函数? 若存在，求a 的值；若不存在，说明理由.20 已知函数8234)(1+⋅-=+x xx f ，求满足0)(<x f 的x 的取值范围.21 已知当1>x 时，不等式12>-x x a ,)1,0(≠>a a 恒成立，求a 的取值范围.。
无理数指数幂及其运算性质 教案
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质教学目的：（1）了解可以由有理数的指数幂无限逼近无理数的指数幂；（2）培养用于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展教学核心素养. 课型：新授课教学重点：无理数指数幂的概念；教学难点：指数幂的运算性质；教学过程：一、引入课题知识点1无理数指数幂无理数指数幂a α（0a >，α是无理数）是_________.思考1：一定是实数吗？提示：根据无理数指数幂的定理.知识点2实数指数幂的运算性质（0a >，0b >，r ，s R ∈）（1）r s a a =_________.（2）()s ar _______.（3）()rab =________.思考2：指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？提示：二、基础自测1．下列说法正确的个数是（）（1）无理数指数幂有的不是实数．（2）指数幂(0)x a x >中的x 只能是有理数．（3）9=.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：（1）无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确；（2）指数幂(0)x a x >中的x 是任意实数，不正确；（3）239===，正确，故选B ． 2.36a a ππ=.3.(n m =.三、题型探究题型一无理数指数幂的运算例1（1）（；（2）263a a a πππ.解析：（1）原式62322916==⨯=. （2）原式2+636a a ππππ--==.归纳提升 关于无理数指数幂的运算（1）底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算．（2）若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留．题型二指数幂运算的综合运算例2已知11223a a-+=，求下列各式的值.（1）1a a -+；（2）22a a -+； （3）33221122a aa a ----.分析：利用完全平方差公式求（1）（2），利用立方差各式求（3）.解析：（1）11223a a-+=边平，129a a -++=，17a a -+=； （2）17a a-+=边平，有22249a a -++=，2247a a -+=； （3）于3311332222()()a a a a ---=， 所以有3311111222222111112222()()1718a aa a a a a a a a a a a a ---------++⋅==++=+=--.归纳提升（1）条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过11223a a -+=解出a 的值代入求值，则非常复杂．（2）解决此类问题的一般步骤是四、误区警示因忽略幂底数的范围而导致错误例3化简11222(1)[(1)()]a a a ----=.错解：1111212244(1)[(1)()](1)(1)()()a a a a a a a -----=--⋅-=--.错因分析：忽略了题中有12()a -，即相当于告知0a -≥，故0a ≤，这样，1212[(1)](1)a a ---≠-.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否由隐含的条件.正解：由12()a -知0a -≥，故10a -<， ∴1111212244(1)[(1)()](1)(1)()()a a a a a a a -----=---=-.方法点拨：在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求.五、学科素养用换元法处理指数幂中的化简与证明问题例4 已知333pa qb rc ==，且1111a b c ++=，求证：11112223333()pa qb rc p q r ++=++. 分析：看见三个式子连等，立刻想到赋中间变量，通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子.证明：令333pa qb rc ==，则2k pa a =，2k qb b =，2k rc c =，3k p a =，3k q b =，3k r c=， 所证等式左边111333111()[()]k k k k k a b c a b c=++=++=， 所证等式右边1111133333333111()()()()k k k k k a b c a b c=++=++=，∴1111 2223333 ()pa qb rc p q r ++=++.归纳提升（1）对于“连等式”，常用换元法处理．如本例，我们可令它等于一个常数k，然后以k为媒介化简，这样使问题容易解决．（2）换元过程中尤其要注意所代换的新变元的范围一定与被替换对象一致，关键时候还要检验．。
2019高中数学必修2.1.1-3无理数指数幂
2. 1.1第三课时无理数指数幂教案【教学目标】1.能熟练进行根式与分数指数幂间的互化。
2.理解无理数指数幂的概念。
【教学重难点】重点：实数指数幂的的运算及无理数指数幂的理解难点：无理数指数幂的理解【教学过程】1、导入新课同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数，有理数到实数。
并且知道在有理数到实数的扩充过程中，增添的是是实数。
对无理数指数幂，也是这样扩充而来。
这样我们这节课的主要内容是：教师板书课题2、新知探究提出问题（1）6…，那么1.41，1.414，1.4142，1.41421，…，而1.42，1.415，1.4143，1.41422学生自己阅读教材发现规律。
（2）你能给教材上的思想起个名字吗？（3）一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如解释吗？借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑是加以解释.问题（1的方向，另一方面从小于.问题（2）对教材中图表的观察得出无限逼近是实数问题（3）在前两个问题基础之上，推广到一般情形，即由特殊到一般.a>讨论结果：充分表明一般的结论即无理数指数幂的意义：一般地，无理数指数幂aα（0且α是无理数）是一个确切的实数，也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数的概念又一次推广，类比实数的扩充，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.提出问题（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相同呢？（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗？活动：教师组织学生相互合作，交流探讨，引导他们类比，归纳.对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂a α（0a >且α是无理数）是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通.对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了.讨论结果：（1）底数大于零是必要的，否则会造成混乱如1,a =-那么a α是1还是-1就无法确定了，规定后就清楚了.（2）类比有理数指数幂即可得到无理数指数幂的运算法则.（3）实数指数幂的运算性质：①(0,,)r s r s a a a a r s R +∙=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s R a =>∈③()(0,0,)r r r a b a b a b r R ∙=>>∈3、应用示例、知能训练例1求值或化简（1(0,0)a b >>（2例2已知11(52n x =—15-），*n N ∈，求(n x +的值. 点评：教师要板书于黑板，要渗透解题思想练习：习题2.1A 组 34、拓展提升参照我们说明无理数指数幂的意义的过程，请同学们说明无理数指数幂5、课堂小结（1）无理数指数幂的意义一般地，无理数指数幂a α（0a >且α是无理数）是一个确切的实数. （2）实数指数幂的运算性质：①(0,,)r s r s a aa a r s R +∙=>∈ ②)(0,,)(r s rs a a r s R a =>∈③()(0,0,)r r ra b a b a b r R ∙=>>∈④逼近思想，体会无限接近的含义【板书设计】一、无理数指数幂1.二、例题例1例2【作业布置】课本习题2.1B 组 22.1.1-3无理数指数幂课前预习学案一、预习目标理解无理数指数幂得实际意义。
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2. 1.1第三课时无理数指数幂教案
【教学目标】
1.能熟练进行根式与分数指数幂间的互化。
2.理解无理数指数幂的概念。
【教学重难点】
重点：实数指数幂的的运算及无理数指数幂的理解
难点：无理数指数幂的理解
【教学过程】
1、导入新课
同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数，有理数到实数。
并且知道在有理数到实数的扩充过程中，增添的是是实数。
对无理数指数幂，也是这样扩充而来。
这样我们这节课的主要内容是：教师板书课题
2、新知探究
提出问题（16…，那么1.41，1.414，1.4142，1.41421，…，
1.42，1.415，1.4143，1.41422
学生自己阅读教材发现规律。
（2）你能给教材上的思想起个名字吗？
（3）一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如
能做出判断并合理地解释吗？借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？
活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑是加以解释.
问题（1
向.
问题（2）对教材中图表的观察得出无限逼近是实数
问题（3）在前两个问题基础之上，推广到一般情形，即由特殊到一般.
讨论结果：充分表明
a>且α是无理数）是一个确切的实数，也就是说无理数可以作为指数，理数指数幂aα（0
并且它的结果是一个实数，这样指数的概念又一次推广，类比实数的扩充，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.
提出问题
（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？
（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相同呢？
（3） 你能给出实数指数幂的运算法则吗？
活动：教师组织学生相互合作，交流探讨，引导他们类比，归纳. 对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明
对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂a α
（0a >且α是无理数）
是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通.
对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了.
讨论结果：（1）底数大于零是必要的，否则会造成混乱如1,a =-那么a α
是1还是-1就无法确定了，规定后就清楚了.
（2）类比有理数指数幂即可得到无理数指数幂的运算法则. （3）实数指数幂的运算性质
：①
(0,,r s r
s a a
a a r s R +∙=>∈②
)(0,,)(r s rs a a r s R a =>∈③()(0,0,)r r r a b a b a b r R ∙=>>∈
3、应用示例、知能训练
例1求值或化简
（1(0,0)a b >>
（2
例2已知11(52
x =—15n -），*
n N ∈，求(n x 的值.
点评：教师要板书于黑板，要渗透解题思想 练习：习题2.1A 组 3 4、拓展提升
参照我们说明无理数指数幂的意义的过程，请同学们说明无理数指数幂
5、课堂小结
（1）无理数指数幂的意义
一般地，无理数指数幂a α
（0a >且α是无理数）是一个确切的实数.
（2）实数指数幂的运算性质： ①(0,,)r
s
r s
a a
a a r s R +∙=>∈
②)(0,,)(r s
rs
a a r s R a =>∈ ③()(0,0,)r
r r
a b a b a b r R ∙=>>∈ ④逼近思想，体会无限接近的含义 【板书设计】
一、无理数指数幂 1.
二、例题
例1 例2
【作业布置】课本习题2.1B 组 2
2.1.1-3无理数指数幂
课前预习学案
一、预习目标
理解无理数指数幂得实际意义。
二、预习内容
教材52页至53页
三、提出疑惑
同学们，你们通过自主学习，还有哪些疑惑请写在下面的横线上—————————
课内探究学案
一、学习目标
1.能熟练进行根式与分数指数幂间的互化。
2.理解无理数指数幂的概念。
学习重点：实数指数幂的的运算及无理数指数幂的理解 学习难点：无理数指数幂的理解 二、学习过程
1.解释1
3
3的意义，理解分数指数幂与根式的互化。
探究 2.反思总结
得出结论：一般地，无理数指数幂a α
（0,a >α是无理数）是一个确定的实数。
有理数指数幂的运算同样适用于无理数指数幂。
3.当堂检测
（1）参照以上过程，说明无理数指数幂
（2）计算下列各式 ○1 ○2
课后练习与提高
1.化简下列各式
（1）
（22.下列说法错误的是（）
A.根式都可以用分数指数幂来表示
B.分数指数幂不表是相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法
C.无理数指数幂有的不是实数
D.有理数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂。