高一数学《无理数指数幂》教学设计
无理数指数幂及其运算性质-教学设计-人教A版高中数学必修第一册
4.1.2-无理数指数幂及其运算性质-教学设计-人教A版高中数学必修第一册(共5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--【新教材】无理数指数幂及其运算性质教学设计（人教A版）学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了分数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则.有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入无理数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性.课程目标1. 理解无理数指数幂的概念;2. 掌握实数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3. 掌握实数指数幂的运算性质；4. 能利用已知条件求值.数学学科素养1.数学抽象：无理数指数幂的概念；2.逻辑推理：实数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用实数指数幂的运算性质化简求值；4.数据分析：分析已知条件与所求式子之间的联系；5.数学建模：通过与有理数指数幂性质进行类比，得出无理数指数幂的概念和性质。
重点：①掌握并运用实数指数幂的运算性质；②能利用已知条件求值．难点：能利用已知条件求值．教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质对于无理数指数幂是否还适用要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本107-108页，思考并完成以下问题(1)无理数指数幂的含义是什么？(2)如何利用实数指数幂的运算性质进行化简？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．2．实数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈R)．(2)(a r)s＝rs a(a＞0，r，s∈R．(3)(ab)r＝r ra b(a＞0，b＞0，r∈R)．四、典例分析、举一反三题型一指数幂的运算性质化简求值例1化简求值(1)121310 332410.027(6)2562)34π--++-+(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)(3)33b.【答案】(1)64715(2)－a3c(3)146332a b【解析】(1)原式＝－52＋43＋2－13＋1＝64715.(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c.(3)原式＝11114336663232(4)(3)2a ab b a b ÷=.解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． 跟踪训练一1、化简求值（1）()1620162018449-⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭（2）√a 92√a -33÷√√a -73·√a 133(a>0).【答案】（1）99π+ （2）1 【解析】（1）原式=12616(2018)41081739949ππ-︒⎛⎫=+--⨯+=+-+-=+ ⎪⎝⎭(2)原式=[a13×92·a13×(-32)]÷[a12×(-73)·a12×133]=a96-36+76-136=a 0=1.题型二 条件求值例2 已知a 12+a -12=√5(a>0),求下列各式的值:(1)a+a -1; (2)a 2+a -2; (3)a 2-a -2.【答案】（1）3 （2）7 （3）±【解析】(1)将a 12+a -12=√5的两边平方,得a+a -1+2=5,即a+a -1=3.(2)由a+a -1=3,两边平方,得a 2+a -2+2=9,即a 2+a -2=7.(3)设y=a 2-a -2,两边平方,得y 2=a 4+a -4-2=(a 2+a -2)2-4=72-4=45.所以y=±3√5,即a 2-a -2=±3√5.解题技巧：(已知某些代数式的值,求另外代数式的值)已知某些代数式的值,求另外代数式的值是代数式求值中的常见题型.解答这类题目时,可先分析条件式与所求式的区别与联系,有时通过化简变形把已知条件整体代入,有时需要根据已知条件求出某些字母参数的值再代入.另外还要注意隐含条件的挖掘与应用. 跟踪训练二1.已知a ，b 分别为x 2－12x ＋9＝0的两根，且a ＜b ，求11221122a b a b-+．【答案】－33【解析】11111222222111111222222()()2()()()a b a b a b ab a ba ba b a b --+-==-++-= ①∵a ＋b ＝12，ab ＝9， ② ∴(a －b)2＝(a ＋b)2－4ab ＝122－4×9＝108.∵a ＜b ，∴a －b ＝－6 3. ③将②③代入①，得11122211229a b a b-=+＝－33.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本109页习题本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，通过类比的思想使学生逐步掌握无理数指数幂性质及其应用.。
2020学年新教材高中数学4.1指数4.1.2无理数指数幂及其运算性质教学案新人教A版必修第一册
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质(教师独具内容)课程标准：1.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.理解指数幂的运算性质.3.能进行指数幂(实数幂)的运算．教学重点：1.指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.实数指数幂的运算． 教学难点：无理数指数幂的意义的理解．【知识导学】知识点一 无理数指数幂(1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．(2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 知识点二 实数指数幂的运算性质(1)a r a s ＝□01a r ＋s (a >0，r ，s ∈R )． (2)(a r )s ＝□02a rs (a >0，r ，s ∈R )． (3)(ab )r ＝□03a r b r (a >0，b >0，r ∈R )． 【新知拓展】对于实数a ＞0，r ，s 有a r÷a s＝ar －s成立．这是因为a r÷a s＝a r as ＝a r ·a －s ＝a r －s.教材中没有给出此性质，但是它可以由已有公式推导出来．(1)在进行幂和根式的化简时，一般原则是：先将负指数幂化为正指数幂，将小数化为分数，将根式化为分数指数幂，将底数(较大的整数分解质因数)化成指数幂的形式，再利用幂的运算性质在系数、同底数幂间进行运算，达到化简和求值的目的．(2)化简指数幂的几个常用技巧如下： ①⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a bp (ab ≠0)； ②a ＝(a 1m)m，anm＝(a 1m)n(a 使式子有意义)；1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)α，β是实数，当a >0时，(a α)β＝(a β)α.( )(2)当a >0，b >0时，(a 12 ＋b －12 )(a 12 －b －12 )＝a －b －1.( ) (3)当a >0时，(a －a －1)2＝(a ＋a －1)2－2.( ) (4)[(3)－2] 12 ＝ 3.( ) (5)(3－2) 12 ×(3)－2＝19.( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)化简：(3－3)3＝________.(2)已知5α＝3,5β＝2，则 ①5α＋β＝________； ②5α－β＝________；③5－3α＝________；④5α2＝________.答案 (1)127 (2)①6 ②32 ③127④3题型一 利用指数幂的运算性质化简与求值金版点睛指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.题型二条件求值问题金版点睛解决条件求值问题的一般方法——整体代入法对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(其中a>0，b>0)：1.3a ·6－a 等于( ) A.－－a B ．－a C.－a D.a答案 A解析 3a ·6－a ＝a 13 ·(－a ) 16 ＝－(－a ) 13 ·(－a ) 16 ＝－(－a ) 12 ＝－－a .2.⎝ ⎛⎭⎪⎫1681 －14的值是( ) A.23 B.32 C.481 D ．－814 答案 B解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－14 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－14 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1＝32.答案 A解析 原式＝[2×(－3)÷4]×a －3－1＋4·b －23＋1＋53 ＝－32a 0b 2＝－32b 2.4.化简(3＋2)2018·(3－2)2019＝________.答案3－ 2解析 (3＋2)2018·(3－2)2019＝[(3＋2)(3－2)]2018·(3－2)＝12018·(3－2)＝3－2.。
无理数指数幂高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
2
解析：( 5 3 )2 3 ＝(5 )2 3 ＝2
3
×2
2
3
＝53＝125.
题型探究 课堂解透
题型1 无理数指数幂的运算
3
例1 (1)(3
2·
(2)
(a＞0).
2
6 ∙ 3
2 2 )3 2 ；
解析：
2
3
(1)原式＝(3 2 ·2 )3 2 ＝(3 2 )3 2 2
(2)原式＝
幂的不足近似值和过剩近似值，这两个值可以无限逼近一个实数aα(a
＞0，α是无理数).
(2)0的正无理数指数幂为0，0的负无理数指数幂没有意义．
要点三
幂运算基本不等式
对任意的正数u和正数a，若a＞1，则au＞1；若a<1，则au<1.
对任意的负数u和正数a，若a＞1，则au<1；若a<1，则au＞1.
＝
＝a
+ℎ
u
u＋h
u＋2h
证明：由a ，a ，a
都是正数，且
au－au＋h>0，
+2ℎ
au＋h－au＋2h au·ah－au＋h·ah ah·（au－au＋h）
所以 u u＋h ＝
＝
＝ah<1，
u
u＋h
u
u＋h
a －a
a －a
a －a
所以au＋h－au＋2h<au－au＋h.
课堂十分钟
3
）2 3 ；
(m＞0)
解析：
3
(1)原式＝(
(2)原式＝(
3− 2 2 3
−
3 6
)
3
高中数学第4章指数函数与对数函数4.1指数4.1.2无理数指数幂及其运算性质教学案第一册数学教学案
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质(教师独具内容)课程标准：1.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.理解指数幂的运算性质.3.能进行指数幂(实数幂)的运算．教学重点：1.指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.实数指数幂的运算．教学难点：无理数指数幂的意义的理解．【知识导学】知识点一 无理数指数幂(1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．(2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点二 实数指数幂的运算性质(1)a r a s ＝□01a r ＋s (a >0，r ，s ∈R )． (2)(a r )s ＝□02a rs (a >0，r ，s ∈R )． (3)(ab )r ＝□03a r b r (a >0，b >0，r ∈R )． 【新知拓展】对于实数a ＞0，r ，s 有a r ÷a s ＝a r －s 成立．这是因为a r ÷a s ＝a ras ＝a r ·a －s ＝a r －s .教材中没有给出此性质，但是它可以由已有公式推导出来．(1)在进行幂和根式的化简时，一般原则是：先将负指数幂化为正指数幂，将小数化为分数，将根式化为分数指数幂，将底数(较大的整数分解质因数)化成指数幂的形式，再利用幂的运算性质在系数、同底数幂间进行运算，达到化简和求值的目的．(2)化简指数幂的几个常用技巧如下：①⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b p (ab ≠0)； ②a ＝(a 1m )m ，a n m ＝(a 1m )n (a 使式子有意义)； 1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α，β是实数，当a >0时，(a α)β＝(a β)α.( )(2)当a >0，b >0时，(a 12 ＋b －12 )(a 12 －b －12 )＝a －b－1.( )(3)当a >0时，(a －a －1)2＝(a ＋a －1)2－2.( ) (4)[(3)－2] 12 ＝ 3.( )(5)(3－2) 12 ×(3)－2＝19.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)化简：(3－3)3＝________. (2)已知5α＝3,5β＝2，则①5α＋β＝________； ②5α－β＝________； ③5－3α＝________；④5α2 ＝________.答案 (1)127 (2)①6 ②32 ③127④3 题型一 利用指数幂的运算性质化简与求值金版点睛指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.题型二 条件求值问题金版点睛解决条件求值问题的一般方法——整体代入法对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(其中a >0，b >0)：1.3a ·6－a 等于( )A.－－aB ．－a C.－a D.a 答案 A解析 3a ·6－a ＝a 13 ·(－a ) 16 ＝－(－a ) 13 ·(－a )16 ＝－(－a ) 12 ＝－－a .2.⎝ ⎛⎭⎪⎫1681 －14 的值是( ) A.23 B.32 C.481 D ．－814答案 B解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－14 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－14 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1＝32. 答案 A解析 原式＝[2×(－3)÷4]×a －3－1＋4·b －23＋1＋53 ＝－32a 0b 2＝－32b 2. 4.化简(3＋2)2018·(3－2)2019＝________.答案 3－2解析(3＋2)2018·(3－2)2019＝[(3＋2)(3－2)]2018·(3－2)＝12018·(3－2)＝3－ 2.。
数学《无理数指数幂》的教案
数学《无理数指数幂》的教案
课前预习学案
一、预习目标
理解无理数指数幂得实际意义。
二、预习内容
教材52页至53页的意义解读。
三、提出疑惑
同学们，你们通过自主学习，还有哪些疑惑请写在下面的横线上—————————
课内探究学案
一、学习目标
1.能熟练进行根式与分数指数幂间的互化。
2.理解无理数指数幂的概念。
学习重点：实数指数幂的的运算及无理数指数幂的理解
学习难点：无理数指数幂的理解
二、学习过程
1.解释的意义，理解分数指数幂与根式的互化。
探究的实际意义。
2.反思总结
得出结论：一般地，无理数指数幂（是无理数）是一个确定的实数。
有理数指数幂的运算同样适用于无理数指数幂。
3.当堂检测
（1）参照以上过程，说明无理数指数幂的意义。
（2）计算下列各式○1○2
课后练习与提高
1.化简下列各式
（1）（2）
2.下列说法错误的是（）
a.根式都可以用分数指数幂来表示
b.分数指数幂不表是相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法
c.无理数指数幂有的不是实数
d.有理数指数幂的运算*质适用于无理数指数幂。
《无理数指数幂及其运算性质》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《无理数指数幂及其运算性质》教学设计◆教学目标1．通过类比无理数的形成过程，理解无理数指数幂的意义．2．掌握无理数指数幂的运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养．◆教学重难点◆教学重点：实数指数幂的运算及其性质．教学难点：对无理数指数幂的理解，用有理数指数幂逼近无理数指数幂．◆课前准备PPT课件，计算器，GGB课件．◆教学过程（一）新知探究1．提出问题，引发思考问题1：上节课我们将a x(a＞0)中指数x的取值范围从整数拓展到了有理数．那么，当指数x是无理数时，a x还有没有意义？如果有意义，其意义是什么？说说你的理由．师生活动：学生分组讨论交流．设计意图：明确本节课研究的重点，激发学生的探究欲望．追问1：在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数．请回忆初中时，是如何确定无理数√2的大小的？师生活动：学生回答，教师进行补充讲解．预设的答案：初中时，我们发现√2的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），都趋向于同一个确定的数，这个确定的数就是√2，以此来逐渐逼近√2的精确值．设计意图：类比无理数的发现和确定过程，为研究无理数指数幂提供方法上的支持．追问2：类似的，我们也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂．你能设计一个方案来解释无理数指数幂5√2的意义吗？师生活动：学生讨论交流，然后提出方案，由教师进行补充和完善，最后予以实施．预设的答案：根据√2的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），利用计算工具计算相应的5x，5y的近似值，并填入表1．是一个确定的实数．追问3：通过表1可以看出，当√2的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近√2时，5x和5y都趋向于同一个数，这个数就是5√2．也就是说5√2是一串逐渐增大的有理数指数幂和另一串逐渐减小的有理数指数幂逐步逼近的结果，它是一个确定的实数．那么这个逐渐逼近的过程在数轴上是怎么体现的呢？请同学们将上表中不同的5x和5y的值画到数轴的对应位置上．师生活动：学生自行完成，等学生完成后，教师展示GGB动态演示．预设的答案：教师展示GGB课件“4.1指数第二课时-数轴显示有理数指数幂逼近无理数指数幂”，并演示动画效果．教师可以将图象逐步放大，直观展示上述逼近过程．设计意图：用数轴表示数值，可以从宏观、整体上把握变化的趋势，定量地研究问题，从形的角度认识到5√2是一个确定的实数．利用GGB动画演示，加深学生对于无理数指数幂的理解，达到提升学生直观想象核心素养的目的．追问4：参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如2√3，说明它也是一个确定的实数吗？师生活动：学生自行完成．设计意图：进一步通过以有理数逼近无理数的方法，学生体会其中蕴含的极限思想．36 (2)；()36636233333(2)22222---===；()3333332222(2)(2)e e e eee b ba b b⎤÷=÷⎥⎦这些题目的求解过程与我们上节课的例4的求解有哪些异同？。
高中教育数学必修第一册湘教版《4.1.2 无理数指数幂》教学课件
＞0，α是无理数).
(2)0的正无理数指数幂为0，0的负无理数指数幂没有意义．
要点三
幂运算基本不等式
对任意的正数u和正数a，若a＞1，则au＞1；若a<1，则au<1.
对任意的负数u和正数a，若a＞1，则au<1；若a<1，则au＞1.
2
A． B．6
3
3
C．
2
−2 的值为(
A
D．2
1
1
2 − 2
1
1
2 + 2
(2)已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，则
3
－3
＝________．
)
题型3 实数指数幂比较大小
例4 已知a>1，h>0，对任意的实数u，
求证：
(1)au＋2h－au＋h>au＋h－au；
(2)(1＋h)100>1＋100h.
(4)2 2∈R.( √ )
2．(2 2 )2 2 ＝(
)
A．4 2
B．8
答案：D
解析：(2 2 )2 2 ＝2
2×2 2
＝24＝16.
C．8
2
D．16
3
6
2
3．化简： ＝________．(a＞0)
3
6
解析： ＝
+
3 6
2
＝ .
125
4．计算：( 5 3 )2 3 ＝________．
解析：( 5
3
3
3 )2 3 ＝(5 2 )2 3 ＝2 2 ×2 3 ＝53＝125.
高一无理数指数幂教案
高一无理数指数幂教案教学目标：1.理解无理数指数幂的概念，掌握无理数指数幂的计算方法。
2.能够运用无理数指数幂的性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高解题技巧。
教学重点：1.无理数指数幂的概念和性质。
2.无理数指数幂的计算方法。
教学难点：1.无理数指数幂的性质的理解和运用。
2.复杂无理数指数幂的化简。
教学准备：1.教师准备PPT或黑板，展示无理数指数幂的相关知识点。
2.准备一些练习题，用于巩固学生的理解。
教学过程：一、导入1.复习有理数指数幂的概念和性质，引导学生思考：有理数指数幂和无理数指数幂有何区别？2.引入无理数指数幂的概念，让学生思考：什么是无理数指数幂？它有何意义？二、新课讲解1.讲解无理数指数幂的定义：无理数指数幂是指以无理数为指数的幂函数。
举例说明，如\(2^{\sqrt{2}}\)、\(3^{\pi}\)等。
2.讲解无理数指数幂的性质：性质1：\(a^{\sqrt{n}}=(a^{\sqrt{n}})^2\)，其中\(a>0\)，\(n\)为正整数。
性质2：\(a^{\sqrt{n}}\cdota^{\sqrt{m}}=a^{\sqrt{n+m}}\)，其中\(a>0\)，\(n\)、\(m\)为正整数。
性质3：\((a^{\sqrt{n}})^m=a^{m\sqrt{n}}\)，其中\(a>0\)，\(m\)为有理数，\(n\)为正整数。
3.讲解无理数指数幂的计算方法：方法1：将无理数指数化为有理数指数，然后计算。
方法2：利用指数函数的性质进行化简。
三、案例分析1.分析案例1：题目：计算\(2^{\sqrt{2}}\cdot2^{\sqrt{3}}\)。
解析：根据无理数指数幂的性质2，可得\(2^{\sqrt{2}}\cdot2^{\sqrt{3}}=2^{\sqrt{2+3}}=2^{\sqrt{5}} \)。
2.分析案例2：题目：计算\((\sqrt{2})^{\sqrt{3}}\)。
高中数学《无理数指数幂》精品公开课教案
无理数指数幂（教师叙述：同学们我们前面学习了根式、有理数指数幂，这一节课我们来学习有理数指数幂.这一节课是我们指数与指数幂的运算的最后一课时，学习完之后我们就可以把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂. ）（教师注意：这节课也是一节自学讨论课，希望老师们能够很好的引导学生积极的自学，关键是学生对于逼近思想的理解，这个思想对于我们以后学习极限是很有用的，希望老师们能够切实的起到引导和讲解的作用）（自学引导：做好课下预习，是学习好这节课的重点）一、【学习目标】（约2分钟）（自学引导：做好预习，要了解一个数学思想：逼近的思想）1、了解不足近似值和过剩近似值的概念；2、初步了解逼近的思想；了解无理数指数幂的实质：实数；3、会利用所学知识，解决简单的化简、计算问题【教学效果】：教学目标的出示有利于学生明确这节课要完成的学习任务二、【自学内容和要求及自学过程】（约15分钟）（教师注意：自学课程是老师引导的过程，是学生逐步深入学习的过程，老师一定要起到积极引导的作用，而不是破坏的作用.在学生自学的过程中，老师不能随意的插话，只能在自学前把要注意的问题说清楚.在学生的自学过程中，老师只是俯身做一些个别的辅导，当然这些辅导是对于那些学习中等偏下的同学而言的.基础好的同学不用你辅导，而基础差的学生只能是课下专门的辅导.对于中等的，大部分在你讲解的时候就能完成学习任务，所以要辅导谁，老师心里面是要有底儿的，不要盲目的辅导.在辅导的过程中确实发现要补充的问题时，老师说话语气也要柔和，而不能很大的声音说话，避免破坏学生的学习气氛）请同学们自学教材第52页—53页内容，回答问题（约15分钟）（自学引导：要注意对逼近的思想的理解）<1>我们知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…，是2的什么近似值？<2>同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?<3>你能给上述思想起个名字吗?<4>一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如52,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?<5>借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?（自学引导：同学们要会归纳总结，由一般的自然语言转化为数学的符号语言，这一点是很重要的）结论：<1>1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于2,称2的（不足近似值）,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于2,称2的（过剩近似值）.；<2>第一个表:从大于2的方向逼近2时,52就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近52.第二个表:从小于2的方向逼近2时,52就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于52的方向逼近52；从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面52从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,即小于52的方向接近52,而另一方面52从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向接近52,可以说从两个方向无限地接近52,即逼近52,所以52是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示52的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是（52一定是一个实数,）即51.4<51.41<51.414<51.4142<51.41421<…<52<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5；充分表明52是一个实数；<3>逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识； <4>我们可以推断52是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数；<5>无理数指数幂的意义：一般地，无理数指数幂αa （α,0>a 是无理数）是一个确定的实数.也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.实数指数幂的运算性质：对任意的实数r,s,均有下面的运算性质：①a r·a s=a r+s(a>0,r,s ∈R)②(a r )s=a rs(a>0,r,s ∈R)； ③(a ·b)r=a r b r(a>0,b>0,r ∈R).【教学效果】：这一部分内容关键是对逼近思想的讲解，学生现有的知识结构还是有欠缺的，逼近的思想还是有一点儿难理解的. 三、【练习与巩固】（约20分钟）根据今天所学的知识，完成下列练习（约15分钟）（教师注意：对于这几个练习题，根据各自的学情，老师要有选择的讲解.当然这一部分题目我个人认为计算量比较大，老师最好是在黑板上板演，给学生做一个示范，只有这样，学生才会规范，才会动笔.一孔之见，仅供参考.）（自学引导：切实的动笔算一算，才能发现自己的问题.预习时最少做到 把书上的例题看懂这是一个最低的台阶) 练习一：教材第54页练习第3题；(昨天作业题，巩固练习） 练习二：求值或化简.<1>3224ab ba -(a>0,b>0)； <2>(41)21-213321)()1.0()4(---b a ab (a>0,b>0)；<3>246347625---+-思考：化简:(1+2321-)(1+2161-)(1+281-)(1+241-)(1+221-)结论：根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形. 因为(1+2321-)(1-2321-)=1-2161-,所以原式的分子分母同乘以(1-2321-),依次类推，所以321212121)21)(21(----+-=32112121----=21(1-2321-)-1. 【教学效果】：这一部分关键是对练习二第<3>题和思考题的讲解.学生们听课的效果还是很不错的.四、【作业】今天作业不分选做和必做，一律从教材第59页习题2.1A 组第4题中任选一个奇数题，任选一个偶数题做一做.五、【小结】这一节课主要学习了无理数指数幂，这样我们就把指数幂的运算性质推广到了实数范围内，本节课的新知识比较简单，学生们都能套用前面的知识来做这节课的内容，但是学生们真正能理解多少呢？就靠老师的讲解了.这一节课还要讲解逼近的思想，特别是教案的思考题，老师一定要做好讲解，因为这个思考题对以后做数列、三角函数题时时很有帮助的，这个思想“解套子”的思想，我们还是要具备的.六、【反思】这节课讲完之后感觉自己有一点点的累.这几天天气较冷，感觉自己的思维也被冻结了.本节课对自己评价还是及格的，该做到的都基本做到了，但是思路有一点儿混乱，该点到即止的反而说得有点儿多，反而不好. 七、。
2019-2020年高一数学《无理数指数幂》教学设计
2019-2020年高一数学《无理数指数幂》教学设计一、内容及其解析（一）内容：无理数指数幂。
（二）解析：本节课要学的内容有无理数指数幂的概念，理解它关键就是能够有理数指数幂概念转化到无理数指数幂。
学生已经学过了有理数指数幂，对于转化到无理数指数幂的形式难度不大，本节课的内容有理数指数幂就是在此基础上的发展。
教学的重点是有理数指数幂的概念类比形成无理数指数幂的概念，进而探讨出无理数指数幂的运算性质，从而推广到整个实数指数幂的有关运算。
二、目标及其解析（一）教学目标1.能熟练进行根式与分数指数幂间的互化。
2.理解无理数指数幂的概念。
（二）解析1．理解根式与分数指数幂间的转化，关键是指数幂的运算性质要理解到位；2．理解无理数指数幂的概念就是指通过复习已学过的整数指数幂的概念和有理数指数幂的概念，推导出无理数指数幂的概念；三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是对无理数指数幂概念和运算性质的理解，产生这一问题的原因是：学生对无理数指数幂的概念模糊，对于无理数指数幂的运算性质不够熟练，不能很好的类比有理数指数幂的运算性质。
要解决这一问题，就要在在练习中加深理解。
四、教学过程设计1、导入新课同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数，有理数到实数。
并且知道在有理数到实数的扩充过程中，增添的是是实数。
对无理数指数幂，也是这样扩充而来。
这样我们这节课的主要内容是：无理数指数幂2、新知探究提出问题（1）我们知道=1.41421356…，那么 1.41，1.414，1.4142，1.41421，…，是的什么近似值？而1.42，1.415，1.4143，1.41422，…，是的什么近似值？学生自己阅读教材发现规律。
（2）你能给教材上的思想起个名字吗？（3）一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如，根据你学过的知识，能做出判断并合理地解释吗？借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？师生活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑是加以解释.问题（1）从近似值分类来考虑，一方面从大于的方向，另一方面从小于的方向.问题（2）对教材中图表的观察得出无限逼近是实数问题（3）在前两个问题基础之上，推广到一般情形，即由特殊到一般.提出问题（1） 为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？（2） 无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相同呢？（3） 你能给出实数指数幂的运算法则吗？师生活动：教师组织学生相互合作，交流探讨，引导他们类比，归纳.讨论结果：（1）底数大于零是必要的，否则会造成混乱如那么是1还是-1就无法确定了，规定后就清楚了.（2）类比有理数指数幂即可得到无理数指数幂的运算法则.（3）实数指数幂的运算性质：①(0,,r s r s a a a a r s R +∙=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s R a =>∈③()(0,0,)r r r a b a b a b r R ∙=>>∈3、应用示例、知能训练例1求值或化简（1）（2例2已知—），，求的值.六．小结（1）无理数指数幂的意义一般地，无理数指数幂（且是无理数）是一个确切的实数.（2）实数指数幂的运算性质：①(0,,)r s r s a aa a r s R +∙=>∈ ②)(0,,)(r s rs a a r s R a =>∈③()(0,0,)r r ra b a b a b r R ∙=>>∈④逼近思想，体会无限接近的含义2019-2020年高一数学《根式》教学设计一、内容及其解析（一）内容：根式。
高一数学教案：无理数指数幂教案-学习文档
高一数学教案：无理数指数幂教案【】欢迎来到查字典数学网高一数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。
因此小编在此为您编辑了此文：高一数学教案：无理数指数幂教案希望能为您的提供到帮助。
本文题目：高一数学教案：无理数指数幂教案课前预习学案一、预习目标理解无理数指数幂得实际意义。
二、预习内容教材52页至53页的意义解读。
三、提出疑惑同学们，你们通过自主学习，还有哪些疑惑请写在下面的横线上课内探究学案一、学习目标1.能熟练进行根式与分数指数幂间的互化。
2.理解无理数指数幂的概念。
学习重点：实数指数幂的的运算及无理数指数幂的理解学习难点：无理数指数幂的理解二、学习过程1.解释的意义，理解分数指数幂与根式的互化。
探究的实际意义。
2.反思总结得出结论：一般地，无理数指数幂 ( 是无理数)是一个确定的实数。
有理数指数幂的运算同样适用于无理数指数幂。
3.当堂检测(1)参照以上过程，说明无理数指数幂的意义。
(2)计算下列各式○1 ○2课后练习与提高1.化简下列各式(1) (2)2.下列说法错误的是()A.根式都可以用分数指数幂来表示B.分数指数幂不表是相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法C.无理数指数幂有的不是实数D.有理数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂【总结】2019年查字典数学网为小编在此为您收集了此文章高一数学教案：无理数指数幂教案，今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助，祝您在查字典数学网学习愉快!更多精彩内容请点击：高中高一高一数学高一数学教案本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。
课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。
本节课的什么叫基本物理量、物理量的单位、导出单位、单位制以及单位制和单位统一的重要性的理解是课本上重要内容。
高一数学教案：无理数指数幂教案
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二、预习内容教材52页至53页的意义解读。
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2.理解无理数指数幂的概念。
学习重点：实数指数幂的的运算及无理数指数幂的理解学习难点：无理数指数幂的理解二、学习过程1.解释的意义，理解分数指数幂与根式的互化。
探究的实际意义。
2.反思总结得出结论：一般地，无理数指数幂 ( 是无理数)是一个确定的实数。
有理数指数幂的运算同样适用于无理数指数幂。
3.当堂检测(1)参照以上过程，说明无理数指数幂的意义。
(2)计算下列各式○1 ○2课后练习与提高1.化简下列各式(1) (2)2.下列说法错误的是()A.根式都可以用分数指数幂来表示B.分数指数幂不表是相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法C.无理数指数幂有的不是实数D.有理数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂【总结】2019年为小编在此为您收集了此文章高一数学教案：无理数指数幂教案，今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助，祝您在学习愉快!更多精彩内容请点击：高中高一高一数学高一数学教案本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。
课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。
本节课的什么叫基本物理量、物理量的单位、导出单位、单位制以及单位制和单位统一的重要性的理解是课本上重要内容。
在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!高一物理教案：力学单位制教案课前预习学案一、预习目标1. 知道力学中的三个基本单位二、预习内容力学中的三个基本单位：_________、_________、_________。
新教材4.1指数 4.1.2无理数指数幂及其运算性质 教案
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质教学目的：（1）了解可以由有理数的指数幂无限逼近无理数的指数幂；（2）培养用于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展教学核心素养. 课 型：新授课教学重点：无理数指数幂的概念；教学难点：指数幂的运算性质；教学过程：一、引入课题知识点1 无理数指数幂无理数指数幂a α（0a >，α是无理数）是_________.思考1：一定是实数吗？提示：根据无理数指数幂的定理.知识点2 实数指数幂的运算性质（0a >，0b >，r ，s R ∈）（1）r s a a =_________.（2）()s ar _______.（3）()rab =________.思考2：指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？提示：二、基础自测1．下列说法正确的个数是（ ）（1）无理数指数幂有的不是实数．（2）指数幂(0)x a x >中的x 只能是有理数．（3）9=.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：（1）无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确；（2）指数幂(0)x a x >中的x 是任意实数，不正确；（3）239===，正确，故选B ． 2.36a a ππ= .3.(n m = .三、题型探究题型一 无理数指数幂的运算例1 （1）（；（2）263a a a πππ.解析：（1）原式62322916==⨯=. （2）原式2+636a a ππππ--==.归纳提升 关于无理数指数幂的运算（1）底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算．（2）若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留．题型二 指数幂运算的综合运算例2 已知11223a a-+=，求下列各式的值.（1）1a a -+；（2）22a a -+； （3）33221122a aa a ----.分析：利用完全平方差公式求（1）（2），利用立方差各式求（3）.解析：（1）11223a a-+=边平，129a a -++=，17a a -+=； （2）17a a-+=边平，有22249a a -++=，2247a a -+=； （3）于3311332222()()a a a a ---=， 所以有3311111222222111112222()()1718a aa a a a a a a a a a a a ---------++⋅==++=+=--.归纳提升（1）条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过11223a a -+=解出a 的值代入求值，则非常复杂．（2）解决此类问题的一般步骤是四、误区警示因忽略幂底数的范围而导致错误例3 化简11222(1)[(1)()]a a a ----= .错解：1111212244(1)[(1)()](1)(1)()()a a a a a a a -----=--⋅-=--.错因分析：忽略了题中有12()a -，即相当于告知0a -≥，故0a ≤，这样，1212[(1)](1)a a ---≠-.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否由隐含的条件.正解：由12()a -知0a -≥，故10a -<， ∴1111212244(1)[(1)()](1)(1)()()a a a a a a a -----=---=-.方法点拨：在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求.五、学科素养用换元法处理指数幂中的化简与证明问题例4 已知333pa qb rc ==，且1111a b c ++=，求证：11112223333()pa qb rc p q r ++=++. 分析：看见三个式子连等，立刻想到赋中间变量，通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子.证明：令333pa qb rc ==，则2k pa a =，2k qb b =，2k rc c =，3k p a =，3k q b =，3k r c=， 所证等式左边111333111()[()]k k k k k a b c a b c=++=++=， 所证等式右边1111133333333111()()()()k k k k k a b c a b c=++=++=，∴1111 2223333 ()pa qb rc p q r ++=++.归纳提升（1）对于“连等式”，常用换元法处理．如本例，我们可令它等于一个常数k，然后以k为媒介化简，这样使问题容易解决．（2）换元过程中尤其要注意所代换的新变元的范围一定与被替换对象一致，关键时候还要检验．。
高中数学《指数——无理数指数幂及其运算性质》(第二课时)教学设计
指数（第二课时）4.1.2 无理数指数幂及其运算性质一、内容与内容解析1.内容无理数指数幂的概念与运算性质．2.内容解析对于无理数指数幂的认识,教科书安排了一个探究栏目，从具体的开始．假设有意义，根据有理数指数幂的意义，利用计算工具，由的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），计算相应的的值,并填入表中．可以发现，当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，相应的都趋向于同一个数．这时，从差趋向于0，也可以进一步说明都趋向于同一个数，这个数就是．也就是说，是一串逐渐增大的有理数指数幂…和另一串逐渐减小的有理数指数幂…逐步逼近的结果．由于实数与数轴上的点一一对应，这一过程也可以在数轴上标示出来（如教科书图4.1-1）．逐步逼近后，根据我们的想象和推断，这个点在数轴上存在，而且是唯一的，它是一个确定的实数,这个数就是．无论是认识,还是认识，为了认识这些数的意义，我们在数轴上先选取这个数附近一个小区间内的数，通过不断缩小区间的长度，让区间端点的值从区间的左、右两个方向，即从左侧不断增大的方向（单调递增），以及从右侧不断减小的方向（单调递减），逐渐向中间逼近，在“单调有界数列必有极限”的基本事实支持下，想象并判定，不仅在数轴上确实存在，而且唯一. 这种研究问题的方法是现代数学中常用的方法：选取点所在的一个邻域，运用无限分割的方法，将点所在区间不断缩小，得到区间套，然后运用极限，得到研究问题的答案。
教科书接下来安排了一个“思考”栏目，让学生类比的探究过程，探究。
也是一个确定的实数，在数轴上有唯一的点与它对应．在上述研究的基础上，教科书给出结论：一般地，无理数指数幂（a＞0，α为无理数）是一个确定的实数．这个结论使以后能在实数范围内定义指数函数，在区间（0，+∞）内定义对数函数．这样，我们把指数幂（a＞0）中指数x的取值范围由整数拓展到有理数，并进一步拓展到实数：任何正数的实数指数幂是一个确定的实数．应当注意的是，在指数幂中，通常要限定a＞0这个条件. 这是为了保证后续的指数函数y=对于任意实数x都有意义，因为只有正数的任何实数次幂才都有意义。
无理数指数幂及其运算性质 教案
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质教学目的：（1）了解可以由有理数的指数幂无限逼近无理数的指数幂；（2）培养用于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展教学核心素养. 课型：新授课教学重点：无理数指数幂的概念；教学难点：指数幂的运算性质；教学过程：一、引入课题知识点1无理数指数幂无理数指数幂a α（0a >，α是无理数）是_________.思考1：一定是实数吗？提示：根据无理数指数幂的定理.知识点2实数指数幂的运算性质（0a >，0b >，r ，s R ∈）（1）r s a a =_________.（2）()s ar _______.（3）()rab =________.思考2：指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？提示：二、基础自测1．下列说法正确的个数是（）（1）无理数指数幂有的不是实数．（2）指数幂(0)x a x >中的x 只能是有理数．（3）9=.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：（1）无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确；（2）指数幂(0)x a x >中的x 是任意实数，不正确；（3）239===，正确，故选B ． 2.36a a ππ=.3.(n m =.三、题型探究题型一无理数指数幂的运算例1（1）（；（2）263a a a πππ.解析：（1）原式62322916==⨯=. （2）原式2+636a a ππππ--==.归纳提升 关于无理数指数幂的运算（1）底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算．（2）若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留．题型二指数幂运算的综合运算例2已知11223a a-+=，求下列各式的值.（1）1a a -+；（2）22a a -+； （3）33221122a aa a ----.分析：利用完全平方差公式求（1）（2），利用立方差各式求（3）.解析：（1）11223a a-+=边平，129a a -++=，17a a -+=； （2）17a a-+=边平，有22249a a -++=，2247a a -+=； （3）于3311332222()()a a a a ---=， 所以有3311111222222111112222()()1718a aa a a a a a a a a a a a ---------++⋅==++=+=--.归纳提升（1）条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过11223a a -+=解出a 的值代入求值，则非常复杂．（2）解决此类问题的一般步骤是四、误区警示因忽略幂底数的范围而导致错误例3化简11222(1)[(1)()]a a a ----=.错解：1111212244(1)[(1)()](1)(1)()()a a a a a a a -----=--⋅-=--.错因分析：忽略了题中有12()a -，即相当于告知0a -≥，故0a ≤，这样，1212[(1)](1)a a ---≠-.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否由隐含的条件.正解：由12()a -知0a -≥，故10a -<， ∴1111212244(1)[(1)()](1)(1)()()a a a a a a a -----=---=-.方法点拨：在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求.五、学科素养用换元法处理指数幂中的化简与证明问题例4 已知333pa qb rc ==，且1111a b c ++=，求证：11112223333()pa qb rc p q r ++=++. 分析：看见三个式子连等，立刻想到赋中间变量，通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子.证明：令333pa qb rc ==，则2k pa a =，2k qb b =，2k rc c =，3k p a =，3k q b =，3k r c=， 所证等式左边111333111()[()]k k k k k a b c a b c=++=++=， 所证等式右边1111133333333111()()()()k k k k k a b c a b c=++=++=，∴1111 2223333 ()pa qb rc p q r ++=++.归纳提升（1）对于“连等式”，常用换元法处理．如本例，我们可令它等于一个常数k，然后以k为媒介化简，这样使问题容易解决．（2）换元过程中尤其要注意所代换的新变元的范围一定与被替换对象一致，关键时候还要检验．。
21-22版：4.1 第二课时 分数指数幂、无理数指数幂（创新设计）
第二课时 分数指数幂、无理数指数幂自主梳理1.分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n ＝1a m n＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的运算性质(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab)r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q ). (2)拓展：a r a s ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q ). 3.无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)(－2)64＝(－2)32.(×)提示 (－2)64>0，而(－2)32无意义，故错误.(2)[(－2)×(－3)]12＝(－2)12(－3)12.(×) 提示 左侧＝6，右侧无意义. (3)当a >0时，(a r )s ＝(a s )r .(√) (4)22∈R .(√)2.(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.－x ＝(－x )12 B.6y 2＝y 13(y <0)C.x －13＝13x(x ≠0)D.[3（－x ）2]34＝x 12(x >0)答案 CD解析 对于选项A ，因为－x ＝－x 12(x ≥0)，而(－x )12＝－x (x ≤0)，所以A 错误；对于选项B ，6y 2＝－y 13(y <0)，即B 错误；对于选项C ，x －13＝13x(x ≠0)，即C正确；对于选项D ，[3（－x ）2]34＝x 2×13×34＝x 12(x >0)，即D 正确，故选CD.3.下列运算结果中，正确的是( ) A.a 2·a 3＝a 5 B.(－a 2)3＝(－a 3)2 C.(a －1)0＝1 D.(－a 2)3＝a 6答案 A 4.a 3a ·5a 4(a >0)的值为________.答案 a 1710解析 原式＝a 3·a －12·a －45＝a 3－12－45＝a 1710.题型一 根式与指数幂的互化角度1分数指数幂化根式【例1－1】用根式的形式表示下列各式(x>0).(1)x 25；(2)x－53.解(1)x 25＝5x2；(2)x－53＝13x5.角度2根式化分数指数幂【例1－2】把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.(1)5a6；(2)13a2；(3)4b3a2；(4)（－a）6.解(1)5a6＝a65.(2)13a2＝1a23＝a－23.(3)4b3a2＝⎝⎛⎭⎪⎫b3a214＝b34a－24＝a－12b34.(4)（－a）6＝a6＝a 62＝a3.思维升华根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.【训练1】用分数指数幂表示下列各式：(1)b3a·a2b6(a>0，b>0)；(2)a－4b23ab2(a>0，b>0).解(1)b3a·a2b6＝b3a·ab3＝1.(2)a －4b23ab 2＝a －4b 2·（ab 2）13＝a －4b 2a 13b 23＝a －113b 83＝a－116b 43.题型二 利用分数指数幂的运算性质化简求值 【例2】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＝________.答案 278解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝278.(2)计算下列各式(式中字母均为正数)：①⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －23y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13y －16； ②(0.064)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[]（－2）3－43＋16－0.75.解 ①原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x －23＋(－1)＋13·y 12＋12－16＝2524x －43y 56. ②原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716. 思维升华 1.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质. 2.根式化简的步骤(1)将根式化成分数指数幂的形式. (2)运用分数指数幂的运算性质求解. 3.对于化简结果的要求对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序.【训练2】 计算下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748； (3)614－3338＋40.062 5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫0.06413－2.525－π0. 解 (1)原式＝1＋14×23－110＝1615.(2)原式＝53＋100＋916－3＋3748＝100＋14448－3＝100.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25412－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62510 00014＋⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00013×（－2.5）×25－1＝52－32＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－1－1＝3.题型三 整体代换法求分数指数幂【例3】 (1)若x 23＝2，则(x ＋3)12＝________. (2)若x 12－x －12＝1，则x ＋x －1＝________；x 2＋x －2＝________. 答案 (1)2±1 (2)3 7解析 (1)因为x 23＝2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 233＝23＝8，得x 2＝23，解得x ＝±22，所以(x ＋3)12＝(3±22)12＝[(2±1)2]12＝2±1. (2)将x 12－x －12＝1，两边平方得x ＋x －1－2＝1，则x ＋x －1＝3.x ＋x －1＝3两边平方得x 2＋x －2＋2＝9， 所以x 2＋x －2＝7.思维升华 利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.x 2＋x －2＝(x ±x －1)2∓2，x ＋x －1＝(x 12±x －12)2∓2，x 12＋x －12＝(x 14±x －14)2∓2.【训练3】 (1)已知x 12＋x －12＝5，则x 2＋x －2＝________.(2)已知x ＋x －1＝7，则x 12＋x －12＝________；x 2－x －2________.答案 (1)7 (2)3 ±215解析 (1)将x 12＋x －12＝5，两边平方得x ＋x －1＋2＝5，则x ＋x －1＝3，两边再平方得x 2＋x －2＋2＝9，所以x 2＋x －2＝7.(2)①设m ＝x 12＋x －12，两边平方得m 2＝x ＋x －1＋2＝7＋2＝9，因为m >0，所以m＝3，即x 12＋x －12＝3.②设n ＝x 12－x －12，两边平方得n 2＝x ＋x －1－2＝7－2＝5，因为n ∈R ，所以n ＝±5，即x 12－x －12＝± 5.所以x －x －1＝(x 12＋x －12)(x 12－x －12)＝±35， x 2－x －2＝(x ＋x －1)(x －x －1)＝±21 5.1.根式一般先转化成分数指数幂，然后运用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.2.对于条件求值问题，一般是化简代数式，利用整体代入的方法求值.。
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2.1.1.3 无理数指数幂
一、内容及其解析
（一）内容：无理数指数幂。
（二）解析：本节课要学的内容有无理数指数幂的概念，理解它关键就是能够有理数指数幂概念转化到无理数指数幂。
学生已经学过了有理数指数幂，对于转化到无理数指数幂的形式难度不大，本节课的内容有理数指数幂就是在此基础上的发展。
教学的重点是有理数指数幂的概念类比形成无理数指数幂的概念，进而探讨出无理数指数幂的运算性质，从而推广到整个实数指数幂的有关运算。
二、目标及其解析
（一）教学目标
1.能熟练进行根式与分数指数幂间的互化。
2.理解无理数指数幂的概念。
（二）解析
1．理解根式与分数指数幂间的转化，关键是指数幂的运算性质要理解到位；
2．理解无理数指数幂的概念就是指通过复习已学过的整数指数幂的概念和有理数指数幂的概念，推导出无理数指数幂的概念；
三、问题诊断分析
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是对无理数指数幂概念和运算性质的理解，产生这一问题的原因是：学生对无理数指数幂的概念模糊，对于无理数指数幂的运算性质不够熟练，不能很好的类比有理数指数幂的运算性质。
要解决这一问题，就要在在练习中加深理解。
四、教学过程设计
1、导入新课
同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数，有理数到实数。
并且知道在有理数到实数的扩充过程中，增添的是是实数。
对无理数指数幂，也是这样扩充而来。
这样我们这节课的主要内容是：无理数指数幂
2、新知探究
提出问题（1…，那么1.41，1.414，1.4142，1.41421，…，
1.42，1.415，1.4143，1.41422的什么近似值？
学生自己阅读教材发现规律。
（2）你能给教材上的思想起个名字吗？
（3）一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如，根据你学过的知识，能做出判断并合理地解释吗？借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？
师生活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑是加以解释.
问题（1. 问题（2）对教材中图表的观察得出无限逼近是实数
问题（3）在前两个问题基础之上，推广到一般情形，即由特殊到一般.
提出问题
（1） 为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？
（2） 无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相同呢？
（3） 你能给出实数指数幂的运算法则吗？
师生活动：教师组织学生相互合作，交流探讨，引导他们类比，归纳.
讨论结果：（1）底数大于零是必要的，否则会造成混乱如1,a =-那么a α是1还是-1就无法确定了，规定后就清楚了.
（2）类比有理数指数幂即可得到无理数指数幂的运算法则.
（3）实数指数幂的运算性质：①(0,,)r s r s a a a a r s R +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s R a =>∈③()(0,0,)r r r a b a b a b r R •=>>∈
3、应用示例、知能训练
例1求值或化简
（1(0,0)a b >>
（2
例2已知1
1(52
n x =—15n -），*n N ∈，求(n x 的值. 六．小结
（1）无理数指数幂的意义
一般地，无理数指数幂a α（0a >且α是无理数）是一个确切的实数.
（2）实数指数幂的运算性质：
①(0,,)r s r s a a
a a r s R +•=>∈ ②)(0,,)(r s rs a a r s R a =>∈
③()(0,0,)r r r a b a b a b r R •=>>∈ ④逼近思想，体会无限接近的含义。