高考数列知识点及对应题型

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2024高考数学数列知识点总结与题型分析

2024高考数学数列知识点总结与题型分析数列是高中数学中的重要内容，作为数学的一个分支，数列的掌握对于高考数学的考试非常关键。

在本文中，我们将对2024年高考数学数列的知识点进行总结，并分析可能出现的相关题型。

一、等差数列与等差数列的通项公式等差数列是数学中最常见的数列类型之一。

对于等差数列，首先要了解等差数列的概念：如果一个数列中任意两个相邻的项之差都相等，则称该数列为等差数列。

1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式是等差数列中非常重要的一个公式，它可以用来求解等差数列中任意一项。

设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，第$n$项为$a_n$，则等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$1.2 等差数列的性质与常用公式等差数列有一些重要的性质与常用的公式，掌握这些性质与公式可以帮助我们更好地解决与等差数列相关的题目。

（1）等差数列中，任意三项可以构成一个等差数列。

（2）等差数列的前$n$项和公式为：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$（3）等差数列的前$n$项和的差为：$S_n - S_m = (n-m+1)\frac{a_1 + a_{n+m}}{2}$二、等比数列与等比数列的通项公式等比数列也是数学中常见的数列类型之一。

与等差数列不同的是，等比数列中的任意两项的比值都相等。

2.1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以用来求解等比数列中的任意一项。

设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，第$n$项为$a_n$，则等比数列的通项公式为：$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$2.2 等比数列的性质与常用公式等比数列也有一些重要的性质与常用的公式，下面我们来了解一下：（1）等比数列中，任意三项可以构成一个等比数列。

（2）等比数列的前$n$项和公式为（$q\neq1$）：$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（3）当公比$q \neq 1$时，等比数列的前$n$项和与第$n$项的关系为：$S_n = \frac{a_nq - a_1}{q - 1}$三、数列题型分析与解题技巧在高考数学中，对于数列的考察主要包括以下几个方面：3.1 数列的递推关系与通项公式的应用常见的数列题目往往要求我们根据已知的递推关系或者通项公式来求解数列中的某一项或者求解前$n$项的和。

(完整版)高三总复习数列知识点及题型归纳总结

一、数列的概念(1) 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作a n ，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)记作 a n ；数列的一般形式：a 1, a 2, a 3,……,a n ,……，简记作a n 。

例：判断下列各组元素能否构成数列 (1) a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2) 2010年各省参加高考的考生人数。

(2) 通项公式的定义：如果数列叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 , 2 , 3 , 4, 511111 _ _ _ _ ， ? ? ?2 3 4 5a n = n ( n 7, n N ),1 a n =(n N)。

n说明:1 n 2k 1② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，a n = ( 1)n =(k Z);1,n 2k③ 不是每个数列都有通项公式。

例如， 1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 ,…… (3) 数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：456 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N (或它的有限子集)的函数 f(n)当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2), f(3),……,f(n),……•通常用a n 来代替f n ,其图象是一群孤立点。

例：画出数列a n 2n 1的图像•(4) 数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ (1) 1 , 2, 3, 4, 5, 6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …(3) 1,0, 1,0, 1,0, … (4)a, a, a, a, a,…例：已知数列｛a n ｝的前n 项和s n 2n 2 3，求数列｛a n ｝的通项公式高三总复习数列｛a n ｝的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就②:数列①的通项公式是数列②的通项公式是①a n 表示数列，a n 表示数列中的第n 项，a n = n 表示数列的通项公式;(5)数列｛ a n ｝的前n 项和S n 与通项a n 的关系：a nS 1(n 1)S n A n > 2)练习：1 •根据数列前4项，写出它的通项公式:(1) 1, 3, 5, 7……;22 132 1 42 1 52 1(2)234 5 (3)1 1 1 1---1*2*3*44*5(4) 9, 99, 999, 9999 …(5) 7, 77, 777, 7777,(6)8, 88, 888, 8888 2 •数列a n 中，已知a n(1)与出a i, , a 2, a 3, a n 1, a n 2 ；2（2） 79 2是否是数列中的项？若是，是第几项?33• （2003京春理14,文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____ ）内。

数列精华题型归纳(含详解)

数列精华题型归纳一、等差数列的定义与性质() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ⇔=+2 ()()前项和n S a a n nan n d n n =+=+-11212{}性质：是等差数列a n（）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232-- （）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则；42121a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52a S an bn a b n n n ⇔=+ 0的二次函数）{}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。

a d a a S n n n n 110000><≥≤⎧⎨⎩+当，，由可得达到最小值时的值。

a d a a S n n n n 110000<>≤≥⎧⎨⎩+{}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123（由，∴a a a a a n n n n n ++=⇒==----12113331()又·，∴S a a aa 31322233113=+===()()∴·S a a n a a n nn n n =+=+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-12122131218 ∴=n 27）二、等比数列的定义与性质定义：（为常数，），a a q q q a a q n nn n +-=≠=1110 等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ⇒==±2()前项和：（要注意）n S na q a q qq n n ==--≠⎧⎨⎪⎩⎪111111()()!{}性质：是等比数列a n（）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+= （），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- 三、求数列通项公式的常用方法 1、公式法2、n n a S 求由；（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--121113、求差（商）法{}如：满足……a a a a n n n n 121212251122+++=+<>解：n a a ==⨯+=1122151411时，，∴n a a a n n n ≥+++=-+<>--2121212215212211时，……<>-<>=12122得：n n a ，∴a n n =+21，∴a n n n n ==≥⎧⎨⎩+141221()()练习、{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +==++111534（注意到代入得：a S S S S n n n n n+++=-=1114 {}又，∴是等比数列，S S S n n n 144== n a S S n n n n ≥=-==--23411时，……· 4、叠乘法{}例如：数列中，，，求a a a a nn a n n n n 1131==++ 解：a a a a a a n n a a nn n n 213211122311·……·……，∴-=-= 又，∴a a nn 133==5、等差型递推公式由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪-22321321时，…………两边相加，得：()()()a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()()练习、{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥--()（）a n n=-1231 6、等比型递推公式()a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1()⇒=+--a ca c x n n 11令，∴()c x d x d c -==-11∴是首项为，为公比的等比数列a d c a d c c n +-⎧⎨⎩⎫⎬⎭+-111 ∴·a d c a d c c n n +-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111∴a a d c c d c n n =+-⎛⎝ ⎫⎭⎪---1111练习、{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+（）a n n =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-843117、倒数法例如：，，求a a a a a n n n n 11122==++ ，由已知得：1221211a a a a n n n n+=+=+ ∴11121a a n n +-= ， ∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭=111121a a n 为等差数列，，公差为 ()()∴=+-=+11112121a n n n · ，∴a n n =+21三、求数列前n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

高中数学必修等差数列知识点总结和题型归纳

二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6 ，2a -5 ， -3a +2 ，则 a A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2．在数列 {a n } 中， a 1=2，2a n+1=2a n +1，则 a 101的值为（）A ．49B ．50C ． 51D ．52 3．等差数列 1，－ 1，－ 3，⋯，－ 89的项数是（）等差数列一．等差数列知识点：知识点 1、等差数列的定义 : ①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示知识点 2、等差数列的判定方法 : ②定义法：对于数列 a n ，若a n 1 a n d （常数），则数列 a n 是等差数列 ③等差中项：对于数列 a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列 a n 是等差数列知识点 3、等差数列的通项公式 : 的首项是 a 1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为该公式整理后是关于 n 的一次函数 n 项和 : n （n 1） ⑥ S n na 1 d2 ④如果等差数列 a n a n a 1 （n 1）d 知识点 4、等差数列的前 ⑤ Sn n （a 1 a n ） 2对于公式 2整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数知识点 5、等差中项 :⑥如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项即： A a b 或2A a b 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点 6、等差数列的性质 : ⑦等差数列任意两项间的关系：如果且 m n ，公差为 d ，则有 a n a m （n ⑧ 对于等差数列 a n ，若 n m p a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项， m ）d q ，则 a n a m a p a q 也就是： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ⑨若数列 a n 是等差数列，等差数列如下图所示：S n 是其前 n 项的和， k N ，那么 S k ， S 2k S k ，S 3k S 2k 成 S 3ka 1 a2a3S k akak 1S 2ka2kS ka2k 1S 3k S 2ka3k①若项数为 2n n *，则 S 2n n a n a n 1 ，且S 偶 S 奇 S 奇 nd，奇 an． ②若项数为 2n 1 nS 偶 an 1S 奇n （其中 S 奇 na n ， S 偶n 1 a n ）．S偶n 1奇等差数列的前 n 项和的性质： 10、，则 S 2n 1 2n 1 a n ，且 S 奇 S 偶 a n，等于（）A．92 B ．47 C．46D．44、已知等差数列{a n}中，a7 a9 16,a41,则a12的值是（）( )A 15B 30C 31D 645. 首项为－24 的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（8 8 8> <3 C. ≤d<3 D. < d≤33 3 36、.在数列{ a n}中，a1 3，且对任意大于1的正整数n，点（ a n , a n1）在直x y 3 则a n = _________________ .7、在等差数列{a n} 中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋⋯＋a10＝．8、等差数列a n 的前n项和为S n，若a2 1,a3 3,则S4＝（）（A）12（B）10（C）8（D）69、设数列a n 的首项a17,且满足a n 1 a n 2(n N) ，则a1 a2a1710、已知{a n} 为等差数列，a3 + a 8 = 22，a6 = 7 ，则a5 = _________11、已知数列的通项a n= -5n+2, 则其前n 项和为S n=12、设S n为等差数列a n 的前n项和，S4 ＝14，S10 S7 30，则S9＝.题型二、等差数列性质1、已知{ a n}为等差数列，a2+a8=12, 则a5 等于（）（A）4 （B）5 （C） 6 （D）72、设S n是等差数列a n 的前n项和，若S7 35，则a4 （）A．8 B ．7 C ．6 D．53、若等差数列a n 中，a3 a7 a10 8,a11 a4 4,则a7 __________ .4、记等差数列a n 的前n项和为S n，若S2 4，S4 20 ，则该数列的公差d=（）A ．7 B. 6 C. 3 D. 215、等差数列{a n} 中，已知a1 ，a2 a5 4，a n 33，则n为（）3（A）48 （B）49 （C）50 （D）516. 、等差数列{ a n}中，a1=1, a3+a5=14，其前n项和S n=100,则n=（）(A)9 (B) 10(C)11 (D)127、设S n 是等差数列a n 的前n 项和，若a55, 则S9（）a39 S5A ． 1B ．－11C ．2D ．28、已知等差数列{a n}满足α1＋α 2＋α 3＋⋯＋α 101＝0 则有（）A．α 1＋α 101>0 B ．α 2＋α 100<0 C．α3＋α 99＝0 D ．α 51＝51 9、如果a1，a2，⋯，a8为各项都大于零的等差数列，公差 d 0，则（）（A）a1a8 a4a5 （B）a8 a1 a4a5 （C）a1+a8 a4+a5 （D）a1a8=a4a5 10、若一个等差数列前3项的和为34，最后 3 项的和为146，且所有项的和为390 ，则这个数列有（）（A）13 项（B）12项（C）11项（D）10 项题型三、等差数列前n 项和1、等差数列a n 中，已知a1 a2 a3 L a10 S n ．2、等差数列2,1,4, 的前n 项和为（p，a n9 a n 8 L a n q ，则其前n 项和）0 上，A. 1n3n4 2B.1n 3n 7 2 C.1n 3n 24 D. 1n 3n 7 23、已知等差数列an 满足 a 1 a 2a 3a990 ，则）A. a 1 a 99 0B. a 1 a 99 0C. a 1 a 99 0D. a 50 50 4、在等差数列 a n 中， a 1 a 2 a 3 15,a n an 1 an 278， S n 155，则n 。

高中数列知识点归纳总结及例题

高中数列知识点归纳总结及例题数列是高中数学中的一个重要概念，它在许多数学问题中都起着至关重要的作用。

通过学习数列的定义、性质和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。

本文将对高中数列知识点进行归纳总结，并附上相关例题供读者练习。

1. 数列的定义与性质数列是按照一定顺序排列的一组数。

其中，每一个数称为数列的项，位置称为项数，用字母a表示数列的通项。

数列的性质包括等差数列和等比数列两种常见情况：1.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

设数列为{an}，公差为d，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2（3）项数公式：n = (an - a1) / d + 1例题1：已知等差数列{an}的首项是3，公差是4，求第10项的值。

解析：根据等差数列的通项公式，代入a1 = 3，d = 4，n = 10，求得a10 = 3 + (10-1) * 4 = 39。

1.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

设数列为{an}，公比为q，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 * q^(n-1)（2）前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)（3）项数公式：n = logq(an / a1) + 1例题2：已知等比数列{an}的首项是2，公比是3，求第5项的值。

解析：根据等比数列的通项公式，代入a1 = 2，q = 3，n = 5，求得a5 = 2 * 3^(5-1) = 162。

2. 数列的求和数列的求和是数学中常见的问题之一，通过找到数列的规律和应用对应的公式，可以快速求解数列的和。

下面分别介绍等差数列和等比数列的求和公式。

2.1 等差数列的求和对于等差数列{an}，前n项和的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。

其中，a1为首项，an为末项，n为项数。

高三数学数列题型归纳

高三数学数列题型归纳数列是高中数学中的重要知识点，也是高考数学的常考题型之一。

在高三阶段，学生需要掌握各种数列的定义、性质、求通项公式、求和公式等各种知识点。

为了帮助大家更好地掌握数列的相关知识，本文将就高三数学数列题型的归纳进行探讨。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻项之间的差值相等的数列。

等差数列有许多重要的性质，如通项公式、前n项和公式等。

在高考数学中，等差数列是经常出现的题型。

1. 等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d其中，a1是等差数列的首项，d是公差，an是等差数列的第n项。

2. 等差数列前n项和公式：Sn=n/2(a1+an)其中，Sn是等差数列的前n项和。

3. 等差数列的性质：（1）等差数列的首项与末项的和等于中间项和的总和。

（2）等差数列的前n项和可以表示为n乘以首项与末项的平均数。

（3）等差数列的项数有限，且每一项和前一项之间的差值相等。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻项之间的比值相等的数列。

等比数列同样也有很多重要的性质，如通项公式、前n项和公式等。

1. 等比数列通项公式：an=a1*q^(n-1)其中，a1是等比数列的首项，q是公比，an是等比数列的第n项。

2. 等比数列前n项和公式：Sn=(a1(1-q^n))/(1-q)其中，Sn是等比数列的前n项和。

3. 等比数列的性质：（1）等比数列的前n项和可以表示为首项乘以1-q^n除以1-q。

（2）公比大于1时，等比数列是发散的，公比小于1时，等比数列是收敛的。

三、斐波那契数列斐波那契数列的定义是：前两项为1，从第三项起每一项都是前两项之和。

即F(1) = 1，F(2) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n>=3）。

斐波那契数列在自然界与生活中也有许多出现，如植物分枝的规律、蜂巢的排列方式等等。

因此，斐波那契数列也是高考数学中的常见题型。

1. 斐波那契数列的通项公式：Fn=(1/sqrt(5))*(((1+sqrt(5))/2)^n-((1-sqrt(5))/2)^n)其中，sqrt(5)表示5的平方根。

数列知识点总结和题型归纳

数列知识点总结和题型归纳一、数列的定义和性质数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的序列。

数列中的每个数叫做数列的项，用an表示第n个项。

1. 等差数列等差数列是指一个数列中相邻两项之差都是相等的。

公差d是等差数列中相邻两项的差值。

2. 等比数列等比数列是指一个数列中相邻两项之比都是相等的。

公比q是等比数列中相邻两项的比值。

二、数列的通项公式和前n项和公式1. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a1，公差为d，则该等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

2. 等差数列的前n项和公式设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则该等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2。

3. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，则该等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。

4. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则该等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)。

三、数列的常见题型1. 求等差数列的第n项已知等差数列的首项a1和公差d，求该等差数列的第n项an，则可以利用等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d进行计算。

2. 求等差数列的前n项和已知等差数列的首项a1、公差d和项数n，求该等差数列的前n项和Sn，则可以利用等差数列的前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2进行计算。

3. 求等比数列的第n项已知等比数列的首项a1和公比q，求该等比数列的第n项an，则可以利用等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)进行计算。

4. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a1、公比q和项数n，求该等比数列的前n项和Sn，则可以利用等比数列的前n项和公式Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)进行计算。

四、数列的应用数列在数学中有广泛的应用，特别是在数学建模和实际问题的解决中常常用到。

高考数列常考题型归纳总结汇总

a n +1=pa n +rq ,其中p，q, r均为常数）。
n
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q n +1，得：
a n +1q
n +1
=
p q
∙
a n q
n
+
1q
引入辅助数列
{b n }（其中b n
=
a n q
n
），得：b n +1=
p q
b n +
1q
再待定系数法解决。
例:已知数列{a n }中，a 1=解：在a n +1=
52
⋅⋅3=85
n -3。1
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+(n -1 a n -1
(n ≥2，则{a n }的通项a n =⎨
⎧1⎩___
n =1
n ≥2
解：由已知，得a n +1=a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+(n -1 a n -1+na n，用此式减去已知式，得当n ≥2时，a n +1-a n =na n，即a n +1=(n +1 a n，又a 2=a 1=1，
1
56
, a n +1=
1
1n +1
a n +(，求a n。32
1n +12n n +1
a n +(两边乘以2n +1得：2∙a n +1=(2∙a n +1 323
22
令b n =2n ∙a n，则b n +1=b n +1,解之得：b n =3-2( n

数列高考知识点归纳(+题型)

数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列；依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。

数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；数列通项：()n a f n =2、等差数列1、定义当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。

2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。

2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。

又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-.若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ；若n<m ，则 m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++，相加得 12n n a a S n +=，还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。

特别的，由1212n n a a a -+= 可得 21(21)n n S n a -=-。

高考一轮复习等差数列知识点+例题+练习

自主梳理1．等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n ∈N *，d 为常数)．(2)数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是____________，其中A 叫做a ，b 的____________．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝____________，a n ＝a m ＋__________ (m ，n ∈N *)．(2)前n 项和公式：S n ＝______________＝________________.3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝____________.4．等差数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有________________，特别地，当m ＋n ＝2p 时，________________.(2)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．(3)等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为________；若d <0，则数列为__________；若d ＝0，则数列为____________．自我检测1．已知等差数列{a n }中，a 5＋a 9－a 7＝10，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 13的值为________．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d ＝________.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________.4．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝________.学生姓名教师姓名班主任日期时间段年级课时教学内容等差数列及其前n 项和教学目标 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．重点等差数列性质、公式灵活应用难点同上5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝________.探究点一等差数列的基本量运算例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50，(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .变式迁移1 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，它的前10项和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列，求公差d 和通项公式a n .探究点二等差数列的判定例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大值和最小值，并说明理由．变式迁移2 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值．(2)是否存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．探究点三等差数列性质的应用例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．变式迁移3 已知数列{a n }是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n 项和为286，求n ；(2)若S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n ；(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．探究点四等差数列的综合应用例4 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．变式迁移4 在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－36，其前n 项和为S n .(1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值．(2)求T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.1．等差数列的判断方法有：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)中项公式：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n 项和公式，在两个公式中共五个量a 1、d 、n 、a n 、S n ，已知其中三个量可求出剩余的量，而a 与d 是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n 项和公式．3．要注意等差数列通项公式和前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，S 2n －1＝(2n －1)a n 等．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a ，a ＋d ，a ＋2d ；②a －d ，a ，a ＋d ；③a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等可视具体情况而定．一、填空题1．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝______.2．如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝________.3．已知{a n }是等差数列，a 1＝－9，S 3＝S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是________．4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为________．5．等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，下列结论中正确的序号是________． ①S 30是S n 中的最大值；②S 30是S n 中的最小值；③S 30＝0；④S 60＝0.6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.8．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝________.二、解答题9．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 22＝a 1a 4.(1)证明：a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．10．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n；(2)令b n＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n. 11．在数列{a n}中，a1＝1,3a n a n－1＋a n－a n－1＝0(n≥2)．(1)证明数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项；(3)若λa n＋1a n＋1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．。

【专题训练】数列(等差、等比) 知识点总结及题型归纳

基本量法求数列的通项公式11.复习等差数列(1)定义: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常．数．，那么这个数列就叫等差数列, 1(2)n n a a d n --=≥d a a n n =1--d a a n n =2-1--（由定义，累加法推得通项公式）…… d a a =12-(2)通项公式1(1)n a a n d =+-(3)性质: 在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；(4)前项和公式d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=等比数列(1)定义 : 如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，1n a +：(0)n a q q =≠ (2)通项公式11-⋅=n n q a a(3)性质:在等比数列{}n a 中，q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若),,,(*∈N q p n m 其中(4)前项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a qq a q na S n nn例1（2015年全国卷I ） n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知20,243n n n n a a a S >+=+，（1）求{}n a 的通项公式：变式1：（湖北省武汉部分重点中学2020届高三起点考试）已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3＝3，S 3＝9 （1）求数列{a n }的通项公式；变式2：已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；例2已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2n n S a n =-.（1）证明数列{1n a +}是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式；变式1：（湖北省黄冈中学2019届高三数学模拟试题1）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝14，a 3＋a 5＝564.(1)求数列{a n }的通项公式；变式3：已知数列{}n a ，{}n b ，其中1,511-==b a ，且满足)3(2111---=n n n b a a ，)3(2111----=n n n b a b ，2*,≥∈n N n .（1）求证：数列{}n n b a -为等比数列，并求数列{a n }、{b n }的通项公式；例3 .已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；变式（浙江省名校联盟2020届高三第一次联考试题）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项．数列{}n b的通项公式nn b =Νn *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；数列（等差、等比）知识点清单一、数列的概念1.数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

高考一轮复习数列概念知识点+例题+练习

自主梳理1．数列的定义按____________着的一列数叫数列，数列中的________都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是______________________的函数，数列的一般形式为：________________________，简记为{a n }，其中a n 是数列的第____项．2．通项公式：如果数列{a n }的________与____之间的关系可以______________来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式．但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的．3．数列常用表示法有：____________________、________、________.4．数列的分类：数列按项数来分，分为____________、____________；按项的增减规律分为____________、____________、____________和________．递增数列⇔a n ＋1____a n ；递减数列⇔a n ＋1____a n ；常数列⇔a n ＋1____a n .5．a n 与S n 的关系：已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧，n ＝1，，n ≥2，.自我检测1．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝______.2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________.3．已知数列－1，85，－157，249，…按此规律，则这个数列的通项公式是______________________________．学生姓名教师姓名班主任日期时间段年级课时教学内容数列的概念与简单表示法教学目标1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．重点数学归纳方法、递推法难点同上4．下列对数列的理解：①数列可以看成一个定义在N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是________．5．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第________项的和最大．探究点一由数列前几项求数列通项例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：(1)23，415，635，863，1099，… (2)12，－2，92，－8，252，…变式迁移1 写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33，… (2)2，5，22，11，…(3)1,0,1,0，…探究点二由递推公式求数列的通项例2 根据下列条件，写出该数列的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ；(2)a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1 (n ≥2)．变式迁移2 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；(2)a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a n ；(3)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n .探究点三由a n 与S n 的关系求a n例3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ＋1，求{a n }的通项公式．变式迁移3 (1)已知{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋b ，求{a n }的通项公式．(2)已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2S n ＝a n ＋1，求a n .1．数列的递推公式是研究的项与项之间的关系，而通项公式则是研究的项a n 与项数n 的关系．2．求数列的通项公式是本节的重点，主要掌握三种方法：(1)由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察；(2)数列{a n }的前n 项和S n 与数列{a n }的通项公式a n 的关系，要注意验证能否统一到一个式子中；(3)由递推公式求通项公式，常用方法有累加、累乘．3．本节易错点是利用S n 求a n 时，忘记讨论n ＝1的情况．一、填空题1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为________．2．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________，a 2 014＝________.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2＝________.4．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1，则a 6＝________.5．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.6．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n (0≤a n <12)，2a n －1 (12≤a n <1)，若a 1＝67，则a 2 010的值为________．7．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且有S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项a n ＝__________________.8．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15… … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是____________．二、解答题9．写出下列各数列的一个通项公式．(1)112，223，334，445，…(2)－1，32，－13，34，－15，36…10．由下列数列{a n }递推公式求数列{a n }的通项公式：(1)a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)；(2)a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)； (3)a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2)．11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。

高中数列知识点归纳及习题附答案

第五章数列5.1数列基础 5.1.1数列的概念一、知识点1. 定义：按照一定顺序排列的一列数成为数列。

2. 项：数列中的每一个数都称为这个数列的项,各项依次称为这个数列的第1项(或首项) ,第2项,…,第n 项 ,n a a a a ,......,,321，-1a 首项。

3. 通项：因为数列从首项起,每一项都与正整数对应,所以数列的一般形式可以写成n a a a a ,......,,321…,其中n a 表示数列的第n 项(也称n 为n a 的序号,其中n 为正整数,即n ∈N+),n a 称为数列的通项.此时,一般将整个数列简记为{an} ,这里的小写字母a 也可以换成其他小写英文字母.4. 通项公式：一般地,如果数列的第n 项n a 与n 之间的关系可以用 n a =f(n) 来表示,其中f (n)是关于n 的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式 .不是所有的数列都能写出通项公式,如果数列有通项公式,那么通项公式的表达式不一定唯一.5. 与函数的关系：数列{n a }可以看成定义域为正整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观地表示.6. 分类：1）有穷数列：项数有限个2）无穷数列：项数无限个3）增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 4）减数列：从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 5）常数列：各项都相等6）摆动数列：时而增大时而减小二、典型题典型题一数列定义的理解1.有下面四个结论,其中正确的为( ) ①数列的通项公式是唯一的;②数列可以看成是一个定义在正整数集或其子集上的函数; ③若用图像表示数列,则其图像是一群孤立的点; ④每个数列都有通项公式. A.①② B.②③ C.③④ D.①④2.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x 等于( ) A.11B.12C.13D.143.(2020甘肃兰州高二期中)下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( ) A.-1,-2,-3,-4,…B.-1,-,…C.-1,-2,-4,-8,…D.1,,…,典型题二求数列的通项公式4.若数列{a n }的前4项依次是2,0,2,0,则这个数列的通项公式不可能是( ) A.a n =1+(-1)n+1B.a n =1-cos nπC.a n =2sin2D.a n =1+(-1)n-1+(n-1)(n-2)5.已知数列{a n }的通项公式为n n a n -=2，则下列各数中不是数列中的项是（）A.2B.40C.56D.906.(2020辽宁沈阳东北育才学校高二期中)如图是谢尔宾斯基三角形,在所给的四个三角形图案中,黑色的小三角形个数依次构成数列{a n }的前4项,则{a n }的通项公式可以是( )A.a n =3n-1B.a n =2n-1C.a n =3nD.a n =2n-17.已知数列{a n }的通项公式为13+=n na n ，那么这个数列是（） A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列 8.写出下列数列的一个通项公式.(1)-,…;(2),…;(3)7,77,777,7 777,….典型题三数列的单调性9.在数列{a n }中,a n =n 2-kn(n ∈N +),且{a n }是递增数列,求实数k 的取值范围.10.(2020北京第十一中学高三一模)数列{a n }的一个通项公式为a n =|n-c|(n ∈N +),则“c<2”是“{a n }为递增数列”的( ) A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 11.数列{a n }的通项公式为nan a n +=。

天津高考数学数列专题

天津高考数学数列专题
天津高考数学数列专题是数学考试中的一个重要部分，主要涉及数列的定义、性质、通项公式、求和公式等知识点。

以下是一些常见的数列题型和解题方法：
1. 等差数列：等差数列是一种常见的数列，其相邻两项的差是一个常数。

对于等差数列，需要掌握通项公式和求和公式，并能灵活运用。

2. 等比数列：等比数列是一种常见的数列，其相邻两项的比是一个常数。

对于等比数列，需要掌握通项公式和求和公式，并能灵活运用。

3. 斐波那契数列：斐波那契数列是一种常见的数列，其前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

对于斐波那契数列，需要掌握前n项和的公式。

4. 递推数列：递推数列是一种较为复杂的数列，其相邻两项之间有一定的关系。

对于递推数列，需要先找出相邻两项之间的关系，再通过递推公式求解。

5. 数列求和：数列求和是数列考试中的常见题型，要求考生掌握求和公式，并能灵活运用。

对于一些较为复杂的数列求和问题，需要先进行适当的变形或裂项，再利用求和公式求解。

以上是天津高考数学数列专题的一些常见题型和解题方法，希望对您有所帮助。

在备考过程中，建议多做一些模拟题和真题，以加深对数列知识点的理解和掌握。

《数列》知识点、题型、解法全方位解析

《数列》知识点、题型、解法全方位解析内蒙古赤锋阿旗天山一中：尹国玉数列的基础知识与一般性结论：(一)数列的概念：项，项数。

一般式：}{n a 或 ,,,,,4321n a a a a a注:①数列与函数的关系：数列可以看作是一个定义域为正自然数集N 或它的有限子集{1，2，3，……，n}的函数.当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式a n =f(n)就是该函数的解析表达式,数列的图象是一个点列.因此在学习数列时还应学会用函数的观点、方法研究数列.②数列分有穷数列与无穷数列。

(二)数列的有关公式：（注：并不是所有的数列都有各种公式，）1.递推公式：如)(1n n a f a =+或),(12n n n a a f a ++=等，即由数列的前若干项表示后一项的关系式，2.通项公式：a n =f(n)即由项数来表示项的关系式，即第n 项，3.前n 项和公式：①有穷数列和:即用n 表示前n 项和的式子，（有时也用售含有项和项数的混合式子表示，如2)(1n n a a n S +=）注:掌握数列的通项n a 与前n 项和n S （前项积n G ）之间的关系式n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n .n a =11(1)(2)n n G n G n G -=⎧⎪⎨≥⎪⎩②*无究数列和(前n 项和的极限): n n S lin S →+∞=(三)定义数列的方式方法:1.用递推公式定义:①简单一阶线性递归数列:等差等比数列等. ②简单一阶分式递归数列(倒数成等差数列) ③简单的周期数列; ④其它形式:2.用通项公式定义:3.用和或和与项的关系定义. (四)数列的图象(五)数列的单调性及最值 (六)数列的分类1.从项的个数上分:有穷数列,无穷数列.2.从”函数”类型及项与项的关系分:①简单数列:等差数列;等比数列;调和数列;幂级数.②复杂数列(数列的组合):复合数列;组合数列;分段数列;子数列. 3.从数列的性质分:单调数列;摆动数列;周期数列;不规则数列。

高考数学数列知识点与题型梳理

高考数学数列知识点与题型梳理在高考数学中，数列是一个重要的知识点，也是很多同学感到头疼的部分。

但其实，只要我们掌握了其核心知识点和常见题型，数列也并非难以攻克。

下面，咱们就来好好梳理一下高考数学数列的相关内容。

一、数列的基本概念数列，简单来说，就是按照一定顺序排列的一列数。

我们通常用\（a_{n}＼）来表示数列的第\（n\）项。

数列有等差数列和等比数列这两种常见类型。

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。

这个常数叫做等差数列的公差，通常用\（d\）表示。

等比数列则是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。

这个常数叫做等比数列的公比，通常用\（q\）表示（＼（q\neq 0\））。

二、等差数列的知识点1、通项公式＼（a_{n} ＝ a_{1} ＋（n 1)d\），其中\（a_{1}＼）为首项，＼（n\）为项数，＼（d\）为公差。

通过通项公式，我们可以根据首项、公差和项数求出任意一项的值。

2、前\（n\）项和公式＼（S_{n} ＝＼frac{n(a_{1} ＋ a_{n}）｝｛2} ＝ na_{1} ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）这两个公式在解题中经常用到，要熟练掌握。

3、等差中项若\（a\），＼（b\），＼（c\）成等差数列，则\（2b ＝ a ＋ c\）三、等比数列的知识点1、通项公式＼（a_{n} ＝ a_{1}q^｛n 1}＼）2、前\（n\）项和公式当\（q ＼neq 1\）时，＼（S_{n} ＝＼frac{a_{1}（1 q^｛n}）｝｛1 q}＼）当\（q ＝ 1\）时，＼（S_{n} ＝ na_{1}＼）3、等比中项若\（a\），＼（b\），＼（c\）成等比数列，则\（b^2 ＝ ac\）四、数列的性质1、等差数列的性质（1）若\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），则\（a_{m} ＋ a_{n} ＝ a_{p} ＋a_{q}＼）（2）＼（a_{n}＼），＼（a_{m}＼）的公差为\（d\），则\（a_{n} a_{m} ＝（n m)d\）2、等比数列的性质（1）若\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），则\（a_{m} ＼times a_{n} ＝ a_{p} ＼times a_{q}＼）（2）＼（a_{n}＼），＼（a_{m}＼）的公比为\（q\），则\（＼frac{a_{n}｝｛a_{m}｝＝ q^｛n m}＼）五、常见题型1、求数列的通项公式这是数列中常见的基础题型。

高考数列常考题型归纳总结

高考数列常考题型归纳总结
类型 1
an 1 an f (n)
解法：把原递推公式转化为 an1 an f (n) ，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列 a n 满足 a1 ， a n1 a n 解：由条件知： a n1 a n
2
1 2
1 ，求 a n 。 n n
1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 n 1 n 1 所以 an a1 1 n 1 1 1 3 1 a1 ， a n 1 2 2 n 2 n
类型 2
an1 f (n)an
2n ，n 1, 2,3, Sn
4 3 1 3 2 3
，证明：
T 2
i 1 inຫໍສະໝຸດ 3解：（I）当 n 1 时， a1 S1 a1 a1 2 ；当 n 2 时， an S n S n1 an 2 n1 ( an1 2 n ) ，即
an1 2an t t 3 . 故递推公式为 an1 3 2(an 3) , 令 bn an 3 ，则 b1 a1 3 4 , 且
bn1 an1 3 2 . 所以 bn 是以 bn an 3
b1 4 为首项，2 为公比的等比数列，则 bn 4 2 n1 2n1 ,所以
得 (n 1) 个等式累乘之，即
a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n 1 1 n n n a1 a2 a3 an1 2 3 4 a1 n
又 a1 ， an
2 3
2 3n
例:已知 a1 3 ， an1 解： an

2024年高考复习数学知识点+题型15+等差数列、等比数列的性质及其前n项和解题技巧

（
）
3 A． 10
B．
1 3
1 C． 8
D．
1 9
【详解】由等差数列的性质可知 S3 、 S6 S3 、 S9 S6 、 S12 S9 成等差数列，
∵
S3 S6
1 3 ，即 S6
3S3 ， S6
S3
S3
S3
，∴
S9
S6
3S3 ， S12
S9
4S3 ，∴
S9
6S3
，
S12 10S3 ，
例 4-2．
（2023·全国·统考高考真题）
记 Sn 为等比数列an的前 n 项和，若 S4 5， S6 21S2 ，则 S8 （）．
A．120 B．85 C． 85 D． 120
方法一：设等比数列an的公比为 q，首项为 a1 ，
若 q 1 ，则 S4 0 5 ，与题意不符，所以 q 1 ；
S2 21S2
5 ，解得： S2
1 或 S2
5 4
，
当 S2 1 时， S2，S4 S2，S6 S4，S8 S6 ，即为 1， 4，16，S8 21 ，
易知， S8 21 64 ，即 S8 85 ；
当 S2
5 4
时， S4
a1
a2
a3
a4
a1
a2
1
q2
1 q2
例 1-1．
（江西·高考真题）
已知等差数列an ，若 a1 a2 a3 a12 21 ，则 a2 a5 a8 a11 .
根据等差数列的性质可得 a1
a2
a3
a12
6(a1
a12
)
21
，解得 a1
a12
7 2

2023年高考数学基础数列应用基础知识点清单

2023年高考数学基础数列应用基础知识点清
单
一、等差数列
1. 等差数列的定义和性质
2. 等差数列的通项公式和求和公式
3. 等差数列应用题的解答方法
二、等比数列
1. 等比数列的定义和性质
2. 等比数列的通项公式和求和公式
3. 等比数列应用题的解答方法
三、递推数列
1. 递推数列的定义和性质
2. 递推数列的通项公式和求和公式
3. 递推数列应用题的解答方法
四、斐波那契数列
1. 斐波那契数列的定义和性质
2. 斐波那契数列的通项公式和求和公式
3. 斐波那契数列应用题的解答方法
五、数列的极限
1. 数列极限的定义和性质
2. 数列极限存在性的判定方法
3. 数列极限的计算方法
六、数列问题的应用
1. 利用数列解决实际问题的思路和方法
2. 数列在经济、物理、工程等领域的应用
3. 数列问题中常见的误区和解决方法
七、常见的数列应用题类型
1. 数列求和问题
2. 数列递推关系问题
3. 数列求通项问题
八、高考常见的数列应用题解析
1. 高考历年真题中的数列应用题解析和解题技巧
2. 高考数列应用题中常见的考点和易错点
3. 高考数列应用题的备考建议和注意事项
以上是2023年高考数学基础数列应用基础知识点清单，通过对这些知识点的学习和掌握，相信你能在高考中取得优异的成绩。

祝你考试顺利！。

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模型二：等比数列
已知任意两项求公比：
am qmn an
(m, n N )
等比数列的判定：
若
an
满足
an an1

q，则 an 是一个
等比数列
模型二：等比数列
通项公式： an a1 • qn1
等比性质：当 m n p q时
am • an ap • aq
1) 2
(1 2

1) 3
(1 3

1) 4
...... (1 n

1) n 1
1 1 n n1 n1
二、两个模型及规律
模型二：等比数列
定义：如果数列中的任意相邻两项，后一项与前一项的比是定值时，这个数列就叫等比数列，这个定值叫公比，记作q。
特殊： a1 0, q 0
和与项之间的转换和的最值的求解含绝对值的和的求解裂项相消求和
模型一：等差数列
递推公式：an an1 d (n 2, n N ) 迭代： an1 an2 d 或：an1 an d
模型一：等差数列
叠加得
an an1 d .a.n...1. an2 d a3 a2 d a2 a1 d
新等差数列：
若 an 是等差数列则man c是等差数列
aknc 是等差数列
模型一：等差数列
倒序相加
Sn a1 a2 a3 ...... an Sn an an1 an2 ...... a1
2Sn n(a1 an )
模型一：等差数列
aknc 是等比数列
模型二：等比数列
错位相减
Sn a1 a2 a3 ...... an qSn a2 a3 ...... an an1
(1 q)Sn a1 an1
模型二：等比数列
求和公式：

S
n

a1(1 qn ) 1 q
等比递推
an f (n) an1 f (an ) q f (an1)
1、求通项
f (an ) q f (an1)
用累乘法得
f (an ) qn1 f (a1)
再根据 f (an ) 的表达式求 an
2、求和
和从哪来？
通项公式求和公式
2、求和
常用求和方法
倒序相加裂项相消分组求和错位相减
数列
制作：星哥
目录
一、什么是数列？有哪些点？二、两个模型及规律三、规律的高级应用
一、什么是数列？有哪些点？
a1, a2 , a3...... an 代表一个数列，简记 an
a1 是数列的第 1 项，也称首项 an 是数列的第 n 项，也称通项
一、什么是数列？有哪些点？
Sn 代表数列 an 的前n项和
和的比值与q的联系
模型二：等比数列
递推公式： an q(n 2, n N ) an1
迭代： an1 q an2
或： an1 q an
模型二：等比数列
an

an
1

q

an1 an2
q
......
a2 a1
q
累乘得 an qn1 a1
am an ap aq
模型一：等差数列
等差中项：当 m n 2 p 时 am an 2ap
等差中项：当 a,b, c 三个数成等差数列时，a c 2b
模型一：等差数列
等差数列的判定：
当 an 的表达式是一个与n有关的
一次函数时，则 an 是等差数列
模型一：等差数列
Sn a1 a2 a3 ...... an
一、什么是数列？有哪些点？
an 和 Sn 的关系
aa1n

S1 (n Sn
1) Sn1
(n

2)
二、两个模型及规律
模型一：等差数列
定义：如果数列中的任意相邻两项，后一项与前一项的差是定值时，这个数列就叫等差数列，这个定值叫公差，记作d。
模型一：等差数列
和的最值的求解：
当等差数列an 的 a1 小于0，d 大于0时，
Sn 有最小值列 aann1 00 求出n值，再求 Sn
模型一：等差数列
含绝对值的和的求解：
当等差数列 an 的 a1 小于0，d大于0时，
a1 a2 a3 ...... an Sn 2 Sk Sk 指所有负数项的和
等比递推
an f (n) an1 f (an ) q f (an1)
1、求通项
f (an ) f (an1) d 用叠加法得 f (an ) f (a1) (n 1)d 再根据 f (an ) 的表达式求 an
1、求通项
递推模型
怎么求？
等差递推
an an1 f (n) f (an ) f (an1) d
等比数列
模型二：等比数列
和的比值与q的联系：
Sm Sn

1 1
qm qn
(m, n N )
三、规律的高级应用
1、求通项 2、求和 3、和与不等式结合
1、求通项
通项从哪来？
递推公式通项公式
1、求通项
递推模型
怎么求？
等差递推
an an1 f (n) f (an ) f (an1) d
等比递推
an f (n) an1 f (an ) q f (an1)
1、求通项
an f (n) an1
用累乘法得
f (an ) f (1) • f (2) •...... • f (n) f (a1)
1、求通项
递推模型
怎么求？
等差递推
an an1 f (n) f (an ) f (an1) d
模型一：等差数列
定义递推公式通项公式求和公式
模型一：等差数列
定义
递推公式
迭代
通项公式
叠加法
求和公式
已知任意两项求公差等差数列的判定
模型一：等差数列
定义递推公式
等差数列的判定新等差数列
通项公式
等差性质
求和公式倒序相加
等差中项
模型一：等差数列
定义递推公式通项公式求和公式
等差数列的判定新等差数列
模型二：等比数列
定义递推公式通项公式求和公式
模型二：等比数列
定义
递推公式
迭代
通项公式
累乘法
求和公式
已知任意两项求公比等比数列的判定
模型二：等比数列
定义递推公式
等比数列的判定新等比数列
通项公式
等比性质
求和公式错位相减
等比中项
模型二：等比数列
定义
递推公式通项公式求和公式
等比数列的判定新等比数列
模型二：等比数列
等比中项：当 m n 2 p 时 am • an ap2
等差中项：当 a,b, c 三个数成
等比数列时
a •c b2
模型二：等比数列
等比数列的判定：
当 an 的表达式形如 an • qn1 时，则
an 是等比数列
模型二：等比数列
新等比数列：
若 an 是等比数列则man 是等比数列
Sn na1
(q 1) (q 1)
模型二：等比数列
等比数列的判定：
当 Sn 的表达式形如 Sn • qn 时
则an 是一个等比数列
模型二：等比数列
新等比数列：
当an 是一个等比数列时，则
Sn , S2n Sn , S3n S2n...... 也构成一个
变式
变式
3、和与不等式的结合
常用方法
先求和，再放缩先放缩，再裂项求和先放缩成等比数列，再求和先放缩成等差数列，再求和
等差数列
模型一：等差数列
和与项之间的转换：
S2n1 (2n 1)an (n N )
an

S2n1 2n 1
(n N )
模型一：等差数列
和的最值的求解：
当等差数列an 的 a1 大于0，d 小于0时，
Sn 有最大值列 aann1 00 求出n值，再求 Sn
等比递推
an f (n) an1 f (an ) q f (an1)
1、求通项
an an1 f (n)
用叠加法得 an a1 f (1) f (2) ...... f (n)
1、求通项
递推模型
怎么求？
等差递推
an an1 f (n) f (an ) f (an1) d
模型一：等差数列
裂项相消求和：
当an 的通项 an 的表达式是一个分式，而
且分母是一个特殊的二次函数时，可以裂项。
关联：Sn 的表达式是一个与n有关的二次函数
模型一：等差数列
裂项相消求和：
an

1 n2
n

1 n(n 1)

1 n

1 n 1
模型一：等差数列
裂项相消求和：
Sn

(1 1
an a1 (n 1)d
模型一：等差数列
已知任意两项求公差：
am an (m n)d (m, n N )
等差数列的判定：
若 an 满足 an an1 d，公式： an a1 (n 1)d
等差性质：当 m n p q时
求和公式：