2014离散数学作业5答案
《离散数学》课后习题解答--第5章
习题5.11.设A=⎨a,b,c⎬，B=⎨1,2,3⎬，试说明下列A到B二元关系，哪些能构成A到B的函数？⑴f1=⎨<a,1>,<a,2>,<b,1>,<c,3>⎬⑵f2=⎨<a,1>,<b,1>,<c,1>⎬⑶f3=⎨<a,2>,<c,3>⎬⑷f4=⎨<a,3>,<b,2>,<c,3>,<b,3>⎬⑸f5=⎨<a,2>,<b,1>,<b,2>⎬解：⑴不能构成函数。
因为<a,1>∈f1且<a,2>∈f1⑵能构成函数⑶不能构成函数。
因为dom f3≠A⑷不能构成函数。
因为<b,2>∈f4且<b,3>∈f4⑸能构成函数。
2.试说明下列A上的二元关系，哪些能构成A到A的函数？⑴A=N(N为自然数集合)，f1=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧a＋b＜10⎬⑵A=R(R为实数集合)，f2=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b=a2⎬⑶A=R(R为实数集合)，f3=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b2=a⎬⑷A=N(N为自然数集合)，f4=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b为小于a的素数的个数⎬⑸A=Z(Z为整数集合)，f5=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b=|2a|＋1⎬解：⑴不能构成函数。
由于1+1＜10且1+2＜10，所以<1,1>∈f1且<1,2>∈f1。
⑵能构成函数。
⑶不能构成函数。
由于12=1且(-1)2=1，所以<1,1>∈f3且<1,-1>∈f3。
⑷能构成函数。
⑸能构成函数。
3. 回答下列问题。
⑴设A=⎨a,b⎬，B=⎨1,2,3⎬。
求B A，验证|B A|= |B||A|。
离散数学课后答案详细
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案4.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.7.因为p与q不能同时为真.13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
离散数学习题答案解析
离散数学习题答案解析(总16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语∧解：设p：王强学过法语；q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q（9）只有天下大雨，他才乘班车上班→解：设p：天下大雨；q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p （11）下雪路滑，他迟到了解：设p：下雪；q：路滑；r：他迟到了；则命题符号化的结果是()∧→p q r 15、设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())∧∧⌝↔⌝∨⌝→p q r p q r解：p=1，q=1，r=0，∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，p q r()(110)1p q r⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔(())((11)0)(00)1∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔()(())111p q r p q r19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()→⌝→⌝p p q解：列出公式的真值表，如下所示：由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。
第五版离散数学答案
第五版离散数学答案【篇一：2014离散数学作业5答案】散数学图论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。
要求：将此作业用a4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第15周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。
并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、填空题1．已知图g中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则g的边数是 15 ．2．设给定图g(如右由图所示)，则图g的点割集是．3．设g是一个图，结点集合为v，边集合为e，则 g的结点等于边数的两倍．4．无向图g存在欧拉回路，当且仅当g连通且 5．设g=v，e是具有n个结点的简单图，若在g中每一对结点度数之和大于等于n-1 ，则在g中存在一条汉密尔顿路．6．若图g=v, e中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集v的每个非空子集s，在g中删除s中的所有结点得到的连通分支数为w，则s中结点数|s|与w满足的关系式为w?|s|．7．设完全图kn有n个结点(n?2)，m条边，当n为奇数时，kn中存在欧拉回路．8．结点数v与边数e满足-关系的无向连通图就是树． 9．设图g是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从g中删去10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．如果图g是无向图，且其结点度数均为偶数，则图g存在一条欧拉回路．．错。
缺了一个条件，图g应该是连通图。
如反例，图g是一个有孤立结点的图。
2．如下图所示的图g存在一条欧拉回路．错。
图中有奇数度结点，所以不存在欧拉回路。
离散数学习题的答案解析
离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q ∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →（11）下雪路滑，他迟到了解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→15、设p ：2+3=5.q ：大熊猫产在中国.r ：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()p p q →⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：20、求下列公式的成真赋值：（4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒00p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100。
离散数学第5版答案
⇔ p ∧ (q ∨ ¬q)
（分配律）
⇔ p ∧1
（排中律）
⇔ p.
（同一律）
（2）从右边开始演算 p → (q ∧ r)
⇔ ¬p ∨ (q ∧ r)
（蕴含等值式）
⇔ (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r) （分配律）
⇔ ( p → q) ∧ ( p → r). （3）从左边开始演算 ¬( p ↔ q)
001，…，111 题中指派 p, q 为 0, r 为 1，于是就是考查 001 是该公式 p ∧ (q ∧ r)
的成真赋值，还是成假赋值，易知 001 是它的成假赋值。
2° 在公式（2），（3），（4）中均含 4 个命题就项，因而共有 24 = 16 个赋值：
0000，0001，…，1111。现在考查 0011 是它的成假赋值。
⇔0↔q
（矛盾律）
⇔ ( p → q) ∧ (q → 0)
（等价等值式）
⇔ (¬0 ∨ q) ∧ (¬q ∨ 0)
（蕴含等值式）
⇔ (1∨ q) ∧ ¬q
（同一律）
⇔ 1∧ ¬q
（零律）
⇔ ¬q
（同一律）
到最后一步已将公式化得很简单。由此可知，无论 p 取 0 或 1 值，只要 q 取 0 值，原公式取值为 1，即 00 或 10 都为原公式的成真赋值，而 01，11 为成假赋 值，于是公式为非重言式的可满足式。
⇔ ¬¬(( p ∨ q) ∧ ¬( p ∧ q)
⇔ ¬(¬( p ∨ q) ∨ ¬¬( p ∧ q))
⇔ ¬((¬p ∨ ¬q) ∨ ( p ∧ q))
⇔ ¬((¬p ∧ q) ∧ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ∧ (¬q ∨ q))
⇔ ¬(1 ∧ p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ∧1
离散数学
1. 设|A | = 5, |B | = 2, 则可定义A 到B 的函数( )个，其中有( )单射，( )个满射.2. 令G (x ): x 是金子，F (x ): x 是闪光的，则命题“金子都是闪光的，但闪光的未必是金子”符号化为( ).3. 设X 是非空集合，则X 的幂集P (X )关于集合的⋃运算的单位元是( )，零元是( )，P (X )关于集合的⋂运算的单位元是( ).4. 6阶非Abel 群的2阶子群共有( )个，3阶子群共有( )个，4阶子群共有( )个.5. 对于n 阶完全无向图K n , 当n 为( )时是Euler 图，当n ≥ ( )时是Hamilton 图，当n ( )时是平面图. 二、单选题1. 幂集P (P (P (∅))) 为( )(A){{∅}, {∅, {∅}}}. (B){∅, {∅, {∅}}, {∅}}. (C){ ∅, {∅, {∅}}, {{∅}}, {∅}} (D){ ∅, {∅, {∅}}}. 2. 设R 是集合A 上的偏序关系，则1-⋃RR 是( ).(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上答案都不对 3. 下列( )组命题公式是不等值的.(A))(B A →⌝与B A ⌝∧. (B) )(B A ↔⌝与)()(B A B A ∧⌝∨⌝∧. (C))(C B A ∨→与C B A →⌝∧)(. (D))(C B A ∨→与)(C B A ∨∧⌝. 4.下列代数结构(G , *)中，( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法. 5.4阶完全无向图4K 中含3条边的不同构的生成子图有 (A)3 (B)4 (C)5 (D)2三、设A 和B 是集合，使B B A =-成立的充要条件是什么，并给出理由.四、设R 和S 是集合A 上的对称关系，证明S R 对称的充要条件是R S S R =. 五、分别利用(1)等值演算法和(2)真值表求命题公式))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的主析取范式和主合取范式.六、设G 是(n , m )无向图，若n m ≥，证明G 中必存在圈.1.设A = {2, {3}, 4, a }, B = {1, 3, 4, {a }}, 则{3}( )A ，{a }( )B ，{{a }}( )B .2. 设A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(1, 2), (3, 4), (2, 2)}, S = {(4, 2), (2, 5), (3, 1), (1, 3)}, 则=S R { }, =R S { }, =R R { }.3. 在同构意义下，3阶群有( )个，4阶群有( )个，5阶群有( )个.4.任意有限布尔代数)1,0,,,,(⋅+B 均与集合代数( )同构，其元素个数为( ), 其中( )是B 的所有原子组成的集合.5. 不同构的5阶无向树有( )棵，不同构的5阶根树有( )棵. 二、单选题1. 在有理数集合Q 上定义运算“*”如下：对于任意x , y ∈ Q ，y x * = x + y – xy ，则Q 关于*的单位元是( ).(A)x . (B)y . (C)1. (D)0.2. 设A = {1, 2, 3}, 下图分别给出了A 上的两个关系R 和S ，则S R 是( )关系.(A)自反. (B)对称. (C)传递. (D)等价.3.令T (x ): x 是火车，B (x ): x 是汽车，F (x , y ): x 比y 快，则“某些汽车比所有的火车慢”符号化为( ). (A)()()),()()(y x H x T x y B y →∀∧∃. (B)()()),()()(y x H x T x y B y ∧∀→∃. (C)()()),()()(y x H x T y B y x ∧→∃∀. (D)()()),()()(y x H x T x y B y →∀→∃.4. 整数集合Z 关于数的加法“+”和数的乘法“⋅”构成的代数结构(Z, +, ⋅)是( ). (A)域 (B)域和整环 (C)整环 (D) 有零因子环5.设G 是简单图，G 是G 的补图，若G G ≅，则称G 为自补图. 5阶不同构的自补图个数为( ). (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.三、设C B g B A f →→:,:, 若g f 是单射，证明f 是单射，并举例说明g 不一定是单射. 四、设A = {a , b , c , d }上的关系R = {(a , b ), (b , d ), (c , c ), (a , c )}, 画出R 的关系图，并求出R 的自反闭包r (R )、对称闭包s (R )和传递闭包t (R ).五、设G 是(6，12) 的简单连通平面图，则G 的面由多少条边围成，为什么？ 六、任意6个人中，一定有3个人彼此认识或有3个人彼此不认识.G SG R1. 设A = {1, 2, 3, {1, 2}, {3}}, B = {2, {2,3}, {1}} , 则A – B = { }, B – A = { }, A ⊕ B = { }.2. 实数集合R 关于加法运算“+”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的零元为( ).3. 令Z (x ): x 是整数，O (x ): x 是奇数，则“不是所有整数都是奇数”符号化为( ).4. 有限域的元素个数为( ), 其中( )且( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定 ( )连通图，其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ). 二、单选题1. 函数的复合运算“ ”满足( )(A)交换律. (B)结合律. (C)幂等律. (D)消去律. 2. 设集合A 中有4个元素，则A 上的等价关系共有( )个. (A)13 (B)14 (C)15 (D)16 3.下列代数结构(G , *)中，( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法. 4. 下列偏序集，( )是格.5. 不同构的(5, 3)简单图有( )个.(A)4 (B)5 (C)3 (D)2三、设C B g B A f →→:,:, 若g f 是满射，证明g 是满射，并举例说明f 不一定是满射. 四、在整数集合Z 上定义关系R 如下：对于任意∈y x , Z ，y yx xR y x +=+⇔∈22),(.判断R 是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性及传递性. 五、利用真值表求命题公式)())(q p q p A ⌝→↔→⌝=的主析取范式和主合取范式.六、将6阶完全无向图K 6的边随意地涂上红色或蓝色，证明：无论如何涂法，总存在红色的K 3或蓝色的K 3.1. 集合A 上的等价关系R 必满足( 、 、 ).2. 任意6阶群的平凡子群一定是( )群.3. 设集合A = {1, 2, 3}，则A 上的置换共有( )个.4. 设集合A 关于*满足( 、 )，则(A , *)构成独异点.5. ( )无向图称为无向树. 二、单选题1. 设集合A 中有99个元素，则A 的子集有( )个. (A)299. (B)99. (C) 2100. (D)100.2. 设集合A 中有4个元素，则A 上的划分共有( )个. (A)13 (B)14 (C)15 (D)163.设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(x , y )|x , y ∈ A 且x + y = 6}，则R 的性质是( ). (A) 自反的. (B) 对称的. (C) 对称的、传递的. (D) 反自反的、传递的.4.下列联结词中，不满足交换律的是( ).(A)∧. (B)∨. (C)⊕. (D) →.5.谓词公式)())()((x R y yQ x P x →∃∨∀中，x ∀的辖域为( ).(A)))()((y yQ x P x ∃∨∀. (B))(x P . (C))()(y yQ x P ∃∨. (D))(x P 和)(x R . 三、设),(≤A 是偏序集，定义函数)(:A P A f →如下：对于任意A a ∈，},|{)(a x A x x a f ≤∈=.证明f 是单射，且当b a ≤时有)()(b f a f ⊆.四、(1)列出与非联结词“↑”的运算表.(2)仅使用与非联结词“↑”分别表示∨∧⌝,,.五、求))),(),((),,((v y vQ u x uQ z y x zP y x ∃→∃∧∃∀∀的前束范式. 六、 (1)给出(n , m )连通平面图的面数r 计算公式.(2)若(n , m )连通平面图的每个面至少由5条边围成，给出n 和m 所满足的关系式. (3)证明：Petersen 图不是平面图.1. 对于任意集合A , 若|A | = n , 则A 的幂集合P (A )有( )个元素.2. 整数集合Z 上的小于关系“<”具有( ).3. 联结词集合},{→⌝( )功能完备的.4. 设Q 是有理数集合，Q 关于数的乘法运算“⋅”能构成( ).5. 设≤是非空集合L 上的偏序，若L 中的任意两个元素均存在( )，则称(L ,≤)是格. 二、单选题1. 设A = ∅，B = {∅, {∅}}，则B – A 为( ).(A){{∅}}. (B){∅}. (C) {∅, {∅}}. (D) ∅. 2. 设R 和S 是集合A 上的关系，则下述命题成立的有( ). (A)若R 和S 是自反的，则S R ⋂是自反的. (B)若R 和S 是对称的，则S R 是对称的. (C)若R 和S 是反对称的，则S R 是反对称的. (D)若R 和S 是传递的，则S R ⋃是传递的. 3.设R 是集合A 上的偏序关系，则1-⋃RR 是( )关系.(A) 偏序. (B) 等价. (C) 相容. (D) 线性序.4.令A (x ): x 是人，B (x ): x 犯错误，则“没有不犯错误的人”符号化为( ). (A)))()((x B x A x ∧∀. (B)))()((x B x A x ⌝→⌝∃. (C)))()((x B x A x ∧⌝∃. (D)))()((x B x A x ⌝∧⌝∃.5.在任意n 阶连通图中，其边数( ).(A)至多n – 1条. (B)至少n – 1条. (C)至多n 条. (D) 至少n 条. 三、设R 为实数集合，定义f : R ⨯ R → R ⨯ R 为),()),((y x y x y x f -+=.(1)证明f 是双射. (2)求f 的逆函数1-f .(3)计算f f1-及f f .四、设集合},,{c b a A =，在A 上的关系)},(),,(),,{(c b b a a a R =，求)(),(),(R t R s R r . 五、用构造法证明：)))()(()((x R y Q x P x ∧→∀，⇒∀)(x xP ))()(()(x R x P x y Q ∧∀∧.六、证明：阶数2≥的任意无向树中的最长路径的端点都是树叶，即度数为1.一、填空题1. 设全集为整数集合Z ，且}30|{2<=xx A ，}20,|{<=x x x B 是素数，}5,3,1{=C ，则=⋃-C A B )({ }.2. 设集合A 为同一平面内的所有直线组成的集合，R 表示两直线的垂直关系，则R 2表示( )关系.3. 命题公式)(r q p ⌝∧∨的成真赋值(p , q , r )为( ).4. 设G = {1, 5, 7, 11}, “12⋅”为模12的乘法运算，则群),(12⋅G 中元素5的阶为( ).5. 图1所示的图G 的色数=)(G χ().二、单选题1. 设集合X ≠ ∅，则P (X )关于集合的⋃运算的单位元为( ). (A)X . (B) ∅. (C) P (X ). (D)以上答案均不成立.2. 令Z (x ): x 是整数，N (x ): x 是负数，S (x , y ): y 是x 的平方，则“任何整数的平方均非负”可符号化为( ).(A)())(),()(y N y x S x Z y x ⌝→∧∀∀.(B)())(),()(y N y x S x Z y x ⌝→∧∃∀.(C)())(),()(y N y x S x Z y x ⌝∧→∀∀ . (D)())(),()(y N y x S x Z x ⌝→∧∀. 3.设),(≤L 是格，G 为),(≤L 到自身的格同态映射组成的集合，则G 关于映射的复合“ ”运算构成( ).(A) 群. (B) 环. (C) 格. (D) 独异点. 4.给定下列序列，可构成简单无向图的节点度数序列的为( ). (A)(1, 3, 4, 4, 5). (B)(0, 1, 3, 3, 3). (C)(1, 1, 2, 2, 2). (D) (1, 1, 2, 2, 3). 5.设G 是n 阶简单无向图，则其最大度)(G ∆( ). (A) < n . (B) ≤ n . (C) > n . (D) ≥ n .三、设R 是实数集合，f : R ×R → R ×R , f (x , y ) = (x + y , x - y ).(1) 证明f 是双射. (2) 求出f 的逆函数f -1、f f1-和f f .四、图2给出的是集合A = {1，2，3，4，5，6}上关系R 的关系图，试画出R 的传递闭包t (R )的关系图,并用集合表示.五、利用真值表求命题公式()())()(p q r r q p →→↔→→的主析取范式和主合取范式.六、求赋权分别为2, 3, 5, 7, 8的最优2叉树.图2一、1. 32，0，30.2.))()(())()((x G x F x x F x G x ⌝∧∃∧→∀.3.∅，X ，X .4. 3，1，0.5.n 为奇数，3，4≤n .二、1(C); 2(B); 3(D); 4(D); 5(A). 三、证 ==⇔=-B A B B A ∅. (⇐)显然.(⇒)因为B A B A ⋂=-，根据B B A =-得B B B B A ⋂=⋂⋂)(，于是B = ∅，进而A = ∅. 四、解 由于R 和S 是对称的，所以S SR R==--11,.(⇐)因为R S S R =，两边取逆得11)()(--=R S S R ，而S R SRR S ==---111)(.所以S R S R =-1)(，因此S R 是对称关系.(⇒)由于S R 对称，所以S R S R =-1)(. 而R S RSS R ==---111)(，因而R S S R =. 五、解 (1)等值演算法 A 的主合取范式:))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝= = ))(())((r q p p q r ∨∨⌝→∨⌝∨⌝= )())((r q p p q r ∨∨⌝∨∨⌝∨⌝⌝ = )()(r q p p q r ∨∨⌝∨⌝∧∧ = r q p ∨∨⌝(由吸收律得到). 于是，A 的主析取范式为))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝== ∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝)()()()(r q p r q p r q p r q p )()()(r q p r q p r q p ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧.(2)真值表法由表可知，))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的主合取范式为r q p A ∨∨⌝=.A 的主析取范式为A = ∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝)()()()(r q p r q p r q p r q p )()()(r q p r q p r q p ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧.七、证(反证)假设G 中不含圈. 设G 有k (k ≥ 1)个连通分支k G G G ,...,,21，其节点个数分别为k n n n ,...,,21，其边数分别为k m m m ,...,,21. 这时，iG为树，根据树的基本性质有1-=i i n m )1(k i i ≤≤. 进而n k n n m m ki i ki i <-=-==∑∑==)1(11，与已知n m ≥矛盾. 证毕.一、1. ∈，∈，⊆.2.{(1,5), (3, 2), (2, 5)}, {(4, 2), (3, 2), (1, 4)}, {(1, 2), (2, 2)}.3. 1, 2, 1.4. ,,,),((⋂⋃X P ∅, X ), 2n , n .5. 3, 9.二、1(D); 2(B); 3(A); 4(C); 5(C).三、证 对于任意A x x ∈21,，若)()(21x f x f =，则))(())((21x f g x f g =，于是))(())((21x f g x g f =. 由于g f 是单射，所以21x x =，因此f 是单射.例如，A = {a , b }, B = {1, 2, 3}, C = {α, β, γ}, f = {(a , 1), (b , 2)}, g = {(a , α), (b , β), (c , β)}, 这时)},2(),,1{(βα=g f ，它是A 到C 的单射，但g 不是单射.四、解 R 的关系图如下：}),(),,(),,(),,(),,(),,(),,{()(d d b b a a c a c c d b b a R r =, }),(),,(),,(),,(),,(),,(),,{()(a c b d a b c a c c d b b a R s =. }),(),,(),,(),,(),,{()(d a c a c c d b b a R t =.五、证 根据Euler 公式，G 的面数为r = 12 – 6 +2 = 8. 由握手定理知，∑=⋅=vv 24122)deg(，而简单连通平面图的每个面至少由3条边围成，所以G 的每个面恰由3条边围成.六、证 用6个节点分别表示这6个人，可得6阶完全无向图6K . 若两个人认识，则在相应的两个节点所在的边上涂上红色，若两个人不认识，则在相应的两个节点所在的边上涂上蓝色.对于任意的6K 的节点v ，因为5)deg(=v ，与v 邻接的边有5条，当用红、蓝颜色去涂时，至少3条边涂的是同一种颜色，不妨设321,,vv vv vv 是红色. 若3条边21v v ，32v v ，31v v 是红色，则存在红色3K，这意味着有3个人相互认识; 若21v v ，32v v ，31v v 都是蓝色，则存在蓝色3K，这意味着有3个人相互不认识. 结论成立.abd一、1.{1, 3, {1, 2}, {3}}；{{2, 3}, {1}}；{1, 3, {1, 2}, {3}, {2, 3}, {1}}.2.0，1，0.3. ))()((x O x Z x →⌝∀.4. p n , p 为素数，n 为正整数.5. 是，3，10.二、1(B); 2(C); 3(D); 4(C); 5(A).三、证 对于任意C z ∈，由于g f 是满射，必存在A x ∈，使得z x f g x g f ==))(())(( . 令B x f y ∈=)(，有z y g =)(，因此，g 是满射.设},,{c b a A =，}3,2,1{=B ，},{βα=C ，令B A f →:，,:C B g → 3)(,3)(,2)(===c f b f a f ,βαβ===)3(,)2(,)1(g g g .这时，α==))(())((a f g a g f ，β==))(())((b f g b g f ，显然有},{)(ran βα=g f ，g f 是满射. 而ran f = {2, 3}，f 不是满射. 四、证 (1)对于任意x ∈ Z , 由于x xx x+=+22, 所以(x , x ) ∈ R , 即R 是自反的.(2)因为(0, 0) ∈ R , 因此R 不是反自反的. (3)对于任意x , y ∈ Z , 若(x , y ) ∈ R , 则y yx x +=+22, 于是x xy y+=+22, 进而(y , x ) ∈ R , 即R是对称的.(4)因为(2, -3) ∈ R 且(-3, 2) ∈ R ，因此R 不是反对称的. (5)对于任意x , y , z ∈ Z , 若(x , y ) ∈ R 且(y , z ) ∈ R , 则y yx x +=+22且z zy y+=+22，于是z zx x+=+22，所以(x , z ) ∈ R , 即R 是传递的.综上所述，知R 是自反的、对称的和传递的.五、解 命题公式)())(q p q p A ⌝→↔→⌝=的真值表如下：A 的主析取范式为：)()(q p q p A ⌝∧∨∧=.A 的主合取范式为：)()(q p q p A ∨∧⌝∨=.六、证 对于任意的6K 的节点v ，因为5)deg(=v ，与v 邻接的边有5条，当用红、蓝颜色去涂时，至少3条边涂的是同一种颜色，不妨设321,,vv vv vv 是红色. 若3条边21v v ，32v v ，31v v 是红色，则存在红色3K ; 若21v v ，32v v ，31v v 都是蓝色，则存在蓝色.一、1.自反性、对称性和传递性.2. Abel.3. 6.4. 封闭性和结合性.5. 不含圈的连通.二、1(A); 2(C); 3(B); 4(D); 5(C).三、证 对于任意A b a ∈,，假定)()(b f a f =. 由于≤是偏序，于是a a ≤，所以)(a f a ∈，进而)(b f a ∈，根据定义知b a ≤. 同理可证，a b ≤. 根据偏序的反对称性有b a =，因此f 是单射.当b a ≤时，对于任意)(a f x ∈，于是a x ≤. 根据偏序的传递性有b x ≤，即)(b f x ∈，故)()(b f a f ⊆.四、证 (1) 与非联结词“↑”的运算表如下：(2)p p p p p ↑=∧⌝=⌝)(.)()()())((q p q p q p q p q p ↑↑↑=↑⌝=∧⌝⌝=∧. )()()()()(q q p p q p q p q p ↑↑↑=⌝↑⌝=⌝∧⌝⌝=∨.五、解 ))),(),((),,((v y vQ u x uQ z y x zP y x ∃→∃∧∃∀∀=))),(),((),,((v y vQ u x uQ z y x zP y x ∃∨⌝∃∧∃∀∀ =))),(),((),,((v y vQ u x Q u z y x zP y x ∃∨⌝∀∧∃∀∀ =))),(),((),,((v y Q u x Q v u z y x zP y x ∨⌝∃∀∧∃∀∀ =))),(),((),,((v y Q u x Q z y x P v u z y x ∨⌝∧∃∀∃∀∀ 六、证 (1)根据Euler 公式，有2+-=n m r . (2)31052)2(5-≤⇒≤+-n m m n m .(3) 若Petersen 图是平面图，由于其每个面至少5条边围成，于是由(2)知3105-≤n m . 因为在Petersen图中，m = 15, n = 10, 于是31010515-⋅≤，矛盾.一、1. 2n 2. 反自反、反对称、传递 3. 是 4. 独异点 5. 上确界和下确界.二、1(C); 2(A); 3(B); 4 (D); 5(B).三、(1)证 对于任意∈),(),,(2211y x y x R ⨯ R ，若)),(()),((2211y x f y x f =，于是),(),(22221111y x y x y x y x -+=-+，进而2211y x y x +=+且2211y x y x -=-. 由此可得，2121,y y x x ==，因而),(),(2211y x y x =，故f 是单射.对于任意∈),(q p R ⨯ R ，取2,2q p y q p x -=+=，容易得知),(),()),((q p y x y x y x f =-+=.由上可知，f 是双射. (2)解 由上的证明过程知，⎪⎭⎫⎝⎛-+=-2,2)),((1y x y x y x f.(3)解 很显然If f=- 1R ⨯R ，即),()),)(((1y x y x f f=- .)2,2())()(),()(()),(()),)(((y x y x y x y x y x y x y x f y x f f =--+-++=-+= .四、解 }),(),,(),,(),,(),,{()(c c b b c b b a a a I R R r A=⋃=.}),(),,(),,(),,(),,{()(1b c a b c b b a a a RR R s =⋃=-.}),(),,(),,(),,{()(c a c b b a a a R t =. 五、证(1))(x xP ∀ P (2)P (c ) US(1) (3))))()(()((x R y Q x P x ∧→∀ P (4)))()(()(c R y Q c P ∧→ US(3) (5))()(c R y Q ∧ T(2)(4)I (6)Q (y ) T(5)I (7)R (c ) T(5)I (8))()(c R c P ∧ T(2)(7)I (9)))()((x R x P x ∧∀ UG(8) (10)))()(()(x R x P x y Q ∧∀∧ T(6)(9)I六、证 设G 是一棵阶数2≥的无向树，k k v v v v L 121...:-是G 中的最长路径. `若1v 和k v 至少有一个不是树叶，不妨设k v 不是树叶，即2)deg(≥k v ，则k v 除与1-k v 邻接外，还存在1+k v 与k v 邻接. 若1+k v 在L 上，则G 中存在圈，不可能. 若1+k v 不在L 上，则G 中存在一条比L 长1的路径1121...+-k k k v v v v v ，与L 是G 中最长路径矛盾.一、1. 1,3,5,7,11,13,17,19.2. 平行.3. 010, 100, 101, 110, 111.4. 2.5. 3.二、1(B); 2(A); 3(D); 4(C); 5(A). 三、(1)证任意∈),(),,(2211y x y x R ×R , 若),(),(2211y x f y x f =，则),(),(22221111y x y x y x y x -+=-+，进而2211y x y x +=+且2211y x y x -=-，于是21x x =且21y y =，从而f 是单射.任意∈),(q p R ×R , 取⎪⎩⎪⎨⎧-=+=22qp y q p x , 通过计算易知),(),(q p y x f =，因此f 是满射. 故f 是双射.(2) 解 由上面的证明知，f 存在逆函数且⎪⎭⎫⎝⎛-+=-2,2),(1y x y x y x f.又()()),(2,2,1y x y x y x f y x ff=⎪⎭⎫⎝⎛-+=- ，即If f=- 1R ×R ,而()()())2,2())()(),()((,,y x y x y x y x y x y x y x f y x ff=--+-++=++= .四、解 R 的传递闭包t (R )的关系图如下：于是，有t (R ) = {(1, 3), (3, 1), (2, 3), (4, 3), (4, 5), (6, 5), (1, 1), (3, 3)，(2,1)，(4,1)}. 五、解 首先写出命题公式()())()(p q rr q p A →→↔→→=的真值表如下：从真值表可得命题公式A 的主析取范式为：∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧∨∧∧=)()()(r q p r q p r q p A)()()(r q p r q p r q p ⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝.命题公式A 的主合取范式为：)()(r q p r q p A ∨⌝∨⌝∧⌝∨⌝∨=.七、解 对于2, 3, 5, 7, 8，先组合两个最小的权2+3 = 5, 得5, 5, 7, 8；在所得到的序列中再组合5+5 = 10, 重新排列后为7, 8, 10；再组合7+8 =15, 得10, 15；最后组合10+15 = 25.2515108710875587532所求的最优2叉树树如下：。
电大离散数学作业5答案(图论部分)
离散数学作业5离散数学图论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月5日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。
并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、填空题1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是15 ．2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是{f} ．3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点度数之和等于边数的两倍．4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且等于出度．5．设G=<V，E>是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于n-1 ，则在G中存在一条汉密尔顿路．6．若图G=<V, E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为W(G-V1)V1．7．设完全图Kn 有n个结点(n2)，m条边，当n为奇数时，姓名：学号：得分：教师签名：Kn中存在欧拉回路．8．结点数v与边数e满足e=v-1 关系的无向连通图就是树．9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去4 条边后使之变成树．10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 5 ．二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．．(1) 不正确，缺了一个条件，图G应该是连通图，可以找出一个反例，比如图G是一个有孤立结点的图。
离散数学第5次作业参考答案
离散数学第5次作业参考答案一、(每问5分，共10分)设S Q Q =⨯，Q 是有理数集，*为S 上的二元运算，,,,a b x y S ∀<><>∈有：,*,,a b x y ax ay b <><>=<+>(1) *运算在S 上是否可交换、可结合？是否为幂等？ (2) *运算是否有单位元、零元？如果有，请指出，并求出S 中所有可逆元素的逆元。
. 解：(1) 因为,*,,a b x y ax ay b <><>=<+>， 而,*,,x y a b xa xb y <><>=<+>，所以，不具有交换律。
对任意的,,,,,a b x y w t S <><><>∈，有(,*,)*,,a b x y w t axw axt ay b <><><>=<++>，且 ,*(,*,),a b x y w t axw axt ay b <><><>=<++>。
因此，满足结合律。
因为2,*,,,a b a b a ab b a b <><>=<+>≠<>，所以不是幂等的。
(2)因为没有交换律，所以要求单位元，需要先求出左单位元，右单位元，当左单位元和右单位元相等的时候，那么就称为单位元。
零元也是一样，没有交换律，就要先求出左零元和右零元，如果左右零元相等，就叫做零元。
求零元：假设左零元为<a , b >.那么根据左零元的定义，对任意的,x y S <>∈，有,*,,,a b x y ax ay b a b ax a ay b b<><>=<+>=<>⇒=+=且，由于对任意的,x y <>都成立，所以左零元为0,,b b Q <>∈.但是,*0,0,x y b bx y <><>=<+>，对任意的,x y <>，显然0,0,bx y b <+>≠<>，因此，0,b <>不是右零元。
离散数学第五章集合及其运算习题答案
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
RS
RS
R-S
例如A={0, 1} R={(0,1), (1,2), (0,2)}, S={(0,2)}
R-S ={(0,1), (1,2)}
习题四 8
设R和S都是集合A上的二元关系，它们经过关系运算后得到A上的一个 新关系。判别当R和S 同时具有表中某种指定性质时，经过指定的运算 后所得新关系是否也仍保持这种性质：
b
e
求关系图对应的关系矩阵,
并求其传递闭包
d
a
c
f
ab c de f gh
h
g
a01 0 00000
b00 1 00000
c11 0 00000
d00 0 01000
e00 0 00100
f 00 0 00010
g00 0 00001
h00 0 10000
习题四 15
b
e
求关系图对应的关系矩阵,
并求其传递闭包
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
RS
RS
例如A={0, 1} R={(0,1)}, S={(1,0)}
RS ={(0,1), (1,0)}
例如A={0, 1} R={(0,1)}, S={(1,0)}
RS ={(0,1), (1,0)}
习题四 8
设R和S都是集合A上的二元关系，它们经过关系运算后得到A上的一个 新关系。判别当R和S 同时具有表中某种指定性质时，经过指定的运算 后所得新关系是否也仍保持这种性质：
解：
例如：设A={a, b, c, d}
则 R1={(a, b), (b, d), (d, c)} 反传递
离散数学习题的答案解析
离散数学习题的答案解析离散数学习题答案习题⼀及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化：（5）李⾟与李末是兄弟解：设p ：李⾟与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q ∧（9）只有天下⼤⾬，他才乘班车上班解：设p ：天下⼤⾬；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →`（11）下雪路滑，他迟到了解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→15、设p ：2+3=5.q ：⼤熊猫产在中国. r ：太阳从西⽅升起. 求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r ∧∧∨?→解：p=1，q=1，r=0，()(110)1p q r ∧∧??∧∧??，(())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→?*()(())111p q r p q r ∴∧∧∨?→19、⽤真值表判断下列公式的类型：（2）()p p q →?→?解：列出公式的真值表，如下所⽰：20、求下列公式的成真赋值：（4）()p q q ?∨→解：因为该公式是⼀个蕴含式，所以⾸先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ?∨0p q所以公式的成真赋值有：01，10，11。
【习题⼆及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ?→∧∧解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： |（2）()()p q p r ∧∨?∨解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100。
(2014版)离散数学网上作业题参考答案
离散数学复习题参考答案复习题一答案一、证明1、证明：()()()()()A E AB B A B A B A B A B A =⋂=⋃⋂=⋂⋃⋂=⋂⋃- 2、符号化为：Q S P R S R Q P ⇒∧⌝→∨→,, 证明：(1)S P ∧ P(2)P T(1)I (3)S T(1)I(4)R Q P ∨→ P (5) R Q ∨ T(2)(4)I (6) R S ⌝→ P (7) ,R ⌝ T(3)(6)I (8) Q T(5)(7)I 二 、计算1、三种图如下：2、()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()TT T F T T T F T F F T T T T Q P Q P Q P Q P x Q x P x Q x P x x Q y x P y x ⇔∧⇔∨∧∨⇔→∨→∧→∨→⇔→∨→∧→∨→⇔→∨→∀⇔→∃∀22,221,212,111,12,1,,3、设它有1n 个度数为1的结点，则：1*1n ＋2*2n ＋3*3n ＋… ＋k*k n =2*（1n +2n +3n +…+k n -1） 得：1n =3n ＋2*4n ＋… ＋(k-2)*k n +24、{}4,4,3,,2,2,4,,3,2,1,22,11,1)(=R r{3,42,34,3,3,2,1,2,2,1,1,1)(=R s{4,1,4,2,2,2,3,1,4,,3,21,22,1,1,1)(=R tR 是A 上的偏序关系。
1、R 的哈斯图：2、{}{}{}19,2glb ,369,2lub 9,2==最大下界的最小上界。
四、()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P P R Q Q P R Q R P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧⌝∨∧∧⌝∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧∨∧∧⇔∨⌝∨⌝∧∨⌝∨∧∨∨⇔∨⌝∨⌝∧∧∨⌝∧∨⇔∨⌝∧∨⇔∨⌝∧⇔∨∨⌝⌝⇔→→五、证明：ρ∈+=+∈∀y x y x x y y x R y x ,,,,,2所以有因此ρ是自反的ρρ∈+=++=+∈∀b a d c a d b c c b d a d c b a ,,,,,,,,所以即有因此ρ是对称的ρρ∈+=+-=-=-+=++=+∈∀fe b a e bf a f e b a d c e d f c c b d a f d c d c b a ,,,,,,,,,,,,,所以得即有因此ρ是传递的。
离散数学课后作业参考答案慕课电子科技大学
by 王丽杰
1. 用描述法写出下列集合。 (1) 从 0 到 1000 的整数； (2) 所有实数集上一元一次方程的解组成的集合； (3) 能被 100 整除的整数集合； (4) 直角坐标系中，单位元 (不包括单位圆周) 的点集。
2. 试用 ∈,⊂,⊆ 和 = 来描述以下各组两个集合间的关系。 (1)A = {2}，B = {2x|(1 ⩽ x ⩽ 3)} (2)C = {2, 3}，D = {{2, 3}} (3)E = {x|x ∈ Z, x2 + x + 1 = 0}，F = {{2, 3}} (4)G = {3, 3, 2, 1, 2}，H = {x|x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0}
2. 设命题 P ：天在下雪；Q：我将进城；R：我有空。符号化下列命题。 (1) 我将进城去当且仅当我有空且天不下雪。 (2) 虽然天在下雪，但我将进城去。 (3) 如果天不下雪且我有空，我将进城去。 (4) 除非天不下雪，否则我将不进城。
3. 利用真值表或公式转换方法，判断下列公式的类型（永真公式，永假公式， 可满足公式）。 (1)P → (P ∨ Q ∨ R) (2)((P ∨ Q) ∧ R) ↔ Q (3)(P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ Q) ∧ (P ∨ ¬Q) ∧ (¬P ∨ ¬Q)
Q : 小李的通行发生困难;
R : 小李按指定的时间到达.
则推理符号化成：P → Q, R → ¬Q, R ⇒ ¬P
(1) R → ¬Q
P
(2) R
P
(3) ¬Q
T, (1), (2), I
(4) P → Q
P
(5) ¬P
T, (3), (4), I
第 (2) 小题
离散数学课后答案五
5.1习题参考答案1、阮允准同学提供答案:解：设度数小于3的结点有x个，则有3×4＋4×3＋2x≥2×16解得：x≥4所以度数小于3的结点至少有4个所以G至少有11个结点2、阮允准同学答案：证明：由题意可知：度数为5的结点数只能是0,2，4,6，8。
若度数为5的结点数为0,2，4个，则度数为6的结点数为9，7,5个结论成立。
若度数为5的结点数为6,8个，结论显然成立。
由上可知，G中至少有5个6度点或至少有6个5度点。
3、晓津证明如下：设简单图有n个结点，某结点的度为最大度，因为简单图任一结点没有平行边，而任一结点的的边必连有另一结点，则其最多有n-1条边与其他结点相连，因此其度数最多只有n-1条，小于结点数n.4 \阮同学给出证明如下：证明：设G中所有结点的度数都小于3，即每个结点度数都小于等于2，则所有结点度数之和小于等于2n，所以G的边数必小于等于n，这和已知G有n+1条边相矛盾。
所以结论成立。
5、试证明下图中两个图不同构。
晓津证明：同构的充要条件是两图的结点和边分别存在一一对应且保持关联关系。
我们可以看出，(a)图和(b)图中都有一个三度结点，(a)图中三度结点的某条边关联着两个一度结点和一个二度结点，而(b)图中三度结点关联着两个二度结点和一个一度结点，因此可断定二图不是同构的。
6、画出所有5个结点3条边，以及5个结点7条边的简单图。
解：如下图所示：(晓津与阮同学答案一致)7、证明：下图中的图是同构的。
证明如下：在两图中我们可以看到有a→e,b→h,c→f,d→g两图中存在结点与边的一一对应关系，并保持关联关系。
8、证明：下面两图是同构的。
阮同学给出证明如下：证明：找出对应关系：a---q, b----r, c-----s, d----t, e-----u,f------v, g-----w, h----x9、证明：三次正则图必有偶数个结点。
阮同学证明如下：由题意可知每个结点度数都是3度，即每个结点均为奇结点，根据有偶数个奇结点可知，三次正则图必有偶数个奇结点。
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2014离散数学作业5答案
离散数学作业5
离散数学图论部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第15周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。
并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、填空题
1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4
度结点，则G 的边数是 15 ．
2．设给定图G (如右由图所示)，则图G 的点割集是 {f} ．
3．设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则 G 的结点 度数之和 等于边数的两倍．
4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且 等于出度 ． 5．设G=<V ，E >是具有n 个结点的简单图，若在G 中每一对结点度数之和大于等于 n-1 ，则在G 中存在一条汉密尔顿路．
6．若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为 W ≤|S| ．
7．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当n 为奇数 时，K n 中存在欧拉回路．
8．结点数v 与边数e 满足 e=v -1 关系的无向连通图就是树． 9．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去 4 条边后使之变成树．
10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 5 ．
二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．如果图G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 存在一条欧拉回路．．
姓 名： 翟伟铮 学 号：1337001258063 得 分： 教师签名：
错。
缺了一个条件，图G应该是连通图。
如反例，图G是一个有孤立结点的图。
2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．
错。
图中有奇数度结点，所以不存在欧拉回路。
3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．
G
对。
因为图中结点a、b、d、f的度数都为奇数，所以不是欧拉图。
如果沿着(a,d,g,f,e,b,c,a)，这样除起点和终点是a外，经过每个点一次且仅一次，所以存在一条汉密尔顿回路，是汉密尔顿图。
4．设G 是一个有7个结点16条边的连通图，则G 为平面图．
错。
假设图G 是连通的平面图，根据定理，结点数为v ，边数为e ，应满足e ≤3v-6，但现在16≤3*7-6，显然不成立，所以假设错误。
5．设G 是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G 有7个面． 对。
根据欧拉定理，有v-e+r=2，结点数v=11，边数e=6，代入公式求出面数r=7。
三、计算题
1．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试
(1) 给出G 的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵；
(3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形．
(2)
⎪⎭
⎝
⎛0110001
00 (3)
v 1，v 2，v 3，v 4，v 5结点的度数依次为1，2，4，3，2。
(4)
ο ο v ο v v
2．图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e ) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试
（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵； （3）求出G 权最小的生成树及其权值．
(1) (2)
011011
00111
00110110111110A ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
(3)
权值 W(T)=1+1+2+3=7
3．已知带权图G 如右图所示．
(1) 求图G 的最小生成树； (2)计算该生成树的权值．
(1)
(2) 权值(1+2+3+5+7)=18
1
2
3
5
7
c a
b e
d ο ο
ο ο ο 1 2
2 1 6 4
3 5 c
a b e
d
ο
ο
ο ο ο 1
2
1 3
4．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．
权为 2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=131
四、证明题
1．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于3的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．
证明：设,G V E =<>，,G V E '=<>．则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的．所以对于任意结点u V ∈，u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数．由于n 是大于等于3的奇数，从而n K 的每个结点都是偶数度的（ 1 (2)n -≥度），于是若u V ∈在G 中是奇数度结点，则它在G 中也是奇数度结点．故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等．
3
5
2
5
1
7
17
31
1
3
6
2．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2
k
条边才能使其成为欧拉图．
证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数． 又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．
故最少要加2
k
条边到图G 才能使其成为欧拉图．。