离散时间信号与系统的复频域分析——z变换课件

连续系统中，利用拉氏变换我们引入 了系统函数 H(s) ，它是输出信号的拉氏变 换Y(s)与输入信号的拉氏变换X(s)的比值，
也是冲激响应h(t)的拉氏变换。我们是否可
以利用z变换引入离散系统的系统函数 H(z)
呢？
连续系统中，利用系统函数，我们可
以分析系统的时域特性、频率特性、稳定
性。在离散系统中，我们是否也可以用系
如果对任一有界输入 x ［ n ］只能产生 有界输出 y ［ n］，则称系统在有界输入、 有界输出意义下是稳定的。根据该定义， 对所有n，当
|x［n］|<M
时（其中M为实常数），若有|y［n］|<∞， 则系统稳定。
2. z域判别法
图 6 3 稳 定 系 统 的 极 点 分 布 .
3.系统函数的零极点与时域响应的关系
2.系统幅频特性与选频滤波器
由式（ 6-32 ）和式（ 6-33 ），可以得 到系统在不同频率信号作用下响应的幅度 为
|Y(ejΩ)|=|X(ejΩ)||H(ejΩ)|
根据数字滤波器通带与阻带在频率轴 上占据的相对位置，它也分为低通、高通、 带通、全通等不同类型。
6.6 数 字 滤 波 器
6.6.1 数字滤波器的概念
统函数做相同的事情呢？
回答以上问题就是本章的内容。
6.1 z 变 换 的 定 义
6.1.1 抽样信号的拉氏变换
由第四章可知，对连续时间信号进行均 匀冲激取样后就得到离散时间信号。设有连 续时间信号x(t)，每隔时间T取样一次，这相 当于连续时间信号x(t)乘以冲激序列δT(t)。
6.1.2 z变换源自文库定义
与模拟滤波器相对应，在离散系统中 广泛应用数字滤波器。它的作用是利用离 散时间系统的特性对输入信号波形或频谱 加工处理。或者说，把输入的数字信号通 过一定的运算关系变成所需要的输出数字 信号。
数字滤波器一般可以用两种方法来实 现：一种方法是用数字硬件装配成一台专 门的设备，这种设备称为数字信号处理机； 另一种方法就是将所需要的运算编制成程 序利用计算机软件来实现。 数字滤波器可以用差分方程、单位样 值响应 h ［ n ］、系统函数 H(z) 或频率响应 H(ejΩ)来描述。
6.2 常 用 序 列 的 z 变 换
许多序列的z变换可直接由z变换的定义式求出。
1. δ［n］的z变换 2. u［n］的z变换 3. anu［n］的z变换
6.3 z 变 换 的 性 质
z变换具有许多性质，这些性质在离散 时间系统研究中非常重要。利用这些性质， 可以方便的计算许多复杂信号的z变换和逆 z变换，还可以找到z域与时域的关系。
与模拟滤波器相比，数字滤波器具有 更高的精确度和可靠性，使用灵活、方便， 已经成为数字信号处理技术中的重要手段。 数字滤波器的分类方法很多。若按照 其幅频响应的通带特性，可分为低通滤波 器、高通滤波器、带通或带阻滤波器；若 按照数字滤波器的构成方式，可分为递归 型滤波器和非递归型滤波器；或按照其单 位样值响应的时间特性，又可以分为无限 长冲激响应（IIR）滤波器和有限长冲激响 应（FIR）滤波器。
1.双边z变换 2.单边z变换
6.1.3 单边z变换的收敛域
1.单边z变换收敛域的定义
使序列 x ［ n］的 z 变换收敛的所有 z 的 集合称为 z变换 X(z)的收敛域，简记为ROC （Region of Convergence）。
2. z变换收敛域与拉氏变换收敛域的关系
图6.2 单边z变换的收敛域
只有当H(z)的所有极点在单位圆内时系统才是稳定的。
6.5.4 离散系统的频域分析 1.离散系统的频率响应
如果一个离散时间 LTI 系统的单位样 值响应为h［n］，激励为x［n］，则根据 时域的分析方法，系统的响应为
y［n］=x［n］*h［n］
在z域的对应关系为
Y(z)=X(z)H(z)
令z=ejΩ，即当z只在单位圆上变化时，可得 到系统在频域的对应关系为
第6章 离散时间信号与系统的复 频域分析——z变换
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 z变换的定义 常用序列的z变换 z变换的性质 逆z变换 离散系统的z域分析
数字滤波器 用MATLAB进行z域分析
在连续时间系统中，为了把时域的微 分方程转换为代数方程，我们利用了拉氏 变换。在离散系统中，我们是否可以用类 似的变换——z变换把差分方程的问题转换 为代数方程的问题呢？ 利用拉氏变换，我们可以把求解连续 系统零状态响应的卷积积分问题转换为乘 积计算问题，在离散时间系统中，我们是 否可以用z变换把系统零状态响应的卷积和 的问题转换为乘积问题呢？
单边拉普拉斯变换的收敛域是s平面上
σ>σ0 的右半平面，相应 z 变换的收敛域为
r>r0的圆外。即 z 平面上以原点为中心，以
r0=eσ0T 为半径的圆外区域（包括无穷大区
域）为z变换的收敛域。
3. z变换与傅里叶变换的关系
由于z=esT，则s平面的虚轴s=jω映射到 z 平面的单位圆 |z|=e0=r=1 。正像虚轴上的 拉普拉斯变换对应于连续时间信号的傅里 叶变换一样，单位圆上的z变换对应于离散 时间信号的傅里叶变换。因此，若一个离 散时间信号的傅里叶变换存在，它在z平面 的收敛域应包含单位圆。
6.3.1 线性 6.3.2 移位性质
6.3.3 z域微分性质
6.3.4 时域卷积定理
6.4 逆 z 变 换
6.4.1 变换对对比法
6.4.2 幂级数展开法（长除法）
6.4.3 部分分式展开法
6.5 离散系统的z域分析
6.5.1 应用z变换求解差分方程
应用z变换求解差分方程，是根据z变 换的线性性质和移位性质，把差分方程转 化为代数方程。
Y(ejΩ)=X(ejΩ)H(ejΩ)
H(ejΩ)一般为复数，可用幅度和相位表示为
H(ejΩ)=|H(ejΩ)|ejφ(Ω)
H(ejΩ)随频率Ω的变化称为离散时间系统的 频率响应。 |H(ejΩ)| 称为幅度函数，而 φ(Ω) 称为相位函数。由于 ejΩ 为 Ω 的周期函数， 周期为2π，因而H(ejΩ)也是Ω的周期函数。
6.5.2 离散系统的系统函数
1.系统函数的引出 2.线性时不变离散系统的三种描述方式
可以用以下三种方式描述：差分方程，样 值响应，系统函数，它们之间可以相互转换。
6.5.3 离散时间系统的稳定性
1.时域判别法
与连续时间系统类似，离散时间系统 的样值响应 h ［ n ］或系统函数 H(z) 决定了 系统的特性。