第八章多元函数微分练习题

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(完整版)多元函数微分法及其应用习题

第八章多元函数微分法及其应用一．填空题1。

函数z =的定义域是2、0sin lim x y xyx→→= 3、2222001cos()lim x y x y x y →→-+=+4、设z =那么z x ∂=∂ ,zy∂=∂ 5、已知22ln(1)z x y =++，则(1,2)dz =6、设(,)3ln(1)f x y x xy =++，则(1,2)x f = ，(1,2)xy f =7、设f(x,y)在点（a ，b)处的偏导数存在，则0(,)(,)limx f a x b f a x b x→+--=8、若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2 ，则在D 上， xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

9。

函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

10、函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。

11、)()(1y x y xy f xz +ϕ+=，f 、ϕ具有二阶偏导数，则=∂∂∂yx z 2 。

12．设32) , ,(zxy z y x f =，其中) ,(y x z z =是由方程03222=-++xyz z y x 所确定的隐函数，则=)1 ,1 ,1(x f。

13．若函数),(y x f z =可微,且1),(2=x x f ，x x x f x =),(2，则当x =),(2x x f y 。

14、设2ln ,,32xz u v u v x y y ===-，则z x ∂=∂ ,z y∂=∂15、设3arcsin(),3,4z x y x t y t =-==,则dzdt= 二、选择题1．若函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处不连续，则（ )（A ）) ,(lim y x f y y x x→→必不存在; （B ）) ,( y x f 必不存在；(C)) ,(y x f 在点) ,( y x 必不可微；(D ）) ,( y x f x 、) ,( y x f y 必不存在。

第八章多元函数微分学及其应用测试题

多元函数微分学及其应用（时间：150分钟）一、选择题(每小题3分，共15分)1、二重极限21lim 1x x y x y a x +→∞→⎛⎫- ⎪⎝⎭之值为（）．（A ） 0; （B ） 1; （C ） 1e -; （D ） e .2、设函数),(y x f 在),(00y x 处的偏导数),(y x f x 与),(y x f y 存在，则（）.（A ） ),(y x f 在),(00y x 处可微;（B ） ),(y x f 在),(00y x 处连续;（C ） ),(y x f 在),(00y x 处沿任意方向的方向导数存在;（D ）以上三个结论都不正确.3、已知矩形的周长为2p ,将它绕其一边旋转而形成一个旋转体,当此旋转体的体积为最大时,矩形两边长分别为（）.（A ）,22p p ; （B ）2,33p p ; （C ） 3,44p p ; （D ） 23,55p p . 4、假设曲线2121522y x z x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩在点（1，-1，-2）处的切线与直线533903210,x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩的夹角ϕ=（）.（A ） 0 ; （B ）4π; （C ） 3π; （D ）2π. 5、设(),()f x g x 是可微函数，且满足(,)(25)(25)u x y f x y g x y =++-, (,0)sin 2u x x =,(,0)0y u x =，则(,)u x y =（）.（A ）sin 2cos5x y ; （B ）sin 5cos 2x y ; （C ）cos5sin 2x y ; （D ）cos 2sin 5x y .二、填空题(每小题3分，共15分)1、设y x e u xsin -=，则y x u ∂∂∂2在点)1,2(π处的值为． 2、设y x y x y x z -+++=arctanln 22，则dz = ． 3、函数z y x u 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=在点(1,1,1)处的梯度为． 4、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y z x ϕ，其中ϕ为可微分函数，则=∂∂+∂∂yz y x z x ． 5、已知曲面xy z =上点p 处的法线l 平行于直线2121326:1-=--=-z y x l ，则法线l 的方程为．三、计算题(每小题6分，共30分)1、设)sin ,2(x y y x f z -=，其中),(v u f 具有连续的二阶偏导数，求yx z ∂∂∂2． 2、已知),(),,(z y x y x f z ϕ==，其中ϕ,f 均为可微分函数，求dxdz ． 3、假设函数(,,)w f x y z =，其中f 具有二阶连续偏导数，(,)z z x y =由方程5551z xy z -+=所确定，求w x ∂∂，22w x ∂∂． 4、设n 是曲面222y x z +=在P （1，2，3）处指向外侧的法向量，求函数xz y x u 22233++=在点P 处沿方向n 的方向导数．5、在曲面222316x y z ++=上求一点，使曲面在此点处的切平面平行于下列两条直线：1361:458x y z l --+==，2:l x y z ==．四、(8分) 设),,(z y x f u =有连续偏导数，且ϕϕθϕθcos ,sin sin ,cos sin r z r y r x ===，证明：若0=∂∂+∂∂+∂∂z u z y u y x u x ，则u 与r 无关．五、(8分)一正圆锥的半径以每分钟7厘米的速度增大，而它的高以每分钟20厘米的速度减小，求当半径45r =厘米，高100h =厘米时该正圆锥的体积的变化率，此时体积是在增大还是减小？六、(8分)设椭圆12322=+y x 的内接等腰三角形之底边平行于椭圆长轴，求其最大面积．七、（8分）试证光滑曲面0),(=--z y x z F 的所有切平面均与一固定非零向量平行．八、(8分)已知,,x y z 为实数，且2||3x e y z ++=，证明不等式2||1x e y z ⋅⋅≤．。

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1第八章多元函数微分法及其应用(A)1．填空题．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z ∂∂∂2，则在D 上，上， x y zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的处连续的条件。

条件。

2．求下列函数的定义域．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx zu +=3．求下列各极限．求下列各极限(1)x xyy x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23yx z ∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数．求下列函数的偏导数(1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，te u =，t v ln =，求全导数dt dz。

7．设()z y e u x-=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu 。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y yx z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

的偏导数。

10．设y x ye z x2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y zz x ln =确定的隐函数，求x z∂∂，yz ∂∂。

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第8章测试题1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（）条件．A ．充分B ．充分必要C ．必要D ．非充分非必要2.函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂及z y ∂∂在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（）条件．A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0）是（）A 不是(,)f x y 连续点B 不是(,)f x y 的极值点C 是(,)f x y 的极大值点D 是(,)f x y 的极小值点4. 函数22224422,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在（0，0）处（ C ）A 连续但不可微B 连续且偏导数存在C 偏导数存在但不可微D 既不连续，偏导数又不存在5.二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩x y x yf x y x y 在点(0,0)处( A). A ．可微,偏导数存在 B ．可微,偏导数不存在C ．不可微,偏导数存在D ．不可微,偏导数不存在6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数. 则=∂∂22y z( ). (A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂； (B)22y vv f∂∂⋅∂∂；(C)22222)(y v v fy v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂； (D)2222y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂.7.二元函数33)(3y x y x z --+=的极值点是( ).(A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 8.已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且223(,)(0,0)(,)lim 1()x y f x y xy x y →-=+，则下述四个选项中正确的是（）.A ．点(0,0)是(,)f x y 的极大值点B ．点(0,0)是(,)f x y 的极小值点C ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点D ．根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点10.设函数(,)z z x y =由方程z y z x e -+=所确定，求2z y x ∂∂∂ 11.设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求 z z x y x y ∂∂-∂∂ 12.设222x y z u e ++=，而2sin z x y =，求u x ∂∂11.设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求 2,z dz x y ∂∂∂.13.求二元函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值14.22在椭圆x +4y =4上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离最短.第8章测试题答案1.A2.A3.D4.C5.A6.C7.D8.C 8. ()()3(1)z y z y e e ---9. 2122z z x y x y f f x y y x∂∂-=-∂∂ 10.2222(12sin )x y z u xe z y x++∂=+∂11.123123231113223233 ()(),()()dz f f yf dx f f xf dyzf f x y f f x y f xyf x y=+++-+∂=+++-+-+∂∂12.极小值11(0,)f ee-=-13. r h==14. 83(,)55。

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第八章多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂。

12．设x y e e xy =+，求dxdy 。

13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。

第八章多元函数微分学

第八章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念一、填空题：1．设 ),其中x>y>0,则f (x+y, x-y)=_____________.2．函数_______________________________.3．函数z=arcsin(2x)+ 的定义域____________________. 4．函数f (x, y)= 221sin()x y +的间断点___________________________.5． (x , y )沿任何直线趋于00(,)x y 时，f (x , y )的极限存在且相等是00(x,y)(,)x y →时f(x, y)的极限存在的_________条件。

（充分非必要，充要，必要非充分，既非充分又非必要）二、求下列函数的极限：1．(,)lim y x y → 2．(,)(0,1)lim x y →3．2(,)(,)1lim (1)x x y x y a xy+→∞+ （a 不为0） 4．22222(,)(0,0)1cos()lim ()xyx y x y x y e →-++5．(,)(0,lim x y → 0 6．(,)(0,)11lim()sin cos x y x y x y →+ 0三、证明下列极限不存在：1．2(,)(0,)lim x y x y x →- 02．(,)(0,)lim x y xyx y →+ 0四、函数f(x, y)= 24242420)00x yx y x y x y ⎧+≠⎪+⎨⎪+=⎩ （（）在（0，0）点连续吗？§8.2 偏导数一、选择题：1．x f ，y f 在00(,)x y 处均存在是f (x ,y)在该点连续的________条件。

(A) 充分； (B) 必要； (C) 充要； (D) 即不充分又不必要。

2．设z= f (x ,y)，则00(,)z x y x∂∂=（）。

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（完整版）高等数学（同济版）多元函数微分学练习题册.doc第八章多元函数微分法及其应用第一作一、填空：1. 函数 z ln(1 2 )y x23x y 的定义域为x12. 函数 f (x, y, z) arccosz的定义域为y 2x 23. 设 f ( x, y) x 2 y 2 , (x) cos x, ( x) sin x, 则f [ (x), (x)].sin xy .4. lim xx 0二、（）： 1. 函数1的所有断点是 :sin x sin y(A) x=y=2n π（ n=1,2,3,?）；(B) x=y=n π (n=1,2,3, ?) ； (C) x=y=m π (m=0, ±1，± 2，? )；(D) x=n π ,y=m π (n=0, ± 1，± 2，?，m=0,± 1,± 2,? )。

答：（）sin 2( x 2 y 2 , x 2y 22. 函数 f (x, y)x 2 y 2在点（ 0， 0）：2 ,x 2 y 2（ A ）无定；（B ）无极限；（ C ）有极限但不；（ D ）。

答：（）三、求 lim2xy 4 .x 0 xyya四、明极限 limx 2 y 22 不存在。

2 2xx y ( x y)y 0第二节作业一、填空题：1 sin( x2 y), xy 01. 设 f ( x, y)xy ,则 f x (0,1) .x 2 ,xy2. 设 f (x, y)x ( y 1) arcsinx, 则 f x ( x,1).y二、选择题（单选）：设 z 2x y 2 , 则 z y 等于 :( A) y 2 x y 2 ln 4; (B) (x y 2 ) 2 y ln 4; (C ) 2 y( x y 2 ) e x y 2 ;(D ) 2 y 4 x y 2 .答：（）三、试解下列各题：1. 设 z ln tan x , 求 z, z .2. 设 z arctan y, 求2z .y x yxx y四、验证 rx 2 y 2 z 2 满足2r2r2r 2 .x 2 y 2 z 2r第三节作业一、填空题：1. 函数 zy 当x 2, y时的全增量z全微分值x 1, x 0.1, y0.2dz.y2. 设z e x , 则dz.二、选择题（单选）：1. 函数 z=f(x,y) 在点 P 0（ x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（ A ）充分条件；（ B ）充要条件；（ C ）必要条件；（ D ）无关条件。

第八章多元函数的微分法及其应用练习题

第8章多元函数的微分法及其应用§8.1 多元函数的基本概念一、填空题1．已知22),(y x xyy x f -=+ ，则f(x,y)= 。

2．函数)1ln(4222y x y x Z ---=的定义域为。

3．11lim0-+→→xy xy y x = 。

二、判断题1．如果P 沿任何直线y=kx 趋于（0，0）,都有A P f kxy x ==→)(lim 0，则A y x f y x =-→→)(lim 00。

（）2．从0)0,(lim 0=→x f x 和2)2,(lim 0=→x x f x 知),(lim 0y x f y x →→不存在。

（）3．下面定义域的求法正确吗？)ln(11),(y x y x y x f -+-+=解：012)2()1()2(0)1(01>-⇒+⎩⎨⎧>->-+x y x y x 所以定义域为x>1/2的一切实数。

三、选择题1．有且仅有一个间断点的函数是（）（A ）、x y （B ）、)22l n (y x e x +- （C ）、yx x+ （D ）、arctanxy 2.下列极限存在的是（）（A ）、y x x y x +→→00li m （B ）、y x y x +→→1l i m 00 （C ）、y x x y x +→→200l i m （D ）、yx x y x +→→1s i n lim 00四、求下列函数的定义域，并画出定义域的图形。

1．y x y x z --+=112.221)ln(yx x x y z --+-=3．)]1)(9ln[(2222-+--=y x y x z五、求下列极限，若不存在，说明理由。

1．22101lim y x xy y x +-→→2. 222200cos 1lim y x y x y x ++-→→3．y x x y x +→→00lim§8.2 偏导数一、判断题1．如果f(x,y)在(x 0,y 0) 处，xf ∂∂存在，则一元函数f(x,y 0)在（x,y 0）处连续。

多元函数微分学复习习题及答案

欢迎阅读第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1.极限=（ B ）lim x y x yx y →→+00242(A)等于0；(B)不存在； (C)等于；(D)存在且不等于0或121223 0x y →→4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ）z f x y =(,)(,)x y 00(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件5、设，则= （ B ）u y x =arctan∂∂ux(A)； (B) ； (C)；(D)x x y 22+-+yx y 22yx y 22+-+x x y 226、设，则（ A ）f x y yx(,)arcsin=f x '(,)21=（A ）；（B ）；（C ）；（D ）-1414-12127、若，则（　C ）)ln(y x z -==∂∂+∂∂yz y x z x 8、设9、若1011（（12f （A ）点是函数的极大值点；（B ）点是函数的极小值点；P 0z P 0z （C ）点非函数的极值点；（D ）条件不够，无法判定。

P 0z 二、填空题1、极限= ??????? 。

答：limsin()x y xy x→→0ππ2、极限=??????? 。

答：limln()x y x y e x y→→++01222ln 23、函数的定义域为 ??????? 。

答：z x y =+ln()x y +≥14、函数的定义域为 ??????? 。

答：，z xy=arcsin -≤≤11x y ≠05、设函数，则= ??????? 。

答：f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22f kx ky (,)k f x y 2⋅(,)678，x xy =ln 91解：(1)要使函数有意义，必须有，即有.z =2210x y --≥221x y +≤故所求函数的定义域为,图形为图3.122{(,)|1}D x y x y =+≤(2)要使函数有意义，必须有.故所有函数的定义域为，ln()z x y =+0x y +>{}(,)|0D x y x y =+>图形为图3.2(3)要使函数有意义，必须有，即且.1ln()z x y =+ln()0x y +≠0x y +>1x y +≠欢迎阅读故该函数的定义域为，图形为图3.3{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，(4)要使函数有意义，必须有.故该函数的定义域为，ln(1)z xy =-10xy ->{(,)|1}D x y xy =>图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42解：x y 34、设解：z 1单y 解：L 利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=，)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x 令，解得唯一驻点（120，80）.⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx又因，得06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A .0105.332>⨯=--B ACe n d欢迎阅读得极大值. 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与320)80,120(=L 80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题1、设? 求证? )11(y x e z +-=z yz y x z x 222=∂∂+∂∂2? 3?? ? ? x y F y x -=∂∂y z F z -=∂∂zx F x z -=∂∂所以 ?1)()((-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂∂∂zx y z x y F F F F F F x z z yy x。

(完整版)多元函数微分学复习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1. 极限lim x y x yx y→→+00242= （提示：令22y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ）（A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是（C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是（A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为（D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为（A ）（A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的（ B ）（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点（B ）点P 0是函数z 的极小值点（C ）点P 0非函数z 的极值点（D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是（ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：π 2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-⋅+<+≥⎧⎨⎩11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：1 9、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x y yx (,)cos =-122的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，∂∂ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则∂∂22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye xy - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy= _______ .答：2112xyz xy --19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限limsin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x yxy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0232211=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy→→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sinu x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0，则∂∂z x z y y x =-++同理可得：∂∂z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy y z F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=⎧⎨⎩43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求∂∂∂∂z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1，∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ，∂∂u zya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a .则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明：因为2)11(1x e xzy x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xyk t kn sin 2222--=∂∂,所以22x y k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。

多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第八章偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =∂∂=则=∂∂=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满足222zy∂=∂，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使二元函数222(,)xy f x y x y=+在全平面连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BB. C.xD.18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ∂∂-=∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂->∂∂∂∂ C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定 20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，则极限00lim (,)x y f x y →→ （ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，而r =()f r 具有二阶连续导数，则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数221z x y =--的极大值点是（ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A)14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x yx y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ∂∂=∂∂+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=∂∂∂y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim（D ）()x y x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x z y x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。

大一微积分下册经典题目及解析

微积分练习册[第八章］多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：(1）若yxxy y x y x f tan),(22-+=，则___________),(=ty tx f (2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________yf f x-==（3）若)0()(22 y yy x xyf +=，则__________)(=x f （4)若22),(y x xy y x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________(7）函数xyz arcsin=的定义域是________________ （8）函数xy xy z 2222-+=的间断点是_______________2。

求下列极限：（1)xy xy y x 42lim0+-→→（2)x xyy x sin lim0→→(3）22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→3。

证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x4.证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x yx y x 不存在5。

函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0,0)处是否连续？为什么习题8—2偏导数及其在经济分析中的应用1。

填空题 (1)设y x z tanln =，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ；（2)设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ；（3）设zyxu =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ; （4)设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x zy z x z（5）设zyx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ；（6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x2.求下列函数的偏导数y xy z )1()1(+=z y x u )arcsin()2(-=3.设xy z =，求函数在(1,1）点的二阶偏导数4。

第八章多元函数的微分法及其应用练习题共7页word资料

第8章多元函数的微分法及其应用§8.1 多元函数的基本概念一、填空题1．已知22),(y x xyy x f -=+ ，则f(x,y)= 。

2．函数)1ln(4222y x y x Z ---=的定义域为。

3．11lim0-+→→xy xy y x = 。

二、判断题1．如果P 沿任何直线y=kx 趋于（0，0）,都有A P f kxy x ==→)(lim 0，则A y x f y x =-→→)(lim 00。

（）2．从0)0,(lim 0=→x f x 和2)2,(lim 0=→x x f x 知),(lim 0y x f y x →→不存在。

（）3．下面定义域的求法正确吗？)ln(11),(y x y x y x f -+-+=解：012)2()1()2(0)1(01>-⇒+⎩⎨⎧>->-+x y x y x 所以定义域为x>1/2的一切实数。

三、选择题1．有且仅有一个间断点的函数是（）（A ）、x y （B ）、)22ln(y x e x +- （C ）、yx x+ （D ）、arctanxy 2.下列极限存在的是（）（A ）、y x x y x +→→00lim（B ）、y x y x +→→1lim 00 （C ）、y x x y x +→→200lim （D ）、y x x y x +→→1sin lim 00四、求下列函数的定义域，并画出定义域的图形。

1．y x y x z --+=112.221)ln(yx x x y z --+-=3．)]1)(9ln[(2222-+--=y x y x z 五、求下列极限，若不存在，说明理由。

1．22101lim y x xy y x +-→→2. 222200cos 1limy x y x y x ++-→→3．y x x y x +→→00lim§8.2 偏导数一、判断题1．如果f(x,y)在(x 0,y 0) 处，xf ∂∂存在，则一元函数f(x,y 0)在（x,y 0）处连续。

第8章多元函数微分法及其应用习题 8- (3)

ρ
= lim
Δx ⋅ Δy ( Δx ) 2 + ( Δy ) 2 ( Δ x ) 2 + ( Δy ) 2 Δx ⋅ Δy ⎡(Δx) 2 + (Δy )2 ⎤ 2 ⎣ ⎦
1
3
Δx → 0 Δy → 0
= lim
Δx →0 Δy →0
,
让点 (Δx, Δy ) 沿直线 Δy = Δx 趋于点 (0,0) , 即 Δy = Δx → 0 , 得
第三节
多元函数的全微分
习题 8-3
1.
求下列函数的全微分: x− y ; (1) z = x+ y
(2)
z = arctan e xy ;
u = x yz ;
(3)
解
u = ln x 2 + y 2 + z 2 ; (1) 因为
(4)
2y ∂z ( x + y ) − ( x − y ) = = , 2 ∂x ( x + y) ( x + y )2 ∂z −( x + y ) − ( x − y ) −2 x = = , 2 ∂y ( x + y) ( x + y)2 dz = 2y 2x ∂z ∂z dx + dy = dx − dy 2 ∂x ∂y ( x + y) ( x + y )2 2 = ( ydx − xdy ) . ( x + y)2 1 e xy y ∂z xy e y = ⋅ ⋅ = , ∂x 1 + (e xy )2 1 + e2 xy4Βιβλιοθήκη 因为(4)所以
∂u ∂u ∂u = yzx yz −1 , = zx yz ln x , = yx yz ln x , ∂x ∂z ∂y ∂u ∂u ∂u dx + dy + dz = yzx yz −1dx + zx yz ln xdy + yx yz ln xdz . ∂x ∂y ∂z

第八章多元函数微积分

第八章多元函数微积分试题三一、填空题(2⨯10=20分)1. 母线平行于Y 轴，且通过曲线⎩⎨⎧2x 2+y 2+z 2=16x 2-y 2+z 2=0的柱面方程是。

[解析]：方程不含y 时，表示母线平行于Y 轴的柱面。

消去y 2得到3x 2+2z 2=16，为所求的柱面方程 2. 设(x,y)≠(0,0)时，f(x,y)=(x 2-y 2)-sin2xyx 2+y2, 则 f(x+y,x-y)= 。

[解析]：f(x+y ,x-y)= ((x+y)2-(x-y)2)-sin 2(x+y)(x-y) (x+y)2+(x-y)2 = 4xy-sin 2(x 2-y 2)(x 2+y 2)3. 设f(x,y)= ⎩⎪⎨⎪⎧xy x 2+y 2 当x 2+y 2≠00 当x 2+y 2=0，则 f x '(0,0)= 。

[解析]： f 'x (x 0,y 0)= lim ∆x →0f(∆x+x 0,y 0)-f(x 0,y 0)∆x , f x '(0,0)= lim ∆x →0f(∆x,0)-f(0,0)∆x = lim ∆x →00-0∆x =0 4. 设z=f[x,g(x,y)], y=φ(x)，f, g, φ 均为可微函数，则dzdx = 。

[解析]：根据复合函数求导数规则，dzdx = f '1 +f '2 (g 'x +g 'y •φ')5. 已知 xlny+ylnz+zlnx = 1，则∂z ∂x •∂x ∂y •∂y∂z= 。

[解析]：根据隐函数求导数规则，∂z ∂x •∂x ∂y •∂y ∂z = (- F 'x F 'z )•(- F 'y F 'x )•(- F 'zF 'y ) = -16. 设z=f (arctan y x )，f 为可微函数，且f '(x)=x 2, 则 ∂z∂x |(1,1) = 。

第8章多元函数微分法及其应用习题 8- (1)

(1)
f ( x, y , z ) =
(2)
解
f ( x, y, z ) = x3 + y 3 + z 3 + xyz .
(1)
f (tx, ty, tz ) =
(tx)3 + (ty )3 + (tz )3 t 3 ( x3 + y 3 + z 3 ) = (tx)(ty )(tz ) t 3 ( xyz )
(3) (4)
解
{( x, y ) 1 ≤ x 2 + y 2 < 5} ; {( x, y ) ( x − 1)2 + y 2 ≥ 1} ∩ {( x, y ) ( x − 2) 2 + y 2 ≤ 4} . (1) 集合是开集, 无界集; 导集为 R 2 , 边界为 {( x, y ) x = 0 或 y = 0} .
V=
(2)
由题意,
π 2 h(l − h 2 ). 3
1 1 1 ( x) 2 + ( y ) 2 + ( z ) 2 = 1 , 2 2 2
z 2 = 4 − x2 − y 2 , 即 z = 4 − x2 − y 2 ,
故
V = xyz = xy 4 − x 2 − y 2 .
(3)
所以因为
x2 y 2 z 2 + + = 1, a 2 b2 c2
x2 y 2 x4 = lim =1, 2 2 2 x →0 x →0 x 4 x y x y + ( − ) y = x →0 lim lim x2 y2 x4 x2 = lim = lim =0, x 2 y 2 + ( x − y ) 2 x →0 x 4 + 4 x 2 x →0 x 2 + 4

(完整版)多元函数微分学复习题及答案精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题 1. 极限= （提示：令22y k x =）（ B ）(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于(D) 存在且不等于0或2、设函数，则极限= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设，则= （ B ）(A)(B)(C)(D)6、设，则（ A ）（A ）（B ）（C ）（D ）7、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若，则= （ D ） (A) (B)(C)(D)9、设，则（ A ）(A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1 10、设，则（ D ）(A) (B)(C) (D)11、曲线在点处的法平面方程是（C ） (A) (B)(C)(D)12、曲线在点处的切线方程是（A ）(A) 842204x z y --=-=(B) (C) (D)13、曲面在点处的切平面方程为（D ）（A ）（B ）（C ）（D ）14、曲面在点处的法线方程为（A ）（A ）（B ）（C ）（D ）15、设函数，则点是函数的（ B ）（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点 16、设函数具有二阶连续偏导数，在处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点是函数的极大值点（B ）点是函数的极小值点（C ）点非函数的极值点（D ）条件不够，无法判定17、函数在222421x y z ++=条件下的极大值是（ C ）(A) (B) (C) (D)二、填空题 1、极限= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：2、极限=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：3、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：4、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：，5、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：6、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-）7、设，要使处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：8、设，要使在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：19、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线及11、设，则_________ .答：3cos5 12、设，则= _________ .答：1 13、设，则=_________ .答：14、设，则在极坐标系下，= _________ .答：015、设，则= _________.答：16、设，则= ___________ .答：17、函数由所确定，则= ___________ .答：18、设函数由方程所确定，则= _______ .答：19、由方程所确定的函数在点（1，0，－1）处的全微分= _________ .答：20、曲线在点处的切线方程是_________.答：21、曲线在对应于点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x22、曲面在点处的法线方程为_________ .答：eze y x 22212=-+=- 23、曲面在点处的切平面方程是_________.答：24、设函数由方程确定，则函数的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数在点处取得极值，则常数_________，_________.答：0，426、函数在条件下的极大值是_______答：三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.4 2、求极限 .解：= 43、求极限 .解：原式=4、求极限 .解：= -85、设，求.解：6、设，求.解：7、设函数由所确定，试求（其中）.解一：原式两边对求导得，则同理可得：解二：xy xz F F y z xy yz F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数的极值.解：由，得驻点074334>=--==yyyxxy xx z z z z D，函数在点处取极小值.9、设，而，求.解：=-++(sin )3432t t e x y10、设，求.解：11、设，求.解：，，12、求函数的全微分.解：四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为米.水池底部的单位造价为. 则水池造价且令由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明：因为2)11(1x e x z y x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+- 2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx ekn xy k tkn sin 2222--=∂∂, 所以22xy k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。

经济数学(多元函数的微分法及其应用习题及答案)

第八章多元函数的微分法及其应用习题 8－11. 指出下列平面位置的特殊性质：（1）23200x y -+= （2）320x -=（3）470y z -= （4）0x y z ++= 解（1）因为方程中缺变量z , 所以该平面平行于z 轴.（2）因为方程中缺变量y 、z , 所以该平面平行于yz 平面即垂直于x 轴.（3）因为方程中缺变量x 且不含常数项, 所以该平面平行于x 轴且经过原点（0，0，0）. （4）因为方程中缺常数, 所以该平面通过原点（0，0，0）.2. 求下列轨迹的方程：（1）与点(3,0,2)-的距离为4个单位的点的轨迹;（2）与两定点)0,0,(c P 和)0,0,(c Q -的距离之和等于2(0)a a >的点的轨迹; （3）与z 轴和点(1,3,1)-等距离的点之轨迹;（4）与yz 平面的距离为4，且与点)1,2,5(-的距离为3的点之轨迹.。

解设动点为),,(z y x M ，则（1）点(,,)M x y z 与点(3,0,2)-的距离为4 整理得动点),,(z y x M 的轨迹为2226430x y z x z ++-+-=.（2）动点),,(z y x M 与两定点)0,0,(c P 和)0,0,(c Q -的距离之和等于a 2，即2a整理得动点),,(z y x M 的轨迹为2222222222()()0a c x a y a z a a c -++--=.(3) 动点),,(z y x M 与z 轴和点)1,3,1(-等距离为整理得动点),,(z y x M 的轨迹为2262110z x y z --++=.(4) 由动点),,(z y x M 与yz 平面的距离为4，得4||=x ，由动点),,(z y x M 与点)1,2,5(-的距离为3, 得3=故),,(z y x M 点的轨迹为⎩⎨⎧=++-=8)1()2(422z y x . 3. 求下列各曲面的方程：(1) 中心在点)2,3,1(--且通过点)1,1,1(-的球面方程;(2) 过点)1,1,2(-而在x 轴和y 轴上的截距分别为2和1的平面方程; (3) 平行于xz 平面并过点（2，-5，3）的平面方程;(4) 一动点与点)0,0,1(的距离是与平面4=x 的距离之一半，求该动点之方程.解（1）设),,(z y x 为所求球面上的任意一点且球面半径为R ，则 2222(1)(3)(2)x y z R ++++-=将点)1,1,1(-代入上式，得3=R . 故所求球面方程为 9)2()3()1(222=-++++z y x .（2）设所求的平面方程为0=+++D Cz By Ax （*）将点)0,0,2(,)0,1,0(,)1,1,2(-代入上式，得20020A D B D A B C D +=⎧⎪+=⎨⎪+-+=⎩解得0.5,,A D B D C D =-=-=-. 代入方程（*）整理得平面方程为2220x y z ++-=.（3）设所求平面方程为0By D += （**）将点)3,5,2(-代入上式，得B D 5=.代入方程（**）整理得平面方程为 50y +=.(4) (4) 设动点为),,(z y x ，则0.5|4|x =-22234412x y z ++=.4.作出下列方程之图形：（1）01=-+-z y x （2）03=-z y（3）02=x （4）12=y（5）1222=++z y x （6）022=-y x（7）223049y x z +-= （8）22149y x +=解（1）（2）(图8－1) (图8－2)（3）（4）4）(图8－3) (图8－4)（5）（6）(图8－5) (图8－6)（7）（8）习题 8－21. 已知y xxy y x y x f tan),(22-+=，求),(ty tx f .解2222(,)()()tantx f tx ty t x t y tx ty ty =+-2222(tan )(,)xt x y xy t f x y y =+-=.2.已知vu wwu w v u f ++=),,(，求),,(xy y x y x f -+.解 ),,(xy y x y x f -+=yx y x xy xy y x -++++)()(=xxy xy y x 2)()(++.3. 已知2332),(y xy x y x f +-=，求),(xy y x f .解 32(()x x f y y =-+333x xyy =-+.4*.设)(y x f y z --=且1=y 时x z =，试求)(x f 和z .解由1=y 时x z =，得 )1(1--=x f x令1-=x t ，则)(1)1(2t f t -=+，即22()1(1)2f t t t t =-+=--所以 2()(2)f x x x =-+222)[))] 22 )).z f y y y x y yy y ==---=+-=+-5 .（1）2ln(21)z y x =-+ （2）z =+（3）ln(1)z x y =-- （4）z =解（1）当2210y x -+>时, 函数有意义, 故函数的定义域(如图8－9所示)为2{(,)|210}D x y y x =-+>.（2）当0,0x y x y +>->时, 函数有意义,故函数的定义域(如图8－10所示)为图8－9 {(,)|00}D x y x y x y =+>->且（3）当240x y -≥和0122>--y x 且2211x y --≠时, 函数有意义, 故函数的定义域(如图8－11所示)为222{(,)|401}D x y y x x y =≤<+<，（4）当0,0y x ≥，即0,0x y ≥≥且2x y ≥时, 函数有意义, 故函数的定义域(如图8－12所示)为图8－10|),{(y x D =0≥x ，0≥y ，y x ≥2}.图8－11图8－126. 求下列各极限：(,)limy x y →（1）22(,)(0,1)1limx y xyx y →-+ （2）（3）(,)limx y → （4）(,)(2,0)sin limx y xyy →解（1）)1,0(),(lim→y x 221y x xy +-=1.（2）)0,1(),(lim→y x 22)ln(y x e x y ++=2ln . （3）)0,0(),(lim→y x 11-+xy xy=)0,0(),(lim →y x xy xy xy )11(++=2.(4) )0,2(),(lim→y x y xy sin =)0,2(),(lim→y x xy xyx sin =2.7. 证明下列极限不存在：（1）)0,0(),(lim →y x y x yx -+ （2）)0,0(),(lim →y x 222)(y x y x - 证（1）因为当点(,)x y 沿直线x y 2=趋向)0,0(点，得020lim →=→x y x y x yx -+=0lim→x x x x x 22-+=3- 当点(,)x y 沿直线y x 2=趋向)0,0(点，得020limy x y x y x y →=→+-=0lim →y yy3=3所以 )0,0(),(lim→y x y x yx -+不存在.（2）因为当点(,)x y 沿直线kx y =)1(≠k 趋向)0,0(点，得00lim→=→kx y x 222)(y x y x -=00lim →=→kx y x 222)()(kx x kx x -=0lim →x 22)1()(k kx -=0当点(,)x y 沿曲线x x y +=2趋向)0,0(点，得x x y x +=→20l i m222)(y x y x -=x x y x +=→20lim 22222)()(x x x x x x --+=0lim →x 2)1(x +=1所以)0,0(),(lim →y x 222)(y x y x -不存在. 8. 求下列函数的不连续点：（1）221y x z +=（2）y x xy z +=（3）xy z 1sin = 解（1）因为在)0,0(点处, 函数无意义, 所以函数不连续点为)0,0(.（2）因为当0x y +=时, 函数无意义, 所以函数不连续点为直线0x y +=上的一切点.（3）因为当00x y ==或时, 函数无意义, 所以函数不连续点为坐标轴上的一切点. 9.求函数(,)ln(1)f x y x y =--的定义域及1(,)(,0)2lim (,)x y f x y →.解要使该函数有意义，则恒有22222401011x y x y x y ⎧-≥⎪⎪-->⎨⎪--≠⎪⎩成立, 则函数的定义域为222{(,)|4001}D x y x y x y =-≥<+<，又因为函数),(y x f 是初等函数且在1(,0)2点处有定义, 所以函数),(y x f 在点1(,0)2处连续.故1(,)(,0)21lim(,)(,0)2x y f x y f →==.习题 8－31. 求下列函数的偏导数：（1）33xy y x z -= （2）)ln(xy z =（3）)(cos )arcsin(2xy xy z += （4）yxy z )1(+=解（1）23323, 3z z x y y x xy x y ∂∂=-=-∂∂.（2）z x x ∂∂==∂∂同理z y ∂=∂（3）sin(2)z y xy x ∂=-∂同理sin(2)z x xy y ∂-∂.（4） 21(1)y zy xy x -∂=+∂设在已知函数两端取对数，有 l n l n (1)z y x y =+ 两边对y 求导，得11ln(1)1z xy y x z y xy ∂⋅=++⋅⋅∂+故 =∂∂y zyxy )1(+]1)1[ln(xy xy xy +++. 2.设ln x y y u x y x -=+，验证0u ux y x y ∂∂+=∂∂.证因为221ln ()y y x y u x x x x y x y -∂=-⋅∂++221ln ()y x y u x y x y x y x y -∂=-+⋅∂++所以0u u xy x y ∂∂+=∂∂.3.设)11(yx ez +-=，验证+∂∂x z x 2z y z y 22=∂∂.证因为 1111()()22, x y x y z z e x e y x y -+-+--∂∂==∂∂所以+∂∂xz x 2=∂∂y z y 2)11(y x e +-+)11(y x e +-=)11(2y x e +-z 2=. 4. 设=),(y x f y xy x arcsin)1(-+，求'(,1)x f x .解因为=),('y x fx 11y +=所以 '(,1)1x f x =.5.设=),(y x f 22y x y x +-+，求)4,3('x f . 解因为'(,)x f x y ==-所以'2(3,4)5x f =. 6.求下列函数的二阶偏导：（1）x yz arctan= （2）xy z =解（1）22221()1()y y z y xx x y x ∂=⋅-=-∂++22211()1()z x y y x x y x ∂=⋅=∂++22222222222()2()()y y xy z x x x x y x y x y -∂∂=-=-⋅=∂∂+++22222222()()xy z xy y x y x y ∂∂==-∂∂++22222222()()y x z xx y y x y x y -∂∂==∂∂∂++.（2） ''1ln , x x x y z y y z xy -== ''2''2(ln ), (1)x x xx yy z y y z x x y -==-=''xy z 1-x xy y ln +y y x1= 1-x y )1ln (+y x .7. 设=),,(z y x f z x yz xy 222++，求)1,0,0('x f ,)0,1,0('y f , ''(0,0,1)x x f ,''(1,0,2)x z f ,''(0,1,0)y z f -和'''(2,0,1)z z x f .解因为'2'2'22,2,2x y zf y x z fx yzf y z x=+=+=+'''''''''''2,2,2,2,0xx xz yz zz zzx f z f x f z f y f ===== 所以 ''''(0,0,1)0,(0,1,0)0,(0,0,1)2x y x x f f f === '''''''(1,0,2)2,(0,1,0)0,(2,0,1)x z y z z z xf f f=-==. 8. 设)ln(xy x z =，求32z x y ∂∂∂与32zx y ∂∂∂.解因为 1l n ()l n ()1z x y x y x y x x y ∂=+⋅⋅=+∂22211(ln 1)11(ln 1)z xy y x xy xx z xy x x y yxy y ∂∂=+=⋅=∂∂∂∂=+=⋅=∂∂∂ 所以 3322210,z z x yx y y ∂∂==-∂∂∂∂. 9. 验证2sin kn ty e nx -=满足22x yk t y ∂∂=∂∂. 证因为=∂∂t y2222sin ()sin kn t kn t e nx kn kn e nx ---=- 22222cos , sin kn t kn t y y ne nx n e nxx x --∂∂==-∂∂=∂∂22xy k 22sin kn t kn e nx --=t y∂∂ 所以22x y k t y ∂∂=∂∂. 10. 设),(y x u 有一阶连续偏导数，且x x u=∂∂, 2(,)(,)|1x x u x y =, 求y u ∂∂.解由x x u =∂∂，两边对x 积分，得21(,)()2u x y x g y =+?? 由 2(,)(,)|1x x u x y =，得 =),(2x x u 1)(2122=+x g x即=)(2x g 2211x - 于是 ),(y x u =+221x y211-故 12u y∂=-∂. 11. 设33222222,0(,)0, 0x y x y f x y x yx y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩，求)0,0('xf )0,0('y f . 解由在一点的偏导数定义，得'00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x f x f xf x x ∆→∆→+∆-∆===∆∆'00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 1y y y f y f yf y y ∆→∆→+∆--∆===-∆∆. 12 .设1()()y z f xy xf y x =+，f 具有连续二阶偏导数，求''x y z .解设,y u xy v x ==, 则1()()z f u xf v y =+于是'''21()()()()x u v y z f u y f v xf v y x =⋅⋅++⋅-''()()()u v y f u f v f v x =+=-故''''''''111()()()()xy y z f u x f v f v f v x x x x =+⋅-⋅-⋅⋅''''2()()y yf xy x f x x =⋅-⋅.习题 8－41. 求下列函数的全微分：（1）xz xy y =+（2）y x e z 2-= （3）z （4）y z u x =（5）2ln()z x xy = （6）221z x y =- 解（1）因为 21, z z x y x xy y y ∂∂=+=-∂∂ 所以 21d ()d ()d xz y x x yy y =++-.（2）因为 =∂∂x z yx e 2-，=∂∂y z y x e 22--所以 222d d 2d (d 2d ).x yx y x y z ex e y e x y ---=-=- （3）因为223222()y xy zx x y x y ∂=-=-∂++23222()z x y x y ∂==∂+ 所以233222222d d d ()()xy x z x yx y x y =-+++3222(d d ).()x y x x y x y =--+（4）因为=∂∂x u 1y z yzx -， =∂∂y u ln y z zx x ， =∂∂zu ln y z yx x 所以 1d d ln d ln d y z y z y z u yzxx zx x y yx x z -=++. （5）因为 22l n ()2l n ()y zx x y x x x y x x x y ∂=+=+∂22z x x x y xy y ∂=⋅=∂ 所以 2d [2ln()]d d x z x xy x x yy =++.（6）因为 22222222, ()()y z x zxy x y x y ∂∂=-=∂∂--所以22222222d d d ()()y x z x yx y x y =-+--2222(d d ).()x x y y x y =---2 .求函数)1ln(22y x z ++=在1,2x y ==的全微分.解因为 2221z x x x y ∂=∂++， 2221y zy x y ∂=∂++所以 1213x y z x==∂=∂， 1223x y z y==∂=∂故1212d d d 33x y z x y ===+.3. 求函数x yz =, 当2,1x y ==、0.1x ∆=、0.2y ∆=-的全增量z ∆和全微分d z . 解因为 x y x x y y z -∆+∆+=∆， 21d y z x y x x =-∆+∆所以, 当2,2x y ==、0.1x ∆=、0.2y ∆=-时1(0.2)10.11920.12z +-∆=-=-+ 11d 0.1(0.2)0.12542z =-⨯+⨯-=-.*4. 已知(cos )d (sin )d ay by x x x x y +++是函数(,)u x y 的全微分，求,a b 及(,)u x y .解因为 d u =(c o s )d a y b y x x +(s i n )d x x y ++所以 x by ay u x cos '+=， ='y u x x sin +则 =''xy u x b a cos +， =''yx u x c o s 1+ 而''xy u 与''yx u 均为连续函数，则必有≡+x b a cos x cos 1+ 解得 1,1==b a .故 ),(y x u =d ux x ∂∂⎰=(cos )d y y x x +⎰=c x y xy ++sin （c 为任意常数）.5.在例3的条件下, 求产品B 的边际成本,并阐明其经济意义.解因为 30.010.04Cx y y ∂=++∂所以 (100,50)30.011000.04506Cy ∂=+⨯+⨯=∂其经济意义为：当产品A 的产量x = 100不变时, 产品B 的产量在y = 50的基础上, 再增加一个单位, 成本C 将增加6个单位.6.已知某商品的需求量Q 是该商品的价格p 1、另一相关商品的价格p 2及消费者收入y的函数, 且325852121200Q p p y--=，试求需求量分别关于自身价格p 1、、相关价格p 2及消费者收入y 的弹性, 并阐明其经济意义.解1112511852121133()20088p p p Q p p y Q p Q η--∂=⋅=⋅⋅-=-∂375228522122122()20055p p p Q p p y Q p Q η--∂=⋅=⋅⋅-=-∂32385212155()20022y y Q y p p y Q y Q η--∂=⋅=⋅⋅=∂其经济意义分别为：在相关商品的价格p 2及消费者收入y 不变时, 该商品的价格p 1上涨(或下降)1%,需求量下降(或上升)37.5%; 在某商品的价格p 1及消费者收入y 不变时, 相关商品的价格p 2上涨(或下降)1%,需求量下降(或上升)40%; 在某商品的价格p 1及相关商品的价格p 2不变时, 消费者收入y 上涨(或下降)1%, 需求量上升 (或下降)250%.7*. 在边长为6,8x m y m ==的矩形中，若x 增加5cm ，y 减少10cm ，试求该矩形的对角线和面积变化的近似值.解设对角线长为l ，面积为s ，则有22y x l +=， xy s = 于是d )z z l l x y x x y y x y ∂∂∆≈=∆+∆=∆+∆∂∂d ()s s y x x y ∆≈=∆+∆当6,8,0.05,0.1x m y m x m y m ==∆=∆=-时，有680.05(0.1)0.051010l m ∆≈⨯+-=-280.056(0.01)0.2s m ∆≈⨯+⨯-=- .8*. 设有一无盖圆柱形容器, 其壁与底厚均为0.1cm, 内高为20cm, 内半径为4cm, 求该容器外壳体积的近似值.解设容器的内半径为r ,高为h ,体积为V , 则圆柱体的体积为 2V r h π=因为圆柱形容器的外壳就是圆柱体积的增量V ∆，所以2d 2V V rh r r h ππ∆≈=∆+∆ 于是当4,20,0.1r h r h ==∆=∆=,时, 有2324200.140.155.3()V cm πππ∆≈⨯⨯⨯⨯+⨯⨯≈.故该容器外壳体积大约为355.3().cm π9*. 求下列各式的近似值：(2) 1.05(1.07)(ln 20.693)=(3) 00sin 29tan 46解 (1)设(,)f x y =2f x ∂=∂，2f y ∂=∂于是(,)f x x y y +∆+∆f fx yx y ∂∂≈+∆+∆∂∂22=+当1,2,x y x ==∆=时, 有(1.02,1.97)f =2 2.95≈=.(2) 设(,)f x y =yx ，则'1y x f yx -=， 'ln y yf x x =于是 (,)f x x y y +∆+∆()y y x x +∆=+∆≈y x ''x y f x f y +∆+∆=yx 1ln y y yx x x x y -+∆+∆当1,1,0.07,0.05x y x y ==∆=∆=时, 有(1.07,1.05)10.07 1.07f =+=. (3) 设(,)f x y =sin tan x y ，则'cos tan x f x y =，'2sin sec y f x y = 于是00sin 29tan 46sin()tan()61804180ππππ=-+ 当,,,64180180x y x y ππππ==∆=-∆=时, 有00''(29,46)(,)(,)(,)646464x y f f f x f y ππππππ=+∆+∆2sintancostan()sinsec646418064180ππππππππ=+-+ = 0.50235.10*. 设222232222,0(,)()0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎩ 求证：(,)f x y 在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微分.证设cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩, 则43(,)(0,0)cos sin lim (,)lim0(0,0)x y r r f x y f r θθ→→===故(,)f x y 在点(0,0)处连续. 而'0(0,0)(0,0)(0,0)limx x f x f f x →+-==同理 '(0,0)0y f =故(,)f x y 在点(0,0)处偏导数存在.由函数可微的定义和性质可知：f 可微的充要条件是''()x y f f x f y o ρ∆-∆-∆=其中ρ=而''0(0,0)(0,0)limx y f f x f yρρ→∆-∆-∆''0(,)(0,0)(0,0)(0,0)limx y f x y f f x f yρρ→∆∆--∆-∆=2222222222000()limlim[][()]x x y y k x x y x k x x y x k x ∆→∆→∆→∆=∆→∆∆∆∆==∆+∆∆+∆222lim0(0)(1)x y k x k k k ∆→∆=∆→=≠≠+故(,)f x y 在点(0,0)处不可微.习题 8－51. 设2ln ,32x z u v u v x y y ===-而求,.z z x y ∂∂∂∂ 解 212l n 3z z u z v u u v x u x v x y v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂22223ln(32)(32)x x x y yx y y =⋅-+- 222ln ()(2)z z u z v x u u v y u y v y v y ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅-+⋅-∂∂∂∂∂223222ln(32)(32)x x x y y x y y =-⋅---. 2.设2x yz e -=,而sin x t =, 3y t =,求d z .解因为 3sin 2t t z e-=所以 3sin 23d d(sin 2)t tz et t -=- 32sin 2(cos 6)d t t t t et -=-.3. 设arctan()z xy =,而xy e =, 求d d zx .解d d d d d d d d y y z z z x z z x y x x x x y x ∂∂∂∂=⋅+⋅=+⋅∂∂∂∂22222222111(1).11xx x x xy x e x y x y x e xe e x yx e=+⋅++++==++4.设2()1ax e y z u a -=+, 而sin ,cos y a x z x ==, 求d d u x . 解 d d d d d d d d u u x u y u z x x x y x z x ∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂=222()cos (sin )111ax ax ax ae y z e e a x x a a a -=+⋅-⋅-+++=22(sin cos cos sin )1axe a x a x a x x a -+++=sin axe x .5.设arctanxz y =,而x u v =+,y u v =-,求证：z z u v ∂∂+=∂∂22u v u v -+.证因为''22222221()()11x y xy x x xy y u y uy y x z ux x y x yy ∂∂-⋅+⋅∂∂-∂===∂+++''22222221()(1)()()11x y xy x x xy y v y vyy x z vx x y x y y ∂∂+-⋅-⋅+⋅∂∂+∂===∂+++所以 2222222y xy x y z zu v y xy x y x -+∂∂+=+=∂∂+++ 22222()()()u v u v u v u v u v --==++-+.6. 设f 具有一阶连续偏导数, 求下列函数的一阶偏导数： (1)222()u f x y z =++ (2) 22(,)xyu f x y e =-(3) (,)x y u f y z = (4) (,,)u f x xy xyz = 解 (1)'''2',2',,2'.x y z u xf u yf u zf === (2) ''22'''1212()()2xy xy x u f x y f e xf ye f x x ∂∂=⋅-+⋅=+∂∂ ''22'''1212()()2.xy xy y u f x y f e yf xe f y y ∂∂=⋅-+⋅=-+∂∂'''11'''''12122'''2221(3)()1()() ().x y z x u f f x y y x x x u f f f f y y y y z yyy u f f z z z∂==∂∂∂=+=-+∂∂∂==-∂, ,.'''''''123123'''''2323'''33(4)1 .x y z u f f y f yz f yf yzf u f x f xz xf xzf u f xy xyf =⋅+⋅+⋅=++=⋅+⋅=+=⋅= .7. 设f 具有二阶连续偏导数, 求下列函数的二阶偏导数：(1)(,)z f xy y = (2) (,)xz f x y =解 (1) '''11(),x z f xy yf x ∂=⋅=∂'''''1212d ()()d y y z f xy f xy xf f y y ∂=⋅+⋅=+∂ '''''2''11111()()xx z yf yf xy y f x x ∂∂==⋅=∂∂''''''''111112'''''11112d ()[()]d xy y z yf f y f xy f y x yf xyf yf ∂∂==+⋅+⋅∂∂=++''''12''''''''11122122''''''''''''2''211122122111222()d d [()][()]d d 2.yy z xf f yy y x f xy f f xy f y y y y x f xf xf f x f xf f ∂=+∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂=+++=++(2)'''''1212d 1()d x x x z f f f f x x y y ∂=⋅+⋅=+∂, '''222()y x x z f f y y y ∂=⋅=-∂ ''''12''''''''11122122''''''''''''''11122122111222221[]d 1d ()[()]d d 11121 .xx z f f x yx x x x f f f f x x y y x x y f f f f f f f y y y y y ∂=+∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂=+++=++ ''''12'''''''''2111221222'''''21222222'''''212222231[]11 ()()[()()]11 ()1xy z f f y yx x f x f f f x f y y y y y y y y x x f f f y y yy x xf f f y y y ∂=+∂∂∂∂∂=⋅+⋅-+⋅+⋅∂∂∂∂=--+-=---''''''''2221222322''''''222222322342()[()()]22 ().yyx x x x z f f f x f y y y y y y y x x x x x f f f f y y y y y ∂∂∂=-=⋅-⋅+⋅∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅8 .设()z xy xF u =+,而()F u 为可导函数且yu x =, 求证：z z x y z xy x y ∂∂+=+∂∂.证因为 ''2()()()u u y y zy F u x F y F u F xx x ∂=++⋅-⋅=+-∂''1u u z x x F x F y x ∂=+⋅⋅=+∂ 所以''()u u z zxy xy x F u y F xy y F x y ∂∂+=+⋅-⋅++⋅∂∂=2().xy xF u z xy =+=+9. 设2()3y z xy x ϕ=+, 验证：220z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂.证因为 2''22, 33y yz z y x x y x x ϕϕ∂∂=-+⋅=+⋅∂∂所以 2222''222()()33y y z z x xy y x y xy x yx y x x ϕϕ∂∂⋅-+=⋅-+-⋅++∂∂22'22'2233y x y y x y y ϕϕ=-+--+=10. 设sin()(,)xz xy x y ϕ=+,(,)u v ϕ有二阶偏导数, 求''xy z .解'''121cos()()x z y xy y ϕϕ=++⋅'''''''2122222211cos()sin()()()x y x xz xy xy xy y yy y ϕϕϕ=-+⋅--⋅+⋅-'''''222122231cos()sin().x x xy xy xy y y y ϕϕϕ=--⋅-⋅-⋅11. 设(,)()y xz f xy y x ϕ=+,且f 与ϕ具有二阶连续偏导数, 求''xy z .解 ''''1221x y z yf f y x ϕ=+⋅-⋅'''''''''''11211212222''2222'''''''''12112223321()()111 "11 .xy x x z f y f x f f x f y y yyf x y x xy x f xy f f f y y x x ϕϕϕϕ=+⋅-+⋅---⋅⋅-=+⋅-⋅-⋅-⋅-⋅习题 8－61 .设下列方程所确定的函数为()y f x =,求d d yx .(1)ln 0xy y -= (2)2sin 0x y e xy +-= (3)ln ln 0xy x y ++=解 (1)设(,)ln F x y xy y =-, 则'x F y =,'1y F x y =-故'2'd .1d 1x yF yyy x xy F x y =-=-=--(2) 设2(,)sin xF x y y e xy =+-, 则'2',cos 2x x y F e y F y xy =-=-故'22'd d cos 2cos 2x xx yF y e y y e x y xy y xy F --=-=-=--.(3) 设(,)ln ln F x y xy x y =++, 则''11, x y F y F x x y =+=+故 ''1d .1d x yy F y y x x x F x y +=-=-=-+2. 对下列隐函数, 求,,z z x x y y ∂∂∂∂∂∂及d z .(1)20x y z ++-= (2)0ze xyz -= (3)lnx z zy = 解 (1)设(,)2F x y x y z =++-, 则'121x F =-='222y F =-=-'zF=1-于是''x z F zx F∂=-=∂''y z F zy F ∂=-=∂''y x F xy F ∂=-=∂ 故d d d z z z x yx y ∂∂=+∂∂(2) 设(,)zF x y e xyz =-, 则'x F yz =-, 'y F xz =-, 'z F =z e xy -于是 ''x zz F z yz xF e xy ∂=-=∂- ''y z z F z xz y F e xy ∂=-=∂-''y x F x xz y yz F ∂=-=-∂ 故(d d )d d d zz z z y x x y z x y x y e xy ∂∂+=+=∂∂-. (3) 设(,)ln x zF x y z y =-, 则'''2111, , x y z x F F F z y z z===--, 于是 ''x z F z z xx z F ∂=-=∂+, '2'()y z F z z y y x z F ∂=-=∂+ ''y xF x z y y F ∂=-=-∂ 故 2d d d ()z z z x yx z y x z =+++.3 .设333z xyz a -=, 求2z x y ∂∂∂.解设33(,,)3F x y z z xyz a =--, 则'''23,3,33x y z F yz F xz F z xy =-=-=-于是 ''22333x z F yz yz zxF z xy z xy -∂=-=-=∂-- ''22333y z F z xz xz y F z xy z xy ∂-=-=-=∂--故 22()()z z yzx y y x y z xy ∂∂∂∂==∂∂∂∂∂-222()()(2)()z zz y z xy yz z x y yz xy ∂∂+---∂∂=-2222222()()()()xyz xz z z xy yz x z xyz xyz xy +-----=-422223(2)()z z xyz x y z xy --=-.4.设0x e xyz -=, 求22zx ∂∂.解设(,,)xF x y z e xyz =-, 则 'x x F e yz =-, 'y F xz =-, 'z F =xy -于是 z x ∂∂=''x z F F -=x e yz xy ---=xe yzxy - 故 222()()()()x x ze yxy e yz y zz xx xxxy ∂---∂∂∂∂==∂∂∂22()()(2)2()x xx x e yze y xy e yz yxyx e yzxy x y-----+==.5.设2sin(23)23x y z x y z +-=+-, 求证：1z z x y ∂∂+=∂∂. 证设(,,)2sin(23)23F x y z x y z x y z =+---+, 则'2cos(23)1x F x y z =+--, '4cos(23)2y F x y z =+--'6cos(23)3z F x y z =-+-+于是''2cos(23)116cos(23)33x z F x y z zx x y z F +--∂=-=-=∂-+-+ ''4cos(23)226cos(23)33y zF x y z zy x y z F +--∂=-=-=∂-+-+ 故 1z z x y ∂∂+=∂∂.6 .设(,)x x y z =, (,)y y x z =, (,)z z x y =,都是由方程(,,)0F x y z =所确定的具有连续偏导数的函数, 求证：1y x zy z x ∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.证因为 ''y x F x y F ∂=-∂, ''z y F y z F ∂=-∂,''x z F z x F ∂=-∂ 所以''''''()()()1y x z x y zF F F y x zy z x F F F ∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=-∂∂∂.7. 设(,)u v ϕ具有连续偏导数,证明由方程(,)0cx az cy bz ϕ--=所确定的函数(,)z f x y =满足 z z a b cx y ∂∂+=∂∂.证设(,,)(,)F x y z cx az cy bz ϕ=--, 则''1x F c ϕ=, ''2y F c ϕ=, '''12z F a b ϕϕ=--于是 z x ∂∂=''1'''12x z F c F a b ϕϕϕ-=---='1''12c a b ϕϕϕ+zy ∂∂=''y z F F -='2''12c a b ϕϕϕ---='2''12c a b ϕϕϕ+ 故 ''12''''1212c c z za b a b c x y a b a b ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=+=∂∂++.习题 8－71.在点(1,2)-的邻域内, 根据泰勒公式, 展开函数22(,)2635f x y x xy y x y =----+解因为''(1,2) 5 , 46, 23x y f f x y f x y -==--=--- ''''''4, 1, 2xx xy yy f f f ==-=-则(,)f x y 的3阶及3阶以上的各偏导数均为0, 且''(1,2)0 , (1,2)0x y f f -=-= 故函数(,)f x y 在点(1,2)-的邻域内的泰勒公式为(,)[1(1),2(2)]f x y f x y =+--++''2''''2''2222(1,2)(1)(1,2)(2)(1,2)1[(1)(1,2)2(1)(2)(1,2)2!(2)(1,2)]15[4(1)2(1)(2)2(2)]2!52(1)(1)(2)(2).x y xx xy yy f x f y f x f x y f y f x x y y x x y y =-+--++-+--+-+-++-=+---+-+=+---+-+2 .当自变量从5,6x y ==,变到115,6x h y k =+=+时,求函数32(,)639184f x y x y xy x y =+--++的增量.解因为 (5,6)(5,6f f h k f ∆=++- 23639, 2618f f x y y x x y ∂∂=--=-+∂∂22232236, 6, 2, 6ff f fx x y x y x ∂∂∂∂==-==∂∂∂∂∂3332230, 0, 0f f fx y x y y ∂∂∂===∂∂∂∂∂则(,)f x y 的4阶及4阶以上的各阶偏导数均为0, 且225556660,8,30x x x y y y fff xyx======∂∂∂===∂∂∂故223110(8)[302(6)2]62!3!f h k h hk k h∆=⋅+-+⋅+-++⋅223156h hk k h=-++.3.设||x与||y均很小,求coscosxy的准确到二次项的近似表达式. 解设cos(,)cosxf x yy=, 则22sin cos,cos cosf fx xx y yx∂∂=-=-∂∂22cos sin1cos()(sin)cos cosf x yx yy y y∂=-⋅-=∂222sin sin1sin()(sin)cos cosf x yx yx y y y∂=--⋅-=-∂∂222423cos cos sin2cos(sin)coscoscos(cos2sin)cosf y y y y yxy yx y yy∂-⋅-=⋅∂+=于是()(0,0)(0,0)(0,0)0f fx y f x yx y x y∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂2()(0,0)x y fx y∂∂+∂∂222222222(0,0)(0,0)(0,0)2f f fx xy yx yx yy x∂∂∂=++∂∂∂∂=-故2(,)(0,0)()(0,0)()(0,0)f x y f x y f x y fx y x y∂∂∂∂≈++++∂∂∂∂2222110()12!2y xy x-=++-=+.4. 按1x-和2yπ-的正整数幂, 展开函数(,)sinf x y xy=, 到二次项为止. 解因为c o s,c o sf fy xy x xyx y∂∂==∂∂2222222sin,cos sin,sinf f fy xy xy xy xy x xyx yx y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂于是[(1)()](1,)22x y fx yππ∂∂-+-∂∂(1,)(1,)22(1)()02f fx yx yπππ∂∂=-+-=∂∂2[(1)()](1,)22x y f x y ππ∂∂-+-∂∂2222(1,)(1,)22(1)2(1)()2f f x x y x y x πππ∂∂=-+--∂∂∂ 222(1,)2()2f y y ππ∂+-∂ 222(1)2(1)()()()(1)4222x x y y ππππ=--+---+--故将(,)sin f x y xy =在(1,)2π处展开成含有2次幂的泰勒多项式为2222(,)(1,)[(1)()](1,)2221 [(1)()](1,)2!221 1[(1)(1)()()]2422f x y f x y f x y x y f x y x x y y πππππππππ∂∂=+-+-∂∂∂∂+-+-∂∂=+------- 22211 1(1)(1)()().82222x x y y ππππ=-------5.按x 和y 的乘幂展开函数(,)ln(1)xf x y e y =+到三次项为止.解因为l n (1), 1x xf f e e y x y y ∂∂=+=∂∂+ 222222ln(1), , 1(1)x x xff f e e e y x y y x y y ∂∂∂=+==-∂∂+∂∂+3333222ln(1), , 1(1)x x xf f f e e e y y x x y x y y ∂∂∂=+==-+∂∂∂∂∂+3332(1)xf e y y ∂=∂+于是 (0,0)(0,0)[](0,0)f f x y f x y y x y x y ∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂ 2222222223333332233223223[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0) 22[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0) 33 332x y f x yf f f x xy y xy y x y x yxy f x y f f f f xx yxyyxx yx yy x y xy y ∂∂+∂∂∂∂∂=++=-∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂=-+故 2223311(,)(2)(332)()2!3!f x y y xy y x y xy y R θ=+-+-++(01)θ<<.综合习题八1.选择题:(1) 设(,)ln ,(,)ln ln ,f x y xy g x y x y ==+则(,)f x y ( )(,).g x y ① > ② < ③ = ④ ≠ (2) 设00(,)(,)f x y x y 在点的偏导数存在，则00(,)( ).x f x y '=① 00000(,)(,)limx f x x y y f x y x ∆→+∆+∆-∆② 00000(,)(,)limx f x x y f x y x ∆→+∆-∆③ 0000(,)(,)limx x f x y f x y x x →--④ 00000(,)(,)limx x f x y f x y x x →--(3) 设0000(,)(,)0,x y f x y f x y ''==则( ).① 00(,)x y 为极值点 ② 00(,)x y 为驻点 ③ (,)f x y 在00(,)x y 有定义 ④ 00(,)x y 为连续点(4) 在空间中,下列方程( )为球面, ( )为抛物面, ( )为柱面.① 2425x y z -+= ② 2221444y x z ++=③ 2y x = ④ 221x y +=⑤ 2z y = ⑥ 22222x y y x z ++=-(5) 设(,)f x y 在00(,)x y 处偏导数存在,则(,)f x y 在该点( ).① 极限存在 ② 连续③ 可微 ④ 以上结论均不成立解 (1) ④; (2) ②④; (3) ②③; (4) ②⑥、①③⑤、④; (5) ④.2．设(,)f x y 的定义域为1,1,x y <<试求(,)xf x y y 的定义域并在xy 平面上画出该定义域的图形.解因(,)f x y 的定义域为11x y <<且所以(,)x f x y y 中的,x y 必须满足||1||1xy xy ⎧<⎪⎨⎪<⎩则函数(,)xf x y y 的定义域为(,)11,11xD x y xy y ⎧⎫=-<<-<<⎨⎬⎩⎭且D 在xy 平面上的图形如图8－13. 图8－133．计算下列极限：222(,)(0,0)22(,)(0,1)ln(2)(1) lim 1cos sin cos (2) limx y x y x y x y e y xyxy xy x x y x +→→+-+-解 222222(,)(0,0)(,)(0,0)2ln(2)ln(2)(1)lim lim 11cos ()2x y x y x y x y x y e y x y e y xyxy ++→→++=-2(,)(0,0)lim2ln(2)2ln 2.xyx y e y +→=+=22(,)(0,1)2(,)(0,1)(,)(0,1)(,)(0,1)(,)(0,1)sin cos (2) limsin lim lim cos lim sin lim 1 2.x y x y x y x y x y xy xy x x y xxyy x xy xxyy xy →→→→→+-=+-=⋅+= 4.已知()(),()()0,(,x y x f z y g z x f z y g z z z x y ''=++≠=且x y 是和的函数.求证:())(()).z zx g z y f z x y ∂∂-=-∂∂(证 (,,)()(),F x y z xy xf z yg z =--令则(), (), ()()x y z F y f z F x g z F xf z yg z '''''=-=-=--于是 ()()()()()()x z F y f z y f z zxF xf z yg z xf z yg z '--∂=-=-='''''∂--+ ()()()()()()y z F x g z x g z z yF xf z yg z xf z yg z '--∂=-=-='''''∂--+ 故()[()][()]()()y f z zx g z x g z x xf z yg z -∂-=-''∂+ ()[()]()()[()].x g z y f z xf z yg z zy f z y -=-''+∂=-∂ 125. ,)0F x z y z F F z ''+++-≠设（可微且，求方程 2221,)()22F x z y z x y z ++-++=（(,)d .z z x y z =所确定的函数的微分解 2221(,,),)()2,2G x y z F x z y z x y z =++-++-令（则。

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5、已知函数 z f (sin x, y 2 ) ，其中 f (u, v) 有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
6、设
z
xf
(x2,
xy)
其中
f
(u, v)
的二阶偏导数存在，求
z y
、
2z yx
。
7、设 z f (2x 3y, xy) 其中 f 具有二阶连续偏导数，求 2 z 。 xy
z x
三、计算题
1、设 z f (x2 , x ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。
y
x xy
2、已知 z ln x x2 y 2 ，求 z ， 2 z 。 x xy
3、求函数 z tan x 的全微分。 y
4、设 z f (x y, xy) ，且具有二阶连续的偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
x1 （
y0
)
A、-1
B、 0
C、 1
D、 2
8、函数 z ( x y)2 ，则 dz x1, y0 =（
）
A、 2dx 2dy B、 2dx 2dy
C、 2dx 2dy D、 2dx 2dy
二、填空题
1、函数 z x y 的全微分 dz 2、设 u e xy sin x ，则 u
y
xy
17、设 z f (x2 y, y2 x) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求 2 z 。 xy
18、设
z
z(x,
y)
是由方程
z
ln
z
xy
0
确定的二元函数，求
2z x2
19、设 z yf ( y2, xy) ,其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 2z 。 xy
20、设
z
xf
( y,
第八章多元函数微分学练习题
班级
学号
姓名
一、单项选择题
1、设 u(x, y) arctan x 、 v(x, y) ln x 2 y 2 ，则下列等式成立的是（） y
A、
u x
v y
B、 u v x x
C、
u y
v x
D、
u y
v y
2、设 u(x, y) arctan x ， v(x, y) ln x 2 y 2 ，则下列等式成立的是（） y
A、
u x
v y
B、 u v x x
C、
u y
v x
D、
u y
v y
3、函数 z ln y 在点（2，2）处的全微分 dz 为（） x
A、 1 dx 1 dy B、 1 dx 1 dy
22
22
C、 1 dx 1 dy 22
D、 1 dx 1 dy 22
4、设 z
f
(x,
y)
为由方程
z3
3yz
3x
8
所确定的函数，则
z y
x0 y0
(
)
A、 1 2
B、 1 2
C、 2
D、 2
5、设 z ln(2x) 3 在点 (1,1) 处的全微分为 (
)
y
A、 dx 3dy
B、 dx 3dy
C、 1 dx 3dy 2
6、设 y f
x2
，其中
f
具有二阶导数，则
d2y dx2
（Байду номын сангаас
x 3、设 z x ，则全微分 dz
y 4、设函数 z z (x, y) 由方程 xz2 yz 1所确定，则 z ＝
x
5、设函数 z ln x2 4 y ，则 dz x1 y0
6、函数 z arctan y 的全微分 dz= x
7、设
z
z(x,
y)
是由方程
z2
xyz
1所确定的函数，则
xf
( y ，y) x
，其中函数
f
具有二阶连续偏导数，求
2z xy
。
12、设函数 z f (x, xy) (x2 y2 ) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数具有二阶连续导数，求 2 z 。 xy
13、设函数 z z(x, y) 由方程 z3 3xy 3z 1所确定，求 z x
其中
f
为可导函数，证明：
x
z x
z
z y
y
。
，
z y
及
dz
。
14、设 z f ( x2，e2x3 y ), ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 2 z 。 yx
15、设 z f (sin x, x2 y 2 ), 其中函数 f 具有二阶连续偏导数,
求 2z 。 xy
16、设 z f ( x ,(x)), 其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 2 z 。
x) y
，其中函数
f
具有一连续偏数，求全微分 dz
四、综合题 1、设函数 z f (x, xy) (x2 y2 ) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数具有二阶连续导数，求 2 z 。
xy
2、设 z z(x, y) 是由方程 y z xf ( y 2 z 2 ) 所确定的函数，
8、设函数 z
f (x
y, y ) ，其中 x
f (x) 具有二阶连续偏导数，求 2 z 。 xy
9、设函数 z f (sin x, xy) ，其中 f (x) 具有二阶连续偏导数，求 2 z 。 xy
10、设 z
y2
f
(xy, ex ) ，其中函数
f
具有二阶连续偏导数，求
2z xy
。
11、设 z
）
D、 1 dx 3dy 2
A、 2 xf ( x2 ) 2 f ( x2 )
B、 4 x2 f ( x2 ) 2 f ( x2 )
C、 4 xf ( x2 ) 2 f ( x2 )
D、 4x2 f (x2 )
7、已知函数 z z(x, y) 由方程 z3 3xyz x3 2 0 所确定,则 z x