分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理实例引入1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天里火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

共有3＋2＝5种不同的走法．分类计数原理

完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办

法中有m 2种不同的方法……在第n 类办法中有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有

N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的办法．

对于分类计数原理，注意以下几点：

⑴从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理；

⑵分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准

火车汽车1

火车2

火车3

1

乙地甲地

下进行分类；⑶完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法．2. 从甲地到乙地，先乘火车到丙地，再乘汽车到乙地．一天中从甲地到丙地火车有3班，从丙地到乙地汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

共有3×2＝6种不同的走法．

分步计数原理

完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有

m 2种不同的方法……做第n 步有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的办法．

对于分步计数原理，注意以下几点：

⑴分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成；分步计数原理又叫乘法原理．

⑵分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；

⑶分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成 n 个步骤后这件事才

乙地

甲地火车1火车2火车3汽车1汽车2丙地

算完成．

两个原理的相同之处：

⑴目的相同：都要“做一件事并完成它”

⑵所问相同：即问“共有几种不同方法”

两个原理的不同之处：

分类计数用于分类，各类间独立、互斥．各类中任何一种方法都能够独立完成这件事．

分步计数原理用于分步，步步相扣，缺一不可，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．

例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第三层放有

2本不同的体育书．

⑴从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

⑵从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

解：⑴N＝m1＋m2＋m3＝4＋3＋2＝9． (分类计数原理)

⑵N＝m1×m2×m3＝4×3×2＝24．(分步计数原理)

课堂练习

1．填空：

⑴一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是有 9种．

(分类计数原理) 5＋4=9

⑵从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C 村，不同走法的种数是 6种．

(分步计数原理) 3×2=6

2．现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名．

⑴从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

⑵从三个年级的学生中各选1人参加外宾的活动，有多少种不同的选法？

(1) 3＋5＋4=12 (分类计数原理)

⑵ 3×5×4=60 (分步计数原理)

例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9这10个数字，这4个拨号盘可以

组成多少个四位数字号码？

3．一城市的某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位数字

是统一的，后四位数字都是0到9之间的一个数字，那么不同的电话号码最多有多少个？

例3 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？

4．从5位同学中产生1名组长、1名副组长，有多少种不同的选法？

课堂小结

1. 分类计数原理；

2. 分步计数原理.

课后作业

《习案》三十六.