第2章自动控制数学模型

如果r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零，则根据拉氏变 换的定义和性质,对微分方程进行拉氏变换, 可得
[a0sna1sn 1 an 1san]C (s) [b0smb1sm 1 bm 1sbm ]R (s)
由传递函数的定义可得系统的多项式形式的传递函数为
2020/9/23G (s) C R ( (s s) ) b a 0 0 s s m n b a 1 1 s sm n 1 1 b a m n 1 1 s s a b m n
系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量 之间关系的数学表达式。常用的动态数学模型有微分方程、传 递函数及动态结构图。
系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。 解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定 律，列写出变量间的数学表达式，从而建立数学模型。 本章仅讨论解析法，关于实验法将在后面的章节进行介绍。
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令 T 1 R 1 C 1 ,T 2 R 2 C 2 ,T 3 R 1 C 2则上式可改写为：
T 1 T 2d d 2u 2ct(T 1T 2T 3)d dcu tucur
若撇开具体系统的物理属性，令r(t)为输入，c(t)为输出。 线性n阶系统的输入输出微分方程式的一般表达式可写为
a0dd nc(ntt)a1dd n1n c t(1t)a2dd n2nc t(2t) an1dd(c t)tanc(t) b0dd mrm (tt)b1dd m 1 m rt(1t)b2dd m2 m rt(2t) bm1dd(rt)tbmr(t)
式中 a 0 ， a 1 ， a 2 a n 。 b 0 ， b 1 ， b 2 b m 均为由系统结构参数决定的 常系数，且有n≥m。
2) MATLAB拉氏反变换指令：ilaplace(Fs,s,t) 例2.3的MATLAB求解程序： syms s,t;ilaplace(1/[s*(s+3)*(s+1)^2]) 计算结果与手算结果完全一样。
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例2.4 F(s)含有共轭复极点时的反变换。
s1 F(s)s(s2 s1)
拉氏变换将原来的时间函数f(t)转化为复变量函数F(s)。 通常 将F(s)称作f(t)的象函数, 将f(t)称作F(s)的原函数。
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2. 1) 根据定义积分计算，各典型函数的拉氏变换见下表。
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1(t )
t
t2 /2
eat
te a t
sint
cost
eat sint
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2.1.3 非线性数学模型的线性化
在建立控制系统的数学模型时，常常遇到非线性的问题。严格 地讲，实际的物理系统都包含着不同程度的非线性因素。但是， 许多非线性系统在一定的条件下可以近似地视作线性系统。
若控制系统在工作点的附近微小运动，则可将非线性函数展开 为泰勒级数，并忽略级数展开式中的高次项，从而得到只含一次 项的线性化方程。即用工作点的切线代替非线性曲线。
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2.1.1线性系统的微分方程模型
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可 以用一个微分方程表示。微分方程的阶数一般是指方程中最高 导数项的阶数, 又称为系统的阶数。
如图机械系统，由牛顿定理得到以下关系：
FFk Ff mdd2t2y
Fk
ky;Ff
f
dy dt
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对于一般的非线性系统，假设其输入量为r，输出量为c，
并 设 在 给 定 工 作 点 处 c0=f(r 0)， 各 阶 导 数 均 存 在 ， 则 可 在
的邻域展开泰勒级数，即
2c 02 0/9/f23(r ) f(r 0 ) d d (r ) f r r r 0(r r 0 ) 2 1 ！ d 2 d f2 (r ) r r r 0(r r 0 )2
1
s
1 s2
1 s3 1
sa 1
(s a)2
s2 2 s
s2 2
(s a)2 2
2)MATLAB计算 syms s t ;Ft=1-sin(t) Fs=laplace(Ft,t,s) 执行结果：Fs=1/s-1/(s^2+1)
3. 拉氏反变换 已知时间函数的象函数通过拉氏反变换求出其时间函数：
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例2.2 图示为一个单摆系统,输入量M为零(不加外力矩), 输出量为摆幅θ(t)。摆锤的质量为m, 摆杆长度为l, 空气阻 尼系数为μ,重力加速度为g。试建立系统的近似线性运动方程。
解 对于图示的单摆系统,根据牛顿运动定律可以直接推出 如下系统运动方程:
md dl22tμld dtmsgiln0
解：s 2 s 1 (s 0 .5 j0 .8)6 s( 0 6 .5 j0 .8)66
F (s)c s1sc 2 2 s sc 3 11 s(s s0 .5 0 ).2 5 0 0 ..8 52 66
f ( t ) L 1 F ( s ) 1 e 0 . 5 t c 0 . 8 o t 0 . 5 6 e s 0 . 5 t s 7 6 0 . 8 i t 8 ( t n 6 0 )
显然方程是一个二阶的非线性微分方
程(因为含有sinθ), 但是在摆幅较
小的情况下, 将其线性化处理：
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令非线性函数sin(θ)=f，则工作点在θ0=0，f0=0。线性化：
kdsdin0co0s)(1
ff0k(0)
f
即单摆系统的近似线性化动态方程为：
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mddl22tμlddtmgl0
n
snF(s) snkf(k1)(0) k1
如果初始条件
f( 0 ) f'( 0 ) f( n 1 ) ( 0 ) 0
成立, 则有
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L[f(n)(t)]snF(s)
3) 终值定理
函数 f(t) 在 t →+∞时的函数值(即稳定值)可以通过 f(t) 的拉氏变换F(s)乘以 s 取 s→0 时的极限而得到, 即
当(r－r 0)，很小时，可以忽略上式中二阶以上各项，得
cf(r)f(r0)dd(fr)rrr0(rr0)
或
c c c 0 K (r r 0 ) K r
在处理非线性问题时，应注意以下几点： 1．线性化是在输入、输出量围绕平衡点作小范围变化的假 设下进行的。一般取零误差状态作为平衡工作状态。 2．线性化以切线代替曲线，是一种近似处理。系统的实际 变化量如果很大，则采用小偏差线性模型将会带来较大的计 算误差。 3.对于某些严重的典型非线性，不能进行求导运算，因此 原则上不能用小偏差法进行线性化
d2y
dy
m f kyF
d2 t
dt
如图RLC网络，由电路定律可得:
uruRuLuC0
di u RR;iu LLd;t
icdcu dt
LC d2uc d2t
RC ddcutuc
ur
不同的物理系统可能得到相似的数学表达式。如果它们对应
的系数和初始条件相同，则它们的解将完全相同。这样就可以
撇开系统的具体物理属性，研究这些系统的运动过程的共同规
总之，建立合理的数学模型，是至关重要的问题。许多系统， 事件及项目就是因为无法建立合理的数学模型而不能加以预测 和控制。
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2.1.2 列写微分方程的一般方法
用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是： 1．根据实际工作情况，将系统划分为多个独立的环节，
标出各环节的输入、输出变量。各环节之间无负载效应。 2．从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各环节所
§ 2.2 传 递 函 数
传递函数是对微分方程取拉氏变换后推导出来的概念。
2.2.1 拉氏变换
1.
将时间函数f(t)乘上指数函数e-st(其中s=σ+jω是一个复数),
并且在［0,+∞］上对t积分, 称为f(t)的拉氏变换,并用L[f(t)］
表示。
F (s)L [f(t) ] f(t)esd t t 0
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f(t)L1[F(s)]
1) 部分分式法 将F(s)展开成多个典型函数的象函数之代数和，查表。 例2.3 F(s)含单极点和重极点时的拉氏反变换。
解: F (s) s(s 3 ) 1 s( 1 )2 c s 1 sc 2 3 (s c 3 1 )2 s c 4 1
c1[F(s)s]s01/3
L [ f 1 ( t ) f 2 ( t ) L [ ] f 1 ( t ) L [ ] f 2 ( t ) F 1 ] ( s ) F 2 ( s ) 函数放大k倍的拉氏变换等于该函数拉氏变换的k倍, 即
L[k(ft)]kF (s)
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2) 微分定理
Ld(n d )fn(tt)snF(s)sn1f(0)sn2f(0) s(fn2)(0)f(n1)(0)
遵循的物理定律，列写的动态方程，一般为微分方程组。 3．消去中间变量，写出系统输入、输出变量的微分方程。 4．标准化。即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输
出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。最后将系数归 化为具有一定物理意义的形式。
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例2.1 列写如图所示RC滤波电路的微分方程。（假设电路的 输入电源的内阻为零，输出接的负载具有无限大阻抗）
用MATLAB求解：
syms s t;ft=ilaplace((s+1)/[s*(s^2+s+1)]);
pretty(ft) %将符号表达式写成易读形式 f t1e2 tco3s t1e2 tsin 3t (t0 ) 23 2
与20手20/9算/23 结果一样
4. 拉氏变换的基本定理 1) 线性定理 两个函数和的拉氏变换, 等于每个函数拉氏变换的和, 即