一元二次方程基础测试题及答案详解

《一元二次方程》基础测试

一 选择题（每小题3分，共24分）：

1．方程（m 2－1）x 2＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ）

（A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±1

2．方程（3x ＋1）（x －1）＝（4x －1）（x －1）的解是………………………………………（ ）

（A ）x 1＝1，x 2＝0 （B ）x 1＝1，x 2＝2 （C ）x 1＝2，x 2＝－1 （D ）无解

3．方程x x -=+65的解是……………………………………………………………（ ）

（A ）x 1＝6，x 2＝－1 （B ）x ＝－6 （C ）x ＝－1 （D ）x 1＝2，x 2＝3

4．若关于x 的方程2x 2－ax ＋a －2＝0有两个相等的实根，则a 的值是………………（ ）

（A ）－4 （B ）4 （C ）4或－4 （D ）2

5．如果关于x 的方程x 2－2x －2k ＝0没有实数根，那么k 的最大整数值是…………（ ）

（A ）－3 （B ）－2 （C ）－1 （D ）0

6．以

213+ 和 2

13- 为根的一个一元二次方程是………………………………（ ） （A ）02132=+-x x （B ）02

132=++x x （C ）0132=+-x x （D ）02132=-+x x 7．4x 2－5在实数范围内作因式分解，结果正确的是……………………………………（ ） （A ）（2x ＋5）（2x －5） （B ）（4x ＋5）（4x －5） （C ）)5)(5(-+x x （D ）)52)(52(-+x x

8．已知关于x 的方程x 2－（a 2－2a －15）x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值

是………………………………………………………………………………………（ ）

（A ）5 （B ）－3 （C ）5或－3 （D ）1

答案：

１． Ｃ；２．Ｂ；３．Ｃ；４．Ｂ；５．Ｂ；６．Ａ；７．Ｄ；８．Ｂ．

二 填空题（每空2分，共12分）：

1．方程x 2－2＝0的解是x ＝ ；

2．若分式2

652-+-x x x 的值是零，则x ＝ ； 3．已知方程 3x 2 － 5x －41＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ ， x 1·x 2＝ ；

4．关于x 方程（k －1）x 2－4x ＋5＝0有两个不相等的实数根，则k ；

5．一个正的两位数，个位数字比十位数大2，个位数字与十位数的积是24，则这个两位数是 ． 答案：

１．±2；２．3；３．35，12

1-；４．k ＜59且k ≠1；５．46．

三 解下列方程或方程组（第１、２小题８分，第３小题９分，共25分）：

1．03232=

+-x x ； 解：用公式法．

因为

1=a ，23-=b ，3=c ， 所以

6314)23(422=⨯⨯--=-ac b ，

所以

2623126)23(1+=⨯+--=

x ， 2

623126)23(2-=⨯---=x ；

2．75

10101522=--+--x x x x ； 解：用换元法． 设1

52--=x x y ，原方程可化为 710=+y

y ， 也就是

01072=+-y y ，

解这个方程，有

0)2)(5(=--y y ，

51=y ，22=y ． 由1

521--=x x y ＝5得方程 052=-x x ，

解得

01=x ，52=x ； 由1

522--=x x y ＝2得方程 0322=--x x ，

解得

13-=x ，34=x ．

经检验，01

=x ，52=x ，13-=x ，34=x 都是原方程的解．

３．.

5

201222⎩⎨⎧=+=--+y x xy y x 解：由52=+y x 得y x 25-=，

代入方程 01222=--+xy y x ，得

01)25(2)25(22=---+-y y y y ，

081032=+-y y ，

0)2)(43(=--y y ，

3

41=y ，22=y ． 把 341=y 代入y x 25-=，得3

71=x ； 把 22=y 代入y x 25-=，得12=x ．

所以方程组的解为 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==343711y x ，⎩⎨⎧==2122y x ．

四 列方程解应题（本题每小题8分，共16分）：

１．某油库的储油罐有甲、乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用4小时，

两管同时开放3小时后，甲管因发生故障停止注油，乙管继续注油9小时后注满油罐，求甲、乙两管单独开放注满油罐时各需多少小时

略解：设甲、乙两管单独开放注满油罐时各需x 小时和y 小时，

依题意，有

⎪⎩⎪⎨⎧=++=-19334y x x y ， 解得 ⎩⎨⎧==16

12y x 所以，甲管单独开放注满油罐需12小时，乙管单独开放注满油罐需16小时．

２．甲、乙二人分别从相距20千米的A 、B 两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙

的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B 地后乙还需30分钟才能到达A 地，求乙每小时走多少千米．

略解：用图形分析：

A 地 相遇地

B 地

依题意，相遇地为中点，设乙的速度为v 千米／时，

根据“甲、乙走10千米所用时间的差为半小时”列式，有

1102110+=-v v ， 解得

v ＝4（千米∕时）．

五 （本题11分）

已知关于x 的方程（m ＋2）x 2－035=-+m mx .

（1）求证方程有实数根；

（2）若方程有两个实数根，且两根平方和等于3，求m 的值．

略解：（1）当m ＝－2时，是一元一次方程，有一个实根；

当m ≠ －2时，⊿＝（m ＋2）2＋20＞0，方程有两个不等实根；

综合上述，m 为任意实数时，方程均有实数根；

（2）设两根为p ，q .

依题意，有p 2＋q 2＝3，也就是

（p ＋q ）2－2pq ＝3，

有因为p ＋q ＝

m 5，pq ＝3-m ，

所以 3232)25(

2=+-⨯-+m m m m ， 22)2(3)2)(3(25+=+--m m m m ，

1212122+=+m m ，

010=m ，

0=m ．

六 （本题12分）

已知关于x 的方程式x 2＝（2m ＋2）x －（m 2＋4m －3）中的m 为不小于0的整数，并且它的两实根的符号相反，求m 的值，并解方程．

提示：

由m ≥0和⊿＞0，解出m 的整数值是0或1，

当m ＝0时，求出方程的两根，x 1＝3，x 2＝－1，符合题意；

当m ＝1时，方程的两根积x 1x 2＝m 2＋4m －3＝2＞0，两根同号，不符合题意，

所以，舍去；

所以m ＝0时，解为x 1＝3，x 2＝－1．