解析几何_第3章 常见的曲面

顶点 x
z
准线
0
y
x y z 2 2 0 2 a b c
椭圆锥面
2
2
2
请同学们自己用截痕法 研究其形状.
如何建立锥面方程

F1 ( x, y, z ) 0 已知锥面准线 l1 : F2 ( x, y, z ) 0

已知锥面顶点 x0 , y0 , z0
如果M 1 ( x1 , y1 , z1 ) l1，则 F1 ( x1 , y1 , z1 ) 0 (1) F2 ( x2 , y2 , z 2 ) 0 (2) xx y y0 z z0 母线方程： 0 t x1 x0 y1 y0 z1 z0 令x1 , y1 , z1 , 代入(1)(2)，联立方程求解 t 将t代回含有t的柱面方程，即所求方 程
y x
（3）yOz 面上抛物线
y 2 pz 绕 z 轴；
2
x 2 y 2 2 pz
z
旋转抛物面
z
x
o
y
p0
x
o
y
几种 特殊旋转曲面

1 双叶旋转曲面 2 单叶旋转曲面 3 旋转锥面 4 旋转抛物面 5 环面
1 双叶旋转双曲面
x
x y 双曲线 a b z
解
yoz 面上直线方程为 z y cot

z x 2 y 2 cot 圆锥面方程
或
o
y
z a x y
2 2 2

2

x
§3.3 旋转曲面
定义3.3.1 以一条曲线绕其一条定直线旋 转一周所产生的曲面称为旋转曲面或称回旋 曲面. 这条定直线叫旋转曲面的旋转轴． 这条曲线叫旋转曲面的母线．
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
y
d
x y | y1 |
2 2 2
x
2
将 z z1 , y1 x y 代入 f ( y1 , z1 ) 0
得方程
f x 2 y 2 , z 0,


方程
f
x y , z 0,
例2

已知圆柱面的轴
x y 1 z 1 1 2 2
和圆柱面上一点（1，-2，1），求圆柱面方程 解法一：由准线和母线求圆柱面方程 解法二：根据圆柱面的特殊性质求方程
空间曲线的射影柱面

空间曲线
F ( x, y, z ) 0 L: G( x, y, z ) 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu

如何求射影柱面？
z 绕 z轴
P M N (0, y1 , z1 )
.
旋转一周得旋转曲面 S
M(x,y,z) S
f (y1, z1)=0
z1 z
| y1 | MP
x y
2 2
S
z
z1
C
o
y1
y
.
x
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
P M
z
N (0, y1 , z1 )

消去z，得F(x,y)=0，即对xOy坐标面射影的射影柱面 。。。。
F1 ( x, y) 0 如何求射影曲线 L : z 0

如何利用空间曲线的射影柱面来表达空间曲线？

任两个射影柱面组成的方程组即为原空间曲线
§3.2 锥面
定义3.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一 族直线所产生的曲面叫做锥面. 这些直线都叫做锥面的母线. 那个定点叫做锥面的顶点. 锥面的方程是一个三元方程.
2 2

yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y,
x z 0.
2 2

例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
特别当顶点在坐标原点时：
若 方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次方程： F (tx, ty, tz ) t n F ( x, y, z ).
n次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面；
反之，以原 点为顶点的锥面 的方程是n次齐次 方程 F(x,y,z)= 0.
锥面是直纹面 锥面的准线不 唯一，和一切母线 都相交的每一条曲 线都可以作为它的 准线.
z
.
o
y
x
4 旋转抛物面
y 2 az 抛物线 x 0 绕 z 轴一周
z
得旋转抛物面
x2 y2 z a
.
.
o 生活中见过这个曲面吗？
y
x
例 卫星接收装置
.
5环面
圆 x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 （ y
o
r
R
x
例1

已知圆锥的准线方程 顶点在原点
x2 y2 l1 : a 2 b 2 1 z c

如果M 1 ( x1 , y1 , z1 ) l1，则 x1 y1 z1 1
2 2 2 2 2 2
(1)
2 x2 2 y2 z2 2 (2) x y z 母线方程 t x1 y1 z1 令x1 , y1 , z1 , 代入(1)(2)，联立方程求解 t 将t代回含有t的柱面方程，即所求方 程
.
0
y
.
2 单叶旋转双曲面
x2 y2 2 2 1 b 上题双曲线 a z 0
y
绕 y 轴一周 o
a
x
2 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2 2 2 1 b a z 0
y
绕 y 轴一周
o
.
a
x
z
2 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2 2 2 1 b a z 0
x y z 2 1 2 a c
2 2 2
旋转单叶双曲面
z
y
o
x
o
x
y z 2 1 2 （2）yOz 面上椭圆 a c
绕 y 轴和 z 轴；
2
2
z
绕 y 轴旋转
y
2
旋 转 椭 球 面
y x z 1 2 2 a c
2 2
x z
绕 z 轴旋转
x y z 2 1 2 a c
2 2 2
.
M(x,y,z) S
f f (y11,, z11)=0 z )=0
z1 z
| y1 | MP
.
S
2
z
z1
C
x y
2
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y 2 , z ) 0.
x
建立旋转曲面的方程：
z
如图
设 M ( x , y, z ),
o
(1) z z1
（2）点 M 到 z 轴的距离
5环面
圆 x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 （ y
o
x
.
z
5环面
圆 x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 （ y
o
y
.
3 旋转锥面
x
两条相交直线
x2 y2 2 2 =0 a b z = 0
z
绕 x 轴一周
o
.
得旋转锥面
y
x2 y2 z2 0 2 2 a b
.
4 旋转抛物面
y 2 az 抛物线 x 0 绕 z 轴一周
z
o
y
4 旋转抛物面
y 2 az 抛物线 x 0 绕 z 轴一周
（其他类推） 从柱面方程看柱面的特征： 实 例
y2 z2 2 1 2 b c
2 2
椭圆柱面， 母线// x 轴
x y 2 1 双曲柱面 ， 母线// z 轴 a2 b 抛物柱面， 母线// y 轴 x 2 2 pz
1. 椭圆柱面
2. 双曲柱面
x y 2 1 2 a b
z
2
2
例1

已知准线方程
x2 y2 z 2 1 l1 : 2 2 2 2 x 2 y z 2

母线方向 s 1,0,1
如果M 1 ( x1 , y1 , z1 ) l1，则 x1 y1 z1 1
2 2 2 2 2 2
(1)
2 x2 2 y2 z2 2 (2) x x1 y y1 z z1 t 1 0 1 令x1 x t , y1 y, z1 z t , 代入(1)(2)，联立方程求解 t 将t代回含有t的柱面方程，即所求方 程
空间解析几何
第3章 常见的曲面
2013-7-24
本章主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9 柱面 锥面 旋转曲面 曲线与曲面的参数方程 椭球面 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 二次直纹面 作图
五种典型的 二次曲面
§3.1 柱面
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 如果曲面 S 与三元方程F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
（1） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
定义3.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线叫 柱面的准线， 动直线叫柱面 的母线. 观察柱面的形 成过程:
x y 2 2 1 a b
z
2
2
o
O
y
y
x
x
如何建立柱面方程

已知准线方程
F1 ( x, y, z ) 0 l1 : F2 ( x, y, z ) 0

母线方向 s X , Y , Z
如果M 1 ( x1 , y1 , z1 ) l1，则 F1 ( x1 , y1 , z1 ) 0 (1) F2 ( x2 , y2 , z 2 ) 0 (2) x x1 y y1 z z1 t X Y Z 令x1 x Xt, y1 y Yt, z1 z Zt , 代入(1)(2)，联立方程求解 t 将t代回含有t的柱面方程，即所求方 程
如何建立旋转曲面方程？ 已知轴和母线
轴：方向和线上一点P0
母线：方程
旋转曲面方程满足（3.3.1）
2013-7-24
f ( y, z ) 0 曲线 C 绕 z轴 x 0
z
C
o
y
f ( y, z ) 0 曲线 C 绕z轴 x 0
z
.
C
o
y
x
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
x z （1）xOz 面上双曲线 2 2 1 分别绕 x 轴和 z 轴； a c
x x
绕 x 轴旋转
2
2
x2 y2 z2 1 2 2 a c
旋转双叶双曲面
y
o
z y
o
z
x z （1）xOz 面上双曲线 2 2 1 分别绕 x 轴和 z 轴； a c
绕 z 轴旋转
z y
2
2
母线
准 线
柱面举例：
z
M ( x, y, z ) M1 ( x, y,0)

z
x 2y
2
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面
x
y x
平面方程：
抛物柱面方程：
x 2y
2
y x
只含 x, y 而缺 z 的方程F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上曲线 C :F ( x , y ) 0 .
例2

已知圆锥面的顶点为(1,2,3) 轴垂直于平面2x+2y-z+1=0 母线与轴成30度角 求圆锥面方程
解法一：由准线和顶点求圆锥面方程 解法二：根据圆锥面的特殊性质求方程
例 1 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面 0 叫圆锥面的 的顶点，两直线的夹角 2 半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为 的圆锥面方程． z
y
绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面
.
.
o
x2 z2 y2 2 1 2 a b
z
a
x
.
3 旋转锥面
x
两条相交直线
x2 y2 2 2 =0 a b z = 0
绕 x 轴一周
o
y
3 旋转锥面
x
两条相交直线
x2 y2 2 2 =0 a b z = 0
z
绕 x 轴一周
绕 x 轴一周
0
y
1 双叶旋转双曲面
x y 双曲线 a b z
x
绕 x 轴一周
z
.
0
y
1 双叶旋转双曲面
x
x y 双曲线 a b z
绕 x 轴一周
得双叶旋转双曲面
z
x2 y2 z2 1 2 2 a b