1.2矩阵的运算

0
0
1 2
1 5 12
3 2
2 3
5
.
4
矩阵的运算
定义：设 A 为 n 阶方阵，如果满足 A AT , 即
aij aji i, j 1, 2, , n
1 4
例
1 2 2
A
4
5
8
,
AT
2
5 ;
2 8
B 18 6 ,
BT
18 6
.
若A是m行n列的矩阵，则AT 是n行m列的矩阵.
矩阵的运算
转置矩阵的运算性质
(1) ( AT )T A; (2) ( A B)T AT BT ;
(3) (l A)T l AT ; (4) ( AB)T BT AT .
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn bmn
说明： (1) 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
(2) 矩阵的加法可推广至有限个同型矩阵相加.
矩阵的运算
矩阵加法的运算规律
l
amn
矩阵的运算
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R
结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵，l , 是数 (l)A l( A)
(l )A l A A l(A B) l A lB
并把此乘积记作 C = AB．
注意 Ams Bsn Cmn
矩阵的运算
注意 (1) 只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.
(2) 乘积矩阵C的行数＝左矩阵的行数，乘积 矩阵C的列数＝右矩阵的列数.
例2
2 4 2 4
C
1
2
22
3
6
1
2
22
16
8
32 ?16
AB=BA
( AB)k Ak Bk ( A B)2 A2 2AB B2 ( A B)( A B) A2 B2
A、B可交换时成立
矩阵的运算
例4
设
A
=
1 1
1 1
，求A3 .
.
解
A3
=
1 1
1 3 1
1
=
1
1 1
1
1
1 1
1
1
1 1
2 2 1 1 4 4
a, b, c R
设 A、B、C 是同型矩阵
交 换 abba 律
A B B A
结 合 (a b) c a (b c) 律
(A B) C A (B C)
设矩阵 A = (aij) ，记－A = (－aij)，称为矩阵 A 的负矩阵．
显然 其
A ( A) 0,
他
A B A (B)
纯量阵不同
Em Amn Amn En A
于对角阵
推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 lE 与任何
同阶方阵都是可交换的.
矩阵的运算
四、方阵的幂与方阵多项式
定义 若 A 是 n 阶方阵，定义
Ak AA…A
k个
显然 Ak Al Akl , (Ak )l Akl
思考：下列等式在什么时候成立？
1 1
0 0
1 0
0
1
=
1 1
1 1
1 1 =A.
这说明：单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1.
矩阵的运算
例
2
A
3
4
2
6
22
,
B
1
4
2
22
计算AB,
BA.
解
AB
0
0
0
0
22
16 32
BA
8
16
22
对于两个方阵和，若 AB = B,则A称方阵和是可交换的.
由上例看出： 1. 矩阵乘法不满足交换律. 2. 矩阵 A O, B，却O有 ，AB O
矩阵的运算
例1
A
1 1
1 1
,
B
2 1
-1
0
,
C
1
3
2 1.
计算 A B+C, B C A，2A B.
矩阵的运算
二、数与矩阵相乘
定义：数 l 与矩阵 A 的乘积记作 l A 或 A l ，规定为
la11
l
A
Al
l a21
l
am1
l a12 l a22
lam1
la1n
la2n
=
2
2
1
1
=
4
4
定义：设 p(x) an xn an1xn1为一元 a次1x多项a0式，则称
an An an1 An1 a1 A a0 E
为方阵的多项式，记为 p( A).
矩阵的运算
五、矩阵的转置
定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作AT .
矩阵的运算
例10 已知
1 2 1
1
A
1
0 3
2
2
,
B
3
2
1 0
1 , 1
求 ABT .
解法1
1 2 1
1
AB
1
0 3
2 2
3 2
1 0
1
1
5 2 3
12
5
4
,
5 12
ABT
2
5
.
3 4
矩阵的运算
解法2
ABT BT AT
1 3 = 2 1
1 1
2 1
矩阵的运算
第一章
第二节 矩阵的运算
一、 矩阵的运算 二、 方阵的幂与方阵多项式 三、 矩阵的转置 四、 矩阵的分块
矩阵的运算
本节的教学要求
• 掌握矩阵的加法、乘法、数乘等运算
• 熟悉转置矩阵、对称矩阵、增广矩阵等概念，
熟悉线性方程组的表示形式 • 了解矩阵的分块
重点
矩阵的运算
一、矩阵的加法
定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A＋B，规定为
6 -3
2 2
而
1 3 5
2 2 8
3 1 9
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 6
6 0
8 1
不存在.
矩阵的运算
例设
1 0 0
1
A
1
1 1
1
1
1 ,
E2
0
0 1 ,
E3
0 0
1 0
01 .
计算 E2A, AE3.
解
1
E2
A
0
01
1
1
1 1
1
1
=
1 1
1 1
1 1 =A.
1 0 0
1
AE3
1
1 1
备 注
矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.
矩阵的运算
三、矩阵与矩阵相乘
定义：设 A (ai，j )ms B， 那(bi么j )s规n 定矩阵 A 与矩阵 B 的乘 积是一个 m×n 矩阵 ，其中C (cij )
s
* cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj， k 1 (i 1, 2, m; j 1, 2, , n)
从而不能由 AB 得O出 A或 O 的结B论 O．
矩阵的运算
矩阵乘法的运算规律
(1) 乘法结合律
( AB)C A(BC)
(2) 数乘和乘法的结合律 l AB （(其l A中)Bl 是数）
(3) 乘法对加法的分配律
A(B C) AB AC (B C)A BA CA
(4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即