1.2矩阵的运算

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高中数学解矩阵方程的技巧

高中数学解矩阵方程的技巧矩阵方程在高中数学中是一个重要的概念，它涉及到矩阵运算和线性代数的知识。

解矩阵方程是数学学习中的一个难点，但只要掌握了一些技巧，就能够轻松解决这类问题。

一、矩阵方程的基本形式矩阵方程的基本形式为 AX = B，其中 A、X、B 都是矩阵。

我们的目标是求解未知矩阵 X 的值。

在解决这类问题时，我们需要注意以下几点。

1.1 矩阵的乘法运算首先，我们需要熟悉矩阵的乘法运算规则。

对于矩阵 A、B 和 C，满足结合律和分配律，即 (A + B)C = AC + BC，A(B + C) = AB + AC。

这些运算规则在解矩阵方程时非常有用。

1.2 矩阵的逆其次，我们需要了解矩阵的逆。

如果矩阵 A 是一个可逆矩阵（即存在逆矩阵A^-1），那么我们可以通过左乘 A^-1 来解矩阵方程，即 X = A^-1B。

但需要注意的是，并不是所有的矩阵都有逆矩阵。

二、解矩阵方程的技巧在解矩阵方程时，我们可以运用以下几种技巧。

2.1 矩阵的消元法矩阵的消元法是一种常用的解矩阵方程的方法。

我们可以通过矩阵的初等行变换来将方程转化为简化的形式。

例如，对于方程 AX = B，我们可以通过初等行变换将矩阵 A 化为一个简化的阶梯形矩阵，然后再根据简化的形式来求解未知矩阵X。

举例来说，考虑以下矩阵方程：[1 2] [x] = [5][3 4] [y] [7]我们可以通过乘以一个适当的矩阵来消去矩阵 A 的第二行的第一个元素，得到以下形式：[1 2] [x] = [5][0 1] [y] [1]然后，我们可以通过乘以一个适当的矩阵来消去矩阵 A 的第一行的第二个元素，得到以下形式：[1 0] [x] = [3][0 1] [y] [1]最终，我们得到了解为 x = 3，y = 1。

通过矩阵的消元法，我们成功地解决了这个矩阵方程。

2.2 利用逆矩阵求解在一些特殊情况下，我们可以通过矩阵的逆来求解矩阵方程。

如果矩阵 A 是一个可逆矩阵，那么我们可以通过左乘 A^-1 来解方程，即 X = A^-1B。

矩阵运算

数
A( )
A A
=
T ( ) T ( )
同理有
=
T (k ) k T( )
1.2 矩阵的计算
设 T : F n F m定义为T (x) Ax,其中x F n, A为m n矩阵 S : F m F p定义为S( y) By,其中y F m, B为p m矩阵线
则复合线性变换ST为
数
1 1 1 1
0 0 1 1 O
=
= 1
0
1 1 0 3
2 4
1 0
1 3 0 1
4 2
,
但是
1 3
2 4
3 1
4 2
1.2 矩阵的计算
例:
线
a1
a2
b1
b2
b1
b2
a1
a2
性
a3
b3
b3
a3
a1b1
代
a2b2
a3b3
数
小结:
(1)矩阵乘法无交换律,有“左乘”和“右乘”之 =
例1.9
性
A
1 2
0
0
1 2
,
B
I
AT
A,
C
I
2
AT
A
代
求BC
解： BC (I AT A)(I 2 AT A)
数
I 2 AT A AT A 2 AT AAT A
=
I AT A 2 AT ( AAT ) A
I AT A 2 AT ( 1 ) A I
=
2
1.2 矩阵的计算
(AB)m AmBm;(A B)2 A2 2AB B2;
(A B)(A B) A2 B2

矩阵的运算及其运算规则

矩阵基本运算及应用201700060牛晨晖在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。

1矩阵的运算及其运算规则1.1矩阵的加法与减法1.1.1运算规则设矩阵，，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．1.1.2运算性质满足交换律和结合律交换律；结合律．1.2矩阵与数的乘法1.2.1运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．1.2.2运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．已知两个矩阵满足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知1.3矩阵与矩阵的乘法1.3.1运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．设矩阵计算解是的矩阵．设它为可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）(1) 结合律．(2) 分配律（左分配律）；（右分配律）．(3) ．1.3.4方阵的幂定义：设A是方阵，是一个正整数，规定，显然，记号表示个A的连乘积．1.4矩阵的转置1.4.1定义定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．例如，矩阵的转置矩阵为．1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）(1)(2)(3)(4) ，是常数．1.4.3典型例题利用矩阵验证运算性质：解；而所以．定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．1.5方阵的行列式1.5.1定义定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．1.5.2运算性质(1) （行列式的性质）(2) ，特别地：(3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．例如，则．于是，而2光伏逆变器的建模光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换与控制的核心。

线性代数1.2矩阵的运算(崔丽鸿)

为A的k次多项式.
【例1.7】设A为n阶方阵， f x x3 2x2 x 2,
则
f A A3 2A2 A 2En
Linear Algebra
BUCT
Chapter 1 Matrix
特别地，设 n 3,
0 a b
B

0 0
0 0
a 0
4 13 15
A1
A2

5
15
14

4 17 15

6
14
17

仍是一个矩阵，其中的数就是A1和A2 中对应的数相加
Linear Algebra
BUCT
Chapter 1 Matrix
定义1.2（矩阵的加法）设两个同型矩阵
A = aij mn 与 B = bij mn
Chapter 1 Matrix
【例1.5】
AB

1 1
1 1
1

1
1
1

2 2

2
2

22
BA

1 1
1 1
1

1
1 1
0

0
0
0
22
从以上几个例题看出：
（1）矩阵乘法不满足交换律，即 AB BA ；
A B E
Linear Algebra
BUCT
Chapter 1 Matrix
定义1.7（矩阵的转置）设矩阵
a11 a12 L
A

1.2 矩阵的运算

En 是 n 阶单位矩阵，则 Em A=AEn = A 阶单位矩阵，
单位阵相当于数1 单位阵相当于数1
P14P14-8
3. 矩阵的乘法
矩阵
4) 方阵的幂阶矩阵, 连乘积称为次幂, 设A是 n 阶矩阵, k个A的连乘积称为A的 k 次幂, 记作 Ak ，即
Ak = 1 LA AA 4 4 3 2
0 1 0 0
0 0 1 0
n
例2 设A与B为同阶方阵，A = (1/2)(B+E)，为同阶方阵， (1/2)(B 证明: 证明: A2 = A ⇔ B2 = E
P14P14-10
4. 矩阵的转置 a11 1) 把一个 m×n 矩阵
矩阵
a12 a22 L am 2
的行列互换得到的一个 n×m 矩阵, 称为A的转置矩阵, 矩阵, 记作 AT, 即
P14P14-13
矩阵
作业：作业：
P16: 第2题； P17: 第4题之(1)、(4)、(5)、(7)；题之(1)、(4)、(5)、(7)； P18:第题之(2); P18:第7题之(2); 第9题之(1)、(2) 题之(1)、
P14P14-14
2) 矩阵的转置运算满足以下运算律: 矩阵的转置运算满足以下运算律:
(A (AT)T = A (B C) (B + C)T = BT + CT (kA) (kA)T = kAT (AB)T = BTAT AB) (A1A2…Ak)T = AkT…A2TA1T 3) A为对称阵 ⇔ AT = A A为反对称阵 ⇔ AT = －A (1) (2) (3) (4)
矩阵
(2) 数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB), 其中k是实数 AB)=(kA) kB) 其中k (3) 左分配律 A(B+C)=AB+AC )=AB+ 右分配律 (B+C)A=BA+CA BA+ 左提？右提？左提？右提？

1.2 矩阵的运算 (2)

2 2 21 21
0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 0 1 1 0 N ' 1 0
M
用 A 左乘 MON 各顶点的坐标的结果, 是将该三角形顺时针方向旋转了90 用矩阵可以表示平面图形的变换.
m

1 0 1 0 1 0 求 An 例A 0 0 1
1 0 1 1 0 1 1 0 2 2 0 1 0 解 A 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 2 1 0 1 1 0 3 3 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 A A A 0 0 1 0 0 1 0 0 1

Em B B,
BEn B
0 b11 0 b21 bm 1 1
b12 ... b1n b22 ... b2 n bm 2 ... bmn m n
B
b12 ... b1n 1 0 ... b22 ... b2 n 0 1 ... bm 2 ... bmn 0 0 ... m n n n
其中a,c为任意常数.
0 a 2b b c 2d d 由AX=XA 得 1 2a c c 2d a d a 0 所有与A可交换的矩阵为 X c a a b 1 XA c d 2 a a 2b b 0
2
3
2A2 两式相加,得 ( A B BA ) ( A BA ABA )
2 2
AB BA ( A3 B BA3 ) A ( ABA BA2 ) A 2A2

矩阵的合同定义

矩阵的合同定义矩阵的合同定义矩阵是数学中一个重要的概念，可以用于描述线性方程组、向量空间、线性变换等。

在矩阵的运算中，有一个重要的概念——合同。

本文将详细介绍矩阵的合同定义。

一、矩阵基础知识在介绍矩阵的合同定义之前，我们需要了解一些基础知识。

1.1 矩阵的定义矩阵是由m行n列元素排成的一个长方形数表，通常记作A=[aij]m×n。

其中，aij表示第i行第j列元素。

1.2 矩阵的加法和减法设A=[aij]m×n，B=[bij]m×n，则它们之和为C=A+B=[cij]m×n，其中cij=aij+bij；它们之差为D=A-B=[dij]m×n，其中dij=aij-bij。

1.3 矩阵的乘法设A=[aij]m×n，B=[bij]n×p，则它们之积为C=AB=[cij]m×p，其中cij=∑k=1naikbkj。

二、矩阵的合同定义2.1 合同关系在介绍矩阵的合同定义之前，我们需要了解一个概念——合同关系。

设A、B是两个m×n的矩阵，如果存在一个n×m的矩阵P，使得A=PBP-1，则称A与B合同，记作A≅B。

2.2 合同定义矩阵的合同定义是：如果两个矩阵A、B在相似变换下具有相同的标准型，则称它们是合同的。

其中，相似变换指矩阵P与其逆矩阵P-1之积。

2.3 标准型标准型是指一个矩阵在相似变换下能够化为的最简形式。

对于一个n×n的复数方阵A，它的标准型可以表示为：S=P-1AP，其中S为标准型，P为可逆复数方阵。

2.4 等价关系根据上述定义可知，合同关系属于等价关系。

等价关系必须满足三个条件：自反性、对称性和传递性。

在这里我们逐一解释：（1）自反性：任意一个矩阵与自己都是合同的。

（2）对称性：如果矩阵A与B合同，则B与A也合同。

（3）传递性：如果矩阵A与B合同，并且B与C合同，则A与C也合同。

三、矩阵的合同性质3.1 矩阵的秩不变两个合同矩阵的秩相等，即rank(A)=rank(B)。

矩阵与行列式

矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、经济等多个领域。

本文将介绍矩阵和行列式的定义、性质以及它们之间的关系。

一、矩阵的定义与性质1.1 矩阵的定义矩阵是一个二维的数组，由 m 行 n 列元素组成。

通常我们用大写字母表示矩阵，如 A = [a_ij]。

其中，a_ij 表示矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素。

1.2 矩阵的运算矩阵可以进行加法、减法和数乘等运算。

设 A 和 B 是同型矩阵，即具有相同的行数和列数，则有以下运算规则：- 矩阵加法：A + B = [a_ij] + [b_ij] = [a_ij + b_ij]- 矩阵减法：A - B = [a_ij] - [b_ij] = [a_ij - b_ij]- 数乘：kA = k[a_ij] = [ka_ij]，其中 k 是标量。

1.3 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要部分。

设 A 是 m × n 的矩阵，B 是n × p 的矩阵，则它们的乘积 C = AB 是一个 m × p 的矩阵，且满足以下定义：- C 的第 i 行第 j 列元素 c_ij 可通过将 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应位置的元素进行乘法运算，并求和得到。

二、行列式的定义与性质2.1 行列式的定义行列式是一个多项式，用于表示一个方阵的性质。

一个 n × n 的方阵 A 的行列式记作 |A| 或 det(A)。

对于 2 × 2 的方阵 A = [[a, b], [c, d]]，其行列式为 |A| = ad - bc。

对于n > 2 的方阵，行列式的计算可以使用代数余子式或按行（列）展开法进行。

2.2 行列式的性质- 行列式是一个线性运算：对于任意一个 n × n 的方阵 A，如果将某一行（列）的元素按比例加（减）到另一行（列），则行列式的值也会按相同比例变换。

- 互换行（列）会改变行列式的符号：如果交换方阵 A 的两行（列），行列式的值会变为原值的相反数。

1.1 数域~1.2 矩阵和运算1(13秋季,林鹭)

展开和式
4
4
(1) a2i (2) 2i
i 1
i 1
22
(3) aij i1 j1
(4)
aij
1i j3
特殊矩阵及其元素表示_4
• 基础矩阵Eij
0

0
1
Eij

0

j列
i行 0 mn
1 k i且l j ekl 0 其他
A (aij )mn
m i 1
a E n
j1 ij ij
小结
✓ 数域的定义 ✓ 矩阵的概念
– 特殊矩阵
✓ 矩阵的相等、加法和数乘
下节
• 矩阵的乘法（难点、重点） • 矩阵的转置
• 作业 §1.1 Ex. 1, 2; §1.2 Ex. 1
补充: 用表示下列式子
(1) a1b2 a3b4 ... a b 2n1 2n2 (2) a1bn a2bn1 ... anb1 (3) a1b1 a1b2 a1b3 a2b2 a2b3 a3b3
• n阶方阵A： A的行数＝列数= n
矩阵的相等
• A = (aij)m×n，B = (bij)s×t 则A = B 必须同时满足如下两个条件
✓ m = s, n = t ✓ aij = bij i=1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n
特别提示具有不同行列数的零矩阵代表不同的矩阵。如 O2×3≠O1×6 ≠O3×2
第一章矩阵 Matrix
§1.1-1.2 目的要求
• 掌握数域的定义, 正确判断数域；
• 熟练掌握矩阵的定义、两矩阵的相等概念；

初中数学知识归纳矩阵与方程组的应用

初中数学知识归纳矩阵与方程组的应用初中数学知识归纳：矩阵与方程组的应用数学是一门抽象而又实用的学科，它的应用范围涉及到生活的各个领域。

在初中数学的学习过程中，我们接触到了矩阵与方程组的概念与应用。

本文将对矩阵与方程组的相关知识进行归纳和总结，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、矩阵的概念与性质1.1 矩阵的定义矩阵是由若干数按照一定的规则排成的矩形阵列。

一般地，矩阵由m行n列的数构成，记作m×n矩阵。

其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

1.2 矩阵的运算矩阵的加法、减法和数乘运算与向量的相似，只需要对应位置的数进行相应的运算即可。

此外，矩阵还有乘法运算，即两个矩阵相乘，结果矩阵的元素由相应位置的行向量与列向量的点乘得到。

1.3 矩阵的性质矩阵具有封闭性、交换律、结合律、分配律等性质，这些性质为后续的运算提供了基础。

二、方程组的概念与解法2.1 方程组的定义方程组是由一组方程组成的数学对象。

每个方程都包含一些未知数，并且该方程组的解就是能够使得所有方程均成立的未知数的组合。

2.2 方程组的解法解方程组的方法主要有代入法、消元法和矩阵法等。

代入法是通过代入已知的解，逐步求得未知数的值；消元法则是通过变换方程组，将未知数消去，使方程组简化为较简单的形式；而矩阵法是将方程组转化为矩阵形式，通过矩阵运算求解。

三、矩阵与方程组的应用3.1 矩阵与线性方程组矩阵可以用来表示线性方程组，通过矩阵的运算，可以简化方程组的求解过程。

例如，对于一个含有n个未知数和m个方程的线性方程组，我们可以将其表示为AX=B的形式，其中A是一个m×n的矩阵，X和B分别是n维和m维的向量。

通过矩阵的乘法和求逆运算，可以求得方程组的解。

3.2 矩阵与变换矩阵还可以用来表示几何变换，如平移、旋转、缩放等。

通过矩阵的乘法运算，可以对向量进行变换。

这在计算机图形学、物理学等领域有着重要的应用。

3.3 矩阵与网络流问题在网络流问题中，可以使用矩阵来描述各个节点之间的连接关系。

分块矩阵在行列式计算中的应用(1)

分块矩阵在行列式计算中的应用(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21002312A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100121A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21030122A ．1.2 矩阵的运算进行分块矩阵的加、减、乘法与转置运算时，可将子矩阵当做通常矩阵的元素看待．加法运算设n m ij a A ⨯=)(和n m ij b B ⨯=)(为同型矩阵（行数和列数分别相等），若用相同的分块方法，即t s ij n m A A ⨯⨯=)(，t s ij B B ⨯=)(，其中ij A 、ij B 是j i n m ⨯矩阵，t j s i .,2,1,,,2,1 ==，且m m si i =∑=1，n n tj j =∑=1，则A 与B可直接相加，即=+B A t s ij ij B A ⨯+)(．数乘运算设分块矩阵t s ij n m A A ⨯⨯=)(，k 为任意数，则分块矩阵与k 的数乘为t s ij kA kA ⨯=)(．乘法运算一般地说，设sn ik a A )(=，nm kj b B )(=，将矩阵A 、B 分块，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s s t t A A A A A A A A A A 212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=tr t t r r B B B B B B B B B B 212222111211，其中每个ij A 是j i n s ⨯小矩阵，每个ij B 是j i m n ⨯小矩阵，于是有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==sr s s r r C C C C C CC C C AB C212222111211，其中ij C 是j i k m ⨯矩阵，=ij C ∑=ni ij ij B A 1．应该注意，在进行乘法运算求乘积AB 时，对矩阵A 、B 分块要求，矩阵A 的列的分法必须与矩阵B 的行的分法一致．矩阵的乘法不适合交换律，即一般来说，没有BA AB =．分块矩阵是一类特殊的矩阵，它的乘法同样不适合交换律．根据上文所述分块矩阵也是一个矩阵，因此有与一般矩阵的加法、数乘、乘法的运算性质相同．不过，分块矩阵运算时应注意以下几点：(1) 进行加法运算时，对应子块的结构需相同；(2) 进行数乘运算时，必须对每一子块都乘以相同的数； (3) 进行乘法运算时，不能随意交换两个相乘子块的顺序．在具体运算过程中，我们要灵活地分块，目的是使运算更简便．而对于乘法，在矩阵A 与矩阵B 相乘时，对B 的一个分块方式，A 可以有几种分块方式都可与B 相乘，同样对A 的一个分块方式，B 也是如此．但不论怎样分块，始终坚持相乘的两个矩阵前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致，因为只有这样乘积才有意义．例如，已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011010100101B ，我们把B 分块为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222122011010100101B B E E ，其中2E 为二阶单位阵，这时若只考虑乘法的相容性，A 可以分块为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200010001，我们可以看到第一种分法中有单位块，而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222A OO E A ，对于乘法运算显然更加简便，即=AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011010100101⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222122222B B E E A O O E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2222212222B A B A E E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=022*********．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=st s s t t A A A A A A A A A A 212222111211是一个分块矩阵，那么它的转置为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''='st t ts s A A A A A A A A A A 212221212111．分块矩阵的转置应遵守如下规则：(1) A 的每一块都看成元素，对A 转置； (2) 对A 的每一块都转置．1.3 特殊的分块矩阵形式如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛l A O A O A21的矩阵，其中i A 是i i n n ⨯矩阵),,2,1(l i =，通常称为准对角矩阵．准对角矩阵具有如下性质： (1) 设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛l A O A O A21，则有l A A A A 21=；(2) A 可逆⇔i A 可逆),,2,1(l i =，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----112111l A A A A ； (3) 对于两个有相同分块的准对角矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛l A O A O A21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=l B O B O B B21，如果它们相应的分块是同级的，那么显然有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=l l B A O B A O B A AB2211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+l l B A O B A OB A B A2211 它们还是准对角矩阵．与普通矩阵的初等变换类似，分块矩阵的初等变换有三种： (1) 互换分块矩阵二个块行（列）的位置；(2) 用一个可逆矩阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行（列）； (3) 将分块矩阵某一块行（列）的k （矩阵）倍加到另一块行（列）．定义2[]3 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．现将某个单位矩阵如下进行分块，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE O O E ，对它进行两行（列）对换；矩阵的某行（列）乘以行列可逆阵P ；某一行（列）乘以矩阵Q 加到另一行（列）上，就可得到如下三种分块初等矩阵：(1) 分块初等对换阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O E E O mn ； (2) 分块初等倍乘阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n E O O P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛P OO E m； (3) 分块初等倍加阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE O Q E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE QO E ．与初等矩阵和初等变换的关系一样，用上面这些矩阵左乘任一个分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C B A ，只要分块乘法能够进行，其结果就等于对它进行相应的初等变换：(1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A D C D C B A O E E O n m ； (2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C PB PA D C B A E O O P n ；(3) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛PA D PA C B AD C B AE P O E n m ．同样，用它们右乘任一矩阵，也有相应的结果．我们通过验证，当用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对该分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换．分块矩阵的初等行（列）变换具有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵能得到矩阵间的等式，从而有利于计算矩阵行列式的值．定义3]2[ 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列)(n k ≤．位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式．当n k <时，在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式．引理（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定了k )11(-≤≤n k 个行．由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D ．定理1 设A 是m 阶方阵，B 是n m ⨯阶矩阵，C 是n 阶矩阵，则C A CO B A =．证明利用拉普拉斯定理，只要将行列式CO BA 按后n 行展开，在其所有的n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为A ，且C 位于整个矩阵的第n m m m +++,,2,1 行，第n m m m +++,,2,1 列，即可得C A CO B A =．类似地行列式的形式为CB OA 时，由行列式的转置值不变，因此仍有C A C A C B OA =''='''．通过上面的定理，我们自然想到，若是将行列式CO BA换成OC BA 又会有怎样的结论，它的值等于BC 吗？定理2 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，则B C OC B A n 2)1(-=．证明将拉普拉斯定理应用于上式的后n 行，在其所有n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为B ，且C 位于整个矩阵的第n n n n +++,,2,1 行，第n ,,2,1 列，因此C B OC B A s )1(-=，其中偶数+=+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=2)21()()2)(1(n n n n n n s ，即B C OC B A n 2)1(-=．定理3 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D C B A P 是分块n 阶矩阵，其中A 为r 阶方阵，B 为s r ⨯阶阵，C 为r s ⨯阶阵，D 为s 阶方阵．(1) 若A 可逆，则B CA D A P 1--=； (2) 若D 可逆，则B CD A D P 1--=．证明 (1) 当0≠A 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---B CA D O B A D C B A I CA O I 11 两边取行列式可得=P A B CA D 1--．(2) 当0≠D 时，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---D C O C BD A D C B A I O BD I 11 两边取行列式可得P =D B CD A 1--．将定理3中条件特殊化，可得到如下推论．推论1 设A 、B 、C 、D 分别是r ，s r ⨯，r s ⨯，s 矩阵，则有 (1) CB D D C BE r -=； (2)BC A E CB A s-=．证明 (1) 只需在定理3中令r E A =，即有CB D CBD OB E DCB E r r -=-=．(2) 只需在定理3中令s E B =，即有BC A E C OBC A E C B A ss -=-=．推论2 设B 、C 分别是s r ⨯，r s ⨯，则有BC E CB E E CBE r s sr -=-=．证明只需在定理3中令r E A =，s E B =，则有BC E CB E E CBE r s sr -=-=．定理4[]5,4 设A 、B 、C 、D 都是n 阶方阵，则 (1) 当0≠A 且CA AC =时，=D C B A CD AB -； (2) 当A 0≠且BA AB =时，=D C B A CB DA -； (3) 当0≠D 且CD DC =时，=D C B A BC AD -； (4) 当0≠D 且BD DB =时，=DCB A BC DA -．证明由A 、B 、C 、D 均为n 阶方阵，当0≠A 且CA AC =时，利用定理3得=DCB A A B CA D 1--B ACA AD 1--=B CAA AD 1--=CB AD -=，即=DCB A CB AD -，(2)、(3)、(4)类似可得．定理5[]7,6 设A 、B 都是n 阶方阵，则有B A B A ABB A -+=．证明根据分块矩阵性质有BA OB B A AA B B B A ABB A -+=++=B A B A -+=．定理6[]8 设A 为n 阶可逆方阵，α与β均为n 维列向量，则)1(1βαβα-+=+A A A T T ．证明因⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10110T TT A AE βαββαα， (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--αβαβαβ1110110A AA A ET T T ， (2) (1)式、(2)式两边各取行列式，又1101=-=-TE E βα，从而有)1(11αβαββα-+=+=-A A A A T T T．。

1.2矩阵的初等变换与逆矩阵的求法

1.2 矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
本节内容
1. 线性方程组的同解变换； 2. 矩阵的初等变换； 3. 初等矩阵； 4. 用初等行变换求逆矩阵.
线性方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ组的同解变换
同解变换，就是变换后的线性方程组与原线性方程组同解。
初等变换就是线性方程组的同解变换。定理：设方程组经过某一初等变换后变为另一个方程
非零数乘以I的列
返回
某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）
返回
初等矩阵左乘相当于行变换初等矩阵右乘相当于列变换
返回
矩阵的初等变换
定义：以下三种变换称为矩阵的初等变换：
1. 对换矩阵的两行（或两列）；
记为
2. 以任意数
乘以矩阵的某一行（或列）每个元；
记为
3. 某一行（或列）的每个元乘以同一常数加到另一行（或列）的对应元上去.
根据逆矩阵的定义，容易验证以上各式。
同时，上面等式表明：初等矩阵的逆仍然是初等矩阵。
初等矩阵的性质
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆. ※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应
的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。 ※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积 ※定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆. ※定理1.4 可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单位矩阵. ※定理1.5 方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示为有限个初等矩阵的乘积。
记为矩阵A经过初ri等变r换j (c化i 为c矩j )阵B表示为A→B。习惯上在箭头的上面写出行变换，下面写出列变换。
消元法解线性方程组

1_2矩阵的转置

Page 7
3、对称阵、
阶方阵，定义设 A 为 n 阶方阵，如果满足A = AT，即
a ij = a ji (i , j = 1 ,2 ,L , n )
称为对称阵对称阵. 那末 A 称为对称阵
12 6 1 例如 A = 6 8 0素以主对角线为对称轴对应相等.
如果 AT = − A 则矩阵A称为反对称的.
Page 8
例2. 证明任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵与反对称阵之和. 与反对称阵之和
T T 假分析设A = B + C，设其中B = B , C = −C ,
则将上面两式代入，可得A = B T − C T , 对 A = B + C 两边取转置，可得A = B + C ,
于是( AB )T = BT AT .
性质4 性质4的推广
T T 有限个矩阵乘积的转置( A1 A2 L Ar )T = ArT L A2 A1
Page 5
k =1
例1. 已知
1 7 − 1 T 2 0 − 1 A= , B = 4 2 3 , 求 ( AB ) . 1 3 2 2 0 1 解法1 解法 1 7 − 1 0 14 − 3 2 0 − 1 , Q AB = 4 2 3 = 1 3 2 17 13 10 2 0 1
§1.2 矩阵的转置
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
1
１、转置矩阵
定义把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，的转置矩阵，新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 AΤ .

《线性代数》第1章-矩阵(张小向2014黑白打印版)

c 3
同型
20 16
50 20
30 16
与
20 50 30
16 20 16
不同型
5. 两个矩阵相等(equal)
大前提: 同型
A = (aij)m×n与B = (bij)m×n相等:
对∀1≤ i ≤ m, 1≤ j ≤ n, aij = bij都成立记为A = B.
第一章矩阵
§1.1 矩阵的基本概念
0 0
0 0
2
3
10 1 0
从i市经一次中转到达j市航线的条数=?
bij = ai1a1j + ai2a2j + ai3a3j + ai4a4j .
1
21 1 0
i
2
j
B = (bij) =
01 10
1 0
1 0
3 4
02 1 1
第一章矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
2. 定义: A = (aij)m×s与B = (bij)s×n的乘积(product)
a1
列向量(row vector):
a2 …
n–维
(n–dimensional)
an
第i分量 (ith component): ai (i = 1, …, n)
第一章矩阵
§1.1 矩阵的基本概念
4. 同型(same-sized): 行数相等, 列数也相等
20 16
50 20
30 16
与
a 1
b 2
注: ① 设矩阵A = (aij)m×n , 记−A = (−aij)m×n , ——A的负矩阵(additive inverse of A).
② 设A, B是同型矩阵, 则它们的差

1.1-1.2 矩阵的概念与运算

b1 j b2 j bsj
b1n b2 n bsn
c1 j c ij c mj
其中 c ij a i 1 b1 j a i 2 b2 j a isbsj
2 1 2 3 1 2 3 例2. 求 (1) 1 2 ; (2) 3 1 0 - 4 0 - 3 5 3 1 2 1 0 解: 21 3 2 2 (2) 3 (1) 2 (3) 3 0 (1) 原式 1 1 (2) 2 1 (2) (2) (1) 1 (3) (2) 0 31 1 2 3 (2) 1 (1) 3 (3) 1 0
解:
1 1 1 0 0 1 AB 1 1 1 1 0 0
1 2 1 1 1 BA 1 1 1 1 2
2 2
此例说明: (1) AB 与 BA 未必相等 (2) 两个非零矩阵的乘积可能是一个零矩阵
例. 公鸡每只值五文钱, 母鸡每只值三文钱, 小鸡三只值一文钱. 现用一百文钱买100只鸡,问这一百只鸡中, 公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 1. 对线性方程组 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 未知量前的系数及常数项按方程中的次序组成一个阵列 a11 a21 a m1 a12 a22 am 2 a1n b1 a2 n b2 amn bm

矩阵与行列式的运算与应用

矩阵与行列式的运算与应用矩阵与行列式是线性代数中的重要概念，在数学和工程学科中得到广泛应用。

本文将重点讨论矩阵与行列式的运算规则以及它们在实际问题中的应用。

一、矩阵的定义与基本运算1.1 矩阵的定义矩阵是由一组数按照矩形排列形成的二维数据表，通常用大写字母表示。

一个矩阵由行和列组成，行数与列数分别称为矩阵的行数和列数。

例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其中aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

1.2 矩阵的基本运算矩阵之间可以进行加法和数乘两种基本运算。

1.2.1 矩阵的加法两个具有相同行数和列数的矩阵可以进行加法运算。

对应位置的元素相加得到结果矩阵。

例如，对于矩阵A和矩阵B：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]B = [b11 b12b21 b22b31 b32]它们的和矩阵C为：C = [a11+b11 a12+b12a21+b21 a22+b22a31+b31 a32+b32]1.2.2 矩阵的数乘矩阵与一个数相乘，即将矩阵的每个元素与该数相乘。

例如，对于矩阵A和一个数k，它们的积矩阵D为：D = [k*a11 k*a12k*a21 k*a22k*a31 k*a32]二、行列式的定义与性质2.1 行列式的定义行列式是一个数，用于描述一个方阵的某些性质。

对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|。

2.2 行列式的性质行列式具有以下性质：2.2.1 行列式与矩阵的转置若A为一个n阶方阵，则det(A) = det(A^T)，即行列式与矩阵的转置结果相等。

2.2.2 行列式与矩阵的乘法若A、B是两个同阶矩阵，则有det(AB) = det(A) * det(B)，即两个矩阵的乘积的行列式等于两个矩阵的行列式的乘积。

2.2.3 行列式的行列互换对于n阶方阵A，若交换A中两行（或两列），则行列式的符号改变。

三、矩阵与行列式的应用3.1 线性方程组的求解利用矩阵与行列式的运算方法，可以简化线性方程组的求解过程。

矩阵论简明教程(整理全)

an1 L
( j 1,2,L ,n)
a2, j1 a3, j1
M an, j1
a2, j1 L a3, j1 L
MO an, j1 L
a2n
a3n
M
ann
2 、 A d e tA ( 1 ) j1 j2 L jn a 1 j1 a 2 j2 L a n jn j1 j2 L jn
二、块矩阵的行列式
Bs1
Bs2
L
Bsr
A11B11 A12B12 L A1r B1r
则, ABA21B21
A22B22 L
A2r
B2r
,
M
M O M
As1Bs1
As2Bs2 L
Asr
Bsr
2、数乘
A11 A12 L A1r
A11 A12 L A1r
设 AA21 A22 L A2r，则 AA21 A22 L A2r
M MO M
an1 an2 L ann
a 1 1 ( 1 ) 1 1 M 1 1 a 1 2 ( 1 ) 1 2 M 1 2 ... a 1 n ( 1 ) 1 n M 1 n
n
n
a1j(1)1j M 1j a1jA 1j
j1
j1
(1)
a21 L
其中M1j
a31 M
L O
ADCB
Example 3
设 ACmn,BCnm,
证明n ImABmInBA
证：
左边=n
ImAB
ImAB
0
A
In
Im B
A Im
In B
0
In
Im B
A Im
In B
0 In

矩阵知识点总结大纲

矩阵知识点总结大纲一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义1.2 矩阵的元素1.3 矩阵的维数1.4 矩阵的转置1.5 矩阵的特殊矩阵二、矩阵运算2.1 矩阵的加法2.2 矩阵的数乘2.3 矩阵的乘法2.4 矩阵的转置2.5 矩阵的幂2.6 矩阵的逆2.7 矩阵的行列式2.8 矩阵的秩三、线性方程组与矩阵3.1 矩阵的行简化阶梯形式3.2 矩阵的列简化阶梯形式3.3 矩阵的增广矩阵3.4 矩阵的系数矩阵3.5 矩阵的齐次线性方程组3.6 矩阵的非齐次线性方程组四、矩阵的应用4.1 线性代数4.2 计算机图形学4.3 信号处理4.4 优化问题4.5 统计学4.6 量子力学五、矩阵分析5.1 矩阵的迹5.2 矩阵的本征值与本征向量5.3 矩阵的相似矩阵5.4 矩阵的对角化5.5 矩阵的奇异值分解5.6 矩阵的正交矩阵六、矩阵的特征6.1 矩阵的周期性6.2 矩阵的稀疏性6.3 矩阵的对称性6.4 矩阵的正定性6.5 矩阵的随机性七、矩阵的发展历程7.1 矩阵的起源7.2 矩阵的发展7.3 矩阵的应用八、矩阵的未来发展8.1 矩阵的应用领域拓展8.2 矩阵的理论深化8.3 矩阵的计算方法改进九、矩阵的教学与研究9.1 矩阵的教学模式9.2 矩阵的教学资源9.3 矩阵的研究方向十、矩阵的未来前景10.1 矩阵的应用前景10.2 矩阵的教学前景10.3 矩阵的研究前景十一、矩阵的总结与展望11.1 矩阵的总结11.2 矩阵的展望结语矩阵知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个按照长方形排列的数表。

其中的元素可以是数字、符号或数学式。

矩阵是线性代数的基本概念，应用非常广泛，涉及几何学、概率论、微分方程以及物理学和工程学等各个学科。

1.2 矩阵的元素矩阵的元素是矩阵中的一个具体数值或符号。

1.3 矩阵的维数一个矩阵的维数是指矩阵的行数与列数。

如果一个矩阵有m行n列，则称其为m×n阶矩阵。

matlab中的矩阵的基本运算命令

S = sparse(i,j,s) %生成一个由长度相同的向量i，j和s定义的稀疏矩阵S，其中i，j是整数向量，定义稀疏矩阵的元素位置(i,j)，s是一个标量或与i，j长度相同的向量，表示在(i,j)位置上的元素。
S = sparse(i,j,s,m,n) %生成一个m×n的稀疏矩阵，(i,j)对应位置元素为si，m = max(i)且n =max(j)。
若系数矩阵的秩r<n，则可能有无穷解；
线性方程组的无穷解 = 对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解；其特解的求法属于解的第一类问题，通解部分属第二类问题。
1.4.1 求线性方程组的唯一解或特解（第一类问题）
这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠密矩阵 —— 直接法；另一类是解大型稀疏矩阵 —— 迭代法。
函数 spconvert
格式 U = triu(X) %抽取X的主对角线的上三角部分构成矩阵U
U = triu(X,k) %抽取X的第k条对角线的上三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。
3．矩阵的变维
矩阵的变维有两种方法，即用“：”和函数“reshape”，前者主要针对2个已知维数矩阵之间的变维操作；而后者是对于一个矩阵的操作。
1.1 矩阵的表示单位矩阵eye(m,n)
1.2 矩阵运算
1.2.14 特殊运算
1．矩阵对角线元素的抽取
函数 diag
格式 X = diag(v,k) %以向量v的元素作为矩阵X的第k条对角线元素，当k=0时，v为X的主对角线；当k>0时，v为上方第k条对角线；当k<0时，v为下方第k条对角线。
1.3.6 特征值分解

1.2 矩阵的定义及运算

b1 b2 b m
a21 x1 a22 x2 ... a2n xn am1 1
x a x
m2 2
... amn xn
m1
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm a11 a12 ... a1n x1 b1 a 21 a 22 ... a 2n x 2 = b2 a b m1 a m 2 ... a mn x n m =A =X =B

例1
3 1 0 4 3 5 0 7 3 12 3 5 2 1 1 2 3 3 32
注意:不是任意两个矩阵都能相加. 两个矩阵只有当它们的行数相同列数也相同,即当它们是同型的矩阵时,才可以相加.
B 0, A 0, 但是BA 0
一般地AB 0
A 0或者B 0
B和A相乘没有意义
一般地AB≠BA
1) AB有意义时，BA未必有意义）AB与BA都有意义时，它们未必同类型 2 3 ）AB与BA都有意义且类型相同时，它们未必相等
矩阵乘法不满足交换律
AB称为A左乘B, 或B右乘A
3 例2 设 A
0 2 1 且 , B , 2 1 2 2
2 A 3 X B, 求矩阵 X .
例3
已知
1 2 0 8 2 6 A B 4 3 5 5 3 4