行测解题技巧—特值法求阴影面积问题
初中数学阴影面积答题技巧
初中数学阴影⾯积答题技巧 对于⼀些简单求阴影部分⾯积的题⽬,其基本思路是寻找阴影部分图形与规则图形之间的关系,然后利⽤⾯积和差进⾏计算即可. 但有些题⽬是⽆法直接利⽤和差求解的,必须要对图形进⾏观察分析,选择适当的⽅法进⾏计算,下⾯是⼩编为⼤家整理的关于初中数学阴影⾯积答题技巧，希望对您有所帮助。
欢迎⼤家阅读参考学习! 1初中数学阴影⾯积答题技巧 所谓分割策略，⼜称“化整为零”，是将⼀个图形分割成若⼲个有逻辑联系的、较简单或较熟悉的、能够应⽤基本公式进⾏⾯积计算的图形，从⽽解答阴影图形的⾯积的策略。
分割策略是解答“阴影⾯积问题”的最重要的策略。
理论上，中⼩学中的任何图形都可分割为若⼲三⾓形和扇形，因⽽都是可⽤公式进⾏计算的。
在实践中，分割策略⼀般具有两种功能：(1)为利⽤⼏何性质和定理进⾏补整或拼图创造条件;(2)为图形之间的转换创造条件。
在具体运⽤分割策略时，⼀般按照由外到内、由⼤到⼩的次序进⾏分割，以实现规则图形的最⼤化，减⼩计算量。
例2.△ABC为⼀住宅区的平⾯⽰意图，其周长为800m，计划把住宅区外5m内(图2中△ABC与三段圆弧和分别与之相切的三条公切线所围成的阴影部分)作为绿化带，求此绿化带的⾯积。
分析：作为⼀个整体，阴影图形(绿化带)的⾯积很难直接求出，根据题⽬中“圆弧”、“相切”等信息，可以运⽤分割策略，将阴影图形分割为三个矩形和三个扇形。
然后再运⽤“补整策略”将三个扇形合并为⼀个圆，将三个矩形合并为以△ABC周长800m为边，5m为⾼的矩形。
于是，S阴影=S圆+S矩形。
2初中数学⼏何做辅助线技巧 辅助线在平⾏四边形中的恰当运⽤ 平⾏四边形主要包括正⽅形、菱形，以及矩形，这些图形的两组对边、对⾓等具有的性质都有⼀定的相似之处，所以，辅助线在这些图形中的添加⽅法⼀般都具有较⼤的相似性，往往都是为了实现线段的垂直与平⾏，在此基础上构成相应的全等、相似三⾓形。
通常情况下，都是平移、连接图形对⾓线，或者是结合实际情况连接其中⼀边的中点与顶点等⽅式，从⽽将平⾏四边形巧妙转化成相应的矩形、三⾓形等图形，这样再分析解决其该题⽬则更加便捷。
公务员行政能力测试图形推理答题技巧(非常有用)
公务员行政能力测试图形推理答题技巧(非常有用)图形推理是一种常见的智力测试，需要运用一些基本的思路和特殊的思路来解决问题。
基本思路包括相加、相减、求同、留同存异、去同相加、相加再去同、一笔划问题、笔划数、线条数、旋转、黑白相间、轴对称/中心对称、旋转，或者答案只有一个图可能通过旋转转成。
视觉推理偏向奇偶项，回到初始位置。
需要注意的是，五角星不是中心对称。
特殊思路包括：1.有阴影的图形可能与面积有关，或者阴影在旋转，还有就是黑白相间。
例如，第一组图形中，阴影的比例为1/2、1/4、1/4，而第二组图形中，阴影的比例为1、1/2和(1/2 A)，其中有两个阴影，里面逆时针转，外面顺时针转。
2.交点个数一般都表现在相交露头的交点上或者一条线段穿过多边形。
例如，第一组图形中，交点数为3、3、3，而第二组图形中，交点数为3、3、（3）。
需要注意的是，露头的交点还有其他情形，例如此题算S形，露头数为1、3、5、7、9、11、(13 B)、15、17.3.如果一组图形的每个元素有很多种，则可从以下思路，元素不同种类的个数，或者元素的个数。
例如，出现一堆乱七八糟的图形，要考虑此种可能，第一组图形中，元素种类为2、4、6，而第二组图形中，元素种类为1、3、（5），元素个数为4、4、4、4、（4）。
4.包含的块数/分割的块数。
例如，出现一些乱七八糟的图形，或者出现明显的空间数，要考虑此种可能。
例如，包含的块数为1、2、3、4、5、(6,B)，分割的块数为3、3、3、3、3、（3，A）。
5.特点是，大部分有两种不同元素，每个图形两种类个数各不相同。
例如，圆形相当于两个方框，这样，全都是八个方框，选D。
6.角个数只要出现成角度图形都需要注意，例如，3、4、5、6、(7)。
7.直线/曲线出现时，有可能是线条数或者都含曲线，都含直线，答案都不含直线，都不含曲线。
例如，线条数是3、3、34、4、4.8.当出现英文字母时，有可能是笔划数，有可能是是否直线/曲线问题，又或者是相隔一定数的字母。
四种方法求阴影部分面积
四种方法求阴影部分面积首先，我们可以使用几何方法来求解阴影部分的面积。
设阴影部分的形状为矩形，其底边的长度为a，高度为h。
阴影的边界可以用两条直线来表示，设直线1与x轴的交点为A，直线2与x轴的交点为B。
两条直线与x轴的交点之间的距离为b。
则阴影部分的面积可以用以下公式表示：A=(a+b)*h/2第二种方法是通过将阴影部分分割成多个小矩形来求解。
首先，我们将阴影部分分割成n个小矩形，每个小矩形的底边长度为ai，高度为hi。
则阴影部分的面积可以表示为以下公式的和：A = ∑(ai * hi)其中i的范围从1到n。
第三种方法是使用积分来求解。
假设阴影部分的形状可以用函数y=f(x)来表示。
要求阴影部分的面积，我们需要找到函数f(x)的定义域上的积分区间[a,b]。
A = ∫[a, b] f(x) dx最后一种方法是使用统计学方法来求解。
假设我们已经获得了一组阴影部分的随机样本，符合一定的分布规律。
我们可以使用这组样本数据来进行统计分析，得出阴影部分的面积的估计值。
首先，我们可以计算出这组样本数据的平均值和标准差。
然后，使用均值加减一个标准差的方法，来计算阴影部分的上下边界。
根据阴影部分的上下边界和样本数据的分布，我们可以得到阴影部分面积的估计值。
需要注意的是，这种方法求得的阴影部分面积只是一个估计值，可能存在一定的误差。
综上所述，我们可以用几何法、分割法、积分法和统计法来求解阴影部分的面积。
每种方法都有自己的优缺点和适用范围，选择合适的方法取决于具体情况和问题要求。
阴影面积的8种求法
阴影面积的8种求法成才路上奥数国家级教练与四名特级教师联手执教。
计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。
不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。
介绍几种常用的方法。
一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。
例1. 如图，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD和弧CD围成的阴影部分图形的面积为_________。
二、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。
例2. 如图，是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，弧ADE为1/4圆，求阴影部分面积。
三、重叠求余法（容斥原理）就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法然后运用“容斥原理”（SA∪B＝SA＋SB-SA∩B）解决。
这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。
要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。
例3. 如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。
四、补形法将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。
例 4. 如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60° ,∠B=∠D=90°，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。
五、拼接法（割补法）这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例5. 如图，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。
行测阴影解题技巧
行测阴影解题技巧在行测考试中，阴影解题技巧是一个重要的考点以下是七种常见的阴影解题技巧，帮助考生在考试中快速准确地解决阴影相关问题。
一、特值法特值法是指在题干中设定特殊值，通过代入排除法排除选项，从而得到正确答案的方法。
在阴影解题中，特值法可以用于解决阴影面积问题。
例如，在求解阴影面积时，可以设定特殊边长或角度，代入公式计算阴影面积，从而得到正确答案。
二、等积转化等积转化是指将复杂图形转化为简单图形，从而降低解题难度的技巧。
在阴影解题中，等积转化可以用于解决阴影面积问题。
例如，在求解不规则图形阴影面积时，可以通过等积转化将不规则图形转化为规则图形，从而降低解题难度。
三、割补法割补法是指将图形的一部分割下来，补到另一部分，使整个图形变成一个或几个规则图形，从而简化解题过程的技巧。
在阴影解题中，割补法可以用于解决阴影面积问题。
例如，在求解复杂图形阴影面积时，可以通过割补法将复杂图形分割成几个规则图形，从而简化解题过程。
四、阴影图形之对称性阴影图形的对称性是指阴影图形经过对称变换后仍然保持不变的性质。
在阴影解题中，阴影图形的对称性可以用于解决阴影面积问题。
例如，在求解阴影面积时，可以通过观察图形的对称性排除不可能的选项，从而得到正确答案。
五、阴影图形之笔画数阴影图形的笔画数是阴影解题中的一个重要考点。
在解决阴影相关问题时，考生需要明确不同图形之间的笔画数关系。
例如，相交线段的笔画数等于两条线段分别的笔画数之差；两个图形拼接而成的封闭图形的笔画数等于两个图形分别的笔画数之和等。
通过对阴影图形的笔画数进行分析和研究，可以帮助考生快速准确地解决相关问题。
六、阴影图形之规律叠加规律叠加是指将多个规律进行叠加使用，从而得到更复杂的规律。
在阴影解题中，规律叠加可以用于解决阴影面积问题。
例如，在求解复杂图形阴影面积时，可以通过规律叠加将多个简单图形的阴影面积进行叠加计算，从而得到复杂图形的阴影面积。
七、阴影图形之六面体空间折叠六面体空间折叠是指在空间几何中，将一个六面体进行折叠变换，从而得到另一个六面体的过程。
2017上海公务员考试行测之另辟蹊径求解阴影部分面积
最全汇总>>>上海公务员历年真题2017上海公务员考试行测之另辟蹊径求解阴影部分面积
通过最新上海公务员考试资讯、大纲可以了解到，《行政职业能力测验》主要测查从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力，测试内容包括言语理解与表达能力、判断推理能力、数理能力、常识应用能力和综合分析能力。
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中公教育专家带大家来回顾一下公务员考试行测数量关系中的几何问题——求
解阴影部分面积。
这一部分对于大家来说难度不小，而如果我们把容斥问题的
原理引入到求解阴影部分的面积，就会把一些看似复杂的题目巧妙解决。
如图所示：A、B、C分别是面积为60、170、150的三张不同形状的卡片，它们
部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为280，且A与B、B与C、C
与A重叠部分的面积分别是22、60、35。
问阴影部分的面积是多少?( )
最全汇总>>>上海公务员历年真题
最全汇总>>>上海公务员历年真题通过上面两道例题，中公教育专家相信大家可以体会用容斥原理求解阴影部分面积的巧妙之处，虽然不是说所有阴影部分面积都可以这样求解，但至少为大家解题提供了另外一种快捷的思路。
行测计算题技巧
行测计算题技巧
以下是 7 条关于行测计算题技巧的内容：
1. 善用代入法呀！比如说，遇到那种超级复杂，让你算半天也算不出来的题目，咱就可以把选项挨个代进去试试呀。
就像走迷宫，每个门都推推看，说不定一下子就找到出口啦！比如那道问某个数是多少的，直接代选项，多轻松！
2. 特值法简直就是救星啊！当题目中很多条件不确定的时候，咱就大胆设个特值！就好像在迷雾中点亮一盏灯。
比如说工程问题，设个好算的工作量，解题不就简单多了嘛！
3. 尾数法可太好用啦！想想看，如果只要看最后一位或几位数字就能得出答案，那该多省事儿呀！尤其是那些大量计算的，看个尾数不就心中有数啦！像那种好多位数相加的，看尾数不就好啦，哎呀，爽歪歪！
4. 比例法绝对是个利器啊！题目里各种比例关系，咱就顺着它来呀。
就像顺着藤能摸到瓜一样！比如说那些速度啊、效率啊之类的题目，用比例一分析，嘿嘿，答案就出来了。
5. 排除法要常用啊！有的题目乍一看好像不知道咋做，但咱可以根据已知条件排除一些不靠谱的选项嘛。
就像排除地雷一样，把不可能的都排掉，那剩下的不就是答案啦！比如说那道问哪个不符合的，一个一个排除不就好啦！
6. 图形结合起来呀！有些数学题目光靠想可不行，咱画个图呀，一下子就直观多了。
就像给大脑开了个窗一样！比如说行程问题，画个路线图，啥都清楚啦！
7. 一定要学会放弃啊！遇到那种超级难搞，花大量时间也不一定能做对的题目，别犹豫，果断放弃！可别在一棵树上吊死呀！把时间留给那些能拿分的题，这才是明智之举嘛！
我的观点结论就是：掌握这些行测计算题技巧，能让你在做题时更高效、更准确，遇到难题也不用怕啦！。
求阴影部分面积：直接算不出来？找到做题思路,巧妙解决
求阴影部分面积：直接算不出来？找到做题思路，巧
妙解决
求阴影部分面积：
1、分析问题：根据给定的条件，我们可以得到这样一个算式：阴影部分面积 = 全部面积 - 无阴影部分面积；
2、搭建圆形投影：将光线垂直于给定圆形面，把给定的圆形投影到地面上，利用这个投影的形状得到无阴影部分面积；
3、求出无阴影部分面积：将半径 R 连接到两个直径的端点，把这个形状分为两个三角形，设角A的对边为a，A的高为h；由角A的余弦定理，可得$$ CosA = \frac{a}{2r}$$；由此，可得高h的公式：
$$ h=2r\times CosA $$；由此，可以求出无阴影部分面积：$$ 无阴影部分面积=\frac{1}{2} \times h \times a $$
4、最后，得到阴影部分面积：由于阴影部分面积 = 全部面积 - 无阴影部分面积；因此，最后，可以得到阴影部分面积：$$ 阴影部分面积 = \pi \times R^2 - \frac{1}{2} \times h \times a $$。
公务员考试行测技巧：4种方法求解阴影面积
公务员考试行测技巧：4种方法求解阴影面积一、求阴影部分面积的核心思想需要求的阴影部分通常是不规则图形，需要将其转换为规则图形进行求解。
二、求阴影部分面积的方法1、割法(将不规则图形分割成两个或者多个规则图形进行求解)2、补法(将不规则图形补成一个大的规则图形，再减掉非阴影部分的面积)3、等积转换法(利用等底同高的图形相等的面积进行转换，求出未知量)4、特值法(图形中某一点或某几个点的位置具有任意性)例1、下图中的甲和乙都是正方形。
BE=6厘米，EF=4厘米。
求阴影部分ABC的面积是多少平方厘米?A、20B、24C、21D、18方法1、割法：以AH为底，求三角形ABH和ACH的面积方法2、割法：以CI为底，求三角形AIC和BIC的面积方法3、补法：补成大长方形BGJF，再减掉三角形ABG、BCF、AJC的面积。
方法4、等积转换：等底同高的三角形面积相等，三角形ABC的面积等于三角形ABE 的面积。
方法5、割法：暂时分割掉三角形ADC，阴影部分的面积就等于AGBE+CDEF-ABG-BCF+ADC。
方法6、补法：(1)延长AC交BF的延长线于K，阴影部分面积等于ABK-CBK(2)延长BC交GA的延长线于L，阴影部分面积等于ALB-ALC(3)延长BA交FC的延长线于N，阴影部分面积等于NCB-NCA方法7、如果想不到以上方法就按照真实长度用直尺画出图形，量出阴影三角形的底和高，进行求解。
例2、图中长方形的面积为35平方厘米，左边直角三角形的面积为5平方厘米，右上角直角三角形的面积为7平方厘米，那么中间三角形(阴影部分)的面积是多少平方厘米?A、12.5B、13.5C、15.5D、17.5特值法：点E、F具有任意性，所以设AB=5，AD=7，则BE=2，CE=5，DF=2，CF=3，S▲CEF=×CE×CF=×5×3=7.5，阴影部分面积=35-5-7-7.5=15.5。
行测数量关系技巧：行测阴影部分面积解题技巧.doc
各位亲爱的同学们，针对几何中的阴影部分面积问题，我们一定要掌握好它的解题方法，是不是感觉阴影部分面积也简单了很多?相信大家都能通过努力成功上岸，加油!
行测数量关系技巧：行测阴影部分面积解题技巧
行测数量关系技巧：行测阴影部分面积解题技巧
几何问题，是公务员考试行测中会涉及到的一个考点。总体来说，几何问题考察不会太难，只要大家将相关公式记住并熟练应用就可以。但几何问题中，有很多同学面对阴影部分面积的求解时感觉很难，导致在考场上的失分。还在备考的各位同学，大家是否了解阴影部分的求解方法有哪些呢?带着这个疑问，大家带来阴影部分面积的讲解。
一、常用方法
1、特值法：几个问题中，出现任意一点、任意多边形，可设特值，将任意点置于端点或中点，将任意多边形设为特殊多边形，然后进行求解。
2、等积转化：核心就是找到相同的底或相同的高，通过转化，从而求出答案。
3、割补法：核心就是把不规则图形，Biblioteka 过割补变成规则图形，然后再进行求解。
二、经典例题
考点一：特值法求解
与圆有关的计算求阴影部分面积-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)
与圆有关的计算求阴影部分面积 题型解读｜模型构建｜通关试练模型01 阴影部分面积计算求阴影部分面积在考试中主要考查学生对图形的理解和数形结合的认识能力具有一定的难度.一般考试中选择题或填空题型较多，熟练掌握扇形面积、弧长的计算、等边三角形的判定和性质，特殊平行四边形性质是解题的关键． 模型02 阴影部分周长计算求阴影部分弧长或周长的计算，掌握弧长计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．该题型一般考试中选择题或填空题型较多，圆心角是n °，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则S 扇形=n 360πR 2或S 扇形=12lR （其中l 为扇形的弧长）．熟练应用公式是解题的关键. 模型03 与最值相关的计算阴影部分面积和周长中求最值，此题有一定的难度，解题中注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．本题考查中经常与轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点相结合，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.求阴影部分面积方法总结 方法一 直接利用公式法求阴影部分面积方法二 直接或构造和差法求阴影部分面积 方法三 利用等积转换法求阴影部分面积方法四 利用容斥原理求阴影部分面积模型01 阴影部分面积计算 考｜向｜预｜测阴影部分面积计算问题该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为规则图形的面积进行求解，属于中考选择或填空题中的压轴题.答｜题｜技｜巧 第一步： 确定弧所对的圆心，（找圆心）第二步： 连接圆心与弧上的点；（连半径） 第三步： 确定圆心角度数（有提示角度的话注意求解相应角，没有提示角度的话一般为特殊角，大胆假设小心论证）第四步： 把不规则图形面积转化为规则图形面积进行求解例1．（2023·四川）一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD 中，6cm AB =，4cm BC =，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与BA 的延长线相交于点F ，则阴影部分的面积是（ ）A ．2(4π4)cm +B ．2(4π8)cm +C ．2(8π4)cm +D ．2(4π16)cm −【答案】A 【详解】解：由题意知4cm AF AD BC ===，10cm BF AF AB =+=，阴影部分的面积211π42S AB BC AD BF BC =⋅+−⋅ 21164π410442=⨯+⨯−⨯⨯244π20=+−4π4=+，故选A ．例2．（2023·湖北）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，3,6,AB AC O ==是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，则图中两个阴影部分面积的和为 ．【答案】5π−/5π−+【详解】解：如图，连接OD ，OE ，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，∴OD AB ⊥，OE AC ⊥，90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形， 又OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴AD DO OE AD ===，90DOE ∠=︒，90A OEC ∠=∠=︒，A C B E C O ∠=∠，∴ACB ECO ∠∽， ∴AC AB EC EO =，设AD DO OE AD r ====，则6EC AC AE r =−=−， ∴636r r =−，解得2r =，∴2AD DO OE AD ====， 90DOE ∠=︒，∴DOB 和EOC △所包含扇形的面积之和为：22180901ππ2π3604r ︒−︒⨯=⨯=︒，∴图中两个阴影部分面积的和为：21π362π5π2ABC ADOE S S −−=⨯⨯−−=−正方形，故答案为：5π−．模型02 阴影部分周长计算考｜向｜预｜测阴影部分弧长或周长计算该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查求与弧结合的不规则图形的周长，准确应用弧长公式是解题的关键.但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求规则图形的长度问题.答｜题｜技｜巧第一步： 观察图形特点，确定弧长和线段长；第二步： 利用弧长公式求长度；第三步： 求图形中其它边的长度；例1．（2023·河北）如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以B ，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相较于点P ，那么图中阴影部分①的周长为 ，阴影部分①②的总面积为 ．【答案】 2π+ 2233π【详解】解：连接PB 、PC ，作PF BC ⊥于F ，2PB PC BC ===，PBC ∴△为等边三角形，60PBC PCB ∴∠=∠=︒，30PBA ∠=︒，∴sin602PF PB =⋅︒=∴阴影部分①的周长AP BP l l AB =++ 3026022180180ππ⨯⨯=++2π=+阴影部分①②的总面积()2BPC ABP BPC S S S ⎡⎤=−−⨯⎣⎦扇形扇形223026021223603602ππ⎡⎤⎛⨯⨯=−−⨯⨯⎢⎥ ⎝⎣⎦ 23π=，，故答案为：2π+；23π．例2．（2023·浙江）如图，正方形ABCD 中，分别以B ，D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为 ．【答案】a π 【详解】解：四边形ABCD 是正方形，边长为a ，AB CB AD CD a ∴====，90B D ∠=∠=︒，∴树叶形图案的周长902180a a ππ⋅=⨯=．故答案为：a π． 模型03 与最值相关的计算 考｜向｜预｜测圆的弧长与面积和最值相关的计算主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题，进而解决求阴影部分的最值问题. 答｜题｜技｜巧 第一步： 观察图形特点，确定变量和不变的量（一般情况下弧长固定，线段长变化）第二步： 利用将军饮马或者“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等知识点进行转化 第三步： 牢记弧长公式，求对弧长和线段长；第四步： 利用数形结合思想注意确定最值；例1．（2023·江苏）如图，点C 为14圆O 上一个动点，连接AC ，BC ，若1OA =，则阴影部分面积的最小值为（ ）A ．3144πB ．142π−C ．24πD ．184π− 【答案】C【详解】解：连接AB ，OC '，AC '，BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足ABC 的面积最大即可， 从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，ABC 的面积最大，连接OC '，则OC AB '⊥于D ，12OD AB ∴===，1DC OC OD ''∴=−=，1111122AOB ABC AOBC S S S ''⎛∴=+=⨯⨯+⎝⎭四边形， 扇形AOB 的面积29013604ππ⨯==， ∴阴影部分面积的最小值42π=−，故选：C ． 例2．（2022·浙江）如图，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，P 的坐标为（2，2），弦AB 经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（）A ．8πB ．323πC ．8π﹣16D ．323π−【答案】D【详解】解：由题意当OP ⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，∵P （2，2），∴，∵OA'=OB'=∴=，∴tan ∠A'OP=tan ∠，∴∠A'OP=∠B'OP=60°，∴∠A'OB'=120°，∴S 阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB''=()212042132462236023ππ−=− ，故答案为：D ． 例3．（2023·吉林）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，以AB 直径作圆，P 为BC 边的垂直平分线DE上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为．【答案】483π+【详解】解：如图，连接CE ，连接BP∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，∴点C 和点B 关于直线DE 对称，∴CP BP =,∴AP CP AP BP +=+∴当动点P 与点E 重合时AP BP +最小，此时AP CP +最小，∵90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，∴28AB AC ==，4AE =,∴CP AP AC ==，∴ACP △是等边三角形，∴60APC ∠=︒，∵8AP CP AP BP AB +=+==， ∴阴影部分的周长最小值为6044881803ππ︒⨯⨯+=+︒. 故答案为483π+.1．（2023·江苏）如图，在Rt ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==,,，以O 为圆心的半圆分别与AB AC 、边相切于D E 、两点，且O 点在BC 边上，则图中阴影部分面积S =阴（ ）A ．12B ．π3C ．35π4−D ．15036π4949− 【答案】D 【详解】解：连接,OD OE ，设O 与BC 交于M 、N 两点，∵AB AC 、分别切O 于D 、E 两点，∴90ADO AEO ∠=∠=︒，又∵90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形，∵OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴90DOE ∠=︒，∴90DOM EON ∠+∠=︒，设OE x =，则AE AD OD x ===，4EC AC AE x =−=−． ∵,90C C CEO A ∠=∠∠=∠=︒，∴COE CBA ∽， ∴CE OE CA AB = ， ∴443x x −= ， 解得127x = ，∴()ABC ADOE DOM EON S S S S S =−−+阴影正方形扇形扇形 22129011273427360π⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯⨯−− ⎪⎝⎭ 150364949π=−．故选D ．2．（2022·湖北）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、F ．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）．A ．13πB ．43πC ．23π D3− 【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB ＝∠DAC ，∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠OAD ，∴∠ODA ＝∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB ＝∠C ＝90°，∴S △AFD ＝S △OFA ，∴S 阴＝S 扇形OFA ，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OFA＝2 6022= 3603 p p.故选：C．3．（2023·安徽）如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O重合，且AB BC=，则阴影部分面积与圆的面积之比为（）A B C D【答案】B【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OC设正六边形的边长为1，则1OA =，60AOB ∠=︒，OA OB =∴AOB 为等边三角形，则60BOA OBA ∠=∠=︒，1OA OB AB ===，2AC =，∴BCO BOC ∠=∠，又∵ABO BCO BOC ∠=∠+∠，∴30BCO BOC ∠=∠=︒，则=90AOC ∠︒，∴OC所以圆的面积为3π，正六边形的面积为1166sin 6061122AOB S AB OA =⨯⋅⋅︒=⨯⨯⨯△，则阴影部分面积与圆的面积之比为23π=， 故选：B ．4．（2022·广西）如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值等于（ ）A ．2π﹣4B ．4π﹣8 CD【答案】D 【详解】由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小，∵P），∴OP=2，∵OA=OB=4，∴∴tan ∠AOP=tan ∠∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠AOB=120°，∴S 阴=S 扇形OAB ﹣S △AOB=2120·41-23602π⨯= ，故选D ．5．（2023·山东）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB 、两点，分别以AB 、两点为圆心，画与x 轴相切的两个圆，若点A 的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（ ）A ．12πB ．14πC ．πD ．4π【答案】C【详解】解：∵点A 的坐标为（2，1），且⊙A 与x 轴相切，∴⊙A 的半径为1，∵点A 和点B 是正比例函数与反比例函数的图象的交点，∴点B 的坐标为（-2，-1），同理得到⊙B 的半径为1，∴⊙A 与⊙B 关于原点中心对称，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分完全重合，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分的面积相等，∴图中两个阴影部分面积的和=π•12=π．故选C ．6．（2023·山西）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，点O 在AB 上，以O 为圆心作圆与BC 相切于点D ，与AB 、AC 相交于点E 、F ；连接AD 、FD ，若O 的半径为2．则阴影部分面积为（ ）A ．13πB ．43πC ．23πD ．23π【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵O 与BC 相切，∴90ODB ∠=︒.∵90C ∠=︒，∴ODB C ∠=∠，∴OD AC ∥，∴.AFD OFA S S =，∴OFA S S =阴影扇形，∵30B ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∵OF OA =，∴AOF 是等边三角形，∴60AOF ∠=︒， ∴260223603OFA S S ππ⋅⋅===阴影扇形．故选C ．7．（2023·黑龙江）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，分别以点A ，B 为圆心，AC ，BC 的长为半径作圆，分别交AB 于点DE ，则弧CD 弧CE 和线段DE 围成的封闭图形（图阴影部分）的面积 （结果保留π）【答案】4π8−【详解】解：∵904ACB AC BC ∠=︒==，， ∴14482ABC S =⨯⨯=△，4542CAD S ππ⨯==扇形，()282164S ππ=⨯−=−空白， ∴()816448ABC S S S ππ=−=−−=−阴影空白，故答案为：48π−．8．（2022·河南）在矩形ABCD 中，4,AB AD ==，以BC 为直径作半圆（如图1），点P 为边CD 上一点．将矩形沿BP 折叠，使得点C 的对应点E 恰好落在边AD 上（如图2），则阴影部分周长是 ．4+/4【详解】解：设阴影部分所在的圆心为O ，如图，连接OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠A=90°，由折叠得，BE BC ==∵4,AB =∴4AE ==∴,AB AE = ∴1(18090)452ABE AEB ∠=∠=︒−︒=︒∴90904545,OBE ABE ∠=︒−∠=︒−︒=︒∵OB OF =∴45OBF OFB ∠=∠=︒∴180454590BOF ∠=︒−︒−︒=︒∴BF 的长==，4BF ==，∴ 阴影部分周长4+4+．9．（2022·内蒙古）如图，在Rt AOB 中，90AOB ∠=︒，以O 为圆心，OB 的长为半径的圆交边AB 于点D ，点C 在边OA 上且CD AC =，延长CD 交OB 的延长线于点E ．(1)求证：CD 是圆的切线；(2)已知4sin 5OCD ∠=，AB =AC 长度及阴影部分面积． 【答案】(1)证明见详解；(2)AC=3，阴影部分面积为50-43π．【详解】（1）证明：连接OD∵OD=OB∴∠OBD=∠ODB∵AC=CD∴∠A=∠ADC∵∠ADC=∠BDE∴∠A=∠EDB∵∠AOB=90°∴∠A+∠ABO=90°∴∠ODB+∠BDE=90°即OD ⊥CE ，又D 在o 上∴CD 是圆的切线；（2）解：由（1）可知，∠ODC=90°在Rt △OCD 中，4sin 5OD OCD OC ∠==∴设OD=OB=4x ，则OC=5x ，∴3CD x∴AC=3x∴OA=OC+AC=8x在Rt △OAB 中：222OB OA AB +=即：()()(22248x x += 解得1x =，（-1舍去）∴AC=3，OC=5，OB=OD=4在Rt △OCE 中，4sin 5OE OCD ∠==∴设OE=4y ，则CE=5y ，∵222OE OC CE +=()()222455y y += 解得53y =，（53−舍去） ∴2043OE y ==219012050-5-4-42360233OB S OE OC πππ⋅=⋅=⨯⨯=阴影 ∴阴影部分面积为50-43π．1．如图，在以点O 为圆心的半圆中，AB 为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，则图中阴影部分面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．3πD ．23π 【答案】D 【详解】∵AB 是直径，且AB=4，∴OA=OE=2，∵使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，∴AC=OC=OD=DB=1，∴CD=2，∴△EOF 是等边三角形，∴∠EOF=60°，S 半圆=21222=ππ⨯，S 长方形CDFE=2∴S 阴=S 长方形CDFE -(S 半圆-S 长方形CDFE)+2（S 扇形OEF -S △EOF ）=212232+（-ππ⨯=23π 故选D.2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 是AB 中点，在AD 上取一点G ，以点G 为圆心，GD 的长为半径作圆，该圆与BC 边相切于点F ，连接DE ，EF ，则图中阴影部分面积为（ ）A．3πB．4πC．2π+6D．5π+2【答案】B【详解】如图，连接GF，∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝6，∠ADC＝∠C＝90°＝∠A＝∠B，AB＝CD＝4∵点E是AB中点∴AE＝BE＝2∵BC与圆相切∴GF⊥BC，且∠ADC＝∠C＝90°∴四边形GFCD是矩形，又∵GD＝DF∴四边形GFCD是正方形∴GD＝GF＝CD＝CF＝4∴BF＝BC﹣FC＝2∵S阴影＝（S四边形ABFD﹣S△AED﹣S△BEF）+（S扇形GDF﹣S△GDF）∴S阴影＝（(26)4116222222+⨯−⨯⨯−⨯⨯）+（4π﹣1442⨯⨯）＝4π.故选B．3．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画AB，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，求阴影部分面积( )A ．4π−B ．6πC ．42π−−D ．43π−−【答案】C【详解】过E 点作EM ⊥BC 于M 点，作EN ⊥AB 于N 点，如图，∵BE ⊥CE ，∴∠BEC=90°，∵∠BCE=30°，∴∠EBC=60°，∵EM ⊥BC ，∴在Rt △EMC 中，∴tan ∠ECM=EM MC =tan30°=，∴，∴∴在Rt △EBM 中，∴tan ∠EBM=EMBM∴BM=，∵BM+MC=BC=4，∴=4，∴EM =∴BM=1==，∵NE ⊥AB ，EM ⊥BC ，且∠ABC=90°，∴四边形BMEN 是矩形，∴NE=BM=1，∵AB=BC=4，∠ABC=90°，∴1141222ABE S AB NE =⨯⨯=⨯⨯=△，11422BEC S BC EM =⨯⨯=⨯=△22901443604ABCS AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=扇形o o∴42ABE BEC ABC S S S S π=−−=−−△△阴影扇形故选：C ．4．如图，正三角形ABC 的边长为4cm ，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，2cm 为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）A ．（π）cm 2B ．（πcm 2C ．（2π）cm 2D ．（2π-cm 2【答案】C【详解】连接AD ，∵△ABC 是正三角形，∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，∵BD=CD ，∴AD ⊥BC ，∴=∴S 阴影=S △ABC -3S 扇形AEF=1226023360π⨯⨯2π)cm2，故选C ．5．如图，在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，将Rt AOB △绕点O 顺时针旋转90︒后得Rt FOE △，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90︒后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（ ）A ．πB ．5π+C ．524π−D ．724π− 【答案】C 【详解】解：作DH AE ⊥于H ，∵90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，∴AB 由旋转，得EOF BOA ≌，∴OAB EFO ∠=∠，∵90FEO EFO FEO HED ∠+∠=∠+∠=︒，∴EFO HED ∠=∠，∴HED OAB ∠=∠，∵90DHE AOB ∠=∠=︒，DE AB =，∴()AAS DHE BOA ≌，∴1DH OB ==，阴影部分面积ADE =V 的面积EOF +V 的面积+扇形AOF 的面积−扇形DEF 的面积211902905311222360360ππ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+−5124π=−故选：C ．6．如图，在半径为2、圆心角为90︒的扇形OAB 中，2BC AC =，点D 从点O 出发，沿O A →的方向运动到点A 停止．在点D 运动的过程中，线段BD ，CD 与BC 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（ ）A ．23πB ．213π−C ．3πD ．132π− 【答案】B【详解】当点D 在线段OA 上时，易得当点D 与点A 重合时，阴影部分面积最小，连接OC 、BC ，过点C 作CH OA ⊥于点H ，如图，190303AOC ︒︒∠=⨯=，112CH OC ∴==， ∵290603BOC ︒︒=⨯=∠， ∴260223603BOC S =⨯⨯=扇形ππ．∴ 2112212213223BOC AOC AOB S S S S ππ=+−=+⨯⨯−⨯⨯=−△△阴扇形；∴线段BD 、CD 与BC 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为213π−．故答案为B ．7．如图，矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差12S S −为（ ）A ．13124π−B ．9124π−C ．1364π+D ．6【答案】A 【详解】解：∵在矩形ABCD 4,3AB BC ==，F 是AB 中点，∴2BF BG ==，∴12ABCD ADE BGF S S S S S −+=−矩形扇形扇形， ∴22129039021343123603604S S πππ⋅⨯⋅⨯−=⨯−−=−， 故选A ．8．如图，在半径为4的扇形OAB 中，90AOB ∠=︒，点C 是AB 上一动点，点D 是OC 的中点，连结AD 并延长交OB 于点E ，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）A ．44π−B ．4πC ．24π−D ．2π【答案】B 【详解】∵点D 是OC 的中点，2OD =，∴点D 在以O 为圆心2为半径的圆弧上，∴可知当AE 与小圆O 相切于D 时，OE 最大，即△AOE 的面积最大，此时阴影部分的面积取得最小值， ∵24OA OD ==， ∴1sin =2OD OAE OA =∠,则30OAE ∠=︒，∵∠AOB=90°，∴tan OE OA OAE =⋅∠=，∴4OAE OAB S S S π=−=阴影扇形， 故选B ．9．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、.F 若圆半径为2.则阴影部分面积= ．【答案】23π/23π【详解】解：连接OD ，OF ．AD 是BAC ∠的平分线，DAB DAC ∴∠=∠，OD OA =，ODA OAD ∴∠=∠，ODA DAC ∴∠=∠，OD ∴∥AC ，90ODB C ∴∠=∠=︒，∴AFD OFA S S =，∴OFA S S =阴扇形，2OD OA ==，6AB =，4OB ∴=，2OB OD ∴=，30B ∴∠=︒，60A ∴∠=︒，OF OA =，AOF ∴是等边三角形，60AOF ∴∠=︒，260π22π3603OFA S S ⋅∴===阴影部分扇形，故答案为：2π3．10．如图，在Rt ABC 中，30A ∠=︒，BC =点O 为AC 上一点，以O 为圆心，OC 长为半径的圆与AB 相切于点D ，交AC 于另一点E ，点F 为优弧DCE 上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 ．【答案】223π+ 【详解】解：连接DE ，OD ，∵Rt ABC 中，30A ∠=︒，BC =∴6tan 30BC AC ===︒，∵AB 为O 的切线，∴90ADO ∠=︒，∴2AO OD =，60AOD ∠=︒，∵OD OE OC ==，∴36AC AO OC OD =+==，△ODE 为等边三角形，∴2DE OE OD OC ====，∵S 阴影=S 弓形DGE+S △DEF∴当OF ⊥DE 时，阴影部分面积最大，此时OF 与DE 交于G ，∴∠DOG=∠EOG=30°，∠DGO=90°，∴cos302OG OD =⋅︒==，2GF OG OF =+=，∴S 阴影= S 扇形ODE - S △DEO +S △DEF=260211222(22360223ππ⨯⨯−⨯⨯⨯=+．11．如图，点C 为14圆O 上一个动点，连接AC ，BC ，若OA ＝1，则阴影部分面积的最小值为 ．【答案】42π−【详解】取弧AB 的中点C′，连接AB 、OC '、AC '、BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足△ABC 的面积最大即可，从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，△ABC 的面积最大，则OC AB '⊥于D1222OD AB ∴===12DC OC OD ''∴=−=−1111(122AOB ABC AOBC S S S D D ''∴=+=⨯⨯+=四边形扇形AOB 的面积29013604ππ⨯== ∴阴影部分面积的最小值为4π=故答案为：4π．12．如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值= ．【答案】【详解】解：由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小．∵P，∴OP=2．∵OA'=OB'=4，∴∴tan ∠A'OP=tan ∠∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠A'OB'=120°，∴S 阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB'=2120π4360⋅⋅﹣122⋅．故答案为：．13．如图，扇形OAB 中，OA R =，60AOB ∠=︒，C 为弧AB 的中点，点D 为OB 上一动点，连接AD DC 、，当阴影部分周长最小时，tan ADC ∠等于 ．【答案】【详解】解：如图，作点C 关于OB 的对称点E ，连接AE 交OB 于点F ，连接FA 、OC ， 由对称可知，DC DE =，FC FE =，∵AD CD AD DE AE AF EF +=+≥=+，当点D 移动到点F 时，取等号，此时AD CD +最小， ∵C 为弧AB 的中点，∴AC BC =，则30AOC COB BOE ∠=∠=∠=︒，90AOE ∴∠=︒， 又OA OE =，∴45OEF ∠=︒，∴304575EFB BOE OEA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，由轴对称可知，75CFB EFB ∠=∠=︒，∴30AFC ∠=︒，∴当阴影部分周长最小时，30ADC AFC ∠=∠=︒，则tan ADC ∠= ．故答案为：．14．如图，扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，M 切弧AB 于点C ，切OA ，OB 分别于点D ，E ，若1OA =，则阴影部分面积的周长为 ．【答案】13π16−+【详解】∵⊙M 内切于扇形AOB ，∴C 、M 、O 三点共线，连接C 、M 、O ，连接ME 、MD ，如图所示，根据相切的性质可知DM ⊥AO ，ME ⊥OB ，设⊙M 的半径为R ，∴ME=MD=MC=R ，∠MDO=∠MEO=90°，结合MO=MO ，可得t t R MDO R MEO ≅△△，∴∠MOD=∠MOE=12∠AOB=120°×12=60°，∴在Rt △MOE 中，∠OME=90°-∠MOE=30°，∴OE=ME=R ，OM=2OE=R ，又∵OA=OC=OB=1，∴OM+MC=1，即R+R=1，解得R=3，∴OE=2BE=OB -1，∵∠MOE=60°，∴»60123603BC OA ππ=⨯⨯=o o ，∵∠OME=30°，∴∠CME=180°-∠OME=180°-30°=150°，15015015223603606EC ME R πππ=⨯⨯=⨯⨯=−，则阴影部分的周长为：BE+BC +EC 1+13π+156π−=1316π−，故答案为：1316π−．15．如图，在AOB 中，2OA =，3OB =，32AB =．将AOB 绕点O 逆时针旋转45︒后得到COD △，则图中阴影部分（边AB 扫过的图形）的周长为 ．【答案】534π+ 【详解】解：∵32CD AB ==，AC 的长为4521801802n OA πππ⋅⨯==，BD 的长为45331801804n OB πππ⋅⨯==，∴阴影部分的周长为533534224AC BD AB CD ππ+++=++=+． 故答案为534π+． 16．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D ．(1)若25B ∠=︒，求AD 的度数；(2)若D 是AB 的中点，且4AB =，求阴影部分（弓形）的面积．【答案】(1)50°(2)23π【详解】（1）解：连接CD ，如图，90ACB ∠=︒，25B ∠=︒，902565BAC ∴∠=︒−︒=︒，CA CD =，65CDA CAD ∴∠=∠=︒，180656550ACD ∴∠=︒−︒−︒=︒，∴AD 的度数为50︒；（2）解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，D 是AB 的中点，90ACB ∠=︒，122CD AD BD AB ∴====，CD CA =， ACD ∴为等边三角形，60ADC ∴∠=︒，sin 60CH CD =⋅︒=∴阴影部分的面积260212236023ACD ACD S S ππ⋅⋅=−=−⨯=扇形17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC , 以AB 为直径作圆O ，分别交AC , BC 于点D 、E ．(1)求证：BE ＝CE ;(2)当∠BAC ＝40°时，求∠ADE 的度数；(3)过点E 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点F ,当AO ＝BE ＝2时,求图中阴影部分面积．【答案】(1)见解析(2)110︒(3)23π【详解】（1）证明：如图，连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∴AE ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BE=CE ；（2）∵AB=AC ，AE ⊥BC ，∠BAC ＝40° ∴1==20°,2BAE BAC ∠∠∴∠ABE=90°-∠BAE=70°，∵四边形ABED 是圆内接四边形,∴∠ADE=180°-∠ABE=110°，（3）连接OE ，∵EF 是O 的切线，∴OE EC ⊥，∵22AO BE OB OE AO =====，，∴BOE 是等边三角形，∴60BOE ∠=︒，30F ∠=︒∴EF ==∴160××42==223603OEF OBE S S S ππ−⨯⨯阴影部分扇形． 18．如图，ABC 中，90,ACB BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点O ，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若30,4CAO OC ∠=︒=，求阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）163π−【详解】解：（1）证明：过O 作OD AB ⊥于D ，如图所示，90,ACB ∠=︒OC AC ∴⊥， OA 平分,BAC ∠OD OC ∴=， OC 为O 的半径，OD ∴为O 的半径，AB ∴是O 的切线．（2）∵OD ⊥AB ，∴∠ODB=90°，∵∠CAO=30°，∠ACB=90°，∴∵∠AOC=90°-30°=60°，∴∠COD=2∠AOC=120°，由（1）得：AB 是⊙O 的切线，OC ⊥AC ，∴AC 为⊙O 的切线，∴∴阴影部分面积=△AOC的面积+△AOD的面积-扇形OCD的面积2 1112044422360π⨯=⨯+⨯−163π=．。
求阴影部分面积试题和答案
求阴影部分面积例1.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形)例8.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：π()=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。
中考数学复习：专题9-15 例谈求阴影部分面积的几种常见方法
例谈求阴影部分面积的几种常见方法【专题综述】在初中数学中，求阴影部分的面积问题是一个重要内容，在近年来的各地中考试题中屡见不鲜．这类试题大多数都是求不规则图形的面积，具有一定的难度，因此，正确把握求阴影部分面积问题的解题方法，显得尤为重要．本文举例介绍解决这类问题的常见方法．【方法解读】一、直接求解法例1 如图1，有一矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，AD变到AD1位置，折痕为AE．再将△AED1以D1E为折痕，向右折叠，AE变到A1E位置，且A1E交BC于点F．求图中阴影部分的面积．分析因为阴影部分是一个规则的几何图形Rt△CEF，故根据已知条件可以直接计算阴影部分面积．解如图1，根据对称性可得AD＝AD1＝A1D1＝6．由已知条件易知：EC＝D1B＝4，BC＝6；Rt△FBA1∽Rt△FCE．设FC为x，则FB＝6－x．二、间接求解法例2 如图2，⊙O1与⊙O2外切于点C，且两圆分别和直线l相切于A、B两点，若⊙O1半径为3cm；⊙O2半径为1cm，求阴影部分面积．分析这是求一个不规则图形的面积，没有现成的面积公式，因此应采用间接的方法，设法转化为规则图形的面积的和或差去计算．三、整体合并法例3 如图3，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，求三个阴影部分面积之和．分析所求的阴影部分面积是三个扇形面积之和，因为三个扇形圆心角度数不知道，所以无法单独求解，但仔细观察发现，三个扇形的圆心角分别是△ABC的三个内角，其和为180°，而扇形半径都相等，所以三个扇形能合并成一个半圆．于是问题获解．解如图3，因为三个圆的半径相等，三个扇形圆心角之和是180°，所以其面积就是半圆面积．四、等积变换法例4 如图4，A是半径为R的⊙O外一点，弦BC为3R，OA∥BC，求阴影部分面积．分析本题的阴影部分是不规则的图形，求其面积较困难，但灵活运用等积变换，就可以把它的面积转化为扇形OBC的面积，从而获解．解连接OC，OB，五、分割法例5 如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，求阴影部分面积．分析阴影部分图形不规则，不能直接求面积，可以把它分割成几个部分求面积的和．解如图5，连接CD．∵AC、BC是直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴A、D、B三点共线．设阴影部分面积被分割为S1、S2、S3、S4四部分．则六、转化法例6如图(1)，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB ＝4cm，求阴影部分面积．分析如果想直接求阴影部分面积，无法求解，因为它不是规则图形．但要采取转化思想，把小半圆平移到与大半圆的圆心重合的位置，作OE⊥AB于点E．连接OB，可知BE＝2cm，阴影部分面积等于大半圆面积减去小半圆的面积．解如图(2)，将小半圆O1移至与大半圆圆心重合，作O E⊥AB于点E，则BE＝12AB＝2cm．设大圆半径为R，小圆半径为x，在Rt△OEB中，有七、割补法例7 如图7，点P(3a，a)是反比例函数y＝12x与⊙O在第一象限内的一个交点，求阴影部分的面积．分析阴影部分分两部分，难于逐一求解，但考虑反比例函数的对称性，结合割补原理，问题变得特别简单．解如图7，把右上角的S1部分分割下来，移到左下方补在S3处，与S2就组成了一个扇形OAB．易知：∵P(3a，a)在反比例函数y＝12x的图象上，∴3a＝12a．解得：a1＝2，a2＝－2（舍去）．∴P坐标为(6，2)．连接OP，作PC⊥x轴于点C，得：八、方程建模法例8如图8，正方形边长为a，以每边为直径在正方形内画四个半圆，求阴影部分的面积．分析本题直接求阴影部分面积较复杂，但观察图形特点引入方程的思想，问题变得非常简单．解正方形由四个阴影花瓣和四个空白图形组成，如图8，设一个阴影花瓣面积为x，一个空白图形面积为y．根据题意得：因此阴影部分面积为．222aaπ-．【强化训练】1．（2017内蒙古包头市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=42，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1B．π+2C．2π+2D．4π+12．（2017四川省凉山州）如图，一个半径为1的⊙O1经过一个半径为2的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为（）A．1B．12C．2D．223．（2017四川省资阳市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为（）A．1312πB．34πC．43πD．2512π4．（2017衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积是（）A．252πB．10πC．24+4πD．24+5π5. （2017云南省）如图，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、F、G、H．则图中阴影部分的面积为．6．（2017吉林省）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画BE，CE．若AB=1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．7. （2017四川省达州市）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC=33，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=92CE；④32S阴影．其中正确结论的序号是．8. （2017湖北省恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，以直角边AB为直径作半圆交AC于点D，以AD为边作等边△ADE，延长ED交BC于点F，BC=23，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）9. （2017内蒙古赤峰市）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD 与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：A M是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．10．（2017新疆）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：B E是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．。
六年级数学阴影部分面积解题技巧
六年级数学阴影部分面积解题技巧
六年级数学中，一个重要的知识点就是求解阴影部分的面积。
掌握这一技巧对于解决数学问题至关重要，因为很多问题都需要求出面积。
以下是一些六年级数学阴影部分面积的解题技巧：
1. 明确几何图形的类型
首先，我们需要明确所求几何图形的类型。
例如，圆形、三角形、矩形、梯形等。
不同类型的几何图形有不同的面积计算公式。
因此，我们需要先确定所求图形的类型，以便选择正确的面积计算公式。
2. 计算几何图形的周长
在计算面积之前，我们需要先计算几何图形的周长。
因为有些几何图形的面积可以通过周长和半径或边长来计算。
例如，圆形的面积可以通过周长和π来计算。
因此，我们需要先计算出所求图形的周长。
3. 套用面积计算公式
根据所求几何图形的类型，我们可以套用相应的面积计算公式。
例如，圆形的面积可以通过周长和π来计算。
因此，我们需要根据所求图形的类型，选择正确的面积计算公式。
4. 检验答案
最后，我们需要检验所得答案的正确性。
我们可以重新审视所求几何图形的类型和面积计算公式，检查所得答案是否符合题意。
如果所得答案不符合题意，我们需要重新计算或检查之前的计算步骤。
总之，掌握这些六年级数学阴影部分面积的解题技巧对于解决数学问题非常重要。
例说平面图形阴影部分面积的求法
例说平面图形阴影部分面积的求法连州市慧光中学 欧阳礼［摘 要] 本文主要对平面图形中求阴影部分面积，作具体的方法介绍。
[关键词] 作差法 等积法 重叠法 割补法 位移法 特值法 方程法九年制义务教育课本中“求阴影部分面积”的题目大量出现，并且在中考和数学竞赛中，也逐步增多出现.不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的。
此类题目能较好地考查学生的识图能力和数学综合知识.本文通过实例介绍求阴影部分面积的几种常用方法。
（一)和差法.对于求图形面积问题,计算时往往将所求图形的面积转化为规则图形的面积和或差，这是求面积的常用方法．【例1】如图1，正方形的内切圆的半径为r ，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积是（ )。
（A) ； （B ） ; （C ）（π－1）r 2; （D ）(π－2) r 2.解：一个弓形的面积等于正方形外接圆面积与正方形面积的差的四分之一,得故选（B ）。
【例2】如图2，已知边长为a 的正方形ABCD 内接于⊙O ，分别以正方形的各边为直径向正方形外作半圆，求四个半圆与⊙O 的四条弧围成的四个新月形的面积.解：四个新月形的面积S 等于正方形面积与四个半圆面积的和减去⊙O 的面积:【例3】如图3，B 是AC 上的一点，分别以AB 、BC 、AC 为直径作半圆,从B 作BD ⊥AC,与半圆相交于D 。
求证：图中阴影部分面积等于以BD 为直径的圆的面积.证：∵AC=AB ＋BC ，因BD ⊥AC ，∠ADC=90°,故BD 2 =AB ·BC 。
∴ 阴影部分面积等于以BD 为直径的圆的面积。
()()()222241222r r r S -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ππ阴影 2222222214a a a a S =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=ππ BC AB BC AB AC S ·4222222222ππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=阴影 以BD 为直径的圆面积2242·BD BD S ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=圆 ()212r -π ()222r -π 图1 r O图2(二）等积法。
求阴影部分的面积的方法总结
求阴影部分的面积的方法总结求阴影部分面积是历年来各地市考试的热点，分值只有3分，考核的内容可谓是灵活多变，只要是与面积有关的知识点都有可能在这道题目中出现，很多时候阴影部分都不是规则图形，需要同学们认真分析，利用转化思想，将不规则图形转化为规则图形，利用规则图形的差或和进行求解，达到解决问题的目的，最常用的公式：三角形面积公式，扇形面积公式等.想顺利解决求阴影部分的面积，不仅需要牢记公式，而且还要学会观察与分析，认真分析阴影部分的图形可以转化为什么样的规则图形.下面举例说明：一．和差法：将不规则图形转化为规则图形.通过运用规则图形的面积减去另一些规则图形的面积，达到求出阴影部分面积的目的.例1.如图1，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆，分别交AB,AC边于点D，E，再以C为圆心，CD长为半径作圆，交BC边于点F，连接E,F，那么图中阴影部分的面积为.图1【分析】这是一道填空题，分值是3分.如图2阴影部分不是规则图形，不能直接求出.此图形中的三块空白部分分别是①扇形DAE ：记为S ①；②三角形EFC ，记为：S ②；③不规则图形，但可以看成△BDC的面积-扇形DCF 的面积.记为：S ③. 所以阴影部分的面积等于△ABC 的面积-①的面积-②的面积-③的面积. =-ABC S S S S S ∆--阴影①②③ 下面分别求出.ABC S S S S ∆①②③、、、因为△ABC 是等边三角形，根据等边三角形的面积公式可得：2323ABC S ∆=⨯=， 因为①扇形DAE 是圆心角为60°，半径为1的扇形 所以：60==3606DAE S S ππ=①扇；如图 3.图形 ②是△EFC ，底边是CF ，CF=CD ；因为△ABC 是边长为2的等边三角形，所以CD=3232⨯=， ∴CF=CD=3；过F 作FH ⊥BC ， 则∠EHC=90°，因为△ABC 是等边三角形，所以∠ECH=60°，在Rt △ECH 中，图2图3HEC=AC-AE=2-1=1，EH=ECsin60=2所以S ②=13224ECF S ∆==; 下面计算图形③的面积，因为D 是AB 的中点，所以CD ⊥AB ，且CD 平分AB ，且CD 平分∠ACB ，所以11222BCD ABC S S ∆∆===；所以2303604DCF S ππ⨯==扇形所以③的面积S ③=24BCD DCFS S π∆-=-扇形; 所以阴影部分的面积：33=-644412ABCS S S S S πππ∆⎫--=---=+⎪⎪⎝⎭阴影①②③ 小结：本题属于较难的题目，图形①是规则图形；图形②也是规则，可以利用公式进行计算，但是图形③是不规则图形，然后再找出规则图形进行计算.也就是说阴影部分是不规则图形，里面还包括不规则图形，这就需要学生在中考时保持冷静的头脑，仔细分析，认真思考，逐步解决这道难题.从这道题目可以看出，目前的中考难度较大，有利于天才学生的选拔，但是不利于培养全体学生的学习数学的信心.例2.如图4.AC ⊥BC ，AC=BC=2,以BC 为直径作半圆，圆心为O ，以C 为圆心，BC 的长为半径作 ，过点O 作AC 的平行线分别交两弧于点D,E ，则图中阴影部分的面积是【分析】如图5，连接CE ，则阴影部分的面积可以看成扇形ECB 的面积-△COE 的面积-扇形DOB 的面积.由题意可知，CE=CB=2CO=2，∠COE=90°，所以∠ECO=60°；则OE=3；∴22=602190113360236053122ECO EOB DOB S S S S πππ--⨯⨯⨯=-⨯⨯-=-△阴影扇形扇形 【总结】这道题目需要先作辅助线构造扇形与直角三角形，然后通过从扇形中减去直角三角形的面积和一个小扇形的面积就可以得到阴影部分的面积.例3.如图，在矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，以点B 为圆心，BC 为半径画弧，交AD 于点E ，再作以AE 为直径的半圆，则图中阴影部AB图4图5分的面积为 .【分析】阴影部分的面积等于矩形的面积-以AE 为直径的半圆面积-空白EDC 的面积.空白EDC 的面积=梯形EDCB 的面积-扇形EBC 的面积. 【解】∵矩形ABCD，BC=AD=2,AB=CD=1∴∠BAD=∠ABC=∠D=∠BCD=90° 由题意得BE=BC=2，在Rt △ABE 中，由勾股定理得，,∠ABE=60°， ∴∠EBC=30°()2-302=2360(22)22323EDC BCDE EBCS S S CD ED BC πππ=•+⨯--=-=--梯形扇形以AE 为直径的半圆面积=213228ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭∴3=2--8324S πππ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭阴影 【小结】求阴影部分的面积就是将不规则图形转化为规则图形来计算.所用的知识点不仅仅只有求面积的公式，而且还要用到解直角三角形的方法：勾股定理或锐角三角函数，求出相应的圆心角.所以要想解决求阴影部分的面积问题，不仅要牢记数学公式，而且还要学会观察，将不规则图形化为规则图形进行解决.图6C练习：1.如图7，∠AOB=90°，∠B=30°，以点O 为圆心，OA 为半径作弧，交AB 于点C ，交OB 于点D ，若OA=3，则阴影部分的面积为.二、等积转化法例 4.如图8.将四边形ABCD 绕顶点A 顺时针旋转45°至四边形AB /C /D /的位置，若AB=16cm ，则图中阴影部分的面积为 . 【解】////=-ABCD BAB AB C D S S S S +阴影扇形因为四边形ABCD 与四边形AB /C /D / 全等，所以阴影部分的面积就是扇形BA B //24516=32360BAB S S ππ⨯==阴影扇形【小结】这就是运用的等积转化法，将阴影部分转化为求扇形的面积【总结】求阴影部分的面积的方法不唯一，有的是直接用公式法，有的是直接运用和差法，还有的是需要构造和差，还有的是运用等积转图8O图7D CB化法.总之不管你用什么方法，只要能正确求出阴影部分面积即可.。
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行测解题技巧—特值法求阴影面积问题在行测考试中，几何问题可以说是必考的数学问题之一，而几何问题中求阴影面积的问题更是几何问题里较为典型和常考的一种题型。
因为这样的题型可以把几何问题所涉及的很多知识点在一道题目里涵盖出来，出题人可以通过这样的题型充分的考察考生对于几何问题的理解和掌握程度。
下面中公事业单位考试研究院杨明老师将为大家讲解特值法求阴影面积问题的方法。
对于求解阴影面积的问题，大家习惯用方法是割、补、等面积的方式，把一个不规则的阴影图形，转化成规则图形的面积加减求得(割补的方法)或者通过一个与之面积相等的规则图形(等面积法)求出。
但是你会发现这些方法不能解决所有的阴影面积问题，比如下面的一道题：
长为8宽为5的长方形内有一内接阴影四边形(如图所示)，则阴影四边形的面积是：( )。
A.15.5
B.21.5
C.20.5
D.20
对于这个题目，虽然外面的长方形是一个规则图形，而且明确给出了长、宽的数值，但是阴影部分却是一个四边形，是一个很任意的图形。
在这样的情况下，割、补、等面积的方法就不太适用了。
那对于这样的题目有没有更好的更快的解题方法呢?
答案是肯定的。
在说解题方法之前首先我们要明确一点，行测考试的题目都是单项选择题，单选题的特点告诉我们，正确答案只有一个，这其实就是说，及时图形不规则，形状任意，但是最终的面积是固定不变的。
在这样的情况下，我们就可以用特值的思想来帮助我们解决上面的问题。
题目中说阴影部分是一个四边形，那这样的话，我们就可以把这个四边形特定的看成一个平行四边形，，这样的情况下，周围的四个直角三角形的直角边长相应的也就确定了——根据图形可以知道，左上边的三角形两条直角边分别是3和2.5，面积就是3.75;左下边的三角形两条直角边分别是2和5.5，面积就是5.5;右上边的三角形两条直角边分别是5.5
和2，面积就是5.5;右下边的是3和2.5，面积就是3.75，由此阴影部分的面积就是8×5-2×3.75+2×5.5=21.5。
通过这样的题目可以看出，在求解阴影面积的时候，可以通过特值的方法，把看似不规则的图形特定成一个规则图形方便我们做题，也可以把一些不确定的长度或者面积，用特值定量之后，方便我们做题。
比如下面的题目，大家可以尝试用特值的方法去用一下。
长方形ABCD的面积是72平方厘米，E、F分别是CD、BC的中点。
问三角形AEF的面积为多少平方厘米?
A.24
B.27
C.36
D.40
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