螺旋理论

机械系统---机构学---自由度分析
螺旋理论基础----直线的矢量方程
直线在空间的位置决定于：直线的方向和直线上任一点的位置
r1 ( x1
y1
z1 ); r2 ( x2
y2
z2 )
S ( x1 x2 )i ( y1 y2 ) j ( z1 z2 )k Li Mj Nk
机械系统---机构学---自由度分析
螺旋理论基础----物理意义 r s s0
r s r ω v0
刚体上和坐标系原点 重合的那一点的速度
角速度矢量
ωs
机械系统---机构学---自由度分析
螺旋理论基础
万向铰轴线在空间的描述
机械系统---机构学---自由度分析
螺旋理论基础
螺旋理论基础
UPU分支运动螺旋系：
$1 1 0 0 ; 0 0 0 转动副： $ s ; r s $2 0 1 0 ; 0 0 0 $3 0 0 0 ; 0 0 1 移动副： $ 0 ; s
$4 0 1 0 ; a4 0 0 $5 1 0 0 ; 0 b5 0
机械系统---机构学---基本概念
当由构件组成机构时，为了使机构中各构件相互之间能具 有确定的相对运动关系，必须使构件间保持一定的接触形式， 使构件问既相互联接而又保持相对运动关氖这种特殊的接触形 式称为运动副。 两个以上构件以运动副联接而成的系统称为运动链
$1 1 0 0 ; 0 0 0 $2 0 1 0 ; 0 0 0 $3 0 0 1 ; 0 0 0 $4 0 0 0 ; 1 0 0 $5 0 0 0 ; 0 1 0 $6 0 0 0 ; 0 0 1
力偶：空间自由矢量，由方向 s 确定
约束沿 s 方向的移动
$ (0 ; s )
约束绕 s 方向的转动
（右手法则）
机械系统---机构学---自由度分析
3－UPU 并联机器人
空间三个线性无关的力偶约
束动平台的三个转动自由度
UPU分支具有5个自由度， 对动平台施加一个约束
$ r ( sr ; sr 0 ) (lr mr nr ; or pr qr )
机械系统---机构学---自由度分析
螺旋理论基础----旋量对偶原理
$r $1 sr s10 s1 sr 0 (lr o1 mr p1 nr q1 ) (l1 or m1 pr n1 qr ) 0 $r $2 sr s20 s2 sr 0 (lr o2 mr p2 nr q2 ) (l2 or m2 pr n2 qr ) 0 $r $5 sr s50 s5 sr 0 (lr o5 mr p5 nr q5 ) (l5 or m5 pr n5 qr ) 0
螺旋理论基础----移动描述----运动旋量
移动描述
(0 ; s )
机械系统---机构学---自由度分析
螺旋理论基础----运动描述
转动描述
(ω ; v0 )
机械系统---机构学---自由度分析
螺旋理论基础----力描述----力旋量
力矢量描述
( f ; m0 )
力偶描述
(0 ; s )
描述约束
物理意义：互易积为零的两个螺旋，一个表示物体运动，一个表示物体受到
的约束力，则互易积就是力螺旋对运动螺旋所作的瞬时功，如两个螺旋的互易积 为零，则表示力螺旋不能约束运动螺旋代表的瞬时运动。
机械系统---机构学---自由度分析
螺旋理论基础----旋量对偶原理
$ r $1 0 $ $2 0
球铰轴线在空间的描述
$1 1 0 0 ; 0 b1 c1
$ 2 0 1 0 ; a2 0 c2 $3 0 0 1 ; a3 b3 0
1 s1 0 0
x1 0 r1 y1 r s z1 z y 1 1
机械系统---机构学---基本概念
转动副 R：两个构件之间相对运动为绕某一轴线的转动
机械系统---机构学---基本概念
移动副 P：两个构件之间相对运动为平动
机械系统---机构学---基本概念
万向铰(虎克铰) U：两个轴线垂直相交的转动副构成 球铰 S ＝ 三个轴线垂直相交的转动副构成
机械系统---机构学---自由度分析
机构的自由度：确定机构中某一构件相对于机架的位置所需的 独立参变量的数目。
Grübler-Kutzbach自由度计算公式
M d n g 1 fi
i 1
g
M: 机构的自由度数 d: 机构的阶数 n: 机构的构件数 g: 机构的运动副数 fi: 第i个运动副的自由度数
机械系统---机构学---自由度分析
机械系统---机构学---基本概念
自由度和约束
空间不受约束的刚体具有 6 个自由度：沿 X,Y,Z 3个移动 绕 X,Y,Z 3个转动 自由度数＝6－约束数
机械系统---机构学---基本概念
运动副：两个构件之间直接接触所形成的可动联接
两个相邻构件直接接触 两者之间允许一定的相对运动
每个构件至少和另外一个构件通过运动副联接
刚体运动螺旋系
机械系统---机构学---自由度分析
3－UPU 并联机器人
U：自由度数＝2 P：自由度数＝1 U：自由度数＝2
约束数＝6－2－1－2＝1
机械系统---机构学---自由度分析
螺旋理论基础----旋量对偶原理
$1 ( s1 ; s10 )
$2 ( s2 ; s20 )
$1和$2对偶
机械系统---机构学---基本概念
当由构件组成机构时，为了使机构中各构件相互之间能具 有确定的相对运动关系，必须使构件间保持一定的接触形式， 使构件问既相互联接而又保持相对运动关氖这种特殊的接触形 式称为运动副。
$1 0 1 0 ; 0 0 0
$5 0 0 0 ; 0 1 0
$1 1 0 0 ; 0 0 0 $2 0 1 0 ; 0 0 0 $3Βιβλιοθήκη Baidu 0 0 1 ; 0 0 0
$ $1 0
r
$ r $2 0 $ r $5 0
$ r (0 0 0 ; 0 0 1)
机械系统---机构学---自由度分析
3－UPU 并联机器人
机械系统---机构学---矢量的线性相关性
力线矢和力偶
力线矢：空间一条直线，由直线方向 s 和直线上任一点 r 确定
$ ( s ; r s)
旋量理论基础----始于1900年，R.S. Ball
当前国际机器人学术界最热门的运动学与动力学分析理论工具 参考资料： 《空间机构学》黄真 《并联机器人机构学理论及控制》黄真 孔令富 方跃法 《机器人操作的数学导论》 李泽湘等 一个旋量由两个空间的3维矢量组成： 位置＋方向（p ; q) ; 速度＋角速度 (v ; w) ; 力＋力偶 (f ; m)
r
$ r (1 $1 2 $2 n $n ) 0
$ r $n 0
物理意义：互易积为零的两个螺旋，一个表示物体运动，一个表示物体受到
的约束力，则互易积就是力螺旋对运动螺旋所作的瞬时功，如两个螺旋的互易积 为零，则表示力螺旋不能约束运动螺旋代表的瞬时运动。
机械系统---机构学---自由度分析
机械系统---机构学---自由度分析
螺旋理论基础
机器人末端操作器的瞬时运动：
e $e ω1 $1 ω2 $1 ω6 $6 ω j $ j
j 1
6
机械系统---机构学---自由度分析
螺旋理论基础
UPU分支轴线在空间的描述 分支运动螺旋系：
$1 1 0 0 ; 0 0 0 $2 0 1 0 ; 0 0 0 $3 0 0 0 ; 0 0 1 $4 0 1 0 ; a4 0 0 $5 1 0 0 ; 0 b5 0
$1 $2 s1 s20 s2 s10 0
物理意义：互易积为零的两个螺旋，一个表示物体运动，一个表示物体受到
的约束力，则互易积就是力螺旋对运动螺旋所作的瞬时功，如两个螺旋的互易积 为零，则表示力螺旋不能约束运动螺旋代表的瞬时运动。
机械系统---机构学---自由度分析
螺旋理论基础----旋量对偶原理
(r r1 ) s 0
r s r1 s s0
机械系统---机构学---自由度分析
螺旋理论基础----旋量的引入
r s r1 s s0
$ ( s ; s0 )
直线的方向s 与坐标系的选择无关，s0 和坐标系选择有关
机械系统---机构学---自由度分析
$1 ( s1 ; s10 ) (l1 m1 n1 ; o1 p1 q1 )
$2 ( s2 ; s20 ) (l2 m2 n2 ; o2 p2 q2 )
$1和$2对偶
$1 $2 s1 s20 s2 s10 (l1 o2 m1 p2 n1 q2 ) (l2 o1 m2 p1 n2 q1 ) 0