函数图象与系数的关系
初中数学精品课件:二次函数图象与系数的关系定
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b2 4ac的符号呢?
变式:若二次函数 y ax2 bx ca 0图象对称轴为
直线x=1,与x轴的一个交点为(-1,0),与y轴的交 点在(0,2)与(0,3)之间.
问题1:你能判断4a+2b+c的符号吗?
5a+b+2c呢? 2b-3c呢?
问题2:求a的范围
y ax2 bx ca 0
(-1,2),与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中2<x1<-1, 0<x2<1.
四人小组,请写一些 正确的命题
(2017绍兴中考模拟)若二次函数 y ax2 bx ca 0
图象经过点(-1,2),与x轴交点的横坐标分别为x1, x2,其中-2<x1<-1, 0<x2<1.下列结论正确的是 ________
若二次函数 y ax2 bx ca 0图象对称轴为直线
x=1 ,与x轴的交点为(-1,0),与y轴的交点为
(0,3),请你求出二次函数解析式.
“挖”基本信息,“解”自然而来
—二次函数图象与系数关系
蛟川书院数学组 翁丹枫
若二次函数 y ax2 bx ca 0图象对称轴为直线
x=1 ,与x轴的交点为(-1,0),与y轴的交点为 (0,3),请你求出二次函数解析式.
2b-3c、a+c<1 数
形
……
数缺形时少直观, 形少数时难入微
c0 a b 2c 0
(2017烟台)如图,若二次函数 y ax2 bx ca 0
图象对称轴为直线x=1,下列结论:①ab<0; ②b2>4ac; ③a+b+2c<0; ④3a+c<0.其中正确的是_________
二次函数中各项系数abc与图像的关系
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二次函数中各项系数a ,b ,c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c (a≠0)中的a ,b ,c 对图像的作用归纳如下:1 a 的作用:决定开口方向:a > 0开口向上;a < 0开口向下;决定张口的大小:∣a ∣越大,抛物线的张口越小.2 b 的作用:b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关.b 与a 同号,说明02<-a b ,则对称轴在y 轴的左边; b 与a 异号,说明−b 2a >0,则对称轴在y 轴的右边;特别的,b = 0,对称轴为y 轴.3 c 的作用:c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标.抛物线与y 轴的交点(0,c )c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴;c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴;特别的,c = 0,抛物线过原点.4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2−4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况:x=1时,y=a + b + c ;x= -1时,y=a - b + c .当x = 1时,① 若y > 0,则a + b + c >0;② 若y < 时0,则a + b + c < 0当x = -1时,① 若y > 0,则a - b + c >0;② 若y < 0,则a - b + c < 0.扩:x=2, y=4a + 2b + c ;x= -2, y=4a -2b + c ; x=3, y=9a +3 b + c ;x= -3, y=9a -3b + c 。
一.选择题(共8小题)1.已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示,则下列关系式中成立的是( )A .a >0B .b <0C .c <0D .b +2a >02.如果二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,那么下列不等式成立的是( )A .a >0B .b <0C .ac <0D .bc <0.3.已知二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,有下列4个结论:①abc >0;②b <a +c ;③4a +2b +c >0;④b 2﹣4ac >0;其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个4.二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,对于下列结论:①a <0;②b <0;③c >0;④2a +b=0;⑤a ﹣b +c <0,其中正确的个数是( )A .4个B .3个C .2个D .1个第3题图 第4题图 第5题图 第6题图5.二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图,给出下列四个结论::①a <0;②b >0;③b 2﹣4ac >0;④a +b +c <0;其中结论正确的个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个6.如图所示,抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为(﹣1,3),以下结论:①b 2﹣4ac <0;②4a ﹣2b +c <0;③2c﹣b=3;④a+3=c,其中正确的个数()A.1 B.2 C.3 D.47.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,下列给出四个结论中,正确结论的个数是()个①c>0;②若点B(﹣,y1)、C(﹣,y2)为函数图象上的两点,则y1<y2;③2a﹣b=0;④<0;⑤4a﹣2b+c>0.A.2 B.3 C.4 D.58.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,以下结论:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b>0;④当x<时,y随x的增大而减小;⑤a+b+c>0.其中正确的有()A.5个 B.4个 C.3个 D.2个二.填空题(共4小题)9.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;③3a+c>0;④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3;⑤当x<0时,y随x增大而增大;其中结论正确有.10.一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(﹣1,3),则该抛物线的解析式为.11.抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3,则a=.12.将二次函数y=x2+6x+5化为y=a(x﹣h)2+k的形式为.三.解答题(共7小题)13.已知:抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B(﹣1,0)和点C(2,3).(1)求此抛物线的表达式;(2)如果此抛物线沿y轴平移一次后过点(﹣2,1),试确定这次平移的方向和距离.14.函数y=(m+2)是关于x的二次函数,求:(1)满足条件的m值;(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时,当x为何值时,y随x的增大而增大?(3)m为何值时,函数有最大值?最大值是多少?这时,当x为何值时,y随x的增大而减小.15.已知二次函数的图象经过(0,0)(﹣1,﹣1),(1,9)三点.(1)求这个函数的解析式;(2)求这个函数图象的顶点坐标.16.已知抛物线的顶点坐标是(1,﹣4),且经过点(0,﹣3),求与该抛物线相应的二次函数表达式.17.已知二次函数y=x2﹣4x+5.(1)将y=x2﹣4x+5化成y=a (x﹣h)2+k的形式;(2)指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标;(3)当x取何值时,y随x的增大而增大?18.如图,二次函数的图象的顶点坐标为(1,),现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O,一个锐角顶点A在此二次函数的图象上,而另一个锐角顶点B在第二象限,且点A的坐标为(2,1).(1)求该二次函数的表达式;(2)判断点B是否在此二次函数的图象上,并说明理由.19.已知二次函数y=a(x﹣h)2,当x=4时有最大值,且此函数的图象经过点(1,﹣3).(1)求此二次函数的解析式;(2)当x为何值时,y随x的增大而增大?。
二次函数的图像与系数的关系(初三数学最全整理)
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二次函数图象与系数的关系二次函数的图象与二次函数的系数a 、b 、c 有内在联系。
由系数可以得出二次函数的大致图象,由图象可以得出二次函数系数的取值范围,以下是二次函数的系数和图象之间联系的一些归纳和总结!一、知识点1 二次函数的图像与系数的关系(1)a 的符号由 决定: ①开口向 ⇔ a 0;①开口向 ⇔ a 0.(2)b 的符号由 决定:① 在y 轴的 ⇔b a 、 ;① 在y 轴的 ⇔b a 、 ;① 是 ⇔b 0.(3)c 的符号由 决定:①点(0,c )在y 轴正半轴 ⇔c 0;①点(0,c )在原点 ⇔c 0;①点(0,c )在y 轴负半轴 ⇔c 0.知识点2 二次函数与一元二次方程的关系[归纳概括]如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有公共点,公共点的横坐标是0x ,那么当x= 时,函数的值是0,因此x= 就是方程02=++c bx ax 的一个根.[归纳概括]函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴交点的个数(1)当042>-ac b 时,有 交点;(2)当042=-ac b 时,有 交点;(3)当042<-ac b 时,没有交点;二、例题讲解:例1 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像如图所示,试确定代数式①a ;②b ;③c ;④b 2-4ac ;⑤2a+b ;⑥a+b+c ;⑦a-b+c ;⑧4a+2b+c 的符号.练习1:根据图象填空:(1)a _____0;(2)b 0;(3)c 0;(4)ac b 42- 0 ; (5)2a b +______0;(6)0a b c ++⎽⎽⎽⎽ ; (7)0a b c -+⎽⎽⎽⎽;练习2:二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,对称轴是直线x =1.(1)试确定代数式的符号①abc ______0;②3a +c ______0;③(a +c )2﹣b 2______0; ④b 2-4ac ______0 ⑤a +b +2c _____0(2)证明:a +b ≤m (am +b )(m 为实数).练习3.在平面直角坐标系中,二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,证明: a ﹣b ≤m (am +b )(m 为实数);例2二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x =2,(1)试确定代数式的符号4a +b 0;(2)9a +c 3b ;(2)证明:8a +7b +2c >0;(3)若点A (﹣3,y 1)、点B (﹣,y 2)、点C (,y 3)在该函数图象上,判断y 1,y 2,y 3的大小(4)若方程a (x +1)(x ﹣5)=﹣3的两根为x 1和x 2,且x 1<x 2,判断﹣1,5,x 1,x 2的大小变式1:利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式(1)方程02=++c bx ax 的根为___________;(2)方程23ax bx c ++=-的根为__________;(3)方程24ax bx c ++=-的根为__________;(4)不等式20ax bx c ++>的解集为 ;(5)不等式20ax bx c ++<的解集为 ;(6)若方程|ax 2+bx +c |=1有四个根,则这四个根的和为 ,变式2.抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的部分图象如图所示,与x 轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是直线x =1.下列结论中:①方程ax 2+bx +c =3有两个不相等的实数根;②抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(﹣2,0);③若点A (m ,n )在该抛物线上,则am 2+bm +c ≤a +b +c .其中正确的有变式3.(1)抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象全部在x 轴上方的条件是(2)抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象全部在x 轴下方的条件是 例3.如图,抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (﹣1,0),顶点坐标(1,n ),与y 轴的交点在(0,3),(0,4)之间(包含端点),(1)求代数式(a +c )2﹣b 2的值(2)若方程|ax 2+bx +c |=2有四个根,求这四个根的和(3)求a 的取值范围 (4)求b 的取值范围例4.在同一平面直角坐标系xOy 中,一次函数y =ax 与二次函数y =ax 2+a 的图象可能是( ) A .B .C .D . 三、课后作业1.如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于(﹣1,0),(3,0)两点,下列判断中,错误的是()A.图象的对称轴是直线x=1B.当x>2时,y随x的增大而减小C.当﹣1<x<1时,y<0D.一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣1和32.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(﹣3,0),顶点为P(﹣1,n).下列结论错误的是()A.abc>0B.4ac﹣b2<0C.3a+c>0D.关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根3.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上,与x轴的一个交点为(﹣1,0),对称轴为直线x=1.下列结论错误的是()A.abc>0B.b2>4acC.4a+2b+c>0D.2a+b=04.在同一坐标系中,一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为()A.B.C.D.5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示(1).判断正误并说明理由:①abc<0②b2﹣4ac<0③2a>b(2)证明:(a+c)2<b26.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1,2),且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2,其中﹣2<x1<﹣1,0<x2<1,下列结论:①abc<0;②2a﹣b<0;③﹣1<a<0;④b2+8a>4ac;⑤a+c<1.其中正确的是7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,对称轴为直线x=,且经过点(2,0).下列说法:①﹣2b+c=0;;②4a+2b+c<0;③若(0,y1),(1,y2)是抛物线上的两点,则y1=y2;④b+c>m(am+b)+c(其中m≠).其中正确的是8.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的部分图象如图所示,图象顶点的坐标为(2,1),与x轴的一个交点在点(3,0)和点(4,0)之间,有下列结论:①abc<0;②a﹣b+c>0;③c﹣4a=1;④b2>4ac;⑤am2+bm+c≤1(m为任意实数).其中正确的是9.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(2,0),且对称轴为直线x=,求证:无论a,b,c取何值,抛物线一定经过(,0)10.已知抛物线y=ax2+bx+c(b>a>0)与x轴最多有一个交点,现有以下四个结论:①该抛物线的对称轴在y轴左侧;②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根;③a﹣b+c≥0;④的最小值为3.其中,正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个。
二次函数图象的位置与系数之是的关系二次函数图像与系数的关系
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二次函数图象的位置与系数之是的关系二次函数图像与系数的关系二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数,其中a、b和c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
这个函数的图像是一个抛物线。
二次函数的图像与系数之间存在着密切的关系。
具体地说,系数a、b和c的值可以影响二次函数的图像的位置、形状和方向。
下面将详细介绍二次函数图像与系数的关系。
一、关于a的值:1.当a>0时,二次函数的抛物线开口向上。
这意味着函数的值随着x的增加而增加,图像的顶点是最低点。
当a的绝对值越大时,抛物线的开口越宽,抛物线越平缓。
2.当a<0时,二次函数的抛物线开口向下。
这意味着函数的值在顶点处取得最大值,然后随着x的增加或减少而减小。
当a的绝对值越大时,抛物线的开口越窄,抛物线越陡峭。
二、关于b的值:1.当b>0时,二次函数的抛物线向右平移。
这意味着函数在x轴正方向上平移,距离顶点越远,平移量越大。
2.当b<0时,二次函数的抛物线向左平移。
这意味着函数在x轴负方向上平移,距离顶点越远,平移量越大。
三、关于c的值:1.当c>0时,二次函数的抛物线上移。
这意味着函数的值在y轴正方向上移动,距离为c的绝对值。
2.当c<0时,二次函数的抛物线下移。
这意味着函数的值在y轴负方向上移动,距离为c的绝对值。
综上所述,二次函数的图像与系数之间有以下关系:1.a的值决定了抛物线的开口方向和形状。
2.b的值决定了抛物线在x轴上的平移方向和距离。
3.c的值决定了抛物线在y轴上的平移方向和距离。
举例来说,考虑二次函数f(x)=x^2+2x-31.a=1,表示抛物线的开口向上,且形状较为平缓。
2.b=2,表示抛物线在x轴上向右平移2个单位。
3.c=-3,表示抛物线在y轴上向下平移3个单位。
根据这些系数的值,可以在坐标系上绘制出对应的抛物线图像。
通过改变系数的值,可以进一步观察抛物线图像的变化。
同时,通过分析抛物线的图像,也可以推断出系数的值。
二次函数系数与图像的关系
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二次函数系数a ,b ,c 与图像的关系二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像确定后,解析式中的系数a ,b ,c 也随之确定,反之,根据所给字母系数a ,b ,c 的符号,也可以判断抛物线的开口方向和位置.这一知识点在中考也属于必考知识点,在选择题第10题考察,难度中等,综合性较强.那么,字母系数a ,b ,c 又是分别对图像有着怎样的影响,下面我们来一一归纳:一、a 的作用1.决定开口方向:0>a 开口向上;0<a 开口向下; 2.决定开口的大小:∣a ∣越大,抛物线的开口越小.二、b 的作用与抛物线的对称轴和a 有关,b 与a 的符号共同决定抛物线的对称轴 1.b 与a 同号.⇔<-02ab对称轴在y 轴的左边.如图一,对称轴在 y 轴的左边,所以b 与a 同号,因为抛物线开口向下,所以0<a ,则0<b ; 2.b 与a 异号.⇔>-02ab对称轴在y 轴的右边.如图二,对称轴在 y 轴的右边,所以b 与a 异号,因为抛物线开口向下,所以0<a ,则0>b ;3.0=b .顶点在y 轴上. 简记:左同右异三、c 的作用:由抛物线与y 轴的交点坐标决定 1. 0>c ⇔抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴; 2. 0<c ⇔抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴; 3. c = 0⇔抛物线过原点.图一 图二四、抛物线与x 轴的交点个数决定ac b 42-的符号 1.抛物线与x 轴有两个交点042>-⇔ac b ; 2.抛物线与x 轴有一个交点042=-⇔ac b ; 3.抛物线与x 轴没有交点042<-⇔ac b .五、b a ±2的符号由对称轴所在位置来决定1.判断b a +2的符号,需要判断抛物线的对称轴与1的大小关系; ①如果对称轴在1的右面,则12>-ab,如果抛物线开口向上,则0>a ,不等式就可转化为a b 2>-,移项可得02>+b a ;②如果对称轴在1的左面,则12<-ab,如果抛物线开口向上,则0>a ,不等式就可转化为a b 2<-,移项可得02<+b a ;例如:在图三中,抛物线对称轴在1=x 的左侧,则12<-ab,因为开口向下,所以0<a ,两边同时乘以a ,不等号方向改变,则有02<+b a .根据这一方法,很容易推出图四中02>+b a .2.判断b a -2的符号,需要判断抛物线的对称轴与1-的大小关系; ①如果对称轴在1-的右面,则12->-ab,如果抛物线开口向上,则0>a ,不等式就可转化为a b 2->-,移项可得02>-b a ;图三 图四1-=x 1-=x ②如果对称轴在1-的左面,则12-<-ab,如果抛物线开口向上,则0>a ,不等式就可转化为a b 2-<-,移项可得02<-b a .例如:在图五中,抛物线对称轴在1-=x 的左侧,则12-<-ab,因为开口向下,所以0>a ,两边同时乘以a ,不等号方向不变,则有02<-b a .根据这一方法,很容易推出图六中02>-b a .六、其他情况(解析式c bx ax y ++=2中x 取特殊值)1.当1=x ,则c b a y ++=,所以抛物线c bx ax y ++=2必过),1(c b a ++,在图像中找到这个点的位置.如图七,抛物线c bx ax y ++=2与1=x 的交点位置在第一象限,所以0>++c b a .当1-=x 时,c b a y +-=图五 图六2.当2=x ,则c b a y ++=24,所以抛物线c bx ax y ++=2)24,2(c b a ++,在图像中找到这个点的位置.c bx ax y ++=2与2=x 的交点位置在第四象限024<++c b a .当2-=x 时,c b a y +-=24,用同样的方法即可判断符号;3.当3=x ,则c b a y ++=39,所以抛物线c bx ax y ++=2)39,3(c b a ++,在图像中找到这个点的位置.c bx ax y ++=2与3=x 的交点位置在第四象限,所以39+b a 当3-=x 时,c b a y +-=39,用同样的方法即可判断符号.以上总结的知识点,在考试中也经常考察,在中考也有直接考察;这一部分知识点属于二次函数性质中非常重要的部分,必须熟练掌握.下面给出几道例题,供大家试试身手:例1:二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示,用<,>,=填空:a 0,b 0,c 0, b a -2 0, ac b 42- 0,c b a ++ 0, c b a +- 0,xy例2:已知,二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则点M (cb,a )在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限xy。
函数图像与系数的关系
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y
y
y
x
x
x
(5)a+b+c的符号: 由x=1时抛物线上 的点的位置判断
(6)a-b+c的符号: 由x=-1时抛物线上 的点的位置判断
y a+b+c
a+b+c>0
o
1
x
y a-b+c
-1 o
a-b+c<0
x
快速回答:
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、 b2-4ac的符号: y
(A )
(B)
(C)
(D)
学而不思则罔
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坐标系中的图象大致位置是( D )
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一坐标系中的 图象可能是( B )
y
y
y
y
O
x
O
xO
x
O
x
A
B
C
D
实战中考:
(2015•中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示,下列结论正确的是( D )
A、a<0 B、b2-4ac<0 C、当-1<x<3时,y>0 D、2a+b=0
(0,b) x
快速判断图形中k、b的取值范围
y
y=kx+b
二次函数图像与系数的关系
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二次函数图像与系数间的关系一 知识梳理1,二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与系数a 、b 、c 、ac b 42-的关系 :注 ①a 的正否决定抛物线的开口方向和大小 ②a,b 决定对称轴的位置,左同右异。
③c 决定抛物线与Y 轴的交点的位置。
④取特值:如当x=1,y=a+b+c ,当x=2是,y=4a+2b+c 等。
2、二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):(1) 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数:① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ,,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >;2'当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <. 题型一、二次函数、一次函数及反比例函数图像确定例1、在同一坐标系内,一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图像可能是( )A.B.C.D.例2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,反比例函数与一次函数y=cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象是()A.B.C.D.例3、一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象位置大致是( )课堂练习:1、二次函数y=ax2+bx的图像如图所示,那么一次函数y=ax+b的图像大致是()A.B.C.D.2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则函数y=ax与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图像是()A.B.C.D.3、在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是()A.B.C。D.题型二、二次函数图像与系数之间的关系基础题型例1、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,则下列结论正确的是()A.a<0,b<0,c>0,b2﹣4ac>0 B.a>0,b<0,c>0,b2﹣4ac<0C.a<0,b>0,c<0,b2﹣4ac>0 D.a<0,b>0,c>0,b2﹣4ac>0例2、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示,下列说法错误的是( )A .图像关于直线x=1对称B .函数()20y ax bx c a =++≠的最小值是﹣4C .﹣1和3是方程()200ax bx c a ++=≠的两个根D .当x <1时,y 随x 的增大而增大例3、如图所示,二次函数y=ax 2+bx+c 的图像中,王刚同学观察得出了下面四条信息:(1)b 2-4ac >0;(2)c >1;(3)2a ﹣b <0;(4)a+b+c <0,其中错误的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个课堂练习:1、(2011•重庆)已知抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中,正确的是( )A 、a >0B 、b <0C 、c <0D 、a+b+c >02、二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图所示,则点P (b 2﹣4ac ,a+b+c )所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、(2011•雅安)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,其对称轴x=-1,给出下列结果①b2>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a+b+c>0;⑤a-b+c<0,则正确的结论是()A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤题型三、二次函数图像与系数之间的关系能力题型例1、已知二次函数的y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示,有下列5个结论:①abc<0;②b <a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b<m(am+b)(m≠1的实数),其中正确结论的番号有.例2、如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,在下列说法中:①abc<0;②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1,x2=3;③a+b+c>0;④当x>1时,y随x的增大而增大;⑤9a﹣3b>16a+4b正确的说法有.(把正确的答案的序号都填在横线上)例3、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,与y轴相交一点C,与x轴负半轴相交一点A,且OA=OC,有下列5个结论:①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤c+=﹣2,其中正确的结论有 .(请填序号)课堂练习1、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示,给出以下结论:①24b ac >;②0abc >;③20a b -=;④80a c +<;⑤930a b c ++<,其中结论正确的是 .(填正确结论的序号)2、.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,以下结论:①a+b+c=0;②4a+b=0;③abc <0;④4ac-b 2<0;⑤当x≠2时,总有4a+2b >ax 2+bx 其中正确的有 (填写正确结论的序号).3、已知二次函数的图象与轴交于点、,且,与轴的正半轴的交点在的下方.下列结论:①;②;③;④.其中正确结论的个数是 个.课堂测试:1、如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交,其顶点坐标为( 12,1),下列结论:①ac <0;②a+b=0;③4ac-b 2=4a ;④a+b+c <0.其中正确结论的个数是( )2y ax bx c =++x (20)-,1(0)x ,112x <<y (02),420a b c -+=0a b <<20a c +>210a b -+>A、1B、2C、3D、42、(2011•山西)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的是()A、ac>0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3C、2a-b=0D、当x>0时,y随x的增大而减小3、(2011•泸州)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象如图所示,有下列结论:①abc>0,②b2-4ac<0,③a-b+c>0,④4a-2b+c<0,其中正确结论的个数是()A、1B、2C、3D、44、(2011•兰州)如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:(1)b2-4ac>0;(2)c>1;(3)2a-b<0;(4)a+b+c<0.你认为其中错误的有()A、2个B、3个C、4个D、1个5、.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列结论正确序号是(只填序号).①abc>0,②c=-3a,③b2-4ac>0,④a+b<m(am+b)(m≠1的实数).6、如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(x 1,0),-3<x1<-2,对称轴为x=-1.给出四个结论:①abc>0;②2a+b=0;③b2>4ac;④a-b>m(ma+b)(m≠-1的实数);⑤3b+2c>0.其中正确的结论有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个课后作业:1、已知二次函数y=ax2的图象开口向上,则直线y=ax-1经过的象限是()A、第一、二、三象限B、第二、三、四象限C、第一、二、四象限D、第一、三、四象限2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是()A、a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0B、a>0,b<0,c>0,b2-4ac<0C、a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0D、a<0,b>0,c>0,b2-4ac>03、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么下列判断不正确的是()A、ac<0B、a-b+c>0C、b=-4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=54、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则a,b,c满足()A、a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0B、a<0,b<0,c<0,b2-4ac>0C、a<0,b>0,c>0,b2-4ac<0D、a>0,b<0,c>0,b2-4ac>05、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列4个结论,其中正确的结论是()A、abc>0B、b>a+cC、2a-b=0D、b2-4ac<06、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:①ac>0;②a-b+c<0;③当x<0时,y<0;④方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于-1的实数根.其中错误的结论有()A、②③B、②④C、①③D、①④7、如图所示为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,在下列选项中错误的是()A、ac<0B、x>1时,y随x的增大而增大C、a+b+c>0D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=38、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论错误的是()A、ab<0B、ac<0C、当x<2时,函数值随x增大而增大;当x>2时,函数值随x增大而减小D、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根9、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是()A、a>0B、c<0C、b2-4ac<0D、a+b+c>010、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论①a,b异号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=4时,x的取值只能为0,结论正确的个数有()个.A、1B、2C、3D、411.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则下列结论中正确的是()A.a>0 B.当﹣1<x<3时,y>0C.c<0 D.当x≥1时,y随x的增大而增大12.函数y=x2+bx+c与y=x的图像如图所示,有以下结论:①b2﹣4c>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.其中正确的个数为()A .1B .2C .3D .413.如图,二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图像与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,且对称轴为x=1,点B 坐标为(﹣1,0).则下面的四个结论: ①2a+b=0;②4a﹣2b+c <0;③ac>0;④当y <0时,x <﹣1或x >2. 其中正确的个数是( )A .1B .2C .3D .414、如图,矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,3OA =,2AB =.抛物线2y ax bx c =++(0a ≠)经过点A 和点B ,与x 轴分别交于点D 、E (点D 在点E 左侧),且1OE =,则下列结论:①0>a ;②3c >;③20a b -=;④423a b c -+=;⑤连接AE 、BD ,则=9ABDE S 梯形,其中正确结论的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个15、如图,二次函数y=ax 2+bx+c (a>0)图象的顶点为D ,其图象与x 轴的交点为A 、B ,对称轴为直线x=1,与y 轴负半轴交于点C ,且OB=OC>2,下面五个结论:①bc<0;②4a+2b+c>0;③2a+b=0;④一元二次方程ax 2+bx+c=﹣2必有两个不相等的实数根;⑤1c 2a+=-. 那么,其中正确的结论是_____。
第二章二次函数-二次函数的图象与系数的关系(教案)
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- a决表图象与y轴的交点。
(2)二次函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向。
-顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),是图象的最高点或最低点。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了二次函数的图象与系数的关系,包括开口方向、对称轴、顶点坐标和实数根等基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
-对称轴x=-b/2a,是图象的对称中心。
-开口方向由a的正负决定。
(3)二次函数实数根的判定:通过判别式Δ=b^2-4ac来判断实数根的个数。
- Δ>0,有两个实数根;
- Δ=0,有一个实数根;
- Δ<0,无实数根。
2.教学难点
(1)理解系数a、b、c对二次函数图象的综合影响。
-难点举例:当a、b、c同时变化时,如何判断图象的开口方向、对称轴和顶点坐标的变化。
第二章二次函数-二次函数的图象与系数的关系(教案)
一、教学内容
本节课选自教材第二章“二次函数”中的“二次函数的图象与系数的关系”。教学内容主要包括以下三个方面:
1.二次函数的一般形式:y=ax^2+bx+c,其中a、b、c为常数,a≠0。
2.二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标与系数的关系:
- a>0时,图象开口向上;a<0时,图象开口向下。
微专题(三) 函数的图象与系数的关系+++课件+2025年中考数学人教版一轮复习(广西)
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3.已知一次函数y=kx+b与反比例函数y=xc的图象如图所示,则二次函 数y=kx2+bx+c的图象可能是( D )
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4.(2024•合浦县期末)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,那么 一次函数y=bx+c与反比例函数y=ax 在同一平面直角坐标系中的图象大 致是( D )
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5.一次函数y=ax+b的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx的图象大 致是( A )
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类型2:分类讨论系数解决函数图象共生问题
6.在同一直角坐标系中,一次函数y=-kx+k与反比例函数y=kx 的图象 可能是( A )
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7.函数y=ax2+bx与y=ax+b(a,b≠0)在同一平面直角坐标系中的图象 可能是( C )
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(2)函数y=\f(k,x)(k≠0)在不同k取值下的图象如图④⑤所示,请根据图象 判断k与0的大小关系;
④k > 0
⑤k < 0
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(3)函数y=ax2+bx+c(a≠0),在不同a,b,c取值下的图象如图所示,请 根据图象判断a,b,c与0的大小关系.
⑥a> 0,b=0,c=0; ⑦a > 0,b> 0,c=0; ⑧a < 0,b > 0,c > 0
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类型1:已知函数图象得出系数正负再判断新函数图象
1.已知反比例函数y=kx的图象如图所示,则一次函数y=kx+b(b>0)的图 象可能是( B )
二次函数系数a、b、c与图像的关系
![二次函数系数a、b、c与图像的关系](https://img.taocdn.com/s3/m/059ad33e650e52ea551898ff.png)
二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定:(1)a 由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则a >0;否则a <0. (2)b 由对称轴和a 的符号确定:由对称轴公式abx 2-=判断符号. (3)c 由抛物线与y 轴的交点确定:交点在y 轴正半轴,则c >0;否则c <0. (4)b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定:2个交点,b 2-4ac >0;1个交点,b2-4ac=0;没有交点,b 2-4ac <0.(5)当x=1时,可确定a+b+c 的符号,当x=-1时,可确定a-b+c 的符号.一.选择题(共9小题) 1.(2014•威海)已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图,则下列说法: ①c=0;②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1;③当x=1时,y=2a ;④am 2+bm+a >0(m ≠﹣1). 其中正确的个数是( )A . 1B . 2C . 3D . 4 2.(2014•仙游县二模)已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①a+b+c <0;②a ﹣b+c <0;③b+2a <0;④abc >0.其中所有正确结论的序号是( ) A . ③④ B . ②③ C . ①④ D . ①②③ 3.(2014•南阳二模)二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,那么关于此二次函数的下列四个结论:①a <0;②c >0;③b 2﹣4ac >0;④<0中,正确的结论有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4.(2014•襄城区模拟)函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图,有以下结论:①b 2﹣4c <0;②c ﹣b+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x <3时,x 2+(b ﹣1)x+c <0. 其中正确结论的个数为( )A . 1B . 2C . 3D . 4 5.(2014•宜城市模拟)如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0)下列说法:①abc <0;②2a ﹣b=0;③4a+2b+c <0;④若(﹣5,y 1),(2,y 2)是抛物线上的两点,则y 1>y 2. 其中说法正确的是( )A.①②B.②③C.②③④D.①②④6.(2014•莆田质检)如图,二次函数y=x2+(2﹣m)x+m﹣3的图象交y轴于负半轴,对称轴在y轴的右侧,则m的取值范围是()A.m>2 B.m<3 C.m>3 D.2<m<3 7.(2014•玉林一模)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为x=﹣1.给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③3a+c=0;④a+b+c=0.其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个8.(2014•乐山市中区模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点).有下列结论:①当x>3时,y<0;②3a+b>0;③﹣1≤a≤﹣;④≤n≤4.其中正确的是()A.①②B.③④C.①③D.①③④9.(2014•齐齐哈尔二模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于点(﹣1,0),(x1,0),且1<x1<2,下列结论正确的个数为()①b<0;②c<0;③a+c<0;④4a﹣2b+c>0.A.1个B.2个C.3个D.4个10、(2011•雅安)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,其对称轴x=-1,给出下列结果①b2>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a+b+c>0;⑤a-b+c<0,则正确的结论是()A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤11、(2011•孝感)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为(21,1),下列结论:①ac<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正确结论的个数是()A、1B、2C、3D、4答案:CBDCD DCDDD 11、C一.选择题(共9小题)1.(2014•威海)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列说法:①c=0;②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1;③当x=1时,y=2a;④am2+bm+a >0(m≠﹣1).其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4考点:二次函数图象与系数的关系.分析:由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.解答:解:抛物线与y轴交于原点,c=0,(故①正确);该抛物线的对称轴是:,直线x=﹣1,(故②正确);当x=1时,y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1,∴﹣b/2a=﹣1,b=2a,又∵c=0,∴y=3a,(故③错误);x=m对应的函数值为y=am2+bm+c,x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c,又∵x=﹣1时函数取得最小值,∴a﹣b+c<am2+bm+c,即a﹣b<am2+bm,∵b=2a,∴am2+bm+a>0(m≠﹣1).(故④正确).故选:C.点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.2.(2014•仙游县二模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①a+b+c<0;②a﹣b+c<0;③b+2a<0;④abc>0.其中所有正确结论的序号是()A.③④B.②③C.①④D.①②③考点:二次函数图象与系数的关系.专题:数形结合.分析:由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.解答:解:①当x=1时,y=a+b+c=0,故①错误;②当x=﹣1时,图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1,∴y=a﹣b+c<0,故②正确;③由抛物线的开口向下知a<0,∵对称轴为0<x=﹣<1,∴2a+b<0,故③正确;④对称轴为x=﹣>0,a<0∴a、b异号,即b>0,由图知抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0 ∴abc<0,故④错误;∴正确结论的序号为②③.故选:B.点评:二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定:(1)a由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则a>0;否则a<0;(2)b由对称轴和a的符号确定:由对称轴公式x=﹣判断符号;(3)c由抛物线与y轴的交点确定:交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0;(4)当x=1时,可以确定y=a+b+c的值;当x=﹣1时,可以确定y=a﹣b+c的值.3.(2014•南阳二模)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于此二次函数的下列四个结论:①a<0;②c>0;③b2﹣4ac>0;④<0中,正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个考点:二次函数图象与系数的关系.专题:数形结合.分析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.解解:①∵图象开口向下,∴a<0;故本选项正确;答:②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴,∴c>0;故本选项正确;③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点,∴根的判别式△=b2﹣4ac>0;故本选项正确;④∵对称轴x=﹣>0,∴<0;故本选项正确;综上所述,正确的结论有4个.故选D.点评:本题主要考查了二次函数的图象和性质,解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定,做题时要注意数形结合思想的运用,同学们加强训练即可掌握,属于基础题.4.(2014•襄城区模拟)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图,有以下结论:①b2﹣4c<0;②c﹣b+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4考点:二次函数图象与系数的关系.分析:由函数y=x2+bx+c与x轴无交点,可得b2﹣4c<0;当x=﹣1时,y=1﹣b+c>0;当x=3时,y=9+3b+c=3;当1<x<3时,二次函数值小于一次函数值,可得x2+bx+c<x,继而可求得答案.解答:解:∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点,∴b2﹣4ac<0;故①正确;当x=﹣1时,y=1﹣b+c>0,故②错误;∵当x=3时,y=9+3b+c=3,∴3b+c+6=0;③正确;∵当1<x<3时,二次函数值小于一次函数值,∴x2+bx+c<x,∴x2+(b﹣1)x+c<0.故④正确.故选C.点评:主要考查图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.5.(2014•宜城市模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0)下列说法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(2,y2)是抛物线上的两点,则y1>y2.其中说法正确的是()A.①②B.②③C.②③④D.①②④考点:二次函数图象与系数的关系.分析:根据抛物线开口方向得到a>0,根据抛物线的对称轴得b=2a>0,则2a ﹣b=0,则可对②进行判断;根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c <0,则abc<0,于是可对①进行判断;由于x=﹣2时,y<0,则得到4a﹣2b+c<0,则可对③进行判断;通过点(﹣5,y1)和点(2,y2)离对称轴的远近对④进行判断.解答:解:∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1,∴b=2a>0,则2a﹣b=0,所以②正确;∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,∴abc<0,所以①正确;∵x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0,所以③错误;∵点(﹣5,y1)离对称轴要比点(2,y2)离对称轴要远,∴y1>y2,所以④正确.故选D.点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异).抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数:△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.6.(2014•莆田质检)如图,二次函数y=x2+(2﹣m)x+m﹣3的图象交y轴于负半轴,对称轴在y轴的右侧,则m的取值范围是()A.m>2 B.m<3 C.m>3 D.2<m<3考点:二次函数图象与系数的关系.分析:由于二次函数的对称轴在y轴右侧,根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式,由图象交y轴于负半轴也可得到关于m的不等式,再求两个不等式的公共部分即可得解.解答:解:∵二次函数y=x2+(2﹣m)x+m﹣3的图象交y轴于负半轴,∴m﹣3<0,解得m<3,∵对称轴在y轴的右侧,∴x=,解得m>2,∴2<m<3.故选:D.点评:此题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y轴的交点解决问题.7.(2014•玉林一模)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A (﹣3,0),对称轴为x=﹣1.给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③3a+c=0;④a+b+c=0.其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个考点:二次函数图象与系数的关系.分析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.解答:解:∵抛物线的开口方向向下,∴a<0;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,即b2>4ac,①正确;由图象可知:对称轴x==﹣1,∴2a=b,2a+b=4a,∵a≠0,∴2a+b≠0,②错误;∵图象过点A(﹣3,0),∴9a﹣3b+c=0,2a=b,所以9a﹣6a+c=0,c=﹣3a,③正确;∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴c>0由图象可知:当x=1时y=0,∴a+b+c=0,④正确.故选C.点评:考查了二次函数图象与系数的关系,解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.8.(2014•乐山市中区模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点).有下列结论:①当x>3时,y<0;②3a+b>0;③﹣1≤a≤﹣;④≤n≤4.其中正确的是()A.①②B.③④C.①③D.①③④考点:二次函数图象与系数的关系.分析:①由抛物线的对称轴为直线x=1,一个交点A(﹣1,0),得到另一个交点坐标,利用图象即可对于选项①作出判断;②根据抛物线开口方向判定a的符号,由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a,将其代入(3a+b),并判定其符号;③根据两根之积=﹣3,得到a=,然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围;④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c,利用c的取值范围可以求得n的取值范围.解答:解:①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴直线是x=1,∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0),∴根据图示知,当x>3时,y<0.故①正确;②根据图示知,抛物线开口方向向下,则a<0.∵对称轴x==1,∴b=﹣2a,∴3a+b=3a﹣2a=a<0,即3a+b<0.故②错误;③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是(﹣1,0),(3,0),∴﹣1×3=﹣3,=﹣3,则a=.∵抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),∴2≤c≤3,∴﹣1≤≤,即﹣1≤a ≤.故③正确;④根据题意知,a=,=1,∴b=﹣2a=,∴n=a+b+c=c.∵2≤c≤3,≤≤4,≤n≤4.故④正确.综上所述,正确的说法有①③④.故选D.点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.9.(2014•齐齐哈尔二模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于点(﹣1,0),(x1,0),且1<x1<2,下列结论正确的个数为()①b<0;②c<0;③a+c<0;④4a﹣2b+c>0.A.1个B.2个C.3个D.4个考点:二次函数图象与系数的关系.分析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.解答:解:①∵y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于点(﹣1,0),(x1,0),且1<x1<2,∴对称轴在y轴的右侧,即:﹣>0,∵a>0∴b<0,故①正确;②显然函数图象与y轴交于负半轴,∴c<0正确;③∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于点(﹣1,0),∴a﹣b+c=0,即a+c=b,∵b<0,∴a+c<0正确;④∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于点(﹣1,0),且a>0,∴当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c>0,故④正确,故选D.点评:主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.。
二次函数中各项系数与图像的关系
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二次函数中各项系数a ,b ,c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c (a≠0)中的a ,b ,c 对图像的作用归纳如下:1 a 的作用:决定开口方向:a > 0开口向上;a < 0开口向下;决定张口的大小:∣a ∣越大,抛物线的张口越小.2 b 的作用:b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关.b 与a 同号,说明02<-a b ,则对称轴在y 轴的左边; b 与a 异号,说明−b 2a >0,则对称轴在y 轴的右边;特别的,b = 0,对称轴为y 轴.3 c 的作用:c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标.抛物线与y 轴的交点(0,c )c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴;c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴;特别的,c = 0,抛物线过原点.4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2−4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况:x=1时,y=a + b + c ;x= -1时,y=a - b + c .当x = 1时,① 若y > 0,则a + b + c >0;② 若y < 时0,则a + b + c < 0当x = -1时,① 若y > 0,则a - b + c >0;② 若y < 0,则a - b + c < 0.扩:x=2, y=4a + 2b + c ;x= -2, y=4a -2b + c ; x=3, y=9a +3 b + c ;x= -3, y=9a -3b + c 。
一.选择题(共8小题)1.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象大致如图所示,则下列关系式中成立的是( )A .a >0B .b <0C .c <0D .b+2a >02.如果二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示,那么下列不等式成立的是( )A .a >0B .b <0C .ac <0D .bc <0.3.已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示,有下列4个结论:①abc >0;②b <a+c ;③4a+2b+c >0;④b 2﹣4ac >0;其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个4.二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示,对于下列结论:①a <0;②b <0;③c >0;④2a+b=0;⑤a ﹣b+c <0,其中正确的个数是( )A .4个B .3个C .2个D .1个第3题图 第4题图 第5题图 第6题图5.二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图,给出下列四个结论::①a <0;②b >0;③b 2﹣4ac >0;④a+b+c <0;其中结论正确的个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个6.如图所示,抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为(﹣1,3),以下结论:①b 2﹣4ac <0;②4a ﹣2b+c <0;③2c﹣b=3;④a+3=c,其中正确的个数()A.1 B.2 C.3 D.47.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,下列给出四个结论中,正确结论的个数是()个①c>0;②若点B(﹣,y1)、C(﹣,y2)为函数图象上的两点,则y1<y2;③2a﹣b=0;④<0;⑤4a﹣2b+c>0.A.2 B.3 C.4 D.58.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,以下结论:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b>0;④当x<时,y随x的增大而减小;⑤a+b+c>0.其中正确的有()A.5个B.4个C.3个D.2个二.填空题(共4小题)9.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;③3a+c>0;④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3;⑤当x<0时,y随x增大而增大;其中结论正确有.10.一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(﹣1,3),则该抛物线的解析式为.11.抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3,则a= .12.将二次函数y=x2+6x+5化为y=a(x﹣h)2+k的形式为.三.解答题(共7小题)13.已知:抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B(﹣1,0)和点C(2,3).(1)求此抛物线的表达式;(2)如果此抛物线沿y轴平移一次后过点(﹣2,1),试确定这次平移的方向和距离.14.函数y=(m+2)是关于x的二次函数,求:(1)满足条件的m值;(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时,当x为何值时,y随x的增大而增大?(3)m为何值时,函数有最大值?最大值是多少?这时,当x为何值时,y随x的增大而减小.15.已知二次函数的图象经过(0,0)(﹣1,﹣1),(1,9)三点.(1)求这个函数的解析式;(2)求这个函数图象的顶点坐标.16.已知抛物线的顶点坐标是(1,﹣4),且经过点(0,﹣3),求与该抛物线相应的二次函数表达式.17.已知二次函数y=x2﹣4x+5.(1)将y=x2﹣4x+5化成y=a (x﹣h)2+k的形式;(2)指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标;(3)当x取何值时,y随x的增大而增大?18.如图,二次函数的图象的顶点坐标为(1,),现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O,一个锐角顶点A在此二次函数的图象上,而另一个锐角顶点B在第二象限,且点A的坐标为(2,1).(1)求该二次函数的表达式;(2)判断点B是否在此二次函数的图象上,并说明理由.19.已知二次函数y=a(x﹣h)2,当x=4时有最大值,且此函数的图象经过点(1,﹣3).(1)求此二次函数的解析式;(2)当x为何值时,y随x的增大而增大?。
二次函数图像与系数的关系
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二次函数的图象与各项系数之间的关系 技巧讲解1. 二次项系数a :a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小.二次函数2y ax bx c =++中,a 为二次项系数,显然0a ≠.① 当0a >时,抛物线开口向上;② 当0a <时,抛物线开口向下; ③a 的值越大,函数图象越靠近y 轴,开口越小,反之a 的值越小,函数图象越远离y 轴,开口越大;一次函数图象有类似特点。
2. 一次项系数b :①在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.②ab 的符号的判定:对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异”在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴.⑴ 在0a >的前提下,①当0b >时,02b a-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; ②当0b =时,02b a-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; ③当0b <时,02b a ->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧. ⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即①当0b >时,02b a->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; ②当0b =时,02b a-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; ③当0b <时,02b a -<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 3. 常数项c :c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正;⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0;⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负.总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.4.特殊形式(1)当x=1时,可以求出a+b+c 的值; 若x=1时,y>0,则a+b+c>0; 若x=1时,y<0,则a+b+c<0; 若x=1时,y=0,则a+b+c=0;(2)当x=-1时,可以求出a-b+c 的值; 若x=-1时,y>0,则a-b+c>0; 若x=-1时,y<0,则a-b+c<0; 若x=-1时,y=0,则a-b+c=0;(3)根的别式b 2-4ac ,可以用来判断抛物线与x 轴的交点个数,当b 2-4ac>0时,方程2y ax bx c =++=0有两个根,也就是说y=0时,函数在x 轴上可以找到2个对应的自变量值,即断抛物线与x 轴有2个交点;同理b 2-4ac=0,二次函数图象与x 轴有一个交点;b 2-4ac <0时,抛物线与x 轴没有交点。
二次函数图象与各项系数的关系
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顶点
二次函数图像的顶点代表了函数的最值点,它是函 数的转折点。
对称轴
对称轴是通过顶点的直线。它将二次函数图像分为 两个对称的部分。
二次函数的零点及其性质
零点
二次函数的零点是函数的根, 即函数与 x 轴相交的点。
根的个数
二次函数可能有零个、一个 或两个不同的根,这取决于 判别式的值。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
判别式
判别式 b^2 - 4ac 决定了二次 函数的根的性质和图象与 x 轴的交点。
1
a 值对二次函数的图象的影响
a 值决定了二次函数的开口方向。正值使函数开口向上,负值使函数开口向下。
2
b 值对二次函数的图象的影响
b 值影响二次函数的位置。它确定了函数的对称轴位置。
3
c 值对二次函数的图象的影响
c 值决定了二次函数的纵向平移。正值使函数向上平移,负值使函数向下平移。
二次函数的顶点与对称轴
二次函数图象与各项系数的关 系
在这个演讲中,我们将探讨二次函数图象与各项系数之间的关系。通过深入 研究这个主题,我们将揭示出一些有趣且不太为人所知的内容。
二次函数的定义与一般式
通过一般式 y = ax^2 + bx + c,我们定义了二次函数。这个函数是一种二次方程,其中 a、b、c 是系数。
二次函数的图象与各项系数的关系
二次函数图象与系数的关系最全总结
![二次函数图象与系数的关系最全总结](https://img.taocdn.com/s3/m/d6df6d5bb52acfc789ebc971.png)
二次函数图象与系数的关系最全总结二次函数是初中数学的重点也是难点内容之一,它的图象是一条抛物线,其形状、开口方向、位置等与表达式中的系数的关系非常密切。
所以,二次函数图象与a、b、c的关系是非常重要的一个知识点,今天,小培就为大家总结一下二次函数图像与系数的关系变化。
1. a决定抛物线的开口方向及大小具体内容:•a>0,抛物线开口向上•a<0,抛物线开口向下•|a|越大,抛物线的开口越小•|a|越小,抛物线的开口越大我们知道抛物线平移前后形状及开口方向不变,只是位置发生改变,那么只要两个二次函数的a相同,那么就可以由其中一个二次函数通过平移得到另一个二次函数.图象:抛物线开口向上,a>0,抛物线开口向下,a<0,开口大的抛物线的|a|小于开口小的抛物线的|a|.图象示例:2. a、b共同决定抛物线对称轴的位置对称轴的位置具体内容:•b=0时,对称轴为y轴•b/a>0,对称轴在y轴左侧(即a、b同号,则对称轴在y轴左侧,简记为“左同”)•b/a<0,对称轴在y轴右侧(即a、b异号,则对称轴在y轴右侧,简记为“右异”)上述当b≠0时,a、b的符号及对称轴与y轴的位置可简记为“左同右异”图象:对称轴在y轴,则b=0,对称轴在y轴左侧,根据“左同右异”判断a、b同号,对称轴在y轴右侧,根据“左同右异”判断a、b异号.图象示例:3. c决定抛物线与y轴交点的位置具体内容:•c=0,抛物线过原点•c>0,抛物线与y轴交于正半轴•c<0,抛物线与y轴交于负半轴可根据c是抛物线与y轴交点的纵坐标来理解记忆这一点内容图象示例:4. b2-4ac决定抛物线与x轴的交点的个数具体内容:•b2-4ac=0时,与x轴有唯一交点(即顶点)•b2-4ac>0时,与x轴有两个交点(即开口向上时顶点在x轴下方,开口向下顶点在x轴上方)•b2-4ac<0时,与x轴没有交点(即开口向上时顶点在x轴上方,开口向下顶点在x轴下方)图象示例:5. 特例•当x=1时,y=a+b+c•当x=-1时,y=a-b+c•当x=2时,y=4a+2b+c•当x=-2时,y=4a-2b+c•若a+b+c<0,即当x=1时,y<0•若a-b+c>0,即当x=-1时,y>0•当对称轴为直线x=1时,则2a+b=0•当对称轴为直线x=-1时,则2a-b=0从上述中我们可以得出从二次函数的图象也可以得出关于系数a、b、c的相关信息,做此类问题一定要注意数形结合.例题讲解例1二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据图象开口向下可得a<0,根据对称轴在y轴右侧可得a、b异号,则b>0,抛物线与y轴交于正半轴,可得c>0,所以<0,则点M(b,)符合第四想象点的坐标特征(+,-),故选D.例2若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两个交点,则a的取值范围是()A.a>0B.a>- 4/9C.a>9/4D.a<9/4且a≠0【分析】根据抛物线与x轴有两个交点,则b2-4ac>0,即32-4a×1>0,解得a<9/4,根据二次函数定义可知a≠0.故选D.▲易错警示▲不要忽视二次函数表达式中二次项系数不为0这一条件.例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:①a+b+c<0,②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a 中正确个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个【分析】•a+b+c是当x=1时y的值,根据图象可知当x=1时,图象上对应的点在x轴下方,则y=a+b+c<0,故①正确;•a-b+c是当x=-1时y的值,根据图象可知当x=-1时,图象上对应的点在x 轴上方,则y=a-b+c>0,故②正确;•根据图象开口向下可得a<0,根据对称轴在y轴左侧,可得a、b同号,故b<0,根据图象与y轴交于正半轴可得c>0,所以abc>0,故③正确;•由图象得抛物线的对称轴为直线•x=-b/2a=-1,则b=2a,故④正确;故本题选A.。
二次函数的图象与各项字母系数之间的关系
![二次函数的图象与各项字母系数之间的关系](https://img.taocdn.com/s3/m/575f66bc8762caaedc33d417.png)
x
a-b+c的值 是负数
a
开口方向向上a>0 向下a<o
b c 2a+b
2a-b b2-4ac a+b+c a-b+c
对称轴与y轴比较 左侧ab同号 右侧ab异号 与y轴交点:交于上半轴c>o,下半轴c<0,交于原点c=0
- b 与1比较,等于1,大于1,小于1
2a
- b 与-1比较,等于-1,大于-1,小于-1 2a 与x轴交点个数
y
•(0,c)
x
0
• x 0 (0,0)
• x 0 (0,c)
交点在x轴上方 c>0
经过坐标原点 交点在x轴下方
c=0
c<0
4.二次函数图象与x轴交点的个数和△的关系
y
y
• • 0
(x1,0)
x
(x2,0)
0
•x (x,0) 0
•
x
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0
b2-4ac=0
令x=1,y=a+b+c,看纵坐标是在y轴的正半轴 上(>0)还是在负半轴上(<0)
令x=-1,y=a-b+c,看纵坐标
4a+2b+c 4a-2b+c
令x=2,y=4a+2b+c,看纵坐标 令x=-2,y=4a-2b+c,看纵坐标
例、根据y=ax2+bx+c的图像,判断下列字母和 代数 式的符号
(1)a (2)b
21
快速回答:
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△的 符号:
中考复习课件 二次函数的图象与各项字母系数之间的关系
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A、4个 B、3个
y
C、2个 D、1个
o
x
x=1
3、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 下列结论中:①abc>0;②b=2a;③a+b+c<0;
④a+b-c>0; ⑤a-b+c>0正确的个数是 (C )
A、2个 B、3个
y
C、4个 D、5个
小试牛刀 快速回答:
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△ 的符号:
快速回答:
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△ 的符号:
20
快速回答:
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△ 的符号:
21
快速回答:
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△ 的符号:
b
2a+b
- 与1比较,等于1,大于1,小于1
2a
2a-b
- b 与-1比较,等于-1,大于-1,小于-1 2a
b2-4ac
与x轴交点个数
a+b+c 令x=1,y=a+b+c,看纵坐标是在y轴的正半
轴上(>0)还是在负半轴上(<0)
a-b+c 令x=-1,y=a-b+c,看纵坐标
4a+2b+ c
4a-
b24ac>0
b2-4ac=0
与x轴无交点
b24ac<0
5.二次函数图象的对称轴特殊情况
(1)当对称轴是x=1
二次函数图象与系数之间的关系
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二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与各项系数之间的关系一、知识梳理1、二次项系数a:①a>0时,抛物线开口向上;a<0时,抛物线开口向下。
②|a|越大,开口越小;|a|越小,开口越大。
2、一次项系数b:a,b共同决定了抛物线对称轴的位置,“左同右异”。
3、常数项c:决定抛物线与y轴交点的位置4、△= b2-4ac>0方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点;△= b2-4ac=0方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根函数y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点;△= b2-4ac<0方程ax2+bx+c=0没有实数根函数y=ax2+bx+c与x轴没有交点;5、抛物线的特殊位置与系数的关系:(1)顶点在x轴上:b²-4ac=0;(2)顶点在y轴上:b=0;(3)顶点在原点:b=c=0;(4)抛物线经过原点:c=0.6、特殊代数式:二、典型例题例1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,现有下列结论:①b2-4ac>0;②abc>0;③a-b+c>0;④9a+3b+c<0;⑤2a+b=0,⑥3a+c<0,⑦8a+c>0;⑧am2+bm>a+b(m≠1).则其中结论正确的是( )例2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现有下列结论:①;②;③;④当x<0时,y随x增大而增大;则其中结论正确的是( )例3.当b<0时,一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是()x变式练习1、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①②当x=1时,函数有最大值。
③当x=-1或x=3时,函数y的值都等于0. ④4a+2b+c<0其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4(第1题)(第2题)(第3题)2、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列4个结论:①ab c>0;②b<a+c;③4a+2b+c >0;④b2-4ac>0;其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个3、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,那么下列判断不正确的是()A、abc>0;B、b2-4ac>0;C、2a+b>0;D、4a+2b+c<04、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中,正确的个数是()①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2aA、4B、3C、2D、15、已知二次函数y=ax2+bx+c其中a,b,c满足a+b+c=3和9a+3b+c=3,则该二次函数图象的对称轴是直线.6、已知y=ax2+bx+c中a<0,b>0,c<0,△<0,函数的图象经过象限。
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A(b2-4ac, -
b a
)在第
象限。
4、(2006四川)如图所示的抛物线是y= ax2 -3x +a2-1
的图象,那么a的值是
y
。
y
o
x
第3小题
o
x
第4小题
我的思维我拓展
议一议
(2007天津)已知二次函数y= ax2 +bx +c的图象如图,
有下列五个结论:①abc ﹥0②b﹤a+c③4a +2b+c﹥0
说一说
我们学过的函数有 哪些?它们的图象分别 是什么?
北师大版数学总复习
我的思维我做主
基础达标:一次函数
1.(2008福州)一次函数y=2x-1的大致图象是( )
y
y
y
y
ox
ox
ox
ox
A
B
C
D
2.(2006无锡)一次函数y=kx+b(k<0,b<0)的大致图象 是(见上图)( )
3. (2008上海)一次函数 y=-x+1,则其图象不经过 象限。
(3)c决定抛物线与y轴的交点位置:
① c>0 交y轴的正半轴;
② c<0 交y轴的负半轴;
③ c=0
经过原点
(4) △决定抛物线与y轴的交点个数:
① △>0
与x轴有两个交点;
② △=0
与x轴有一个交点;
③ △ <0
与x轴没有交点。
我的能力我提升
练一练
1、(2008上海)将函数y=kx+k与函数y=
二次函数
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它的图象是抛物线。
(1)a决定抛物线的开口方向:
① a>0 开口向上;
② a<0 开口向下。
(2)a,b共同决定对称轴的位置
①a,b同号
对称轴在y轴的左侧;
左同右异 同左异右
②a,b异号 对称轴在y轴的右侧;
③b=0
对称轴是y轴。
我的知识我总结
二次函数
④b2-4ac ﹤0 ⑤2a+b=0。其中正确的有
个
y
-1 o
x
X=1
我的收获我来说
知识
函数图像确定系数的符号;系数符 号决定函数图像特征。
方 法 统一法;排除法
思 想 数形结合的思想;
作业
会考指导P28-29备考训练
k
x
的大致图象画在
同一坐标系中,正确的是( )
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
我的能力我提升
练一练
2、(2007双柏)在同一坐标系中一次函数y=ax+b与函
数y= ax2 +bx 的大致图象可能是( )
y
y
y
y
o
x
A
o
x
B
o
x
C
o
x
D
我的能力我提升
练一练
3、(2008青海)抛物线y= ax2 +bx +c的图象如图,则点
我的知识我总结
一次函数
一次函数y=kx+b(k≠0),它的图象是直线
(1)k>0 k<0
(2)b>0 b<0 b=0
经过第一、三象限 经过第二、四象限 直线交y轴的正半轴 直线交y轴的负半轴 直线经过原点
我的思维我做主
基础达标:反比例函数
k-2 1.(2008哈尔滨)已知反比例函数y= x 的图象位于第
k<0 双曲线的两支位于第二、四象限
我的思维我做主
基础达标:二次函数
1、已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示
,则a 0;b 0;c 0; △ 0yyyy Nhomakorabeao
x
o
x
ox
o
x
第1题图
第2题图
2、(2007兰州)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象
如图所示,则(ab,ac)在第
象限
我的知识我总结
一、三象限,则k的取值范围是( )
A.k>2 B.k≥2 C. k≤2 D. k<2
2.(2008江西)若点(-1,2)在函数y= 图象上,则它的图象大致是( )
k x
(X<0)的
y
y
y
y
ox
A
ox
B
ox
C
ox
D
我的知识我总结
反比例函数
反比例函数y=
k x
(k≠0),它的图象是双曲线
k>0 双曲线的两支位于第一、三象限