整式的运算法则

整式的运算法则
整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。

整式的乘法：),(都是正整数n m a
a a n
m n
m
+=•
),(都是正整数）（n m a
a mn
n m =
)()(都是正整数n b a ab n
n n =
2
2))((b a b a b a -=-+
2
222)(b ab a b a ++=+
2
222)(b ab a b a +-=-
整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a
a a n
m n m 都是正整数
【注意】（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数 相同。

（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要 注意单项式的符号。

（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。

（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

（6）
),0(1
);0(10为正整数p a a a a a p p ≠=
≠=-
（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得 的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

一、选择（每题2分，共24分）
1．下列计算正确的是（）．
A．2x2·3x3=6x3B．2x2+3x3=5x5
C．（－3x2）·（－3x2）=9x5D．5
4
x n·
2
5
x m=
1
2
x m+n
2．一个多项式加上3y2－2y－5得到多项式5y3－4y－6，则原来的多项式为（）．A．5y3+3y2+2y－1 B．5y3－3y2－2y－6
C．5y3+3y2－2y－1 D．5y3－3y2－2y－1
3．下列运算正确的是（）．
A．a2·a3=a5B．（a2）3=a5C．a6÷a2=a3D．a6－a2=a4
4．下列运算中正确的是（）．
A．1
2
a+
1
3
a=
1
5
a B．3a2+2a3=5a5C．3x2y+4yx2=7 D．－mn+mn=0
二、填空（每题2分，共28分）
6．－xy2的系数是______，次数是_______．
8．x_______=x n+1；（m+n）（______）=n2－m2；（a2）3·（a3）2=______．
9．月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时， 若坐飞机飞行这么远的距离需_________．
10．a2+b2+________=（a+b）2a2+b2+_______=（a－b）2
（a－b）2+______=（a+b）2
11．若x2－3x+a是完全平方式，则a=_______．
12．多项式5x2－7x－3是____次_______项式．
三、计算（每题3分，共24分）
13．（2x2y－3xy2）－（6x2y－3xy2）14．（－3
2
ax4y3）÷（－
6
5
ax2y2）·8a2y
17．（x－2）（x+2）－（x+1）（x－3）18．（1－3y）（1+3y）（1+9y2）19．（ab+1）2－（ab－1）2
四、运用乘法公式简便计算（每题2分，共4分）
20．（998）221．197×203
五、先化简，再求值（每题4分，共8分）
22．（x+4）（x－2）（x－4），其中x=－1．
23．[（xy+2）（xy－2）－2x2y2+4]，其中x=10，y=－1 25
．
六、解答题（每题4分，共12分）
24．已知2x+5y=3，求4x·32y的值．25．已知a2+2a+b2－4b+5=0，求a，b的值．
幂的运算
一、同底数幂的乘法（重点）
1.运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。

用式子表示为： n m n m
a a a
+=⋅(m 、n 是正整数)
2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即
()
m n p m m p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数
注意点：
（1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不
变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.
（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转
化为相同的底数，再按法则进行计算.
【典型例题】
1．计算（－2）2007+（－2）2008的结果是（ ）
A ．22015
B ．22007
C ．－2
D ．－22008 2．当a<0，n 为正整数时，（－a ）5·（－a ）2n 的值为（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数
3．（一题多解题）计算：（a －b ）2m －
1·（b －a ）2m ·（a －b ）2m+1，其中m 为正整数． 4．（一题多变题）（1）已知x m =3，x n =5，求x m+n ．
（2）一变：已知x m =3，x n =5，求x 2m+n ；
（3）二变：已知x m =3，x n =15，求x n ．
二、同底数幂的除法（重点）
1、同底数幂的除法
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
公式表示为：()0,m n m n a a a a m n m n -÷=≠>、是正整数，且. 2、零指数幂的意义
任何不等于0的数的0次幂都等于1.用公式表示为：()010a a =≠. 3、负整数指数幂的意义
任何不等于0的数的-n(n 是正整数)次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，用公式表
示为()1
0,n n
a a n a -=
≠是正整数 4、绝对值小于1的数的科学计数法
对于一个小于1且大于0的正数，也可以表示成10n a ⨯的形式，其中
110,a n ≤<是负整数.
注意点：
(1) 底数a 不能为0，若a 为0，则除数为0，除法就没有意义了； (2) (
)0,a m n m n ≠>、是正整数，且是法则的一部分，不要漏掉.
（3） 只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1.
【典型例题】 一、选择
1．在下列运算中，正确的是（ ）
A ．a 2÷a=a 2
B ．（－a ）6÷a 2=（－a ）3=－a 3
C ．a 2÷a 2=a 2－
2=0 D ．（－a ）3÷a 2=－a 2．在下列运算中，错误的是（ ）
A ．a 2m ÷a m ÷a 3=a m －
3 B ．a m+n ÷b n =a m
C ．（－a 2）3÷（－a 3）2=－1
D ．a m+2÷a 3=a m －1
二、填空题
1．（－x 2）3÷（－x ）3=_____． 2．[（y 2）n ] 3÷[（y 3）n ] 2=______． 3．104÷03÷102=_______． 4．（－3.14）0=_____． 三、解答
π
1．（一题多解题）计算：（a －b ）6÷（b －a ）3．
2．（巧题妙解题）计算：2－
1+2－
2+2－
3+…+2－2008
．
3、已知a m =6，a n =2，求a 2m －3n 的值．
4．（科外交叉题）某种植物的花粉的直径约为3.5×10－5
米，用小数把它表示出来．
三、幂的乘方（重点）
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
公式表示为：()()n
m mn a a m n =、都是正整数.
注意点：
（1） 幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数.
（2） 指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开.
【典型例题】
1．计算（-a 2）5+（-a 5）2的结果是（ ）
A ．0
B ．2a 10
C ．-2a 10
D ．2a 7 2．下列各式成立的是（ ）
A ．（a 3）x =（a x ）3
B ．（a n ）3=a n+3
C ．（a+b ）3=a 2+b 2
D ．（-a ）m =-a m 3．如果（9n ）2=312，则n 的值是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 4．已知x 2+3x+5的值为7，那么3x 2+9x -2的值是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6
6.计算：
（1） （2） 补充：
同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：
四、积的乘方
运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。

用式子表示为：
()
n n n
b a b a ⋅=⋅(n 是正整数)
扩展
p n m p n m a a a a -+=÷⋅
()np mp p
n m
b a b a
= (m 、n 、p
是正整
数)
注意点：
2
33
3
4
2
)(a a a a a +⋅+⋅2
24
4
2)()(2a a a ⋅+⋅
（1） 运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算出结果;
（2） 运用积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式.
【典型例题】
1．化简(a 2m ·a n+1)2·(-2a 2)3所得的结果为____________________________。

2．( )5=(8×8×8×8×8)(a ·a ·a ·a ·a)
3．如果a≠b ，且(a p )3·b p+q =a 9b 5 成立，则p=______________，q=__________________。

4．若，则m+n 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．-3
5．的结果等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积进（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．（科内交叉题）已知（x －y ）·（x －y ）3·（x －y ）m =（x －y ）12，求（4m 2+2m+1）－2（2m 2
－m －5）的值．
课后作业
一．选择题（共13小题）
1．碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米=0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（ ）
A ．0.5×10
﹣9
米 B ．5×10
﹣8
米
()()
b a b a b a m n n m 5321221=-++()2
3220032232312⎪⎭
⎫
⎝⎛-•-•⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x y x y x 10103y
x 10
103-y x 10109y x 10
109-y x b a 2
43--y
x b
a +33
1
y x 4
6y x 2
3-y x 2
33
8-y x 4
6-
C．5×10﹣9米D．5×10﹣10米
2．﹣2.040×105表示的原数为（）
A．﹣204000B．﹣0.000204
C．﹣204.000D．﹣20400
3．（2007•十堰）下列运算正确的是（）
A．a6•a3=a18B．（a3）2a2=a5
C．a6÷a3=a2D．a3+a3=2a3
4．（2007•眉山）下列计算错误的是（）
A．（﹣2x）3=﹣2x3B．﹣a2•a=﹣a3
C．（﹣x）9÷（﹣x）3=x6D．（﹣2a3）2=4a6
5．下列计算中，正确的是（）
A．x3•x4=x12B．a6÷a2=a3
C．（a2）3=a5D．（﹣ab）3=﹣a3b3
6．（2004•三明）下列运算正确的是（）
A．x2•x3=x6B．（﹣x2）3=x6
C．（x﹣1）0=1D．6x5÷2x=3x4
7．若（2x+1）0=1则（）
A．x≥﹣B．x≠﹣
C．x≤﹣D．x≠
8．在①（﹣1）0=1；②（﹣1）3=﹣1；③3a﹣2=；④（﹣x）5÷（﹣x）3=﹣x2中，正确的式子有（）
A．①②B．②③
C．①②③D．①②③④
9．若a=（﹣）﹣2，b=（﹣1）﹣1，c=（﹣）0，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
10．通讯卫星的高度是3.6×107米，电磁波在空中的传播速度是3×108米/秒，从地面发射的电磁波被通讯卫星接受并同时反射给地面需要（）
A．3.6×10﹣1秒B．1.2×10﹣1秒
C．2.4×10﹣2秒D．2.4×10﹣1秒
11．下列计算，结果正确的个数（）
（1）（）﹣1=﹣3；（2）2﹣3=﹣8；（3）（﹣）﹣2=；（4）（π﹣3.14）0=1 A．1个B．2个
C．3个D．4个
12．下列算式，计算正确的有
①10﹣3=0.0001；②（0.0001）0=1；③3a﹣2=；④（﹣x）3÷（﹣x）5=﹣x﹣2．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
13．计算：的结果是（）
A．B．
C．D．
二．填空题
14．（2005•常州）=_________；=_________．
15．已知（a﹣3）a+2=1，则整数a=_________．
16．如果（x﹣1）x+4=1成立，那么满足它的所有整数x的值是_________．
17．下雨时，常常是“先见闪电，后听雷鸣”，这是由于光速比声速快的缘故．已知光在空气中的传播速度约为3×108米/秒，而声音在空气中的传播速度约为3.4×102米/秒，则光速是声速的_________倍．（结果保留两个有效数字）
18．（2011•连云港）在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘﹣131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米．数据“0.000 0963”用科学记数法可表示为
_________．
19．若3x+2=36，则=_________．
20．已知a3n=4，则a6n=_________．
21．多项式﹣5（ab）2+ab+1是_________次_________项式．
三．解答填空题
22．计算：
（1）=_________；
（2）（4ab2）2×（﹣a2b）3=_________．
23．已知：2x=4y+1，27y=3x﹣1，则x﹣y=_________．
24．（2010•西宁）计算：=_________．25．计算：
（1）（﹣2.5x3）2（﹣4x3）=_________；
（2）（﹣104）（5×105）（3×102）=_________；
26．计算下列各题：（用简便方法计算）
（1）﹣102n×100×（﹣10）2n﹣1=_________；（2）[（﹣a）（﹣b）2•a2b3c]2=_________；
（3）
（x3）2÷x2÷x+x3÷（﹣x）2•（﹣x2）=_________；（4）
=_________．
27．把下式化成（a﹣b）p的形式：15（a﹣b）3[﹣6（a﹣b）p+5]（b﹣a）2÷45（b﹣a）5= _________．
28．如果x m=5，x n=25，则x5m﹣2n的值为_________．
29．已知：a n=2，a m=3，a k=4，则a2n+m﹣2k的值为_________．
30．比较2100与375的大小2100_________375．
因式分解
教学目标：
1.知识与技能：掌握运用提公因式法、公式法分解因式，培养学生应用因式分解解决问题的能力.
2.过程与方法：经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法.
3.情感态度与价值观：通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想.
教学重、难点：用提公因式法和公式法分解因式.
知识详解
知识点1 因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
例如：
(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.
怎样把一个多项式分解因式？
知识点2 提公因式法
多项式m a+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.m a+mb+mc=m(a+b+c)就是把m a+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是m a+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4a b+2a=2a(4a b-2b+1).
探究交流
下列变形是否是因式分解？为什么？
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)； (2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)； (4)x n(x2-x+1)=x n+2-x n+1+x n.
典例剖析
例1 用提公因式法将下列各式因式分解.
(1) -x3z+x4y； (2) 3x(a-b)+2y(b-a)；
分析：(1)题直接提取公因式分解即可，(2)题首先要适当的变形，再把b-a化成-(a-b)，
然后再提取公因式.
小结运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：
(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号内不能再分解.
(2)如果出现像(2)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少。

这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数).
(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成幂的形式.
学生做一做把下列各式分解因式.
(1) (2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b) ；(2) 4p(1-q)3+2(q-1)2
知识点3 公式法
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).
(2)完全平方公式：a2±2a b+b2=(a±b)2.其中，a2±2a b+b2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
探究交流
下列变形是否正确？为什么？
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2.
例2 把下列各式分解因式.
(1) (a+b)2-4a2；(2)1-10x+25x2；(3)(m+n)2-6(m+n)+9.
分析：本题旨在考查用完全平方公式分解因式.
学生做一做把下列各式分解因式.
(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1；(2)(x+y)2-4(x+y-1).
综合运用
例3 分解因式.
(1)x3-2x2+x；(2) x2(x-y)+y2(y-x)；
分析：本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式.
小结解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式. 是三项式考虑用完全平方式，最后，直到每一个因式都不能再分解为止.
探索与创新题
例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= .
分析：完全平方式是形如：a2±2a b+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
学生做一做若x2+(k+3)x+9是完全平方式，则k= .
课堂小结
用提公因式法和公式法分解因式,会运用因式分解解决计算问题.
各项有“公”先提“公”，首项有负常提负，某项提出莫漏“1”,括号里面分到“底”。

自我评价知识巩固
1.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于( )
A.3
B.-5
C.7.
D.7或-1
2.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是( )
A.2
B.4
C.6
D.8
3.分解因式：4x2-9y2= .
4.已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.
5.把多项式1-x2+2xy-y2分解因式
思考题分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10.
【知识考点】
1. 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 连接而成表示
的式子叫做代数式.
2. 代数式的值：用 代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所
得的 叫做代数式的值. 3. 整式
（1）单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项式（单独一个数或 也是单项式）.单项式中的 叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数.
(2) 多项式：几个单项式的 叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫 做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做 .
(3) 整式： 与 统称整式.
4. 同类项：在一个多项式中，所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫
做同类项. 合并同类项的法则是 相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数 。

5. 幂的运算性质: a m ·a n = ； (a m )n = ； a m ÷a n ＝_____； (ab)n = .
6. 乘法公式：
(1) =++))((d c b a ； （2）（a ＋b ）(a －b)＝ ； (3) (a ＋b)2＝ ；(4)(a －b)2＝ .
7. 整式的除法
⑴ 单项式除以单项式的法则：把 、 分别相除后，作为商的因式；对于只在
被除数里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
⑵ 多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以 ，再把所得的商 ．
【知识考点】
1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式．分解因式要进行到每一个
因式都不能再分解为止．
2. 因式分解的方法：⑴ ，⑵ ，
⑶ ，
3. 提公因式法：=++mc mb ma __________ _________.
4. 公式法: ⑴ =-2
2
b a ⑵ =++2
2
2b ab a ，
⑶=+-2
22b ab a .
5. 十字相乘法：()=+++pq x q p x 2
．
6．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“套”（公式）．三“十字”四“查”. 7．易错知识辨析
注意因式分解与整式乘法的关系；
一、选择题（第小题4分，共24分）
1．下列计算中正确的是 （ ）
A ．
5322a b a =+ B ．44a a a =÷ C ．842a a a =⋅ D ．()
63
2a a -=-
2． ()()22a ax x a x ++-的计算结果是 （ ）
A ．3232a ax x -+
B ．33a x -
C ．3232a x a x -+
D ．322322a a ax x -++
3．下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有 （ ）
①()523623x x x -=-⋅； ②()a b a b a 22423-=-÷；
③()523a a =； ④()()23
a a a -=-÷- A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
4．若2x 是一个正整数的平方，则比x 大1的整数的平方是 （ ）
A ．12+x
B ．1+x
C ．122++x x
D ．122+-x x
5．下列分解因式错误 的是 （ ）
A ．()123-=-x x x x
B ．()()2362-+=-+m m m m
C ．()()16442-=-+a a a
D ．()()y x y x y x -+=+22
6．如图，矩形花园ABCD 中，AB=a ，AD=b ，花园中建有一条矩形道路LMQP
及一条平行四边形道路RSTK ，若LM=RS=c ，则花园中可绿化部分的面积为
（ ）
A ．2b ac ab bc ++-
B ．ac bc ab a -++2
C ．2c ac bc ab +--
D ．ab a bc b -+-22 二、填空题（每小题4分，共28分）
7．（1）当x ___________时，()0
4-x 等于__________； （2）()()=-÷⨯
⎪⎭⎫ ⎝⎛20042003200215.132___________
8．分解因式：=-+-ab b a 2122__________________________.
9．要给n 个长、宽、高分别为x 、y 、z 的箱子打包，其打包方式如图所示，则打包带的总长至少要___________________（用含n 、x 、y 、z 的代数式表示）
10．如果()()63122122=-+++b a b a ，那么b a +的值为________________.
11．下表为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如()n b a +（n 为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出()n b a +展开式中所缺的系数。

()()()3
2233222332b ab b a a b a b ab a b a b
a b a +++=+++=++=+
则()4322344
_____________b ab b a b a a b a ++++=+ 12．某此植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽，发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a ），照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为_____________.（精确到0.001）
第×年
1 2 3 4 5 … 老芽数 a a a 2 a 3 a 5
…
13．某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌地面，第一次铺2块，如图（1）；第2次把第1次铺的完全围起来，如图（2）；第3次把第2次铺的完全围起来，如图（3）……依此方法，第n 次铺完后，用字母n 表示第n 次镶嵌后所使用的木板总数_____________.
三、解答题
14．（12分）计算：()()[]
y x y x x y xy y x x 232223÷---
15．（18分）已知2
2+=n m ，22+=m n （n m ≠），求332n mn m +-的值。

16．（18分）某商店积压了100件某种商品，为使这批货物尽快脱手，该商店采取了如下销售方案，将价格提高到原来的2.5倍，再作3次降价处理：第一次降价30%，标出“亏本价”；第二次降价30%，标出“破产价”；第三次降价30%，标出“跳楼价”。

3次降价处理销售结果如下表：
（1）“跳楼价”占原价的百分比是多少？
（2）该商品按新销售方案销售，相比原价全部售完，哪种方案更赢利？。