广东省河源市中考真题

河源市2010年初中毕业生学业考试数 学 试 卷说 明：本试卷共4页，22小题，满分120分。

考试用时100分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、试室号、座位号，再用2B 铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

5.本试卷不用装订,考完后统一交县招生办(中招办)封存。

参考公式：抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线x =a b 2-,顶点坐标是（ab2-，ab ac 442-）. 一、选择题：每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的. 1．2-的相反数是A. 2B. -1C. 12-D. 122．图1所示几何体的正视图是A B C D 3．图2是我市某一天内的气温变化图，根据图2, 下列说法中错误．．的是 A ．这一天中最高气温是24℃B ．这一天中最高气温与最低气温的差为16℃C ．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高D ．这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低温度T (℃)时间t(时) 图22624 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 22 4 6 810 12 14 16 18 20 22 24 O 图14．函数1y x =+的自变量x 的取值范围是A ．1x ≥B ．1x ≥-C ．1x ≤D ．1x ≤- 5．下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是 A ．圆 B ．正方形 C ．矩形 D ．正三角形 二、填空题：每小题4分，共20分．6．如图3,△ABC 中, BC =6cm ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点,则EF =_______cm .7. 已知反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(11)-，,则k =___________.8. 甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中的进球数分别为：9、9、11、7, 则 这组数据的:①众数为_____________;②中位数为____________;③平均数为__________. 9. 若12x x ，是一元二次方程2210x x --=的两个根，则12x x +的值等于__________. 10. 平面内不过同一点的n 条直线两两相交,它们的交点个数记作n a ,并且规定10a =.那么:①2a =________;②32a a -=____________;③1n n a a --=______________.(n ≥2,用含n 的代数式表示)三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分） 11.（本题满分6分） 分解因式：23ab a -.12.（本题满分6分）如图4,Rt △ABC 中,∠C =90°, ∠A =60°,AC =2.按以下步骤作图: ①以A 为圆心,小于AC 长为半径画弧,分别交AC 、AB 于点E 、D ; ②分别以D 、E 为圆心,以大于12DE 长为半径画弧,两弧相交于点P ; ③连结AP 交BC 于点F .那么:(1) AB 的长等于__________;（直接填写答案） (2) ∠CAF =_________°.（直接填写答案） 13.（本题满分6分）图3图4计算：101|2|()( 3.14)8cos 452π---+-+⨯︒. 14. (本题满分6分).解方程：122)1(12+-=-x x x x .15. （本题满分6分）已知一次函数b kx y +=的图象经过点A(-1,3)和点B(2,-3). (1)求一次函数的解析式;(2)求直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积.四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分） 16．（本题满分7分）在平面直角坐标系中,点M 的坐标为(,12)a a - .(1)当1a =-时,点M 在坐标系的第___________象限; （直接填写答案）(2)将点M 向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到点N ，当点N 在第三象限时,求a 的取值范围. 17.（本题满分7分）(1)如图5, PA,PB 分别与圆O 相切于点A,B .求证:PA=PB .(2)如图6,过圆O 外一点P 的两条直线分别与圆O 相交于点A 、B 和C 、D .则当___________时,PB=PD .(不添加字母符号和辅助线， 不需证明，只需填上符合题意的一个条件)18.（本题满分7分）如图7,源城中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园, 矩形的一边用教学楼的外墙,其余三边用竹篱笆. 设矩形的宽为x ,面积为y.图5图6(1) 求y 与x 的函数关系式,并求自变量x 的取值范围;(2) 生物园的面积能否达到210平方米?说明理由. 19．（本题满分7分）某校九年级有200名学生参加了全国初中数学联合竞赛的初赛，为了了解本次初赛的成绩情况，从中抽取了50名学生, 将他们的初赛成绩（得分为整数，满分为100分）分成五组：第一组49.5～59.5；第二组59.5～69.5；第三组69.5～79.5;第四组79.5～89.5；第五组89.5～100.5.统计后得到图8所示的频数分布直方图（部分）.观察图形的信息，回答下列问题： （1）第四组的频数为_________________.（直接填写答案）（2）若将得分转化为等级，规定得分低于59.5分评为“D ”，59.5～69.5分评为“C ”，69.5～89.5分评为“B ”，89.5～100.5分评为“A ”. 那么这200名参加初赛的学生中参赛成绩评为“D ” 的学生约有________个. （直接填写答案）（3）如果把抽取出来的50名学生中成绩落在第四、第五组的学生组成一个培训小组，再从这个培训小组中随机挑选2名学生参加决赛.用列表法或画树状图法求：挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在90分以上的概率.五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20. （本题满分9分）河东中学初三(1)班学生到万绿湖春游,有一项活动是划船.游船有两种,甲种船每条船最多只能坐4个人,乙种船每条船最多只能坐6个人.已知初三(1)班学生的人数是5的倍数,若仅租甲种船，则不少于12条；若仅租乙种船,则不多于9条.(1)求初三(1)班学生的人数;(2)如果甲种船的租金是每条船10元,乙种船的租金是每条船12元.应怎样租船,才能使每条船都坐满,且租金最少?说明理由.21. (本题满分9分)如图9，ABC △中，点P 是边AC 上的一个动点，过P 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）求证:PE=PF ； （2）当点P 在边AC 上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗？说明理由；（3）若在AC 边上存在点P ,使四边形AECF 是正方形,且23BC AP .求此时∠A 的大小.22．(本题满分9分)如图10，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于E，D两点（D点在E点右方）.（1）求点E,D的坐标;（2）求过B,C,D三点的抛物线的函数关系式；(3)过B,C,D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明图10理由；若存在，求出点Q的坐标.河源市2010年初中毕业生学业考试数学试卷参考答案与评分意见一、选择题：每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的.1、A；2、A；3、D；4、B； 5 、D.二、填空题：每小题4分，共20分．6、3.7、-1.8、①9(1分);②9(1分); ③9(2分).9、2. 10、①1(1分);②2(1分)；③n－1（2分）.三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）11．本题满分6分．解:原式=)(22b a a - …………………………………3分 =))((b a b a a +-. …………………………………6分 12．本题满分6分．(1)4. …………………………………3分 (2)30. …………………………………6分 13．本题满分6分．282⨯原式=2-2+1+ …………………………………4分 =1+2=3. …………………………………6分 14．本题满分6分．解:由原方程得212.(1)(1)x x x =-- …………………………………1分 1210,,1x x x -≠=-得得…………………………………3分 21, 1.x x x =-=-解得 …………………………………5分 1.1.x x =-∴=-经检验是原方程的根原方程的解是 …………………………………6分(或直接求解) 15．本题满分6分．解:(1)设一次函数的解析式为b kx y +=.因为点A (-1,3)和点B (2,-3)在一次函数的图象上,所以⎩⎨⎧-=+=+-.32,3b k b k ………………1分解得⎩⎨⎧=-=.1,2b k所以一次函数的解析式为.12+-=x y …………………………………3分 (2)直线AB 与坐标轴的交点为P (0,1),Q (21,0). …………………………………4分 三角形OPQ 的面积:412112121=⨯⨯=⨯⨯=OQ OP s . …………………………………6分四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分） 16．本题满分7分．(1)二. …………………………………2分 (2)依题意得,N (a -2,2-2a ). …………………………………4分 点N 在第三象限,则有20,220.a a -<⎧⎨-<⎩解得1<a <2. …………………………………7分 17．本题满分7分．(1)证明:连OA ,OB . ∵P A,PB 是圆O 的切线,∴OA ⊥PA ,OB ⊥PB .…………………………2分 ∵OA=OB ,OP=OP .∴R t △OAP ≌R t △OBP. ……………………… 4分 ∴PA=PB . …………………………5分(2) ∠OP A=∠OPC .(或P A=PC ,或AB=CD ,或圆心O 到PB ,PD 的距离相等,或弧AB 与弧CD 相等) …………………………………7分 18．本题满分7分．解:(1)依题意得,矩形的长为402x -. …………………………………1分 ∴2(402)240.y x x x x =-=-+ ………………………………3分 又4020,020.x x ->∴<< …………………………………4分 (2)若能达到,则2210.240210.y x x =-+=令得即2201050.x x -+= …………………………………5分2242041050.b ac ∆=-=-⨯<∴该方程无实数根.所以生物园的面积不能达到210平方米. …………………………………7分 (可先求矩形面积的最大值,再比较得结论) 19．本题满分7分．(1)2. …………………………………2分 (2)64. . …………………………………4分 (3) 解:由(1)及已知,培训小组有4人,其中得分90分以下的2人,记为A 1,A 2,得分90分以上的有2人,记为B 1,B 2.列表如下: A 1 A 2 B 1 B 2 A 1 A 1, A 2 A 1, B 1 A 1, B 2 A 2 A 2, A 1 A 2, B 1 A 2, B 2 B 1 B 1, A 1 B 1, A 2 B 1, B 2 B 2B 2, A 1B 2, A 2B 2, B 1…………………………………6分 或画树状图:由表中(或树状图)可以看出,从这个小组中挑选2人,共有12种结果,而有2人为90分以上的结果为2种, 所求概率为21126p ==. .…………………………………7分 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）20．本题满分9分．(1)解:设该班有m 人,依题意得44<m ≤54. …………………………………3分 又m 是5的倍数,所以m =50.即初三(1)班有m=45或m =50. ……………………………4分 (2) 设租用甲船x 条,乙船y 条,则有 4x+6y=45,该方程没有整数解.或4650,2325.x y x y +=+=即 …………………………………6分)1,11(),3,8(),5,5(),7,2(),(,的可能取值为所以都是正整数由于y x ，y x . ……7分所需租金: 10122100.w x y x =+=+ …………………………………8分.2,02最少租金时所以当的增大而增大随所以因为w ，x ，x w =>所以租用甲种船2条,乙种船7条时,每条船都坐满,且租金最少. ……………………9分 (2)解法二: 设租用甲船x 条,乙船y 条,则有 4x+6y=45,该方程没有整数解.或4650,2325.x y x y +=+=即 ………………………………6分 所需租金: 10122100.w x y x =+=+ …………………………………7分因为租用甲船平均每人需2.5元, 租用乙船平均每人只需2元,所以租用甲船最少时,才能使租金最少.当x=2时,y =7, 即租用甲种船2条,乙种船7条时,每条船都坐满,且租金最少. …9分 21．本题满分9分．（1）证明: ∵EC 平分∠BCA, ∴∠BCE=∠PCE .∵MN BC ∥，∴∠PEC=∠BCE.∴∠PEC=∠PCE , ∴PE=PC . …………2分 同理可证PC=PF .∴PE=PF . …………………………………3分（2）四边形BCFE 不可能是菱形. …………………4分若BCFE 为菱形，则BF EC ⊥，而由（1）可知FC EC ⊥.…………………………………5分因为在平面内过同一点F 不可能有两条直线同垂直于一条直线,所以BF EC ⊥不能成立,所以四边形BCFE 不可能是菱形. …………………6分 （3）当AECF 为正方形时，P 是AC 的中点,且EF AC ⊥． ∵EF BC ∥，∴AC BC ⊥，∴ABC △是以ACB ∠为直角的直角三角形…………………………………… …8分∵23=BC AP ,在R t △ABC 中,332tan ===AP BC AC BC A . ∴∠A =30°. …9分22．本题满分9分．解：（1）∵B (4,1),则A (4,0),设OD =x ,得DA =4-x . …………………………1分 因为D 是以BC 为直径的圆与x 轴的交点, ∴∠CDB =90°,∴∠ODC+ ∠BDA =90°. ∵∠OCD+∠ODC =90°, ∴∠OCD= ∠BDA . ∴R t △OCD ∽R t △ADB .∴OC ADOD AB =. ……………………………2分 341x x -=,即2430.x x -+= 解得121, 3.x x ==可得E (1,0),D (3,0). …………………………3分 (2) ∵C (0,3),D (3,0),B (4,1).设过此三点的抛物线为2(0)y ax bx c a =++≠，则39301641c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩. ……………4分解得3,25,21=-==c b a . ∴过B,C,D 三点的抛物线的函数关系式为215322y x x =-+.…………6分 （3）假设存在，分两种情况讨论：①当∠BDQ =90°时，由(1)可知∠BDC =90°，且点C 在抛物线上，故点C 与点Q 重合，所求的点Q 为（0，3）; …………………………………7分 ②当∠DBQ =90°时，过点B 作平行于DC 的直线BQ ，假设直线BQ 交抛物线于另一点Q . ∵D （3，0），C (0,3),∴直线DC 为3y x =-+. ………………………7.5分 ∵BQ ∥DC ,故可设直线BQ 为m x y +-=.将B (4,1)代入,得m =5.(或直线DC 向上平移2个单位与直线BQ 重合)∴直线BQ 为5y x =-+. …………………………………8分由2515322y x y x x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩.得16x y =-⎧⎨=⎩.或41x y =⎧⎨=⎩. 又点B (4,1), ∴Q(-1,6).故该抛物线上存在两点(0,3),(-1,6)满足条件． …………………………………9分。