第五讲 线性代数中的数值计算问题
实验5_线性代数方程组的数值解法
实验5 线性代数方程组的数值解法化工系 毕啸天 2010011811【实验目的】1. 学会用MATLAB 软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析；2. 通过实例学习用线性代数方程组解决简化的实际问题。
【实验内容】题目3已知方程组Ax=b ，其中A ，定义为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------=32/14/12/132/14/14/12/132/14/14/12/132/14/12/13A试通过迭代法求解此方程组，认识迭代法收敛的含义以及迭代初值和方程组系数矩阵性质对收敛速度的影响。
实验要求：（1）选取不同的初始向量x (0)和不同的方程组右端项向量b ，给定迭代误差要求，用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法计算，观测得到的迭代向量序列是否均收敛？若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论；（2）取定右端向量b 和初始向量x (0)，将A 的主对角线元素成倍增长若干次，非主对角线元素不变，每次用雅可比迭代法计算，要求迭代误差满足 ，比较收敛速度，分析现象并得出你的结论。
3.1 模型分析选取初始向量x(0) =(1,1,…,1)T ，b=(1,1,…,1)T ，迭代要求为误差满足 ，编写雅各比、高斯-赛德尔迭代法的函数，迭代求解。
3.2 程序代码function x = Jacobi( x0,A,b,m ) D=diag(diag(A)); U=-triu(A,1); L=-tril(A,-1); B1=D\(L+U); f1=D\b; x(:,1)=x0;x(:,2)=B1*x(:,1)+f1; k=1;while norm((x(:,k+1)-x(:,k)),inf)>m x(:,k+2)=B1*x(:,k+1)+f1; k=k+1; endendfunction x = Gauss( x0,A,b,m )D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);B2=(D-L)\U;f2=(D-L)\b;x(:,1)=x0;x(:,2)=B2*x(:,1)+f2;k=1;while norm((x(:,k+1)-x(:,k)),inf)>mx(:,k+2)=B2*x(:,k+1)+f2;k=k+1;endendA1=3.*eye(20,20);A2=sparse(1:19,2:20,-1/2,20,20);A3=sparse(1:18,3:20,-1/4,20,20);AA=A1+A2+A3+A2'+A3';A=full(AA);b=ones(20,1); %输入自选右端项向量b x0=ones(20,1); %输入自选初始向量x0 m=1e-5;x1=Jacob(x0,A,b,m);x2=Gauss(x0,A,b,m);结果输出数据：3.3.1将x0各分量初值置为0【分析】从数据中可以看出，当迭代的初值变化了，达到相同精度所需要的迭代次数也变化了。
数值计算方法试题及答案解析
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
线性代数问题的计算机求解.ppt
现代设计与分析研究所 王雷
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
1
主要内容
4.1特殊矩阵的输入 4.2矩阵基本分析 4.3矩阵方程的计算机求解 本章要点简介
2021年2月17日2时43分
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2
4.1 特殊矩阵的输入
数值矩阵的输入 符号矩阵的输入
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【例4-19】
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若rank（A）< rank（C）：
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4.2.1.5 特征多项式
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【例4-12】
2021年2月17日2时43分
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【例4-13】
2021年2月17日2时43分
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4.2.2 逆矩阵与广义逆矩阵
4.2.2.1 矩阵的逆矩阵
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4.2.1.2 矩阵的迹
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4.2.1.3 矩阵的秩
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22
【例4-9】
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线性代数中的数值计算
正则化方法
L1正则化
在目标函数中加入L1范数作为惩罚项，实现稀疏解的 选择。
L2正则化
在目标函数中加入L2范数作为惩罚项，防止过拟合现 象的发生。
弹性网正则化
结合L1和L2正则化的优点，同时实现稀疏解和防止过 拟合的目的。
05
非线性方程组的数值解法
牛顿法与拟牛顿法
牛顿法
通过迭代的方式求解非线性方程组的 根，每一步迭代都需要计算雅可比矩 阵（函数的一阶导数矩阵）和海森矩 阵（函数的二阶导数矩阵）。
有效数字与精度
有效数字表示一个数中可靠数字 的位数，精度则反映了计算结果 的准确性。在数值计算中，需要 关注有效数字的保留和精度的控 制。
误差传播
在复杂的数值计算中，误差可能 会逐步累积和传播，导致最终结 果的失真。因此，需要分析误差 传播规律，并采取相应的措施来 减小误差。
数值稳定性
01
算法稳定性
线性代数中的数值计算
• 数值计算基础 • 线性方程组求解 • 矩阵特征值与特征向量计算 • 线性最小二乘问题 • 非线性方程组的数值解法 • 数值计算中的优化问题
01
数值计算基础
误差与精度
绝对误差与相对误差
描述计算结果与真实值之间的差 异程度，其中绝对误差是计算值 与真实值之差的绝对值，相对误 差是绝对误差与真实值之比。
拟牛顿法
在牛顿法的基础上，通过近似计算海 森矩阵或其逆矩阵，从而减少计算量 ，提高求解效率。常见的拟牛顿法有 BFGS方法和DFP方法等。
梯度下降法与共轭梯度法
梯度下降法
沿着目标函数的负梯度方向进行迭代，逐步逼近函数的极小值点。该方法适用 于连续可微的凸函数优化问题。
共轭梯度法
结合梯度下降法和共轭方向法的思想，利用历史梯度信息构造共轭方向，从而 加速收敛速度。共轭梯度法适用于大规模非线性优化问题。
线性代数问题求解课件
通过具体例题，解析特征值和特征向量的计算方法，以及特征值和特征向量在矩阵分析 中的应用。
详细描述
本部分将通过具体的特征值和特征向量例题，展示如何计算特征值和特征向量。首先介 绍特征值和特征向量的定义和计算方法，然后通过例题演示如何求解特征值和特征向量。
此外，还将讨论特征值和特征向量在矩阵分析中的应用，如判断矩阵的稳定性、矩阵相 似性等。
特征值与特征向量的性质
特征值和特征向量具有一些重要的性质，如特征值和特征向量的定义性质、特征 值的性质等。
线性变换与矩阵
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的 一种保持向量加法和数乘 不变的变换。
矩阵表示线性变换
对于一个给定的线性变换， 可以用矩阵表示其作用方式。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的 性质，如线性变换的加法 性质、数乘性质等。
行列式的性质
包括代数余子式、转置行列式、 行列式的乘法规则等。
行列式的计算方法
包括展开法、递推法、三角分解 法等。
矩阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
矩阵的特征值是满足Ax=λx的标量，特征向量是满足该等式的非 零向量。
特征多项式
用于求解特征值和特征向量的多项式。
特征值和特征向量的性质
包括线性变换、相似矩阵等。
线性变换与矩阵的实例解析
要点一
总结词
要点二
详细描述
通过具体例题，解析线性变换与矩阵之间的关系，以及线 性变换在几何中的应用。
本部分将通过具体的线性变换与矩阵例题，解析线性变换 与矩阵之间的关系。首先介绍线性变换的基本概念和性质， 然后通过例题演示如何通过矩阵表示线性变换。此外，还 将讨论线性变换在几何中的应用，如平面上的线性变换、 空间中的线性变换等。通过具体例题，展示如何运用线性 代数知识解决实际问题，并解释每一步的原理和计算过程。
线性代数的基本运算
111第5章 线性代数的基本运算本章学习的主要目的：1 复习线性代数中有关行列式、矩阵、矩阵初等变换、向量的线性相关性、线性方程组的求解、相似矩阵及二次型的相关知识.2学会用MatLab 软件进行行列式的计算、矩阵的基本运算、矩阵初等变换、向量的线性相关性的判别、线性方程组的求解、二次型化标准形的运算.5.1 行列式5.1.1 n 阶行列式定义由2n 个元素),,2,1,(n j i a ij 组成的记号D=nnn n n n a a a a a a a a a212222111211称为n 阶行列式.其值是所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积n np 2p 21p 1a a a 的代数和,各项的符号由n 级排列n p p p 21决定,即112 D=np p p n p p p 21nnp 2p 21p 1)21(a a a)1( ,其中np p p 21表示对所有n 级排列求和,),,,(21n p p p 是排列n p p p 21的逆序数.5.1.2 行列式的性质(1) 行列式与它的转置行列式相等. (2) 互换行列式的两行(列),行列式变号.(3) 若行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零. (4) 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式.(5) 若行列式有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. (6) 若行列式的某一列(行)的元素是两数的和,则此行列式等于对应两个行列式之和.即nn nn ni n n i i nn nn ni n n i i nn nn ni ni n n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a21'21'22221'112112121222211121121'21'222221'111211(7) 若行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变.113(8) 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即),,2,1(,0,1j k n i k i ki D A a D nj ij,或),,2,1(,0,1i n j k j kj D A a D nik ij(9) 设A,B 是n 阶方阵,则TA A ,A A n k k ,BA AB ,(10)若A 是n 阶可逆矩阵,则0 A ,AA 11(11) 设n 21,,, 是n 阶方阵A 的特征值,则i nA 1i ,(12) 设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵,则2n *1n AA(13) 几种特殊行列式的计算:nn nna a a a a a22112211000000 ,nn nnnna a a a a a a a a221122********* nn nnn n a a a a a a a a a221121222111000 ,112n 12)1(1222111211)1(00n n n n n n a a a a a a a a a5.1.3 MatLab 计算行列式的命令 det(var) %计算方阵var 的行列式114 例1 计算行列式3833262290432231的值在MatLab 命令窗口输入:A=[1,-3,2,2;-3,4,0,9;2,-2,6,2;3,-3,8,3] det(A) 执行结果:A = 1 -3 2 2 -3 4 0 9 2 -2 6 2 3 -3 8 3 ans = -50例2 计算行列式dcb 10110011001a的值,其中a,b,c,d 是参数.在MatLab 命令窗口输入: syms a b c dA=[a,1,0,0;-1,b,1,0;0,-1,c,1;0,0,-1,d] det(A) 执行结果:115A =[ a, 1, 0, 0][ -1, b, 1, 0] [ 0, -1, c, 1] [ 0, 0, -1, d]ans =a*b*c*d+a*b+a*d+c*d+1例3 求方程0881441221111132 x x x的根.(1) 先求行列式的值 在MatLab 命令窗口输入: syms xA=[1,1,1,1;1,-2,2,x;1,4,4,x*x;1,-8,8,x^3] y=det(A) 执行结果: A =[ 1, 1, 1, 1] [ 1, -2, 2, x] [ 1, 4, 4, x^2] [ 1, -8, 8, x^3]y =-12*x^3+48*x+12*x^2-48(2) 求3次方程的根.首先通过函数的图形确定根的大致范围,在MatLab命令窗口输入:grid onezplot(y)图 1 观察图1,可知3个根大致在-2,0,4附近,下面求精确值, 在MatLab命令窗口输入:yf=char(y);g1=fzero(yf,-2)116117g2=fzero(yf,0) g3=fzero(yf,4) 执行结果: g1 = -2 g2 = 1.0000 g3 = 2.0000可知方程的3个根分别为-2,1,2. 5.1.4用MatLab 实现克拉默法则 (1)克拉默法则非齐次线性方程组方程组nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111当其系数行列式0212222111211 nnn n nn a a a a a a a a a D时,此方程组有唯一解, 且可表示为DD x DD x DD x n n ,,,2211其中),,2,1(n j D J 是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组118 右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式,即nnj n n j n n n j j j a a b a a a a b a a D1,1,111,111,111对于齐次线性方程组00221122221211212111nnn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 当其系数行列式0212222111211 nnn n nn a a a a a a a a a D时,此方程组有唯一零解;当D=0时,方程组有非零解. (2) 编写函数klm.m 实现用克拉默法则求解非齐次线性方程组.function x=klm(a,b) %参数a 代表方程组的系数矩阵,列矩阵b 代表方程组的常数列,%返回方程组的解[m,n]=size(a); if (m~=n)disp('克拉默法则不适用此方程组的求解!')119else d=det(a); if (d==0)disp('该方程组没有唯一解!') elsedisp('该方程组有唯一解!') for i=1:m e=a; e(:,i)=b; f=det(e); x(i)=f/d; end end end例4 用克拉默法则解下列方程组:12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x操作步骤:120 在MatLab 命令窗口输入:D=[1,1,1,1;1,2,-1,4;2,-3,-1,-5;3,1,2,11]; A=[5;-2;-2;0]; klm(D,A) 执行结果:该方程组有唯一解!ans = 1 2 3 -1 方程组的解为1,3,2,1x 4321 x x x 例5 问a 取何值时,齐次方程组)4(20)6(2022)5(3121321x a x x a x x x x a 有非零解? 根据齐次方程组有非零解,系数行列式为零,用MatLab 操作步骤如下:在MatLabsyms xyy=det(A) ezplot(yy,[0,10])图2grid on执行结果:行列式的值为:yy = 80-66*x+15*x^2-x^3作函数yy的图形,如图2观察图2,可知根大致在2,5,8附近,再输入命令:yf=char(yy);x1=fzero(yf,2)x2=fzero(yf,5)x3=fzero(yf,8)执行结果:x1 = 2x2 = 5x3 = 8即a取2，5，或8时,齐次方程组有非零解。
线性代数5
所以 2 x , y
即
2
4 x , x y , y 0
（５．１）
x , y
2
x , x y , y
上式被称为许瓦兹（Schwarz）不等式.
西安建大
二．正交向量组与正交化方法
１．正交向量组
１．正交向量组
当 x
y 0 时，定义向量
cos
２．施密特正交化方法
西安建大
三．正交矩阵与正交变化
1. 正交矩阵 定义５．２ 定理５．３
1.正交矩阵
2.正交变换
如果 n阶方阵 A 满足 AT A 则称 A 为正交矩阵．
I
如果 A , B均为 n阶正交矩阵，
T
1
那么：⑴ A1 AT ⑵ A 即 A 为正交矩阵
1 A A ⑶ 2 A A 为 2n 阶正交矩阵
量两两正交，从而这 n 个向量就构成了向量空 间 R n的一组正交基．
西安建大
例５．１
T 已知 R 3的一个向量 1 1 ,1 ,1， 求 R 3的一组正交基． T T 解：求 2 x21 , x22 , x23 ，使 1 2 0
即： x21 x22 x23 0
bi ( i 1 ,2 , , r ) 再取 i bi
显然 1 , 2 , , r为正交规范化的向量组， 且与 1 , 2 , , r 等价．
西安建大
T T T 例5.2：已知 1 1 ,1 ,1 , 2 1, 2 ,1 , 3 1 ,1 ,2
西安建大
定义５．１
设n 维向量 1 , 2 , , r是向量空间 V ( V R n )的一组正交基，如果它们均为单位向 量，则称 1 , 2 , , r 为V 的一组正交规范基 或标准正交基．
Mathematica线性代数运算命令与例题
6.生成对角矩阵 命令形式:DiagonalMatrix[list] 功能:使用列表中的元素生成一个对角矩阵.
7.生成单位矩阵 命令形式:IdentityMatrix[n] 功能:生成 n 阶单位阵
例题
例 3. 构造 4 3 的 0 矩阵。
解: Mathematica 命令 In[5]:=Table[0，{4}，{3}] Out[5]:= {{0， 0， 0}， {0， 0， 0}， {0， 0， 0}， {0， 0， 0}} In[6]:= MatrixForm[%] Out[6]:= 000 000 000 000
5.1.2 几个特殊矩阵的输入
1. 生成 0 矩阵 命令形式: Table[0，{m}，{n}]
功能:产生一个 m n 的 0 矩阵
2. 生成随机数矩阵 命令形式: Table[Random[ ]，{m}，{n}]
功能: 产生一个 m n 的随机数矩阵
3.生成上三角矩阵
71
命令形式: Table[If[i<=j，a，0]，{i，m}，{j，n}] 功能: 产生一个非 0 元全为数 a 的上三角矩阵
5.2.2. 方阵的运算 求行列式
命令形式:Det[A] 功能:计算方阵 A 的行列式
求方阵的幂
命令形式:MatrixPower[A，n] 功能:计算方阵 A 的 n 次幂。
求矩阵的 k 阶子式
命令形式:Minors[A，k] 功能:求出矩阵 A 的所有可能的 k 阶子式的值。
例题:
例
19.
A
1 3 1 0
1 例 15:求矩阵 2
3 1
0 1
与
0 2
1 4
数值计算方法答案
1数值计算方法(李有法)习题一1．设x>0相对误差为2%，4x的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈得（1）()f x=11()()*2%1%22x xδδδ≈===；（2）4()f x x=时444()()'()4()4*2%8%xx x x xxδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P关于1212.m nx a a a bb b=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl≈⨯+⨯= 21(0.3197100.259110)fl⨯+⨯=0.3456210⨯2易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x，面积为2()f x x=，由(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈解得(())()()'()f x f xxxf xδδ≈=2(())(())22f x x f xx xδδ==0.5%5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x<<，（A）11121xyx x-=-++，（B）22(12)(1)xyx x=++；（2）已知1x>>，（A）y=，（B）y=；（3）已知1x<<，（A）22sin xyx=，（B）1cos2xyx-=；（4）（A）9y=（B）y=解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
线性代数第五章
１．内积 ２．向量旳范数 ３．许瓦兹不等式
x x1 , x2 , , xn T , y y1 , y2 , , yn T
称 xT y x1 y1 x2 y2 xn yn
为向量 x与 y 旳内积，记为 x , y．
2
内积满足下列运算规律：
⑴ x, y y, x
⑵ kx , y kx ,y
15
三．正交矩阵与正交变化
1. 正交矩阵
1.正交矩阵 2.正交变换
定义５．２ 假如 n阶方阵 A 满足AT A I
则称 A 为正交矩阵．
定理５．３ 假如 A , B均为 n 阶正交矩阵，
那么：⑴ A1 AT
⑵ AT 即 A1 为正交矩阵
⑶
1 2
A A
A A
为
2n
阶正交矩阵
⑷ AB，BA 都是正交矩阵
8
定理5．２ 若 1 , 2 , , r为 n 维正交向
量组，且 r n ，则必有非零 n 维向量 x ， 使 x 与 1 , 2 , , r 两两正交．
推论：对 rr n个两两正交旳 n 维非零向量，总
能够添上 n r个 n 维非零向量，使 n 个向
量两两正交，从而这 n 个向量就构成了向量空
第五章 特征值 特征向量 二次型
第一讲 正交向量组与正交矩阵 第二讲 方阵旳特征值与特征向量 第三讲 相同矩阵与实对称矩阵旳对角化 第四讲 二次型及其原则形 第五讲 惯性定理和正定二次型 第六讲 习题课
1
第一讲 正交向量组与正交矩阵
一．向量旳内积与许瓦兹
（Schwarz）不等式
１．内积
内积定义：对 n维列向量
19
第二讲 方阵旳特征值和特征向量
1.定义
现代数值计算习题答案
现代数值计算习题答案现代数值计算习题答案数值计算是现代科学和工程领域中的重要组成部分，它涉及到使用数值方法和计算机技术来解决实际问题。
在学习数值计算的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以帮助学生巩固所学的知识，并提高解决实际问题的能力。
本文将为读者提供一些现代数值计算习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
一、数值线性代数1. 解释什么是线性方程组的LU分解？答：线性方程组的LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积的过程。
其中，L矩阵的对角线元素为1，U矩阵的对角线元素与原矩阵相同。
通过LU分解，可以简化线性方程组的求解过程，提高计算效率。
2. 什么是矩阵的条件数？答：矩阵的条件数是衡量矩阵相对于其逆矩阵的敏感程度的一个指标。
条件数越大，矩阵的求逆过程越不稳定，误差积累的可能性越大。
条件数可以用来评估数值解的稳定性和精确性。
二、插值和拟合1. 什么是插值？答：插值是指通过已知数据点来构造一个函数，使得该函数在这些数据点上的取值与已知数据完全一致。
插值可以用于估计数据点之间的未知值，常用的插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
2. 什么是最小二乘拟合？答：最小二乘拟合是一种通过最小化残差平方和来拟合数据的方法。
在最小二乘拟合中，通过选择合适的函数形式和参数，使得拟合函数与实际数据之间的误差最小化。
最小二乘拟合广泛应用于数据分析和曲线拟合领域。
三、数值微积分1. 什么是数值积分？答：数值积分是一种通过数值方法来近似计算定积分的方法。
数值积分可以通过将定积分区间划分为若干小区间，然后在每个小区间上使用数值方法来估计积分值。
常用的数值积分方法包括梯形法则和辛普森法则。
2. 什么是数值微分？答：数值微分是一种通过数值方法来近似计算导数的方法。
数值微分可以通过使用有限差分公式来估计导数值。
常用的数值微分方法包括前向差分、后向差分和中心差分。
四、常微分方程数值解1. 什么是常微分方程？答：常微分方程是描述自变量和未知函数之间关系的方程，其中未知函数的导数出现。
编程技术中的线性代数与数值计算方法介绍
编程技术中的线性代数与数值计算方法介绍在当今信息技术高速发展的时代，编程技术已经成为了我们生活中不可或缺的一部分。
而在编程过程中，线性代数与数值计算方法的运用显得尤为重要。
本文将介绍线性代数与数值计算方法在编程技术中的应用，并探讨其背后的原理和算法。
一、线性代数在编程中的应用线性代数是数学的一个分支，研究向量空间和线性变换的理论。
在编程中，线性代数的应用非常广泛。
首先，线性代数可以用来描述和处理向量和矩阵，而向量和矩阵在计算机图形学、机器学习等领域中起着重要的作用。
其次，线性代数还可以用来解决线性方程组、最小二乘问题等数值计算中的基本问题。
因此，掌握线性代数的基本概念和运算规则对于编程技术的学习和应用至关重要。
二、线性代数的基本概念和运算规则线性代数的基本概念包括向量、矩阵、线性变换等。
向量是有大小和方向的量，可以用一组有序数表示。
矩阵是一个由数按照一定规律排列成的矩形阵列。
线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的变换。
在编程中，我们常常需要对向量和矩阵进行加法、减法、乘法等运算。
此外，线性代数还涉及到向量的内积、外积、范数等概念和运算规则。
这些基本概念和运算规则是编程中处理向量和矩阵的基础。
三、数值计算方法的原理和算法数值计算方法是指用数值逼近的方法求解数学问题的一类方法。
在编程中，我们常常需要用数值计算方法求解线性方程组、非线性方程、积分、微分等问题。
其中，线性方程组的求解是数值计算中的一个重要问题。
常用的线性方程组求解方法有直接法和迭代法。
直接法是指通过消元和回代等步骤直接求解线性方程组的方法，如高斯消元法、LU分解法等。
迭代法是指通过迭代逼近的方法求解线性方程组的方法，如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
此外，数值计算方法还包括插值、拟合、数值积分、数值微分等问题的求解方法。
这些方法的原理和算法是编程中处理数值计算问题的基础。
四、线性代数与数值计算方法的实际应用线性代数与数值计算方法在编程技术中有着广泛的应用。
线性代数运算法则
线性代数运算法则线性代数是数学中重要的一个分支，它研究向量空间和线性映射的基本性质。
在实际应用中，线性代数经常用于解决各种问题，例如计算机图形学、机器学习、物理学和工程学等领域。
本文将介绍线性代数中的一些重要运算法则，包括向量的加法和数乘、矩阵的加法和数乘、矩阵乘法以及矩阵的转置和逆运算。
向量的加法和数乘是线性代数中最基本的运算之一。
设有两个向量a和b，它们的加法定义为：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。
其中a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn分别是向量a和b 的各个分量。
向量的数乘定义为：k a = (k a1, k a2, ..., k an)。
其中k是一个标量。
向量的加法和数乘满足交换律、结合律和分配律，即对任意向量a、b和标量k，有以下运算法则成立：2. (a + b) + c = a + (b + c)。
3. k (a + b) = k a + k b。
4. (k + l) a = k a + l a。
5. k (l a) = (k l) a。
这些法则是线性代数中向量运算的基础，它们帮助我们理解向量空间的结构和性质。
矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它可以看作是一个二维数组。
矩阵的加法和数乘与向量类似，设有两个矩阵A和B，它们的加法定义为：A +B = (aij + bij)。
其中aij和bij分别是矩阵A和B的第i行第j列的元素。
矩阵的数乘定义为：其中k是一个标量。
矩阵的加法和数乘也满足交换律、结合律和分配律。
矩阵乘法是线性代数中最重要的运算之一。
设有两个矩阵A和B，它们的乘法定义为：C = A B。
其中C的第i行第j列的元素cij等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。
矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下AB≠BA。
矩阵乘法的运算法则包括结合律和分配律，即对任意矩阵A、B和C，有以下法则成立：1. (A B) C = A (B C)。
线性代数完整版ppt课件
规律：
1. 三阶行列式共有6项，即3!项．
2. 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
3. 每一项可以写成 a1p1a2p2（a3正p3负号除外），其中
是1、2、3的某个排列.
p1 p2 p3
4. 当 p1 p2 是p3偶排列时，对应的项取正号；
(方程组的系数行列式)
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a 21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D
x2
a11b2b1a21 a11a22a12a21.
D2 D
10
例1
求解二元线性方程组
32x1x1 2xx22
12 1
3 2
1.4
.
14
例3 求解方程 1 1 1
2 3 x 0. 4 9 x2
解 方程左端 D 3 x 2 4 x 1 9 x 8 2 x 2 12 x25x6,
由 x25x60得
x2或 x3.
.
15
§2 全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
相减而得.
.
7
二元线性方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
其求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
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【最新整理，下载后即可编辑】考研数学线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲 基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1,a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2,… … … …a m1x 1+a m2x 2+…+a mn x n =b m ,其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等.线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i 都用k i 替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组.n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由m ⨯n 个数排列成的一个m 行n 列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m ⨯n 型矩阵.例如2 -1 0 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个4⨯5矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a 11 a 12 … a 1n a 11 a 12 … a 1nb 1A = a 21 a 22 … a 2n 和(A |)= a 21 a 22 … a 2n b 2… … … … … … …a m1 a m2 … a mn a m1 a m2 … a mnb m为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i 行第j 列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A 和B 相等(记作A =B ),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a 1,a 2,⋯ ,a n 的向量可表示成a 1(a 1,a 2,⋯ ,a n )或 a 2 ,┆a n请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1⨯n 矩阵,右边是n ⨯1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个m ⨯n 的矩阵的每一行是一个n 维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m 维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A 的列向量组为1,2,⋯ ,n 时(它们都是表示为列的形式!)可记A =(1,2,⋯ ,n ).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个m ⨯n 的矩阵A 和B 可以相加(减),得到的和(差)仍是m ⨯n 矩阵,记作A +B (A -B ),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个m ⨯n 的矩阵A 与一个数c 可以相乘,乘积仍为m ⨯n 的矩阵,记作c A ,法则为A 的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:① 加法交换律: A +B =B +A .② 加法结合律: (A +B )+C =A +(B +C ).③ 加乘分配律: c(A +B )=c A +c B .(c+d)A =c A +d A .④ 数乘结合律: c(d)A =(cd)A .⑤ c A =0⇔ c=0 或A =0.转置:把一个m ⨯n 的矩阵A 行和列互换,得到的n ⨯m 的矩阵称为A 的转置,记作A T (或A ').有以下规律:① (A T )T = A .② (A +B )T =A T +B T .③ (c A )T =c A T .转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当是列向量时, T 表示行向量,当是行向量时, T 表示列向量.向量组的线性组合:设1,2,…,s 是一组n 维向量, c 1,c 2,…,c s 是一组数,则称c 11+c 22+…+c s s 为1,2,…,s 的(以c 1,c 2,…,c s 为系数的)线性组合.n 维向量组的线性组合也是n 维向量.(3) n 阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n 的矩阵也常常叫做n 阶矩阵.把n 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n 阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n 阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E (或I ).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c 的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|γ).(2)用(B|γ)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ⋯,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|γ0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|η),则η就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵⇒A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵⇐A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵⇔A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2.下列命题中哪几个成立?(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n 2个数排列成的一个n 行n 列的表格,两边界以竖线,就成为一个n 阶行列式:a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … … .a n1 a n2 … a nn 如果行列式的列向量组为1,2, … ,n ,则此行列式可表示为|1,2, … ,n |.意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式:a 11 a 12a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 .a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33.a 31 a 32 a 33一般地,一个n 阶行列式a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … …a n1 a n2 … a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为:n nj j j a a a 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数(意义见下面),则项nnj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21n j j j τ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 0023********,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.至此我们可以写出n 阶行列式的值:a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(nn n nj j j j j j j j j a a a τ-∑ … … …a n1 a n2 … a nn这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij 的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题 第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.3.其它性质行列式还有以下性质:① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | .② 某一行(列)的公因子可提出.于是, |c A |=c n |A |.③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如 |,1+2|=|,1|+|,2|.④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.⑦ 如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则A * = A O =|A ||B |.O B * B范德蒙行列式：形如1 1 1 (1)a 1 a 2 a 3 … a na 12 a 22 a 32 … a n 2… … … …a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-i的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于).(i j ji a a -∏< 因此范德蒙行列式不等于0⇔ a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D 1/D, D 2/D,⋯,D n /D),这里D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A |)作初等行变换,使得A 变为单位矩阵:(A |)→(E |η),η就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A |≠0.二. 典型例题1.利用性质计算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ②1+x 1 1 1③1+a 1 1 1a 2 a a a 1 1+x 1 12 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 .3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例31+x1 1 111 1 .1 1+x211 1 1+x31 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 3 3x 2-29 x 3 6 -6例7 求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x 4和x 3的系数.0 b x+1 12 2 1 x例8 设4阶矩阵A =(, 1, 2 ,3),B =(, 1, 2 ,3),|A |=2, |B |=3 ,求|A +B | .例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z.1 -z x+3 yy-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01)2 2 2 20 -7 0 05 3 -2 23.几个n 阶行列式两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a nb 1c 2 0 … 0 0证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)n i i i i n i b b a c c --+=-∑.… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出).例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111n n i i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏.… … … …b n … 0c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出).另一个常见的n 阶行列式:例13 证明a+b b 0 … 0 0a a+b b … 0 0… … … … = 110n n n n i i i a b a b a b ++-=-=-∑(当a ≠b 时).0 0 0 … a+b b0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.4.关于克莱姆法则的题例14设有方程组x 1+x 2+x 3=a+b+c,ax 1+bx 2+cx 3=a 2+b 2+c 2,bcx 1+acx 2+abx 3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等.(2)在此情况求解.参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x 3(x+4). ③ a 3(a+10).例2 1875.例3 x 1x 2x 3x 4+x 2x 3x 4+x 1x 3x 4+x 1x 2x 4+x 1x 2x 3.例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a 2-a 3+a 4-a 5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x 1=a,x 2=b,x 3=c..第三讲 矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A 的列数和B 的行数相等时,和A 和B 可以相乘,乘积记作AB . AB 的行数和A 相等,列数和B 相等. AB 的(i,j)位元素等于A 的第i 个行向量和B 的第j 个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a 11 a 12 … a 1n b 11 b 12 … b 1s c 11c 12 … c 1sA = a 21 a 22 … a 2nB = b 21 b 22 … b 2sC =AB =c 21 c 22 … c 2s… … … … … …… … …a m1 a m2 … a mn ,b n1 b n2 … b ns ,c m1c m2 … c ms ,则c ij =a i1b 1j +a i2b 2j +…+a in b nj .矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:① 矩阵乘法有条件.② 矩阵乘法无交换律.③ 矩阵乘法无消去律,即一般地由AB =0推不出A =0或B =0.由AB =AC 和A ≠0推不出B =C .(无左消去律)由BA =CA 和A ≠0推不出B =C . (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:① 加乘分配律 A (B +C )= AB +AC , (A +B )C =AC +BC .② 数乘性质 (c A )B =c(AB ).③ 结合律 (AB )C = A (BC ).④ (AB )T =B T A T .2. n 阶矩阵的方幂和多项式任何两个n 阶矩阵A 和B 都可以相乘,乘积AB 仍是n 阶矩阵.并且有行列式性质:|AB |=|A ||B |.如果AB =BA ,则说A 和B 可交换.方幂 设k 是正整数, n 阶矩阵A 的k 次方幂A k 即k 个A的连乘积.规定A 0=E .显然A 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:① A k A h = A k+h .② (A k )h = A kh .但是一般地(AB )k 和A k B k 不一定相等!n 阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m +a m-1x m-1+…+a 1x+a 0,对n 阶矩阵A 规定f(A )=a m A m +a m-1A m-1+…+ a 1A +a 0E .称为A 的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E .乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有:(A ±B )2=A 2±2AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ).二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则A 11 A 12B 11 B 12 = A 11B 11+A 12B 21 A 11B 12+A 12B 22A 21 A 22B 21 B 22 A 21B 11+A 22B 21 A 21B 12+A 22B 22要求A ij 的列数B jk 和的行数相等.准对角矩阵的乘法:形如A 1 0 0A = 0 A 2 0… … …0 0 … A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A 1,A 2,…,A k 都是方阵.两个准对角矩阵A 1 0 ... 0 B 1 0 0A = 0 A 2 ... 0 , B = 0 B 2 0… … … … … …0 0 … A k 0 0 … B k如果类型相同,即A i 和B i 阶数相等,则A 1B 1 0 0AB = 0 A 2B 2 … 0 .… … …0 0 … A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A 是m ⨯n 矩阵B 是n ⨯s 矩阵. A 的列向量组为1,2,…,n ,B的列向量组为1,2,…,s , AB 的列向量组为1,2,…,s ,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):① AB 的每个列向量为:i =A i ,i=1,2,…,s.即A (1,2,…,s )= (A 1,A 2,…,A s ).② =(b 1,b 2,…,b n )T ,则A = b 11+b 22+…+b n n .应用这两个性质可以得到:如果i =(b 1i ,b 2i ,…,b ni )T ,则i =A I =b 1i 1+b 2i 2+…+b ni n .即:乘积矩阵AB 的第i 个列向量i 是A 的列向量组1,2,…,n 的线性组合,组合系数就是B 的第i 个列向量i的各分量.类似地, 乘积矩阵AB 的第i 个行向量是B 的行向量组的线性组合,组合系数就是A 的第i 个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵从左侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(i≠j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c 倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设B=(1,2,…,s),则X也应该有s 列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=i,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.(A|B)→(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)→(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0⇒B=0；AB=AC⇒B=C.(左消去律)；BA=0⇒B=0；BA=CA⇒B=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C⇔B=A-1C. BA=C⇔B=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0.证明“⇒”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|≠0. (并且|A-1|=|A|-1.)“⇐”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E,CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c≠0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)② 如果A 和B 都可逆,则AB 也可逆,并且(AB )-1=B -1A -1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵,并且E (i,j)-1= E (i,j), E (i(c))-1=E (i(c -1)), E (i,j(c))-1= E (i,j(-c)).(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵① 计算逆矩阵的初等变换法当A 可逆时, A -1是矩阵方程AX =E 的解,于是可用初等行变换求A -1:(A |E )→(E |A -1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.② 伴随矩阵若A 是n 阶矩阵,记A ij 是|A |的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A 11 A 21 … A n1A *= A 12 A 22 … A n2 =(A ij )T .… … …A 1n A 2n … A mn请注意,规定n 阶矩阵A 的伴随矩阵并没有要求A 可逆,但是在A 可逆时, A *和A -1有密切关系.基本公式: AA *=A *A =|A |E .于是对于可逆矩阵A ,有A -1=A */|A |, 即A *=|A |A -1.因此可通过求A *来计算A -1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc ≠0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A；n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.计算题例1=(1,-2,3) T,=(1,-1/2,1/3)T, A= T,求A6.讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A=T,则A k=(T)k-1A=(tr A)k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如T的地方可把它当作数处理.① 1 -1 1T= -1 1 -1 ，求T.（2003一）②设=(1,0,-1)T, A=T,求|a E-A n|.③n维向量=(a,0,⋯,0,a)T, a<0, A=E-T, A-1=E+a-1T,求a. (03三,四)④n维向量=(1/2,0,⋯,0,1/2)T,A=E-T,B=E+2T,求AB. (95四)⑤A=E-T,其中,都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求T.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n =A n-2+A 2-E . (2) 求A n .例4设A 为3阶矩阵, 1,2,3是线性无关的3维列向量组,满足 A1=1+2+3, A 2=22+3,A 3=22+33.求作矩阵B ,使得A (1,2,3)=(1,2,3)B . (2005年数学四)例5设3阶矩阵A =(1,2,3),|A |=1,B =(1+2+3,1+22+33,1+42+93),求|B |.(05)例6 3维向量1,2,3,1,2,3满足1+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+3-2+3=0,已知1,2,3|=a,求|1,2,3|.例7设A 是3阶矩阵, 是3维列向量,使得P =(,A ,A 2)可逆,并且A 3=3A -2A 2.又3阶矩阵B 满足A =PBP -1.(1)求B .(2)求|A +E |.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A ,B 满足ABA *=2BA *+E ,其中A = 1 2 0 ,求|B |.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A = 1 -1 0 , A -1XA =XA +2A ,求X .-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A = -1 1 1 , A *X =A -1+2X ,求X .1 -1 1例11 4阶矩阵A ,B 满足ABA -1=BA -1+3E ,已知1 0 0 0A *= 0 1 0 0 ,求B . (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A = 2 1 0 , B = 0 0 0 , XA +2B =AB +2X ,求X 11.2 13 0 0 -1例13 设1=(5,1,-5)T ,2=(1,-3,2)T ,3=(1,-2,1)T ,矩阵A满足A 1=(4,3) T , A 2=(7,-8) T , A 3=(5,-5) T ,求A .2.概念和证明题例14 设A 是n 阶非零实矩阵,满足A *=A T .证明:(1)|A |>0.(2)如果n>2,则|A |=1.例15 设矩阵A =(a ij )3 3满足A *=A T ,a 11,a 12,a 13为3个相等的正数,则它们为(A) 3/3.(B) 3. (C)1/3. (D) 3. (2005年数学三)例16 设A和B都是n阶矩阵,C= A0 ,则C*=0 B(A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * 0 |A|A*(C) |A|B* 0 . (D ) |B|A* 0 .0 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆.讨论: 如果f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c)≠0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设是n维非零列向量,记A=E-T.证明(1) A2=A⇔T =1.(2)T =1⇒ A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B都是n阶矩阵,证明E-AB可逆⇔ E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab≠0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆⇔ B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B都是n阶对称矩阵,E+AB可逆,证明(E+AB)-1A 也是对称矩阵.例27 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 如果A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C 为(A) E.(B) -E. (C) A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例1 35A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1①3.②a2(a-2n). ③-1. ④E. ⑤4.例2 O.例 3 (1)提示:A n=A n-2+A2-E⇔A n-2(A2-E)=A2-E ⇔A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例6 –4a.例7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19E(i,j).例22提示:用克莱姆法则.例如证明 ,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:计算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系 设1,2,…,s 是一个n 维向量组.如果n 维向量等于1,2,…,s 的一个线性组合，就说可以用1,2,…,s 线性表示.如果n 维向量组1,2,…,t 中的每一个都可以可以用1,2,…,s 线性表示,就说向量 1,2,…,t 可以用1,2,…,s 线性表示.判别“是否可以用1,2,…,s 线性表示? 表示方式是否唯一？”就是问：向量方程x 11+x 22+…+x s s =是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以1,2,…,s为增广矩阵的线性方程组.反之,判别“以A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题.向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系: 乘积矩阵AB 的每个列向量都可以表示为A 的列向量组的线性组合,从而AB 的列向量组可以用A 的列向量组线性表示;反之,如果向量组1,2,…,t 可以用1,2,…,s 线性表示,则矩阵(1,2,…,t )等于矩阵(1,2,…,s )和一个s ⨯t 矩阵C 的乘积. C 可以这样构造: 它的第i 个列向量就是i 对1,2,…,s 的分解系数(C 不是唯一的).向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组1,2,…,t 可以用1,2,…,s 线性表示,而1,2,…,s 可以用γ1,γ2,…,γr 线性表示,则1,2,…,t 可以用γ1,γ2,…,γr 线性表示.当向量组1,2,…,s 和1,2,…,t 互相都可以表示时就说它们等价并记作1,2,…,s ≅1,2,…,t. 等价关系也有传递性.。
数值线性代数习题解答
数值线性代数习题解答习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。
于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。
该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。
运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。
因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。
因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从而即A的LU分解是唯一的。
第七章线性代数中的数值计算问题
❖ 当方阵为奇异矩阵（行列式等于零）时，要求 其逆矩阵，matlab将给出警告信息： Matrix is close to singular or badly scaled Results may be inaccurate.
第16页，共33页。
2．矩阵的伪逆 如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵 时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩 阵A‘同型的矩阵B，使得： A·B·A=A B·A·B=B 此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。在 MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是 ：
例7-1 先建立5×5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第 二行乘以2，…，第五行乘以5。
A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;...
11,18,25,2,19];
D=diag(1:5);
D*A
%用D左乘A，对A的每行乘以一个指定
1、若相等： 1）rank(A)=n 则有唯一解 x=A\b 2）rank(A)<n 有无穷多解 特解+通解 2、若不相等则方程无解，有最小二乘解
第三步：若为齐次方程
1）rank(A)=n 则有零解
2）rank(A)<n 有无穷多解
通解
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function [x,y]=line_solution(A,b) [m,n]=size(A);
x x
2 3
x3 x3
2 x5
x
4
x5
x 5 x 5
第26页，共33页。
令
x3 x5
10,
10
可求得：
组合成基础解系：