任意性与存在性问题探究
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函数中任意性和存在性问题探究
2011-12-22 高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点,下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究
一、相关结论: 结论1:1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∀∈>⇔>;【如图一】 结论2:1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∃∈>⇔>;【如图二】 结论3:1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∃∈>⇔>;【如图三】 结论4:1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∀∈>⇔>;【如图四】 结论5:1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ∃∈∃∈=⇔的值域和()g x 的值域交集不为空;【如图五】
【例题1】:已知两个函数2
3
2
()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈;
(1) 若对[3,3]x ∀∈-,都有()()f x g x ≤成立,求实数k 的取值范围; (2) 若[3,3]x ∃∈-,使得()()f x g x ≤成立,求实数k 的取值范围; (3) 若对12,[3,3]x x ∀∈-,都有12()()f x g x ≤成立,求实数k 的取值范围;
解:(1)设3
2
()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,(1)中的问题可转化为:
[3,3]x ∈-时,()0h x ≥恒成立,即min [()]0h x ≥。
'2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+;
当x 变化时,'
(),()h x h x 的变化情况列表如下:
x -3
(-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 h '(x)
+ 0 - 0 + h(x)
k-45
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
k-9
因为(1)7,(2)20h k h k -=+=-,所以,由上表可知min [()]45h x k =-,故k-45≥0,得k ≥45,即k ∈[45,+∞).
小结:①对于闭区间I ,不等式f(x)
②此题常见的错误解法:由[f(x)]max ≤[g(x)]min 解出k 的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max ≤[g(x)]min ”只是原题的充分不必要条件,不是充要条件,即不等价.
(2)根据题意可知,(2)中的问题等价于h(x)= g(x)-f(x) ≥0在x ∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max ≥0.
由(1)可知[h(x)]max = k+7,因此k+7≥0,即k ∈[7,+∞).
小结:①对于闭区间I ,不等式f(x)
②此题常见的错误解法:由[f(x)]min ≤[g(x)]min 解出k 的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]min ≤[g(x)]min ”既不是是原题的充分要条件,也不是必要条件.
(3)根据题意可知,(3)中的问题等价于[f(x)]max ≤[g(x)]min ,x ∈[-3,3]. 由二次函数的图像和性质可得, x ∈[-3,3]时, [f(x)]max =120-k. 仿照(1),利用导数的方法可求得x ∈[-3,3]时, [g(x)]min =-21. 由120-k ≥-21得k ≥141,即k ∈[141,+∞). 说明:这里的x 1,x 2是两个互不影响的独立变量.
从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“∀x ”恒成立,还是“∃x ”使之成立,同时还要看清不等式两边是同一个变量,还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜..
【例题2】:(2010年山东理科22) 已知函数1()ln 1()a
f x x ax a R x
-=-+-∈; (1)
当1
2
a ≤
时,讨论()f x 的单调性; (2)设2
()24g x x bx =-+,当14
a =时,若对1(0,2)x ∀∈,2[1,2]x ∃∈,使
12()()f x g x ≥,求实数b 的取值范围;
解:(1)(解答过程略去,只给出结论)
当a ≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;
当a=
21
时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当0 (1,) a -+∞上单调递减; (2)函数的定义域为(0,+∞), f '(x )=x 1-a+21x a -=-2 21x a x ax -+-,a=41时,由f '(x )=0可得x 1=1,x 2=3. 因为a= 41∈(0,2 1 ),x 2=3∉(0,2),结合(1)可知函数f(x)在(0,1)上单调递减,