证明线段等的常用方法
证明圆中线段相等的几个途径
数学篇学思导引圆的知识是平面几何中的重要内容.它与平行线、等腰三角形、相似三角形、特殊四边形的知识有着密切的联系.因此，证明圆中线段相等的方法灵活多样，而且很复杂.对此，笔者归纳了如下几种证明方法，以期对同学们解题有所帮助.一、利用“等角对等边”等角对等边是指在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.它是判定等腰三角形的重要依据，也是证明线段相等的重要方法.在求证圆中线段相等问题时，当所要证明的两条线段是同一个三角形的两边，同学们可以利用“等角对等边”的性质，证得两边所对的角相等，这样就能证得这两条线段相等.例1如图1，在Rt△MNP中，∠MPN=90°，以MP为直径的⊙O交MN于点Q，过点Q作⊙O的切线RS交NP于点S.求证：NS=QS.图1分析：观察图形，不难看出，NS、QS这两条线段同在△NQS中，因此，在求证时不妨考虑等腰三角形，利用“等角对等边”的性质得到NS=QS.证明：如图1所示，连接PQ.因为MP为⊙O的直径，所以∠MQP=∠NQP=90°，所以∠PQS+∠SQN=90°，∠N+∠QPN=90°.又因为∠MPN=90°，MP为⊙O的直径，所以NP与⊙O相切于点P.因为RS与⊙O相切于点Q，所以QS=SP，所以∠PQS=∠QPN，∠N=∠SQN，所以NS=QS.评注：利用“等角对等边”证明圆中线段相等，关键在于证明圆中同一个三角形的两个角相等，而证明两角相等则可以从同位角、内错角相等，以及全等三角形等方面予以考虑.二、利用“全等三角形对应边相等”我们都知道，全等三角形的对应边相等.在证明圆中线段相等时，若圆中所要证明的线段不在同一个三角形中，此时同学们要注意思考圆中待证的两条线段所在的三角形是否全等，然后借助两个三角形全等，得出它们的对应边相等，即所证的目标线段相等.例2如图2，在⊙O中，P、Q分别是半径OM、ON上的点，且MP=NQ，点R为弧MN的中点，连接RP、RQ.求证：RP=RQ.图2分析：线段RP、RQ在同一个圆中，但并不在同一个三角形中，直接证明行不通.不妨证明圆中线段相等的几个途径江苏省盐城市新洋第二实验学校孙鸽林28数学篇学思导引添加辅助线，连接OR ，这样圆中四边形OPRQ 就被分割为△OPR 和△OQR 两个三角形，只要证明△OPR ≌△OQR ，再根据全等三角形对应边相等，即可得到目标线段相等.证明：如图2所示，连接OR .因为MP =NQ ，OM =ON ，所以OP =OQ .因为点R 为弧MN 的中点，所以有 MR =NR ，所以∠MOR =∠NOR .在△OPR 和△OQR 中，ìíîïïOP =OQ ,∠MOR =∠NOR OR =OR ,，所以△OPR ≌△OQR （SAS ），所以RP =RQ .评注：利用“全等三角形对应边相等”是证明圆中线段相等的一种有效方法.它的关键点是在圆中寻找或构造全等三角形，再利用“全等三角形对应边相等”这一性质证明线段相等.三、利用“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”由圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理可知，在同圆或等圆中，倘若两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量是相等的，那么它们所对应的其余各组量也是相等的.因此，在求证圆中线段相等时，若题目涉及圆心角、弧、弦、弦心距等时，同学们要注意结合已知条件，巧用圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理及推论来解答问题.例3如图3所示，MN 是☉O 的直径，MP 为弦，过弧MP 的中点Q 作QR ⊥MN 于点S .求证：QR =MP.图3分析：根据题意和图形，很容易看出QR 、MP 是圆中的两条弦，所以要证明QR =MP ，可以从圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系入手.证明：因为直径MN ⊥QR ，所以 MQ =MR （根据垂径定理），又因为 MQ =QP ，所以 MR = MR = PC ，所以 QR = MP ，所以 QR = MP .评注：利用“圆心角、弧、弦、弦心距关系定理及推论”是证明圆中线段相等的常用方法之一.如果所证明的相等线段是弦、弦心距、弓形高中的一种，就可以通过证明其他的量相等，从而证得所需要的结论.上期《<不等式与不等式组>巩固练习》参考答案1.C ；2.A ；3.D ；4.D ；5.B ；6.0；7.≥-12；8.m >-1；9.2（答案不唯一）；10.-2<x <3，a ≥2；11.解：（1）设A 型电动公交车的单价为x 万元，B 型电动公交车的单价为y 万元．依题意，得ìíî2x +y =112,x +y =76,解得ìíîx =36,y =40;答：A 型电动公交车的单价是36万元，B型电动公交车的单价是40万元．（2）设购买A 型电动公交车m 辆，则购买B 型电动公交车（30-m ）辆．依题意得36m +40（30-m ）≤1128，解得m ≥18.又m ≤20，∴18≤m ≤20．设购买这两种电动公交车共30辆的总费用为w 万元，依题意，得w =36m +40（30-m ）=-4m +1200.∵-4<0，∴w 随m 的增大而减小．∴当m =20时，w 取得最小值.此时30-m =30-20=10．∴最省钱的购买方案为：购买A 型电动公交车20辆，B 型电动公交车10辆．29。
初二几何证明方法 总结
初二几何证明方法总结一、证两线段相等方法1、证明三角形全等：全等三角形的对应边相等；2、两线段在同一三角形中，通常利用等角对等边；3、角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；4、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；5、等腰三角形的性质：三线合一，即等腰三角形的顶角平分线或底边上的高平分底边；6、等边三角形三边相等；7、线段的和、差、倍、分，即根据等式性质：等量的和、差、倍、分仍是相等，如：若a=b，则a－c=b－c；若a=b，则a+c=b+c；8、三角形中线或中点的定义；9、等量代换，即等于同一条线段的两线段相等，如a=b,b=c,则a=c；二、证明两角相等1、证明三角形全等：全等三角形的对应角相等；2、两个角在同一三角形中，通常证明等边对等角；3、等量代换即等于同一个角的两角相等；4、角平分线的定义；5、角平分线性质：到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，再由角平分线的定义可证得两角相等6、同角或等角的余角（或补角）相等；7、证明两直线平行，同位角、内错角相等；8、等腰三角形的性质：三线合一，即等腰三角形的底边上的中线或高平分顶角，再由角平分线的定义可证得两角相等；9、等边三角形各角都相等，并且每个角都等于60°；10、角的和、差、倍、分，即根据等式性质：等量的和、差、倍、分仍是相等；其中有常用方法是：两个三角形如果分别有两个角相等，那么第三个角也相等；11、对顶角相等；三、证垂直或证一个角是直角的方法：1、线段垂直平分线的性质：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，即若有到线段两个端点的距离相等的两个点，则过这两点的直线是线段的垂直平分线；2、若∠1+∠2=180°，∠1=∠2，则∠1=∠2=90°，即证互补的两个角相等；3、等腰三角形的性质：三线合一，即若有等腰三角形的顶角平分线，则平分底边并垂直于底边；4、利用角的和、差、倍、分计算出90°，根据垂直定义，证明垂直；5、轴对称的性质：对称轴垂直平分任意一对对应点的连线。
中考数学：证明线段相等的一些常见方法
证明线段相等的一些常见方法证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础.本文以一道题为例，介绍证明线段相等的常见方法.问题如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ABD ∠=∠=︒，求证：CD AB =方法1如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F .则可证ACE ACF∆≅∆于是有CE CF AF AE ==，.45ABC ABD ∠=∠=︒CE CF AF AE∴==，得AB CD=方法2如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=︒，75AMC CAM ∠=∠=︒AC CM∴=ABC CDM ∴∆≅∆，于是有AB CD=方法3如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点.10545ACB ABC ∠=︒∠=︒，30BAC ∴∠=︒10545BAD ADC ∠=︒∠=︒，7560DAC ACD ∴∠=︒∠=︒，30CAE ∴∠=︒75AEC ACE AE AC∴∠=∠=︒=，故由ABE CDA ∆≅∆，得AB CD=方法4如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ，则有ABC ANC∆≅∆45N D ∴∠=∠=︒DE AE EN EC∴==，DC AN AB∴==方法5如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG ,则有ADC AGC∆≅∆45G D ∴∠=∠=︒AH HG GH BH∴==，DC CG AB∴==实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴.方法6如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有PAC BCA∆≅∆得AB CP CD==方法7如图8，过A 点作AB 的垂线交BC 的延长线于Q 点，则有QAC DCA ∆≅∆，得AB CQ CD==方法8如图9，以AB BC 、为邻边构造ABCE ，连DE .由45ADC AEC ∠=∠=︒，可知A E D C 、、、四点共圆(当然也可通过三角形相似解决)，得75DEC DAC ∠=∠=︒30ADE ACE ∠=∠=︒75DEC EDC ∴∠=∠=︒DC EC AB∴==方法9如图10，以AD DC 、为邻边构造ADCR ，连BR ;类似方法8得解.方法10如图11，分别过D C 、点作AD AC 、的垂线交于E 点.易知A D E C 、、、四点共圆，DC 平分ADE ∠,EC AC∴=EDC CBA CD AB∴∆≅∆=，方法11如图12，分别过A B 、点作AC BC 、的垂线交于E 点;类似方法10得解.方法12如图13，分别作ADC ∆和ABC ∆的外接圆⊙1O ，和⊙2O .45ABC ADC ∠=∠=︒ 2sin sin AC AC r D B ∴==∠∠，（r 为外接圆半径）∴⊙1O ，和⊙2O 为等圆，故CD AB=反思1、本题纯以角度为条件，由条件可以求出所有角的度数，由此联想到寻找特殊角度，构造含特殊角度的直角三角形，所以首先想到方法1.2、构造全等是我们解决证明线段相等的常见手段.当把相关线段放在三角形中发现不全等时，用“一定、二看、三构造”的策略构造全等形，方法2和方法3就呼之而出.3、全等变换在初中阶段不常用，但用之有效.本例中方法4、方法5、方法6、方法7都用了轴对称;方法8和方法9都用到了中心对称的思想;方法10和方法11既有轴对称又有中心对称的思想.4、利用等边对等角的性质，构造辅助圆，结合利用正弦定理.5、巧妙利用45度的特殊角，构造等腰直角三角形，转移线段建立联系.如方法6和方法7.6、实际上解决本题的方法还有很多.如构造相似三角形，利用相似，通过中间比证明线段相等.利用“双A形”结合平行线分线段成比例定理证明线段相等等.本例中，用到的方法贯穿整个初中阶段，同学们要注意方法的提炼、总结、归类，由此掌握数学思想方法，提高解决数学问题的能力.。
《证明线段相等-角相等-线段垂直》的方法总结
《段相等，角相等，线段垂直》的专题复习一.证明线段相等的方法：1.中点：2.等式的性质3.全等三角形4借助中介线段二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等经典题型：.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。
例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。
4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。
5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。
基本图形：P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。
例6.如图，ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。
6.利用角平分线的对称性。
例7.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。
7.角平分线与垂直平分线综合例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．（1）求证：BE=CF．角平分线专题复习（解答部分）一、平分线的应用。
证明两条线段相等的方法
探究如何证明两条线段相等
在几何学中，证明两条线段相等常常是一个基本的问题。
那么，我们如何证明它们是相等的呢？下面列举几种方法。
1. 用尺规作图法。
在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点坐标，通过尺规画出它们的长度，并作差判断它们是否相等。
2. 用等效的变换法。
通过平移、旋转以及镜像等等等效的变换，将两条线段完全重合，进而证明它们是相等的。
3. 用勾股定理证明。
如果两条线段分别是两条直角边，而它们所在的直角三角形的第三边相等，那么这两条线段就是相等的。
4. 用向量和坐标法。
对于含有两个向量的题目，可以将它们寻找一个向量的共同点，进而证明它们相等。
而利用坐标的方法，同样可以转化为向量的形式，然后进行比较。
以上四种方法，都是我们可以利用的常见方法。
其中，尺规作图法和向量坐标法比较容易理解，而等价变换法和勾股定理稍微复杂一些。
我们可以根据具体情况，选择不同的方法，来证明线段的相等。
证明线段相等的方法常用的9种方法
证明线段相等的方法常用的9种方法线段相等是几何学中的基本概念之一，它是指两条线段的长度相等。
在几何学中，我们常常需要证明两条线段相等，这时我们可以使用以下9种方法来证明。
1. 利用勾股定理：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，那么它们的斜边也相等。
因此，如果我们能够证明两条线段是直角三角形的两条直角边，那么它们的长度就相等了。
2. 利用等腰三角形的性质：如果两条线段分别是等腰三角形的两条等边，那么它们的长度也相等。
3. 利用相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边长成比例。
因此，如果我们能够证明两条线段是相似三角形的对应边，那么它们的长度也相等。
4. 利用平移的性质：如果我们能够将一条线段平移至另一条线段上，使得它们的起点和终点重合，那么这两条线段的长度就相等了。
5. 利用旋转的性质：如果我们能够将一条线段绕着一个点旋转，使得它与另一条线段重合，那么这两条线段的长度也相等了。
6. 利用反证法：假设两条线段长度不相等，那么它们之间必然存在一个距离。
我们可以通过构造一个三角形来证明这个距离是不存在的，从而推出两条线段的长度相等。
7. 利用重心的性质：如果两条线段分别是一个三角形的两条边，且这个三角形的重心恰好在这两条线段的中点，那么这两条线段的长度也相等了。
8. 利用垂线的性质：如果两条线段分别是一个直角三角形的两条直角边，且它们的中点连成一条线段与直角边垂直相交，那么这两条线段的长度也相等了。
9. 利用向量的性质：如果我们能够将两条线段表示成向量的形式，那么它们的长度相等当且仅当它们的向量相等。
证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择不同的方法来证明。
在实际应用中，我们需要根据题目的要求和条件来选择最合适的方法，以便更快更准确地得出结论。
专题14证明线段相等的常用方法
证明线段相等的常用方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。
【基本模型】（一）常用轨迹中：①两平行线间的距离处处相等.②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等.③角平分线上任一点到角两边的距离相等.④平行线等分线段定理：若一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在其它直线上截得的线段也相等. （二）三角形中：①同一三角形中,等角对等边.（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②任意三角形的外心到三顶点的距离相等.③任意三角形的内心到三边的距离相等.④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边.⑤直角三角形中,斜边的中线等于斜边一半.⑥有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形.⑦中位线：过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边.⑧同底或等底的三角形,若面积相等,则高也相等.同高或等高的三角形,若面积相等,则底也相等.（三）特殊四边形中：①平行四边形对边相等,对角线相互平分.②矩形对角线相等,且其的交点到四顶点的距离相等.③菱形中四边相等.④等腰梯形两腰相等、两对角线相等.⑤梯形中位线：过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰.（四）圆中：①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等.②同圆或等圆中,等弦所对的弦心距相等,等弦心距所对的弦相等.③任意圆中,任一弦总被与它垂直的半径或直径平分.④自圆外一点所作圆的两切线长相等.⑤两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分.（五）全等形中：全等形中,一切对应线段（对应的边、高、中线、角平分线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等.（六）等量代换或线段运算：①等于同一线段的两条线段相等.②对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等.③对应相等线段乘以相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以相等倍数所得的商相等.【典例分析】［例1］（2019苏州）如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．求证：EF BC =.【点拨】利用全等三角形的性质证明线段相等，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
八年级【一题多解】全等三角形
【一题多解】全等三角形全等三角形一、证明线段相等的方法：方法1：证全等，得对应边相等；方法2：垂直平分线上得点到线段两端距离相等；方法3：证对角线和垂直，得对角线上得点到两边距离相等；方法4：等角对等边；方法5：等面积法；例题11．已知三角形ABC中，AB＝AC，延长CB到点D，延长BC到点E，使得BD＝CE，求证AD＝AE．例题22．已知△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，DE，DF分别垂直于AB，AC，求证BE＝FC3．已知△ABC中，AD是∠A的平分线，D为BC边上的中点，证明AB＝AC变式4．如图，在▱ABCD中，点B关于AD的对称点为B′，连接AB′，CB′，CB′交AD于点F．求证：F为CB′的中点．二、以角平分线为背景证明线段相等的两种辅助线技巧，构造轴对称1.截取线段相等构造全等；2.作垂直构造全等；例题35．在三角形ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O，求证：OE＝OD三、证明线段之间数量关系的：1、倍长中线法2、截长补短法，求证剩余部分与第三条线段之间的数量关系．3、当出现等线段共端点时，考虑构造旋转全等或见45°可以构造等腰直角三角形进行线段转化．4、对称法例题46．如图，已知在△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到点D，使BD=AB．求证：CD=2CE．例题57．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD四、证明角相等或者求解角度计算1、截长补短法2、直角三角形全等得到角相等2、利用等线段共端点用旋转构造全等例题68．如图，已知在四边形ABCD中，BD是∠ABC的平分线，AD=CD．2求证：∠A+∠C=180°．。
平面几何中线段相等的证明几种方法
平面几何中线段相等的证明几种方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。
恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。
笔者在教学中总结了几种方法，供中学生读者参考。
一、利用全等三角形的性质证明线段相等这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。
求证：AE=BD。
证明∵△ACB和△BCE都是等边三角形∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60°∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120°∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120°∴AC=CD，CE=CB∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE=DB［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。
证明：过点E作EG//AF交BC于点G∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD∵AB=AC∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE∵BE=CF，∴GE=CF在△EGD和△FCD中，∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF∴△EGD≌△FCD（AAS）∴ED=FD二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。
［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。
求证：AF=EF。
证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。
∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD∴△ADC≌△GDB∴AC=GB，∠FAE=∠BGE∵BE=AC∴BE=BG，∠BGE=∠BEG∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF∴AE=EF［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。
证明线段的比例式或等积式的方法
证明线段的比例式或等积式的方法要证明线段的比例式或等积式，有多种方法可以使用。
下面我们将介绍几个常用的方法。
方法一：向量法利用向量的性质可以很方便地证明线段的比例式或等积式。
假设有线段AB和CD，要证明它们的比例式或等积式，可以先求出向量AB和向量CD，然后判断它们是否平行或共线，再比较它们的模长大小。
如果向量AB和向量CD平行或共线，我们可以根据向量的定义得知它们的比例式：AB：CD=，AB，：，CD如果向量AB和向量CD不平行或不共线，但线段AB与线段CD的比例式或等积式成立，我们也可以利用向量的性质推导出它们的比例关系。
具体的推导过程需要根据具体的题目条件来确定。
方法二：相似三角形法利用相似三角形的性质也可以方便地证明线段的比例式或等积式。
相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等且对应边成比例。
如果有线段AB和CD，我们可以通过构造相似三角形来证明它们的比例式。
假设我们可以找到一个三角形ABC与三角形CDE相似，那么根据相似三角形的性质有：AB：CD=AC：CE这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
方法三：重心法利用重心的性质也可以证明线段的比例式或等积式。
重心是指一个几何图形的平衡点，即重心到图形上各点的距离乘以图形上各点的质量（或面积）之和为零。
对于线段AB和CD，我们可以找到它们的重心O，并将线段AO和BO 延长到与CD相交于点E和F。
那么根据重心的性质，线段AO与线段OD 以及线段BO与线段OC的比例关系可以推导出：AO：OC=BO：OD进一步地，根据线段分线段外部点定理，我们可以得出：AO：OD=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
方法四：三角形面积法利用三角形面积的性质也可以证明线段的比例式或等积式。
假设有线段AB和CD，我们可以构造三角形AOB与三角形COD，其中O为点A和C 的连接线与BC的交点。
根据三角形面积的性质，有：三角形AOB的面积：三角形COD的面积=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
怎样证明两线段相等
怎样证明两线段相等求证两线段相等是平面几何中的重要题型，其证明方法较多。
为帮助初三学生掌握一些常见的证法，本文在《几何》第二、三册知识范围内，归类总结若干方法如下，供初三学生复习时参考。
证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：1.三角形①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；2.证特殊四边形①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；3.圆①同圆或等圆的半径相等；②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；4. 等量代换：若a=b，b=c，则a=c；等式性质：若a=b ，则a －c=b －c ；若c b c a，则a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等。
一、利用全等三角形的对应边相等证明例1、如图1，已知C 在BD 上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，BE 、AD 分别与AC 、CE 交于P 、Q 。
求证：CP=CQ 。
证明：因为△ABC 和△CDE 都是等边三角形，所以在△ACD 与△BCE 中， AC=BC ，CD=CE 。
因为∠1=∠2=60°，所以∠ACD=∠BCE=60°+∠3=120°， 所以△ACD ≌△BCE （SAS ）， 所以∠4=∠5。
证明线段相等的10种方法
※．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，连DE 交BC 于F ，求证：DF ＝EF 。
［证法1］过D 作DG ∥AC 交BC 于G 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠。
∵DG ∥AC ，∴DGB ∠＝ACB ∠，∴ABC ∠＝DGB ∠，∴BD ＝DG ， 又BD ＝CE ，∴BD ＝CE 。
∵DG ∥AC ，∴FDG ∠＝FEC ∠、FGD ∠＝FCE ∠，而BD ＝CE ，∴DFG ∆≌EFC ∆，∴DF ＝EF 。
［证法2］过D 作DG ∥AC 交BC 于G 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠。
∵DG ∥AC ，∴DGB ∠＝ACB ∠，∴ABC ∠＝DGB ∠，∴BD ＝DG ，又BD ＝CE ，∴DG ＝CE ，而DG ∥CE ，∴四边形DGEC 是平行四边形，∴DF ＝EF 。
［证法3］过E 作EH ∥BD 交BC 的延长线于H 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠＝ECH ∠。
∵EH ∥BD ，∴ABC ∠＝EHC ∠，∴ECH ∠＝EHF ∠，∴CE ＝EH ， 又BD ＝CE ，∴BD ＝EH 。
∵EH ∥BD ，∴DBF ∠＝EHF ∠、BDF ∠＝HEF ∠，而BD ＝EH ，∴BDF ∆≌HEF ∆，∴DF ＝EF 。
［证法4］过E 作EH ∥BD 交BC 的延长线于H 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠＝ECH ∠。
∵EH ∥BD ，∴ABC ∠＝EHC ∠，∴ECH ∠＝EHF ∠，∴CE ＝EH ，又BD ＝CE ，∴BD ＝EH ，而BD ∥EH ，∴四边形BDHE 是平行四边形，∴DF ＝EF 。
［证法5］过D 作DJ ∥BC 交AC 于J 。
∵DJ ∥BC ，∴AB BD ＝AC CJ，而AB ＝AC ，∴BD ＝CJ ，又BD ＝CE ， ∴CJ ＝CE 。
证明线段之间关系的技巧
证明线段之间数量关系的技巧证明两线段相等★1.两全等三角形中对应边相等。
★2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形三线合一。
★4.直角三角形中斜边上的中点到三个顶点距离相等。
6.中垂线上任意一点到线段两端距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
★9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
证明线段的和差倍分1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。
2.*证明线段不等1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
5.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
证明两条线段（直线）之间位置关系的技巧证明两条直线互相垂直★1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
★8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
★10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
★11.利用半圆上的圆周角是直角。
证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
★4.三角形的中位线平行于第三边。
证明线段相等的方法与思路
Ｃ 、 证 ：Ｆ ＝ Ｄ Ｄ 求 Ｅ Ｅ、
点 ，Ｘ？ ，３， Ｆ分 别为 、 Ｉ ＝ ４ Ｅ、 １
延 长 线 交 ｆ４ 的 延 长 线 于 （． ｉ ；
的 中点 ， 若 Ｆ的
（ 示 ： Ｆ 点作 Ｆ ／ Ｃ 交 Ⅸ、于 （ 、 提 过 Ｇ ／Ａ ； 再证 ：
维普资讯
例 ｌ 如 图 ｌ ， 知 ： ／ Ｂ， ，／ ２ ２已 Ｄ（ ／Ａ ＯＦ ／ＡＣ， ＯＦ ， Ｄ． ／ ／Ｂ
求证 ： ． ： ＢＦ．
图 ７
图 ８
例 ８ 如 图 ８ 已 知 ： 为 四 边 形 Ａ Ｄ 的 对 角 ， Ｅ
线 Ｂ ＡＣ 的交 点 ， 、 分 别为 Ａ Ｄ 的中点 ． Ｄ、 Ｍ Ｎ Ｂ、 Ｃ
２ 如果所 要 求证 的 两条相 等 线 段 ， ． 如所 在 的两 个三角形 不 全等 ， 可做 辅助 线 ， 造出全 等 三角形 构
．
曰
Ｄ 图 ５
Ｃ
Ｂ 图 ６
Ｃ
例 ６ 如 图 ６ 已知 ： 似 ， Ｂ ： ９ 。Ｂ ， △ 中 ０，Ｄ 平 分 Ｂ， Ａ 过 Ｃ的 中点 Ｍ 作 ＭＤ 上 Ａ Ｃ于Ｍ ， Ｂ 交 Ｄ 于点 Ｄ． 求证 ＭＤ ： ＭＢ．
Ｅ
角形 中 ， 么首 先应 考虑 应用 方法 二来 证 ． 那
例 ５ 已 知 ： 图 ５ ＡＢ ＝ ＡＣ，） 上 １ 于 Ｄ ， 如 ， ｊＦ ３ Ｃ
曰
Ｃ
交 Ｃ 的 延长 线于 Ｆ， 证 ： Ａ 求 ＡＥ ： Ａ Ｆ．
（ 示 ： 要 证 ｌ： Ｆ 即 可 ） 提 只
Ｅ Ｇ ： Ｆ Ｅ Ｆ 即可 ） Ｇ
方 法 三 ： 用 平 行 线 等 分 线 段 定 理 应
证明线段相等的常用方法
~A CB DP QB证明线段相等的常用方法1.证明两线段是全等三角形的对应边如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
例1.如图， B 、C 、D 在一直线上，△ABC 与△ECD 都是等边三角形，BE 、AD 分别交AC 、EC 于点G 、F 。
（1）求证：AE=BD （2）求证 CG=CF。
例2．如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）PA =PQ ．￥例3.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为圆上两点，且弧CB ＝弧CD ，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 的延长线于点E ． .（1）试说明：DE ＝BF ；$&二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法例1.如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。
]例2. 如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.（1）求证：AG=C′G；、例3.如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC，D 是弧AC 的中点，连接BD交AC 于G , 过D 作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：FD＝FG(！二、证明两线段都等于第三线段或者第三个量等量代换：若a=b ，b=c ，则a=c ； 等式性质：若a=b ，则a －c=b －c例1.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰CD AB 、为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，联结EF ，设线段EF 的中点为M ．求证：MD MA =．`&例2.例3.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC AB BC ,=交⊙O 于点F ，直线AF 交BC 于E ．求证：CF BE =．《，F O A 第4题图第9题图GME FHDCBA【巩固练习】1、已知，如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 上和AD 的延长线上，且BE=DF ，连接EF ，G 为EF 的中点．求证：（1）CE=CF ；（2）DG 垂直平分AC ．)2、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF.⑴求证：△ABE ≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值.$《3.直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C=90°，AB=BC ，M 为BC 边上一点．A-BDECF（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM．（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值．·4、已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF 相交于DF的中点O．（1）若点G为线段AB上一点，且FG=4，CD=3，GC=7，过O点作OH⊥GC于H，试证：OH=OF；（2）求证：AB+CD=2BE．￥->5.已知，矩形ABCD 中，延长BC 至E ，使BE=BD ，F 为DE 的中点，连结AF 、CF.求证： (1)∠ADF=∠BCF ；(2) AF ⊥CF.>6、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB=BC ，AD 与BC 延长线交于点F ，G 是DC 延长线上一点，AG ⊥BC 于E ． （1）求证：CF=CG ；（2）连接DE ，若BE=4CE ，CD=2，求DE 的长．…7．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AC=AB ，∠DAC=30度．点E 、F 是梯形ABCD 外的两点，且∠EAB=∠FCB ，∠ABC=∠FBE ，∠CEB=30°． （1）求证：BE=BF ；（2）若CE=5，BF=4，求线段AE 的长．'F E D C B A 12 3 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D
C
练习：如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE 分别是∠ABC和∠ACB角平分线，图中 的等腰三角形共有 （ ）
A.6个 B.5个
A
C.4个
D.3个
E
0
D
B
C
引例：如图，点D、E在△ABC的边BC 上，AB=AC，AD=AE， 求证:BD=CE
例3．如图，在△ABC中，AB=AC，D 在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC 于F，且CE=BD，求证：DF=EF
1 2
A
E
B
C
D
例１． 如图，已知：在 ABC 中， BAC 90 ， AD BC ， 1 2 . 求证： AE AF .
3 4 5
找等角，我们通常有什么 方法？
改变条件：若BE不是角平分线，满足 BE=EC，能否得到AE=AF？
引申１：如图，已知：在 ABC 中， BAC 90 ， AD BC ，BE=EC 求证： AE EF .
A
弱化条件：如果△ABC不是直角三角形， 满足BE=CE，还有这个结论成立吗？
引申２：如图， 已知：在 ABC 中， ， AD BC ，BE=EC 求证： AE EF . A
E
F
B
D
C
例２：如图，在△ABC中，AB=AC，
BE⊥AC，CD⊥AB，BE与CD相交于点0， ⑴证明：BO=CO; ⑵连接AO,试判断直线AO与BC的关系 .
证明线段等的常用方法
• 我们学过的哪些知识可以用来证明线段相 等？ • • • • （１）全等 （２）等角对等边； （３）角平分线的性质 （４）中垂线的性质
请小组讨论，总结解题思路：想要证明……，只需证明……，从而找到 解题方向！
• 引例：已知AB∥CD,BC是角平分线，求证： CE=BE.
运用了总结出的哪 种方法？为什么？
例５：已知：如图，△ABC中，AB＝ AC，AD和BE是高，它们相交于点H， 且HE＝CE，求证：AH＝2BD.
A
H B D
E C
变式练习：已知：如图，在等腰直角三 角形ABD中，∠D＝90°，∠B的平分 线交AC于H，过A作AE⊥BH，交BH的 延长线于点E. 求证：BD=2AE A
H B D E
A
AB=AC AO为BC的垂直平分线
D 0 E
B
C
例4．如图，D、E分别是AB，AC的中 点，CD⊥AB于D, BE⊥AC于E，求证： AC=AB
C E
A
D
B
• 练习：如图，已知AD是⊿ABC的角平分线， AD的垂直平分线交AB于点E，交BC延长 线于点F， • ⑴与∠FAC相等的角是哪个？为什么？ • ⑵小明认为DE与AC不可能相交，你同意他 的说法吗? 为什么？
在哪些图形中可以形成等腰三角形？
总 结
• １．在什么图形中能形成等腰三角形？ (1)平行线／角分线等腰三角形 (2)中垂线等腰三角形 (3)角平分线／垂直等腰三角形
• 2．证明线段相等的方法有哪些？ (1)全等 (2)等角对等边； (3)角平分线的性质 (4)中垂线的性质