第一章 三角形单元备课
《三角形》单元备课
单元整体学习单元案、课时案模板（优化模版）单元主题三角形主备人单元结构课标要求内容要求认识三角形，会根据图形特征对三角形进行分类，知道三角形任意两边之和大于第三边，知道三角形内角和是180°。
学业要求：会根据角的特征对三角形分类，认识直角三角形、锐角三角形和钝角三角形；能根据边的相等关系，认识等腰三角形和等边三角形。
探索并说明三角形任意两边之和大于第三边的道理；通过对图形的操作，感知三角形内角和是180°，能根据已知两个角的度数求出第三个角的度数。
教学提示：启发学生根据角的特征将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；通过边的特征知道等腰三角形和等边三角形。
探索三角形任意两边之和大于第三边，并说出其中的道理，经历根据“两点间线段最短”的基本事实说明三角形三边关系的过程，形成推理意识。
可以从特殊三角形入手，通过直观操作，引导学生归纳出三角形的内角和，增强几何直观。
核心素养：几何直观推理意识应用意识纵向分析：横向分析：单元目标1.通过观察、操作、实验等活动，能说三角形的特征，知道三角形任意两边的和大于第三边。
2.通过分类、操作活动，认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形，知道这些三角形的特点并能够辨认和识别。
3.通过画、量、折、分等操作活动，经历探究活动，发现三角形内角和是180°。
4.在发现、提出、分析、解决问题的过程中，发现求多边形内角和的方法，发展推理意识。
单元评价1.认识并能说出三角形各部分名称及特征，知道三角形具有稳定性。
2.会画三角形的高，用字母表示三角形，能画出直角三角形和钝角三角形的高。
3.会将三角形进行分类，知道三角形的内角和是180°，根据内角和去求三角形的任意一个角的度数。
4.能运用分割为多个三角形、四边形的方法自主探究多边形的内角和。
评价样例：课时作业：基础巩固：p67-1能力提升：p67-3拓展实践：第六课时主题：探索四边形内角和学习目标：1.通过量一量、拼一拼、分一分等操作活动，猜测并验证四边形的内角和是 360°2.能用分割转化的方法探究其他多边形的内角和。
八年级上册第一章三角形全章教案(新北师大版)
八年级上册第一章三角形全章教案（新北师大版）题1、等腰三角形型新授教学目标、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
教学重点了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
教学难点能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
教学方法观察法教学后记教学内容及过程学生活动一、复习：、什么是等腰三角形？2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。
3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？二、新讲解：在《证明（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
同学们和我一起来回忆上学期学过的公理本套教材选用如下命题作为公理:1两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 2两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）4两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）6全等三角形的对应边相等,对应角相等由公理、3、4、6可容易证明下面的推论：推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS）证明过程：已知：∠A=∠D,∠B=∠E,B=EF求证：△AB≌△DEF证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∵∠A+∠B+∠=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）∠=180°-∠F=180°-∠=∠F（等量代换）B=EF（已知）△AB≌△DEF（ASA）这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。
三、议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。
第一章 解三角形全章教案
第一章 解三角形1．1．1正弦定理●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 一.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二.讲授新课[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==,则sin sin sin a b c c A B C=== 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a 从而sin sin abAB=sin cC=A c B（2）当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
全等三角形单元备课
第一章全等三角形单元备课一、教学分析1、内容分析：本章主要内容是学习全等三角形的概念、性质以及判定方法，应用全等三角形的性质和判定探索角平分线的性质，能够应用全等三等三角形的性质和判定以及角平分线的性质解决简单的几何总是，初步掌握推理证明的方法。
2、教材分析：学生已经学过线段、角、相交线、平行线、有关三角形的一些知识，通过本章的学习可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其它图形打好基础，教材力求创设与生活场景相近的、有趣的问题情境引入，使学生经历了从现实生活探索并抽象出几何模型，并应用几何模型解决实际问题的过程，在内容上重点探索三角形全等的判定方法经及应用，至于角平分线的改天换地的两上互逆定理，只要求学生了解其条件与结论之间的关系，不必介绍互逆定理的概念，通过结合具体问题，使学生理解证明的基本过程，初步掌握推理、证明的正确的方法是本章的难点，初步培养学生的推理能力。
二、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图：（二）本章的学习目标如下：1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素。
2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。
3．利用尺规作图已知三边、两边夹角、两角一边画三角形。
三、本章教学建议（一）注重探索结论（二）注重推理能力的培养1．注意减缓坡度，循序渐进。
2．在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。
3．注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。
（三）注重联系实际三、几个值得关注的问题（一）关于内容之间的联系（二）关于证明一般情况下，证明一个几何中的命题有以下步骤：（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
分析证明命题的途径，这一步学生比较困难，需要在学习中逐步培养学生的分析能力。
第一章三角形单元备课
第一章三角形单元备课一、单元教学目标1、认识与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）。
理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形。
会画出任意三角形的高、中线、角平分线。
了解三角形的稳定性2、了解与三角形有关的角（内角、外角）；会用平行线的性质与平角的定义证明三角形的内角和等于180°；探索并了解三角形的一个外叫等于与它不相邻的两个内角的和。
3.探索三角形全等的条件，并体会分类思想，并且利用三角形全等解决实际问题，感受数学与生活实际的密切联系。
4.利用尺规作三角形5.进一步积累活动经验，发展推理能力。
二、单元知识结构三、单元教学重点、难点学习重点：1、三角形的高、中线、角平分线的画出、对应的数量关系；2、灵活选择方法判定三角形的全等，积累经验，发展推理能力。
利用尺规作三角形学习难点：1、对三角形的高的理解；特别是钝角三角形的高2、灵活选择方法判定三角形的全等。
四教材分析（一）知识基础：1。
小学阶段对三角形三角形的高有初步认识：认识三角形；计算三角形面积时涉及高；2．三角形的内角和180°用剪图、拼图的方法探究过，结论应用过；（二）新知识：1。
对三角形的边、角、高、中线、角平分线等从定义的角度，来认识、区分；2．三角形的内角和探究及应用；3.探索并掌握两个三角形全等的方法，并能应用它判断两个三角形是否全等．从而解决问题经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力（三）知识特点：1、概念多。
2、需要理解领悟的知识点多。
3、分析解决问题的角度多。
（四）发散思维问题应重视：等腰三角形的边、角计算中的分情况讨论。
五、学生情况分析预计学生出现的不足：1．画三角形的高出问题最多，不知“垂直”如何做（直角应在哪里？）2．内角和、外角和公式的灵活应用不到位；3．对分情况讨论存在畏惧感，见题就绕着走；4. 尺规作图不规范，部分同学对于稍复杂的图形证明思路有困难，步骤不会写。
第一章三角形的证明(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形证明相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用模型或工具来直观展示全等三角形的判定过程。
-通过对比不同判定方法，让学生找出它们之间的异同点，形成直观认识。
-利用动画或实物模型，展示全等三角形在变化过程中保持不变的元素，加深学生对判定方法的理解。
-设计不同难度的练习题，让学生在具体操作中体会各个判定方法的应用场景，增强实践能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《第一章三角形的证明》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要证明两个三角形全等的情况？”比如，在拼接图形或设计图案时。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形证明的奥秘。
3.等腰三角形的性质：引导学生探讨等腰三角形的性质，如等腰三角形的两底角相等，等腰三角形的底边中线等于底边一半等。
4.直角三角形的性质：学习直角三角形的性质，如直角三角形的两个锐角互余，直角三角形的斜边上的中线等于斜边一半等。
5.三角形证明的应用：通过实际例题，让学生运用所学知识进行三角形证明，提高学生的几何证明能力。
4.培养学生的数学抽象素养：让学生从具体实例中抽象出三角形的一般性质，形成数学概念，提高数学抽象素养。
5.培养学生的团队合作意识：通过小组讨论与合作完成证明题目，增强学生的沟通与协作能力，培养团队合作精神。
人教版八年级数学下册第一章三角形的证明单元教学设计
（3）关注学生的学习情感，营造轻松愉快的学习氛围，增强学生的学习兴趣。
（4）加强师生互动，增进师生情感，提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：通过展示生活中常见的三角形物体，如三角尺、自行车三角架等，引导学生观察和思考三角形的特点和作用。
2.提出问题：让学生思考三角形为什么在生活中如此常见，它具有哪些独特的性质？如何运用数学知识来解释这些性质？
3.引入新课：通过讨论和思考，引出本节课的学习内容——三角形的证明，激发学生学习兴趣。
（二）讲授新知
1.三角形的基本性质：介绍三角形的概念、分类、性质（如内角和、两边之和大于第三边等），并通过实例进行讲解。
（2）新知：讲解三角形的基本性质、全等和相似性质，结合实例进行分析，让学生掌握证明方法。
（3）巩固：设计练习题，让学生及时巩固所学知识，提高解题能力。
（4）拓展：介绍勾股定理及其逆定理在实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决问题的能力。
（5）小结：对本节课所学内容进行总结，强化重点，突破难点。
3.教学评价：
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：三角形的基本性质、全等和相似性质、勾股定理及其逆定理的运用。
2.难点：
（1）三角形证明的逻辑推理和论证方法。
（2）运用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
（3）三角函数的计算和应用。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境导入法，通过实际生活中的三角形现象，引出本章节的学习内容。
2.学生在运用勾股定理及其逆定理解决问题时，可能会出现计算错误或思路不清晰的情况。
3.部分学生对几何图形的观察能力较弱，可能难以发现三角形的基本性质和应用。
三角形单元整单元教案集
三角形单元整单元教案集第一章：三角形的基本概念教学目标：1. 了解三角形的定义和特性；2. 掌握三角形的基本分类；3. 能够识别和比较各种三角形的边长和角度。
教学内容：1. 三角形的定义和特性；2. 三角形的分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；3. 三角形的边长和角度的比较。
教学活动：1. 引入三角形的概念，让学生通过观察和动手操作来理解三角形的特性；2. 通过示例和练习，让学生掌握三角形的分类方法和判定条件；3. 利用测量工具，让学生实际测量三角形的角度和边长，并进行比较。
评估方法：1. 课堂提问和回答；2. 练习题的完成情况；3. 小组讨论和汇报。
第二章：三角形的性质教学目标：1. 了解三角形的角度和边长的性质；2. 掌握三角形的内角和定理；3. 能够应用三角形的性质解决实际问题。
教学内容：1. 三角形的角度性质：内角和定理、外角定理；2. 三角形的边长性质：两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；3. 应用三角形的性质解决实际问题。
教学活动：1. 通过几何画板或实物模型，让学生直观地了解三角形的角度和边长性质；2. 通过证明和练习，让学生掌握三角形的内角和定理和外角定理；3. 提供实际问题，让学生应用三角形的性质进行解决。
评估方法：1. 课堂提问和回答；2. 证明题和练习题的完成情况；3. 小组讨论和汇报。
第三章：三角形的判定教学目标：1. 了解三角形判定定理；2. 掌握三角形判定方法；3. 能够应用三角形判定解决实际问题。
教学内容：1. 三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS；2. 三角形判定方法：根据边长和角度的关系进行判定；3. 应用三角形判定解决实际问题。
教学活动：1. 通过示例和练习，让学生掌握三角形判定定理和判定方法；2. 提供实际问题，让学生应用三角形判定进行解决；3. 进行小组讨论和汇报，分享判定方法和解决问题的经验。
评估方法：1. 课堂提问和回答；2. 练习题的完成情况；3. 小组讨论和汇报。
三角形单元整单元教案集
三角形单元整单元教案集第一章：三角形的基本概念1.1 三角形的定义让学生了解三角形的定义，即由三条线段首尾相连围成的图形。
通过实物模型和图形展示，让学生感知三角形的特点。
1.2 三角形的分类让学生掌握锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义和特征。
通过实例和图形，让学生辨别不同类型的三角形。
第二章：三角形的性质2.1 三角形的内角和让学生理解三角形内角和为180度的性质。
通过几何画板软件或实物模型，让学生观察和验证三角形内角和定理。
2.2 三角形的边长关系让学生掌握三角形两边之和大于第三边的性质。
通过举例和实际操作，让学生运用边长关系判断三角形的可行性。
第三章：三角形的判定3.1 三角形的判定条件让学生了解判定一个图形是否为三角形的条件。
通过实例和图形，让学生判断非三角形图形。
3.2 三角形的判定方法让学生掌握判定三角形的方法，如利用角度和边长关系。
通过练习题和实际操作，让学生运用判定方法识别三角形。
第四章：三角形的相似与全等4.1 三角形的相似让学生理解相似三角形的定义和性质。
通过图形和实例，让学生观察和判断相似三角形。
4.2 三角形的全等让学生掌握三角形全等的条件和判定方法。
通过实际操作和练习题，让学生运用全等判定方法。
第五章：三角形的应用5.1 三角形在实际生活中的应用让学生了解三角形在实际生活中的应用，如建筑设计、测量等。
通过案例分析，让学生解决实际问题，如计算三角形面积、角度等。
5.2 三角形在几何中的延展让学生了解三角形在几何中的延展，如多边形的内角和、三角函数等。
通过相关练习题和实际操作，让学生进一步探索三角形的应用。
三角形单元整单元教案集第六章：三角形的面积6.1 三角形面积的计算公式让学生理解三角形面积的计算公式：面积= (底×高) / 2。
通过实际操作和几何画板软件，让学生观察和验证三角形面积的计算过程。
6.2 特殊三角形的面积计算让学生掌握特殊三角形（如等边三角形、直角三角形）的面积计算方法。
三角形单元整单元教案集
三角形单元整单元教案集第一章：三角形的基本概念1.1 三角形的定义与性质学习三角形的基本定义，如边、角、顶点等。
探讨三角形的性质，如内角和、外角和、对边相等等。
1.2 三角形的分类学习不同类型的三角形，如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等。
探讨各类三角形的特征和性质。
第二章：三角形的测量2.1 角度的测量学习使用量角器测量三角形的角度。
练习测量不同类型的三角形，并记录结果。
2.2 边长的测量学习使用直尺测量三角形的边长。
练习测量不同类型的三角形，并记录结果。
第三章：三角形的计算3.1 三角形的面积计算学习三角形面积的计算公式，如底乘高除以二。
练习计算不同类型的三角形面积，并记录结果。
3.2 三角形的周长计算学习三角形周长的计算方法，即将三边相加。
练习计算不同类型的三角形周长，并记录结果。
4.1 手工画三角形学习使用直尺和量角器手工画三角形。
练习画不同类型的三角形，并记录画法步骤。
4.2 利用几何画图软件画三角形学习使用几何画图软件画三角形。
练习画不同类型的三角形，并记录画法步骤。
第五章：三角形在实际生活中的应用5.1 三角形在建筑中的应用探讨三角形在建筑设计中的作用，如稳定性等。
举例说明三角形在建筑物中的实际应用。
5.2 三角形在自然界中的应用探讨三角形在自然界中的存在，如三角洲、三角架等。
举例说明三角形在自然界中的实际应用。
第六章：三角形的全等与相似6.1 三角形全等的条件学习三角形全等的定义和条件，如SAS（边-角-边）、ASA（角-边-角）、AAS（角-角-边）。
练习判断不同三角形是否全等，并记录判断过程。
6.2 三角形相似的条件学习三角形相似的定义和条件，如AA（角-角）、SSS（边-边-边）。
练习判断不同三角形是否相似，并记录判断过程。
7.1 三角形的基本证明方法学习使用几何证明方法，如证角相等、证边相等、证比例关系等。
练习证明三角形的基本性质，并记录证明过程。
7.2 三角形的特殊证明技巧学习使用特殊证明技巧，如倍长中线、平分线、高线等。
第一章 三角形 单元备
第一章三角形单元备课一、教材分析三角形是常见的一种图形，在平面图形中，三角形是最简单的多边形，也是最基本的多边形，一个多边形都可以分割成若干个三角形。
三角形的稳定性在实践中有着广泛的应用。
因此把握好这部分内容的教学不仅可以从形的方面加深学生对周围事物的理解，发展学生的空间观念，而且可以在动手操作、探索实验和联系生活应用数学方面拓展学生的知识面，发展学生的思维能力和解决实际问题的能力。
同时也为以后学习图形的面积计算打下基础。
二、教学目标1、使学生认识三角形的特性，知道三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是18002、使学生认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形，知道这些三角形的特点并能够辨认和区别它们3、会用三角形的判定进行相关的推理4、使学生在探索图形的特征、图形的变换以及图形的设计活动中进一步发展空间观念，提高观察能力和动手操作能力。
本单元重点：会用三角形的判定进行相关的推理本单元难点：发现三角形的三边关系，并会运用三、教学建议1、准确把握本册关于“三角形的认识”的教学目标。
应使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识三角形。
2、重视实践活动，让学生在探索中获取知识。
教学时，应从学生的生活实践出发，给予学生充分从事数学活动的时间和空间，让他们通过观察、操作、有条理的思考和推理、交流等活动，经历从现实空间抽象出几何图形、探索图形性质及其变化规律的过程，从而获得对图形的认识，发展空间观念。
3、注重教具、学具和现代教学手段的运用，加强教学的直观性。
几何图形的直观性为各种教学手段的运用提供了广阔的空间，利用各种教具、学具和现代教学技术，可以使学生认识和探索图形的过程更具有趣味性和挑战性，也是进一步发展学生空间观念和实践能力的有效途径。
四、课时安排1.1认识三角形5课时1.2图形的全等1课时1.3探索三角形全等的条件4课时1.4三角形的尺规作图1课时1.5利用三角形全等测距离1课时回顾与思考1课时。
七年级数学《三角形》单元课 教案
七年级数学《三角形》单元课教案一、学情分析学生在前两个阶段已学过一些三角形知识，在第三阶段学过线段、角以及相交线、平行线的知识，他们的空间观念得到进一步的发展。
这样再来学习三角形的有关概念和内容，就有了更为充实的基础和准备。
通过本章的学习，可以丰富和加深学生对三角形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础。
二、教学任务分析三角形一章章节的结构是“与三角形有关的线段”“与三角形有关的角”“多边形及其内角和”“课题学习镶嵌”。
这与以往的内容安排有所不同。
按照以往的教材，受三角形、多边形、圆顺次展开的限制，这些内容分别属于不同年级。
而新的结构是一种专题式设计、以内角和为主题，先三角形内角和，再顺势推广到多边形内角和，最后将内角和公式运用于镶嵌。
这样的安排更适合学生的认知特点。
学生学了三角形内角和，很容易发问：四边形、五边形······的内角和呢？因此将这些内容紧密联系，层层递进，易于激发学生的学习兴趣，也有利于他们整体把握这些内容。
本章首先介绍三角形的有关概念和性质，以三角形的有关概念和性质为基础，接着介绍多边形的有关概念与多边形的内角和、外角和公式。
三角形是多边形的一种，因而可以借助三角形建立多边形的有关概念。
三角形是最简单的多边形，因而常常将多边形分成若干个三角形，利用三角形的性质研究多边形。
镶嵌作为课题学习的内容安排在本章的最后，学习这个内容要用到多边形的内角和公式，通过这个课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力。
三、教学目标1、了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）。
理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形。
会画出任意三角形的高、中线、角平分线。
了解三角形的稳定性及其应用。
2、与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义说明三角形内角和等于180°，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
第一章 解三角形全章教案
1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理从容说课本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．教学重点1.正弦定理的概念；2.正弦定理的证明及其基本应用．教学难点1.正弦定理的探索和证明；2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．教具准备直角三角板一个三维目标一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、过程与方法1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；3.进行定理基本应用的实践操作．三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师如右图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．师思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？生显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如右图，在Rt△ABC 中，设BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有c a =sin A ，c b =sin B ，又sin C =1=c c ,则c simCc B b A a ===sin sin .从而在直角三角形ABC 中，simCcB b A a ==sin sin . 推进新课[合作探究]师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析） 生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =A sin B =B sin A ,则B b A a sin sin =，同理，可得B bC c sin sin =.从而CcB b A a sin sin sin ==.（当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即CcB b A a sin sin sin ==师是否可以用其他方法证明这一等式？ 生可以作△ABC 的外接圆，在△ABC 中,令BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明CcB b A a sin sin sin ==这一关系． 师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=Rc B C 2sin sin ='=∴RCc2sin = 同理,可得RB bR A a 2sin ,2sin ==∴R Cc B b A a 2sin sin sin ===这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式CcB b A a sin sin sin ==点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫 [知识拓展师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢生向量的数量积的定义式A ·B =|A ||B |C os θ,其中θ为两向量的夹角师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢生 可以通过三角函数的诱导公式sin θ=Co s(90°-θ)进行转化师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得=+而添加垂直于的单位向量j 是关键,为了产生j 与、、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,也就在情理之中了师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用 向量法证明过程(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于,则j 与的夹角为-A ,j 与的夹角为90°-C由向量的加法原则可得=+为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到j j ∙=+∙)(由分配律可得j j ∙=∙+∴|j|Co s90°+|j|Co s(90°-C )=|j|Co s(90°-A∴A sin C =C sin A ∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与AB 的夹角为90°+B ,可得BbC c sin sin =(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与的夹角为90°-C ,j 与的夹角为90°-B∴CcB b A a sin sin sin ==(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为A -90°,j 与的夹角为90°-C由=+,得j·=j·即A ·Co s(90°-C )=C ·Co s(A -∴A sin C =C sin A∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与夹角为B .同理,可得C cB b sin sin =∴CcB b simA a sin sin ==（形式1）综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立 师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用[教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使A =ksin A ，B =ksin B ，C =ksin C ；（2）C cB b A a sin sin sin == 等价于CcA aB bC c B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin === (形式我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题.①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如BAb a sin sin =.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P 4的例1就属于此类问题②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如B baA sin sin =．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结 ［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知A =32.0°,B =81.8°,A =42.9 c m,解三角形分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B ,若求边C ,再利用正弦定理即可解：根据三角形内角和定理， C =180°-(A +B )=180°-根据正弦定理，b =ooA B a 0.32sin 8.81sin 9.42sin sin =≈80.1(cc =osin32.02.66sin 9.42sin sin oA C a =≈74.1(c[方法引导(1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器【例2】在△ABC 中，已知A =20c m ，B =28c m ，A =40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）．分析:此例题属于B sin A ＜a ＜b 的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性 解：根据正弦定理，sin B =2040sin 28sin oa Ab =因为0°＜B ＜180°，所以B ≈64°或B（1）当B ≈64°时，C=180°-（A +B ）=180°-（40°+64°）=76°，C =ooA C a 40sin 76sin 20sin sin =≈30(c（2）当B ≈116°时，C =180°-（A +B ）=180°-（40°+116°）=24°，C =ooA C a 40sin 24sin 20sin sin =≈13(c[方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会 变式一：在△ABC 中,已知A ＝60,B ＝50,A ＝38°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A ≥B 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形解：已知B <A ,所以B <A ,因此B 也是锐角∵sin B =6038sin 50sin oa Ab =∴B∴C =180°-(A +B )=180°-∴C =ooA C a 38sin 111sin 60sin sin =[方法引导同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B 所受限制而求出角B 的两个解,进而求出边C 的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解变式二：在△ABC 中,已知A ＝28,B ＝20,A ＝120°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字).分析:此题属于A 为钝角且A >B 的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B 后,利用三角形内角和为180°排除角B 为钝角的情形解：∵sin B =28120sin 20sin oa Ab =∴B ≈38°或B ≈142°(舍去∴C =180°-（A +B ） ∴ C =︒︒=120sin 22sin 28sin sin A C a ≈12. [方法引导]此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解 师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习： 1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字)，(1)已知C =3,A =45°,B =60°，求B(2)已知B ＝12,A ＝30°,B ＝120°,求A解：(1)∵C =180°-(A +B )=180°-(45°+60°)=75°，CcB b sin sin =， ∴B =︒︒=75sin 60sin 3sin sin C B c(2)∵BbA a sin sin =， ∴A =︒︒=120sin 30sin 12sin sin B A b点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答,以增强其自信心2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到(1)B =11,A =20,B =30°;(2)A =28,B =20,A (3)C =54,B =39,C =115°;(4)A =20,B =28,A解： (1) ∵B bA a sin sin =∴sin A =1130sin 20sin ︒=b B a∴A 1≈65°，A 2当A 1≈65°时，C 1=180°-(B +A 1)=180°-(30°+65°)=85°， ∴C 1=︒︒=30sin 85sin 11sin sin sin 1B C b当A 2≈115°时，C 2=180°-(B +A 2)=180°-∴C 2=︒︒=30sin 35sin 11sin sin 2B C b(2)∵sin B =2845sin 20sin ︒=a A b∴B 1≈30°，B 2由于A +B 2=45°+150°＞180°,故B 2≈150°应舍去(或者由B ＜A 知B ＜A ,故B 应为锐角∴C =180°-∴C =︒︒=45sin 105sin 28sin sin A C a(3)∵CcB b sin sin = ∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b∴B 1≈41°,B 2由于B ＜C ,故B ＜C ,∴B 2≈139°应舍去∴当B =41°时，A =180°-A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c(4) sin B =20120sin 28sin ︒=a Ab =1.212＞∴本题无解点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍 课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形 布置作业（一）课本第10页习题1.1 第1、2题（二）预习内容：课本P 5～P 8余弦定理 [预习提纲(1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识 (2)余弦定理如何与向量产生联系(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题板书设计 正弦定理1.正弦定理证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题:CcB b A a sin sin sin == (1)平面几何法已知两角和一边(2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角1.1.2 余弦定理从容说课课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程2.余弦定理在解三角形时的应用思路3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．教具准备投影仪、幻灯片两张第一张:课题引入图片(记作A如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a第二张:余弦定理(记作1.1.2B余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍形式一: a2=b2+c2-2bcco s A，b2=c2+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C形式二:co s A=bc ac b22 22-+,co s B=ca ba c22 22-+,co s C=ab cb a22 22-+三维目标一、知识与技能1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题3.能利用计算器进行运算二、过程与方法1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题在△ABC 中,设BC =A ,AC =B ,AB =C ,试根据B 、C 、A 来表示A师 由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD 垂直于AB 于D ，那么在Rt△BDC中，边A 可利用勾股定理用CD 、DB 表示,而CD 可在Rt△ADC 中利用边角关系表示,DB 可利用AB -AD 转化为AD ,进而在Rt△ADC 内求解解：过C 作CD ⊥AB ,垂足为D ,则在Rt△CDB 中,根据勾股定理可得 A 2=CD 2+BD 2∵在Rt△ADC 中,CD 2=B 2-AD 2又∵BD 2=(C -AD )2=C 2-2C ·AD +AD 2∴A 2=B 2-AD 2+C 2-2C ·AD +AD 2=B 2+C 2-2C ·AD又∵在Rt△ADC 中,AD =B ·CO s A∴a 2=b 2+c 2-2ab c os A类似地可以证明b 2=c 2+a 2-2caco s Bc 2=a 2+b 2-2ab c os C另外,当A 为钝角时也可证得上述结论,当A 为直角时，a 2+b 2=c 2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片1.1.2B推进新课1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍在幻灯片1.1.2B 中我们可以看到它的两种表示形式 形式一a 2=b 2+c 2-2bcco s A b 2=c +a 2-2caco s B c 2=a 2+b 2-2abco s C 形式二bc a c b A 2cos 222-+=ca b a c B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=师 在余弦定理中,令C =90°时,这时co s C =0,所以c 2=a 2+b 2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用 [合作探究2.向量法证明余弦定理 (1)证明思路分析师联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边C ．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢生 向量数量积的定义式a ·b =|a ||b |co s θ,其中θ为A 、B 的夹角师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C ,则构造∙这一数量积以使出现CO s C .同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提(2)向量法证明余弦定理过程如图，在△ABC 中,设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b由向量加法的三角形法则，可得+=∴,cos 2)1802)()(2222a B ac c B BC AB +-=+-︒+=+∙+=+∙+=∙即B 2=C 2+A 2-2AC COB由向量减法的三角形法则，可得-=∴2222cos 22)()(c A bc b A AB AC +-=-=+∙-=-∙-=∙即a 2=b 2+c 2-2bcco s A由向量加法的三角形法则,可得-=+=∴,cos 22)()(22a C ba b C AC BC AC +-=-=+∙-=-∙-=∙即c 2=a 2+b 2-2abco s C[方法引导(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,与属于同起点向量,则夹角为A ;与是首尾相接,则夹角为角B 的补角180°-B ;与是同终点,则夹角仍是角C [合作探究师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：bac a b C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC 中，C =90°，则co s C =0，这时c 2=a 2+b 2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题(1)已知三边,求三个角这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P 8例4属这类情况 (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题接下来,我们通过例题来进一步体会一下 ［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知B =60 c m ，C =34 c m ，A =41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）解：根据余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bcco s A =602+342-2·60·34co s41°≈3 600+1 156-所以A ≈41 c由正弦定理得sin C =4141sin 34sin ︒⨯=a A c ≈41656.034⨯因为C 不是三角形中最大的边，所以C 是锐角.利用计数器可得CB =180°-A -C =180°-41°-【例2】在△ABC 中，已知a =134.6 c m ，b =87.8 c m ，c =161.7 c m ，解三角形解：由余弦定理的推论,得co s A =7.1618.8726.1347.1618.872222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.554 3,Aco s B =7.1616.13428.877.1616.1342222222⨯⨯-+=-+ca b a c ≈0.839 8,BC =180°-(A +B )=180°-[知识拓展补充例题：【例1】在△ABC 中,已知a =7,b =10,c =6,求A 、B 和C .(精确到分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二解：∵725.0610276102cos 222222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A∴A∵c os C =140113107261072222222=⨯⨯-+=-+ab c b a∴C∴B =180°-(A +C )=180°-[教师精讲(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出 (2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算【例2】在△ABC 中,已知a =2.730,b =3.696,c =82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好解：由c 2=a 2+b 2-2abco s C =2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×co s82°28′, 得c∵c os A =297.4696.32730.2297.4696.32222222⨯⨯-+=-+bc a c b∴A∴B =180°-(A +C )=180°-[教师精讲通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦 【例3】在△ABC 中,已知A =8,B =7,B =60°,求C 及S △ABC分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A ,再结合三角形内角和定理求出角C ,再利用正弦定理求出边C ,而三角形面积由公式S △ABC =21ac sin B 可以求出若用余弦定理求C ,表面上缺少C ,但可利用余弦定理b 2=c 2+a 2-2caco s B 建立关于C 的方程,亦能达到求C 的目的 下面给出两种解法 解法一:由正弦定理得︒=60sin 7sin 8A∴A 1=81.8°,A 2∴C1=38.2°,C 2由Ccsin 60sin 7=︒,得c 1=3,c 2∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC =310sin 212=B ac解法二:由余弦定理得b 2=c +a 2-2caco s B∴72=c +82-2×8×cco整理得c 2-8c解之,得c 1=3,c 2=5.∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC = 310sin 212=B ac[教师精讲]在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之 课堂练习1.在△ABC 中(1)已知c =8,b =3,b =60°,求A(2)已知a =20,b B =29,c =21，求B (3)已知a =33,c =2,b =150°,求B (4)已知a =2,b =2，c =3+1,求A解： (1)由a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，得a 2=82+32-2×8×3co s60°=49.∴A(2)由ca b a c B 2cos 222-+=,得021202292120cos 222=⨯⨯-+=B .∴B (3)由b 2=c 2+a 2-2caco s B ,得b 2=(33)2+22-2×33×2co s150°=49.∴b(4)由bc a c b A 2cos 222-+=,得22)13(222)13()2(cos 222=+-++=A .∴A评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率2.根据下列条件解三角形(角度精确到(1)a =31,b =42,c (2)a =9,b =10,c。
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第一章三角形
主题三角形课型单元备课
教学内容1认识三角形;2图形的全等;3探索三角形全等的条件;4三角形的尺规作图5利用三角形全等测距离
教材分析本章主要内容是研究三角形的基本概念和属性.主要内容包括:三角形的一些概念和性质;三角形三条边、三个内角之间的关系;全等图形与性质;全等三角形的判定和性质;直角三角形全等的特别判定方法;能根据不同的条件用尺规作图画出三角形,利用三角形全等的知识,探索生活实际中两点之间距离测量的问题,引导学生把所学的数学知识应用于解决生活实际中所遇到的问题.
教学目标1.知识与技能
(1)理解三角形及其内角、中线、高线、角平分线等概念,探索并掌握三角形的内角和及三角形三边之间的关系,了解三角形的稳定性.
(2)了解图形的全等,理解全等三角形的概念,经历探索三角形全等条件的过程,掌握两个三角形全等的条件,能应用三角形的全等解决一些实际问题.
(3)在分别给出两角一夹边、两边一夹角和三边的条件下,能够利用尺规作出三角形.
2.过程与方法
(1)在探索图形性质的过程中,经历观察、操作(包括测量、画、折)、想象、推理、交流等过程,积累数学活动经验,进一步发展空间观念、推理能力(合情推理能力和演绎推理能力).
(2)尝试用多种方式表达自己的想法,表述问题解决的理由,发展初步的演绎推理能力和有条理表达的能力.
3.情感、态度与价值观
感受数学与现实世界的密切联系.
教学重难点重点:对三角形基本概念的了解及三角形全等条件的探索.难点:在不同情况下对全等三角形的证明及其实际应用.
知识结构。