小学奥数专题-空心与实心方阵

小学奥数专题 空心与实心方阵
编辑 张艳芬
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同学们要参加运动会入场式,要进行 队列操练,解放军排着整齐的方队接 受检阅等,无论是训练或接受检阅,都 要按一定的规则排成一定的队形,于 是就产生了这一类的数学问题,今天 我们将共同研究和分析这类问题。
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士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行 数与列数都相等,正好排成一个正方形,这 就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫 乘方问题)。
40个棋子;摆这个空心方阵共用 144个棋子。
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例3: 玲玲家的花园中,有一个如下图 那样,由四个大小相同的小等边三角 形组成的一个大三角形花坛,玲玲在 这个花坛上种了若干棵鸡冠花,已知 每个小三角形每边上种鸡冠花5棵, 问大三角形的一周有鸡冠花多少棵? 玲玲一共种鸡冠花多少棵?
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分析: (1),由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形的 边组成的,而在大三角形一条边的中间那棵花,是两条 小三角形的边所共用的,所以如果小三角形每边种花 5棵,那么大三角形每边上种花的棵数就是5×2-1=9 棵了,又由于大三角形三个顶点上的3棵花,都是大三 角形的两条边所共用的,所以大三角形一周种花的棵 数等于大三角形三边上种花棵数的和减去三个顶点 上重复计算的3棵花,即:9×3-3=24,就是大三角形一 周种花的棵数。
答:五年级参加广播操比赛的一共有260 人。
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例5.有杨树和柳树以隔株相间的种法, 种成7行7列的方阵,问这个方阵最外 一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中
共有杨树,柳树各多少棵?
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分析:根据已知条件柳树和杨 树的种法有如下两种,假设黑 点表示杨树,白点表示柳树观 察图(1)(2)不管是柳树种在方 阵最外层的角上还是杨树种在 方阵最外层的角上,方阵中除 最里边一层外其它层杨树和柳 树都是相同的。因而杨树和柳 树的棵数相等,即最外层杨,柳 树分别为(7-1)×4÷2=12(棵)。
(2)小三角形一周种鸡冠花的棵 数是:(5-1)×3=12(棵)
(3)玲玲一共种鸡冠花的棵数是 :24+12-3=33(棵)
答:大三角形一周种鸡冠花24 棵;玲玲一共种鸡冠花33棵。
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例4. 五年级学生分成两队参加学校广播操比赛,他们 排成甲乙两个方阵,其中甲方阵每边的人数等于8,如果 两队合并,可以另排成一个空心的丙方阵,丙方阵每边 的人数比乙方阵每边的人数多4人,甲方阵的人数正好 填满丙方阵的空心五年级参加广播操比赛的一共有多 少人?
的层数×4
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例1.三年级一班参加运 动会入场式,排成一个 方阵,最外层一周的人 数为20人,问方阵最外 层每边的人数 是多少?这个方阵共有 多少人?
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分析:根据四周人数与每边人数的关系可 知:
每边人数=四周人数÷4+1,可以求出 这个方阵最外层每边的人数,那么这个方
阵队列的总人数就可以求了。 解:(1)方阵最外层每边的人 数:20÷4+1=5+1=6(人)
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当柳树种在方阵最 外层的角上时,最内层 的一棵是柳树;当杨树 种在方阵最外层的角 上时,最内层的一棵是 杨树,即在方阵中,杨树 和柳树总数相差1棵。
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解:(1)最外层杨柳树的棵数分别为 :(7-1)×4÷2=12(棵)
(2)当杨树种在最外层角上时,杨树 比柳树多1棵:
杨树:(7×7+1)÷2=25(棵) 柳树:7×7-25=24(棵) (3)当柳树种在最外层角上时,柳树 比杨树多1棵 柳树(7×7+1)÷2=25(棵) 杨树7×7-25=24(棵)
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分析:若只排列一个乙方阵,则多余的人 数为(即甲方阵的人数)8×8=64(人),排列
一个实心的丙方阵,不足的人数 是:8×8=64(人)假设丙方阵为实心方阵, 则乙多的人数是:8×8+8×8=128(人),又 根据方阵扩展一层,每边增加2人,丙方阵 比乙方阵的外边多4人,丙方阵多于乙方阵 的层数是4÷2=2(层),方阵扩展2层,需要
以求出最里层一周放棋子的总数。 (2)根据最外层每边放棋子的个数
减去这个空心方阵的层数,再乘以层数, 再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子
多少个。
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解:(1)最里层一周棋子的个数 是:(15-2-2-1)×4=40(个) (2)这个空心方阵共用的棋子
数是:(15-3)×3×4=144(个) 答:这个方阵最里层一周有
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答:在图(1)(2)两种方法中,方 阵最外层都有杨树12棵,柳树12棵,方 阵中总共有杨树25棵,柳树12棵,方阵 中总共有杨树25棵,柳树24棵,或者有
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(2),三角形各条边上种鸡冠花棵数的 总和,等于里边小三角形一周上种花 的棵数,加上大三角形一周种花的棵 数,再减去重复计算的3棵花(因为里 边小三角形的三个顶点上的三棵花, 也分别是外边大三角形每条边上的 一棵花)。
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解: (1)大三角形一周上种 花的棵数是:(5×2-1)×3-3=24(棵 )
(2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人) 答:方阵最外层每边的人数是6人,这个 方阵共有36人。
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例2.明明用围棋子摆成一个三层 空心方阵,如果最外层每边有围棋子 15个,明明摆这个方阵最里层一周共 有多少棋子?摆这个三层空心方阵共
用了多少个棋子?
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分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个 数就减少2个,知道最外面一层,每边放 15个,可以求出最里层每边的个数,就可
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方阵的基本特点:
(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量 都相同,每向里一层,每边上的 人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系; 四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4 每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1 (3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)
数×每边人(或物)数 (4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每 边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵
增加128人,则方阵最外层的人数是 (128+2×4)÷2=68(人),丙方阵的总人数
18×18-8×8=260(人) .
解:(1)假设丙方阵为实心方阵,则方阵最 外层的人数是:(8×8+8×8+2×4)÷2=68(人)
(2)丙方阵最外层每边的人数 是:68÷4+1=18(人)
(3)空心丙方阵的总人数:18×188×8=324-64=260(人)