第1章习题解答

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
n
因为T[x(n-2)] ≠y1(n-2)，所以该系统是时变系统
第1章 时域离散信号和时域离散系统
5. 解：（5） y(n)=x2(n)
y1 (n) T [ x1 (n)] x12 (n) y2 (n) T [ x2 (n)] x2 2 (n) T [ax1 (n) bx2 (n)] [ax1 (n) bx2 (n)]2 a 2 x12 (n) 2abx1 (n) x2 (n) b 2 x2 2 (n) ay1 (n) by2 (n)
示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （3）y(n)=x(n－n0) （4）y(n)=x (－n) n0为整常数
（5）y(n)=x2(n)
（6）y(n)=x(n2) （7）y (n) x(m)
m 0 n
第1章 时域离散信号和时域离散系统
5. 解：（3）y(n) = x(n－n0)
x(n) 4 3 2 1
0 1 2 3 4
x(n-2) 4 3 2 1
n
0 1 2 3 4 5 6
n
y1(n)=x(n2) 4 3 2 1
0 1 2 3 4
y2(n)=T[x(n-2)] 4 3 2 1
n
0 1 2 3 4
n
y1(n-2) 4 3 2 1
0 1 2 3 4
n
因为T[x(n-2)] ≠y1(n-2)，所以该系统是时变系统
所以系统是线性系统
T [ x(n n1 )] x(n n1 n0 ) y (n n1 ) x(n n1 n0 ) T [ x(n n1 )]
所以系统是时不变系统
第1章 时域离散信号和时域离散系统
5. 解：（4） y(n) = x(－n)
y1 (n) T [ x1 (n)] x1 (n) y2 (n) T [ x2 (n)] x2 (n ) T [ax1 (n) bx2 (n)] ax1 (n) bx2 (n ) aT [ x1 (n)] bT [ x2 (n)] ay1 (n) by2 (n)
第1章 时域离散信号和时域离散系统
稳定系统的判断
稳定：


平移、翻转和尺度运算
乘/加取值有限的常量或变量的运算 微分运算 即时映射在映射函数有界时
（4） y(n)=x(n－n0) （5） y(n)=ex(n)
第1章 时域离散信号和时域离散系统
6. 解：（1） y(n) 1 N
x( n k )
k 0
N 1
当N≥1时，输出y(n)只与n时刻及n时刻以前的输入有
关，因此，该系统是因果系统。
当N<1时，输出y(n)还与n时刻以后的输入有关，因此， 该系统是非因果系统。
第1章 时域离散信号和时域离散系统

6. 解：（3） y (n)
n n0
k n n0
x( k )
当n0=0时，输出y(n)只与n时刻的输入有关，因此，该系 统是因果系统。 当n0≠0时，输出y(n)都与n时刻以后的输入有关，因此， 该系统是非因果系统。
设|x(n)| ≤M，则|y(n)| ≤[n+n0-(n-n0)+1]*M ≤|2n0+1|M
所以系统是线性系统 设
x1 (n) x(n n0 )
T [ x(n n0 )] T [ x1 (n)] x1 (n) x(n n0 ) y (n n0 ) x[(n n0 )] T [ x(n n0 )]
所以
所以系统是时变系统
第1章 时域离散信号和时域离散系统
第1章 时域离散信号和时域离散系统
5. 解：（7）y (n) x(m)
n
y1 (n) T [ x1 (n)] x1 (m)
m 0 n
n
m 0
y2 (n) T [ x2 (n)] x2 (m)
m 0 n n
n
T [ax1 (n) bx2 (n)] ax1 (m) bx2 (m) a x1 (m) b x2 (m)
x(n) 4 3 2 1
0 1 2 3 4
x(n-2) 4 3 2 1
n
0 1 2 3 4 5 6
n
y1(n)=x(-n) 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y2(n)=T[x(n-2)] 4 3 2 1
n
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
n
y1(n-2) 4 3 2 1
m 0 m 0 m 0
ay1 (n) by2 (n)
所以系统是线性系统
T [ x(n n0 )] x(m n0 )
m 0
n
令 m n0 k，则
n n0 m 0
x (m n )
m 0 0
n
n n0
x (k )
n n0
k 0n0
非线性
加常数或与输入无关的变量，即固定电平或可变电平偏置 任何含非线性运算的系统，如非线性的微分方程或电路 非正比例的即时映射
注意：
线性的要求是很严格的，甚至有非零初始状态的线性电路，或者有
非零初始状态的线性常微分方程都不是上述意义下的线性系统
第1章 时域离散信号和时域离散系统
系统时不变性的判定：
第1章 时域离散信号和时域离散系统
6． 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是 因果稳定系统，并说明理由。 （1） n) 1 y( N （3） y (n)
x(n k )
k 0
N 1
（2） y(n)=x(n)+x(n+1)
n n0 k n n0
x( k )
设|x(n)| ≤M，则|y(n)| ≤ (1/N)*N*M=M
因此，该系统是稳定系统。
第1章 时域离散信号和时域离散系统
6. 解：（2）y(n)=x(n)+x(n+1) 输出y(n)与n时刻以后的输入有关，因此，该系统是非 因果系统。
设|x(n)| ≤M，则|y(n)| ≤ M+M=2M
因此，该系统是稳定系统。
时不变： • 平移 • 乘或加常数，即直流偏置或固定增益放大 • 微分和下限为的积分运算 • 有零初始状态的常参数电路或常系数微分方程 • 所有即时映射 时变： • 翻转、尺度运算 • 乘或加与输入无关的变量，即交流偏置或时变增益放大， 因为对后者而言，所乘或加的与输入无关的变量并不随输 入的延迟而延迟 • 下限为零的积分； • 具有非零初始状态的电路或微分方程，因为初始状态定义 于零时刻，它不会随着输入的延迟而延迟到另一时刻；同 样地，变系数微分方程中的变系数的时间变量并没有因输 入的延迟而延迟。
（2） x(n) 解：（1）
1 j( n π ) e 8
所以，该序列是周期序列，周期是14
2 14 0 3 3 7 2
2பைடு நூலகம்
2 16 为无理数 （2） 1 0 8
所以，该序列不是周期序列
第1章 时域离散信号和时域离散系统
5． 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表
x(n)
6 3
x3 (n)
6 3
1
1
3
1
2 1 0 1 2 3 4
n
2 1 0 1 2
1
图1 图4
n
3
第1章 时域离散信号和时域离散系统
3． 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的，确定其周期。
（1） x(n) A cos 3 πn π , A是常数
7 8
第1章 时域离散信号和时域离散系统
2．解： （1）序列波形如图1：
6 3
x(n)
1
3
1
2 1 0 1 2 3 4
n
图1
（2）
x(n) 3 (n 4) (n 3) (n 2) 3 (n 1) 6 (n) 6 (n 1) 6 (n 2) 6 (n 3) 6 (n 4)
第1章 时域离散信号和时域离散系统
习题与上机题
2．给定信号：
2n 5 4 n 1 x(n) 6 0n4 0 其它
（1） 画出 x(n) 序列的波形，标上各序列值； （2） 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； （3） 令 x1(n) = 2x(n－2)，试画出x1(n)波形； （4） 令 x2(n) = 2x(n+2)，试画出x2(n)波形； （5） 令 x3(n) = x(2－n)，试画出x3(n)波形。
n
图2
第1章 时域离散信号和时域离散系统
（4） x2(n) = 2x(n+2)的波形如图3
x(n)
6 3
x2 (n)
12
6
1
2
3
1
2 1 0 1 2 3 4
n
6
4 3 2 1 0 1 2 2
n
图1
图3
第1章 时域离散信号和时域离散系统
（5） x3(n) = x(2-n)的波形如图4
因此，该系统是稳定系统。
第1章 时域离散信号和时域离散系统
6. 解：（5） y(n)=ex(n)

输出y(n)只与n时刻的输入有关，因此，该系统是因果 系统。
设|x(n)| ≤M，则|y(n)| ≤eM < ∞
因此，该系统是稳定系统。
第1章 时域离散信号和时域离散系统
因果系统的判断
因果: 向右平移（延迟） 乘法和加法运算 下限为-∞的积分运算，因为它与将来时刻的信号值无关 所有即时映射 电路和描述实际物理系统的微分方程，因为它们都是物理可实现的 非因果: 向左平移（超前）,因为超前会使将来发生的事情先于现在出现 翻转（时间倒转），因为时间倒转会使将来发生的事情先于现在出现 尺度运算 微分，因为它与将来时刻的信号值有关 下限为零的积分
因此，该系统是稳定系统。
第1章 时域离散信号和时域离散系统
6. 解：（4） y(n)=x(n－n0)

当n0 > 0时，输出y(n)只与n时刻以前的输入有关，因此， 该系统是因果系统。 当n0 < 0时，输出y(n)与n时刻以后的输入有关，因此，
该系统是非因果系统。
设|x(n)| ≤M，则|y(n)| ≤M
所以系统不是线性系统
T [ x(n n0 )] [ x(n n0 )]2 y(n n0 ) x 2 (n n0 ) T [ x(n n0 )]
所以系统是时不变系统
第1章 时域离散信号和时域离散系统
5. 解：（6） y(n) = x (n2)
y1 (n) T [ x1 (n)] x1 (n 2 ) y2 (n) T [ x2 (n)] x2 (n 2 ) T [ax1 (n) bx2 (n)] ax1 (n 2 ) bx2 (n 2 ) ay1 (n) by2 (n)
m n0
x ( m)
y (n n0 ) x(m) T [ x(n n0 )]
所以系统是时变系统
第1章 时域离散信号和时域离散系统
系统线性与否的判定：
线性
平移、翻转、尺度变换以及这几种运算的组合 累加 乘常数或与输入无关的变量，即恒增益或变增益放大 微分和积分运算 有零初始状态的线性电路或线性微分方程
k 4
(2k 5) (n k ) 6 (n k )
k 0
1
4
第1章 时域离散信号和时域离散系统
（3） x1(n) = 2x(n－2)的波形如图2
x(n)
6 3
x1 (n)
12
6
1
2
n
3
1
2 1 0 1 2 3 4
6
图1
2
0 1 2 3 4 5 6
所以系统是线性系统
设
x1 (n) x(n n0 )
所以
T [ x(n n0 )] T [ x1 (n)] x1 (n2 ) x(n2 n0 ) y(n n0 ) x[(n n0 )2 ] T [ x(n n0 )]
所以系统是时变系统
第1章 时域离散信号和时域离散系统
n0为整常数
y1 (n) T [ x1 (n)] x1 ( n n0 ) y2 (n) T [ x2 (n)] x2 (n n0 ) T [ax1 (n) bx2 (n)] ax1 ( n n0 ) bx2 ( n n0 ) aT [ x1 (n)] bT [ x2 (n)] ay1 (n) by2 (n)