椭圆各类题型分类汇总

椭圆经典例题分类汇总

1. 椭圆第一定义的应用

例1 椭圆的一个顶点为()02，

A ,其长轴长是短轴长的２倍,求椭圆的标准方程.

例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2

1=e ，求k 的值．

例3 已知方程1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆,求k 的取值范围.

例4 已知1cos sin 2

2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范

围．

例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322

=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．

2.焦半径及焦三角的应用

例1 已知椭圆13422=+y x ,1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在,则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

例2 已知椭圆方程()0122

22>>=+b a b

y a x ,长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F ．求:21PF F ∆的面积(用a 、b 、α表示)．

３.第二定义应用

例1 椭圆112162

2=+y x 的右焦点为F ,过点()

31，A ,点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标．

例2 已知椭圆1422=+b

b 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．

例３ 已知椭圆15

92

2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．

(１) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标;

(２) 求22

3PF PA +

的最小值及对应的点P 的坐标.

4.参数方程应用

例1 求椭圆13

22

=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．

例2 (1)写出椭圆149=+的参数方程;(２)求椭圆内接矩形的最大面积.

例3 椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围.

5.相交情况下-－弦长公式的应用

例１ 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．

(1)当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为

5

102,求直线的方程.

例2 已知长轴为１2，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3

π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．

6.相交情况下—点差法的应用

例1 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0．２5,椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

例2 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭

⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．

例3 已知椭圆1222=+y x ,(1）求过点⎪⎭

⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； (2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（３）过()12，

A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程; (４）椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足2

1-

=⋅OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.

例４ 已知椭圆13

42

2=+y x C ：,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4：,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．

例5 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆19

362

2=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程.

椭圆经典例题分类汇总

1.椭圆第一定义的应用

例1 椭圆的一个顶点为()02，

A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程． 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置．

解：(１)当()02，

A 为长轴端点时,2=a ,1=b ， 椭圆的标准方程为：11

42

2=+y x ; (2)当()02，

A 为短轴端点时,2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116

42

2=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况．

例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2

1=e ，求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论.

解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ，92=b ,得12-=k c ．由2

1=

e ,得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12． 由21=

e ，得4191=-k ，即4

5-=k . ∴满足条件的4=k 或45-=k ． 说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上.故必须进行讨论．

例5 已知方程1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由⎪⎩

⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<

∴满足条件的k 的取值范围是53<

说明:本题易出现如下错解:由⎩⎨⎧<-<-,

03,05k k 得53<