人教版-选修1-1-1.常用逻辑用语

M，p(x)”的否定为：“∀x∈M，綈 p(x)”．
题型探究
题型 1 四种命题的关系
[例 1] (2012～2013 学年度陕西宝鸡中学高二期末测试) 设原命题为“若 a<b，则 a＋c<b＋c”．(其中 a、b、c∈R)
(1)写出它的逆命题、否命题、逆否命题； (2)判断这四个命题的真假； (3)写出原命题的否定．
3．(2012～2013 学年度辽宁铁岭市高二期中测试)“a<0”是“方 程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负数根”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 当 a<0 时，Δ＝4－4a>0， ∴方程 ax2＋2x＋1＝0 有两个不等实根，不妨设两根分别为 x1、x2. 则 x1＋x2＝－2a>0， x1x2＝1a<0， 故方程 ax2＋2x＋1＝0 有一正根一负根.
求实数 a 的取值范围．
[分析] 解决本题可先求出命题 p 和 q 成立的条件，再 得到綈 p，利用綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，则綈 q⇒綈 p，
求出 a 的取值范围，或利用等价条件 p⇒q 求得 a.
[解析] 由 x2－4ax＋3a2<0 且 a<0，得 3a<x<a， ∴p：3a<x<a. 由 x2－x－6≤0 得，－2≤x≤3， ∴q：－2≤x≤3.
[解析] ∵过原点 O 可以作两条直线与圆 x2＋y2＋x－3y＋54 (m2＋m)＝0 相切，
∴原点 O 在圆外，∴54(m2＋m)>0， ∴m2＋m>0，∴m>0 或 m<－1. ∴p：m>0 或 m<－1. 由直线(m＋32)x－y＋m－12＝0 不过第二象限，得
m＋32>0 m－12≤0
0<a<1 当 p 真 q 假时，有a≤14
，∴0<a≤14.
a≤0或a≥1
当 p 假 q 真时，有 1
，∴a≥1.
a>4
综上可知，实数 a 的取值范围是 0<a≤14或 a≥1.
题型 3 充分条件、必要条件、充要条件的应用 [例 3] 已知 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2<0，其中 a<0； q：实数 x 满足 x2－x－6≤0.若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，
当 a＝0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0 有一负根为－12， ∴a<0⇒方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负数根， 方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负数根⇒/ a<0，故选 A.
二、填空题 4．命题“∀x∈[－2,3]，－1<x<3”的否定是________．
[答案] ∃x∈[－2,3]，x≤－1 或 x≥3 [解析] 全称命题的否定是特殊命题，将“∀”改为“∃”， 将“－1<x<3”改为“x≤－1 或 x≥3”．
充分、必要条件问题涉及的知识面广，要深刻理解充分、 必要条件的概念，并联系问题中所涉及到的知识点和有关概念 作出判断．
5．准确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义， 熟练判断“p∧q”、“p∨q”、“¬p”形式的命题的真假．
6．准确区分全称命题和特称命题的差异，能用简洁、自 然的语言表述含有一个量词的命题的否定．
4．命题的否定与否命题是两个不同的概念，命题的否定 只否定命题的结论，否命题既否定原命题的结论，也否定原命 题的条件．
5．命题的否定 (1)复合命题的否定 綈(p∧)为綈 p 或綈 q.
綈(p∨q)为綈 p 且綈 q.
(2)含量词的命题的否定 全称命题的否定为特称命题，“∀x∈M，p(x)”的否定为： “∃x∈M，綈 p(x)”；特称命题的否定为全称命题，“∃x∈
逆否命题：若 m＋n>0，则 m>0 且 n>0，逆否命题为假．(逆 否命题与原命题等价)
题型 2 根据复合命题的真假，求参数的值或取值范围
[例 2] 已知命题 p：x2＋mx＋1＝0 有两个不等的负根， 命题 q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0 无实数根，若 p、q 一真一假， 求 m 的取值范围．
[解析] (1)逆命题：若 a＋c<b＋c，则 a<b. 否命题：若 a≥b，则 a＋c≥b＋c. 逆否命题：若 a＋c≥b＋c，则 a≥b. (2)∵a<b，∴a＋c<b＋c，∴原命题是真命题，则其逆否 命题也是真命题． ∵a≥b，∴a＋c≥b＋c，∴其否命题是真命题，则其逆命 题是真命题. (3)原命题的否定是：∃a，b 满足 a<b，使 a＋c≥b＋c.
当
p
假
q
真时，即m≤2 1<m<3
，得 m∈(1,2]．
综上所述，m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．
[点评] 此种类型的题目往往是先假设命题 p 和 q 都是真 命题，求出参数的取值范围．若有假命题，则参数的范围就是 设之为真命题时的补集．该题中 p，q 一真一假，则需分类讨 论：p 真 q 假、p 假 q 真，分别求出参数 m 的范围，最后取并 集．
5．命题“∃x∈(－1,1)，2x＋a＝0”是真命题，则 a 的取值 范围为________．
[答案] (－2,2)
[解析] 设 f(x)＝2x＋a，由题意得函数 f(x)在(－1,1)内有零点， ∴(a＋2)(a－2)<0， ∴－2<a<2.
三、解答题 6．(2012～2013 学年湖北武汉市新洲区一中高二期末测试)命 题 p：过原点 O 可以作两条直线与圆 x2＋y2＋x－3y＋54(m2＋m)＝0 相切，命题 q：直线(m＋32)x－y＋m－12＝0 不过第二象限，若命题 “p∧q”为真命题，求实数 m 的取值范围．
[解析] ∵sinx＋cosx＝ 2sin(x＋π4)≥－ 2， ∴当 r(x)是真命题时，m<－ 2. 又∵对∀x∈R，s(x)是真命题时， 即 x2＋mx＋1>0 恒成立， 有 Δ＝m2－4<0，∴－2<m<2.
∴当 r(x)为真命题，s(x)为假命题时，m<－ 2，同时 m≤ －2 或 m≥2，即 m≤－2；
[点评] 命题的否定形式与命题的否命题不同，前者只否 定原命题的结论，而后者同时否定条件和结论．
若 m≤0 或 n≤0，则 m＋n≤0，写出其逆命题、否命题、 逆否命题，同时分别指出它们的真假．
[解析] 逆命题：若 m＋n≤0，则 m≤0 或 n≤0，逆命题 为真．
否命题：若 m>0 且 n>0，则 m＋n>0，否命题为真．(逆命 题与否命题是等价的)
或 m＋32＝0
∴－32≤m≤12
∴q：－32≤m≤12.
3．要注意：否命题与命题的否定是不同的，否命题既否 定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论，例如，原命题 是“若∠A＝∠B，则 a＝b”，其否命题是“若∠A≠∠B，则 a≠b”，而原命题的否定是“存在∠A、∠B，虽然∠A＝∠B， 但 a≠b”．
4．充要条件的判断是通过判断命题“若 p 则 q”的真假 来判断的．因此，充要条件与命题的四种形式之间的关系密切， 可相互转化．
成才之路·数学
人教A版 ·选修1-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
常用逻辑用语
第一章
章末归纳总结
知识梳理
1．准确掌握命题的定义是本章学习的先决条件，判断语 句是否为命题，一是陈述句，二是能否判断真假．
2．掌握四种命题的组成及互为逆否命题的等价性是本章 需重点掌握内容之一．
由于原命题和它的逆否命题是等价的，所以当一个命题的 真假不易判断时，往往可以转而判断它的逆否命题的真假；有 的命题不易直接证明时，就可以改证它的逆否命题成立，所以 反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”，所以教材 在阐述了四种命题后安排了用反证法的例题，可以加深对命题 等价性理解．
知识结构
误区警示
1．原命题与其逆否命题同真同假，原命题的逆命题与其 否命题同真同假，但原命题与其逆命题的真假没有关系，我们 只研究“若 p，则 q”型命题的逆命题、否命题、逆否命题．
2．只有在“若 p，则 q”为真命题时，才称 p 是 q 的充分 条件，q 是 p 的必要条件．
3．注意区分“p 的充分条件是 q”与“p 是 q 的充分条 件”，前者 q⇒p，后者 p⇒q.
[答案] D
[解析] 特称命题的否定是全称命题，将“∃”改为“∀”， 将“>”改为“≤”．
2．(2013·新课标Ⅰ文，5)已知命题 p：∀x∈R,2x<3x；命题 q： ∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q
B．綈 p∧q
C．p∧綈 q
D．綈 p∧綈 q
[答案] B
[解析] 本题考查由“且”构成的复合命题的真假．由函数 y ＝2x 与 y＝3x 的图象可判断，当 x<0 时，2x>3x，p 为假，¬p 为真； 由函数 y＝3x 与 y＝1－x2 的图象可判断 q 为真命题，所以¬p∧q 为 真命题，选 B.
B．[1,4]
C．(4，＋∞)
D．(－∞，1]
[答案] A
[解析] 若命题 p 为真命题，则∀x∈[0,1]，a≥ex 的最大 值．
又∵ex 在 x∈[0,1]上的最大值为 e，∴a≥e. 若命题 q 为真命题，则 Δ＝16－4a≥0，∴a≤4. ∵“p∧q”是真命题， ∴p、q 均为真命题，则有aa≥≤e4 ， ∴e≤a≤4.
当 r(x)为假命题，s(x)为真命题时，m≥－ 2且－2<m<2， 即－ 2≤m<2.
综上，m 的取值范围是{m|m≤－2 或－ 2≤m<2}．
已知命题 p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题 q：“∃x∈R，
x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数 a 的取值