高一数学人教版必修一第一章1.2.2复合函数问题练习(含答案)

复合函数问题

一、复合函数定义：

设y=f(u)的定义域为 A, u=g(x)的值域为B,若A 二B ,则y 关于x

函数的y=f [ g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二复合函数解析式

1待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法 例 1 设 f (x)是一次函数，且 f [ f (x)] = 4x • 3，求 f (x).

解：设 f (x)二 ax b (a = 0)，则f [ f (x)] = af (x) b = a(ax b) b = a 2x ab b

二 f(x)=2x+1 或 f(x) = —2x + 3 .

2、 配凑法：已知复合函数 f[g(x)]的表达式，求f (x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配 成g(x)的运算形式时，常用配凑法 .但要注意所求函数

f (x)的定义域不是原复合函数的

定义域，而是g(x)的值域.

1 2 1

例2已知f(x ) = x 2

2

(x 0)，求f (x)的解析式.

x

x

1 1

2 1

2

解： f(x )=(x )2 -2, x 2,

. f(x) = x 2-2 (x_2).

x x

x

3、 换元法：已知复合函数 f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求

f(x)的解析式.与配

凑法一样，要注意所换元的定义域的变化. 例 3 已知 f (.X • 1) = x • 2、.. x ，求 f (x T). 解：令 t

• 1,则 t -1 , x =(t -1)2 .

:f ( 一 x 1) =x 2 ..X ,

■ f(t) =(t 一1)2 2(t 一1) =t 2 -1,

.f(x)=x 2-1 (x -1),

■ f(x 1) = (x 1)2 -1 = x 2 2x (x _ 0).

4、 代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法 例4已知：函数 目仝 x 与y =g(x)的图象关于点(-2,3)对称，求g(x)的解析式. 解：设M(x,y)为y = g(x)上任一点，且 M (x ,y )为M (x, y)关于点(-2,3)的对称点.

r 2

. a =4

ab +b =3

2=2 b=1

a =-2

又 f (1) -1,故f (x 1) - f (x) =x 1

①

• 2

「点 M(x ；y)在 y = g(x)上,”•” y 「=x" +x

x * = 一x —4 把」— 代入得：6—y=(—X —4)2 +(—X —4) •

y = 6-y

整理得 y - -x 2 —7x -6 ,

. g(x) - -x 2 -7x -6 .

5、 构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方

程组，通过解方程组求得函数解析式. 例 5 设 f (X )满足f (x) - 2f (丄)=x,求 f (x). x

解 f(x) —2f 』)=x ①

X

显然x=0,将x 换成丄，得：f (1^2f(x) ^1 ②

X

X X

解①②联立的方程组，得：

f (x) =-X - Z .

3 3x

6、 赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”

的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式.

例7已知：f(0)=1，对于任意实数x 、y ，等式f (x-y) = f (x) - y(2x-y T)恒成立,

求 f (x).

解：对于任意实数X 、y ,等式f (x - y)二f (x) - y(2x - y T)恒成立，

不妨令 x = 0，则有 f (「y) = f (0)「y(「y 1) = 1 y( y 「1) = y 2「y 1 . 再令- y = x 得函数解析式为：f (x) = x 2亠x T .

7、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭 力口、迭

乘或者迭代等运算求得函数解析式. 例8 设f (x)是定义在 N •上的函数，满

足f(1) =1，对任意的自然数

a,b 都有

f (a) f (b) = f(a b) -ab ，求 f (x).

解• f (a) f (b)二 f (a b) - ab , a,b N .,

不妨令 a = x,b =1，得：f (x) f (1) = f (x 1) - x ,

，解得:

乂 = _x_4

y =6 —y

令①式中的x= 1,2，…，n—1 得：f(2)_f(1)=2, f(3) _f(2) =3川I川，f (n) _ f (n _1) = n 将上述各式相加得：f(n) 一f (1) = 2 • 3 •…n ,

复合函数定义域问题

，解得n(n 1)

.f(讥

1 2 3" 2 f (x)

⑴、已知的定义域，求的定义域

思路：设函数的定义域为D，，所以的作用范围为D，又f对作

用，作用范围不变，所以g（x）•二D，解得的定义域。

例1.设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为

解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）又f对Inx作用, 作用范围不变，所以

解得，故函数的定义域为（1，e)

例2.若函数，则函数的定义域为

解析：先求f的作用范围, ，知

即f的作用范围为，又f对f（x）作用

所以，即中x应满足

故函数的定义域为

（2）、已知的定义域，求的定义域

思路：设的定义域为D，，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用, 作用范围不变，所以的定义域。

例3.已知的定义域为，则函数的定义域为

解析: 的定义域为，即，由此得

所以f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以