高中数学学案：圆的方程

高中数学学案:圆的方程
1. 掌握圆的标准方程和圆的一般方程，理解方程中各字母参数的实际意义.
2. 能根据已知条件合理选择圆的方程的形式，并运用待定系数法求出圆的方程. 注重数形结合的思想方法，并灵活运用平面几何的知识解决有关圆的问题.
3. 会进行圆的标准方程与一般方程的互相转化，熟练掌握配方法的应用.
1. 阅读:必修2第107～110页.
2. 解悟:①圆的标准方程和一般方程的结构有什么特征？其中各参数有怎样的含义？②方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆需要什么条件？③圆的标准方程和一般方程如何转化？
3. 践习:在教材空白处，完成必修2第111页练习第3、4、5题.
基础诊断
1. 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则实数a 的值为 －1 ；若方程x 2＋y 2＋
4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围为 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，14∪(1，＋∞) . 解析:若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则⎩⎨⎧a 2＝a ＋2≠0，
⎝ ⎛⎭⎪⎫2a a ＋22－4a a ＋2>0，解得a ＝－1.若x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则4m 2－5m ＋1>0，解得m<14或m>1.
2. 已知A ，B 两点的坐标分别为(0，4)，(4，6)，则以AB 为直径的圆的标准方程为 (x －2)2＋(y －5)2＝5 .
解析:由题意得，圆心即AB 的中点(2，5)，半径为12AB ＝12（0－4）2＋（4－6）2＝5，
故以AB 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －5)2＝5.
3. 已知圆过点(1，2)，圆心在y 轴上，半径为1，则该圆的方程为 x 2＋(y －2)2＝1 Ｗ. 解析:设圆心坐标为(0，b)，则由题意知（0－1）2＋（b －2）2＝1，得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.
4. 如果点P(1，1)在圆(x －a)2＋(y －a)2＝4的内部，那么实数a
解析:由题意得(1－a)2＋(1－a)2<4，解得1－2<a<1＋ 2.
范例导航
考向❶ 确定圆的方程
例1 分别求满足下列条件的圆的方程:
(1) 已知圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x －y －2＝0上；
(2) 经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)；
(3) 已知圆C:x 2＋y 2＋4x －12y ＋39＝0，直线l:3x －4y ＋5＝0，求圆C 关于直线l 对称的圆的方程.
解析:(1) 设所求圆的圆心C(a ，b)，
因为CA ＝CB ＝r ，点C 在直线3x －y －2＝0上，
所以⎩⎨⎧（a －3）2＋（b －1）2＝（a ＋1）2＋（b －3）2，3a －b －2＝0，
解得a ＝2，b ＝4，r ＝10.
故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10.
(2) 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 因为该圆经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)，分别代入，得⎩⎨⎧D －E ＋F ＝－2，
D ＋4
E ＋
F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，
解得⎩⎨⎧D ＝－7，
E ＝－3，
F ＝2，
故所求圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.
(3) 由已知得，圆C 的圆心为C(－2，6)，半径为1.
设圆D 与圆C 关于直线l 对称，设D(a ，b)，则有
⎩⎪⎨⎪⎧3·a －22－4·b ＋62＋5＝0，b －6a ＋2＝－43，
解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－2， 故所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋2)2＝1.
圆经过点A(2，－3)和B(－2，－5).
(1) 若圆的面积最小，求圆C 的方程；
(2) 若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程.
解析:(1) 要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径，
圆心C(0，－4)，半径r ＝12AB ＝5，
所以圆C 的方程为x 2＋(y ＋4)2＝5.
(2) 因为k AB ＝12，AB 的中点为(0，－4)，
所以AB 中垂线方程为2x ＋y ＋4＝0，
解方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，
所以圆心为(－1，－2)，则半径r ＝10，
所以所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.
考向❷ 含参的圆的方程问题
例2 已知圆C 的方程x 2＋y 2－2ax ＋2y ＋a ＋1＝0.
(1) 若圆C 上任意点A 关于直线l:x ＋2y －5＝0的对称点也在圆上，求实数a 的值；
(2) 求圆心C 到直线ax ＋y －a 2＝0距离的取值范围.
解析:(1) 将圆C 的方程配方得(x －a)2＋(y ＋1)2＝a 2－a.
由题意知圆心C(a ，－1)在直线l:x ＋2y －5＝0上，即a －2－5＝0，所以a ＝7.
(2) 由圆方程可知， a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0.
由方程得圆心C (a ，－1)到直线ax ＋y －a 2
＝0的距离d ＝|a 2－1－a 2|a 2＋1＝1a 2＋1. 因为a ＞1或a ＜0，所以a 2＋1＞1，
所以0＜d ＜1，
所以所求距离的取值范围为(0，1).
已知圆C 经过不同的三点P(m ，0)，Q(2，0)，R(0，1)，且CP 的斜率为－1.
(1) 求圆C 的方程；
(2) 过原点O 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，且l 1交圆C 于E ，F 两点，l 2交圆C 于G ，H 两点，求四边形EGFH 面积的最大值.
解析:(1) 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则点C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－D 2，－E 2. 因为圆C 经过不同的三点P(m ，0)，Q(2，0)，R(0，1)，且CP 的斜率为－1，
所以⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，－D 2＝2＋m 2，－E 2－0
－D 2－m
＝－1，解得⎩⎨⎧D ＝1，E ＝5，F ＝－6，m ＝－3，
故圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.
(2) 由(1)得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－52，R ＝52
，设圆心C 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1，d 2， 则d 21＋d 22
＝OC 2＝132. 又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫EF 22＋d 21＝R 2，⎝ ⎛⎭
⎪⎫GH 22＋d 22＝R 2， 两式相加，得EF 2＋GH 2＝74≥2EF·GH ，当且仅当EF ＝GH ＝37时取等号，
所以S 四边形EGFH ＝12EF·GH ≤372，即四边形EGFH 面积最大为372.
【备用题】 已知点(x ，y)在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上.求:
(1) x ＋y 的最大值和最小值；
(2) y x 的最大值和最小值；
(3) x 2＋y 2的取值范围.
答案:(1) x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1.
(2) y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.
(3) x 2＋y 2的取值范围是[14－213，14＋213].
自测反馈
1. 当m ＝ 2 时，方程mx 2＋my 2－4(m －1)x ＋4y ＝0表示的圆的面积最小.
解析:因为mx 2＋my 2
－4(m －1)x ＋4y ＝0，化为标准方程为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2（m －1）m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2m 2＝4（m －1）2＋4m 2，所以R 2＝4（m 2－2m ＋2）m 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2－2m ＋1＝8⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m －122＋2，当1m －12＝0，即m ＝2时，R 2取最小值，此时圆的面积最小.
2. 已知点P(2，1)在圆C:x 2＋y 2＋ax －2y ＋b ＝0上，P 关于直线x ＋y －1＝0对称的点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为 (0，1) ，半径为 2 .
解析:由题意知圆心C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a 2，1在直线x ＋y －1＝0上，所以－a 2＋1－1＝0，得a ＝0，所以圆心C(0，1)，半径r ＝（2－0）2＋（1－1）2＝2.
3. 已知圆C 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，下列结论正确的是 ①②③ Ｗ.(填序号) ①当a 2＋b 2＝r 2时，圆C 必过原点；②当a ＝r 时，圆C 与y 轴相切；③当b ＝r 时，圆C 与x 轴相切；④当b<r 时，圆C 与x 轴相交.
解析:①②③正确；当b<r 时，圆心到x 轴的距离为|b|，只有当|b|<r 时，圆与x 轴相交，而b<r 不能保证|b|<r ，故④错.
4. 已知圆C:x 2＋(y ＋4)2＝4，点A(－2，0)，B(2，0)，P(x ，y)是圆C 上的任意一点，则PA 2＋PB 2的取值范围为 [16，80] Ｗ.
解析:PA 2＋PB 2＝(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝2(x 2＋y 2)＋8.又因为P(x ，y)是圆C 上的任意一点，设x 2＋y 2＝r 2，则r ∈[OC －2，OC ＋2]，即r ∈[2，6]，所以x 2＋y 2∈[4，36]，所以PA 2＋PB 2∈[16，80].
1. 熟练掌握圆的标准方程和圆的一般方程，熟练掌握由圆的标准方程和一般方程求圆心和半径.
2. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，同样用代数方法(方程)研究圆时，确定一个圆需要三个独立的条件，反映在圆的标准方程中，有三个参数a ，b ，r ；反映在圆的一般方程中也有三个参数D ，E ，F.在求圆的方程时要根据具体条件选择适当的形式通过待定系数法解方程(组)得到.
3. 你还有哪些体悟，写下来:。