高中数学学案：圆的方程

高中数学学案:圆的方程

1. 掌握圆的标准方程和圆的一般方程，理解方程中各字母参数的实际意义.

2. 能根据已知条件合理选择圆的方程的形式，并运用待定系数法求出圆的方程. 注重数形结合的思想方法，并灵活运用平面几何的知识解决有关圆的问题.

3. 会进行圆的标准方程与一般方程的互相转化，熟练掌握配方法的应用.

1. 阅读:必修2第107～110页.

2. 解悟:①圆的标准方程和一般方程的结构有什么特征？其中各参数有怎样的含义？②方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆需要什么条件？③圆的标准方程和一般方程如何转化？

3. 践习:在教材空白处，完成必修2第111页练习第3、4、5题.

基础诊断

1. 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则实数a 的值为 －1 ；若方程x 2＋y 2＋

4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围为 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－∞，14∪(1，＋∞) . 解析:若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则⎩⎨⎧a 2＝a ＋2≠0，

⎝ ⎛⎭⎪⎫2a a ＋22－4a a ＋2>0，解得a ＝－1.若x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则4m 2－5m ＋1>0，解得m<14或m>1.

2. 已知A ，B 两点的坐标分别为(0，4)，(4，6)，则以AB 为直径的圆的标准方程为 (x －2)2＋(y －5)2＝5 .

解析:由题意得，圆心即AB 的中点(2，5)，半径为12AB ＝12（0－4）2＋（4－6）2＝5，

故以AB 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －5)2＝5.

3. 已知圆过点(1，2)，圆心在y 轴上，半径为1，则该圆的方程为 x 2＋(y －2)2＝1 Ｗ. 解析:设圆心坐标为(0，b)，则由题意知（0－1）2＋（b －2）2＝1，得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.

4. 如果点P(1，1)在圆(x －a)2＋(y －a)2＝4的内部，那么实数a

解析:由题意得(1－a)2＋(1－a)2<4，解得1－2

范例导航

考向❶ 确定圆的方程

例1 分别求满足下列条件的圆的方程:

(1) 已知圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x －y －2＝0上；

(2) 经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)；

(3) 已知圆C:x 2＋y 2＋4x －12y ＋39＝0，直线l:3x －4y ＋5＝0，求圆C 关于直线l 对称的圆的方程.

解析:(1) 设所求圆的圆心C(a ，b)，

因为CA ＝CB ＝r ，点C 在直线3x －y －2＝0上，

所以⎩⎨⎧（a －3）2＋（b －1）2＝（a ＋1）2＋（b －3）2，3a －b －2＝0，

解得a ＝2，b ＝4，r ＝10.

故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10.

(2) 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 因为该圆经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)，分别代入，得⎩⎨⎧D －E ＋F ＝－2，

D ＋4

E ＋

F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，

解得⎩⎨⎧D ＝－7，

E ＝－3，

F ＝2，

故所求圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.

(3) 由已知得，圆C 的圆心为C(－2，6)，半径为1.

设圆D 与圆C 关于直线l 对称，设D(a ，b)，则有

⎩⎪⎨⎪⎧3·a －22－4·b ＋62＋5＝0，b －6a ＋2＝－43，

解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－2， 故所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋2)2＝1.

圆经过点A(2，－3)和B(－2，－5).

(1) 若圆的面积最小，求圆C 的方程；

(2) 若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程.

解析:(1) 要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径，

圆心C(0，－4)，半径r ＝12AB ＝5，

所以圆C 的方程为x 2＋(y ＋4)2＝5.

(2) 因为k AB ＝12，AB 的中点为(0，－4)，

所以AB 中垂线方程为2x ＋y ＋4＝0，

解方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，

所以圆心为(－1，－2)，则半径r ＝10，

所以所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.

考向❷ 含参的圆的方程问题

例2 已知圆C 的方程x 2＋y 2－2ax ＋2y ＋a ＋1＝0.

(1) 若圆C 上任意点A 关于直线l:x ＋2y －5＝0的对称点也在圆上，求实数a 的值；

(2) 求圆心C 到直线ax ＋y －a 2＝0距离的取值范围.

解析:(1) 将圆C 的方程配方得(x －a)2＋(y ＋1)2＝a 2－a.

由题意知圆心C(a ，－1)在直线l:x ＋2y －5＝0上，即a －2－5＝0，所以a ＝7.

(2) 由圆方程可知， a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0.

由方程得圆心C (a ，－1)到直线ax ＋y －a 2

＝0的距离d ＝|a 2－1－a 2|a 2＋1＝1a 2＋1. 因为a ＞1或a ＜0，所以a 2＋1＞1，

所以0＜d ＜1，

所以所求距离的取值范围为(0，1).

已知圆C 经过不同的三点P(m ，0)，Q(2，0)，R(0，1)，且CP 的斜率为－1.

(1) 求圆C 的方程；