课时达标训练(三)

[即时达标对点练]
题组1 充分、必要条件的判断
1．“数列{a n }为等比数列”是“a n ＝3n (n ∈N *)”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和2x －2ay ＝1平行”的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．“sin A ＝12”是“A ＝π6
”的__________条件． 题组2 充要条件的证明
5．函数y ＝(2－a )x (a <2且a ≠1)是增函数的充要条件是 ( )
A ．1< a <2 B.32
< a <2 C ．a <1 D ．a <0
6．求证：一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0.
题组3 利用充分、必要条件求参数的范围
7．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是
( )
A ．a <0
B ．a >0
C ．a <－1
D ．a <1
8．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________．
9．已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x | x 2－5 x －24<0}，若N 是M 的必要条件，求a 的取值范围．
[能力提升综合练]
1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C ．丙是甲的充要条件
D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
2．设0<x <π2
，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1 ”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β
B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥β
C ．存在两条平行直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α
D ．存在两条异面直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α
4．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分不必要条件是－2< x <－1，则a 的取值范围是________．
6．下列命题：
①“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充要条件；
②b 2－4ac <0是一元二次不等式a x 2＋b x ＋c <0解集为R 的充要条件；
③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件；
④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0 ”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为________．
7．已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
8．已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选B 当a n ＝3n 时，{a n }一定为等比数列，但当{a n }为等比数列时，不一定有a n ＝3n ，故应为必要不充分条件．
2. 解析：选A 由a ＋b ＝0可知a ，b 是相反向量，它们一定平行；但当a ∥b 时，不一定有a ＋b ＝0，故应为充分不必要条件．
3. 解析：选C 当a ＝0时，两直线方程分别为x ＝1和2x ＝1，显然两直线平行；反之，若两直线平行，必有1×(－2a )＝(－2a )×2，解得a ＝0，故应为充要条件．
4. 解析：由sin A ＝12不一定能推得A ＝π6，例如A ＝5π6等；但由A ＝π6
一定可推得sin A ＝12，所以“sin A ＝12”是“A ＝π6
”的必要不充分条件． 答案：必要不充分
5. 解析：选C 由指数函数性质得，当y ＝(2－a )x (a <2且a ≠1)是增函数时，2－a >1，解得a <1.故选C.
6. 证明：①充分性：如果b ＝0，那么f (x )＝kx ，
因为f (－x )＝k (－x )＝－kx ，
即f (－x )＝－f (x )，
所以f (x )为奇函数．
②必要性：因为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数，
所以f (－x )＝－f (x )对任意x 均成立，
即k (－x )＋b ＝－kx ＋b ，
所以b ＝0.
综上，一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0.
7. 解析：选C ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．
由于{a|a<－1}{a|a<0}，故选C .
8. 解析：x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23
.
答案：－23 9. 解：由(x －a )2<1，得a －1<x <a ＋1，
由x 2－5 x －24<0，得－3<x <8.
∵N 是M 的必要条件，
∴M ⊆N .
故a 的取值范围为[－2，7]．
能力提升综合练
1. 解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙
丙，
如图．
综上，有丙⇒甲，但甲丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
2. 解析：选B 因为0< x <π2
，所以0<sin x <1.由x ·sin x <1知x sin 2x <sin x <1，因此必要性成立．由x sin 2x <1得x sin x < ，而>1，因此充分性不成立．
3. 解析：选D 当满足A 、B 、C 三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D 符合．
4. 解析：选C { a n }为等比数列，a n ＝a 1·q n －
1，由a 1<a 2<a 3，得a 1<a 1 q <a 1 q 2，即a 1>0，q >1或a 1<0，0< q <1，则数列{ a n }为递增数列．反之也成立．
5. 解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1){ x |( a ＋x )(1＋x )<0}，故有a >2.
答案：(2，＋∞)
6. 解析：①x >2且y >3时，x ＋y >5成立，反之不一定，如x ＝0，y ＝6.所以“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R 的充要条件是a <0且b 2－4ac <0，故②为假命题；
③当a ＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a 1＝21
，∴a ＝2.因此，“a ＝2”是“两直线平行”的充要条件；
④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0，
∴xy ＝1且x >0，y >0.
所以“lg x ＋lg y ＝0”成立，xy ＝1必然成立，反之不然．
因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．
综上可知，真命题是④.
答案：④
7. 解：令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，则方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2k －1）2－4k 2≥0，－2k －12>1，f （1）>0⇔k <－2.
因此k <－2是使方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根的充要条件．
8. 解：依题意a >0.由条件p ：|x －1|>a ，
得x －1<－a 或x －1>a ，
∴x <1－a 或x >1＋a .
由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12
或x >1. 要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有
⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a >1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a <12，1＋a ≥1，
解得a ≥12
.令a ＝1，则p ：x <0或x >2， 此时必有x <12
或x >1. 即p ⇒q ，反之不成立．
∴最小正整数a ＝1.。