定积分的基本概念

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定积分的知识点总结

定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。

定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。

定积分的符号表示为∫。

对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。

定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。

二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。

这就是定积分的计算方法。

在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。

这就是黎曼和的基本思想。

2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。

对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。

这个面积就是曲线下的面积。

如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。

3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。

在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。

对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。

其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。

《定积分定义》课件

定积分的计算
定积分的计算涉及到将被积函数与区间长度进行乘积，并对所有这些乘积求和。
定积分的几何意义
面积
定积分可以用来计算平面图形在某个区间上的面积，特别是当这些图形由直线、抛物线、圆等基
本图形组成时。
体积
在三维空间中，定积分可以用来计算旋转体等复杂几何体的体积。
物理意义
在物理学中，定积分常用于计算变力在某个区间上做的功、曲线运动的位移等。
物理中的定积分应用
总结词
在物理学中，定积分常用于解决与速度、加速度、功等相关的物理问题。
详细描述
在物理学中，定积分的应用非常广泛。例如，在分析质点的运动时，可以利用定积分计算质点的速度、加速度和位移；在分析弹性体的应力分布时，可以利用定积分计算弹性体内各点的应力值。此外，定积分还在电磁
学、光学等领域有着广泛的应用。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将被积函数分解为两个函数的乘积，然后分别积分，最后求和得到结果的方法。
详细描述
分部积分法需要掌握分部积分的公式和计算技巧，如u和v的选取、分部积分的步骤等。通过分部积分，可以将复杂的积分转化为容易计算的积分，或者将不易找到原函数的
积分转化为容易找到原函数的积分。
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体的体积时发挥了重要作用，可以应用于旋转体体积的计算。
详细描述
定积分在计算旋转体的体积时非常有用。例如，利用定积分可以计算圆柱、圆锥、球等旋转体的体积。这些体积的计算公式都是通过将旋转体划分为若干个小薄片，然后利用定积分的性质计算这些小薄片的体积总和得到的。
04
定积分的应用
平面图形面积的计算
总结词

定积分的概念和基本思想

定积分的概念和基本思想一、定积分的概念和基本思想1、定积分的概念一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0<x_l<$$\cdots<$$x_{i-l}<x_i<$S\cdots<$$x_n=b$将区间$ la, b] S等分成$n$ 个小区间，在每个小区间$[x_{iT},x_i]$上任取一点$ C _i (i=l, 2, \cdots, n)$,作和式$\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}f(4 _i)Ax=$$\underset{i=l}{\overset {n} {\sum ))\frac(b-a} {n}f(C_i)$,当Sn-8$时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数$f (x) $在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int_{a} * (b}f (x) (\rm d}x$,即$\int_{a}*{b}f(x){\rmd}x=$$\underset(n~* °°}{\lim}\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}\frac{b_ a}{n}f(g_i)$,这里,$a$与$b$分别叫做积分下限与积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量,$f(x) {\rm d}x$叫做被积式。

(1)定积分$\int_{a}*{b}f(x) {\rm d}x$不是一个函数式,而是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即$\int_{a}*{b}f(x){\rm d}x=$S\int_{a}*{b}f(t)(\rm d}t=$$\int_{a}*{b}f(u){\rm d}u$o(2)定义中区间的分法和$ g _i$的取法是任意的。

2、定积分的基本思想定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的而积时，将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。

定积分的基本概念

方法与手段导入幻灯幻灯幻灯幻灯详讲详讲详讲幻灯下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。

事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。

好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。

解决步骤：大化小：在区间[a,b]中任意插入n −1个分点a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n−1=b ，用直线x =x i 将一个曲边梯形分成n 个小的曲边梯形；常带变：在第k 个窄边梯形上任取ξk ∈[x k−1,x k ]作以[x k−1,x k ]为底，f(ξk )为高的小矩形，并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积∆S k ，得∆S k ≈f (ξk )∆x k (∆x k =x k −x k−1,k =1,2,⋯n) 近似和：S =∑∆S k n k=1≈∑f(ξk )∆x k n k=1取极限：令λ=max {∆x 1,∆x 2⋯,∆x n } S =lim λ→0∑∆S k n k=1=lim λ→0∑f(ξk )∆x k n k=1这样我们就可以求出曲边梯形的面积，我们再看一个定积分问题例子。

（2）变速直线运动的路程：设某物体做直线运动，已知()v v t =在区间[1T ,2T ]上t 的连续函数，且()0v t ≥，求在这段时间内物体所经过的路程s 。

考虑：当()0y f x C ==≥，()0v v t C ==≥时（其中C 为常数），上面问题的求解。

在解决这个问题之前我们先分析一下这个问题与上个问题之间的关系，我们可以发现其实求路程和求面积本身是同一类问题，变化的无非是函数名，区间名称，本质上是一样的，我们其实只需做一个按照上面的思路做一个变量替换就可以了，具体的解决步骤是。

解决步骤：详讲总结λ→0是个障碍，我们能不能把λ→0替换掉？其实把[0,1]区间n 等分，λ=1n →0，其实就是n →+∞，lim n→+∞∑(k n )21n n k=1，要求这个极限我需要先求∑(k n )21n n k=1，化简一下可以得到1n 3∑k 2n k=1，∑k 2n k=1=？，∑k 2n k=1=16n(n +1)(2n +1)，lim n→+∞∑(k n )21n n k=1=lim n→+∞n(n+1)(2n+1)6n 3=13。

定积分的基本概念

定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。

也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。

2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。

（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。

（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。

（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。

二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。

2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。

三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。

定积分概念、性质ppt课件

上例曲边图形的面积用定积分表示
S1x2d x lin m (n 1 )2 (n 1 )1
0
n 6 n 3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定：
a
f(x)d x0,
b
a
f(x)d x f(x)dx
b f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
推2 论：b
.
f(x)d
x
b
f（ x） dx,(ab)
a
a
因f(x)f(x)f(x)
.
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最
小值m，于是，由性质5有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
几何意义也很明显
性质 7（积分中值若定函理 f(数 x)）在[a： ,b]上连续，
S曲
lim n
n i 1
S i矩
lim
n
(n
1)( 2n 6n 2
1)
1 0.333 3
.
总结：求曲边梯形面积的步骤 v
引例1——曲边梯形的面积（演示）引例2——变速直线运动的路程
设物体的运动速度 vvt
分割区间作和
取近似值取极限
T1
ti-1 i ti T2 t
（1）细分区间 [ T 1 ,T 2 ] [ T 1 ,t 1 ] U [ t 1 ,t2 ] U L U [ tn 1 ,T 2 ]
曲边梯形的面积，即：
n
S曲
.
lim
n i1

定积分和积分

定积分和积分
定积分和积分是高等数学中的两个基本概念。

定积分是用来求曲线下面所围成的面积的概念，通常表示为∫abf(x)dx。

其中，a和b 表示积分区间，f(x)表示被积函数。

积分则是对函数进行求和的运算，通常表示为∫f(x)dx。

在实际应用中，积分可以用来求函数的面积、体积、平均值等。

从计算方法上来说，定积分和积分有很大的区别。

定积分是通过将积分区间分成若干小区间，然后对每个小区间进行面积的计算和求和得到的。

而积分则是通过将函数进行无限分割，然后对每个小区间进行求和得到的。

无论是定积分还是积分，在高等数学中都有着重要的应用。

在微积分、物理学、工程学等领域中，这两个概念都是必不可少的工具。

因此，对于学习高等数学的学生来说，深入理解定积分和积分的概念和应用，是非常重要的。

- 1 -。

高二数学-定积分概念-课件

0
( x f (t)dt)2
0
( x f (t)dt)2
0
0
依题意，在[0, x](x 0)上, f (t) 0, (x t) f (t) 0,
且(x t) f (t) 0,故
x
f (t)dt 0,
x
(x t) f (t)dt 0,
0
0
F(x) 0(x 0),从而F(x)在(0,)内单调增加。
(2) lim 4 sin n xdx 0. n 0
解：（利用积分中值定理）
(1)
1 2
xn
dx
n
(1 0)
(0 1)
0 1 x 1 2
2
原式 lim n 0.
n 2(1 )
(2)
4
sin
n
xdx
sin
n
(
0)
0
4
原式 lim sin n 0.
n 4
(0 )
n
n
(iii)求和： A Ai f (i )xi
i1
i1
o a xi1i xi
bx
(iv)取极限：令 max{ x1,xn}，则曲边梯形面积
n
A lim 0 i1
f (i )xi
1.定积分定义设函数f(x)在[a,b]上有界，
(i)分割：在[a,b]内插入若干个分点a x0 xn1 xn b，
x
0
(1) (1) 2
例4 设f (x)在[0,)内连续，且f (x) 0.证明
x
tf (t)dt
F(x)
0 x
在(0,)内卫单调增加函数。
0 f (t)dt
证
x
x

积分与定积分概念

积分与定积分概念积分和定积分是微积分中非常重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。

本文将介绍积分和定积分的概念、性质以及在实际问题中的应用。

一、积分的概念积分是微积分中的一个基本概念，它是求解曲线下面积的一种方法。

对于一个函数f(x)，它的积分可以用∫f(x)dx表示，其中∫是积分符号，f(x)是被积函数。

积分的结果可以看作是函数f(x)在某个区间上的“累积”。

二、定积分的概念定积分是积分的一种特殊形式，它是从a到b的区间上的积分。

定积分可以用∫[a,b]f(x)dx表示，其中[a, b]表示积分的区间。

定积分的结果是一个具体的数值，代表了函数f(x)在[a, b]区间上的累积值。

三、积分与定积分的性质1. 积分的线性性质：对于两个函数f(x)和g(x)，以及一个标量k，有∫(kf(x) + g(x))dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx。

这个性质可以简化积分的计算过程。

2. 定积分与导数的关系：如果函数F(x)是函数f(x)的一个原函数（即F'(x) = f(x)），那么∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。

这个性质可以用来求解定积分的值。

3. 定积分的区间可加性：如果函数f(x)在[a, c]和[c, b]上都是可积的，那么∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。

这个性质可以将一个区间上的积分分解成两个子区间上的积分。

四、积分在实际问题中的应用1. 曲线下面积：积分可以用来计算曲线与x轴之间的面积。

例如，在物理学中，利用定积分可以求解物体的位移、速度等问题。

2. 几何体的体积：积分可以用来计算几何体的体积。

例如，在工程学中，利用定积分可以求解复杂形状的建筑物的体积。

3. 概率密度函数：积分可以用来计算概率密度函数下的概率。

在统计学中，利用定积分可以计算出某个区间内随机变量的概率。

总结：积分和定积分是微积分中的重要概念，它们可以用来求解函数的累积值、曲线下的面积等实际问题。

定积分的概念

04
定积分的应用
面积计算
几何图形面积
定积分可用于计算各种几何图形的面积，如矩形、圆形、三角形等。通过选取适当的积分变量和积分区间，可以将面积表示为定积分的形式，进而求出面积。
参数方程面积
对于由参数方程定义的曲线所围成的图形，也可以利用定积分计算其面积。通过消去参数，将参数方程转化为直角坐标方程或极坐标方程，再利用定积分进行计算。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将不定积分的被积函数拆分成两个或多个函数的乘积，利用乘积法则进行分部积分，从而简化计算过程。
VS
详细描述
分部积分法的基本思想是将不定积分的被积函数拆分成两个或多个函数的乘积，然后利用乘积法则进行分部积分。这种方法需要掌握基本的乘积法则和分部积分公式，并能够灵活运用以解决复杂的不定积分问题。
起考虑，以确定函数值的累积结果。
特殊情况的积分上下限
当积分区间是无限区间时，积分上下限可能是无穷大或无穷小的情况。这些特殊情况的积分上下限需要特殊处理和考虑。
02
定积分的性质
线性性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对每个函数进行积分后再求和或求差。
具体形式
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量替换原不定积分中的变量，将复杂的不定积分转化为简单的不定积分，从而简化计算过程。
详细描述
换元积分法的基本思想是将原不定积分中的变量替换为另一个变量，使得新的不定积分更易于计算。这种方法需要灵活运用变量代换技巧，选择合适的代换公式，将复杂的不定积分转化为简单的不定积分。
应用
积分中值定理在解决定积分问题时非常有用，特别是当我们需要找到一个特定的点，使得函数在该点的值等于整个区间的定积分时。

定积分的定义与计算技巧

定积分的定义与计算技巧定积分是微积分中的重要概念之一，常用于计算曲线下的面积、求解物体的质量和质心等问题。

本文将介绍定积分的定义以及一些常用的计算技巧。

一、定积分的定义定积分的定义基于Riemann和，其一维形式可以表示为以下形式：∫[a,b] f(x) dx = lim(n→∞) ∑[i=1 to n] f(xi) Δx其中，∫表示定积分符号，[a,b]为积分区间，f(x)为需要积分的函数，dx表示自变量的微小增量，lim表示极限，Σ表示求和，n表示分割区间的个数，xi表示选取的每个子区间中的任意一点，Δx表示子区间的长度。

按照这个定义，我们可以逐步将区间[a,b]等分为n个小区间，并在每个小区间内选择一个xi，然后将每个小区间内的函数值乘以Δx（子区间长度）并相加，最后取极限，即可得到定积分的解。

二、定积分的计算技巧1. 基本积分表在计算定积分时，我们通常会遇到一些常见函数的积分。

这些积分可以通过积分表得到，包括幂函数、三角函数、指数函数等。

熟练掌握这些基本积分表可以大大简化计算过程。

2. 分部积分法当被积函数是两个函数的乘积时，可采用分部积分法进行化简。

分部积分法的公式为：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx通过不断地应用分部积分法，可以将原始的积分化简成更为简单的形式。

3. 替换变量法有时我们可以通过变量替换将不易计算的定积分转化为更为简单的形式。

常见的变量替换包括三角替换、指数替换等。

通过巧妙地选择替换变量，可以将积分问题转化为更易处理的形式。

4. 利用对称性在某些情况下，函数具有对称性，可以利用对称性简化定积分计算。

例如，当被积函数是奇函数时，其积分结果一定为0；当被积函数是偶函数时，积分结果可以通过将积分区间取两倍再除以2来计算。

5. 切割法对于一些具有不连续性的函数，可以通过切割法将定积分问题转化为多个简单的积分问题。

将原始积分区间切割为多个子区间，在每个子区间上分别计算积分，最后将结果相加即可得到原始问题的解。

定积分知识复习总结

定积分知识总结一、基本概念和性质（1）定义[]()[]())()(lim )()()(,,,,0max ...,)()(lim lim )(11111111011-=∞→-=----∞→∞→=∞→-⋅-⋅=-⋅≈=→-∞→==-⋅=⋅∑∑∑∑⎰i i ni i n i i ni i i i i i i i i i i i i i i i i n i nn i n ni iban x x f x x f S x x f S I S I S I x x I x x n b x x x a n b a x x f S dx x f ξξξξξ④求极限：即③求和：，上任取一点在上用矩形代替在上的代数面积为在②记时，要求当＜＜＜个小区间，区间分成①把的定义：[]dxx g dx x f dx x g x f ab babababa⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅-=⎰⎰⎰⎰)()()()(12βαβα②线性运算性质：①）定积分的性质（)()()(=⋅⋅-=⋅⎰⎰⎰aaabba dx x f dxx f dx x f()））（定要求的区间可积即可，不一其中，包含③区间的可加性：b a c c b a dxx f dx x f dx x f bccaba,,,()()()(∈⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰[][][][]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⋅≥≡=⋅≥⋅≥⋅≥≥⋅≥babababab abadxx g dx x f x g x f x g x f b a x g x f x f x f dx x f x f x f b a x f dxx g dx x f x g x f b a x g x f dx x f x f b a x f )()(),()(),()(,)(),(0:0)(00:0)(0)(0)(0)(,)()()(),()(,)()(0)(0)(,)(＞则：不恒等于且上连续，在区间推论：若区间上都等于则是指在整个；，也可能整个区间均为可能个别点上等于＞，则不恒等于，上连续，在⑥若则上可积且在，⑤若，则上可积且在④ [][][][][])()()(,,)()()()(,)(,)()()(,)(a b f dx x f b a b a x f a b M dx x f a b m M m b a x M x f m b a x f dxx f dx x f b a x f bababa ba-⋅=⋅∈-≤⋅≤-∈≤≤⋅≤⋅⎰⎰⎰⎰ξξ，使得：点上连续，则至少存在一在闭区间若⑨（积分中值定理）均为常数，则：，，，上可积，在⑧若上可积，则在⑦若二、微积分基本公式1、积分上限函数及其导数定义：设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，对于任意],[b a x ∈，)(x f 在区间],[x a 上也连续，所以函数)(x f 在],[x a 上也可积.显然对于],[b a 上的每一个x 的取值，都有唯一对应的定积分⎰xadt t f )(和x 对应，因此⎰xadt t f )(是定义在],[b a 上的函数.记为⎰=Φxadt t f x )()(，],[b a x ∈.称)(x Φ叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.定理1：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则⎰=Φxadt t f x )()(在],[b a 上可导，且)()()()(b x a x f dt t f dxd x xa ≤≤==Φ'⎰定理2、3：如果)(x f 在区间],[b a 上连续，则它的原函数一定存在，且其中的一个原函数为⎰=Φxadt t f x )()(.2、牛顿——莱布尼茨公式定理4（微积分基本公式）如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且)(x F 是)(x f 的任意一个原函数，那么⎰-=b aa Fb F dx x f )()()(.证由定理5.2知，⎰=Φx adt t f x )()(是)(x f 在区间],[b a 的一个原函数，则)(x Φ与)(x F 相差一个常数C ，即C x F dt t f x a+=⎰)()(.又因为C a F dt t f a a+==⎰)()(0，所以)(a F C -=.于是有)()()(a F x F dt t f x a -=⎰.所以 ⎰-=baa Fb F dx x f )()()(成立.为方便起见，通常把)()(a F b F -简记为ba x F )(或b a x F )]([，所以公式可改写为)()()()(a F b F x F dx x f b a b a-==⎰三、定积分的积分法1、定积分的换元积分法定理1设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，并且满足下列条件：（1）)(t x ϕ=，且)(αϕ=a ，)(βϕ=b ；（2）)(t ϕ在区间],[βα上单调且有连续的导数)(t ϕ'；（3）当t 从α变到β时，)(t ϕ从a 单调地变到b . 则有⎰⎰'=b adt t t f dx x f βαϕϕ)()]([)(上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点：①从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法.计算时，用把原积分变量换成新变量，积分限也必须由原来的积分限和相应地换为新变量的积分限和，而不必代回原来的变量，这与不定积分的第二换元法是完全不同的.②从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法（即凑微分法）.一般不用设出新的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿—莱布尼兹公式求出定积分的值. 2、定积分的分部积分法设函数)(x u u =和)(x v v =在区间],[b a 上有连续的导数，则有)()()]()([)()(x du x v x v x u x dv x u bab ab a⎰⎰-=.上述公式称为定积分的分部积分公式.选取)(x u 的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.四、定积分的应用1、定积分应用的微元法为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积A 的方法和步骤： (1)将区间],[b a 分成n 个小区间，相应得到n 个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为i A ∆),2,1(n i =；(2)计算i A ∆的近似值，即i i i x f A ∆≈∆)(ξ（其中],[,11i i i i i i x x x x x --∈-=∆ξ）； (3)求和得A 的近似值，即i ni i x f A ∆≈∑=1)(ξ；(4)对和取极限得⎰∑=∆==→bai ni i dx x f x f A )()(lim 1ξλ.下面对上述四个步骤进行具体分析：第(1)步指明了所求量（面积A ）具有的特性：即A 在区间],[b a 上具有可分割性和可加性.第(2)步是关键，这一步确定的i i i x f A ∆≈∆)(ξ是被积表达式dx x f )(的雏形.这可以从以下过程来理解：由于分割的任意性，在实际应用中，为了简便起见，对i i i x f A ∆≈∆)(ξ省略下标，得x f A ∆≈∆)(ξ，用],[dx x x +表示],[b a 内的任一小区间，并取小区间的左端点x 为ξ，则A ∆的近似值就是以dx 为底，)(x f 为高的小矩形的面积（如图5.7 阴影部分），即dx x f A )(≈∆.通常称dx x f )(为面积元素，记为dx x f dA )(=.将(3),(4)两步合并，即将这些面积元素在],[b a 上“无限累加”，就得到面积A .即⎰=ba dx x f A )(.一般说来，用定积分解决实际问题时，通常按以下步骤来进行：（1）确定积分变量x ，并求出相应的积分区间],[b a ；（2）在区间],[b a 上任取一个小区间],[dx x x +，并在小区间上找出所求量F 的微元dx x f dF )(=；（3）写出所求量F 的积分表达式⎰=ba dx x f F )(，然后计算它的值.利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法. 注能够用微元法求出结果的量F 一般应满足以下两个条件： ①F 是与变量x 的变化范围],[b a 有关的量；②F 对于],[b a 具有可加性，即如果把区间],[b a 分成若干个部分区间，则F 相应地分成若干个分量.2、定积分求平面图形的面积（1）直角坐标系下面积的计算(1)由曲线)(x f y =和直线0,,===y b x a x 所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述.(2)求由两条曲线)(),(x g y x f y ==，))()((x g x f ≥及直线b x a x ==,所围成平面的面积A （如图5.8所示）.下面用微元法求面积A . ①取x 为积分变量，],[b a x ∈.②在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，该区间上小曲边梯形的面积dA 可以用高)()(x g x f -，底边为dx 的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素dx x g x f dA )]()([-=. ③写出积分表达式，即⎰-=badx x g x f A )]()([.⑶求由两条曲线)(),(y x y x ϕψ==，))()((y y ϕψ≤及直线d y c y ==,所围成平面图形（如图5.9）的面积. 这里取y 为积分变量，],[d c y ∈，用类似 (2)的方法可以推出：⎰-=dcdy y y A )]()([ψϕ.（2）极坐标系下面积的计算设曲边扇形由极坐标方程)(θρρ=与射线)(,βαβθαθ<==所围成（如图5.13所示）.下面用微元法求它的面积A.以极角θ为积分变量，它的变化区间是],[βα，相应的小曲边扇形的面积近似等于半径为)(θρ，中心角为θd 的圆扇形的面积，从而得面积微元为θθρd dA 2)]([21=于是，所求曲边扇形的面积为 ⎰=βαθθρd A 2)]([21.3．定积分求体积 (1)旋转体的体积旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴.设旋转体是由连续曲线)0)()((≥=x f x f y 和直线b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成（如图5.15）.取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a ，在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，相应薄片的体积近似于以)(x f 为底面圆半径，dx 为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为dx x f dV 2)]([π=，于是，所求旋转体体积为dx x f V bax ⎰=2)]([π.(2)平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积.不妨设直线为x 轴，则在x 处的截面面积)(x A 是x 的已知连续函数，求该物体介于a x =和)(b a b x <=之间的体积（如图5.19）.取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a ，在微小区间],[dx x x +上)(x A 近似不变，即把],[dx x x +上的立体薄片近似看作)(x A 为底，dx 为高的柱片，从而得到体积元素dx x A dV )(=.于是该物体的体积为⎰=badx x A V )(.类似地，由曲线)(y x ϕ=和直线d y c y ==,及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成（如图5.16），所得旋转体的体积为dy y V dcy ⎰=2)]([ϕπ.。

《定积分的概念》课件

微积分基本定理是定积分计算的核心，它建立了定积分与不定积分之间的联系。
详细描述
微积分基本定理指出，一个定积分可以用被积函数的不定积分来表示。这个定理是计算定积分的基石，因为它提供了一种将定积分问题转化为求不定积分问题的途径。
பைடு நூலகம்
微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用广泛，包括计算面积、体积、速度和加速度等。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算各种物理量，如物体的运动速度、加速度，以及平面图形的面积等。这些应用在科学、工程和经济学等领域都有广泛的应用。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
VS
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定积分的方法；换元法是通过换元公式将复杂的积分转化为简单的积分；分部积分法则是通过将两个函数的乘积进行求导，再利用微积分基本定理计算定积分的方法。这些方法在解决实际问题时各有优缺点，需要根据具体情况选择合适的方法。
通过将物体的运动轨迹分割成无数小的线段，再利用定积分计算这些线
段上的速度和加速度的积分和，可以求得物体的整体速度和加速度。
定积分在经济学中的应用
计算边际成本和边际收益
在经济学中，定积分可以用于计算边际成本和边际收益，这是通过将成本或收益函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的成本或收益的积分和，可以求得整体的边际成本和边际收益。
预测市场需求
通过将市场需求函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的需求函数的积分和，可以预测整体的市场需求。
评估投资项目的风险
通过将投资项目的风险函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的风险函数的积分和，可以评估整体的投资项目的风险。

定积分的概念定积分应用

THANKS
谢谢
总结词
定积分在弹性力学中用于计算物体在受力作用下的应力和应变。
详细描述
在弹性力学中，物体在受力作用下的应力和应变可以通过将弹性力学方程与定积分相结合来计算。通过确定物体的受力分布和边界条件，可以计算出物体的应力和应变。
热传导中的温度分布
总结词
定积分在热传导中用于计算物体内部的温度分布。
详细描述
在热传导问题中，物体内部的温度分布可以通过将热传导方程与定积分相结合来计算。通过确定物体的热源、边界条件和初始温度分布，可以计算出物体在不同时刻的温度分布。
积分区间
由积分下限和积分上限确定的闭区间，表示为 $[a, b]$。
定积分的几何意义
定积分表示曲线与直线$y = x$ 及$x$轴所夹的面积，即曲线下
方间的距离。
当定积分的积分区间为$[a, b]$ 时，定积分的值等于曲线与直线 $y = x$及$x$轴所夹的面积在 $x=a$和$x=b$处的面积差。
恒力做功的计算
在物理学中，恒力做功可以直接用力和位移的乘积来计算。然而，当作用力是变力时，不能简单地用力和位移的乘积来计算。
定积分的引入
为了计算变力做功，我们需要引入定积分的概念。通过将变力函数在位移区间上进行积分，可以得到变力做功的值。
04
CHAPTER
定积分在经济学中的应用
边际和弹性
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
生产者剩余
定积分可用于计算消费者剩余，即消费者愿意支付的价格与实际支付的价格之间的差额。通过积分可以求出整个需求曲线下方的面积，即总消费者剩余。
定积分也可用于计算生产者剩余，即生产者愿意接受的价格与实际接受的价格之间的差额。通过积分可以求出整个供给曲线上方的面积，即总生产者剩余。

定积分辅导

第4讲定积分与微积分的基本定理★ 知识梳理 ★1、定积分概念定积分定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= ，将区间[,]a b 等分成几个小区间，在每一个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ= ，作和1()()ni i i b af xi f n ξξ=-∆=∑，当n →∞时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作1[,]i i x x -()b a f x dx ⎰，即1()l im ()nba i n ib a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰，这里a 、b 分别叫做积分的下限与上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式.2、定积分性质（1）()()bb a akf x dx k f x dx =⎰⎰；（2）1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （3）()()()()c b b a c a f x dx f x dx f x dx a c b +=<<⎰⎰⎰3、微积分基本定理一般地，如果()f x 是在[,]a b 上有定义的连续函数，()f x 是在[,]a b 上可微，并且'()()F x f x =，则()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式，为了方便，常常把()()F b F a -，记作()|ba F x ，即()()|()()b b a af x dx F x F b F a ==-⎰. 4．、常见求定积分的公式（1）11|(1)1b nn b aa x dx x n n +=≠-+⎰ （2）|b ba a cdx cx =⎰（C 为常数）（3）sin cos |b ba a xdx x =-⎰（4）cos sin |b b a a xdx x =⎰（5）1ln |(0)b b a a dx x b a x=>>⎰ （6）|b x x ba a e dx e =⎰ （7）|(01)ln xb xb a a a a dx a a a=>≠⎰且 ★ 重难点突破 ★1.重点：定积分的计算和简单应用。

定积分的概念和性质课件

i 1
f(ξｉ )
0
a x0 x1
x2 xi 1 ξｉxi
xn 1 x b n
x
（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之
分割越细， f (i )xi 就越接近于曲边梯形的面积A，当
和的极限就是曲边梯形面积A的精确值。 n
i 1
小区间长度最大值趋近于零，即
n
0（表示这些小区间的长度最大者）时，和式 f ( i )xi 的
b
• 证
[ f ( ) g ( )]x [ f ( x) g ( x)]dx lim
b a 0 i 1 n i i
n
i
lim f ( i )xi lim g ( i )xi
0
b i 1
n
0
i 1
f ( x)dx g ( x)dx
a
f ( x)dx f ( )(b a) ( a b)
这个公式叫积分中值公式。
证由性质6，有
m(b a) f ( x)dx M (b a)
a b
即有
1 b m f ( x)dx M a ba
因m、M分别是f ( x)的最小值和最大值，由连续函数的介值定理知，在[a，b]上至少存在一点，使得 1 b f ( x)dx f ( ) ba a
若f(x)≥0，则 a f ( x)dx 的几何意义表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。
b
一般情形,a f ( x)dx 的几何意义为：它是介于x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b 之间的各部分面积的代数和。
b
y

定积分与微积分基本定理.

3 ＝(x3－x2＋x)|－ 1＝24.
(2)
2 1 π
1 1 3 2 2 x－xdx＝2x －ln x|1＝－ln 2. 2
π π
(3) (sin x－cos x)dx＝ sin xdx－ cos xdx＝
定积分与微积分基本定理
结束
2．计算下列定积分： (1) (3)
3 -1 π 0
(3x －2x＋1)dx；(2)
2
2 1 2 0
1 x－xdx； |1－x|dx.
(sin x－cos x)dx；(4)
3 -1
解：(1)
(3x2－2x＋1)dx
0 0 0 π (－cos x) |0 －sin x |π 0 ＝2.
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第十二节
定积分与微积分基本定理
结束
(4) |1－x|dx＝ (1－x)dx＋ (x－1)dx
0 0 1
2
1
2
1 2 1 1 2 ＝x－2x |0＋2x －x |2 1 1 1 1 2 2 ＝1－2－0＋2×2 －2－2×1 －1＝1.
1 0 1 1 1－x dx 的几何意义是求单位圆面积的，所以 0 4
如：定积分 π 1－x dx＝ . 4
2
2
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第十二节
定积分与微积分基本定理
结束
[练一练]
若 f(x)dx＝1， f(x)dx＝－1，则 f(x)dx＝________.
解析：∵ f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx， ∴ f(x)dx＝ f(x)dx－ f(x)dx＝－1－1＝－2.

积分与定积分

积分与定积分积分和定积分是微积分中的重要概念。

它们在数学和应用科学中有广泛的应用。

本文将介绍积分和定积分的定义、性质和计算方法。

一、积分的定义与性质1.1 定积分的定义定积分是函数在一个闭区间上的积分，表示曲线下的面积。

设函数f(x)在[a, b]上连续，则[a, b]上f(x)的定积分可表示为：∫(a到b) f(x) dx该积分表示曲线y=f(x)与x轴所围成的曲边梯形的面积。

1.2 积分的性质积分具有以下性质：（1）线性性质：若f(x)和g(x)在[a, b]上可积，且k为常数，则有∫(a 到b) [f(x)+g(x)] dx=∫(a到b) f(x) dx+∫(a到b) g(x) dx以及∫(a到b) kf(x) dx=k∫(a到b) f(x) dx。

（2）区间可加性：若f(x)在[a, b]和[b, c]上可积，则有∫(a到c) f(x) dx=∫(a到b) f(x) dx+∫(b到c) f(x) dx。

（3）积分中值定理：若f(x)在[a, b]上连续，则存在ξ∈[a, b]，使得∫(a到b) f(x) dx=f(ξ)。

二、定积分的计算方法2.1 几何意义法定积分可以通过几何意义来计算。

例如，要计算函数f(x)=x²在区间[0, 1]上的定积分，可将函数图像与x轴所围成的面积分为若干个几何图形的面积之和，然后分别计算每个几何图形的面积并求和。

在本例中，将曲边梯形近似为矩形，计算可得定积分的值为1/3。

2.2 基本积分法基本积分法是通过函数的不定积分来计算定积分。

定积分与不定积分之间有着密切的联系，可以利用不定积分来计算定积分。

例如，要计算函数f(x)=2x在区间[1, 3]上的定积分，首先求出函数f(x)的不定积分F(x)=x²+C，其中C为常数。

然后，利用不定积分的基本性质，计算定积分的值为F(3)-F(1)=9-1=8。

2.3 分部积分法分部积分法也是计算定积分的一种常用方法。