一元二次方程试题及复习资料

一元二次方程根与系数的关系

一、选择题

1. （2011•南通）若3是关于方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）

A 、﹣2

B 、2

C 、﹣5

D 、5

分析：由根与系数的关系，即3加另一个根等于5，计算得．

解答：解：由根与系数的关系，设另一个根为x ，则3+x=5，即x=2．故选B ． 点评：本题考查了根与系数的关系，从两根之和出发计算得．

2. （2011南昌，9，3分）已知x =1是方程x 2+bx ﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）

A.1

B.2

C.﹣2

D.﹣1 分析：根据根与系数的关系得出x 1x 2=a

c =﹣2，即可得出另一根的值． 解答：解：∵x =1是方程x 2+bx ﹣2=0的一个根，∴x 1x 2==﹣2，∴1×x 2=﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故选C ．

点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．

3. （2011湖北荆州，9，3分）关于x 的方程ax 2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1－x 1x 2+x 2=1－a ，则a 的值是（ ）

A 、1

B 、－1

C 、1或－1

D 、2

分析：根据根与系数的关系得出x 1+x 2=－ ba ，x 1x 2= ca ，整理原式即可得出关于a 的方程求出即可．

解答：解：依题意△＞0，即（3a+1）2－8a （a+1）＞0，

即a 2－2a+1＞0，（a －1）2＞0，a≠1，

∵关于x 的方程ax 2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1－x 1x 2+x 2=1－a ，

∴x 1－x 1x 2+x 2=1－a ，

∴x 1+x 2－x 1x 2=1－a ，

∴ 3a+1a － 2a+2a=1－a ，

解得：a=±1，又a≠1，

∴a=－1．

故选：B．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，由x1－x1x2+x2=1－a，得出x1+x2－x1x2=1－a是解决问题的关键．

4.（2011湖北咸宁，6，3分）若关于x的方程x2﹣2x+m=0的一个根为﹣1，则另一个根为

（）

A、﹣3

B、﹣1

C、1

D、3

分析：设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（﹣1）=2，解此方程即可．

解答：解：设方程另一个根为x1，

∴x1+（﹣1）=2，

解得x1=3．

故选D．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．

5.（2011•贵港）若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）

A、1

B、﹣1

C、2

D、﹣2

分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．

解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的两个根，

∴由韦达定理，得x1•x2=﹣2，即﹣x2=﹣2，

解得，x2=2．

即方程的另一个根是2．

故选C．

点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．

6.（2011年四川省绵阳市，12，3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x－a）（x－b）=1（a ＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）

A、x1＜x2＜a＜b

B、x1＜a＜x2＜b

C、x1＜a＜b＜x2

D、a＜x1＜b＜x2．

分析：因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x－a）（x－b）=1，再有已知条件x1＜x2、a＜b可得到x1，x2，a，b的大小关系．

解答：解：∵x1和x2为方程的两根，

∴（x1－a）（x1－b）=1且（x2－a）（x2－b）=1，

∴（x1－a）和（x1－b）同号且（x2－a）和（x2－b）同号；

∵x1＜x2，

∴（x1－a）和（x1－b）同为负号而（x2－a）和（x2－b）同为正号，可得：x1－a＜0且x1－b＜0，x1＜a且x1＜b，

∴x1＜a，∴x2－a＞0且x2－b＞0，

∴x2＞a且x2＞b，

∴x2＞b，

∴综上可知a，b，x1，x2的大小关系为：x1＜a＜b＜x2．

故选C．

点评：本题考查了一元二次方程根的情况，若x1和x2为方程的两根则代入一定满足方程，对于此题要掌握同号两数相乘为正；异号两数相乘为负．

7（2011年江西省，5，3分）已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是（）

A.1

B.2

C.－2

D.－1

分析：根据根与系数的关系得出x1x2=－2，即可得出另一根的值．

解答：解：∵x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，

∴x1x2=－2，

∴1×x2=－2，

则方程的另一个根是：－2，

故选C．

点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．

8.（2011湖北武汉，5，3分）若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则x1•x2的值是（）

A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3

分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=c

a

解答并作出选择．

解答：解：∵一元二次方程x2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3，

∴x1•x2=c

a

=3．

故选B．

点评：此题主要考查了根与系数的关系．解答此题时，注意，一元二次方程的根与系数的关

系x1•x2=c

a

中的a与c的意义．

二、填空题

1.（2011江苏苏州，15，3分）巳知a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，则代数式（a－b）（a+b－2）+ab的值等于____．

考点：根与系数的关系．

专题：计算题．

分析：欲求（a－b）（a+b－2）+ab的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

解答：解：∵a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，

∴ab=－1，a+b=2，∴（a－b）（a+b－2）+ab=（a－b）（2－2）+ab=0+ab=－1，

故答案为：－1．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种