5-第五章-留数定理
高等数学课件-复变函数与积分变换 第五章 留数 §5.1 留数定理及留数的求法
0
的去心邻域内的罗朗展开式为：
sin z
1 z2
z4
L
1n z2n
L
z
3! 5!
2n 1!
故负幂次项 z1的系数 C1 0 ，即
Res
sin z
z
, 0
0
若孤立奇点z0为f (z)的可去奇点，则
Res f (z), z0 0
例1.3
函数
f
(z)
1 z(z 1)2
在
z
1 处有一个
二级极点，这个函数又有下列罗朗展开式：
n
Ñc f zdz 2πiRes f z, zk （1.3） k 1
证 把在c内的孤立奇点 zk k 1,2,L ,n
用互不包含的正向简单闭曲线 ck 围绕起来 （如图5－1）
图5－1
蜒c f zdz
c1
f
z
dz
蜒 f c2
zdz L
cn
f
z dz
以 2 i 除等式两边，得
1
Cm 0
Байду номын сангаас
g z Cm Cm1 z z0 L C1 z z0 m1
C0 z z0 m L
在点 z0 是解析的，且 g z0 Cm 0
由
f
z
gz z z0 m
，有 z
z0 m
f
z
gz
上式两端对 z 求导 m 1 次，并取极限（z z0），
得
lim
在 z 1的去心邻域
0 z 1 1
内的罗朗展开式，由于
f
z
z
1
12
z
1
1
n0
1n
z
第五章留数定理
第五章留数定理（38）一、内容摘要1．留数：设()f z 以有限点a 为孤立奇点，则在a 点的某无心领域内可以展成洛朗级数：0()()k k k f z a z z ∞=-∞=-∑，0z a R <-<。
我们称此展式中1z a-的系数1a -为()f z 在a 的留数，记为()0Res z z f z =．2．留数定理：设函数()f z 在回路l 所围区域B 上除有限个孤立奇点外解析，在回路l 上连续，则()()()12Res Res n l f z dz i f z f z π=++⎡⎤⎣⎦⎰ ． 3．将留数公式推广到无穷远点：设∞为()f z 的一个孤立奇点，则()f z 在圆环R z <<+∞内解析，设l 为圆环内任一条绕原点的简单正向闭曲线，定义11Res ()()2lf f z dz b i π--∞==-⎰，l -为顺时针方向，取l 为逆时针方向。
对于无穷远点的邻域来说，l -才是该领域边界的正方向。
也即()f z 在∞的留数等于它在∞点的去心邻域R z <<+∞内洛朗展开式中1z -的系数变号。
即其中的围道l -沿顺时针绕原点一周。
在围道l -外, 除∞=z 外别无奇点。
4．留数和定理：设函数()f z 在扩充复平面上除了有限远点(1,2,,)k z k n =⋅⋅⋅以及z =∞以外处处解析，则有1Res ()Res ()0nkk f z f =+∞=∑．5．求留数的一般方法：1）解析点的留数为0，即泰勒展开式与洛朗展开式一样， 无负一次项。
2）直接求Laurent 展开式的负一次项系数。
3）判断极点类型，可去奇点的留数为0，本性奇点用洛朗展开 式中的1,b m -阶极点和一阶极点的留数为。
0101011()lim ()()(1)!m mm z z d resf z b z z f z m dz ---→⎡⎤==-⎣⎦-010()lim()()z z resf z b z z f z -→==-00000100000()()()()lim()()()(),'()0,()0'()'()z z z z p z p z resf z resf z b z z f z z z f z g z p z g z g z -→====--==≠≠6．留数的应用——计算定积分1）形如I =20(cos ,sin )d R πθθθ⎰的含三角函数的积分。
复变函数第五章留数
§1 孤立奇点 §2 留数
1
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤 立 奇 点.
例如
1 sin
1
, z0
=
0为奇点,
但不是孤立奇点.
z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
]
sinz
cosz
zzk
sinz sinz
z
zk
1
tgzdz
C
2i 8 1 16i
31
例4 计算 z4 sin 1 dz, C为 z 1 2.
C
z
解 奇点：z 0, 奇点类型不清楚，
•
z4
sin 1 z
z4
1 z
1 3! z3
1 5! z5
1 7! z7
z3
z 3!
1 5! z
1 7! z3
Re
s
f
z,0
c1
1 120
C
z4
sin
1 z
dz
2i
Re
s
f
z,0
60
i
32
例5 计算
C
z z4 1
dz,C为 z
2，正向.
解 显然 z 1,i 都是 f z 的一级极点，
f z ( z z0 )m z ，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则
z
为
0
f
z
的m
级
零
点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
留数定理及其应用
式，故 I = 2πi sin 0 = 0．
例3 I=
e1/z dz．
|z|=1
解 本题的被积函数 f (z) = e1/z 在圆周 |z| = 1 的内部有一个本性奇点 z = 0，它在
z = 0 处的 Laurent 展开式为 f (z) = e1/z = 1 + 1/z + . . . + 1/n!zn + . . .，故 Res f (0) =
n=−∞
则
cn
=
1 2πi
Γρ
(z
f (z) − a)n+1
dz.
令 n = −1，得
c−1
=
1 2πi
f (z) dz.
Γρ
与式 (1) 比较，即得
Res f (a) = c−1.
(2)
由此可知，可去奇点处的留数为 0． 注 有些书上直接用式 (2) 作为留数的定义，这与式 (1) 的定义显然是等价的．
数的问题．由上节可以看到，计算极点的留数主要涉及微分运算．对于本性奇点，必须作
Laurent 展开来计算其留数．作 Laurent 展开，通常归结为 Taylor 展开，而计算 Taylor 展
开式的系数也是微分运算问题．所以可以说，留数定理把积分运算转化成了比较容易的微分
运算，因此它为积分的计算提供了一项非常有用的技术．
§3 用留数定理计算围线积分
4
推论一（单极点的留数，第一公式） 若 a 是 f (z) 的单极点，则
Res f (a) = [(z − a)f (z)]|z=a.
(5)
推论二（二阶极点的留数） 若 a 是 f (z) 的二阶极点，则
Res f (a) = [(z − a)2f (z)] |z=a.
五章 留数及其应用
第五章留数及其应用§1. 孤立奇点一.孤立奇点的分类1. 孤立奇点的概念定义：若函数在点不解读，但在点的某一去心邻域内处处解读.则称为的孤立奇点.一.求下列函数的奇点，并各奇点是否为孤立奇点.<1） <2）<3）<4）注意:孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤立奇点.2. 孤立奇点的分类设为的孤立奇点,在点的洛朗展式为.(ⅰ> 若有恒成立，则称为的可去奇点.(ⅱ> 若有,但对于有恒成立，则称为的m阶极点.(ⅲ> 若有,则称为的本性奇点.说明: (1>为的洛朗展式，其和函数为在点解读的函数.(2> 无论函数在点是否有定义，补充定义则函数在点解读.3. 孤立奇点的类型的判断(1> 可去奇点的判定方法定理1设在点的某一邻域内解读,则为的可去奇点的充分必要条件是:.定理1’设是的孤立奇点,则为的可去奇点的充分必要条件是:在内有界.(2> 极点的判定方法结论：是的m阶极点的充要条件是:其中在邻域内解读,且.定理2设在点的某一邻域内解读,则为的极点的充要条件是:是的m阶极点的充要条件是:其中为一确定的非零复常数,m为正整数.(3> 本性奇点的判定方法定理3设在点的某一邻域内解读,则为的本性奇点的充要条件是:极限与均不成立.一.判断下列函数的奇点的类型：<1） <2）<3）二. 函数的零点与极点的关系定义：若有正整数m,使得,其中在点解读且,则称为的m阶零点.定理4若在点解读,则为的m阶零点的充要条件是:但一.判断函数的零点及其阶数.定理5 若为的m阶极点,则为的m阶零点.反之亦然.一.判断函数的极点及其阶数.三.函数在无穷远点的性态定义：若存在R>0,有函数在无穷远点的邻域内解读,则称无穷远点为的孤立奇点.设在无穷远点的邻域内的洛朗展式为那么规定:(ⅰ> 若有恒成立，则称为的可去奇点.(ⅱ> 若有,但对于有恒成立，则称为的m阶极点.(ⅲ> 若有,则称为的本性奇点.定理6设在区域内解读,则为的可去奇点、极点和本性奇点的充要条件分别是:极限存在、为无穷及即不存在,也不是无穷.一.判断下列函数的奇点的类型：<1）<2）<3）<4）例6. 判断函数的孤立奇点的类型.§2. 留数一.留数的概念及留数定理定义：设为解读函数的孤立奇点,其洛朗展式为,称系数为在处的留数,记作Res.例6求在孤立奇点0处的留数.例7求在孤立奇点0处的留数.例8求在孤立奇点0处的留数.定理7(柯西留数定理> 设在区域D内除有限多个孤立奇点外处处解读,C是D内包围各奇点的任意一条正向简单闭曲线,那么说明：留数定理把计算周线上的积分的整体问题转化为函数在周线所围成的区域内的各个孤立奇点处的留数的局部问题.例9 计算积分.二. 函数在极点的留数法则Ⅰ如果为的简单极点,则Res.例10 求在各孤立奇点处的留数.法则Ⅱ设,其中在点解读,如果为的一阶零点,则为的一阶极点,且例11 求在的留数.法则Ⅲ如果为的m阶极点,则Res.例12求在孤立奇点0处的留数.例13 计算积分例14 计算积分三. 无穷远点的留数定义：设函数在区域内解读,即为函数的孤立奇点,则称为在的留数,记作Res.定理8如果函数在z平面只有有限多个孤立奇点(包括无穷远点>,设为.则在所有孤立奇点处的留数和为零.法则Ⅳ(无穷远点的留数> 若为函数的孤立奇点,则Res Res.例15 求在它各有限奇点的留数之和.例16计算积分其中C为正向圆周§3. 留数在定积分计算中的应用一.形如的积分思想方法:把定积分化为一个复变函数沿某条周线的积分 .两个重要工作:1> 积分区域的转化,2> 被积函数的转化.当从0到时,z沿单位圆的正向绕行一周.例17 计算的值.二. 形如的积分设为复函数的实值形式,其中满足条件:(1> 。
第五章 留数 留数在定积分计算中的应用
个有界区域，函数 f(z) 在 D 内除有限个孤立
奇点 z1 , z2 ,..., zn外处处解析. C是D内包围各 奇点的一条正向简单闭曲线,那么我们有：
n
C
f ( z )dz 2i Res[ f理的基本思想
D
zn C3 Cn z1 z2
z3
C1
显然，函数在z0处的留数C1就是积分 1 f ( z )dz 2 i C 的值.
其中，C为函数f ( z )的去心邻域0 z - z0 R 内绕z0的闭曲线，方向为逆时针方向.
注：留数Res[f(z), z0] 与圆C的半径r无关.
二、留数定理
定理 5.1 （留数定理）设 D 是复平面上的一
C
f ( z )dz 0
如果z0是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不 一定等于零。
定义5.1 设z0是解析函数f ( z )的孤立奇点， 我们把f ( z )在z0处的洛朗展开式中负一次 幂项的系数C1称为f ( z )在z0处的留数.记作 Re s[ f ( z ), z0 ]，即 Re s[ f ( z ), z0 ] C-1
求沿闭曲线C积分 求C内各孤立奇点处的留数.
三、留数的计算
求函数在孤立奇点处的留数的一般方法 ——将函数在以z0为中心的圆环内展开为 洛朗级数，求出级数中C-1(z-z0)-1项的系数C-1
如果z0是可去奇点，则Res[f(z), z0]=0;
如果z0是本性奇点，则往往只能用展开成洛朗
级数的方法来求C-1.
Res[f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z )
z z0
P( z ) lim( z z0 ) z z0 Q ( z ) Q ( z0 ) P( z0 ) / Q '( z0 ).
留数定理
(5.11)
11
例1
求
f z
z sin z z6
在z
0处的留数.
解: 应用规则3
Re s f (0)
1 lim
6 1! z0
d5 dz5
z
6
z
sin z6
z
1 lim z sin z 5
5! z0
1 lim cos z
5! z0
1. 5!
12
例2 计算积分 ze z dz,C 为正向圆周
第五章 留数定理
本章学习目标 掌握孤立奇点的分类 掌握留数定理 会熟练求留数 会用留数定理计算积分 掌握留数在定积分计算中的应用
1
1 孤立奇点的分类
若函数 f(z) 在某点z0不可导，而在 z0 的任意小邻域 内除 z0 外处处可导（解析），则称 z0 为 f(z) 的孤立 奇点。
可去奇点 极点 ( 单极点、m阶极点 ) 本性奇点
R(x) dx 2 i
Re s{R z , zk}
k
18
类型三
R x eiaxdx (a>0)
R(x) 是 x 的有理函数，分母的次数至少比分子的次数 髙两次，复变量 z 的函数 R(z) 在实轴上没有奇点。
R(x)
eiaxdx 2
i
Re s{R z eiaz , zk}
的负幂项, 且其中关于 z z0 的最高幂为 z z0 m ,
即
f z cm z z0 m c2 z z0 2 c1z z0 1 c0 c1z z0 c2 z z0 2 cm z z0 m m 1, cm 0 那么孤立奇点 z0 称为 f z 的 m 阶极点.
m 1! zz0
d m1 dz m1
5-第五章-留数定理
因此
z ez
e e1
C
z2
dz 1
2 π i( 2
) 2 πi ch1 2
： 我们也可以用规则III来求留数
| Res[ f (z),1] z ez e ; 2z z1 2
| Res[ f (z),1] z ez e1 . 2z z1 2
这比用规则1要简单些，但要注意应用的条件。
z
例7
环域内绕原点的任何一条简单闭曲线，则积分
1
2π i f (z) d z C
称其为f (z)在点的留数，记作
1
Res[ f (z), ]
f (z)d z
2i C
这里积分路径的方向是顺时针方向，这个方向很自然
地可以看作是围绕无穷远点的正向。
将 f (z)在 R<|z|<+∞内的罗朗展式为
f
(z)
z 4z3
1 4z2
,故z1111C源自z4d 1z
2π
i( 4
4
4
4)
0
Ñ 例 8
计算积分
C
ez z(z 1)2
dz,
C
为正向圆周|z|=2.
[解] z=0为被积函数的一级极点, z=1为二级极点, 而
Res[ f (z),0] lim z0
z
ez z(z 1)2
lim z0
ez (z 1)2
1.
一、 留数的定义
定义 若f (z)在去心邻域 0 z z0 R内解析，
z0是f (z)的孤立奇点，C是 0 z z0内 包R 围z0的
任意一条正向简单闭曲线，定义积分
1
2i
C
f
(z)d
z
第五章留数定理习题及其解答
第五章 留数定理习题及其解答注:此例说明，判断孤立奇点 z类型虽可从f (z)的Laurent 展开式含有负幕项的情 况入手，但切不可忘掉必须是在去心领域内的 Laurent 展式，否则与z0是什么性质的点没有关系。
5.2设f(z)在全平面解析，证明：若：：为f(z)的可去奇点，则必有f(z)二a 。
(常数)；若：：为f(z)的 m 级极点，则f(z)必为m 次多项式： f (z)二a ° • a1z• III • ak Z ,ak = 0；除此之外，f (z)在Z o = 0处的Taylor 展式必有无限多 项系数=0。
证： 因为f (z)在全平面解析，所以f (z)在勺=0邻域内Taylor 展式为f (z)二a 0 a 1z 丨11 a kzJ11且| z" o 注意到这Taylor 级数也是f (z)在：：去心邻域 内的Taylor 级数。
所以，当二在f (z)的可去奇点<—>f (z)在：：去心邻域内Laurent 展示无z 的正幕项， 即厲=a ?=丨1( =0。
故f (z)=逐(常数)；当：：为f(z)的m 级极点uf (z)在：：去心邻域内Laurent 展示中只含有限个z 的正幕 项,且最高正幕为m 次(am = 0)of(z) = a ° az 川 a m_z m ‘ a m Z ma m 严 a0 n 0m()即f (z)为m 次多项式；除去上述两种情况，：：为f(z)的本性奇点=f(z)在：：去心邻域内Laurent 展开式中 含有无限多个正幕项，COf (z)=送 a n z n z £邑因此在n£中，有无限多个项的系数不为0。
注(1).对本题的结论，一定要注意成立的条件为f(z)在全面解析，否则结论不成1f(z)=—立。
例： z 在0 < z V -内解析(与全平面解析仅差一个点!)，且以°°为可去奇点，1 f(z)=・•• +— + 5.1设有 z 本性奇点？为什么？z njnz z_ ++ ________，能否说z = 0为f (z)答：这个级数由两部分组成:od- n ' zn 4□0 n二命。
数学物理方法权威讲解(留数定理)
一、留数的引入 二、留数定理及留数的求法
三、无穷远点的留数
一、有限远处孤立奇点的留数
1、引入
设 z 0 为 f (z ) 的一个孤立奇点，f (z )
在z0的某去心邻域 z z0 R内解析，C 0
.z
0
C为该邻域内包含 z0 的任一条正向简单闭曲线．
f (z ) 在 0 z z0 R 内的洛朗级数为:
c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 )
( z z0 )m f ( z ) cm cm 1 ( z z0 ) c1 ( z z0 )m 1
c0 ( z z0 )m c1 ( z z0 )m 1
f ( z ) c n ( z z0 ) n c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n
积分 f ( z )dz
C
c n ( z z0 ) n dz c1 ( z z0 )1 dz
三、无穷远点的留数
1.定义 如果函数f ( z )在无穷远点z 的去心邻域
R z 内解析, 则可将f ( z )在R z 内展成洛朗级数，令f ( z )= cn z
n n
则定义 f ( z ) 在 z 的留数为： 1 Res[f ( z ), ]= f ( z)dz = c1 2 i C
2、定义
f ( z) 在 z0 处的留数为：
1 Res[f ( z ), z0 ]= f ( z)dz =c1 2 i C
C为 z0 的去心邻域 0 z z0 内包围z0的 任意一条正向简单闭曲线.
第5章留数定理及其应用
2 1 2 πi 2π = ∫ dz = = 2 2 i | z|=1 2 z + ε ( z + 1) i 1− ε 1− ε 2
例2：
∫
2π
0
1 dθ 3 − 2 cos θ + sin θ
第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型二
∫
+∞
−∞
f (x )dx
其中被积函数在实轴上无奇点；积分区间为(- , ) 无穷积分的收敛性 柯西主值
∫
∞
0
F(x) cos mxdx π i = G(x)sin mxdx =π
∑Re s[F(b )e
k=1 n k k
n
imb k
] Imz>0 ] Imz>0
∫
∞
0
∑Re s[G(b )e
k=1
imb k
证明： 证明： ∞
∫
0
F(x) cos mxdx = ∫ F(x) 0
∞
e
imx
∞ 1 ∞ −imx imx = [∫ F(x)e dx + ∫ F(x)e dx] 0 2 0 1 ∞ imx = ∫ F(x)e dx 2 −∞
−∞
cos x dx 3 cosh x
第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型三
(x )eimx dx ∫−∞ f
其中被积函数 f (x) 在实轴上无奇点； 积分区间为(- , ),m > 0 -R O R
+∞
CR
∫
∞
−∞
f ( x)eimx dx = 2π i × { f ( z )eimz 在上半平面内所有奇点处的留数和}
第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型一
5留数及其应用
极点, 而Res[ f (z), z0 ] P z0 Q z0 .
事实上, 因为 Q(z0)=0 及 Q'(z0)0, 所以 z0 为 Q(z)的一级
零点, 从而 z0 为1 Q z 的一级极点. 因此
1 1 j(z),
lim f (z) 是否存在(有限值), 为无穷大或即不存在又不是
z
无穷大来决定.
例题1 f (z) (z - 2)(z2 1). z 为唯一奇点：3阶极点 .
例题2
z-1
f (z) e z .
z 0与均为本性奇点 .
例题3
f
(z)
tan 1
e z
.
lim
f
(z)
1 为f
(z)的可去奇点 .
闭曲线C的积分 f (z) d z 一般就不等于零.
C
因此 f (z) = ... +c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1
+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+... 0<|z-z0|<R
两端沿C逐项积分: f (z) d z 2π ic-1.
C
即C-1是积分过程中唯一残留下来的Laurent系数 ,
由规则1, 得
Res[
f
( z ),1]
lim( z
z1
-1)
z z2
ez -1
lim
z1
z ez z 1
e 2
Res[
f
(z),
-1]
lim(z
z-1
第5章：留数理论及其应用
[
]
16
四、本性奇点处留数的计算 对本性奇点或奇性不明的奇点，没有一般的公式， 只能作Laurent展开，然后取负一次幂的系数！当 极点的阶数较高时，也直接作Laurent展开求留数。 例
cos x = ( z + z ) / 2; sin x = ( z − z ) /( 2i ); dx = dz /(iz )
21
−1
−1
原积分变成
z + z −1 z − z −1 dz , I= R iz | z |=1 2 2 i
∫
• 0 y
• 2π
x
z平面 1 o • x
例题：计算积分
I=
∫
2π
0
cos 2ϑ dϑ , (0 < p < 1). 2 1 − 2 p cosϑ + p
分析：因 1-2pcosϑ+p2=(1-p)2+2p(1-cosϑ)，当0<p<1, 在 0≤ϑ ≤2π, 分母大于0， 因而在实轴上无零点。
22
cos 2ϑ = ( e 2iϑ + e −2iϑ ) / 2 = ( z 2 + z −2 ) / 2
1 Resf ( z0 ) ≡ f ( z )dz ∫ 2πi C
为函数f(z)在奇点z0处数f(z)在奇点 z0处作Laurent展开
f ( z) =
n = −∞
∑
∞
an ( z − bk ) n
利用公式
0, (C 不包围z0 ) 1 dz = ∫ 2πi C z − z0 1, (C 包 围 z0 ) 1 n ( z − z ) 0 dz = 0. (n ≠ −1) ∫ 2πi C
5.1.1 留数定理
第五章 留 数 第一节 一般理论1、留数定理：设函数f (z )在点0z 解析。
作圆r z z C =-|:|0，使f (z )在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分⎰C dz z f )(等于零。
设函数f (z )在区域R z z <-<||00内解析。
选取r ，使0<r<R ，并且作圆r z z C =-|:|0，那么如果f (z )在0z 也解析，则上面的积分也等于零；如果0z 是f (z )的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零；这时，我们把积分⎰Cdz z f i )(21π 定义为f (z )在孤立奇点0z 的留数，记作),(Res 0z f ，这里积分是沿着C 按反时针方向取的。
注解1、我们定义的留数),(Res 0z f 与圆C 的半径r 无关：事实上，在R z z <-<||00内，f (z )有洛朗展式：∑+∞-∞=-=n n n z z z f )()(0α，而且这一展式在C 上一致收敛。
逐项积分，我们有,2)()(10-+∞-∞==-=∑⎰⎰απαi dz z z dz z f n C n n C因此，10),(Res -=αz f 。
注解2、即f (z )在孤立奇点0z 的留数等于其洛朗级数展式中1z z -的系数。
注解3、如果0z 是f (z )的可去奇点，那么.0),(Res 0=z f定理1.1（留数定理）设D 是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭曲线C 。
设f (z )在D 内除去有孤立奇点n z z z ,...,,21外，在每一点都解析，并且它在C 上每一点都解析，那么我们有：),,(Res 2)(1k nk C z f i dz z f ∑⎰==π这里沿C 的积分按关于区域D 的正向取的。
证明：以D 内每一个孤立奇点k z 为心，作圆k γ，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D 内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。
5.1留数定理
答：0
3、全平面留数之和为0：
∑ resf (b ) + resf (∞ ) = 0
k =1 k
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n
二、无穷远点的留数：
注意：
§ 5.1 留数定理
(1) resf (bk ) = C−1 , 0 < z − bk < Rk
resf (∞ ) = −C−1 , R < z < ∞
Mathematical Methods in Physics 武汉大学 物理科学与技术学院
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问题的引入： ϕ ( z ) ∈ H (σ ), 在σ = σ + l上连续，则
•
a
σ
l
⎧ n≤0 ⎪ 0, ϕ ( z) ⎪ ∫l ( z − a) n dz = ⎨ 2π i ϕ (a) , n = 1 ⎪ 2π i ϕ ( n −1) (a) , n > 1 ⎪ (n − 1)! ⎩
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三、留数的计算方法
§ 5.1 留数定理
ϕ (z ) , 注：当b为单极点时，若 f (z ) = ψ (z ) ϕ (z )、ψ (z ) ∈ H (σ ); ϕ (b ) ≠ 0,ψ (b ) = 0,ψ ′(b ) ≠ 0,， 则
ϕ (b ) res f (b) = ψ ′(b )
例5
1 res[ 4 , i ] = ? z −1
1 奇点： , i ,−1,−i (单极点）
i 答： 4
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四、留数定理计算围道积分
例6
§ 5.1 留数定理
∫
z=
3π 2
留数的定义留数定理留数的计算规则无穷远点的留数
但是，若将 f ( z) 作Laurent 级数展开:
z sin z 1 1 3 1 5 6 [ z ( z z z )] 6 z z 3! 5! 1 1 11 3 3! z 5! z
z sin z 1 Re s[ ,0] c1 6 z 5!
4. 无穷远点的留数
1. 留数的定义
定义 设 z0为f (z)的孤立奇点， f (z)在 z0邻域内的 洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)在 z0 的留数(Residue)， 记作 Res[f (z), z0] 或 Res f (z0)。 由留数定义, Res[f (z), z0]= c–1
由规则
5z 2 2 Re s[ f ( z ), 0] lim zf ( x ) lim 2 z 0 z0 ( z 1)
1 d 2 5z 2 Re s[ f ( z ) , 1 ] lim {( z 1) } 2 z 1 ( 2 1)! dz z( z 1) 5z 2 2 lim ( )' lim 2 2 z 1 z 1 z z
---显然该方法较规则 II 更简单！
(2)由规则 II的推导过程知，在使用规则II时， 可将 m取得比实际级数高，有时，这可使计算更简单。
如
z sin z 1 d 6 z sin z Re s[ ,0] [z ( )] 6 5 6 z (6 1)! dz z
5
1 d5 1 1 ( z sin z ) lim( cos z ) 5 5! dz 5! z 0 5!
1 故 Re s[ f ( z ), z0 ] c1 f ( z )dz 2i c ( 2)
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留数定理：复变函数的积分理论和级数理 论的相结合的产物。
§1 留数定理
如果函数f (z)在z0的邻域内解析, 根据柯西积分定理
f (z) d z 0.
C
如果z0为f (z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去
心邻域0<|z-z0|<R内，包含z0的任意一条正向简单闭
曲线C的积分
f (z)d z
[思路二]
f (z) d z 2π ic1.
C
由罗朗级数系数公式
cn
1 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
d
z
若令n=-1, 得
c1
1
2i
C
f
(z)d z
或
f (z) d z 2ic1
C
结论：从上面的讨论可知, 积分的计算可转化为求被积
函数的罗朗展开式中z- z0的负一次幂项的系数c1。
点, 且
Res[
f
( z ),
z0
]
P(z0 ) Q(z0 )
注意规则3的应用条件
3、奇点留数计算公式总结： 奇点 z0 的类型 可去奇点
一阶 普遍公式 极点
m 阶极点
本性奇点
12
例1:
Res[
1
cos z2
z
,0]
0
例2:
计算
z1
Res[e z ,0]
Q
1 cos
lim
z0
z2
z
1 2
z=0是本性奇点
f (z)d z f (z)d z f (z)d z f (z)d z
C
C1
C2
Cn
根据留数的定义，有
1
2 π i
Ck
f (z)d
n
z
Res[
f
( z ),
zk ](k
1,2,
, n)
即 f (z) d z 2 π i Res[ f (z), zk ].
C
k 1
意义：把计算沿路径积分的整体问题化为计算各孤立 奇点留数的局部问题。
z1
ez
1 z
1 z2 2!
L
1
1 z
1 2!z 2
L
L
1 1 L
n0 n!(n 1)! z
z 1
Res[e z ,0]
1
n0 n!(n 1)!
例3.计算
dz
dz
dz
zi
1
z2
, 1
zi
1
z2
, 1
z
2
z2
. 1
解. z=i与z=-i为
f
(z)
z
1 2
的一阶极点,故
1
Res zi
Res[f( z ),z0]lim (z
zz0
z0
)
f
(z)
规则2 如果z0为f (z)的m级极点， 则
Res[
f
( z ),
z0 ]
1 (m 1)!
lim
zz0
d m1 d z m1
[( z
z0 )m
f
(z)]
规则3
设 f (z) P(z)
Q(z)
,
P(z)及Q(z)在z0都解析, 如
果P(z0)0, Q(z0)=0, Q′(z0)0, 则z0为f(z)的一级极
讨论问题：柯西积分定理、柯西积分公式与留数定理 的关系如何？
f (z) d z 0.
C
Ñc
f (z) dz
z z0
f (z0 )2 i
n
f (z) d z 2 π i Res[ f (z), zk ]
C
k 1
三、留数的计算 1、留数只对孤立奇点而言才有意义。 2、求罗朗级数中c1(zz0)1项的系数c1。
f
(z)
lim( z
zi
i)
f
(z)
1 zi
z i
1 2i
,
1
Res f (z) ,
zi
2i
从而
zi
1
dz z2 1
,
zi
1
dz z2 1
,
z
2
dz z2 1
0.
cos z
例4. 计算 z 1 z3 dz.
解
f (z) cos z z3
以z=0为其三阶极点, 故
Res
z0
f
(z)
第五章 留数定理
§1 留数定理 §2 留数在定积分计算上的应用（一） §3 留数在定积分计算上的应用（二）
学习要求 1. 掌握留数的概念和留数定理。 2. 熟练掌握留数的计算方法；能熟练利用留数定 理求沿封闭曲线积分；掌握利用留数定理计算定 积分（主要是三种类型）的方法。
考核知识点 1. 留数的定义。 2. 可去奇点留数的计算。 3. 本性奇点留数的计算。 4. 极点留数的计算。 5. 留数定理 6. 利用留数计算定积分
Res[ f (z), z0 ] c1
二、留数定理
留数定理： 如果函数f (z)在一条正向简单闭曲线C上连续，在C的
内部除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析。 则
n
f (z) d z 2 π i Res[ f (z), zk ]
C
k 1
[证] 把在C内的孤立奇点 zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简 单闭曲线Ck围绕起来, 则根据多连 通域的柯西积分定理有
一、 留数的定义
定义 若f (z)在去心邻域 0 z z0 R内解析，
z0是f (z)的孤立奇点，C是 0 z z0内 包R 围z0的
任意一条正向简单闭曲线，定义积分
1
2i
C
f
(z)d
z
为函数f (z)在z0的留数(Residue)，记作 Res[f (z),z0] 。
1
即 Res[ f (z), z0 ] 2i C f (z) d z
已讲：一个解析函数与在它的解析区域内的各处
的函数值有很强的内在联系，突出表现在柯西积
分公式及其推论：
Ñc
f (z) dz z z0
f (z0 )2 i
Ñ f (n) (z0 )
n!
2 i
c
f (z) (z z0 )n1 dz
(n 1, 2,...)
本章主要讨论这种关系的另一种表现形式： 解析函数的积分值与函数的奇点的关系。
1 lim 2! z0
d2 dz 2
z 3
f
(z)
1 lim cos
2! z0
z
1. 2
由留数定理得
z
1
cos z3
z
dz
2
i
1 2
i.
例5.不讲
计算
z
1
z sin z (1 ez )3
dz.
解 在单位圆周|z|=1内,f 孤立奇点,
(
z)
C
一般就不等于零。
思考：积分等于多少?
[思路一] 将f (z)在此邻域内展开为罗朗级数
f (z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...
后,两端沿C逐项积分, 右端各项积分除留下 c-1 (z-z0)-1的 一项等于2ic-1外， 其余各项积分都等于零，所以
如果知道奇点的类型, 对求留数可能更有利。 1）如z0是f (z)的可去奇点, 则Res[f (z), z0]=0;
2）如果z0是f (z)本性奇点, 将f (z)在其z0的去心邻域中 展开为罗朗级数，求c1 ;
3）如果z0是f (z)的极点, 则可以利用以下的规则：
（极点留数的计算规则）
规则1 如果z0为f (z)的一级极点, 则