留数定理
04留数定理
所以I F cos x,sin x dx
0
2
z z 1 z z 1 dz F( , ) C 2 2i iz
(C : z 1, 逆时针)
数学物理方法
例1
计算积分
I
2
0
1 dx (0 1). 1 cos x
1 z z dz 解：设 z eix 则 cos x ;dx . 2 iz 1 dz 2 1 I 2 dz 1 C 1 ( z z ) / 2 iz i C z (2 / ) z 1
课堂练习
zdz 1 、计算积分 ( z 1)( z 2) (C : z 2 2, 逆时针). C
sin zdz (C : z 2 , 逆时针). 2 、计算积分 2 (2 z )( z ) C
数学物理方法
zdz 1 、计算积分 (C : z 2 2, 逆时针). ( z 1)( z 2) C
(C : z n (n为正整数), 逆时针).
解： f ( z ) tan z
1 sin z z ( k ) (k 0,1,2...) k 的奇点为： 2 cos z
皆为一阶极点，被包围于C中的奇点对应于：
k n, n 1,..., 1,0,1,...n 1,
解：
z1 1, z2 2
皆为一阶极点，并且都被包围于C中
zdz 2i[Re sf ( z1 ) Re sf ( z2 )] ( z 1)( z 2) C 2i[lim ( z 1) f ( z ) lim ( z 2) f ( z )]
z 1 z 2
z 2i z5 4z3
留数定理公式总结
留数定理公式总结留数定理是复变函数论中的一个重要定理，在数学分析和工程技术等领域都有着广泛的应用。
咱们先来瞅瞅留数定理的公式到底是啥样的。
留数定理表述为：设函数$f(z)$在区域$D$内除有限个孤立奇点$z_1,z_2,\cdots,z_n$外处处解析，$C$是$D$内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那$f(z)$沿$C$的积分就等于$2\pi i$乘以$f(z)$在$C$内各奇点的留数之和，即：$\oint_C f(z)dz = 2\pi i \sum_{k = 1}^{n}Res[f,z_k]$这里的$Res[f,z_k]$表示$f(z)$在奇点$z_k$处的留数。
那留数又咋算呢？对于孤立奇点$z_0$，如果它是可去奇点，那留数为$0$；如果是$m$阶极点，就有公式$Res[f,z_0] = \frac{1}{(m -1)!}\lim_{z \to z_0}\frac{d^{m - 1}}{dz^{m - 1}}[(z - z_0)^mf(z)]$。
咱们通过一个具体例子来感受一下留数定理的魅力。
比如说，计算积分$\int_{|z| = 2} \frac{e^z}{z(z - 1)}dz$。
首先得找出被积函数的奇点，很明显，$z = 0$和$z = 1$是奇点。
对于$z = 0$，它是一阶极点，$Res[f,0] = \lim_{z \to 0} z\frac{e^z}{z(z - 1)} = -1$；对于$z = 1$，也是一阶极点，$Res[f,1] = \lim_{z \to 1} (z - 1)\frac{e^z}{z(z - 1)} = e$。
然后根据留数定理，原积分就等于$2\pi i (-1 + e)$。
留数定理在解决一些复杂的积分问题时特别有用。
比如说，计算一些实函数在无穷区间上的积分，通过巧妙地构造复变函数和积分路径，然后利用留数定理就能轻松搞定。
我记得有一次给学生们讲留数定理的应用，有个学生就特别迷糊，怎么都搞不明白。
留数定理
分别包围着 b1 , b 2 , b 3 , b n
留数定理 4
f ( z )d z
l
f ( z )d z
l1
f ( z )d z
l2
f ( z )d z
l3
l
f ( z )d z
ln
2 i[R e s f ( b1 ) R e s f ( b1 ) R e s f ( b n )]
留数定理 9
a m lim ( z z 0 ) f ( z ) 非 零 有 限 值 m 阶 极 点 存 在
m z z0
d
m 1 m 1
dz
[( z z 0 )
m
f ( z )] ( m 1) ! a 1
m! 1!
a0 (z z0 )
( m 1) ! 2!
21
类似地有
0
G ( x ) s in m x d x
2i
1
G ( x )e
im x
dx
这样，类型3的积分就转化为类型2的积分，只是要求
zF ( z ) e
im z
, zG ( z ) e
im z
当z在上半平面或实轴上趋于无穷时，一致地趋于0。
利用约当引理， lim
R
F ( z )e
留数定理 3
由前面的例题知
l
f ( z ) d z 2 ia 1
洛朗展开级数中负1次幂的系数称为函数 f ( z ) 在该奇点的 留数residue(残数),记为 R e sf ( z0 ) 有
留数定理
留数定理编辑讨论3 上传视频本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。
在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。
它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。
[1]中文名留数定理外文名Residue theorem别称柯西留数定理应用学科工程学、数学适用领域范围工学相关术语解析函数目录1 定律定义2 推导过程3 相关术语定律定义编辑假设U是复平面上的一个单连通开子集，，是复平面上有限个点，是定义在U\{ }的全纯函数。
如果γ是一条把包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个，并且其起点与终点重合，那么：如果γ是若尔当曲线，那么I(γ,ak)=1, 因此：在这里，Res(f, ak)表示f在点ak的留数，I(γ, ak)表示γ关于点ak 的卷绕数[2] 。
卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点ak的次数。
如果γ依逆时针方向绕着ak移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过ak，卷绕数就是零。
推导过程编辑以下的积分在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等的微积分是不可能把它计算出来的。
我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。
取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。
路径积分为：由于eitz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点。
由于z2 + 1 = (z + i)(z − i)，因此这个函数在z = i或z = −i时具有奇点。
这两个点只有一个在路径所包围的区域中。
由于f(z)是f(z)在z = i的留数是：根据留数定理，我们有：路径C可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧，使得：因此如果t> 0，那么当半圆的半径趋于无穷大时，沿半圆路径的积分趋于零：因此，如果t> 0，那么：类似地，如果曲线是绕过−i而不是i，那么可以证明如果t< 0，则因此我们有：（如果t= 0，这个积分就可以很快用初等方法算出来，它的值为π。
第四章 留数定理
z
结果 :
数之和 ] f x dx 2i[ f ( z )在上半平面的所有的留
类型三
f x eimx dx
(m>0)
积分条件: 1) 积分区域为(-∞,∞) 2) f(z)无实的奇点,且在上半平面除有限个 奇点外是解析的, 3)当z→∞时,f(z)→0 结果 : f x eimx dx 2i[ f z eimz在上半平面的留数之和]
1 特别n 1 n!, 2
•
' 1 3). C , 1
2). z 1 z , sin z
• C为欧拉常数.
一个特例若f(z)在z=b点为一阶极点,且 当Pb f z lim z b Qz z b z b Pz P b lim ' Q b z b Q z Q b
m z z 1 z z 1 1 [令F z R 2 , 2i iz ] 2i Re sF ak k ak 为F z 在单单位圆内的奇点 .
类型二 :
f x dx
积分条件 : 1)积分区间是(, );2) f ( z )无实实奇点, 且在上半平面除有限个 奇点外是解析的.
对变换z ei ,
cos 1 1 1 1 dz . z , sin z , d 2 z 2i z iz 2 z z 1 z z 1 dz Rcos , sin d R 2 , 2i iz .(1) 0 z 1
0
0
f x cos m xdx i[ f z e imz在上半平面的留数之和 ]
04_留数定理
应用留数定理计算实变函数定积分 §4.2 应用留数定理计算实变函数定积分
围道积分法 基本思想：实变函数定积分↔ 基本思想：实变函数定积分↔复变函数回路积分 y l2
l1 a 0 b x
∫
l
f ( z )dz = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( z )dz
l1 l2
几种类型实变定积分的计算方法
1 d m −1 Res f ( z0 ) = lim m −1 ( z − z0 ) m f ( z ) (m − 1)! z → z0 d z
3. 本性奇点的留数通过洛朗展开来计算 本性奇点的留数通过洛朗展开来计算 通过
ze z 例: Res , 2 z −1
dz 例：计算回路积分 ∫ z =1 2 ε z + 2z + ε
解：由 ε z 2 + 2 z + ε = 0 ⇒ f ( z ) =
( 0 < ε < 1)
1 ε z 2 + 2z + ε
的两个单
极点为： 极点为： −1 + 1 − ε 2 −1 − 1 − ε 2 z01 = , z02 = ε ε
ez 例: Res 2 , ∞ z −1 e 1 Res f (1) = , Res f (−1) = − e −1 2 2 e −1 − e Res f (∞) = 2
1 2 3 f ( z) = 1 − + 2 + 3 , z z z
∞
1 1 Resf (∞) = −Res f ⋅ 2 , 0 = 1 z z
2） f ( z ) = ）
e
2
1z
z −z
04_留数定理
+∞
推导
∫
+∞
−∞
f ( x)dx =2πi{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}
+∞ −∞
例：计算 I = ∫
+∞
1 dx （n为正整数） 2 n (1 + x )
黑板
此时，如果f(z)在实轴上存在有限个单极点，则 推导
∫
−∞
f ( x)dx =2πi{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}
+πi{f(z)在实轴上所有奇点的留数之和} 黑板
∑ Res f ( z ) + Res f (∞) = 0
k =1 k
n
1. lim f ( z ) = 0 a Res f (∞) = − lim[ z ⋅ f ( z )] z →∞ z →∞ 1 1 2. lim f ( z ) ≠ 0 a Res．f (∞) = − Res[ f ( ) 2 , 0] z →∞ z z
课堂练习：
∫
| z|= 2
ze z z eZ z − sin z f ( z ) d z; f ( z ) = 2 , 4 , , 2 z − 1 z − 1 z ( z − 1) z6
设∞为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域R<|z|<+∞内 解析，则定义函数f(z)在z=∞处的留数为 1 Res f (∞) = ∫L f ( z )dz 2πi 其中L: 积分方向为顺时针方向（实际上是包含无穷远点 的区域的正方向）.如果f(z)在z=∞的去心邻域R<|z|<+∞内 的洛朗级数为
1 d m −1 (3) Res f ( z0 ) = lim m −1 [( z − z0 ) m f ( z )] (m − 1)! z → z0 d z
第一节留数定理 优质课件
第1节 第2节
第3节
留数定理 应用留数定理计 算实变函数定积分 计算定积分补充例题
1
§4.1 留数定理
一. 留数及留数定理
1. 留数
如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据柯西定理
f (z) d z 0.
l
但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个
=
lim ( z
zz0
-
z0
)
P(z0 Q(z0
) )
=
P(z0 ) Q' (z0 )
例
Re
s
z
ze z 2-
1
,-1
lim z
z-1
1
z
ze z 2-
1
ze z
lim z-1
2z
e -1 2
Re
s
z
ze z 2-
1
,1
(1)+(2)可得
0 2if z在所有各点的留数之和
即函数在全平面上所有各点的留数之和为零,这里所有的点 包括无留数的计算方法
（一）可去奇点的留数： 对于可去奇点由定义知：Resf(z0)=0
（二） 极点的留数
1. 如果z0为f(z)的一阶极点（单极点）, 则
① l 包围一个 f(Z)的孤立奇点Z0 时
( z - z )
f (z)=
ak
k -
k
0
Cauchy 定理知： f (z)dz = f (z)dz
l
l0
又Q
1
2i
第四章 留数定理
★肯定是0/0型！为什么？
2、设z0是f (z)的m阶极点，则，
1 d Res f ( z0 ) lim m1 [( z z0 ) m f ( z )] (m 1)! z z0 dz
2
1 2 1 i lim 3 2! z 0 ( z 2i ) 8i 8
i Res f (0) 8
1 1 i （2） limi ( z 2i) f ( z ) limi 3 z 2 z 2 z 8i 8 z 2i 是 f (z ) 的单极点，其留数为
m 2
....
m 1
lim[( z z0 ) f ( z )] lim[a m a m1 ( z z0 ) a1 ( z z0 )
a0 ( z z0 )m a1 ( z z0 )m1 a2 ( z z0 ) m 2 ....] a m
1 1 2 z1 1 1 2 z2
§4.2 应用留数定理计算实变 函数定积分 一、思路:实函数定积分转换为复函数回路积分
方法1：将实轴上的某区间变换成复平面的一条闭曲线
n
3、函数在全平面的留数之和等于零——为什么？
0 f ( z )dz f ( z )dz 2 i[ Res f (bk ) Res f ()]
l l k 1
三、单极点处留数的计算P52
1、单极点的留数 方法1：
Res f ( z0 ) lim( z z0 ) f ( z )
l j 1 j
第四章留数定理及其应用
x ol
f (z)dz l
ak
zkdz
l
ak l zkdz a1 2 i
k
k
66
因此f (z)在z=的留数为f (z)在z=邻域内的罗朗展开式 中z-1项的系数的a-1相反数，即
Re sf () a1 若f (z)在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负 幂项， f (z)在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远 点为可去奇点时， f (z)在无限远点邻域内的罗朗展开式中 没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时， Res f ()一般不为零.
f (z) P(z) 1 其中P(z)=1，Q(z)=sinz，则:
Q(z) sin z
Res
f
(k )
lim
zk
1 (sin z)'
lim
zk
1 cos z
(1)k
k 0, 1, 2,
1144
由于z=不是f (z)的孤立奇点（是各奇点z=k当 k 时
的极限点），因此在z=的留数没有意义.
四、推论
若函数f (z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函 数f (z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零. 此 定理称为留数和定理.
77
【证】 设闭曲线l把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围 在内，则：
m
l f (z)dz 2 i Resf (bk ) k=1
无限远点的留数为： f (z)dz 2 i Resf () l
b
a F ( x)dx C F (z)dz l F (z)dz
2 i[F(z)在闭曲线所包围的区域内各奇点上的留数之和].
其中
b
第四篇留数定理
数值积分
留数定理也可用于提高数值积分的精度 和收敛速度。通过分析被积函数的奇点 并计算留数,可以优化数值积分算法并 得到更准确的结果。
留数定理在电路分析中的应用
频域分析
留数定理可用于求解复变函数 在极点附近的积分,从而分析 电路中的频域特性,如振荡频 率、带宽等。
极点和零点分析
留数定理可用于确定电路系统 的极点和零点,从而预测系统 的动态特性和稳定性。
统中复杂的数学模型,分析 系统的安全性和稳定性。
。
3 抗攻击设计
4 信号处理应用
利用留数定理的特性,可以 设计出更加抗攻击的密码学
留数定理在数字信号处理中 的应用,可用于加解密数字
算法和协议。
信号的分析和处理。
留数定理在神经网络中的应用
系统参数分析
通过运用留数定理,可以分 析动力系统对参数的敏感 性,从而优化系统的性能和 稳定性。这在工程设计中 有广泛应用。
混沌理论研究
留数定理为动力系统混沌 行为的研究提供了理论基 础,有助于更好地理解和预 测复杂非线性系统的行为 。
留数定理在量子计算中的应用
量子位编码
留数定理在确定量子位编码时发挥重要作用,用于分析复杂的量子态波函数。
留数定理在代数几何中的应用
曲线积分计算
留数定理可用于计算复平面上闭合 曲线的复积分,在代数几何中广泛应 用于求解各种代数曲线的面积、长 度等几何量。
奇点分析
利用留数定理可以确定代数曲线上 的奇点位置和性质,有助于描述代数 曲线的几何特性。
复平面映射
留数定理可应用于研究复平面上的 解析函数对域的映射,在代数几何中 具有重要的理论意义。
留数定理在微分几何中的应用
1 曲面拓扑
2 曲率计算
数学物理方法 第4章 留数定理
e
ma
2 ia
0
cos ma x a
2 2
dx i
e
ma
e
ma
2 ia
2a
y
例：
0
sin x x
dx
Cε
CR
解：如图4.9所示，
图4.9
0
x
sin x x
dx lim
R 0
R
sin x x
R e imx dx lim dx R 2i 0 x 1
1
z 1
1 2
z z 2
1
2
iz
dz
z 1
z (1 ) z
2 2
i
f (z)
dz
z 1
( z 1)( z )
1
记：
z
( z 1)( z )
它在复平面上有2个单极点
和
1
其中 z 在单位圆内，其留数为：
CR
x 图4.7
f ( x ) dx 2 i
{
f (z)
在上半平面所有奇点的留数之和}
例：
dx 1 x
2
解： 记：
z i
f (z)
1 1 z
2
,它在上半平面有单极点
其留数为：
1 zi 1 2i
Re sf ( i ) lim ( z i ) f ( z ) lim
1 z ( z 2i)
3
并求函数在这些极点的留数。
留数定理
求出函数在
这些极点的留数.
解
f (z) = z + 2i z5 + 4z3
=
z + 2i z3 (z2 + 4)
=
z3(z
z + 2i + 2i)(z
− 2i)
=
1 z3 (z − 2i)
(1)、当z→2i时，f(z) →∞，所以z=2i是f(z)的极点，
lim ( z
z→2i
− 2i)
f
(z)
=
lim
∫l f (z)dz = −2π ia−1
Re sf (∞) = −a−1
二、全平面的留数和为零
∞
∑ f (z) = ak z k k =−∞ (R < z < ∞)
函数f(z)在全平面上所有各点的留数之和为0。 这里的所有各点包括无限远点和有限远的奇点。
{ f (z)在所有有限远奇点上的留数和 + Re sf (∞)} = 0
n
∫ ∑ l
f
( z )dz
=
2π i
Re sf
j =1
(bj )
注意: 左边的积分是沿l 的正向进行的；
右边的奇点是指l 所围区域内的，并非是f(z)所有
的奇点。
7
留数定理对于无限远点也成立：
∞
∞
∫ ∫ ∑ ∑ ∫ f (z)dz = l
l k =−∞ ak z k dz = k =−∞ ak
l zk dz = 2π ia−1
∫ dz
z =1 ε z2 + 2z + ε
(0 < ε < 1)
∫ dz = πi
z =1 ε z2 + 2z + ε 1− ε 2
04_留数定理
04_留数定理04_留数定理，又称为四象限定理，是数学中一个重要的结论。
这个定理的本意是说，如果在一个坐标系中有n 个不同的数，那么在这n个数中至少有四个数会具有相同的余数。
04_留数定理的定义：设a1,a2,...,an是不同的正整数，m是正整数，则必有四个数ai，aj，ak，al满足ai mod m=aj mod m= ak mod m= al mod m。
04_留数定理推导：这个定理可以用反证法来证明。
假设有n个正整数a1,a2,...,an，其中有m个不同的余数，即有m种形式：ai mod m=0, ai mod m=1, ai modm=2,..., ai mod m=m-1。
令A={ai|ai mod m=0}, B={ai|ai mod m=1},C={ai|ai mod m=2}, ..., D={ai|ai mod m=m-1}，则A,B,C,...,D是n个正整数的一个划分。
由于n>m，所以至少有一个集合包含至少两个数，假设A包含至少两个数，即ai mod m=aj mod m=0，则ai mod m=ak mod m=al mod m，即得证。
04_留数定理的应用：1、留数定理在抽样调查中有着广泛的应用。
例如，当希望从一个总体中进行抽样时，可以使用留数定理来实现随机抽样，从而减少样本选择的随机性。
2、留数定理在有线电视信号中也有应用。
有线电视信号是通过在一个坐标系中将图像的N个像素点的坐标转换成多个余数来表示的，其中N是像素点的数量。
因此，通过使用留数定理，可以减少由于信号传输的原因而导致的图像像素混乱的情况。
3、留数定理还可以用来加速数据处理的速度。
当需要处理大量数据时，可以将这些数据按照其余数分成多个组，这样可以减少处理时间。
5.1.1 留数定理
第五章 留 数 第一节 一般理论1、留数定理：设函数f (z )在点0z 解析。
作圆r z z C =-|:|0，使f (z )在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分⎰C dz z f )(等于零。
设函数f (z )在区域R z z <-<||00内解析。
选取r ，使0<r<R ，并且作圆r z z C =-|:|0，那么如果f (z )在0z 也解析，则上面的积分也等于零；如果0z 是f (z )的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零；这时，我们把积分⎰Cdz z f i )(21π 定义为f (z )在孤立奇点0z 的留数，记作),(Res 0z f ，这里积分是沿着C 按反时针方向取的。
注解1、我们定义的留数),(Res 0z f 与圆C 的半径r 无关：事实上，在R z z <-<||00内，f (z )有洛朗展式：∑+∞-∞=-=n n n z z z f )()(0α，而且这一展式在C 上一致收敛。
逐项积分，我们有,2)()(10-+∞-∞==-=∑⎰⎰απαi dz z z dz z f n C n n C因此，10),(Res -=αz f 。
注解2、即f (z )在孤立奇点0z 的留数等于其洛朗级数展式中1z z -的系数。
注解3、如果0z 是f (z )的可去奇点，那么.0),(Res 0=z f定理1.1（留数定理）设D 是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭曲线C 。
设f (z )在D 内除去有孤立奇点n z z z ,...,,21外，在每一点都解析，并且它在C 上每一点都解析，那么我们有：),,(Res 2)(1k nk C z f i dz z f ∑⎰==π这里沿C 的积分按关于区域D 的正向取的。
证明：以D 内每一个孤立奇点k z 为心，作圆k γ，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D 内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。
第一节留数定理
f ( z ) d z f ( z) d z f ( z ) d z L f ( z) d z.
l l1 l2 ln
1 f ( z ) d z Res f (b1 ) Res f (b2 ) L Res f (bn ) 2πi l 即
f ( z ) d z 2 π i Res f (b ).
故此单极点在单位圆内,计算积分时必须考虑,我们可以得到
-1 1 - 2 Re sf
1 1 1 lim lim z z0 2z 2 2 1 - 2 z z0 2 z 2 z
然后应用留数定理可得结果如下
dz 1 i • 2i Re sf ( z0 ) 2i 2 2 2 z 2 z 2 1 1 | z| 1
15
ze z dz 2 练习 1. 计算积分 C z - 1 , C 为正向圆周|z|=2.
z ez f ( z) 2 [解 ]由于 z - 1 有两个一阶极点 +1,-1, 而
13
1 d2 3 1 d2 1 Re sf (0) lim 2 z f ( z ) lim 2 z 0 2! dz z 0 2! dz z - 2i 1 1 i lim 3 z 0 z - 2i 8 8i dz • (0 1) 例4 计算沿单位圆|z|=1的回路积分 z 2 2 z • | z| 1 1 的分母为零,可以得到 解 令被积函数 f ( z ) 2 z 2 z 2 1 1 二次代数方程 z 2 2 z 0 其两根为 z
2 2 3 ( z - z0 ) f(z)= a -1 + a0 ( z - z0 ) + a1 ( z - z0 ) + a 2 ( z - z0 ) +……
第四章-留数定理
l 不包围 α l 包围 α n ≠ 1
( z α ) n dz = 0 . ∫
l
1. 定理 设函数 f(z) 在回路 l 所围区域 B 是除有限个孤 立奇点 b , b , , b ，外解析，在闭区域 B
1 2 n
上除点 b 1 , b 2 , , b n 外连续，则
∫ f ( z )dz = 2πi∑ Re sf (b ).
ε
1+ 1ε 2 1ε2 ε(z + )
ε
dz 1 πi = 2πi = . 2 ∫ z =1 εz + 2 z + 1 2 2 2 1 ε 1 ε
4.2 应用留数定理计算实变函数定积分
留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积 分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利 用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的， 要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的 一部分。 如图，对于实积分 ∫
∫
CR
zf ( z )
dz z
≤ max zf ( z )
∫
dz z
CR
= max zf ( z )
πR
R
= π max zf ( z ) → 0
R→∞
2πi{∑ Re sf ( z j ), z j ∈ 上半平面 } =
j
R
∫ f ( x) dx
R
例 I =
∞
∞
∫
dx , 2 n (1 + x )
1
1
例
dx I = ∫ , 1 + ε cos x 0
2π
0 < ε <1
解 I=
dz / iz 2 dz ∫=1 z + z 1 = i z∫=1 εz 2 + 2z + ε z 1+ ε 2
留数的定义留数定理留数的计算规则无穷远点的留数
但是，若将 f ( z) 作Laurent 级数展开:
z sin z 1 1 3 1 5 6 [ z ( z z z )] 6 z z 3! 5! 1 1 11 3 3! z 5! z
z sin z 1 Re s[ ,0] c1 6 z 5!
4. 无穷远点的留数
1. 留数的定义
定义 设 z0为f (z)的孤立奇点， f (z)在 z0邻域内的 洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)在 z0 的留数(Residue)， 记作 Res[f (z), z0] 或 Res f (z0)。 由留数定义, Res[f (z), z0]= c–1
由规则
5z 2 2 Re s[ f ( z ), 0] lim zf ( x ) lim 2 z 0 z0 ( z 1)
1 d 2 5z 2 Re s[ f ( z ) , 1 ] lim {( z 1) } 2 z 1 ( 2 1)! dz z( z 1) 5z 2 2 lim ( )' lim 2 2 z 1 z 1 z z
---显然该方法较规则 II 更简单！
(2)由规则 II的推导过程知，在使用规则II时， 可将 m取得比实际级数高，有时，这可使计算更简单。
如
z sin z 1 d 6 z sin z Re s[ ,0] [z ( )] 6 5 6 z (6 1)! dz z
5
1 d5 1 1 ( z sin z ) lim( cos z ) 5 5! dz 5! z 0 5!
1 故 Re s[ f ( z ), z0 ] c1 f ( z )dz 2i c ( 2)
第四章留数定理
重点
1、留数的概念与留数定理； 2、应用留数定理计算复变函数的积分； 3、应用留数定理计算实变函数的积分
§4.1 留数定理
一 、留数及留数定理
1.留数
如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据Cauchy定理
f (z) d z 0.
l
但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去 心邻域0<|z-z0|<R内包含z0的任意一条正向闭曲线的积分
l
l1
l2
ln
f (z) d z 2πi[Res f (z1) Res f (z2 ) Res f (zn )]
l
n
即 f (z) d z 2 π i Res f (z j ).
l
j 1
zn l3 z3
ln z1 l2 z2
l1
D
l
求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内
令 z ei
dz iei d d dz ,
iz
sin 1 (ei ei ) z - z-1 ,
2i
2i
cos 1 (ei ei )
z z1
,
2
2
当 历经变程 [0,2π ] 时,
z 沿单位圆周 z 1的 正方向绕行一周.
2π
0
R(cos
,
sin
)d
z
1
R
z
2 2z
1
,
z
2 2iz
(1)n
例4 计算积分
z
zez 2
1
d
z
，C为正向圆周|z|=2.
C
解
由于
f (z)