[理学]留数定理及其应用
数学物理方法-留数
2
2
sin ei ei 1 z z1 2i 2i
2. 把原积分变成：
２ R(cos,sin ) d f (z) d z
０
|z|1
2 i f (z)在单位元内孤立奇点的留数之和
5.2 利用留数定理计算实函数积分
１
2 i
C
f
( z )dz
Resf
()
C
１
n
2 i C f (z)dz k1 Resf (bk )
x
二者相加，并注意到右边两个积分的围道的方向
相反，其和为零，得到右边所有有限孤立奇点和
无穷远点的留数之和为0。
5.1 留数及其留数定理
6.所有奇点留数之和：应用
例题：求积分
1
zk
e2 ki/4
i 1
i
k 0 k 1 k 2 k 3
都是一阶极点，且都在 z 2内。
y | z | 2
x
例题
5.1 留数及其留数定理
例4
ez
计算积分 |z|2 z(z 1)2 dz
5.2 利用留数定理计算实函数积分
5.2 利用留数定理计算实函数积分
2.留数定理:证明
如图，在每个孤立奇点bk，以bk为中心，做一个小圆 k ,使得每个 k中只包含一个孤立奇点bk。则根据多联通区域的柯西积分公式
有
m
C
f
z dz
k 1 k
f
z dz
其中
也是逆时针方向的。
k
将f z 在bk的邻域内展开为洛朗级数
f
因此
第四章. 留数定理及其应用
n=−∞
Lk
(z
−
bk
)n dz
=
a(k) n n=−∞
2π
i δ n, −1
=
a(k) −1
⋅ 2π
i
=
2π
i
Re s
f
(bk
)
m
∫ ∑ ⇒ L f (z)dz = 2π i k=1 Re sf (bk )
(1) 方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数的奇点。 留数定理：将上述两者建立了一种关系。
2. 利用自变量的变换把 L1变换成某个新的复数平面的 回路，这样就可以应用留数定理了。
或者另外补上一段曲线L2 ，使L1, L2构成回路 L，L 包围
区域 D。把 f(x)解析延拓到 D（往往： f (x) → f (z) ），再 沿 L 积分。
∫ ∫ ∫ f (z)dz = f (x)dx + f (z)dz
∫ ∑ 于是：
I = g(z)dz = 2π i z =1
Re s g(bk )
k
例： P84 [例4.2.1]
∫ 二、 ∞ −∞
f
( x)dx
型积分
无穷积分实际上应理解为：
∫ I = lim R2 f (x)dx （如果极限存在） R1 , R2 →∞ − R1
积分主值：有时当上下限分别趋于∞ 时，积分的极限值
f (z) = ϕ(z) ψ (z)
(b
是
f(z)的一阶极点，则是
ψ ϕ
(z) (z)
的一阶零点)
式中ϕ (z) ，ψ (z) 均在 b 点解析，ϕ (b) ≠ 0 ，而 b 为ψ (z)
的一阶零点 (即ψ (b) = 0,ψ '(b) ≠ 0 )
留数定理及其应用
式，故 I = 2πi sin 0 = 0．
例3 I=
e1/z dz．
|z|=1
解 本题的被积函数 f (z) = e1/z 在圆周 |z| = 1 的内部有一个本性奇点 z = 0，它在
z = 0 处的 Laurent 展开式为 f (z) = e1/z = 1 + 1/z + . . . + 1/n!zn + . . .，故 Res f (0) =
n=−∞
则
cn
=
1 2πi
Γρ
(z
f (z) − a)n+1
dz.
令 n = −1，得
c−1
=
1 2πi
f (z) dz.
Γρ
与式 (1) 比较，即得
Res f (a) = c−1.
(2)
由此可知，可去奇点处的留数为 0． 注 有些书上直接用式 (2) 作为留数的定义，这与式 (1) 的定义显然是等价的．
数的问题．由上节可以看到，计算极点的留数主要涉及微分运算．对于本性奇点，必须作
Laurent 展开来计算其留数．作 Laurent 展开，通常归结为 Taylor 展开，而计算 Taylor 展
开式的系数也是微分运算问题．所以可以说，留数定理把积分运算转化成了比较容易的微分
运算，因此它为积分的计算提供了一项非常有用的技术．
§3 用留数定理计算围线积分
4
推论一（单极点的留数，第一公式） 若 a 是 f (z) 的单极点，则
Res f (a) = [(z − a)f (z)]|z=a.
(5)
推论二（二阶极点的留数） 若 a 是 f (z) 的二阶极点，则
Res f (a) = [(z − a)2f (z)] |z=a.
数学物理方法 留数定理及其应用
对于条件(1)
奇点 z=/2i, 3/2i,
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)
1 dx cosh x
y=
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
0
O
R
R
eix 1 dx cosh x 1 e
eiz C cosh z dz
0 eiR y eiR y dy i dy cosh( R iy ) cosh( R iy )
2 i iz Res f ( z ) e 1 e z i / 2
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)
eix dx cosh x
y=
y=/2 y=0
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
eiz C cosh z dz R R eix eix dx dx R cosh x R cosh( x i ) i
| z z0 |
f z dz a z z dz
n | z z0 | n n 0
z0
2 ia1
如何计算留数，或系数a-1
数学物理方法2015.02
第一节 留数及留数定理
留数的计算方法
(1) 一般方法：利用留数的定义来求留数 (2) 根据孤立奇点的类型来计算留数
第六章 留数理论及应用
第六章 留数理论及应用第一节 留数1、留数定理：设函数f (z )在点0z 解析。
作圆r z z C =-|:|0，使f (z )在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分⎰Cdz z f )(等于零。
设函数f (z )在区域R z z <-<||00内解析。
选取r ，使0<r<R ，并且作圆r z z C =-|:|0，那么如果f (z )在0z 也解析，则上面的积分也等于零；如果0z 是f (z )的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零；这时，我们把积分⎰C dz z f i)(21π 定义为f (z )在孤立奇点0z 的留数，记作),(Res 0z f ，这里积分是沿着C 按逆时针方向取的。
注解1、我们定义的留数),(Res 0z f 与圆C 的半径r 无关：事实上，在R z z <-<||00内，f (z )有洛朗展式：∑+∞-∞=-=n n nz z z f )()(0α，而且这一展式在C 上一致收敛。
逐项积分，我们有,2)()(10-+∞-∞==-=∑⎰⎰απαi dz z z dz z f n Cnn C因此，10),(Res -=αz f 。
注解2、即f (z )在孤立奇点0z 的留数等于其洛朗级数展式中1z z -的系数。
注解3、如果0z 是f (z )的可去奇点，那么.0),(Res 0=z f定理1.1（留数定理）设D 是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭曲线C 。
设f (z )在D 内除去有孤立奇点n z z z ,...,,21外，在每一点都解析，并且它在C 上每一点都解析，那么我们有：),,(Res 2)(1k nk Cz f i dz z f ∑⎰==π这里沿C 的积分按关于区域D 的正向取。
证明：以D 内每一个孤立奇点k z 为心，作圆k γ，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D 内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。
[理学]第七章 留数定理及其应用_OK
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(z 1)2
4
z 1
14
例题 求 z 3 cos 1在孤立奇点的留数。 z2
解 z 2 为 f (z) z 3 cos 1 在复平面内的唯一孤立奇点， z2
lim z3 cos 1 不确定，z 2 为本性奇点。
z2
z2
可将 z 3 cos 1 在 0 z 2 展开， z2
15
f
k1 n
k
4
因为
C
(z
a)n
dz
2i,
0,
n 1 且C 内含有z = a n 1
n
n
可知 f (z)dz a(k1) 2i 2i resf (bk )
C
k 1
k 1
复连通区域的柯西定理＋洛朗展开系数公式
留数定理
5
留数的求法
设 z = b 是 f(z) 的 m 阶极点，则在 b 点的邻域内
16
例题 对有理函数 f (z)
1 部分分式。
(z 1)(z 2)(z 3)
解 f (z) A B C 显然，A、B、C 正好是 f(z) 在 z1 z2 z3
一阶极点 z = 1，z = 2，z = 3 的留数，所以
A resf (1) lim(z 1)
1
1
1
z1
(z 1)(z 2)(z 3) (z 2)(z 3) z1 2
其中0点和无穷远点分
别在一条半径的两端。 则从该奇点看该邻域 的正方向与从无穷远 点看该邻域的正方向 相反。和为0。
所以，所有有限孤立
奇点的留数的和与无 穷远点的留数和相加 均为0。
如果从数学上严格证明的 话，则需要进行一些计算
19
证明: Re sf () 2i f (z)dz c
留数定理及其应用
留数定理及其应用
留数定理是复变函数理论中的重要定理，用于计算函数在奇点处的留数。
具体来说，如果函数f(z)在区域D内解析，除了有
限个孤立奇点外，则对于D内的任意简单闭曲线C，有如下
留数定理：
∮Cf(z)dz = 2πi * sum(Res(f, z_k))
其中，∮C表示沿C的积分，Res(f, z_k)是函数f(z)在奇点z_k
处的留数。
留数定理的应用主要包括以下几个方面：
1. 计算积分：通过计算函数在奇点处的留数，可以用留数定理来计算复变函数沿闭合曲线的积分。
这样可以简化积分计算，尤其对于实数不易计算的积分，留数定理非常有用。
2. 计算极限：通过留数定理，可以计算复变函数在某个奇点处的极限。
如果函数的极限存在，那么它等于该点处的留数。
3. 解析延拓：通过计算函数在奇点处的留数，可以确定函数在奇点处的性质，如极点的类型（一级极点、二级极点等）以及解析延拓的可能性。
4. 解析函数恢复：留数定理可以用于还原函数原本的性质，即通过计算函数在奇点处的留数，可以还原函数在奇点前的数值。
总之，留数定理是复变函数理论中的重要工具，广泛应用于多个数学和工程领域，如积分计算、边界值问题、电路分析等。
它简化了复变函数的计算和研究，为解决实际问题提供了有效的方法。
数学物理方法课件：第四章 留数定理及其应用
z0
z0 z 2i 2i 2
z0 0 是f（z）的三阶极点
Re
s
f（0）
lim
z0
1 2！
d2 dz 2
z3 f（z）
1 d2
lim
z0
2！
dz
2
1
z
2i
12
lim
z0
2！（z
2i）3
1 i
8i 8
[例2] [解1]
求
f（z）
1 zn 1
f（z）（z 1）（z
在z0=1的留数
k！
Re s
f（z0）
a1
bm 1 （m
1
d m1
1）！dzm1
（z）
z z0
Re s
f（z0）（m
1 1）！zlimz0
ddzmm11（z
z0）m
f（z）
[推论]
若
f（z）
P（z），其中
Q（z）
P（z）和
Q（z）都在
[z则证0点：明解] 析R，Pe（s且zf0）（Pz（00），z0）QQ（P0（（，z0）zzQ00））（0z0） 0，Q（z0） 0
对
R
z
k
环 域中一个正向
（顺时针）回路l’，另作一
l
个围绕 点半径r很大的圆
形环路C。根据柯西定理：
C
f（z）dz f（z）dz ak zkdz
l
C（）
k C
zkdz （rei）kd（rei）
C
C
ir
k
1
2
e
i（k
1）
d
0
2i
k 1 k 1
0
第四章留数定理及其应用
x ol
f (z)dz l
ak
zkdz
l
ak l zkdz a1 2 i
k
k
66
因此f (z)在z=的留数为f (z)在z=邻域内的罗朗展开式 中z-1项的系数的a-1相反数，即
Re sf () a1 若f (z)在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负 幂项， f (z)在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远 点为可去奇点时， f (z)在无限远点邻域内的罗朗展开式中 没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时， Res f ()一般不为零.
f (z) P(z) 1 其中P(z)=1，Q(z)=sinz，则:
Q(z) sin z
Res
f
(k )
lim
zk
1 (sin z)'
lim
zk
1 cos z
(1)k
k 0, 1, 2,
1144
由于z=不是f (z)的孤立奇点（是各奇点z=k当 k 时
的极限点），因此在z=的留数没有意义.
四、推论
若函数f (z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函 数f (z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零. 此 定理称为留数和定理.
77
【证】 设闭曲线l把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围 在内，则：
m
l f (z)dz 2 i Resf (bk ) k=1
无限远点的留数为： f (z)dz 2 i Resf () l
b
a F ( x)dx C F (z)dz l F (z)dz
2 i[F(z)在闭曲线所包围的区域内各奇点上的留数之和].
其中
b
第四章 留数定理及其应用
类型II 设积分 类型
∫
∞
−∞
存在， f ( x) dx存在，复变函数 f (z) 在
实轴上没有奇点，在上半平面内只有有限个奇点， 实轴上没有奇点，在上半平面内只有有限个奇点，且
lim z f ( z ) = 0,(0 ≤ arg z ≤ π )
z →∞
则
∫
∞
−∞
f ( x) dx = 2π i
Im z > 0
2.另一个定义 在无穷远点的去心邻域 R < | z | < ∞ , 另一个定义:在无穷远点的去心邻域 另一个定义 的洛朗展式为： 若 f (z) 的洛朗展式为：
f ( z) =
n=−∞
an z n , ∑
∞
( R < | z | < ∞)
则无穷远点的留数值为： 则无穷远点的留数值为：
Res f (∞) = −a−1
∑ Res f ( z)
C
(*)
证明： 证明：
∫
∞
−∞
f ( x) dx = lim ∫ f ( z ) dz − lim ∫
R→∞
R→∞ CR
f ( z ) dz
引理4.1) 引理 = lim ∫ f ( z ) dz − 0 (引理
R→∞ C
= 2π i
Im z > 0
∑ Res f ( z)
(留数定理 留数定理) 留数定理
留数：负一次幂的系数. 留数：负一次幂的系数 适用于所有的孤立奇点类型; 适用于所有的孤立奇点类型 特别是本性奇点或性质不明的奇点 特别是本性奇点或性质不明的奇点. 本性奇点
例4.4 例4.5
f ( z) = e 求 Res f (0)
留数的定义,性质以及应用
P( z ) ( z − z0 ) f ( z ) = Q ( z ) − Q ( z0 ) 因为 z − z0
令 z→z0 即得(5.2.6)
9
ze dz 2 ∫ 例 1 计算积分 C z − 1 , C 为正向圆周|z|=2.
z ez f ( z) = 2 [解] 由于 z − 1 有两个一级极点+1,−1, 而
z
[解] z=0 为被积函数的一级极点, z=1 为二级 极点, 而 z z e e Res[ f ( z ),0] = lim z ⋅ = lim = 1. 2 2 z →0 z → 0 ( z − 1) z ( z − 1)
15
⎤ 1 d ⎡ e 2 Res[ f ( z ),1] = lim ( z − 1) ⎢ 2⎥ (2 − 1)! z →1 d z ⎣ z ( z − 1) ⎦
6
2. 留数的计算规则 规则1 如果z0为f(z)的一级极点, 则
Res[ f ( z ), z0 ] = lim ( z − z0 ) f ( z )
z → z0
m −1
(5.2.4)
规则2 如果z0为f(z)的m级极点, 则
d 1 m Res[ f ( z ), z0 ] = lim m −1 {( z − z0 ) f ( z )} (m − 1)! z → z0 d z (5.2.5)
例1 例2 例3 例4 计算积分 计算积分 计算积分
| z | =1
∫
dz (0 < ε < 1) 2 ε z + 2z + ε
ze z dz 2 z −1 z dz 4 z −1
| z|= 2
∫
| z| = 2
∫
696-第五章 留数定理及其应用
其中 c m 0.m 1
则称孤立奇点 z 0 为 f ( z ) 的 m 级极点.
1 极点判别定理: z 0 是 f ( z ) 的 m 级极点 f ( z ) g ( z) m ( z z0 )
其中 g ( z ) 在 z z0 内解析,且 g ( z0 ) 0
如函数 f ( z )
1 f ( z) z ( z 1)
1 z0 0 便是其孤立奇点. z z0 0 z1 1是 f ( z ) 的两个孤立奇
点.但函数奇点不只孤立奇点这一类 .不能认为函数 的奇点都是孤立的.
例如: f ( z )
1 cos 1 z
z0 0 是其一个奇点.但
z z 0 的负幂项,则孤立奇点 z 0 称为 f ( z ) 的本性奇点
例 如 ： 函 数 f ( z) e
1 z
z 0 为它的本性奇点,因为... z n ... 中 含 有 无 穷 多 个 2! n
( z 0) 的负幂项
1 由于 lim lim ( z z0 ) m h( z ) 0 z z0 f ( z ) z z0
1 1 如令 在 z z0 内解析 ,且不恒为零 , 0则 f ( z) f ( z0 )
1 1 m 于是由 的 m 级零点. ( z z 0 ) h( z ) 知 z 0 是 f ( z) f ( z)
1 cos 1 z
的孤立奇点.
下面我们对孤立奇点进行分类 .依据是把 f ( z ) 在 z 0 的去心邻域展开成洛朗级数 , 根据展开式的不同情 况进行分类 . 此处应强调去心邻域 0 z z0 内 展开,而不是其他环域. 1.可去奇点:如果 f ( z ) 的洛朗展开式中不含 z z 0 的 负幂项,则称孤立奇点 z 0 为 f ( z ) 的可 去奇点.此时
《数学物理方法》第4章留数定理及其应用
法则1 如果z0为f (z)的一级极点，那么
Re
s[
f
( z ),
z0
]
lim ( z
z z0
z0
)
f
(z)
证明
f (z)
c1
z
1 z0
c0
c1 ( z
z0 )
(z z0 ) f (z) c1 c0 (z z0 ) c1(z z0 )2
例1 计算积分
C
zez z2
1
dz,
其中C为正向圆周：| z
12
3)
Re s[
tan
z,
2k 1] 2
sin (cos
z z)
z 2k 1
1
.
2
2
tan zdz 2i
Res[tan z, 2k 1] = 10i
|z|3
k 0
2
11
z sin z
例5 计算下列积分 |z|1
z6 dz.
解 z 0为f (z)的三级极点.
f (z)dz=2i Res[ f (z), 0]
n
f (z)dz 2i R es[ f (z), zk ]
C
k 1
证明 由复闭路定理得
n
f (z)dz f (z)dz
C
k 1 Ck
由留数的定义得
n
f (z)dz 2i R es[ f (z), zk ]
C
k 1
y C1
C
z•1 C2 o C3 • z3 •z2 x
5
三、留数的计算
z0
]
lim(
lim
z z0
P(z0 ) Q(z0 )
数学物理方法留数定理例题
数学物理方法留数定理例题一、留数定理简介留数定理是数学物理方法中的一个重要定理，起源于复分析领域。
它指出，在一定条件下，一个函数在某个区域的边界上的取值与在该区域内部某一点的取值相同。
这个定理由德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Carl Wiener）于1880年首次提出，后来被法国数学家让·卡当（Jean Coulomb）命名为“留数”。
留数定理在复分析、实分析、偏微分方程等领域具有广泛的应用。
二、留数定理的应用1.解析延拓留数定理可以用于解析延拓问题。
当一个函数在某个区域内具有奇偶性时，可以通过留数定理将该函数在边界上的取值延拓到内部点。
这种方法在解决复杂区域的积分问题时非常有用。
2.计算积分利用留数定理可以计算复杂区域的积分。
通过将积分区域分解为简单区域，并在每个简单区域内部选择一个代表点，计算代表点处的函数值，最后将各个代表点处的函数值相加，即可得到积分结果。
这种方法称为“分部积分法”。
3.求解微分方程留数定理还可以应用于求解微分方程。
通过在边界上设置适当的边界条件，可以将微分方程转化为一个或多个积分方程。
利用留数定理计算积分，可以得到微分方程的解。
三、留数定理的推广留数定理在复分析领域有多种推广形式。
例如，在多元函数中，留数定理可以推广为多重留数定理；在无穷级数中，留数定理可以用来计算级数的和；在偏微分方程中，留数定理可以用于求解边界值问题。
四、留数定理与其他数学物理方法的联系与区别留数定理与其他数学物理方法，如解析延拓、residue 计算、积分方程方法等有密切联系。
它们都用于解决复分析和实分析中的问题，但具体应用场景和解决问题的手段不同。
留数定理侧重于研究函数在边界与内部点之间的关系，而其他方法则关注如何利用这种关系求解问题。
五、留数定理在实际问题中的应用案例留数定理在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在电路分析中，留数定理可以用于计算复杂电路中的电流、电压等物理量；在经济学中，留数定理可以用于研究货币供应量、利率等经济变量之间的关系；在生物学中，留数定理可以用于研究生物种群的数量动态等。
第4章留数定理及其应用
4.1
留数定理
residue
f ( z ) dz = 2π i ∑ Re sf (bk )
k =1 m
一、留数定理 若函数 f(z)在 D 内除有限个孤立奇点 bk 外解析，则
∫
L
( Re s f (bk ) = a−k ) 1
D L： 内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。
Re s f (bk ) ：f(z)在 D
8
式中 ϕ ( z ) ，ψ ( z ) 均在 b 点解析， ϕ (b) ≠ 0 ，而 b 为ψ ( z ) 的一阶零点 (即ψ (b) = 0, ψ ' (b) ≠ 0 )
ϕ ( z) a−1 = lim( z − b) f ( z ) = lim( z − b) z →b z →b ψ ( z)
1 = 2i
(3)计算 Resf(0)
1 1 方法一： Resf (0) = lim( z − 0) f ( z ) = lim z ( z − 2i ) z = − 2i z →0 z →0
方法二： a2 = 0 是 f(z)的一阶极点，且 f ( z ) = ( z − 2i) z ⇒ ψ ( z )
⇒ 2π i Re s f (∞ ) + 2π i ∑ Re s f (bk ) = 0 ⇒
∑ Re s f (b ) + Re s f (∞) = 0
k k
k
——求 z = ∞处留数的另一种方法；可将求许多有限远点 的残数之和的问题转化为求无穷远点的留数问题。
19
2. 应用：先求出容易求的留数，再利用这个定理求比较 难求的留数。 例：求
n
n = −∞
( a nk ) 2π i δ n , −1 ∑
第5章留数定理及其应用
2 1 2 πi 2π = ∫ dz = = 2 2 i | z|=1 2 z + ε ( z + 1) i 1− ε 1− ε 2
例2：
∫
2π
0
1 dθ 3 − 2 cos θ + sin θ
第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型二
∫
+∞
−∞
f (x )dx
其中被积函数在实轴上无奇点；积分区间为(- , ) 无穷积分的收敛性 柯西主值
∫
∞
0
F(x) cos mxdx π i = G(x)sin mxdx =π
∑Re s[F(b )e
k=1 n k k
n
imb k
] Imz>0 ] Imz>0
∫
∞
0
∑Re s[G(b )e
k=1
imb k
证明： 证明： ∞
∫
0
F(x) cos mxdx = ∫ F(x) 0
∞
e
imx
∞ 1 ∞ −imx imx = [∫ F(x)e dx + ∫ F(x)e dx] 0 2 0 1 ∞ imx = ∫ F(x)e dx 2 −∞
−∞
cos x dx 3 cosh x
第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型三
(x )eimx dx ∫−∞ f
其中被积函数 f (x) 在实轴上无奇点； 积分区间为(- , ),m > 0 -R O R
+∞
CR
∫
∞
−∞
f ( x)eimx dx = 2π i × { f ( z )eimz 在上半平面内所有奇点处的留数和}
第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型一
《留数定理及其应用》课件
留数定理的基本思想
为了更好地理解留数定理，我们需要回顾一些复分析的基础知识，以及复函数在圆盘中的解析性质。这将为我 们后续用留数定理求函数在无穷远处的极限打下坚实的基础。
留ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定理的应用
留数定理在数学和物理学中有广泛的应用。我们将一起探讨如何利用留数定 理来求解不同类型的积分、极点以及奇异点，揭开这一神奇定理的应用面纱。
《留数定理及其应用》
探索留数定理及其应用的 PPT 课件，深入浅出地介绍留数定理的定义、基本 思想和应用，以及一些有趣的实例分析。让我们一起探索复分析的精彩世界！
什么是留数定理
留数定理是复分析中重要的工具之一，它能够帮助我们计算积分、求解极点和奇异点等问题。让我们先来了解 一下留数定理的定义和历史，探索其中蕴含的数学美。
实例分析
让我们通过几个实例来深入理解留数定理的具体应用。我们将一起计算一个积分、求解极点以及求解奇异点， 用实例来验证留数定理的实际效用。
总结
我们将总结留数定理的优点和局限性，并展望它在未来的应用前景。留数定理不仅是复分析中的重要工具，更 是数学世界里的一颗璀璨明珠。
6.2留数定理及其应用
R e s [ f ( z ), ] C 1 0 .
R es[ f (z ), ] R es[ f ( 1 ) 1
2
, 0]
z z
R es[
1 (1 -3 z)(1 -z )
4
,0] 0
四.利用留数计算某些实积分
(1)
2
0
R (cos , sin ) d 型 , 其中 R (cos , sin ) 为
由留数定理一： I 2 i(R es [ f ( z ), 1] R es [ f ( z ), i ])
1 2 2 i lim [( z 1) f ( z )] lim [( z i ) f ( z ) z1 z i (2 1)!
2 i(
6 ( 1 )( 4 )( 6 )
1
.
解 f (z) 2 3 （1 z )
0
1 2 i
1 （1 x )
2 3
dx
1
2
1
1 （1 x )
2 3
dx
3
2 i Re s [ f ( z ), i ] i 1 12 3 16
( 3 1 )! z i
lim [( z i )
z ai 2
f ( z ) ) lim (( z bi ) f ( z ))]
z bi
2 i[
b
3
2
3a
2
2 2 2
4a i(b
a
2 bi ( b
1
2
)
a
2 2
]
(b 2a )
留数定理及应用
留数及其应用摘 要数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用．关键词 留数定理；留数计算；应用引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．一. 预备知识 孤立奇点1．设()f z 在点a 的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点则)(z f 在R z z <-<00某去心邻域解析，但在点a 不解析，则称a 为f 的孤立奇点.例如sin zz，1z e 以0=z 为孤立奇点.以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.11sin z以0=z 为奇点（又由1sin0=z ，得1(1, 2...,)π==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点）2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域，有1()()()，∞∞-===+-∑∑-nnnnn n f z c z a c z a 称()n=1∞-∑-nnc z a 为()f z 在点a 的主要部分，称()∞=-∑nnn z a c 为()f z 在点a 的正则部分，当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点； 当主要部分为有限项时，设为(1)11(0)()()------+++≠---m mm m m c c c c z a z a z a称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点.二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．2. 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…n C -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1[]1（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所围的区域D ，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大围”积分）()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰． （1）证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得()()1knk Cf z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，由留数的定义，有()()2Re kkz a f z dz i s f z π=Γ=⎰．特别地，由定义得 ()2Re kkz a f z dz i s π=Γ=⎰，代入（1）式得()()12Re kn z a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．定理2 设a 为()f z 的n 阶极点，()()()nz f z z a ϕ=-，其中()z ϕ在点a 解析，()0a ϕ≠，则()()()()11!n z aa Res f z n ϕ-==-．这里符号()()0a ϕ代表()a ϕ，且有()()()()11lim n n z aa z ϕϕ--→=． 推论3设a 为()f z 的一阶极点，()()()z z a f z ϕ=-， 则 ()()z aRes f z a ϕ==．推论4设a 为()f z 的二阶极点，()()()2z z a f z ϕ=-，则 ()()'z aRes f z a ϕ==．3. 留数的引理引理1 设()f z 沿圆弧:i R S z Re θ= (12θθθ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim R zf z λ→+∞=于R S 上一致成立(即与12θθθ≤≤中的θ无关)，则()()21limRS R f z dz i θθλ→+∞=-⎰．引理2(若尔当引理) 设函数()g z 沿半圆周:i R z Re θΓ= (0θπ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim 0R g z →+∞=在R Γ上一致成立，则()()lim00Rimz R g z e dz m Γ→+∞=>⎰．引理3 (1)设a 为()f z 的n 阶零点，则a 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且()()'z af z Res n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； (2)设b 为()f z 的m 阶极点，则b 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且 ()()'z bf z Res m f z =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．三. 留数的计算1. 函数在极点的留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=-法则2：设)()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=---）（.2. 函数在无穷远点的留数定理 1 如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在） 为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则 4： 211Re [,]Re [(),0]s f z s f z z∞=-⋅（）.例 1 求函数2()1ize f z z =+在奇点处的留数．解()f z 有两个一阶极点z i =±，于是根据（6.5）得2()Re (,)()22i P i e is f i Q i i e ===-'2()Re (,)()22i P i e is f i e Q i i ---==='-- 例 2 求函数3cos ()zf z z =在奇点处的留数． 解 ()f z 有一个三阶极点0z =，故由（6.7）得33001cos 11Re (,0)lim()lim(cos )222z z z s f z z z →→''=⋅=-=-四. 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．1. 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。
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两边除以（m-1）!后取 z b 的极限：
d m1 a1 lim m1 [( z b)m f ( z )] (m 1)! z b dz
数学物理方法
d m1 a1 lim m1 [( z b)m f ( z )] (m 1)! z b dz 3.令 m=1（一阶极点） ，得 a1 lim( z b) f ( z )
第四章 留数定理及其应用
已讲：一个解析函数在它的解析区域内各处的函数 值有很强的内在联系，这突出表现在柯西积分公式及其 推论。 1 f ( z) f (a) dz 2πi l z a 本章：讨论这种关系的另一种表现形式：解析函数 的积分值与函数的奇点的关系。 留数定理：复变函数的积分理论与级数理论相结合 的产物。
L
f ( z )dz 2 i Re sf (bk )
k 1
bn L3 b 3
Ln L2
b1 L1 L b2
数学物理方法
L
f ( z )dz 2 i Re sf (bk )
k 1
m
bn L3 b 3
Ln L2
b1 L1 L b2
（1）方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数在奇点 的留数。留数定理：将上述两者建立了一种关系。 （2）要计算解析函数的积分，关键：计算留数； （3）留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物； （4）bk (k 1, 2, ) 是 L 所包围的 f ( z ) 的所有奇点，而不是 f ( z ) 所有的奇点。
数学物理方法
二、留数的计算方法
奇点的类型
Re sf (b) a1 Re sf (b) a1 0
(1)
可去奇点
m 阶极点
1 d m1 a1 lim m1 [( z b)m f ( z )] (m 1)! z b dz
a1 lim( z b) f ( z )
(k ) 的系数 a 1 ，称为 f ( z ) 在 z bk 的留数。 (k ) a 1 ： f ( z ) 在它的第 k 个孤立奇点 bk 的邻域内洛朗展开式
中 ( z bk )1的系数。
数学物理方法
证明： 在 D 内， 以各个奇点 bk 为圆心， 作小圆周 L1 , L2 , 闭通区域。 由柯西定理： f ( z )dz
1 例 1：求 f ( z ) 在其奇点的留数。 ( z 2i ) z
z b
(2)
普遍公式 一 阶 极点
(3)
( z) , (b) 0, (b) ( z) a1 (b) (b) 0, (b) 0
f ( z)
在 0 z b R 展开 f ( z ) 得 a1
(4)
本性奇点
(5)
数学物理方法
证明： 1. f ( z ) 以可去奇点为中点的无心邻域中的洛朗级数没有负 幂项
两边对 z 求（m-1）阶导数：
a1 ( z b)m1 a0 ( z b)m
d m1 m! (m 1)! m 2 [( z b ) f ( z )] ( m 1)! a a ( z b ) a ( z b ) 1 0 1 m 1 dz 1! 2!
k 1, 2,
f ( z )dz
m
代入积分公式： f ( z )dz
L k
Lk
a
Lk
f ( z )dz
n
a
(k ) n
Lk
( z bk ) dz
n
n
(k ) a n 2 i n,1 m
(k ) 1
2 i 2 i Re sf (bk )
数学物理方法
第一节 留数定理 一、留数定理
若函数 f ( z ) 在 D 内除有限个孤立奇点 bk 外解析，则
L
f ( z )dz 2 i Re sf (bk )
k 1
m
L : D 内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。
Re sf (bk ) ：f ( z ) 在 D 的无心邻域 0 z bk R 的洛朗级数
z b
Hale Waihona Puke 4.有时 f ( z ) 具有分式的形式：
( z) ( z) f ( z) (b是f ( z ) 的一阶极点，则是 的一阶零点） ( z) ( z)
式中 ( z), ( z) 均在 b 点解析，且 (b) 0，而 b 为 ( z ) 的一 阶零点（即 (b) 0, (b) 0)
( z) z b z b ( z) ( z ) ( z b) ( z ) (b) 由洛必达法则： a1 lim z b ( z ) (b)
a1 lim( z b) f ( z ) lim( z b)
数学物理方法
5.对本性奇点， 没有简单的公式， 要在 b 点的无心邻域将 f ( z ) 展开成罗朗级数，求得 a1 。
f ( z ) ak ( z b) k
k 0
a1 0
2. f ( z ) 以 m 阶极点为中心的无心邻域中的洛朗级数为：
a m a m1 f ( z) m m 1 ( z b) ( z b) a1 a0 a1 ( z b) z b
L k
Lk 分
别包围各奇点 外边界线 L 与所有小圆周为内边界构成复
Lk
f ( z )dz
分别在各个 bk 的无心邻域 0 z bk R 中将 f ( z ) 展开成洛 D 朗级数
bn
L3 b3 Ln L2
b1
b2
L1
L
数学物理方法
f ( z)
n
(k ) n a ( z b ) n k
怎样求 a1 ？
数学物理方法
a m a m1 f ( z) m m 1 ( z b) ( z b)
a1 a0 a1 ( z b) z b
两边乘 ( z b)m 得：
( z b)m f ( z ) a m a m1 ( z b)