第七章微分方程复习题填空题及答案
第七章微分方程练习题
第七章微分方程练习题一、选择题1.下列是微分方程的是 ( ) .A. dx x dy )14(-=；B.12+=x y ；C.0232=+-y y ；D.0sin =⎰xdx .2.微分方程0'3"22=+-xy yy xy 的阶数是 ( ) .A. 1；B.2；C.3；D.4.3.方程dt t dw w 2542=-是 ( )阶微分方程.A. 1；B.2；C.3；D.4.4.微分方程02=+'-''y y x y x 的通解中任意常数的个数是 ( ) .A. 1；B.2；C.3；D.4.5. 微分方程yx dx dy -=满足初值条件过点（0，1）的解是( ) . A. 122=+y x B. 12=+y x C. 12=+y x D. 1=+y x6. 下列微分方程是可分离变量方程的是（ ）.A. 0)1()3(=+++-dy y x dx y xB. 023=+xdy ydxC. 0213=++--dy y x dx y x )()(D. 0)2()34(=++-dy y x dx y x7.微分方程xy y ='的一个解是( ) . A.3221+=x e y ； B.2221+=x e y ； C.1221+=x e y ； D.221x e y =.8.下列是齐次的线性微分方程的是（ ）. A.2x y dx dy +=； B.x y dxdy sin =； C.1cos '=+x y y ； D.1cos '=-y y .9.下列是齐次方程的是（ ）. A.y x dx dy +=10； B.x e y dxdy -=+； C.x y y x dx dy +=； D.x x x y dx dy sin =+.10.微分方程23x y ='的通解是（ ）；A.33x y =B. C x y +=33C. 3x y =D. C x y +=3 二、填空题1.微分方程0222=+x k dtx d 通解中任意常数的个数是 ； 2.表示未知函数、未知函数的_______与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程；3.满足初值条件50==x y的函数C y x =-22中的C 等于 ；4. 微分方程02'12=++xy y x ）（满足初值条件10==x y 的特解是_______； 5.微分方程12+='x y 的通解是 ；三、判断题1.04=-''-'''y y y 是三阶微分方程.（ ）2.)(])()(2[022x xy dt t y t t y x =++⎰是齐次方程.（ ） 3.0522=++x y y 不是微分方程.（ ）4.微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 可分离变量.（ ）5一阶微分方程1cos '=+x y y 是齐次的.（ ） 四、计算题1.求微分方程0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x 的通解.2.求微分方程dx dy xy dx dy xy =+22的通解. 3.求微分方程23=+y dxdy 的通解. 五、证明题1.函数kt kt x sin C cos C 21+=是微分方程0222=+x k dxy d 的解.六、综合题1.一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A 成正比，比例系数k>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的87，问雪堆全部融化需要多少时间？ 2.设有联结点O （0，0）和A （1，1）的一段向上凸的曲线弧OA ︵,对于OA ︵上任一点P （x,y ），曲线弧OP ︵与直线段OP 所围图形的面积为2x ，求曲线弧OA ︵的方程。
第七章 微分方程
第七章 微分方程基础题一．选择题1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( ). A ．3 B ．4 C ．5 D ．22．关于微分方程222x d y dy y e dx dx++=的下列结论： ⑴该方程是齐次微分方程 ⑵该方程是线性微分方程⑶该方程是常系数微分方程 ⑷该方程为二阶微分方程 其中正确的是( ).A ．⑴ ⑵ ⑶B ．⑴ ⑵ ⑷C ．⑴ ⑶ ⑷D ．⑵ ⑶ ⑷ 3．方程x y dxdy cos 2=的通解是（ ） A ．C x y +-=sin ； B ．C x y +-=cos ；C ．C x y +=cos 1；D ．Cx y +-=sin 1及特解0y =. 4．下列方程中有一个是一阶微分方程，它是( ).A ．22()y xy x yy '''-=B ．2457()5()0y y y x '''+-+=C ．2222()()0x y dx x y dy -++=D ．0xy y y '''++=5．下列方程中是线性微分方程的为( ).A ．x y x y ='+'2）（B ．x y y y =-'2C ．x e xy y x y =+'-''222 D ．y xy y y cos 3=+'-''． 6．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( ).A ．x y 2=B ．2x y =C ．x y 2-=D ． x y -=7．方程22xy x y y '=+是( ).A ．齐次方程B ．一阶线性方程C ．伯努利方程D ．可分离变量的方程8．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( ).A ．0=+'y yB ．02=+'y yC ．0=+y y nD ． x y y cos =+''9．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数.A ．通解B ．特解C ．是方程所有的解D ． 上述都不对10．y y ='满足2|0==x y 的特解是( ).A ．1+=x e yB ．x e y 2=C ．22x y e =D ． 3x y e =11．下列微分方程中( ) 是二阶常系数齐次线性微分方程.A ．02=-''y yB ．032=+'-''y y x yC ．045=-''x yD ． 012=+'-''y y12．在下列函数中，能够是微分方程0=+''y y 的解的函数是( ).A ．1=yB ．x y =C ．x y sin =D ． x e y =13．下列微分方程中，可分离变量的是( ).A ．e x y dx dy =+ B ．()()y b a x k dxdy --=(k ,a ,b 是常数) C ．x y dxdy =-sin D ． 2x y xy y e '+= 14．过点()3,1且切线斜率为x 2的曲线方程()x y y =应满足的关系是( ). A ．x y 2=' B ．x y 2=''C ．x y 2='，()31=yD ． x y 2=''，()31=y15．微分方程044=+'-''y y y 的两个线性无关解是( ).A ．x e 2与22x eB ．x e 2-与2x xe -C ．x e 2与2x xeD ． x e 2-与24x e -二．填空题1．xy y dx dy x ln ⋅=是 方程.2． x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数.3．x e y 2-=''的通解是 .4．0)(24=+'+'''xy y y 是 阶微分方程.5．x y y 2='的通解为 . 6．0=+xdy y dx 的通解为 . 7．220d Q dQ Q L R dt dt c++=是______阶微分方程. 8．3阶微分方程3x y ='''的通解为 .9．052=+'-''y y y 的特征方程是 .10．x y cos 1=与x y sin 2=是方程0=+''y y 的两个解，则该方程的通解为 .三．计算题1．验证：函数12cos sin x C kt C kt =+是微分方程2220(0)d x k x k dt+=≠的通解，并求满足初始条件00,0t t dxx A dt ====的特解.2．求解下列一阶线性微分方程的通解或特解(1) 2y x y '= (2)21x y xy -'= (3) 2(1)arctan x y x '+= (4) ln ln 0y xdx x ydy += (5) 2dy xy dx =，01x y == (6) 011x y dx dy y x-=++， 0|1x y == (7) ()()0y x dy x y dx ++-= (8) y x dy x xe y dx=+(9) xy x y dx dy tan += (10) 0xy y '-= (11)x y y y x '=+，12x y == (12) 22()0x y dx xydy +-=，1|0x y == (13)20y y x x '--= (14) 02d d )6(2=+-y xy x y (15) x e x y y sin cos -=⋅+' (16) 1sin x y y x x'+= (17) 32x dy x y x e dx-=，1|0x y == (18) cos 2cot 5,|4x x dy y x e y dx π=+==- 3．用降阶法解下列微分方程(1) sin y x x ''=+ (2) 0xy y x '''++=(3) y y y '=''2 0|1x y ==，0|2x y ='=(4) sin 2y x ''=，01x y ==，01x y ='=4．求下列微分方程的通解或特解(1) 560y y y '''-+= (2) 6130y y y '''++=(3) 20y y y '''++=(4) 430y y y '''-+=，02x y ==，04x y ='=(5) 690y y y '''-+=，0|2x y ='=，0|0x y ==(6) 320y y y '''++=，0|1x y ='=，0|1x y ==提高题一．选择题1．方程x e y x y x =++')1(的通解是（ ）．A .x e C y x -=；B .)21(2C e x e y x x +=； C .)21(2C e x e y x x +=-； D .)2(2C e xe y x x+=-. 2．已知方程()()0y P x y Q x y '''++=的一个特解1y ,则另一个与它线性无关的特解为( ).A .()21211P x dx y y e dx y -⎰=⎰； B . ()21211P x dx y y e dx y ⎰=⎰； C .()2111P x dx y y e dx y -⎰=⎰； D .()2111P x dx y y e dx y ⎰=⎰. 3．已知1()y x 是微分方程()()y P x y Q x '+=的一个特解，C 是任意常数，则该方程的通解( ).A ．()1P x dx y y e -⎰=+B ．()1P x dx y y Ce -⎰=+C ．()1P x dx y y e C -⎰=++D ．()1P x dx y y e ⎰=+4．若连续函数()f x 满足30()()ln 33xt f x f dt =+⎰，则()f x 的表达式为( ). A ．ln 3x e B ．3ln3x e C ．ln 3x e + D ．3ln 3x e +5．已知ln x y x =是微分方程()y y y x x ϕ'=+ 的解，则()y xϕ 的表达式为( ). A ． 22y x - B ．22y xC ．22x yD ．22x y - 6．微分方程22()0yy y '''-=的通解是( ).A ． 1y C x =-B ．2121y C C x =-C ． 121y C C x =-D ．11y Cx=-二．填空题1．过点1(,0)2且满足关系式arcsin 1y x '+=曲线方程为 . 2．微分方程30xy y '''+=的通解为 .3．设()y y x =是二阶常微分方程sin cos y ay by x x '''++=+满足初始条件(0)(0)0y y '==，则0()lim 1cos x y x x→=- . 4．设()y y x =满足()y x o x ∆=+∆，且(0)0y =，则10()y x dx =⎰.三．综合应用与证明题1．验证二元方程C y xy x =+-22所确定的函数为微分方程()y x y y x -='-22的解．2．验证x y ωcos 1=，x y ωsin 2=都是02=+''y y ω的解，并写出该方程的通解．3．试求x y =''的经过点()1,0M 且在此点与直线12+=x y 相切的积分曲线． 4．设:()L y y x =在点(,)x y 处切线的斜率211y k x +=+，且曲线过点(1,0)，试求曲线L 的方程．5．求微分方程430y y y '''-+=的一条积分曲线，使其在点0(0,2)M 处与直线20x y -+=相切．6．设函数()f x 连续，且满足20()2()(2)x x f x tf t dt x e -+=-⎰，求()f x ．。
高等数学微分方程第七章练习题答案
第七章 练习题一、填空： 第一节1、微分方程()1y x 2='+'y 的阶 一 __.2、0)()67(=++-dy y x dx y x 是 一 阶常微分方程. 3、01"=+xy 是 二 阶常微分方程. 4、微分方程2'=y x 的通解为 c x y +=2 。
5、 153'+=+x y xy 是 1 阶常微分方程 6、与积分方程()dx y x f y x x ⎰=0,等价的微分方程初值问题是0|),,(0'===x x y y x f y7、223421xy x y x y x ''''++=+是 3 阶微分方程。
8、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为 29、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是 310、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有 2 个任意常数 11、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是 1 第二节 1、微分方程x dye dx=满足初始条件(0)2y =的解为1x y e =+． 2、微分方程y x e y -=2/的通解是 C e e xy +=221 3、微分方程2dyxy dx=的通解是 2x y Ce = 4、一阶线性微分方程23=+y dx dy的通解为 323x Ce -+5、微分方程0=+'y y 的通解为 x ce y -=6、 微分方程323y y ='的一个特解是 ()32+=x y第三节1、tan dy y ydx x x=+通解为arcsin()y x Cx =．第五节1、微分方程x x y cos "+=的通解为213cos 6C x C x x y ++-= 2、微分方程01=+''y 的通解是（ 21221C x C x y ++-= ）3、 微分方程044=+'+''y y y 的通解是（ x e C x C y 221)(-+= )4、微分方程032=-'+''y y y 的通解是（ x x e C e C y 231+=- )5、 方程x x y sin +=''的通解是=y 213sin 61C x C x x ++-第六节1、 一阶线性微分方程x e y dxdy-=+的通解为 ()C x e y x +=- 2、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为)1(21221c c x c x c y --++=或1)1()1(221+-+-=x c x c y第七节1、 微分方程230y y y '''--=的通解为x x e C e C y 321+=-.2、 分方程2220d xx dtω+=的通解是 12cos sin C t C t ωω+3、微分方程02=+'-''y y y 的通解为 12()x y c c x e =+第八节1、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是3,2,1αβγ=-==-2、微分方程2563x y y y xe -'''++=的特解可设为=*y *201()x y x b x b e -=+二、选择 第一节1、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ A ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、方程422421x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ B ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 03、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、54、微分方程1243/2///+=++x y x y x xy 的通解中含有任意常数的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、55、微分方程34()0'''-=x y yy 的阶数为（B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46、下列说法中错误的是（ B ）(A) 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； (B) 方程220()x y yy x ''-+=是二阶微分方程；(C) 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； (D) 方程()()dyf xg y dx=是可分离变量的微分方程． 7、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有（ B ）个任意常数A 、1B 、2C 、3D 、4 8、 微分方程3447()5()0y y y x '''+-+=的阶数为（ B ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49、微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ A ）.A. 2B. 4C. 5D. 310、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是（ A ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11、 微分方程323y y ='的一个特解是（ B ）A. 13+=x yB. ()32+=x y C. ()3C x y += D. ()31+=x C y12、 方程322321x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ C ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 0第二节1、微分方程20y y '-=的通解为（B ）A ．sin 2y c x =B ．2x y ce =C ．24x y e =D ．x y e =2、微分方程0ydx xdy -=不是 （ B ）A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程 3、微分方程0=+'y y 的通解为（ D ）A ．x y e =B ． x ce y -=C ． x e y -=D ． x ce y -=4、一阶常微分方程e yx dxdy -=2满足初始条件00==x y 的特解为（ D ） A x ce y = B x ce y 2= C 1212+=x y e e D ()1212+=x y e e5、微分方程02=+'y y 的通解为（ D ）A ．x e y 2-=B ．x y 2sin =C ．x ce y 2=D ．x ce y 2-= 6、 微分方程 ydy x xdx y ln ln =满足11==x y 的特解是（ C ）A. 0ln ln 22=+y xB. 1ln ln 22=+y xC. y x 22ln ln =D. 1ln ln 22+=y x第五节1、 微分方程2(1)0y dx x dy --=是（ C ）微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次第六节1、已知x y cos =，xe y =，x y sin =是方程()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22的三个解，则通解为 （ C ）A x c e c x c y x sin cos 321++=B ()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21C ()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=D ()x c x c e c c y x sin cos 12121++++=第七节1、微分方程02=+'-''y y y 的通解为（ D ）A ．12x x y c e c e -=+；B ．12()x y c c x e -=+；C ．12cos sin y c x c x =+；D ．12()x y c c x e =+ 2、下面哪个不是微分方程''5'60y y y +-=的解（ D ） （A ）65x x e e -+ （B ）x e （C ）6x e - （D ）6x x e e -+3、 已知2,sin ,1x y x y y ===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ） A ．221sin 1x C x C y ++=B ．2321sin xC x C C y ++=C ．21221sin C C x C x C y --+=D ．212211sin C C x C x C y --++= 4、已知x y x y y cos ,sin ,1===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ）A ．x C x C C y cos sin 321++=B ．xC x C C y cos sin 321++= C ．2121sin cos C C x C C y --+=D ．21211cos sin C C x C x C y --++= 5、微分方程0y y ''+=的通解为（ C ）(A) 12x x y c e c e -=+； (B) 12()x y c c x e -=+； (C) 12cos sin y c x c x =+； (D) 12()x y c c x e =+6、已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则方程的通解为（ C ） A 2321x C x C C ++ B 21221C C x C x C --+ C )1(21221C C x C x C --++ D ()()2122111C C x C x C ++-+-7、已知x y y x 4='+''的一个特解为2x ，对应齐次方程0='+''y y x 有一个特解为x ln ，则原方程的通解为 （ A ）A 、221ln x c x c ++ B 、221ln x x c x c ++ C 、221ln x e c x c x ++ D 、221ln x e c x c x ++- 8、微分方程04=+''y y 的通解为（ A ）A ．x c x c y 2sin 2cos 21-= ；B ．x e x c c y 221)(-+=C x x e c e c y 2221-+=；D ．x e x c c y 221)(+=9、 分方程2220d xx dtω+=的通解是( A );A .12cos sin C t C t ωω+B .cos t ωC .sin t ωD .cos sin t t ωω+第八节1、微分方程x e y dxyd =-22的一个特解应具有的形式为 DA ()x e b ax +B ()x e bx ax +2C x aeD x axe2、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是（ C ）（A ）3,2,1αβγ===- （B ）3,2,1αβγ==-=- （C ）3,2,1αβγ=-==- （D ）3,2,1αβγ=-=-= 三、计算第二节1、求微分方程0ln '=-y y xy 的通解 解：分离变量xdxy y dy =ln ...........2分 两边积分可得 1ln ln ln C x y += ..........4分 整理可得Cx e y = .........6分 5、计算一阶微分方程ln 0x x y y '⋅-=的通解。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题(含考研真题)详解-第七章 微分方程【圣才出品
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则
所以 y＝3sinx－4cosx 是所给微分方程的解． （3）根据 y＝x2ex，得
进而得
则
所以 y＝x2ex 不是所给微分方程的解．
（4）根据
，得
，进而得
则
所以
是所给微分方程的解．
3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：
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解：（1）在方程 x2－xy＋y2＝C 两端对 x 求导，得
即
所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．
（2）在方程 y＝ln（xy）两端对 x 求导，得
即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对 x 求导，得
即 给微分方程的解．
．所以所给二元方程所确定的函数是所
，即 tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为
tany·tanx＝C
（6）原方程分离变量，得 10－ydy＝10xdx，两端积分得
可写成 （7）原方程为
. 分离变量得
两端积分得
或写成
，即
，
所以原方程的通解为
（ex＋1）（ey－1）＝C
（8）原方程分离变量，得
两端积分得
即 ln|sinysinx|＝lnC1，或写成 sinysinx＝±C1，所以原方程的通解为 sinysinx＝C． （9）原方程分离变量，得（y＋1）2dy＝－x3dx．两端积分得
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第七章 微分方程
7.2 课后习题详解
习题 7-1 微分方程的基本概念
1．试说出下列各微分方程的阶数：
解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
高等数学第七章测试题答案
高等数学第七章测试题答案(第7版)(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第七章测试题答案一、填空（20分）1、5322x y x y x y x =+'+'''是 3 阶微分方程； 2、与积分方程⎰=xx dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题是⎪⎩⎪⎨⎧=='=0),(0x x y y x f y ； 3、已知微分方程02=+'-''y y y ，则函数x e x y 2=不是 （填“是”或“不是”）该微分方程的解；4、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解，21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=一定是该方程的 解 （填“通解”或“解”）；5、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为：1)1()1(221+-+-=x C x C y ；6、方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e y x +=.7、微分方程x y y cos 4=+''的特解可设为x B x A y sin cos *+=；8、以221==x x 为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是： 044=+'-''y y y ；9、微分方程1+=-''x e y y 的特解*y 形式为：b axe y x += ；10、微分方程044=-'+''-'''y y y y 的通解：x C x C C x 2sin 2cos e 221++。
二、（10分）求x xy y =+'的通解. 解：由一阶线性微分方程的求解公式)(11C xdx e e y x dx x +⎰⎰=⎰-，xC x C dx x x +=+=⎰2231)(1 三、（10分）求解初值问题2)0(,0==+'y xy y .解：0=+'xy y 分离变量x x y yd d 1-=， 两边同时积分 C x y ln 2ln 2+-=，22e x C y -=， 又由2)0(=y ，得2=C ，故222x e y -=四、（15分）曲线的方程为)(x f y =，已知在曲线上任意点),(y x 处满足x y 6=''，且在曲线上的)2,0(-点处的曲线的切线方程为632=-y x ，求此曲线方程。
第七章常微分方程练习题(含答案)
第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
习题册第七章微分方程答案-复制
第七章 微分方程第37次 微分方程的概念 分离变量法一、指出下列微分方程的阶数，并验证括号中的函数是否为微分方程的解，若是解，说明该解是通解还是特解：1．330()xy y y Cx -'+==解 一阶 43y Cx -'=-433(3)30xy y x Cx Cx --'+=⋅-+=， 所以3y Cx -=为微分方程的解又3y Cx -=中只含有一个任意常数，故其为通解．2．21d d 0()2kx x y y kx -==解 一阶 d d y kx x =d d d d 0kx x y kx x kx x -=-=， 所以212y kx =为微分方程的解 又212y kx =中不含有任意常数，故其为特解． 3．0(sin )y y y C x ''+==解 二阶cos y C x '=，sin y C x ''=-sin sin 0y y C x C x ''+=-+=， 所以sin y C x =为微分方程的解又sin y C x =中只含有一个任意常数，故其既不是通解，也不是特解．4．220()xy y y y x e '''-+==解 二阶 22x x y xe x e '=+，222(2)22224x x x x x x x x x y xe x e e xe xe x e e xe x e '''=+=+++=++ 2222242(2)20x x x x x x x y y y e xe x e xe x e x e e '''-+=++-++=≠，所以2xy x e =不是微分方程的解二、求下列微分方程的通解：1．22()d (1)d 0xy x x x y +++=解 22d d 11y x x y x -=++⎰⎰21arctan ln(1)2y x C =-++ 2．()d ()d 0x y x x y y e e x e e y ++-++=解 e e d d e 1e 1y xy x y x =--+⎰⎰ ln e 1ln e 1ln y x C -=-++即 (e 1)(e 1)y x C -+=3．d 2d y xy x x+= 解 d d 21y x x y =--⎰⎰211ln 2122y x C -=-+22e 121e 2x x C y C y --+⇒-=⇒= 4．sin ln y x y y '=解 d csc d ln y x x y y=⎰⎰ ln ln ln csc cot ln y x x C =-+ln (csc cot )y C x x =-三、求下列微分方程满足初始条件的特解：1．52,(0)0x y y ey -'== 解 25e d e d y x y x =⎰⎰2511e e 25y x C =+ 又(0)0y =，310C = 微分方程的特解：25113e e 2510y x =+2．2d (1)tan ,(0)2d y y x y x=-= 解2d tan d 1y x x y =-⎰⎰2111ln ln sec ln sec 211y y x C C x y y++=+⇒=-- 又(0)2y =，3C =- 微分方程的特解：213sec 1y x y+=-- 四、镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量R 成正比.由经验材料得知，经过1600年后，只剩原始量0R 的一半.试求镭的现存量R 与时间t 的关系.解d d R R tλ=- d d R t R λ=-⎰⎰ ln ln e t R t C R C λλ-=-+⇒=又0(0)R R =，0C R =；所以0e t R R λ-= 又0(1600)2R R =， 160000e 2R R λ-=，所以ln 21600λ=；故ln 216000e t R R -=第38次 变量代换法 一阶线性微分方程一、求下列微分方程的通解或特解：1．22()d d 0x y x xy y +-=解 d d y x y x y x=+ （1） 令,y u x=则,y u xu ''=+ 代入（1）得：1u xu u u'+=+ 分离变量 1d d u u x x= 两边积分 1d d u u x x =⎰⎰得 2ln ln ln 2u x C Cx =+= 22222y u x Cx eCx e =⇒= 2．,(1)0y x y y e y x '=+= 解 令,y u x= 则,y u xu ''=+ 代入原方程得：u u xu e u '+=+分离变量 1d d u e u x x-=两边积分 1d d u e u x x -=⎰⎰ 得 ln u e x C --=+ln yxe x C --=+ 又(1)0y =，得1C =- 原方程特解：ln 1y x ex --=- 3．d 11d y x x y=+- 解 令,u x y =-d d 111d d y u x x u=-=+ d 1d d d u u u x x u-=⇒=- d d u u x =-⎰⎰ 22()22u x y x C x C -=-+⇒=-+ 4．21tan (2)2y x y '=+ 解 令2,u x y =+ 2d 1d 11tan d 2d 22y u u x x =-= 22d 1tan sec d u u u x=+= 2cos d d u u x =⎰⎰ 积分得11sin 224u u x C +=+ 原方通特解：1111(2)sin 2(2)sin 2(2)2424x y x y x C y x x y C +++=+⇒-++=二、求下列微分方程的通解或特解：1．d d x y y e x-+= 解 ()1,()x P x Q x e -==对应齐次微分方程的通解为d x x y C e C e --⎰==令原方程的通解为()x y C x e -=，将,y y '代入原方程整理得 ()()1x x C x e e C x --''=⇒= ()C x x C =+故原方程的通解为()x y x C e -=+2．sin cos ,(0)2x y y x e y -'+==解 sin ()cos ,()x P x x Q x e -==对应齐次微分方程的通解为cos d sin x x x y C e C e --⎰==令原方程的通解为sin ()x y C x e-=，将,y y '代入原方程整理得 sin sin ()()1x x C x e e C x --''=⇒= ()C x x C =+故原方程的通解为sin ()x y x C e-=+ 又(0)2y =，得2C =故原方程的特解为sin (2)x y x e -=+3．23d d 1y x x y x x++=-+ 解 22d d d 1d 1y y y y x x x x x x=--⇒+=-++ 21(),()1P x Q x x x==-+ 对应齐次微分方程的通解为1d ln(1)11x x x C y C e C e x --++⎰===+ 令原方程的通解为1()1y C x x=⋅+，将,y y '代入原方程整理得 221()()(1)1C x x C x x x x ''=-⇒=-++ 3411()34C x x x C =--+故原方程的通解为34111341y x x C x⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭ 4．226y y x y '=- 解 d 3d 3d 2d 2x y x y x x y y y y ⎛⎫=-⇒+-=- ⎪⎝⎭ 3(),()2y P y Q y y =-=- 对应齐次微分方程的通解为33d ln 3y y y x C eC e Cy --⎰=== 令原方程的通解为3()x C y y =，将,x x '代入原方程整理得321()()22y C y y C y y ''=-⇒=- 1()2C y C y=+ 故原方程的通解为312y C y y ⎛⎫=+⎪⎝⎭三、已知连续函数()f x 满足条件320()()d 3x x t f x f t e =+⎰，求()f x ． 解 2()3()2x f x f x e '=+且(0)1f = 2d (3)2d x y y e x+-= 2()3,()2x P x Q x e =-=对应齐次微分方程的通解为3d 3x x y C e C e --⎰==令原方程的通解为3()x y C x e =，将,y y '代入原方程整理得 32()2()2x x x C x e e C x e -''=⇒= ()2x C x e C -=-+故原方程的通解为3(2)x x y e C e -=-+又(0)1f =，得3C =，故3()(23)x x f x e e -=-+第39次 可降阶的高阶微分方程一、求下列微分方程的通解或特解：1．sin 1y x x '''=++解 ()211sin 1d cos 2y x x x x x x C ''=++=-++⎰ 321211sin 62y x x x C x C '=-+++ 432123111cos 2462y x x x C x C x C =+++++ 2．y y x '''=+解 设()y p x '=，则,y p '''= 代入方程得p p x '=+ 变形得(1)p p x '+-= （1）对应齐次方程的通解为d x x p Ce C e --⎰==令原方程的通解为()xp C x e =，将,p p '代入（1）整理得 ()()x x C x e x C x xe -''=⇒= 1()d d d x x x x x x C x xe x x e e x xe e xe C ------==-=-=--+⎰⎰⎰故（1）的通解为11()1x x x x p e xe C e x C e --=--+=--+即 11x y x C e '=--+ 故21212x y x x C e C =--++ 3．20yy y '''+=解 设()y p y '=，则d ,d p y p y''= 代入方程得 2d 0,d p y p p y += 即d d p y p y=-⎰⎰ 两端积分得1ln ln ln ,p y C =-+ 1py C =1y y C '= 即 1d d y y C x =⎰⎰ 故所求通解为2122y C x C =+ 4．21y y '''=+解 设()y p x '=，则21,p p '=+ 即21d d 1p x p =+⎰⎰ 两端积分得1arctan ,p x C =+ 1tan()p x C =+1tan()y x C '=+ 112tan()d ln cos()y x C x x C C =+=-++⎰ 故所求通解为12ln cos()y x C C =-++5．20020,0,1x x y y y y ==''''-===-解 设()y p x '=，则220,p p '-= 即21d 2d p x p =⎰⎰ 两端积分得112,x C p-=+ 112,x C y -=+'又 01x y ='=-，11C ∴= 121x y -=+'，即1d d 21y x x =-+⎰⎰ 故所求通解为21ln 212y x C =-++ 又00x y ==，故20C = 故所求特通解为1ln 212y x =-+。
高等数学作业(高升专)答案
高等数学作业答案（高起专）第一章函数作业（练习一）参考答案一、填空题1．函数x x x f -+-=5)2ln(1)(的定义域是]5,3()3,2(2.函数392--=x x y 的定义域为),3(]3,(+∞⋃--∞。
3．已知1)1(2+=-x e f x ，则)(x f 的定义域为()+∞-,1 4．函数1142-+-=x x y 的定义域是),2[]2,(∞+--∞ 。
5．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x 二、单项选择题1. 若函数)(x f y =的定义域是[0，1]，则)(ln x f 的定义域是( C ) .A . ),0(∞+B . ),1[∞+C . ]e ,1[D . ]1,0[ 2. 函数x y πsin ln =的值域是( D ).A . ]1,1[-B . ]1,0[C . )0,(-∞D . ]0,(-∞ 3．设函数f x ()的定义域是全体实数，则函数)()(x f x f -⋅是（C ）． A.单调减函数； B.有界函数；C.偶函数；D.周期函数4．函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f xx （ B ） A.是奇函数； B. 是偶函数；C.既奇函数又是偶函数；D.是非奇非偶函数。
5．若函数221)1(xx x x f +=+，则=)(x f （B ） A.2x ； B. 22-x ； C.2)1(-x ； D. 12-x 。
6．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ D ）．A ． xB ．x + 1C ．x + 2D ．x + 37． 下列函数中，（B ）不是基本初等函数．A ． xy )e1(= B ． 2ln x y = C ． xxy cos sin =D ． 35x y = 8．设函数⎩⎨⎧>≤=0,00,cos )(x x x x f ，则)4(π-f =（C）．A ．)4(π-f =)4(πf B ．)2()0(πf f =C ．)2()0(π-=f fD ．)4(πf =229. 若函数1)e (+=x f x ，则)(x f = ( C ) .A . 1e +xB . 1+xC . 1ln +xD . )1ln(+x10. 下列函数中=y （B ）是偶函数.A . )(x fB . )(x fC . )(2x fD . )()(x f x f --第二章极限与连续作业（练习二）参考答案一、填空题1．________________sin lim=-∞→xxx x 答案：12.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a 2, =b -8。
微分方程复习题
微分方程复习题一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dxdy dx dy n 的阶数是____________. 答：12．形如_ 的方程称为齐次方程.答：)(x y g dx dy = 3. 方程232d 10d x x t+=是 阶 (线性、非线性)微分方程. 4．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为 .5．微分方程d 0d y y x+=的通解是 . e x y c -= 6．微分方程02=+'xy y 的通解是 . 2e x y c -=.7. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为 .()d ()d e (()e d )P x x P x x y Q x x C-⎰⎰=+⎰ 8. n 阶微分方程的通解含有 个独立的任意常数。
9. 方程d ()d x y f xy y x=经变换_______，可以化为变量分离方程 . 10. 微分方程323d 0d x y x x--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 11. 设常系数方程e x y y y αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .12. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .13．方程04=+''y y 的基本解组是 ．x x 2cos ,2sin14. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关 的 条件.15．在方程()()0y p x y q x y ⅱ?++=中，当系数满足 条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.16. 已知(0)()3222=+++dy x y x dx y x axy 为全微分方程,则a =____________.17．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ．必要18．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．n19. 若12(),(),,()n y x y x y x L 为n 阶齐次线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是 。
第七章微分方程练习题
第七章 微分方程一、选择题1. 表示未知函数、未知函数的( )与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程.A. 极限B. 连续C. 导数或微分D. 积分2. 微分方程02)(2=+'-'x y y y x 的阶数是 ( ) .A. 1B. 2C. 3D. 43. 方程0)()67(=++-dy y x dx y x 是 ( )阶微分方程.A. 1B. 2C. 3D. 4. 4. 微分方程0222=+-y dx dy x dx y d x 的通解中任意常数的个数是 ( ) . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.5. 微分方程y xy ='的一个解是( ) . A. x y 5=； B. 15+=x y C. 25x y = D. 152+=x y 6. 微分方程yx dx dy -=满足初值条件过点（0，1）的解是( ) . A. 122=+y x B. 12=+y x C. 12=+y x D. 1=+y x7. 下列微分方程是可分离变量方程的是（ ）.A. 0)1()3(=+++-dy y x dx y xB. 023=+xdy ydxC. 0213=++--dy y x dx y x )()(D. 0)2()34(=++-dy y x dx y x8. 下列微分方程是齐次方程的是（ ）.A. 012=+dx xydy B. x e y dx dy -=+ C. xy y x dx dy += D. y x e dx dy += 9. 微分方程23x y ='的通解是（ ），其中C 是任意常数.A. C x y +-=3B. C x y +=3C. C x y +-=33D. C x y +=3310. 下列微分方程可以转化成一阶非齐次线性方程的是（ ）.A. x e xy yy +=2'B. y x e xy y e +=2'C. x y e xy y e +=2'D. xe xy xy +='''2 二、填空题1．微分方程02=+''-'''xy y x y x 的阶数是 .2．微分方程02=+'-''y y x y x 通解中任意常数的个数是 . 3．满足初值条件50==x y 的函数C y x =-22中的=C .4．一阶微分方程x e y 2='的通解是 .5．微分方程02=+ydx xdy 满足初值条件12==x y 的特解是 .三、判断题1．方程022233=-+-xy y x y x 不是微分方程.（ ）2．04=-''-'''y y y 是三阶微分方程.（ ）3．微分方程0=+-dy y x ydx )(有解0=y .（ ）4．方程0)1-22()(=+++dy y x dx y x 是可分离变量的微分方程.（ ）5．0=x 不是微分方程0=-xdy ydx 的解.（ ）6．微分方程的通解中一定含有任意常数C .（ ）7．方程)(xy g dx dy =是一阶齐次微分方程.（ ） 8．方程)()(x Q y x P dxdy +=是一阶非齐次线性微分方程.（ ） 9．方程),(y x f dxdy =不是一阶微分方程.（ ） 10．拉格朗日微分中值定理的结论a b a f b f f --=)()()('ξ不是一阶微分方程.（ ） 四、计算题1．验证函数x C x C y ωωsin cos 21+=（ω,,21C C ＞0都是常数）是微分方程02=+y y ω''的通解,2．求微分方程y x e dxdy -=2满足初值条件00==x y |的特解, 3．求微分方程23=+y dx dy 的通解. 4．方程xdx x y dx dy =++（x y x -≠≠,0）的通解. 5．求微分方程242y x x y +-='与微分方程2422y y x x x y --++='的公共解.五、综合题1．求曲线方程，已知这条曲线通过原点，并且它在点）（y x ,处的切线斜率等于y x +2.2．放射性元素由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的铀原子的含量M成正M随时间t变化的规律.比。
高数下册第七章第五节一阶线性方程全微分方程
x
2). 3
25
五、1、( x y)2 2x C ；
2、 y 1 sin x 1 ； xC
2、2x ln y ln2 y C ；
3、 x Cy3 1 y2. 2
二、1、 y sin x 5ecos x 1；
2、2 y
x3
x
3e
1 x2
1
.
三、v
k1 k2
t
k1m k22
(1
k0
em
t
).
四、1、 xy x C ；
2、
x2 y2
C
2 3
x3 (ln
即
两端积分得对应齐u次 方Q程( x通)e解 P
(
x
)yd x C dx
e P C
(
x
)d
x
故原方程的通解
y
e
P(
x)d
x
Q(
x
)
e
P
(
x
)
d
x
d
x
C
即
y Ce P( x)d x
e P(x)d x
Q(
x
)
e
P
(
x
)d
x
d
x
齐次方程通解
u
2(x
3
1)2
C
3
4
例2. 求方程
dx xy
2 y
x y3
d
y
第七章微分方程习题解答
第七章各节习题答案习题7-11. (1)一阶 (2)一阶 (3)二阶 (4)一阶 (5)二阶 (6)二阶2. 用隐函数求导法求出yx y x y 22--='，带入方程验证.因为022=+-y xy x 中没有任意常数，故是特解.3. C y =',因为)(C f Cx y +=中有任意常数，故是通解.4. 通解5. 不是解，代入可知，不满足方程.6. 特解331x y =7. 方法同2题，特解2)41(1615+=-x e y 8. 2ln +=x k y 9. 设物体的温度)(x T ,则 []0)()(T x T k x T -='（)0(>k10. 设该质点的运动规律为)(t x x =，)(00t x x =，由已知得)()(t v dtt dx =，所以⎰⎰=tt t t dt t v t dx 0)()( ⎰=tt t t dt t v t x 00)()(即 ⎰=-t t dt t v t x t x 0)()()(0 亦即 ⎰+=tt dt t v x t x 0)()(0习题7-21. (1) 112-=-xCey (2) θcos Cr =(3) 2)1(2x y e C e += (4) C e e x y+=221 (5) C x x y ++=221arctan2. (1) )cos (sin 1C x x x xy +-=(2) 原方程化为 x x a y x x dx dy ln )ln 1(ln 1+=+，可求得通解ax x Cy +=ln ．(3) 原方程化为y x ydy dx ln 211+=-，这是一个关于x x ',的一阶线性非齐次微分方程，可以求得通解)ln (ln 2C y y y x ++=.(4) xx Ce x x e y -++-=)21(212(5) 原方程化为y x y y dy dx 112-=-+，方法同题（3），可求得通解y Cye x y -=1. (6) 原方程化为y yx dydx2sin cos =-，方法同题（3），可求得通解2sin 2sin --=y Ce x y .3. (1) 221121ln 222-++=+e x y y (2) x y 21ln 2-=(3) )22(2255x x e e e e y -+=- (4) )224(2255xx e e e e y -+=-(5) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=-t RL t L e L R R L I LR cos sin )1(12221. 设曲线方程为)(x f y =，曲线上任意点),(y x P 处切线的方程为)(x X y y Y -'=-，令0=Y ，得点A 的横坐标为y y x X '-=，222,)(y x OP x y y x AP +=-'-= 由OP AP =得方程x y y ±='，解得xy x y 2,2==.2. 曲线上任取点),(y x P ，点P 处切线的方程为)(x X y y Y -'=-，令0=X ，得切线在y 轴上的截距为y x y '-，由所给条件得方程x y x y ='-，解此方程求得曲线方程为x x Cx y ln -=.3. 设速度)(t v v =，物体所受外力（沿运动方向）有两个，一个是重力mg 沿斜面方向的分力αsin mg ，另一个是与运动方向相反的摩擦力lp kv +，即外力)(sin lp kv mg f +-=α（p 为重力mg 垂直于斜面的分力即αcos mg p =）， 故ααcos sin lmg kv mg f +-=，由f dtdvm =得方程)cos (sin ααl mg kv dt dvm -=+.0=t 时，物体的初速度为00=v .求初值问题： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+0)0()cos (sin v l mg kv dtdv m αα得)1)(cos (sin t mke l k mg v ---=αα. 4. 设t 时刻输入的空气中CO 2的含量为)(tf ，车间的容积为=V 30×30×6，每分钟输入的空气量为v ∆，由所给条件解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=∆=∆+'%12.0)0(%04.0)()(f Vv V v t f t f 得%04.0%08.0)(+=∆-t Vv et f ，将%06.0)30(=f 代入，求得=∆v 250m 3/min.5. 设t 时刻船速)(t v ，船受到的阻力为kv ，由f dt dv m =得kv dtdvm -=（-号表示阻力与船速方向相反），解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=5)0(v kvdt dv m 得t m ke v -=5，将3)5(=v 代入，求得t v 5)53(5=.6. 设t 时刻物体温度为)(t T ，已知物体冷却速率与物体和介质的温差成正比，即)0(),(0〉--=k T T k dt dT ，由所给条件解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧===+20,100)0(00T T kT kt dt dT得kte T -+=8020，10min 后物体温度降到60℃，代入特解可求得t e T 102ln 8020--+=，设0t t =时25=T ，代入解得400=t min.7. 设t 时刻电流为)(t I ，由基尔霍夫第二定律可知E RI dtdIL=+,得通解R E Ce I t L R+=-, 将初始条件0=t 时，0=I 代入，求得特解)1(t L R e REI --=.1. 逐次积分原方程求出213cos 32C x C x x y ++-=. 2. 逐次积分原方程求出2122sin 1cos 2C x C ax x aax a y ++--=.3. 令p dx dy y =='，则p dxdpy '==''，原方程化为22x p p =+'，可求得412121221+-+=-x x e C p x ，从而求得22123414161C e C x x x y x +-+-=-.4. 解法同3，=y .5. 令p dxdyy =='，则dy dp p dx dy dy dp dx dp y ===''，原方程化为x xp p =+'2，可求得 )21(221x x e C e p +=-，从而求得6. 解法同5，x C e C C y 1211+=.习题7-51. 不能，因为1C 与2C 可合并；是通解，因为这里的1C 与2C 不可合并.2. 求出y '与y ''，代入方程即可.3. 通解为xx e C e C y -+=221，特解为x x e e y -+=21212.4. 因为x y =*1，x e y =*2，x e y -*=3是所给方程的三个特解，所以**-21y y ，**-31y y 是对应的齐次方程的两个线性无关的特解，故原方程的通解为)()(21xxe x C e x C y --+-=.5. (1) x xe C eC y 421--+= (2) x e C C y 321+=(3) )(215x C C e y x+= (4) )3sin 3cos (212x C x C e y x+=-(5) x x e C eC y 22341+=- (6) xxe C e C y )21(2)21(1--+-+=6. (1)C Bx Ax y ++=*2 (2))(2C Bx Ax x y ++=*(3)D Cx Bx Ax y +++=*23 (4)x Axe y 23-*=(5))2sin 2cos (x B x A xe y x+=-*7. 1)(212++=-x C C ey x8. x x eC C y x47412221+-+=- 9. 自由项可以看成x e x f 31)(=与22)(x x f =之和，分别求方程xe y y y 3=+'+''与 2x y y y =+'+''的特解，再求原方程对应的齐次方程的通解，得所求为)23sin 23cos (1312212132x C x C e e x x y x +++-=-10. 252532++-=x xe e y11. x xx e x x e e y )(21232-+-=- 12. (1)先求质点的运动方程设质点的运动方程为)(t s s =，则加速度2dtsd a s =，由已知得t t s dt s d ssin 3)(42+-=，解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='==+0)0(,0)0(sin 3)(42s s tt s dt s d s 求得)cos 1sin(t s -= (2)再求)(t s 的最大值89)41(cos 2)(2+--='t t s ，令0)(='t s ，得21cos -=t 时，433max =s . 13. 设潜水艇的下沉深度为)(t h h =,下沉速度为dt dh，潜水艇所受外力有阻力（与下沉方向相反）dt dhk 及重力mg ，由f ma =得mg dt dh k dth d m =+22，解初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧='==+0)0(,)0(22h h h mg dt dh k dth d m 得)1(22t mke k g m t k mg h ---=. 14. 设时间由0到t 时浮筒下沉h 米，其浮力为hr D 2)2(π，r 为水的比重33/10m kg ，D 为筒的直径，浮力与运动方向相反，利用f ma =得，mg rh D dth d m +=2224π，解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='==+)0(,0)0(4222h h g h rD dt h d π 得)2cos 1(42t m r D rD mg h ππ-= 将2=t 时0=h 代入特解,有1cos =mrDπ 即ππ2=mrD，故)(9.19kg m ≈.15. 设开始时链条离钉子12m 处的一端为原点，轴向下为正，经过时间t 链条下滑了)(t x x =m.运动过程中的外力为[]g x x f ρ)8()12(--+=（ρ为链条的密度即单位长度上的质量），由f ma =得方程g x dt x d ρρ)24(2022+=，即解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='=+=0)0(,0)0(10222x x g xdt x d 得特解为21010-+=-t g t g eex 将0t t =时，8=x 代入特解，可求得)625ln(100+=gt s.综合测试题七1. (1) 不是，因为1y 与2y 不是线性无关.(2) 是，因为1cy 代入方程满足，且含有一个任意常数. (3) 2-=p , 1=q .(4) *2*1y y y y ++=(5) x x y y sin +=+''的特解为)sin cos (*x D x C x y += (6) C y x =+222. (1) B (2)C (3)D (4)C (5)A (6)D3. (1)× (2) × (3) ×(4)√4. (1) C x y =-+2212 (2) 1)1(22--=x C y (3) 221x y =+ (4) )(3xe C x y += (5) )1ln 2(yy y C y x -++= 5. (1) xx e C e C y 221+= (2) x ex C C y 5121)(-+=(3) )2cos 2sin (21x C x C ey x+=- (4) x x e C e C y -+=241(5) xex C C y 621)(+=(6) 原方程化为1)(2-=xy x y dx dy ，令u xy=，则u x u y '+='，将y 、y '代入方程， 可求得xy Ce y =.6. (1) xe y --=2 (2) 22221121ln ex y y ++-=+(3) xy 323)(ln 3-= 7. (1) x e x C C y 321)(92++=(2) x xx e x x eC e C y )2(2221+++=- (3) )2cos 225122sin 2259()2cos 2sin (212x x e x C x C e y xx +++=-8. (1) 解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--='1)2(1y x y y 特解24x x y -=(2) 解初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-==0,0)0()(0222t dt dx x mg dt dx k dtx d m方程mg dtdx k dt x d m +-=222)(化为mg kv v m +-='2令k m =2μ，上式为dt v g dv =-222μμ，两边积分得tgCe vg v g μμμ2=-+由0)0(=v 得1=C 再解出1122+-=tgtgee gv μμμ,即1122+-='tgtgee gx μμμ， ⎰+-=dt ee gx tgtg1122μμμ， 令y etg=μ2，则y gt ln 2μ=，dy yg dt 12μ=，所以⎰⋅+-=dy yg y y gx 1211μμ，解得 C ee x tgtg++=μμμ2222)1(ln2由0)0(=x ，得2ln 2μ-=C ，所以路程x 与t 的关系为2ln )1(ln222222μμμμ-+=tgtgee x .。
微分方程的基本概念
§7-1 微分方程的基本概念一、判断题1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。
( )2.y=(y '')3是二阶微分方程。
( )3.微分方程的通解包含了所有特解。
( )4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。
（ ）5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。
（ ） 二、填空题1.微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。
2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。
3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0,y 'x=0=1的曲线是 。
三、选择题1．下列方程中 是常微分方程（A ）、x 2+y 2=a 2(B)、 y+0)(arctan =xe dx d (C)、22x a ∂∂+22ya ∂∂=0 （D ）、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程（A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx3.微分方程22dx y d +w 2y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数（A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=323y 的一个特解是 （A ）y-=(x+2)3(B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3(D)y=c(x+1)3四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1．22C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数） 五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。
(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案
解：特征根为
i ，齐次方程的通解为： y c1 cos x c2 sin x
y' ' y x ， y ? c1 c2 x c1 0, c2 1 y ? x
?
0x
y' ' y 3sin 2 x ， y x e c1 cos x c2 sin x c1 sin 2x c2 cos 2x
待入原式得出： c1 1, c2 0 ，所以 y ? sin 2 x
Байду номын сангаас
解：变形得： dx x y 4 即 dx 1 x y3 ，是一阶线性方程
dy
y
dy y
P( y)
1
3
,Q ( y) y
y
1 dy
x ey
1 dy
y3e y dy C
1 y 4 Cy 3
三、伯努力方程 xy ' y x 3y 6
解： xy 6 y' y 5 x 3 ，
dy y 6 y 5 x 2 ，
dx
dx
du
du
u y , 所以 u y
dy
dy
dy
yu .( 将 y 看成自变量 )
eu (u 1)
u
1e
du ueu eu
y
u
u
dy 1 e
u eu
u
1e
1 eu u eu du
dy
d (u eu )
,
y
u eu
dy
u eu
, ln
y
c
1 ln y ln
y
1 u eu
,
yc
c y u eu
二、一阶线形微分方程
2
第七章 微分方程
第七章 微分方程§7．1微分方程的基本概念1. 填空(1) 微分方程356()40x y y y x '''++=的阶数是 二阶 ; (2) 微分方程2(76)()y x y dx x y dy e -+-=的阶数是 一阶; (3) 微分方程2sin d d ρρθθ+=的阶数是一阶;(4) 微分方程212(),x y C C x e =+则当120,1C C ==时,00|0,|1;x x y y =='==(5) 已知曲线上点(,)p x y 处的法线与x 轴的交点为Q,且线段PQ 被y 轴平分.则曲线所满足的微分方程是20yy x '+=2. 验证(3)x y x c e =+是微分方程20y y y '''-+=的解,它是否是该微分方程式的通解?为什么?证: 3(3),6(3)x x x x y e x c e y e x c e '''=++=++ 则有26(3)2[3(3)](3)0x x x x x y y y e x c e e x c e x c e '''-+=++-++++=则(3)x y x c e =+是微分方程的解,但只含有一个任意常数,所以它不是通解.3. 设212()x y C C x e =+(1) 验证y 是微分方程440y y y '''-+=的通解. 解22222122122(),44()x x x x y C e C C x e y C e C C x e '''=++=++,因为22222212212124444()48()4()0x x x x x y y y C e C C x e C e C C x e C C x e '''-+=++--+++=所以212()x y C C x e =+是微分方程的解,且含有两个相互独立的任意常数,因而是微分方程的通解.(2) 求参数方程12,C C 使得它满足初始条件(0)0,(0)1y y '== 解:由(0)0,(0)1y y '==得0111002120(0)0,12 1.C e C C C e C e C =+=⇒==+⇒=§7．2可分离变量微分方程1. 求下列可分离变量微分方程的解 (1)()()0x y x x y y e e dx e e dy ++-++= 解:(1)(1)0,(1)(1),11y x xyyxyxxyy x e dy e dxe e dx e e dy e e dy e e dx e e --++=+=--=-+ 1(1)(1),,ln 1ln 1ln 1111y x y x y xy x y x e dy e dx d e d e e e C e e e e --+==--=-++-+-+⎰⎰⎰⎰111101011(1)(1),(1)(1),1010y y xyx yx y x x e e e e C e e C e e C e e ⎧⎧->-<+-=⇒+-=⇒+-=⎨⎨+>+<⎩⎩111010(1)(1),(1)(1),1010y y x yx y xx e e e e C e e C e e ⎧⎧-<->⇒+-=-⇒+-=-⎨⎨+>+<⎩⎩则通解为(1)(1)x y e e C +-=. (2)cos s sin sin 0xco ydx x ydy +=11sin cos cos sin ,ln cos n sin ln cos sin cos sin cos sin y x d y d xdy dx dx y l x C y C x y x y x =-=⇒=+⇒=⎰⎰⎰⎰1cos sin cos sin y C x y C x ⇒=±⇒=所以通解为arccos(sin )y C x =2. 求下列可分离变量微分方程满足所给初始条件下的特解 (1)20,| 1.y x x y e y -='==解:220221111111,,,|1,,2222y y x y x x x y x e dy dx y e e c y c e e e e e e e ----='==⇒=+=⇒=-=+-⎰⎰所以特解为2111ln()22x y e e-=--+(2)2sin ln ,|x y x y y y e π='==解:111,ln ln ln csc ln ln csc ln (csc )ln sin dy dxy x ctgx C y C x ctgx y C x ctgx y y x==-+⇒=-⇒=±-⎰⎰ ln (csc )y C x ctgx ⇒=-2|1,x y e C π==⇒= 则1cos ln csc tan sin 2x xy x ctgx x -⇒=-==,所以特解为 tancsc 2xx ctgxy ee-==(3)sin (12)cos 0,(0)4x ydx e ydy y π-++==解cos cos sin sin (2),,,sin sin sin sin 121222x x x x x xydy dx ydy dx d y e dx d y d e y y y y e e e e -----+===-=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 1111ln sin ln(2)ln ln (2)sin sin 22x x x x C Cy e C C e y y e e -±=-++=+⇒=⇒=++(0)sin443C y C y ππ=⇒=⇒==则特解为y =3. 质量为1g 的质点受外力作用作直线运动,外力和时间成正比,和质量运动的速度成反比,在10t s =时速度等于50/,cm s 外力为42/,g cm s ⋅问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?解:1010,|50,|420,20,120,20t t t dvF k v F k mvv t m v t vdv tdt v dt=='===⇒=∴==⇒==⎰⎰22210110,|50250,20500,2t v t c v c v t ==+=⇒==+ 所求特解为v60|269.3(/)t v cm s =≈4. 一曲线通过点(2,3),它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分,求这曲线方程. 解:1112tan ,ln ln ln 2y y dy dxy y x C xy C xy C xy C x xy x α'==-=-=-⇒=-+⇒=⇒=±⇒=⎰⎰又因(2)3y =知C=6,则所求的曲线方程为6xy =§7．3齐次方程1. 求下列齐次方程的通解.(1) 22()0x y dx xydy +-=解:2221y dy x y x y dx xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==,令2'111,,,,,yu u y ux y u xu xu u udu dx xu ux+''===+=-==22221111ln ln ln ln 2u x C C x u C x =+=⇒= 通解为222ln()y x Cx =(2) 3(l n l n )dyx y y x dx=- 解:3ln ,dy y ydx x x=令ln 1(3ln 1),3ln ,,,,.(3ln 1)3ln 133ln 1y du dx d u dx d u dxu xu u u u x u u x u x u x-'==-===---⎰⎰ 33333111ln 3ln 1ln()3ln 1ln(1)3y u C x u C x Cx Cx x -=⇒-=±=⇒=+ 所以通解为313Cx y xe+= (3) (2s i n 3c o s )3c o s 0y yy x y d x x d y x xx+-=解:2sin3cos 2sin 3cos 3,,,,3cos 2tan 3cos y y x y dyy u u udx x x u y ux u x u du y dxx u x ux x++'===+==令 3221133ln sin ln ln sin 2tan 2dx du u x C u C x Cx x u =⇒=+⇒=±=⎰⎰ 再将yu x=代入原方和得通解为 32sin yCx x= 2. 求下列齐次方程满足所给初始条件下的通解. (1)1,|2x x yy y y x='=+= 解:令yu x=,2211111,,ln ln ,|2222x du y xu u u x C x C y C u dx xx =⎛⎫'===+⇒=+=⇒= ⎪⎝⎭所以通解为222(ln 2)y x x =+(2)22221(2)(2)0,|1x x xy y dx y xy x dy y =+-++-==解:222222212221y y dy x xy y x x dx y xy x y y x x ⎛⎫-- ⎪+-⎝⎭=-=+-⎛⎫+- ⎪⎝⎭,令y u x =,2222112,1211u u dx u xu u du x u u u u --⎛⎫'+==- ⎪++-+⎝⎭ 1112211ln ln ln ln11u u x C C x C x Cx u u +++==⇒=±=++,从而有 221(),|11x x y C x y y C =+=+=⇒=因此特解为22x y x y +=+§7．3一阶线性微分方程1. 求下列一阶线性微分方程的通解. (1) x y y e -'==解: ()dx dxx x x x x x y e e e dx C e e e dx C e dx C e x C ------⎡⎤⎰⎰⎡⎤⎡⎤=+=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ (2) ln (2ln )0y ydx x y dy +-=解:21ln dx x dy y y y+= 2222ln ln 2ln ln 2ln ln ln ln ln ln 111dy dy d y d y y y y y y y y yx e e dy C e e dy C e e dy C y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ =22ln(ln )ln(ln )222211(ln )(ln )(ln )(ln )ln y y e e dy C y y dy C y y d y C y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ =2221(ln )(ln )ln ln 3(ln )Cy y d y C y y -⎡⎤+=+⎣⎦⎰. 2..求下列一阶线性微分方程满足所给初始条件下的特解. (1)sin ,|1x dy y x y dx x xπ=+== 解: 111ln ln ln ln sin sin sin dx dx x x x xx x x x x y e e dx C e e dx C e e dx C x x x ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ =11sin 1sin (cos )x x xdx C x xdx C x C x x --⎡⎤⎡⎤+=+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ |11x y C ππ==⇒=-则特解为1(cos 1)y x xπ=-+-(2) ln (ln )0,|1x e x xdy y x dx y =+-==解:1ln dy y dx x x x+= 1111ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 111dx dx d x d x x x x x x x x xy e e dx C e e dx C e e dx C x x x ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 1ln(ln )ln ln 21111[ln ln ][(ln )]ln ln 2x x e e dx C xd x C x C x xx -⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰1|12x e y C ==⇒=,因而特解为21[(ln )1]2ln y x x=+. 2. 求一曲线的方程,这曲线通过原点,且在点(,)x y 处的切线斜率等于2.x y + 解:依题意知2,2y x y y y x ''=+-=1222()2dx dx x x x x x x x y e xe dx C e xe dx C e xe d x C e xde C ----⎡⎤⎰⎰⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=-+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ =2(2(()2()x x x x x x x x xe xe e dx C e xe e d x C e xe e C ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤--+=-+-+=-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 022,|02x x x Ce y C ==--+=⇒=则微分方程的特为2(1)x y e x =--3. 设有一质量为m 的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正比(比例系数为1k )的力作用于它,此处还受一与速度成正比(比例系数为2k )的阻力作用,求质点运动的速度与时间的函数关系. 解:2112,k kmv k t k v v v t m m''=-+=2222221112k k k k k k dt dt t t t t m m m m m mk k k m v e te dt C e te dt C e tde C m m m k ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 222211222(()k k k k t t t t mm m mk k m ete e dt C t Cek k k --⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 111022222|0.t mk k mk v C v t k k k ==⇒=∴=- §7．5可降阶的高阶微分方程1. 求微分方程的通解. (1)x y xe x '''=+解:()2112x x x x x y xe x dx xe dx xdx xde xdx xe e x C '''=+=+=+=-++⎰⎰⎰⎰⎰2311211226x x x x y xe e x C dx xe e x C x C ⎛⎫'''=-++=-+++ ⎪⎝⎭⎰3421212311(2)(3)624x x x y xe e x C x C dx x e x C x C x C '=-+++=-++++⎰(2) ()21y y '''=+解:令21112,,1,,arctan ,tan(),tan()1dp dyp y y p p pdx p x C P x C x C dx p '''''===+==+=+=++ 1112tan()()ln cos()y x C d x C x C C =++=-++⎰2. 求下列微分方程满足所给初始条件下的特解. (1)2002,|1,|1x x x y y e y y ==''''+===解:令2222222241111,,2,[][][]4dx dx x x x x x x x p y y p p p e p e e e dx C e e e dx C e e C ---⎰⎰'''''==+==+=+=+⎰⎰222222112131313,(0)1,()444488x x x x x x y e C e y C y e e dx e e C ---''=+=⇒==+=-+⎰ 25(0)1,4y C =⇒= 因而特解为22135.884x x y e e -=-+ (2) 2111,|0,| 1.x x x y xy y y ==''''+===解:令1121122211111,,1,,[][]dx dx xx p y y p x p xp p p p e e dx C xdx C x x x xx -⎰⎰''''''==+=+==+=+⎰⎰=21112111ln 1ln 11[][ln ],(1)11,,(ln )2x x dx C x C y C y y dx dx x C x x x x x x x ''+=+=⇒==+=+=+⎰⎰⎰ 2(1)00y C =⇒= ,则特解为21(ln )ln 2y x x =+ §7．6高阶线性微分方程1. 验证21xye =及22x yxe =都是方程24(42)0y xy x y '''-+-=的解,写出该方程的通解.证:2222222221114(42)246420x x x x x y xy x y e x e x e x e e '''-+-=+-+-= 222332224(42)[644842]0x y xy x y x x x x x x e '''-+-=+--+-= 121y y x=≠常数,则通解为 2221212()x x xy C e C xe C C x e =+=+2. 验证51y x =21y x =是方程2350x y xy y '''--=的解,23ln 9x y x -=是微分方程2235ln x y xy y x x '''--=的解,写出微分方程2235ln x y xy y x x '''--=的通解.证:251113(20155)0x y xy xy x '''--=--=, 2212213(235)0x y xy xy x'''--=+-=, 22222223332653ln ln ln ln 93939x x x x y xy xy x x x x x x x '''--=--+++=61yx y=≠ 常数,则微分方程的通解为 2511223121ln .9x y C y C y y C x C x x =++=+-3. 验证12121()(,2x x xe y C e C e C C x -=++是任意常数)是方程2x xy y xy e ''+-=的通解. 解:*12111,,2x x x ye y e y e x x -===,因为 1112222222222222222(11)0,2(11)0x x xy y xy e xy y xy e x x x x x x x x-''''+-=-++--=+-=+++--= ()()***212112(),22x x x x y x y y xy xe e e e y '''+-=-+==≠ 常数,所以通解为121()2x x xe y C e C e x -=++§7．7常系数齐次线性微分方程3. 求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解. (1)212120,1204,3y y y r r r r '''+-=+-=⇒=-= 所以通解为4312x x y C e C e -=+. (2)212690,6903y y y r r r r '''++=++=⇒==-所以通解为312()x y C C x e =+. (3)21,26100,61003y y y r r r i '''++=++=⇒=-±所以通解为312(cos sin )x y e C x C x -=+4. 求下列二阶常系数齐次线性微分方程满足所给初始条件下的特解. (1)320,(0)0,(0)1y y y y y ''''++===.解: 211,3202,1r r r r ++=⇒=-=-,则通解为22121212,2,(0)0,(0)11,1x x x x y C e C e y C e C e y y C C ----''=+=--==⇒==-则通解为2x x y e e --=-.(2) 250,(0)2,(0)5y y y y '''+===解:21,22505r r i +=⇒=±则通解为12cos5sin 5y C x C x =+12125sin 55cos5,(0)2,(0)52,1y C x C x y y C C ''=-+==⇒==则特解为2cos5sin 5y x x =+§7．8常系数非齐次线性微分方程5. 求下列二阶非齐次微分方程的通解 (1)228(1)x y y y x e -'''--=+解:24212122804,2,x x r r r r Y C e C e ---=⇒==-∴=+ 面1,2m λ==-为特征单根()()'''*2*222*2222(),(2)2(),24(2)4()x x x x x xy x ax b e y ax b e ax bx e y ae ax b e ax bx e ------∴=+=+-+=-+++()()***21728(1),1236x y y y x e a b -'''--=+⇒=-=-则特解为*217()1236x y x x e -=-+,因而微分方程的通解为:4212x x y C e C e -=+217()1236x x x e --+(2) 25sin 2x y y y e x '''-+=解:21,2250,121,2,0r r r i m αβ-+==±⇒===而12i +是特征方程的根,因而令*(cos 2sin 2)x y xe A x B x =+代入原方程求出1,04A B =-=,*1cos 24x y xe x =-所以微分方程的通解为121(cos 2sin 2)cos 24x x y C x C x e xe x =+-6. 求微分方程43y y '''-=满足初始条件(0)0,(0)1y y '==的特解解:212400,4r r r r -=⇒==对应齐次微分方程的通解为412,0x y C C e λ=+= 为特征单根,则*y ax =代入原方程得*33,44a y x =-∴=-,微分方程的通解为:41234x y C C e x =+-,由(0)0,(0)1y y '==知1297,,1616C C ==故特解为497316164x y e x =+- 7. 设函数()f x 连续,且满足0()()(),xx f x e t x f t dt =+-⎰求()f x .] 解:()()(),()()()()(),()()xxxxx x x x f x e tf t dt x f t dt f x e xf x f t dt xf x e f t dt f x e f x '''=+-=+--=-=-⎰⎰⎰⎰ ()()x f x f x e ''⇒+=,而21,210,r r i +=⇒=±对应齐次微分方程的通解为:12cos sin Y C x C x =+而0,1m λ==不是特征根,令*x y Ae =代入原方程求得12A =,则通解为 121cos sin 2x y C x C x e =++1211(0)1,(0)1,22f f C C '==⇒== ,则特解为1()[cos sin ]2x f x x x e =++。
高等数学微分方程习题(最新整理)
第七章微分方程与差分方程习题7－1（A ）1．说出下列微分方程的阶数：;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2．下列函数是否为该微分方程的解：x e x y y y y 2;02)1(==+'-'')(2;0)()2(2、、、、、C xx C y xdy dx y x -==++),(cos sin ;0)3(2121222、、、、、C C ax C ax C y y a dx y d +==+)(ln ;02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+3．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数：;5,)1(022==-=x yC y x ;1,0,)()2(0221='=+===x x x y ye x C C y .0,1,)(sin )3(21='=-===ππx x y yC x C y 4．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、),()1(y x 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、y PQ Q x y x P ),()2(习题7－1（B ）1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程：;1)()1(22=+-y C x .)2(21x x e C e C xy -+=2．用微分方程表示下列物理问题：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、P T P )1(、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)))2(11k k t m 习题7－2（A ）1．求下列微分方程的通解：;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ;)()3(2y y a y x y '+='-';10)4(y x dxdy+=;11)5(22x y y --=';1)6(2xy x dx dy -=;63)7(3222yx y y x x dx dy --=;0tan sec tan sec )8(22=+xdy y ydx x ;0sec )1(tan 3)9(2=-'+y e y ydx e x x .0)()()10(=++-++dy e e dx e e y y x x y x 2．求解下列初值问题：;0,)1(02=='=-x y x ye y ;4,cos cos sin cos )2(0π===x y dydxxy y x ;0,ln sin )3(2=='=πx yy y x y .1,)1()4(1=='+=x x x ye y y e 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)3,2(.3、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)31,1(.4习题7－2（B ）、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、2)(5.0,60)(10.1m c cm o 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)(/4/50)(10)(1.22s cm g s cm s t g ⋅=、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、t R R R 01600.3、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5)/(6.40s m v =、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)(.50k kv v m 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)1(1],[),2(.6>m my x a b a .)(,)()1()()(.70x y dx x y x x dx x y xx y x x 、、、、、、、、、、、、、、、⎰⎰+=习题7－3（A ）1．求下列齐次方程的通解：;)ln (ln )1(x y y y x -=';0)2(22=---'x y y y x ;0)()3(22=-+xydy dx y x ;0)2()4(=+-xdy dx y xy ;)ln ln 1()5(dx x y y dy x -+=.0332()6(=-+dy xych x dx x y ch y x y shx 2．求解下列初值问题：;0)1(,0cos cos()1(==-+y dy xyx dx x y y x .2)1(,)2(=+='y xy y xy 3．求一曲线方程，使其切线介于坐标轴间的部分被切点等分。
高等数学第7章(第8节)
y C 1 e x C 2 e x x e x
x e
k x
i x i x
第四步 分析 y 的特点
y y1 y1 k x
x e
因
~ Rm cos x Rm sin x
y1 y1
y
y1 y1
y1 y1
y*
~ 所以 y 本质上为实函数 , 因此 Rm , Rm 均为 m 次实
因此特解为 y* x ( 1 x 1) e 2 x . 2
所求通解为
1 ( 2
x 2 x ) e2 x .
y 3 y 2 y 1 例3. 求解初值问题 y (0) y (0) y (0) 0
解: 本题 0 , 特征方程为
y* e x [ Q ( x) Q ( x) ] y* e x [ 2 Q ( x) 2 Q ( x) Q ( x) ]
代入原方程 , 得
(1) 若 不是特征方程的根, 则取 x e为[ m 次待定系数多项式 ( x) (2 p q ) Q ( x) ] Q ( x) ( 2 p ) Q Q (x) 从而得到特解
x
i 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为
y* x e
k x
~ [ Rm ( x) cos x Rm ( x) sin x]
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
y* x (a x b) cos x (cx d )sin x
y p y q y Pm ( x) e( i ) x
微分方程习题课(1)-10
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题
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一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 贝努里方程 关键: 关键 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 变量代换法 —— 代换自变量 自变量 代换因变量 因变量 代换某组合式 某组合式
y − y′x = x 1 y′ − y = −1 即 x 定解条件为 y x=1 =1.
思考: 思考 能否根据草图列方程?
y
M(x, y)
x tanα = xy′
o
机动
x
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x
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第七章 习题课 (二) 二阶微分方程的 解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法 二、微分方程的应用
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思考 若问题改为求解 y x=0 = 0 ,
则求解过程中得 问开方时正负号如何确定 正负号如何确定? 正负号如何确定
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例7.
且满足方程
f (x) = sin x − ∫
求 f (x) .
x (x − t) f (t) dt 0
x x f (t) dt + t 0 0
通解
2 − y3
1 − y3 e = ex + C 3
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′ = x2 − y2 + y (2) xy
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 离变量方程.
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第七章微分方程复习题填空题及答案
１．判断下列微分方程的类型（按教材写出全名称）：
（１）是（）
（２）是（）
２．曲线族中满足，的曲线方程为（）．
３．方程的通解是（）．
４．微分方程的通解为（）．
５．已知二阶齐次方程的通解是，则特征方程的特征根为（）．
６．已知二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的特征根为，，写出
（１）对应的微分方程是（）；
（２）方程的通解为（）。
７．已知：微分方程，
（１）若，则可设特解（）；
（２）若，则可设特解（）；
（３）若，则可设特解（）．
答案
1. 答案：
（1）一介线性非齐次方程
（2）齐次
2. 解：
（１）
（２）
将，分别代入式（１）、（２）
得
解之得
所以满足条件的曲线方程为。
3. 解：
，其中．
4. 解：
特征方程为，，
所以所求方程的通解为．
5. 解：。
6. 解：
∵，，，，于是，对应的微分方程为。
7. 解：
（1）
（2）
（3）。