数学人教版九年级上册周长最小问题
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北海：2016.26 河池：2016.26 贺州：2016.26 梧州：2016.26 柳州：2016.26；2015.26 南宁：2013.26
知识回顾
经典故事——“将军饮马问题”
A B
河
已知：直线l和同侧两点A、B 求作：直线l上一点C满足AC+BC的值最小
l
请问：怎样走才能使总路程最短呢？
知识回顾
二次函数压轴题
类型一 特殊四边形的存在、探究问题
类型二 图形面积数量关系及最值的存在、探究问题 类型三 线段数量关系的存在、探究问题 类型四 特殊三角形的存在、探究问题 类型五 相似/全等三角形的存在、探究问题
类型六 角度数量关系的存在、探究问题
类型三 线段数量关系的存在、探究问题
Fra Baidu bibliotek
------（1）周长最小问题
.M .F
周长的最小值，以及此时点F，E
的坐标.
解：如解图，作点H关于y轴的对称点 H ，点M关于x轴的 对称点M′,连接 H M,分别交x轴、y轴于点F、E，则四边 形HEFM的最小周长为HM+HE+EF+FM=HM+ H M . ∵y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9, ∴H(2,9)∴ H (-2,9), 当x=4时,y=5,∴M(4,5), ∴M (4,-5), 设直线 H M 的表达式为y= k x+ b , 例2题解图
B
x
·C
自我检测 1.（2016贺州26）如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y 轴上，点B(10,8),沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在 BC上的E(6,8)处，抛物线 y ax bx c
2
经过O、A、E三点.
(1)求此抛物线的解析式； (2)求AD的长; (3)点P是抛物线对称轴l上的一个动点， 当△PAD的周长最小时，求点P的坐标；
经典故事——“将军饮马问题”
（1）求直线l上一点C，使得AC+BC的值最小
（2）求直线l上一点C，使得△ABC的周长最小
B
·
· A
C
·
A· l
B
l
两定点，一动点（一条直线）
小试牛刀 巩固练习
(1)、如图，正方形ABCD边长为8，M在BC上， BM＝2，N为AC上的一动点，则BN+MN的最 小值为 10
A
变式： 求△BMN 的周长最小为______
B
N
N
D
M
2
6
C
8
小试牛刀
(2). (2016百色)如图，正△ABC的边长 为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与 △A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′ 上一动点，则AD＋CD的最小值是( )
A. 4 B.3 3 C. 2 3 D.2+ 3
注意：找准对称轴！
(1)求二次函数的表达式；
(2)在二次函数对称轴l上找一点G， 使得G到A的距离与到C的距离之和 最小，求出点G的坐标； 例2题图
能力提高 (3)若点H为二次函数y=ax2+4x+c图 象的顶点，点M(4,m)是该二次函 数图象上一点，F，E分别为x轴， y轴上的动点，求四边形HEFM的 .H
E.
典例分析
例 .（2016广西河池，26）在平面直角坐标系中, 2 y x - 2x 3 与x轴交于A,B两点（A在B的 抛物线 左侧），与y轴交于点C，顶点为D． y （1）请写出点A,C,D的坐标； D
4
（2）如图，在x轴上找一点E， 使得△CDE的周长最小， 求点E的坐标；
A
C
2
· ·O F E
课堂小结
求两线段之和最小或是求三角形周长最小问题， 可以转化为最短路径问题，通过对称性解决问 题. (1) 确定定点。 (2) 找准对称轴（一般是动点所在的直线）。 (3) 做对称点，连线。
A
B
C
l
B'
作业:
大本《试题研究》: P143 第（5）题
P146 第（4）题
拓展探究 1.（2016贵阳节选）如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴 于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于 另一点B.
知识回顾
经典故事——“将军饮马问题”
A B
河
已知：直线l和同侧两点A、B 求作：直线l上一点C满足AC+BC的值最小
l
请问：怎样走才能使总路程最短呢？
知识回顾
二次函数压轴题
类型一 特殊四边形的存在、探究问题
类型二 图形面积数量关系及最值的存在、探究问题 类型三 线段数量关系的存在、探究问题 类型四 特殊三角形的存在、探究问题 类型五 相似/全等三角形的存在、探究问题
类型六 角度数量关系的存在、探究问题
类型三 线段数量关系的存在、探究问题
Fra Baidu bibliotek
------（1）周长最小问题
.M .F
周长的最小值，以及此时点F，E
的坐标.
解：如解图，作点H关于y轴的对称点 H ，点M关于x轴的 对称点M′,连接 H M,分别交x轴、y轴于点F、E，则四边 形HEFM的最小周长为HM+HE+EF+FM=HM+ H M . ∵y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9, ∴H(2,9)∴ H (-2,9), 当x=4时,y=5,∴M(4,5), ∴M (4,-5), 设直线 H M 的表达式为y= k x+ b , 例2题解图
B
x
·C
自我检测 1.（2016贺州26）如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y 轴上，点B(10,8),沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在 BC上的E(6,8)处，抛物线 y ax bx c
2
经过O、A、E三点.
(1)求此抛物线的解析式； (2)求AD的长; (3)点P是抛物线对称轴l上的一个动点， 当△PAD的周长最小时，求点P的坐标；
经典故事——“将军饮马问题”
（1）求直线l上一点C，使得AC+BC的值最小
（2）求直线l上一点C，使得△ABC的周长最小
B
·
· A
C
·
A· l
B
l
两定点，一动点（一条直线）
小试牛刀 巩固练习
(1)、如图，正方形ABCD边长为8，M在BC上， BM＝2，N为AC上的一动点，则BN+MN的最 小值为 10
A
变式： 求△BMN 的周长最小为______
B
N
N
D
M
2
6
C
8
小试牛刀
(2). (2016百色)如图，正△ABC的边长 为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与 △A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′ 上一动点，则AD＋CD的最小值是( )
A. 4 B.3 3 C. 2 3 D.2+ 3
注意：找准对称轴！
(1)求二次函数的表达式；
(2)在二次函数对称轴l上找一点G， 使得G到A的距离与到C的距离之和 最小，求出点G的坐标； 例2题图
能力提高 (3)若点H为二次函数y=ax2+4x+c图 象的顶点，点M(4,m)是该二次函 数图象上一点，F，E分别为x轴， y轴上的动点，求四边形HEFM的 .H
E.
典例分析
例 .（2016广西河池，26）在平面直角坐标系中, 2 y x - 2x 3 与x轴交于A,B两点（A在B的 抛物线 左侧），与y轴交于点C，顶点为D． y （1）请写出点A,C,D的坐标； D
4
（2）如图，在x轴上找一点E， 使得△CDE的周长最小， 求点E的坐标；
A
C
2
· ·O F E
课堂小结
求两线段之和最小或是求三角形周长最小问题， 可以转化为最短路径问题，通过对称性解决问 题. (1) 确定定点。 (2) 找准对称轴（一般是动点所在的直线）。 (3) 做对称点，连线。
A
B
C
l
B'
作业:
大本《试题研究》: P143 第（5）题
P146 第（4）题
拓展探究 1.（2016贵阳节选）如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴 于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于 另一点B.