数学人教版九年级上册周长最小问题
人教版(2024)数学九年级上册第二十二章 二次函数 单元测试(含答案)

第二十二章二次函数一、选择题1. 关于二次函数y=x2与y=−x2的图象,下列说法错误的是( )A.对称轴都是y轴B.顶点都是坐标原点C.与x轴都有且只有一个交点D.它们的开口方向相同2. 如图,关于抛物线y=(x−1)2−2,下列说法错误的是( )A.顶点坐标为(1,−2)B.对称轴是直线x=1C.开口方向向上D.当x>1时,y随x的增大而减小3. 将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为( )A.y=3(x+2)2+3B.y=3(x−2)2+3C.y=3(x+2)2−3D.y=3(x−2)2−34. 如图是二次函数y=−x2+2x+4的图象,使y≤4成立的x的取值范围是( )A . 0≤x ≤2B . x ≤0C . x ≥2D . x ≤0 或 x ≥25. 一抛物线的形状、开口方向与 y =12x 2−2x +3 相同,顶点为 (−2,1),则此抛物线的解析式为 A . y =12(x−2)2+1 B . y =12(x +2)2−1 C . y =12(x +2)2+1D . y =12(x +2)2−16. 心理学家发现:学生对概念的接受能力 y 与提出概念的时间 x (min) 之间是二次函数关系,当提出概念 13 min 时,学生对概念的接受能力最大,为 59.9;当提出概念 30 min 时,学生对概念的接受能力就剩下 31,则 y 与 x 满足的二次函数表达式为 ( )A .y =−(x−13)2+59.9B .y =−0.1x 2+2.6x +31C .y =0.1x 2−2.6x +76.8D .y =−0.1x 2+2.6x +437. 已知点 (−1,y 1),(−312,y 2),(12,y 3) 在函数 y =3x 2+6x +12 的图象上,则 y 1,y 2,y 3 的大小关系为 ( ) A . y 1>y 2>y 3B . y 2>y 1>y 3C . y 2>y 3>y 1D . y 3>y 1>y 28. 在某建筑物上从 10 m 高的窗口 A 用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状,如图所示,如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m ,离地面403 m ,则水流落在点 B 与墙的距离 OB 是 ( )A . 2 mB . 3 mC . 4 mD . 5 m9. 二次函数 y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的大致图象如图所示,顶点坐标为 (−2,−9a ),下列结论:① 4a +2b +c >0;② 5a−b +c =0;③若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2,且x1<x2,则−5<x1<x2<1;④若方程∣ax2+bx+c∣=1有四个根,则这四个根的和为−4.其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题10. 如果y=(m2−1)x m2−m是二次函数,则m=.11. 若x=1是方程2ax2+bx=3的根,当x=2时,函数y=ax2+bx的函数值为.12. 若抛物线y=x2−2x+m(m为常数)与x轴没有公共点,则实数m的取值范围为.13. 如图,抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−3,−6),点B(1,−2),则关于x的不等式ax2+bx<mx+n的解集为.14. 如图,二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(−1,0),B(3,0),那么一元二次方程ax2+bx=0的根是.15. 已知抛物线:y=ax2+bx+c(a<0)经过A(2,4),B(−1,1)两点,顶点坐标为(ℎ,k),则下列正确结论的序号是.①b>1;②c>2;③ℎ>1;④k≤1.216. 物体自由下落的高度 ℎ(单位:m )与下落时间 t (单位:s )之间的关系是 ℎ=4.9t 2,有一个物体从 44.1m 高的建筑物上自由下落,到达地面需要s .17. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y =13x 2 经过平移得到抛物线 y =13x 2−2x ,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为.三、解答题18. 已知二次函数 y =a (x−1)2+4 的图象经过点 (−1,0).(1) 求这个二次函数的解析式;(2) 判断这个二次函数的开口方向,对称轴和顶点坐标.19. 已知二次函数 y =x 2+4x +3.(1) 用配方法将二次函数的表达式化为 y =a (x−ℎ)2+k 的形式;(2) 在平面直角坐标系 xOy 中,画出这个二次函数的图象;(3) 根据(2)中的图象,写出一条该二次函数的性质.20. 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线顶点为C(1,2),且与直线y=x交于点B(32,32);点P为抛物线上O,B两点之间一个动点(不与O,B两点重合),过P作PQ∥y轴交线段OB于点Q.(1) 求抛物线的解析式;(2) 当PQ的长度为最大值时,求点Q的坐标;(3) 点M为抛物线上O,B两点之间一个动点(不与O,B两点重合),点N为线段OB上一个动点;当四边形PQNM为平行四边形,且PN⊥OB时,请直接写出Q点坐标.21. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2−4ax+3a−2(a≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧).(1) 当抛物线过原点时,求实数a的值;(2) ①求抛物线的对称轴;②求抛物线的顶点的纵坐标(用含a的代数式表示);(3) 当AB≤4时,求实数a的取值范围.22. 如图,某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分,抛物线的顶点O落在水平面上,对称轴是水平线OC.点A,B在抛物线造型上,且点A到水平面的距离AC=4米,点B到水平面距离为2米,OC=8米.(1) 请建立适当的直角坐标系,求抛物线的函数解析式;(2) 为了安全美观,现需在水平线OC上找一点P,用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA,PB对抛物线造型进行支撑加固,那么怎样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑)时的点P?(无需证明)(3) 为了施工方便,现需计算出点O,P之间的距离,那么两根支柱用料最省时点O,P之间的距离是多少?(请写出求解过程)23. 某网店销售某款童装,每件售价60元,每星期可卖300件,为了促销,该网店决定降价销售.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元,设该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.(1) 求y与x之间的函数表达式.(2) 当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润是多少元?(3) 若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润,每星期至少要销售该款童装多少件?24. 如图所示抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0),点C(0,3),且OB=OC.(1) 求抛物线的解析式及其对称轴.(2) 点D,E在直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长最小值.(3) 点P为抛物线上一点,连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分,求点P的坐标.答案一、选择题1. D2. D3. A4. D5. C6. D7. C8. B9. B二、填空题10. 211. 612. m>113. x<−3或x>114. x1=−1,x2=315. ①②③16. 317. 9三、解答题18.(1) 把(−1,0)代入二次函数解析式得:4a+4=0,即a=−1,则函数解析式为y=−(x−1)2+4.(2) ∵a=−1<0,∴抛物线开口向下,顶点坐标为(1,4),对称轴为直线x=1.19.(1) y=x2+4x+3=x2+4x+22−22+3 =(x+2)2−1.(2) 略(3) 当x<−2时,y随x的增大而减小,当x>−2时,y随x的增大而增大.(答案不唯一)20.(1) ∵抛物线顶点为C(1,2),∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+2(a≠0).∵点B(32,32)在抛物线上,∴32=a(32−1)2+2,∴a=−2,∴抛物线的解析式为y=−2(x−1)2+2,即y=−2x2+4x.(2) 设点P的坐标为(x,−2x2+4x)(0<x<32),则点Q的坐标为(x,x),∴PQ=−2x2+4x−x=−2x2+3x=−2(x−34)2+98,∵−2<0,∴当x=34时,PQ的长度取最大值,∴当PQ的长度为最大值时,点Q的坐标为(34,34).(3) (12,12)21.(1) ∵点O(0,0)在抛物线上,∴3a−2=0,a=23.(2) ①对称轴为直线x=2;②顶点的纵坐标为−a−2.(3) (i)当a>0时,依题意,{−a−2<0,3a−2≥0.解得a≥23.(ii)当a<0时,依题意,{−a−2>0,3a−2≤0,解得a<−2.综上,a<−2或a≥23.22.(1) 以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系,设抛物线的函数解析式为y=ax2,由题意知点A的坐标为(4,8).∵点A在抛物线上,∴8=a×42,解得a=12,∴所求抛物线的函数解析式为:y=12x2.(2) 找法:延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D,则点A,D关于OC对称.连接BD交OC于点P,则点P即为所求.(3) 由题意知点B的横坐标为2,∵点B在抛物线上,∴点B的坐标为(2,2),又∵点A的坐标为(4,8),∴点D的坐标为(−4,8),设直线BD的函数解析式为y=kx+b,∴{2k+b=2,−4k+b=8,解得:k=−1,b=4.∴直线BD的函数解析式为y=−x+4,把x=0代入y=−x+4,得点P的坐标为(0,4),两根支柱用料最省时,点O,P之间的距离是4米.23.(1) y=300+30(60−x)=−30x+2100.(2) 设每星期的销售利润为W元,则W=(x−40)(−30x+2100)=−30(x−55)2+6750.所以当x=55时,W取最大值,为6750.所以每件售价定为55元时,每星期的销售利润最大,最大利润是6750元.(3) 由题意得(x−40)(−30x+2100)≥6480,解得52≤x≤58.当x=52时,销售量为300+30×8=540(件);当x=58时,销售量为300+30×2=360(件).所以若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润,每星期至少要销售该款童装360件.24.(1) ∵OB=OC,∴点B(3,0),则抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)=ax2−2ax−3a,故−3a=3,解得a=−1,故抛物线的表达式为:y=−x2+2x+3 ⋯⋯①,对称轴为:直线x=1.(2) ACDE的周长=AC+DE+CD+AE,其中AC=10,DE=1是常数,故CD+AE最小时,周长最小,取点C关于函数对称点Cʹ(2,3),则CD=CʹD,取点Aʹ(−1,1),则AʹD=AE,故:CD+AE=AʹD+DCʹ,则当Aʹ,D,Cʹ三点共线时,CD+AE=AʹD+DCʹ最小,周长也最小,四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=10+1+AʹD+DCʹ=10+1+AʹCʹ=10+1+13.(3) 如图,设直线CP交x轴于点E,直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分,又∵S△PCB:S△PCA=12EB×(y C−y P):12AE×(y C−y P)=BE:AE,则BE:AE=3:5或5:3,则AE=52或32,即:点E的坐标为(32,0)或(12,0),将点E,C的坐标代入一次函数表达式:y=kx+3,解得:k=−6或−2,故直线CP的表达式为:y=−2x+3或y=−6x+3 ⋯⋯②,联立①②并解得:x=4或8(不合题意已舍去),故点P的坐标为(4,−5)或(8,−45).。
22-3实际问题与二次函数解答题专练(试题)九年级数学人教版上册

22.3实际问题与二次函数解答题专练1.如图所示,工人师傅要用长2米宽10厘米的塑钢条作窗户内的横、纵梁(没有余料)要使窗户内的透光部分面积最大,问窗户的两边长分别为多少?2.某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示,现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点O到水面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内,求涵洞所在抛物线的函数表达式.3.用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框,若宽为x cm,写出它的面积y与x之间的函数关系式,并判断y是x的二次函数吗?4.如图所示,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的解析式;(2)该运动员身高1.8m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25m处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?5.某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租出;当每辆车的日租金每增加50元,未租出的车将增加1辆;公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出x辆车时,日收益为y元.公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金为多少元(用含x的代数式表示);(2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是多少元?(3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏?6.已知:如图,抛物线y=ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x 轴上,点C在y轴上,且AC=BC.(1)求抛物线的对称轴;(2)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式;(3)若点P在抛物线对称轴上,且PA=PB,求P点的坐标.7.如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,矩形OABC的顶点A、C分别在在x轴、y 轴上,点B的坐标是(6,4),抛物线y=x2﹣x+c与矩形OABC的边BC和AB 分别交于点D(,4)和点E,连接DE(1)求抛物线的解析式;(2)求直线DE的函数表达式;(3)点P是抛物线对称轴上一个动点,①当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时,请直接写出点P的坐标;②将△BDE沿直线DE翻折至△B′DE处,点B的对称点为点B′,连接B′P,请直接写出线段B′P长度的最小值.8.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知抛物线y=x2.(1)写出抛物线y=x2的开口方向,对称轴和顶点坐标;(2)已知点A(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,将抛物线y=x2从点O沿OA 方向平移,与直线x=2交于点P,顶点M到A点时停止移动,设抛物线顶点M的横坐标为m,当m为何值时,线段PB最短?(3)如图,点C为y轴正半轴上一点,过点C任作直线交抛物线y=x2于D,E两点,点F为y轴负半轴上一点,且∠CFD=∠CFE,求证:OC=OF.9.已知,如图,抛物线与x轴交点坐标为A(1,0),C(﹣3,0),(1)若已知顶点坐标D为(﹣1,4)或B点(0,3),选择适当方式求抛物线的解析式.(2)若直线DH为抛物线的对称轴,在(1)的基础上,求线段DK的长度,并求△DBC 的面积.(3)将图(2)中的对称轴向左移动,交x轴于点p(m,0)(﹣3<m<﹣1),与线段BC、抛物线的交点分别为点K、Q,用含m的代数式表示QK的长度,并求出当m 为何值时,△BCQ的面积最大?10.如图,已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)的对称轴为直线x=3,抛物线与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,已知点B的坐标为(8,0).(1)求抛物线的解析式;(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点,点N为线段BC上的一点,若MN∥y轴,求MN的最大值;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形?若存在,请直接写出符合点Q的坐标;若不存在,请说明理由.11.已知:如图,二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A(﹣1,0),点B(4,0),与y轴的交点为C(1)求二次函数的关系式;(2)已知点M是线段OB上一动点,过点M作平行于y轴的直线l,直线l与抛物线交于点E,与直线BC交于点F,连接CE,若△CEF与△OBC相似,求点M的坐标;(3)已知点M是x轴正半轴上一动点,过点M作平行于y轴的直线l,直线l与抛物线交于P,与直线BC交于点Q,连接CP,将△CPQ沿CP翻折后,是否存在这样的直线l,使得翻折后的点Q刚好落在y轴上?若存在,请求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.12.已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A,B与y轴交点C(0,2).(1)抛物线的解析式.(2)抛物线的对称轴为l,顶点为D,点C关于直线l的对称点为E,是否存在x轴上的点M,y轴上的点N,使四边形DNME的周长最小?若存在,求出周长的最小值;若不存在,请说明理由.(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标.13.若两条抛物线的顶点相同,则称它们为“友好抛物线”,抛物线C1:y1=2x2﹣4x+4与C2:y2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”.(1)求抛物线C2的解析式.(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点,过A作AQ⊥x轴,Q为垂足,求AQ+OQ 的最大值.(3)在(2)的条件下,点B是抛物线C2上另一个动点,过点B作BP⊥x轴,P为垂足,求能使A、Q、B、P四点组成的四边形是平行四边形的点P的坐标,直接写出答案.14.如图,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A(2,0),B(0,﹣6)两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连接BA,BC,求△ABC的面积;(3)在x轴上是否存在一点P,使△ABP为等腰三角形?若存在,求出P的坐标;若不存在,说明理由.15.如图,已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0),C(0,3),与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D.(1)求此二次函数解析式;(2)连接DC、BC、DB,求证:△BCD是直角三角形;(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC为等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.16.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣4与直线y=x交于点A、B,点M是抛物线上的一个动点,连接OM.(1)当M为抛物线的顶点时,求△OMB的面积.(2)当△OMB的面积为10时,求点M的坐标.(3)当点M在直线AB的下方,M运动到何处时,△OMB的面积最大.17.如图,直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B.抛物线y=a(x﹣2)2+k经过A、B,并与x轴交于另一点C,其顶点为P,(1)求a,k的值;(2)抛物线的对称轴上是否存在一点M,使△ABM的周长最小?若存在,求△ABM的周长;若不存在,请说明理由;(3)抛物线的对称轴是上是否存在一点N,使△ABN是以AB为斜边的直角三角形?若存在,求出N点的坐标,若不存在,请说明理由.18.如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点A,且与y轴交于点C(0,5).(1)求直线BC与抛物线的解析式.(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交BC于点N,求MN的最大值.(3)在(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标.。
第22章 二次函数 人教版九年级数学上册能力测试(含答案)

第二十二章二次函数(测能力)——2022-2023学年人教版数学九年级上册单元闯关双测卷【满分:120】一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分,共40分,给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若是关于x的二次函数,则m的值为( )A.-2B.-2或1C.1D.不存在2.今年由于受新型冠状病毒的影响,一次性医用口罩的销量剧增.某药店一月份销售量是5000枚,二、三两个月销售量连续增长.若月平均增长率为x,则该药店三月份销售口罩枚数y与x的函数关系式是( )A. B.C. D.3.二次函数的图像如图所示,若一元二次方程有实数根,则m的最大值为( )A.3B.-3C.-6D.94.在同一平面直角坐标系中,二次函数与一次函数的图象如图所示,则二次函数的图象可能是( )A. B.C. D.5.抛物线的函数解析式为,若将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为( )A. B.C. D.6.关于抛物线,下列说法错误的是( )A.开口向下B.顶点坐标是C.当时,y随x的增大而增大D.对称轴是直线7.将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,若直线与这个新图象有3个公共点,则b的值为( )A.或-12B.或2C.-12或2D.或-128.在抛物线和直线上有三点,则的结果是( )A. B.0 C.1 D.29.如图,在中,,cm,cm.动点P从点A出发,沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动(不与点B重合),同时动点Q从点B出发,沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动(不与点C重合).当四边形APQC的面积最小时,经过的时间为( )A.1 sB.2 sC.3 sD.4 s10.已知抛物线(a,b,c为常数,且)的图象如图所示,有下列结论:①;②若,则;③.其中,正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.3二、填空题(每小题4分,共20分)11.若抛物线与x轴没有交点,则m的取值范围是______.12.如图,四边形ABCD是矩形,A,B两点在x轴的正半轴上,C,D两点在抛物线上.设(),矩形ABCD的周长为l,则l与m的函数解析式为_________.13.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠足够长的墙体,中间用一道围栏隔开,并在如图所示的两处各留1m宽的门,所有围栏的总长(不含门)为26m.若要使得建成的饲养室面积最大,则利用墙体的长度为__________m.14.如图,已知二次函数的图像经过,两点,且图像的对称轴与x 轴交于点C,连接BA,BC,则的面积为___________.15.已知抛物线与x轴最多有一个交点,现有以下四个结论:①该抛物线的对称轴在y轴左侧;②关于x的方程无实数根;③;④的最小值为3.其中正确的结论是__________.三、解答题(本大题共6小题,共计60分,解答题应写出演算步骤或证明过程)16.(8分)某超市销售一款“免洗洗手液”,这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元,当销售单价定为20元时,每天可售出80瓶.根据市场行情,现决定降价销售.市场调查反映:销售单价每降低0.5元,则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价),若设这款免洗洗手液”的销售单价为x (元),每天的销售量为y(瓶).(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大?最大利润为多少元?17.(8分)抛物线与直线交于.(1)求m和n的值;(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)对于二次函数,当x在什么范围时,y随x的增大而减小?(4)抛物线与直线还有其他交点吗?若有,请求出来;若没有,说明理由.18.(10分)如图,抛物线与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.过点C作轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD.已知点A的坐标为.(1)求抛物线的表达式;(2)求梯形COBD的面积.19.(10分)某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:x…-3-2-10123…y…3m-10-103…其中,_________.(2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.(3)观察函数图象,写出两条函数的性质.(4)进一步探究函数图象发现:①函数图象与x轴有___________个交点,所以对应的方程有___________个不相等的实数根;②方程有__________个不相等的实数根;③关于x的方程有4个不相等的实数根时,a的取值范围是__________.20.(12分)单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一,举办场地为首钢滑雪大跳台,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,建立如图所示的平面直角坐标系,从起跳到着陆的过程中,运动员的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系.某运动员进行了两次训练.(1)第一次训练时,该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:水平距离02581114 x/m竖直高度20.0021.4022.7523.2022.7521.40y/m根据上述数据,直接写出该运动员竖直高度的最大值,并求出满足的函数关系;(2)第二次训练时,该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为;第二次训练的着陆点的水平距离为,则______(填“>”“=”或“<”).21.(12分)如图,抛物线的顶点为,与y轴交于点,点为其对称轴上的一个定点.(1)求这条抛物线的函数解析式.(2)已知直线l是过点且垂直于y轴的定直线,若抛物线上的任意一点到直线l的距离为d,求证:.(3)已知坐标平面内的点,请在抛物线上找一点Q,使的周长最小,并求此时周长的最小值及点Q的坐标.答案以及解析1.答案:A解析:若是关于x的二次函数,则解得.故选A.2.答案:B解析:该药店三月份销售口罩枚数y与x的函数关系式是.3.答案:A解析:由图像可得二次函数的最小值是-3.一元二次方程有实数根,,解得,m的最大值是3.4.答案:D解析:观察函数图象可知,,,二次函数的图象开口向上,对称轴,与y轴的交点在y轴负半轴.故选D.5.答案:C解析:根据题意知,将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度相当于将抛物线向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,则所得抛物线的解析式为.故选C.6.答案:C解析:抛物线,该函数图象开口向下,故选项A不符合题意;该函数图象的顶点坐标是,故选项B不符合题意;当时,y随x的增大而减小,故选项C符合题意;对称轴是直线,故选项D不符合题意.故选C.7.答案:A解析:如图所示,过点B的直线与新抛物线有三个公共点,将直线向下平移到A、B之间的抛物线只有C一个公共点时,直线与新抛物线也有三个公共点.令,解得:或6,即点B坐标.当一次函数过点B时,将点B的坐标代入,得,解得.将一次函数与二次函数表达式联立得:,整理得:,,解得:.综上,b的值为或,故选A.8.答案:D解析:如图,在抛物线和直线上有三点, ,.,∴抛物线的对称轴为直线,.在直线上,,.故选D.9.答案:B解析:设运动时间为x s,四边形APQC的面积为y,则cm,cm,cm,,即,当时,y有最小值,为12,故选B.10.答案:D解析:抛物线开口向下,.,,,故①正确;设二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别是和,,则.,,故②正确;,,,.时,,,.,,,,,,,故③正确.故选D.11.答案:解析:∵抛物线与x轴没有交点,,即,解得.12.答案:解析:,,点D的横坐标为m.把代入抛物线中,得,.把代入抛物线中,得,解得,,点C的横坐标是,故,矩形ABCD的周长,即.13.答案:14解析:设平行于墙的一边长为x m,则垂直于墙的一边长为m,总面积,当时,建成的饲养室面积最大.故答案为14.14.答案:6解析:把,代入,得解得所以抛物线的表达式为.因为抛物线的对称轴为直线,所以.又因为,,所以,,所以的面积为.15.答案:①②③④解析:,,①正确.抛物线与x轴最多有一个交点,抛物线开口向上,抛物线与直线没有交点,关于x的方程无实数根,②正确.及抛物线与x轴最多有一个交点,x取任何值时,,当时,,③正确.当时,,,,,④正确.故答案为①②③④.16.答案:(1).(2)当销售单价为19元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为360元.解析:(1)由题意得.(2)设每天的销售利润为w元,则有,,二次函数的图象开口向下.当时,w有最大值,最大值为360.当销售单价为19元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为360元.17.答案:(1);(2)(0,-5);y轴(3)(4)(-1,-3)解析:(1)∵抛物线与直线交于,∴将代入得,解得.将(2,3)代入得,解得.(2)根据(1)得出,∴抛物线的顶点坐标为(0,-5),对称轴为y轴.(3)抛物线开口向上,当时,y随x的增大而减小.(4)由题意得,解得,,故抛物线与直线还有其他交点,交点坐标为(-1,-3).18.答案:解:(1)把的坐标代入,得,.(2)令,得,.抛物线的对称轴是直线,...19.答案:(1)0(2)图见解析(3)见解析(4)①3,3,②2;③解析:(1)把代入得,即,故答案为0.(2)如图所示.(3)(答案不唯一)由函数图象知,①函数的图象关于y轴对称;②当时,y随x的增大而增大.(4)①由函数图象知,函数图象与x轴有3个交点,所以对应的方程有3个不相等的实数根;②如图,的图象与直线有两个交点,有2个不相等的实数根;③由函数图象知,关于x的方程有4个不相等的实数根时,a的取值范围是.故答案为①3,3,②2;③.20.答案:(1)(2)<解析:(1)该运动员竖直高度的最大值为23.20 m.由表格中的数据可知该抛物线的顶点坐标为,故该抛物线的解析式为,将代入,得,解得,.(2)设着陆点的纵坐标为t,则第一次训练时,,解得:或,根据图象可知,第一次训练时着陆点的水平距离,第二次训练时,,解得:或,根据图象可知,第二次训练时着陆点的水平距离,,,,故答案为:<21.答案:(1)(2)见解析(3)解析:(1)设抛物线的解析式为.由题意,得抛物线的顶点为.又抛物线与y轴交于,,解得.∴抛物线的解析式为.(2)证明:如图,过点P作垂直于对称轴于点M.在中,.由勾股定理,得.∵点在抛物线上,,即...又.(3)如图,作于点G,交抛物线于点Q,则点Q即为所求,此时的周长最小.由(2)可知,,.又,周长的最小值为,此时点Q的横坐标为4,纵坐标,即点Q的坐标为.。
部编数学九年级上册专题24.1圆【七大题型】(人教版)(解析版)含答案

专题24.1 圆【七大题型】【人教版】【题型1 圆的概念】 (1)【题型2 圆的有关概念】 (4)【题型3 确定圆的条件】 (6)【题型4 点与圆的位置关系】 (9)【题型5 圆中角度的计算】 (12)【题型6 圆中线段长度的计算】 (15)【题型7 圆相关概念的应用】 (18)定义②:圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.【题型1 圆的概念】【例1】(2022•金沙县一模)下列说法中,不正确的是( )A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形B.圆有无数条对称轴C.圆的每一条直径都是它的对称轴D.圆的对称中心是它的圆心【分析】利用圆的对称性质逐一求解可得.【解答】解:A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形,正确;B.圆有无数条对称轴,正确;C.圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴,此选项错误;D.圆的对称中心是它的圆心,正确;故选:C.【变式1-1】(2022•武昌区校级期末)由所有到已知点O 的距离大于或等于2,并且小于或等于3的点组成的图形的面积为( )A .4πB .9πC .5πD .13π【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可.【解答】解:由所有到已知点O 的距离大于或等于2,并且小于或等于3的点组成的图形的面积为以3为半径的圆与以2为半径的圆组成的圆环的面积,即π×32﹣π×22=5π,故选:C .【变式1-2】(2022•杭州模拟)现有两个圆,⊙O 1的半径等于篮球的半径,⊙O 2的半径等于一个乒乓球的半径,现将两个圆的周长都增加1米,则面积增加较多的圆是( )A .⊙O 1B .⊙O 2C .两圆增加的面积是相同的D .无法确定【分析】先由L =2πR 计算出两个圆半径的伸长量,然后再计算两个圆增加的面积,然后进行比较大小即可.【解答】解:设⊙O 1的半径等于R ,变大后的半径等于R ′;⊙O 2的半径等于r ,变大后的半径等于r ′,其中R >r .由题意得,2πR+1=2πR ′,2πr +1=2πr ′,解得R ′=R +12π,r ′=r +12π;所以R ′﹣R =12π,r ′﹣r =12π,所以,两圆的半径伸长是相同的,且两圆的半径都伸长12π.∴⊙O 1的面积=πR 2,变大后的面积=π(R +12π)2,面积增加了π(R +12π)2−πR 2=R +14π,⊙O 2的面积=πr 2,变大后的面积=π(r +12π)2,面积增加了π(r +12π)2−πr 2=r +14π,∵R >r ,∴R +14π>r +14π,∴⊙O 1的面积增加的多.故选:A .【变式1-3】(2022•浙江)如图,AB 是⊙O 的直径,把AB 分成几条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,设AB =a ,那么⊙O 的周长l =πa .计算:(1)把AB 分成两条相等的线段,每个小圆的周长l 2=12πa =12l ;(2)把AB 分成三条相等的线段,每个小圆的周长l 3= 13l ;(3)把AB 分成四条相等的线段,每个小圆的周长l 4= 14l ;(4)把AB 分成n 条相等的线段,每个小圆的周长l n = 1n l .结论:把大圆的直径分成n 条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,那么每个小圆周长是大圆周长的 1n .请仿照上面的探索方法和步骤,计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系.【分析】把大圆的直径分成n 条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,那么每个小圆周长是l n =π(1n a )=1n l ,即每个小圆周长是大圆周长的1n ;根据圆的面积公式求得每个小圆的面积和大圆的面积后比较.【解答】解:(2)13l ;(3)14l ;(4)1n l ;1n ;每个小圆面积=π(12•1n a )2=14•πa 2n 2,而大圆的面积=π(12•a )2=14πa 2即每个小圆的面积是大圆的面积的1.n2【题型2 圆的有关概念】【例2】(2022•远安县期末)下列说法:①弦是直线;②圆的直径被该圆的圆心平分;③过圆内一点P的直径仅有一条;④弧是圆的一部分.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】根据弦,直径,弧的定义一一判断即可.【解答】解:①弦是直线,错误,弦是线段.②圆的直径被该圆的圆心平分,正确.③过圆内一点P的直径仅有一条,错误,点P是圆心时,直径有无数条.④弧是圆的一部分,正确.故选:B.【变式2-1】(2022图木舒克月考)有一个圆的半径为5,则该圆的弦长不可能是( )A.1B.4C.10D.11【分析】根据直径是圆中最长的弦,判断即可.【解答】解:∵一个圆的半径为5,∴圆中最长的弦是10,∴弦长不可能为11,故选:D.【变式2-2】(2022•嘉鱼县期末)如右图中有 1 条直径,有 4 条弦,以点A为端点的优弧有 2 条,有劣弧 2 条.【分析】根据直径、弦、优弧及劣弧的概念解答即可得.【解答】解:图中直径只有AB这1条,弦有AC、AB、CD、BC这4条,以点A为端点的优弧有ACD、ADC 这2条,劣弧有AC、AD这2条,故答案为:1、4、2、2.【变式2-3】(2022仪征市期末)如图,⊙O的半径为6,△OAB的面积为18,点P为弦AB上一动点,当OP长为整数时,P点有 4 个.【分析】解法一:过点P最长的弦是12,根据已知条件,△OAB的面积为18,可以求出AB<12,根据三角形面积可得OC=OP的长有两个整数:5,6,且OP=6是P在A或B点时,每一个值都有两个点P,所以一共有4个.解法二:根据面积可知,OA上的高为6,也就是说OA与OB互相垂直,然后算出OC长度即可.【解答】解:解法一:过O作OC⊥AB于C,则AC=BC,设OC=x,AC=y,∵AB是⊙O的一条弦,⊙O的半径为6,∴AB≤12,∵△OAB的面积为18,+y2=362y⋅x=18,则y=18x,∴x2+(18x)2=36,解得x=∴OC=4,∴4<OP≤6,∵点P为弦AB上一动点,当OP长为整数时,OP=5或6,P点有4个.解法二:设△AOB中OA边上的高为h,则12×OAℎ=18,即12×6ℎ=18,∴h=6,∵OB=6,∴OA⊥OB,即∠AOB=90°,∴AB=OC=同理得:点P为弦AB上一动点,当OP长为整数时,OP=5或6,P点有4个.故答案为:4.【题型3 确定圆的条件】【例3】(2022•绥中县一模)小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中三块碎片如图所示,三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是( )A.①B.②C.③D.均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径.根据垂径定理知第①块可确定半径的大小.【解答】解:第①块出现两条完整的弦,作出这两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心,进而可得到半径的长.故选:A.【变式3-1】(2022春•射阳县校级期末)平面直角坐标系内的三个点A(1,0)、B(0,﹣3)、C(2,﹣3) 能 确定一个圆(填“能”或“不能”).【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线,于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆.【解答】解:∵B(0,﹣3)、C(2,﹣3),∴BC∥x轴,而点A(1,0)在x轴上,∴点A、B、C不共线,∴三个点A(1,0)、B(0,﹣3)、C(2,﹣3)能确定一个圆.故答案为:能.【变式3-2】(2022•西城区期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,C的横、纵坐标都为整数,过这三个点作一条圆弧,则此圆弧的圆心坐标为 (2,1) .【分析】根据图形得出A、B、C的坐标,再连接AB,作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF,两线交于Q,则Q是圆弧的圆心,最后求出点Q的坐标即可.【解答】解:从图形可知:A点的坐标是(0,2),B点的坐标是(1,3),C点的坐标是(3,3),连接AB,作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF,两线交于Q,则Q是圆弧的圆心,如图,∴Q点的坐标是(2,1),故答案为:(2,1).【变式3-3】(2022•任城区校级月考)将图中的破轮子复原,已知弧上三点A,B,C.(1)画出该轮的圆心;(2)若△ABC是等腰三角形,底边BC=16cm,腰AB=10cm,求圆片的半径R.【分析】(1)根据垂径定理,分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求;(2)连接AO,OB,利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R.【解答】解:(1)如图所示:分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心;(2)连接AO,OB,BC,BC交OA于D.∵BC=16cm,∴BD=8cm,∵AB=10cm,∴AD=6cm,设圆片的半径为R,在Rt△BOD中,OD=(R﹣6)cm,∴R2=82+(R﹣6)2,cm,解得:R=253cm.∴圆片的半径R为253【题型4 点与圆的位置关系】【例4】(2022秋•宜州区期末)如已知:如图,△ABC中,∠C=90°,AC=2cm,BC=4cm,CM是中线,以C长为半径画圆,则点A、B、M与⊙C的关系如何?【分析】点与圆的位置关系由三种情况:设点到圆心的距离为d,则当d=R时,点在圆上;当d>R时,点在圆外;当d<R时,点在圆内.【解答】解:根据勾股定理,有AB=cm);∵CA=2cm,∴点A在⊙O内,∵BC=4cm,∴点B在⊙C外;由中线定理得:CM=∴M点在⊙C上.【变式4-1】(2022春•龙湖区校级月考)⊙O的面积为25πcm2,⊙O所在的平面内有一点P,当PO =5cm 时,点P在⊙O上;当PO <5cm 时,点P在⊙O内;当PO >5cm 时,点P在⊙O外.【分析】根据圆的面积求出圆的半径,然后确定圆上点,圆内点以及圆外的到圆心的距离.【解答】解:因为圆的面积为25πcm2,所以圆的半径为5cm.当点P到圆心的距离等于5cm时,点P在⊙O上,此时OP=5cm.当点P到圆心的距离小于5cm时,点P在⊙O内,此时OP<5cm.当点P到圆心的距离大于5cm时,点P在⊙O外,此时OP>5cm.故答案分别是:PO=5cm,PO<5cm,PO>5cm.【变式4-2】(2022•广东模拟)如图,已知⊙A的半径为1,圆心的坐标为(4,3).点P(m,n)是⊙A 上的一个动点,则m2+n2的最大值为 36 .【分析】由于圆心A的坐标为(4,3),点P的坐标为(m,n),利用勾股定理可计算出OA=5,OP=这样把m2+n2理解为点P与原点的距离的平方,利用图形可得到当点P运动到射线OA上时,点P离圆点最远,即m2+n2有最大值,然后求出此时的PO长即可.【解答】解:作射线OA交⊙O于P′点,如图,∵圆心A的坐标为(4,3),点P的坐标为(m,n),∴OA5,OP=∴m2+n2是点P点圆点的距离的平方,∴当点P运动到P′处,点P离圆点最远,即m2+n2有最大值,此时OP=OA+AP′=5+1=6,则m2+n2=36.故答案为:36.【变式4-3】(2022秋•金牛区期末)如图.A(3,0).动点B到点M(3,4)的距离为1,连接BO,BO 的中点为C,则线段AC的最小值为 2 .【分析】先确定AC最小值时点B的位置:过B作BD∥AC交x轴于D,由图可知:当BD经过M时,线段BD的长最小,此时AC有最小值,根据勾股定理和三角形中位线定理可得AC的长.【解答】解:过B作BD∥AC交x轴于D,∵C是OB的中点,∴OA=AD,BD,∴AC=12∴当BD取最小值时,AC最小,由图可知:当BD经过M时,线段BD的长最小,此时AC有最小值,∵A(3,0),∴D(6,0),∵M(3,4),∴DM==5,∴BD=5﹣1=4,BD=2,即线段AC的最小值为2;∴AC=12故答案为:2.【题型5 圆中角度的计算】【例5】(2022•江宁区校级期中)如图,BD=OD,∠AOC=114°,求∠AOD的度数.【分析】设∠B=x,根据等腰三角形的性质,由BD=OD得∠DOB=∠B=x,再根据三角形外角性质得∠ADO=2x,则∠A=∠ADO=2x,然后根据三角形外角性质得2x+x=114°,解得x=38°,最后利用三角形内角和定理计算∠AOD的度数.【解答】解:设∠B=x,∵BD=OD,∴∠DOB=∠B=x,∴∠ADO=∠DOB+∠B=2x,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO=2x,∵∠AOC=∠A+∠B,∴2x+x=114°,解得x=38°,∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠ADO=180°﹣4x=180°﹣4×38°=28°.【变式5-1】(2022•汉阳区校级月考)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB、CD的延长线交于点E.已知AB=2DE,∠AEC=25°,求∠AOC的度数.【分析】求∠AOC的度数,可以转化为求∠C与∠E的问题.【解答】解:连接OD,∵AB=2DE=2OD,∴OD=DE,又∵∠E=25°,∴∠DOE=∠E=25°,∴∠ODC=50°,同理∠C=∠ODC=50°∴∠AOC=∠E+∠OCE=75°.【变式5-2】(2022•金牛区期末)如图,AB为⊙O的直径,AD∥OC,∠AOD=84°,则∠BOC= 48° .【分析】根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D=∠A,利用三角形内角和定理可计算出∠A,然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数.【解答】解:∵OD=OC,∴∠D=∠A,∵∠AOD=84°,(180°﹣84°)=48°,∴∠A=12又∵AD∥OC,∴∠BOC=∠A=48°.故答案为:48°.【变式5-3】(2022•大丰市月考)如图,直线l经过⊙O的圆心O,且与⊙O交于A、B两点,点C在⊙O 上,且∠AOC=30°,点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合),直线CP与⊙O相交于点Q.是否存在点P,使得QP=QO;若存在,求出相应的∠OCP的大小;若不存在,请简要说明理由.【分析】点P是直线l上的一个动点,因而点P与线段AO有三种位置关系,在线段AO上,点P在OB 上,点P在OA的延长线上.分这三种情况进行讨论即可.【解答】解:①根据题意,画出图(1),在△QOC中,OC=OQ,∴∠OQC=∠OCP,在△OPQ中,QP=QO,∴∠QOP=∠QPO,又∵∠AOC=30°,∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°,在△OPQ中,∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°,即(∠OCP+30°)+(∠OCP+30°)+∠OCP=180°,整理得,3∠OCP=120°,∴∠OCP=40°.②当P在线段OA的延长线上(如图2)∵OC=OQ,∴∠OQP=(180°﹣∠QOC)×1①,2∵OQ=PQ,∴∠OPQ=(180°﹣∠OQP)×1②,2在△OQP中,30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③,把①②代入③得∠QOC=20°,则∠OQP=80°∴∠OCP=100°;③当P在线段OA的反向延长线上(如图3),∵OC=OQ,∴∠OCP=∠OQC=(180°﹣∠COQ)×1①,2∵OQ=PQ,∴∠P=(180°﹣∠OQP)×1②,2∵∠AOC=30°,∴∠COQ+∠POQ=150°③,∵∠P=∠POQ,2∠P=∠OCP=∠OQC④,①②③④联立得∠P=10°,∴∠OCP=180°﹣150°﹣10°=20°.故答案为:40°、20°、100°.【题型6 圆中线段长度的计算】【例6】(2022•潮安区模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10.若以点C为圆心,CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则⊙C的半径为( )A .B .8C .6D .5【分析】连结CD ,根据直角三角形斜边中线定理求解即可.【解答】解:如图,连结CD ,∵CD 是直角三角形斜边上的中线,∴CD =12AB =12×10=5.故选:D .【变式6-1】(2022•海港区校级自主招生)如图,圆O 的周长为4π,B 是弦CD 上任意一点(与C ,D 不重合),过B 作OC 的平行线交OD 于点E ,则EO +EB = 2 .(用数字表示)【分析】根据圆的周长公式得到OD =2,根据等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论.【解答】解:∵⊙O 的周长为4π,∴OD =2,∵OC =OD ,∴∠C =∠D ,∵BE ∥OC ,∴∠EBD =∠C ,∴∠EBD =∠D ,∴BE =DE ,∴EO +EB =OD =2,故答案为:2.【变式6-2】(2022•龙湖区校级开学)如图,已知AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,CD ⊥AB 于D ,AD <BD ,若CD =2cm ,AB =5cm ,求AD 、AC 的长.【分析】由直径AB =5cm ,可得半径OC =OA =12AB =52cm ,分别利用勾股定理计算AD 、AC 的长.【解答】解:连接OC ,∵AB =5cm ,∴OC =OA =12AB =52cm ,Rt △CDO 中,由勾股定理得:DO =32cm ,∴AD =52−32=1cm ,由勾股定理得:AC ==则AD 的长为1cm ,AC .【变式6-3】(2022秋•邗江区期中)如图,半圆O 的直径AB =8,半径OC ⊥AB ,D 为弧AC 上一点,DE ⊥OC ,DF ⊥OA ,垂足分别为E 、F ,求EF 的长.【分析】连接OD ,利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形DEOF 是矩形,利用矩形的对角线相等即可得到所求结论.【解答】解:连接OD .∵OC ⊥AB DE ⊥OC ,DF ⊥OA ,∴∠AOC =∠DEO =∠DFO =90°,∴四边形DEOF是矩形,∴EF=OD.∵OD=OA∴EF=OA=4.【题型7 圆相关概念的应用】【例7】(2022秋•南岗区校级期中)某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛,为使花坛修得更加美观,决定向全校征集方案,在众多方案中最后选出两种方案:方案A如图1所示,先画一条直径,再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛;方案B如图2所示,先画一条直径,然后在直径上取一点,把直径分成2:3的两部分,再以这两条线段为直径修两个圆形花坛;(花坛指的是图中实线部分)(1)如果按照方案A修,修的花坛的周长是 .(保留π)(2)如果按照方案B修,与方案A比,省材料吗?为什么?(保留π)(3)如果按照方案B修,学校要求在5天内完成,甲工人承包了此项工程,甲每天能完成工程的1,他15做了1天后,发现不能完成任务,就请乙来帮忙,乙的速度是甲的2倍,乙加入后,甲的速度也提高了1,结果正好按时完成任务,若修1米花坛可得到10元钱,修完花坛后,甲,乙各得到多少钱?(π取23)【分析】(l)根据圆的周长公式:c=xd,把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可.(2)首先根据圆的周长公式:c=元d,求出直径是4米、和6米的圆的周长和,然后与图1进行比较.(3)求出乙的钱数,再用总钱数﹣乙是钱数,可得结论.【解答】解:(1)10÷2=5(米),2π×5×2=20π(米).故答案为:20π米.=8(米),8÷2=4(米),(2)10×2=20(米),20×223=12(米),12÷2=6(米),20×323方案B花坛周长:2π(4+6)=20π(米),20π=20π,方案B与A周长一样,用的材料一样.×2×(5﹣1)×20π×10=320(元).(3)乙的钱数=115甲的钱数=20π×10﹣320=280(元),答:修完花坛后,甲,乙分别得到320元和280元.【变式7-1】(2022•南岗区期末)一个压路机的前轮直径是1.7米,如果前轮每分钟转动6周,那么这台压路机10分钟前进( )米.A.51πB.102πC.153πD.204π【分析】首先根据圆的周长公式C=πd,求出前轮的底面圆周长,然后用前轮的底面周长乘每分钟转的周数(6周),求出1分钟前进多少米,再乘工作时间10分钟即可.【解答】解:前轮的底面圆周长:π×1.7=1.7π(米),1.7π×6×10=102π(米)故选:B.【变式7-2】(2022•罗田县校级模拟)一个塑料文具胶带如图所示,带宽为1cm,内径为4cm,外径为7cm,已知30层胶带厚1.5mm,则这卷胶带长 51.81 m.(π≈3.14,结果保留4位有效数字)【分析】首先求出胶带的体积,用胶带的体积除以一米长的胶带的体积即可求得.【解答】解:4÷2=2(cm),7÷2=3.5(cm),胶带的体积是:π(3.52﹣22)•1=8.25πcm3=8.25π×10﹣6(m3),一米长的胶带的体积是:0.01×1×5×10﹣5=5×10﹣7(m3),因而胶带长是:(8.25π×10﹣6)÷(5×10﹣7)≈51.81(m).故答案为:51.81.【变式7-3】(2022•张店区期末)如图,大圆和圆的半径都分别是4cm和2cm,两圆外切于点C,一只蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序沿着两圆圆周不断地爬行,其中各点分别是两圆周的四等分点,蚂蚁直到行走2010πcm后才停下来.则这只蚂蚁停在点 E .【分析】首先求得蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序走一周的路线长,然后确定走2010πcm是走了多少周,即可确定.【解答】解:A开始ABCDEFCGA的顺序转一周的路径长是:8π+4π=12πcm,蚂蚁直到行走2010πcm所转的周数是:2010π÷12π=167…6π.即转167周以后又走了6πcm.从A到B得路长是:2π,再到C的路线长也是2π,从C到D,到E的路线长是2π,则从A行走6πcm 到E点.故答案是:E.。
部编数学九年级上册专题24.7切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】(人教版)(解析版)含答案

专题24.7 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】【人教版】【题型1 利用切线长定理求周长】 (1)【题型2 三角形内切圆中求角度】 (5)【题型3 三角形内切圆中求面积】 (9)【题型4 三角形内切圆中求线段长度】 (13)【题型5 三角形内切圆中求半径】 (17)【题型6 三角形内切圆中求最值】 (20)【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】 (25)【题型1 利用切线长定理求周长】【例1】(2022秋•宜兴市校级期中)如图,△ABC 是一张三角形的纸片,⊙O 是它的内切圆,点D 是其中的一个切点,已知AD =10cm ,小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的任意一条直线MN 剪下一块三角形(△AMN ),则剪下的△AMN 的周长为 20cm .【分析】利用切线长定理得出DM =MF ,FN =EN ,AD =AE ,进而得出答案.A B C I【解答】解:∵△ABC是一张三角形的纸片,⊙O是它的内切圆,点D是其中的一个切点,AD=10cm,∴设E、F分别是⊙O的切点,故DM=MF,FN=EN,AD=AE,∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20(cm).故答案是:20cm.【变式1-1】(2022秋•莒南县期末)如图,PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,分别交PA、PB于点C、D.若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个根,求△PCD的周长.【分析】由PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,根据切线长定理,可得PA=PB,又由PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个根,根据根与系数的关系,可求得PA与PB的长,又由CD切⊙O于点E,即可得△PCD的周长等于PA+PB.【解答】解:∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个根,∴PA+PB=m,PA•PB=m﹣1,∵PA、PB切⊙O于A、B两点,∴PA=PB=m2,即m2•m2=m﹣1,即m2﹣4m+4=0,解得:m=2,∴PA=PB=1,∵PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,∴AD=ED,BC=EC,∴△PCD的周长为:PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2.【变式1-2】(2022•雨花区校级三模)如图,△ABC中,∠C=90°,BC=5,⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F,若⊙O的半径为2,则△ABC的周长为( )A.14B.20C.24D.30【分析】设AD=x,由切线长定理得AE=x,根据题意可得四边形OECF为正方形,则CE=CF=2,BD=BF=3,在直角三角形ABC中,利用勾股定理求出x,然后求其周长.【解答】解:连接OE、OF,设AD=x,由切线长定理得AE=x,∵⊙O与Rt△ABC的三边分别点D、E、F,∴OE⊥AC,OF⊥BC,∴四边形OECF为正方形,∵⊙O的半径为2,BC=5,∴CE=CF=2,BD=BF=3,∴在Rt△ABC中,∵AC2+BC2=AB2,即(x+2)2+52=(x+3)2,解得x=10,∴△ABC的周长为12+5+13=30.故选:D.【变式1-3】(2022秋•崇川区月考)如图,P是⊙O外一点,PA、PB分别和⊙O相切于点A、B,C是劣弧AB上任意一点,过C作⊙O切线DE,交PA、PB于点D、E,已知PA的长为5cm,∠DOE=65°,点M、N分别在PA、PB的延长线上,MN与⊙O相切于点F,已知DN、EM的长是方程x2﹣10x+k=0的两根.(1)求∠P的度数;(2)求△PDE的周长;(3)求四边形DEMN的周长.【分析】(1)只要证明∠AOB=130°,∠PAO=∠PBO=90°,再利用四边形内角和定理即可解决问题;(2)利用切线长定理即可解决问题;(3)因为DN、EM的长是方程x2﹣10x+k=0的两根.可得DN+EM=10,再利用切线长定理即可解决问题;【解答】解:(1)连接OA、OB、OC.∴PA、PB、DE是⊙O的切线,∴PA⊥OA,OB⊥PB,∠DOA=∠DOC,∠EOB=∠EOC,∵∠DOE=65°,∴∠AOB=130°,∠PAO=∠PBO=90°,∴∠P=360°﹣90°﹣90°﹣130°=50°.(2)∵PA、PB、DE是⊙O的切线,∴DA=DC,EC=EB,PA=PB=5,∴△PDE的周长=PD+DE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB=10.(3)∵DN、EM的长是方程x2﹣10x+k=0的两根.∴DN+EM=10,∴PN,PM,MN是⊙O的切线,∴AN=NF,MF=MB,DA=DC,EC=EB,∴四边形EMND的周长=EM+MN+DN+DE=EM+BM+NA+DA+EB+DN=2(DN+EM)=20.【题型2 三角形内切圆中求角度】【例2】(2022•温州模拟)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,⊙O是它的内切圆,与AB,BC,CA分别切于点D,E,F,若∠ACB=40°,则∠DOE= 130° .【分析】利用直角三角形性质求出∠ABC=50°,再利用切线性质求出∠BDO=∠BEO=90°,再利用四边形内角和为360°,即可求得答案.【解答】解:在Rt△ABC中,∵∠A=90°,∠ACB=40°,∴∠ABC=90°﹣∠ACB=90°﹣40°=50°,∵⊙O是Rt△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别切于点D,E,F,∴AB、BC是⊙O的切线,∴∠BDO=∠BEO=90°,∴∠DOE=360°﹣∠BDO﹣∠BEO﹣∠ABC=130°,故答案为:130°.【变式2-1】(2022秋•昌平区期末)如图,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,已知∠A=40°,连接OB,OC,DE,EF,则∠BOC= 110 °,∠DEF= 70 °.【分析】连接OD和OF,根据内切圆的性质可得OB,OC平分∠ABC,∠ACB,再根据三角形内角和定理即可求出角BOC的度数;根据切线的性质可得∠DOF的度数,进而根据圆周角定理可得∠DEF的度数.【解答】解:如图,连接OD和OF,∵⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,∠A=40°,∴OB,OC平分∠ABC,∠ACB,∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB(∠ABC+∠ACB)=180°−12×140°=180°−12=110°,∵OD⊥AB,OF⊥AC,∴∠ADO=∠AFO=90°,∴∠DOF=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°,∠DOF=70°.∴∠DEF=12故答案为:110,70.【变式2-2】(2022•万年县校级模拟)如图,△ABC中,内切圆I与AB,BC,CA分别切于F,D,E,连接BI,CI,再连接FD,ED,(1)若∠A=40°,求∠BIC与∠FDE的度数.(2)若∠BIC=α;∠FDE=β,试猜想α,β的关系,并证明你的结论.(∠ABC+∠ACB),求出∠ABC+∠ACB 【分析】(1)根据圆I是△ABC的内切圆求出∠IBC+∠ICB=12的度数,求出∠IBC+∠ICB即可;连接IF、IE,求出∠FIE,即可求出∠FDE;(2)由(1)得出∠BIC=180°﹣(∠IBC+∠ICB),∠FDE=180°﹣2∠A,根据三角形的内角和定理求出∠BIC =90°+12∠A ,代入即可求出答案.【解答】解:(1)∵圆I 是△ABC 的内切圆,∴∠IBC =12∠ABC ,∠ICB =12∠ACB ,∴∠IBC +∠ICB =12(∠ABC +∠ACB ),∵∠ABC +∠ACB =180°﹣∠A =140°,∴∠IBC +∠ICB =70°,∴∠BIC =180°﹣(∠IBC +∠ICB )=110°,如图,连接IF 、IE ,∵圆I 是△ABC 的内切圆,∴∠IFA =∠IEA =90°,∵∠A =40°,∴∠FIE =360°﹣∠IFA ﹣∠IEA ﹣∠A =140°,∴∠EDF =12∠EIF =70°,答:∠BIC =110°,∠FDE =70°;(2)解:α=180°﹣β,证明:由圆周角定理得:∠FIE =2∠FDE ,由(1)知:2∠FDE =180°﹣∠A ,即∠A =180°﹣2∠FDE ,∴∠A =180°﹣∠EIF ,由(1)知:2∠FDE =180°﹣∠A ,∴∠A =180°﹣2∠FDE =180°﹣2β,∠BIC =180°﹣(∠IBC +∠ICB )=180°−12(∠ABC +∠ACB )=180°−1(180°﹣∠A)2∠A,=90°+12(180°﹣2β),∴∠BIC=α=90°+12即α=180°﹣β.【变式2-3】(2022秋•邗江区期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,点M是△ABC内一点,连接BM交AD于点N,已知∠AMB=108°,若点M是△CAN的内心,则∠BAC的度数为( )A.36°B.48°C.60°D.72°【分析】过点M作ME⊥AD于点E,根据已知条件可得△ABC是等腰三角形,AD是BC边的中垂线,证明ME∥BC,可得∠NME=∠NBD,由点M是△CAN的内心,可得点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上,设∠NAM=x,∠NBD=y,所以∠BAC=4x,∠NBD=∠NCD=∠NME=y,∠ENM=∠CNM=2y,然后利用∠AMB=108°,列出方程组y−x=18°2y+x=72°,求解即可得结论.【解答】解:如图,过点M作ME⊥AD于点E,∵AB=AC,AD⊥BC,∴△ABC是等腰三角形,AD是BC边的中垂线,∴NB=NC,∠BAD=∠CAD,∴∠NBD=∠NCD,∵ME⊥AD,AD⊥BC,∴ME∥BC,∴∠NME=∠NBD,∵点M是△CAN的内心,∴点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上,∴∠NAM=∠CAM,∠ANM=∠CNM,设∠NAM=x,∠NBD=y,∴∠BAC=4x,∠NBD=∠NCD=∠NME=y,∴∠ENM=∠CNM=∠NBC+∠NCB=2y,∵∠AMB=108°,∴∠AME=∠AMB﹣∠EMN=108°﹣y,在△AEM中,∠EAM+∠AME=90°,∴x+108°﹣y=90°,∴y﹣x=18°,在△ANM中,∠NAM+∠ANM=180°﹣108°,∴x+2y=72°,y−x=18°2y+x=72°,解得x=12°y=30°,∴∠BAC=4x=48°.故选:B.【题型3 三角形内切圆中求面积】【例3】(2022秋•黄冈期中)如图,边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径,CF是⊙O的切线,E 为切点,F点在AD上,BE是⊙O的弦,求△CDF的面积.【分析】设AF=x,由切线长定理可得EF=AF=x,则FD=1﹣x,CF=CE+EF=CB+EF=1+x,利用勾股定理建立方程求出x的值,再根据三角形的面积公式即可求出问题的答案.【解答】解:设AF=x,∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=90°,∴DA⊥AB,∴AD是圆的切线,∵CF是⊙O的切线,E为切点,∴EF=AF=x,∴FD=1﹣x,∵CB⊥AB,∴CB为⊙O的切线,∴CB=CE,∴CF=CE+EF=CB+EF=1+x.∴在Rt△CDF中由勾股定理得到:CF2=CD2+DF2,即(1+x)2=1+(1﹣x)2,解得x=14,∴DF=1﹣x=34,∴S△CDF =12×1×34=38.【变式3-1】(2022•武汉模拟)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,E是△ABC的内心,OE⊥EB.若AE=ABE的面积为( )A .B .2CD .1【分析】延长BE 交⊙O 于点F ,连接AF ,OF ,根据AB 是⊙O 的直径,可得∠AFB =∠C =90°,证明△FEA 是等腰直角三角形,可得AF =EF =2,根据垂径定理可得EF =BE =2,进而可得△ABE 的面积.【解答】解:如图,延长BE 交⊙O 于点F ,连接AF ,OF ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AFB =∠C =90°,∴∠CAB +∠CBA =90°,∵E 是△ABC 的内心,∴∠EAB =12∠CAB ,∠EBA =12∠CBA ,∴∠EAB +∠EBA =12(∠CAB +∠CBA )=45°,∴∠FEA =45°,∴△FEA 是等腰直角三角形,∴AE ==,∵AE =∴AF =EF =2,∵OE ⊥EB ,∴EF =BE =2,∴△ABE 的面积为:12BE •AF =12×2×2=2.故选:B .【变式3-2】(2022春•海曙区校级期中)如图,花边带上正三角形的内切圆半径为1cm .如果这条花边带有100个圆和100个正三角形,则这条花边的面积为( )A .150πB .C .D .200【分析】画出图形,连接AD ,OB ,则AD 过O ,求出∠OBD =30°,求出OB ,根据勾股定理求出BD ,同法求出CD ,求出BC 的长后求得一个三角形的面积即可求得花边的面积.【解答】解:从中选择一个等边三角形和其内接圆如图,⊙O 是△ABC 的内切圆,⊙O 切AB 于F ,切AC 于E ,切BC 于D ,连接AD ,OB ,则AD 过O (因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上,也在底边的垂直平分线上),∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABC =60°,∵⊙O 是△ABC 的内切圆,∴∠OBC =12∠ABC =30°,∵⊙O 切BC 于D ,∴∠ODB =90°,∵OD =1,∴OB =2,由勾股定理得:BD ==∴BC =∴S △ABC =12BC •AD =12××3=∴这条花边的面积=100S △ABC =故选:C .【变式3-3】(2022•齐齐哈尔一模)如图,正方形ABCD 边长为4cm ,以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆,过A 作半圆的切线,与半圆相切于F 点,与DC 相交于E 点,则△ADE 的面积( )cm2A.12B.24C.8D.6【分析】由于AE与圆O切于点F,根据切线长定理有AF=AB=4cm,EF=EC;设EF=EC=xcm.则DE=(4﹣x)cm,AE=(4+x)cm,然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程,解方程即可求出,然后就可以求出△ADE的面积.【解答】解:∵AE与圆O切于点F,显然根据切线长定理有AF=AB=4cm,EF=EC,设EF=EC=xcm,则DE=(4﹣x)cm,AE=(4+x)cm,在三角形ADE中由勾股定理得:(4﹣x)2+42=(4+x)2,∴x=1cm,∴CE=1cm,∴DE=4﹣1=3cm,=AD•DE÷2=3×4÷2=6cm2.∴S△ADE故选:D.【题型4 三角形内切圆中求线段长度】【例4】(2022秋•乌兰察布期末)如图,⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB =5,AC=6,BC=7,求AD、BE、CF的长.【分析】由切线长定理,可知:AF =AD ,CF =CE ,BE =BD ,用未知数设AD 的长,然后表示出BD 、CF 的长,即可表示出BE 、CE 的长,根据BE +CE =7,可求出AD 的长进而求出BE 、CF 的长.【解答】解:假设AD =x ,∵⊙O 分别切△ABC 的三条边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ;∴根据切线长定理得出AD =AF ,BD =BE ,EC =FC ,∴AF =x ,∵AB =5,AC =6,BC =7,∴BE =BD =AB ﹣AD =5﹣x ,FC =EC =AC ﹣AF =6﹣x ,∴BC =BE +EC =5﹣x +6﹣x =7,解得:x =2,∴AD =2,BE =BD =5﹣2=3,CF =AC ﹣AF =6﹣2=4.【变式4-1】(2022秋•崇川区月考)如图,已知△ABC 的内切圆O 与三边分别切于D 、E 、F ,∠A =60°,CB =6cm ,△ABC 的周长为16cm ,则DF 的长等于( )A .2cmB .3cmC .4cmD .6cm【分析】利用三角形内切圆的性质以及切线长定理得出BD =BE ,CE =CF ,AD =AF ,进而得出△ADF 是等边三角形,即可得出答案.【解答】解:∵△ABC 的内切圆O 与三边分别切于D 、E 、F ,CB =6cm ,△ABC 的周长为16cm ,∴BD =BE ,CE =CF ,AD =AF ,∵BE +EC =BD +FC =6,∴AD =AF =12(AB +AC +BC ﹣BC ﹣BD ﹣CF )=12(16﹣6﹣6)=2,∵∠A =60°,∴△ADF 是等边三角形,∴DF =2.故选:A .【变式4-2】(2022秋•龙凤区期末)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =3,BC =4,⊙O 是△ABC的内切圆,点D是斜边AB的中点,则OD的长度是 .【分析】如图连接OE、OF、OQ,设⊙O的半径是r,由勾股定理求出AB=5,根据△ABC的内切圆,得到OE⊥AC,OF⊥BC,OE=OF,推出四边形CFOE是正方形,得到CE=CF=OF=OE,根据3﹣r+4﹣r=5求出r、AQ、OQ的长求出AD、DQ的长【解答】解:如图连接OE、OF、OQ,设⊙O的半径是r,由勾股定理得:AB=5,∵⊙O是三角形ABC的内切圆,∴OE⊥AC,OF⊥BC,OE=OF,AE=AQ,BF=BQ,∵∠C=90°,∴∠C=∠CFO=∠CEO=90°,∴四边形CFOE是正方形,∴CE=CF=OF=OE,∴3﹣r+4﹣r=5,r=1,AQ=AE=3﹣1=2,OQ=1,∵D是AB的中点,,∴AD=52,∴DQ=AD﹣AQ=12∴OD2=OQ2+DQ2,∴OD=【变式4-3】(2022•永定区模拟)如图,已知在矩形ABCD中,AB=12,BC=16,⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆,点E、F为切点,则EF的长是 4 cm.【分析】根据矩形的性质得到AC=20,△ABC≌△CDA,则⊙O1和⊙O2的半径相等.如图,过O1作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、P,过O2作BC,CD、AD的垂线分别交BC,CD、AD于Q,G、H,由∠B=90°,推出四边形O1NBP是正方形,设圆的半径为r,根据切线长定理12﹣r+16﹣r=20,解得r=4,过O1作O1M⊥FO2于M,则O1M=PQ=8,QM=BN=4,同法可得DG=4,根据EF=AC﹣AE﹣CF计算即可.【解答】解:∵矩形ABCD中,AB=12,BC=16,∴AC=20,△ABC≌△CDA,则⊙O1和⊙O2的半径相等.如图,过O1作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、P,过O2作BC,CD、AD的垂线分别交BC,CD、AD于Q,G、H,∵∠B=90°,∴四边形O1NBP是正方形,设圆的半径为r,根据切线长定理12﹣r+16﹣r=20,解得r=4,∴BP=BN=4,同法可得DG=4,∴AN=AE=CG=CF=8,∴EF=AC﹣AE﹣CF=20﹣16=4故答案为:4.【题型5 三角形内切圆中求半径】【例5】(2022•定安县二模)如图,在矩形ABCD中,AD<AB,AD=9,AB=12,则△ACD内切圆的半径是( )A.1B.2C.3D.4【分析】根据矩形性质和勾股定理可得AC=15,设△ACD内切圆的圆心为O,△ACD内切圆的半径为r,连接OE,OF,OG,得四边形DFOG是正方形,然后根据切线长定理即可解决问题.【解答】解:在矩形ABCD中,∠B=90°,AD=BC=9,AB=12,根据勾股定理,得AC==15,设△ACD内切圆的圆心为O,△ACD内切圆的半径为r,如图,连接OE,OF,OG,得四边形DFOG是正方形,∴DF=DG=r,∴AG=AE=AD﹣DG=9﹣r,CF=CE=CD﹣DF=AB﹣DF=12﹣r,∵AE+CE=AC,∴9﹣r+12﹣r=15,解得r=3.∴△ACD内切圆的半径是3.故选:C.【变式5-1】(2022秋•张店区期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,⊙O是Rt△ABC 的内切圆,则⊙O的半径为( )A .1BC .2D .【分析】根据三角形内切圆与内心的性质和三角形面积公式解答即可.【解答】解:∵∠C =90°,BC =3,AB =5,∴AC ==4,如图,分别连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ,∵⊙O 是△ABC 内切圆,D 、E 、F 为切点,∴OD ⊥BC ,OE ⊥AC ,OF ⊥AB 于D 、E 、F ,OD =OE =OF ,∴S △ABC =S △BOC +S △AOC +S △AOB =12BC •DO +12AC •OE +12AB •FO =12(BC +AC +AB )•OD ,∵∠C =90°,∴12×AC •BC =12(BC +AC +AB )•OD ,∴OD =3×4345=1.故选:A .【变式5-2】(2022秋•虎丘区校级期中)若四边形ABCD 有内切圆(与四边形四边均相切),四边形面积为S ,各边长分别为a ,b ,c ,d ,则该圆的直径为( )A .a b c d SB .S a cC .c−d S(a b)D .2S a b c d【分析】连接OA 、OB 、OC 、OD .由S 四边形ABCD =S △OAB +S △OBC +S △OCD +S △AOD ,由S 四边形ABCD =12AB •r +12BC •r +12CD •r +12AD •r =12(a +b +c +d )•r =S ,即可推出r =2S a b c d .【解答】解:如图,连接OA 、OB 、OC 、OD .∵S 四边形ABCD =S △OAB +S △OBC +S △OCD +S △AOD又∵S △OAB =12AB •r ,S △OBC =12BC •r ,S △OCD =12CD •r ,S △AOD =12AD •r ,∴S 四边形ABCD =12AB •r +12BC •r +12CD •r +12AD •r =12(a +b +c +d )•r =S ,∴r =2S a b c d .故选:D .【变式5-3】(2022秋•南丹县期末)如图,△ABC 的内切圆⊙O 分别与AB ,AC ,BC 相切于点D ,E ,F .若∠C =90°,AC =6,BC =8,则⊙O 的半径等于 2 .【分析】连结OD ,OE ,OF ,设⊙O 半径为r ,根据勾股定理可得AB =10,证明四边形OECF 是正方形,可得CF =CE =OF =r ,然后根据切线长定理可得AE =AE =AC ﹣CE =6﹣r ,BF =BD =BC ﹣CF =8﹣r ,进而可以解决问题.【解答】解:如图,连结OD ,OE ,OF ,设⊙O 半径为r ,∵∠C =90°,AC =6,BC =8,∴AB ==10,∵△ABC 的内切圆⊙O 与AB ,BC ,AC 分别相切于点D ,F ,E ,∴AC ⊥OE ,AB ⊥OD ,BC ⊥OE ,且OF =OD =OE =r ,∴四边形OECF 是正方形,∴CF =CE =OF =r ,∴AE =AE =AC ﹣CE =6﹣r ,BF =BD =BC ﹣CF =8﹣r ,∵AD +BD =AB =10,∴6﹣r +8﹣r =10,∴r =2.∴⊙O 的半径等于2.故答案为:2.【题型6 三角形内切圆中求最值】【例6】(2022春•长兴县月考)如图,矩形ABCD ,AD =6,AB =8,点P 为BC 边上的中点,点Q 是△ACD 的内切圆圆O 上的一个动点,点M 是CQ 的中点,则PM +1 .【分析】由矩形性质和勾股定理可得AC =10,设△ADC 内切圆半径为r ,由面积法可得r =2,连接BQ ,易证PM 为△BCQ 的中位线,得出PM =12BQ ,当BQ 经过圆心O 时,BQ 最长,则此时PM 最大,作OE ⊥AD 与点E ,OF ⊥AB 与点F ,则BF =AB ﹣AF =8﹣2=6,OF =AE =AD ﹣DE =6﹣2=4,由勾股定理可得BO =BQ =BO +OQ =2,从而可得PM 的结果.【解答】解:∵四边形ABCD 为矩形,∴∠D =90°,CD =AB =8,∴AC ==10,设△ADC 的内切圆半径为r ,则有12r(AC +AD +DC)=12×6×8,即12r(10+6+8)=24,解得:r =2.连接BQ ,∵P为BC中点,M为CQ中点,∴PM为△BQC的中位线,BQ,∴PM=12当BQ经过圆心O时,BQ最长,则此时PM最大,作OE⊥AD与点E,OF⊥AB与点F,则BF=AB﹣AF=8﹣2=6,OF=AE=AD﹣DE=6﹣2=4,∴BO=∴BQ=BO+OQ=+2,BQ=1.∴PM=12+1.【变式6-1】(2022秋•扬州月考)如图是一块△ABC余料,已知AB=20cm,BC=7cm,AC=15cm,现将余料裁剪成一个圆形材料,则该圆的最大面积是 4πcm2. .r 【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大,设内切圆半径为r,则该三角形面积可表示为:12•BC•AD,利用勾股定理可得AD,易得三角形(AB+AC+BC)=21r,利用三角形的面积公式可表示为12ABC的面积,可得r,求得圆的面积.【解答】解:如图1所示,S △ABC =12•r •(AB +BC +AC )=12r ×42=21r ,过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ,如图2,设CD =x ,由勾股定理得:在Rt △ABD 中,AD 2=AB 2﹣BD 2=400﹣(7+x )2,在Rt △ACD 中,AD 2=AC 2﹣x 2=225﹣x 2,∴400﹣(7+x )2=225﹣x 2,解得:x =9,∴AD =12,∴S △ABC =12BC ×AD =12×7×12=42,∴21r =42,∴r =2,该圆的最大面积为:S =πr 2=π•22=4π(cm 2),故答案为:4πcm 2.【变式6-2】(2022•温州自主招生)设等边△ABC 的内切圆半径为2,圆心为I .若点P 满足PI =1,则△ABC 与△APC 的面积之比的最大值为 6 .【分析】P 满足PI =1,则P 在以I 为圆心,以1位半径的圆上,当P 是⊙O 和BE 的交点时,△ACP 的面积最小,即△ABC 与△APC 的面积之比最大.此时PE =2﹣1=1,则△ABC 与△APC 的面积的比值是BE 与PE 的比值,据此即可求解.【解答】解:点P 满足PI =1,则P 在以I 为圆心,以1位半径的圆上.作BE ⊥AC ,则BE 一定过点I ,连接AI .∵在直角△AIE 中,∠IAE =12∠BAC =12×60°=30°,IE =2,∴AI =2IE =4,∴BE =IE +BI =IE +AI =2+4=6.当P是⊙I和BE的交点时,△ACP的面积最小,即△ABC与△APC的面积之比最大.此时PE=2﹣1=1,则△ABC与△APC的面积的比值是BEPE =61=6.故答案是:6.【变式6-3】(2022秋•滨湖区期末)已知点C是⊙O上一动点,弦AB=6,∠ACB=120゜.(1)如图1,若CD平分∠ACB,求证:AC+BC=CD;(2)如图2,△ABC内切圆半径为r.①用含r的代数式表示AC+BC;②求r的最大值.【分析】(1)在CD上截取CE=BC,由∠ACD=∠BCD=60°得到△BCE为等边三角形,根据圆周角定理得∠ABD=∠ACD=60°,则BE=BC=CE,∠1+∠ABE=60°,∠ABE+∠2=60°,所以∠1=∠2,于是可根据“AAS”判断△ACB≌△DEB,得到AC=DE,由此得到CD=CE+DE=BC+AC;(2)①作弦CD平分∠ACB,设△ABC的内心为P点,作PQ⊥AB于Q,PH⊥BC于H,PF⊥AC于F,根据内心的性质得PF=PQ=PH=r,由∠ACD=∠BCD=60°得到∠CPF=∠CPH=30°,根据含30度的直角三角形三边的关系得到CF,CH==,然后根据切线长定理得到AF=AQ=AC﹣CF=AC,BH=BQ=BC﹣CH=BC,而AB=AQ+BQ,所以AC+BC=6,整理得AC+BC=6+;②由于AC+BC=CD得到CD=6,所以当CD为直径时,r最大;当CD为直径,根据垂径定理的推论得CD⊥AB,AM=BM=12AB=3,AC=BC,可计算出CD=AC=2CD=+=6+,可解得r=6﹣【解答】(1)证明:在CD上截取CE=BC,如图1,∵CD平分∠ACB,∠ACB=120゜,∴∠ACD=∠BCD=60°,∴△BCE为等边三角形,∠ABD=∠ACD=60°,∴BE=BC=CE,∠1+∠ABE=60°,∠ABE+∠2=60°,∴∠1=∠2,在△ACB和△DEB中∠A=∠D∠1=∠2,BC=BE∴△ACB≌△DEB,∴AC=DE,∴CD=CE+DE=BC+AC;(2)解:①作弦CD平分∠ACB,设△ABC的内心为P点,作PQ⊥AB于Q,PH⊥BC于H,PF⊥AC 于F,如图,则PF=PQ=PH=r,∵CD平分∠ACB,∠ACB=120゜,∴∠ACD=∠BCD=60°,∴∠CPF=∠CPH=30°,∴CF=,CH==,∴AF=AQ=AC﹣CF=AC,BH=BQ=BC﹣CH=BC,而AB=AQ+BQ,∴AC+BC=6,∴AC+BC=6+;②∵AC+BC=CD,∴CD=6+,∴当CD为直径时,r最大,如图3,当CD为直径,∴CD⊥AB,垂足为M,AB=3,AC=BC,∴AM=BM=12∵∠ACD=60°,∴∠CAM=30°,∴CD∴AC=2CD=∴+6,∴r=6﹣即r的最大值为6﹣【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】【例7】(2022秋•滨湖区期末)设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R 和r,则R﹣r= 1.5 .【分析】利用三角形的外心与内心的性质即可进行计算.【解答】解:因为直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半,所以R==2.5;如图,若Rt △ABC 的边AC =3,BC =4,根据勾股定理,得AB =5,其内切圆⊙O 分别切AB 、BC 、AC 于D 、E 、F .设OE =OF =OD =r ,∴S △ABC =S △AOB +S △BOC +S △AOC ,即12AC •BC =12AB •OD +12BC •OE +12AC •OF ,12×3×4=12×5×r +12×4×r +12×3×r ,6=12r (5+4+3),6=6r ,∴r =1,则R ﹣r =2.5﹣1=1.5.故答案为:1.5.【变式7-1】(2022•鞍山模拟)如图,⊙O 内切于Rt △ABC ,切点分别为D 、E 、F ,∠C =90°.已知∠AOC =120°,则∠OAC = 15 °,∠B = 60 °.已知AC =4cm ,BC =3cm ,则△ABC 的外接圆的半径为 52 cm ,内切圆的半径为 1 cm .【分析】由三角形内心的性质得到OC 平分∠ACB ,求得∠ACO =12∠ACB =45°,根据三角形的内角和得到结论;根据勾股定理得到AB ==5,于是得到结论.【解答】解:∵⊙O 内切于Rt △ABC ,∠C =90°,∴OC 平分∠ACB ,∴∠ACO =12∠ACB =45°,∵∠AOC =120°,∴∠OAC =180°﹣45°﹣120°=15°,∵AO 平分∠BAC ,∴∠BAC =2∠OAC =30°,∴∠B =90°﹣30°=60°;∵AC =4cm ,BC =3cm ,∠C =90°,∴AB ==5,∴△ABC 的外接圆的半径为52;设内切圆的半径为r ,∴r =34−52=1,故答案为:15,60,52,1.【变式7-2】(2022•游仙区模拟)如图,在△ABC 中,∠BAC =60°,其周长为20,⊙I 是△ABC 的内切BIC 的外接圆直径为 .【分析】设△BIC 的外接圆圆心为O ,连接OB ,OC ,作CD ⊥AB 于点D ,在圆O 上取点F ,连接FB ,FC ,作OE ⊥BC 于点E ,设AB =c ,BC =a ,AC =b ,根据三角形内心定义可得S △ABC =12lr =12×20×=12AB •CD ,可得bc =40,根据勾股定理可得BC =a =7,再根据I 是△ABC 内心,可得IB 平分∠ABC ,IC 平分∠ACB ,根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得∠BOC =120°,再根据垂径定理和勾股定理即可求出OB 的长.【解答】解:如图,设△BIC 的外接圆圆心为O ,连接OB ,OC ,作CD ⊥AB 于点D ,在圆O 上取点F ,连接FB ,FC ,作OE ⊥BC 于点E ,设AB =c ,BC =a ,AC =b ,∵∠BAC =60°,∴AD =12b ,CD ,∴BD =AB ﹣AD =c −12b ,∵△ABC 周长为l =20,△ABC 的内切圆半径为r∴S △ABC =12lr =12×20×12AB •CD ,∴=•c ,∴bc =40,在Rt △BDC 中,根据勾股定理,得BC 2=BD 2+CD 2,即a 2=(c −12b )2+)2,整理得:a 2=c 2+b 2﹣bc ,∵a +b +c =20,∴a 2=c 2+b 2﹣bc =(b +c )2﹣3bc =(20﹣a )2﹣3×40,解得a =7,∴BC =a =7,∵I 是△ABC 内心,∴IB 平分∠ABC ,IC 平分∠ACB ,∵∠BAC=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,∴∠IBC+∠ICB=60°,∴∠BIC=120°,∴∠BFC=180°﹣120°=60°,∴∠BOC=120°,∵OE⊥BC,,∠BOE=60°,∴BE=CE=72÷∴OB=72【变式7-3】(2022秋•鄞州区校级月考)如图,在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,∠C=90°.⊙I分别切AC,BC,AB于点D,E,F,求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离.【分析】连接ID、IE、IF,如图,由AC=8,BC=6,∠C=90°,根据圆周角定理的推论和勾股定理AB=5,连接OI,设⊙I的得到AB为△ABC的外接圆的直径,AB=10,则外心O为AB的中点,BO=12半径为r,根据切线的性质和切线长定理得ID⊥AC,IE⊥BC,IF⊥AB,AD=AF,BE=BF,易得四边形IDCE为正方形,则DC=CE=r,所以AD=AC﹣DC=8﹣r,BE=BC﹣CE=6﹣r,即AF=8﹣r,BF=6﹣r,利用AF+BF=AB得8﹣r+6﹣r=10,解得r=2,所以BF=4,则OF=OB﹣BF=1,在Rt△IOF中,根据勾股定理得IO【解答】解:连接ID、IE、IF,如图,∵AC=8,BC=6,∠C=90°,∴AB为△ABC的外接圆的直径,AB=10,∴外心O为AB的中点,AB=5,∴BO=12连接OI,如图,设⊙I的半径为r,∵⊙I分别切AC,BC,AB于点D,E,F,∴ID⊥AC,IE⊥BC,IF⊥AB,AD=AF,BE=BF,而∠C=90°,∴四边形IDCE为正方形,∴DC=CE=r,∴AD=AC﹣DC=8﹣r,BE=BC﹣CE=6﹣r,∴AF=8﹣r,BF=6﹣r,而AF+BF=AB,∴8﹣r+6﹣r=10,解得r=2,∴BF=6﹣r=4,∴OF=OB﹣BF=5﹣4=1,在Rt△IOF中,IF=2,OF=1,∴IO=即Rt△ABC的内心I与外心O。
人教数学九年级上册-圆及有关概念人教版

专题24.2 圆及有关概念(专项练习)一、单选题1.如图所示,在⊙O 中,点A ,O ,D 以及点B ,O ,C 分别在一条直线上,则图中的弦有( )A .2条B .3条C .4条D .5条2.⊙O 的半径为5cm ,点A 到圆心O 的距离OA =3cm ,则点A 与⊙O 的位置关系为( )A .点A 在⊙O 上B .点A 在⊙O 内C .点A 在⊙O 外D .无法确定3.如图,一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔,已知圆的直径与正方形的对角线之比为3:1,则圆的面积约为正方形面积的( )A .27倍B .14倍C .9倍D .3倍4.把地球看成一个表面光滑的球体,假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝,然后把钢丝加长,使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm ,那么钢丝大约需要加长A .102cmB .104cmC .106cmD .108cm5.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (4,3),以原点O 为圆心,5为半径作⊙O ,则( )A .点A 在⊙O 上B .点A 在⊙O 内C .点A 在⊙O 外D .点A 与⊙O 的位置关系无法确定6.已知,以点C 为圆心r 为半径作圆,如果点A 、点B 只有一,3,4ABC AC CB ==A个点在圆内,那么半径r 的取值范围是( )A .B .C .D .3r >34r <<34r <≤34r ≤≤7.下列4个说法中:①直径是弦;②弦是直径;③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴;④弧是半圆; 正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个8.一个圆的周长是,它的面积是( )10πA .B .C .D .25π5π100π10π9.矩形ABCD 中,AB =8,P 在边AB 上,且BP =3AP ,如果圆P 是BC =以点P 为圆心,PD 为半径的圆,那么下列判断正确的是( ).A .点B 、C 均在圆P 外;B .点B 在圆P 外、点C 在圆P 内;C .点B 在圆P 内、点C 在圆P 外;D .点B 、C 均在圆P 内.10.若⊙O 的半径为5cm ,点A 到圆心O 的距离为4cm ,那么点A 与⊙O 的位置关系是A .点A 在圆外B .点A 在圆上C .点A 在圆内D .不能确定11.如图,四边形为矩形,,.点P 是线段上一动点,点M ABCD 3AB =4BC =BC 为线段上一点.,则的最小值为( )AP ADM BAP ∠=∠BMA .B .CD 52125322-12.已知:等腰直角三角形ABC 的腰长为4,点M 在斜边AB 上,点P 为该平面内一动点,且满足PC =2,则PM 的最小值为( )A .2B .﹣2C .D .二、填空题13.已知的面积为.O A 25π(1)若,则点P 在________;5.5PO =(2)若,则点P 在________;4PO =(3)若_________,则点P 在上.PO =O A 14.如图,⊙M 的半径为4,圆心M 的坐标为(5,12),点P 是⊙M 上的任意一点,PA ⊥PB ,且PA 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点,若点A 、点B 关于原点O 对称,则AB 的最小值为_______.15.连接圆上任意两点的线段(如图中的______)叫做弦,经过圆心的弦(如图中的_____)叫做直径.【注意】凡直径都是弦,是圆中最长的弦,但弦____是直径.16.圆上任意两点间的部分叫做________,简称___.以A 、B 为端点的弧,记作__________,读作“圆弧AB ”或“弧AB ”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做_______.17.如图,以△ABC 的顶点B 为圆心,BA 长为半径画弧,交于点,连接BC D AD .若∠B =40°,∠C =36°,则∠DAC 的大小为_____度.18.点是非圆上一点,若点到上的点的最小距离是,最大距离是,P P O A 4cm 9cm 则的半径是______.O A 19.如图,、是的半径,点C 在上,,,则OA OB O A O A 30AOB ∠=︒40OBC ∠=︒______.OAC ∠=︒20.我们知道,两点之间线段最短,因此,连接两点间线段的长度叫做两点间的距离;同理,连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,因此,直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.类似地,连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中,最短线段的长度,叫做点到曲线的距离.依此定义,如图,在平面直角坐标系中,点到以原点为圆心,以1为半径的圆的距离为_____.(2,1)A21.如图,用等分圆的方法,在半径为OA 的圆中,画出了如图所示的四叶幸运草,若OA =2,则四叶幸运草的周长是________.22.如图,在中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC 为直径的半圆交AB 于Rt ABC AD ,P 是上的一个动点,连接AP ,则AP 的最小值是_____.A CD23.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,P 是AB 边上的动点(不与点B 重合),将△BCP 沿CP 所在的直线翻折,得到△B′CP,连接B′A,则B′A 长度的最小值是________.24.如图,在矩形ABCD 中,AB=4,AD=3,以顶点D 为圆心作半径为r 的圆,若要求另外三个顶点A ,B ,C 中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r 的取值范围是__________.三、解答题25.如图所示,,,试证明:、、、在同一圆上.AC BC ⊥AD BD ⊥A B C D26.在平面直角坐标系中,作以原点O 为圆心,半径为4的,试确定点O A与的位置关系.()2,3(4,2),,(2)A B C ----O A 27.如图,在图中求作⊙P ,使⊙P 满足以线段MN 为弦且圆心P 到∠AOB 两边的距离相等.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)28.如图,点C 是以AB 为直径的半圆O 内任意一点,连接AC ,BC ,点D 在AC 上,且AD =CD ,请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).(1)在图(1)中,画出的中线AE ;ABC A (2)在图(2)中,画出的角平分线AF .ABC A 29.已知A 为上的一点,的半径为1,所在的平面上另有一点P .O A O A O A(1)如果P 与有怎样的位置关系?PA =O A(2)如果,那么点P 与有怎样的位置关系?PA =O A 30.如图,菱形的对角线相交于点O ,四条边的中点分别ABCD ,AC BD ,,,AB BC CD DA为.这四个点共圆吗?圆心在哪里?,,,E F G H参考答案1.B【分析】根据弦的定义进行分析,从而得到答案.解:图中的弦有AB ,BC ,CE 共三条,故选B .【点拨】本题主要考查了弦的定义,熟知定义是解题的关键:连接圆上任意两点的线段叫弦.2.B解:将点到圆心的距离记为d ,圆的半径记为r ,∵d =OA =3,∴d <r ,∴点A 在圆内,故选:B .3.B【分析】设OB =x ,则OA =3x ,BC =2x ,根据圆的面积公式和正方形的面积公式,求出面积,进而即可求解.解:由圆和正方形的对称性,可知:OA =OD ,OB =OC ,∵圆的直径与正方形的对角线之比为3:1,∴设OB =x ,则OA =3x ,BC =2x ,∴圆的面积=π(3x )2=9πx 2,正方形的面积==2x 2,()2122x ∴9πx 2÷2x 2=,即:圆的面积约为正方形面积的14倍,9142π≈故选B .【点拨】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性,根据题意画出图形,用未知数表示各个图形的面积,是解题的关键.4.A解:设地球半径为:rcm ,则地球的周长为:2πrcm ,假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝,然后把钢丝加长,使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm ,故此时钢丝围成的圆形的周长变为:2π(r+16)cm ,∴钢丝大约需要加长:2π(r+16)﹣2πr≈100(cm )=102(cm ).故选:A .5.A【分析】先求出点A 到圆心O 的距离,再根据点与圆的位置依据判断可得.解:∵点A (4,3)到圆心O 的距离,5OA ==∴OA =r =5,∴点A 在⊙O 上,故选:A .【点拨】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为,点到圆心r 的距离为,则有:当时,点在圆外;当时,点在圆上,当时,点在圆内,d d r >d r =d r <也考查了勾股定理的应用.6.C【分析】由于,,当以点为圆心为半径作圆,如果点、点只有一个点在3AC =4CB =C r A B 圆内时,那么点在圆内,而点不在圆内.当点在圆内时点到点的距离小于圆的A B A A C 半径,点在圆上或圆外时点到圆心的距离应该不小于圆的半径,据此可以得到半径的B B 取值范围.解:当点在圆内时点到点的距离小于圆的半径,即:;A A C 3r >点在圆上或圆外时点到圆心的距离应该不小于圆的半径,即:;B B 4r …即.34r <…故选:.C 【点拨】本题考查了点与圆的位置关系,解题的关键是明确半径的大小与位置关系的关系.7.B【分析】根据弧的分类、圆的性质逐一判断即可.解:①直径是最长的弦,故正确;②最长的弦才是直径,故错误;③过圆心的任一直线都是圆的对称轴,故正确;④半圆是弧,但弧不一定是半圆,故错误,正确的有两个,故选B.【点拨】本题考查了对圆的认识,熟知弦的定义、弧的分类是本题的关键.8.A【分析】根据圆的周长公式,由已知的周长求出圆的半径,利用圆的面积公式即可求出所求圆的面积.解:设圆的半径为r,∵圆的周长为10π,∴2πr=10π,即r=5,则圆的面积S=πr2=25π.故选:A.【点拨】此题考查了圆的周长公式,以及圆的面积公式,根据周长求出圆的半径是解本题的关键.同时要求学生熟练掌握圆中的有关计算公式.9.C解:∵AB=8,点P在边AB上,且BP=3AP∴AP=2,∴根据勾股定理得出,,=,∵PB=6<r,PC=9>r∴点B在圆P内、点C在圆P外,故选C.【点拨】点与圆的位置关系的判定,难度系数中等,此题应根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断10.C【分析】要确定点与圆的位置关系,主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系;利用d >r 时,点在圆外;当d=r 时,点在圆上;当d <r 时,点在圆内判断出即可.解:∵⊙O 的半径为5cm ,点A 到圆心O 的距离为4cm ,∴d <r ,∴点A 与⊙O 的位置关系是:点A 在圆内,故选C .11.D【分析】证明,得出点M 在O 点为圆心,以AO 为半径的园上,从而计算出答案.=90AMD ︒∠解:设AD 的中点为O ,以O 点为圆心,AO 为半径画圆∵四边形为矩形ABCD ∴+=90BAP MAD ︒∠∠∵ADM BAP∠=∠∴+=90MAD ADM ︒∠∠∴=90AMD ︒∠∴点M 在O 点为圆心,以AO 为半径的园上连接OB 交圆O 与点N∵点B 为圆O 外一点∴当直线BM 过圆心O 时,BM 最短∵,222BO AB AO =+1==22AO AD ∴29413BO =+=∴BO =∵2BN BO AO =-=故选:D .【点拨】本题考查直角三角形、圆的性质,解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识.12.B【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB =P 在以C 为圆心,PC 为半径的圆上,当点P 在斜边AB 的中线上时,PM 的值最小,于是得到结论.解:∵等腰直角三角形ABC 的腰长为4,∴斜边AB =∵点P 为该平面内一动点,且满足PC =2,∴点P 在以C 为圆心,PC 为半径的圆上,当点P 在斜边AB 的中线上时,PM 的值最小,∵△ABC 是等腰直角三角形,∴CM =AB =12∵PC =2,∴PM =CM ﹣CP =﹣2,故选:B .【点拨】本题考查线段最小值问题,涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离,解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解.13. 圆外 圆内 5【分析】(1)先求出的半径,再根据PO 的长度和圆的半径进行比较即可得;O A (2)根据PO 的长度和圆的半径进行比较即可得;(3)根据点在圆上得点到圆心的距离等于半径,即可得.解:设的半径为r ,O A ,225r ππ=,=5r (1)∵PO =5.5>5,∴点P 在圆外;(2)∵PO =4<5,∴点P 在圆内;(3)若要点P 在上,O A 则PO =r =5;故答案为:(1)圆外;(2)圆内;(3)5.【点拨】本题考查了点与圆的位置关系,解题的关键是判断点与圆的位置关系的方法.14.18【分析】连接OP ,因为PA ⊥PB ,所以在中AB =2PO ,若要使AB 取得最小值,则Rt APB △PO 需取得最小值,连接OM ,交⊙M 于点P ′,当点P 位于P ′位置时,OP ′取得最小值,据此求解即可得.解:如图所示,连接OP ,∵PA ⊥PB ,∴∠APB =90°,∵AO =BO ,∴AB =2PO ,若要使AB 取得最小值,则PO 需取得最小值,连接OM ,交⊙M 于点P ′,当点P 位于P ′位置时,OP ′取得最小值,过点M 作MQ ⊥x 轴于点Q ,则OQ =5,MQ =12,在中,根据勾股定理,得Rt MQB A,13OM ===又∵MP ′=4,∴OP ′=9,∴AB =2OP ′=18,故答案为:18.【点拨】本题考查了点与圆的位置关系,关于圆点对称的点的坐标和勾股定理,解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB 取得最小值时点P 的位置.15. AC AB 不一定略16. 圆弧 弧 半圆A AB 略17.34【分析】先根据同圆的半径相等可得,再根据等腰三角形的性质可得AB BD =,然后根据三角形的外角性质即可得.70BAD BDA ∠=∠=︒解:由同圆的半径相等得:,AB BD =,11(180)(18040)7022BAD BDA B ∴∠=∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒,36C ∠=︒ ,34DAC BDA C ∴∠=∠-∠=︒故答案为:34.【点拨】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点,熟练掌握同圆的半径相等是解题关键.18.或6.5cm 2.5cm【分析】分点在外和内两种情况分析;设的半径为,根据圆的性质列一元一P O A O A O A xcm 次方程并求解,即可得到答案.解:设的半径为O A xcm 当点在外时,根据题意得:P O A 429x +=∴2.5x cm =当点在内时,根据题意得:P O A 294x =+∴6.5x cm =故答案为:或.6.5cm 2.5cm 【点拨】本题考查了圆、一元一次方程的知识;解题的关键是熟练掌握圆的性质,从而完成求解.19.25【分析】连接OC ,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC =100°,求出∠AOC ,根据等腰三角形的性质计算.解:连接OC ,∵OC =OB ,∴∠OCB =∠OBC =40°,∴∠BOC =180°-40°×2=100°,∴∠AOC =100°+30°=130°,∵OC =OA ,∴∠OAC =∠OCA =25°,故答案为:25.【点拨】本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质,三角形内角和定理,掌握三角形内角和等于180°是解题的关键.201-【分析】连接OA ,与圆O 交于点B ,根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB ,再求出OA ,结合圆O 半径可得结果.解:根据题意可得:点到圆的距离为:该点与圆上各点的连线中,最短的线段长度,连接OA ,与圆O 交于点B ,可知:点A 和圆O 上点B 之间的连线最短,∵A (2,1),∴∵圆O 的半径为1,∴,1∴点到以原点为圆心,以1,(2,1)A 1.1【点拨】本题考查了圆的新定义问题,坐标系中两点之间的距离,勾股定理,解题的关键是理解题意,利用类比思想解决问题.21..【分析】由题意得出:四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周长,求出圆的半径,由圆的周长公式即可得出结果.解:由题意得:四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周长,∴四叶幸运草的周长==;故答案为.【点拨】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式;由题意得出四叶幸运草的周长=2个圆的周长是解题的关键.22.1-【分析】找到BC的中点E,连接AE,交半圆于P2,在半圆上取P1,连接AP1,EP1,可见,AP1+EP1>AE,即AP2是AP的最小值,再根据勾股定理求出AE的长,然后减掉半径即可.解:找到BC的中点E,连接AE,交半圆于P2,在半圆上取P1,连接AP1,EP1,可见,AP1+EP1>AE,即AP2是AP的最小值,=∵AE P2E=1,∴AP2.1.123.1试题分析:在Rt△ABC中,由勾股定理可知:,由轴对称的性质可知:BC=CB′=3,∵CB′长度固定不变,∴当AB′+CB′有最小值时,AB′的长度有最小值.根据两点之间线段最短可知:A、B′、C三点在一条直线上时,AB′有最小值,∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1.故答案为1.【点拨】1.翻折变换(折叠问题);2.动点型;3.最值问题;4.综合题.24..35r <<试题分析:根据勾股定理可求得BD=5,三个顶点A 、B 、C 中至少有一个点在圆内,点A 与点D 的距离最近,点A 应该在圆内,所以r>3,三个顶点A 、B 、C 中至少有一个点在圆外,点B 与点D 的距离最远,点B 应该在圆外,所以r<5,所以r 的取值范围是.35r <<【点拨】勾股定理;点和圆的位置关系.25.见分析【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得出进而得出答AE BE CE DE ===案.解:如图,取的中点,连接,,AB E CE DE∵,,AC BC ⊥AD BD ⊥∴和为直角三角形,ABC A ABD △∴,,12CE AB AE BE ===12DE AB =∴,AE BE CE DE ===∴,,,四点都在以点为圆心,长为半径的圆上.A B C D E AE 【点拨】本题主要考查了四点共圆和直角三角形的性质,得出是AE BE CE DE ===解题的关键.26.点A 在内;点B 在外;点C 在上.O A O A O A 【分析】连接OA 、OB 、OC ,根据点的坐标,分别求出OA 、OB 、OC 的长,和⊙O 的半径4比较即可得出答案.解:连接OA 、OB 、OC ,∵,()2,3A --由勾股定理得 OA 4,=∴点A 与的位置关系是点A 在内;O A O A ∵,(4,2)B -由勾股定理得OB 4,==∴点B 与的位置关系是点B 在外;O A O A∵,(2)C -由勾股定理得OC =4,4=∴点C 与的位置关系是点C 在上.O A O A 【点拨】本题考查了点与圆的位置关系,勾股定理.点与圆的位置关系有三种:①当d =r 时,点在圆上;②当d >r 时,点在圆外;③当d <r 时,点在圆内.27.见分析.试题分析:先做出∠AOB 的角平分线,再求出线段MN 的垂直平分线就得到点P .试题解析:【点拨】尺规作图角平分线和线段的垂直平分线、圆的性质.28.(1)见分析(2)见分析【分析】(1)连接CO 、BD ,CO 交BD 于点G ,连接AG 并延长交BC 于E ,线段AE 即为所求作;(2)利用(1)的中点E ,过点E 作半径OH ,连接AH 交BC 于点F ,则线段AF 即为所求作.(1)解:如图(1),线段AE 即为△ABC 的中线;;根据三角形三条中线交于一点即可证明;(2)解:如图(2),线段AF 即为△ABC 的角平分线;证明:∵OA =OH ,∴∠HAO =∠H ,∵点O 是AB 的中点,点E 是BC 的中点,∴OE 是△ABC 的中位线,∴OE ∥AC ,∴∠CAH =∠H ,∴∠CAF =∠BAF ,∴AF 为△ABC 的角平分线.【点拨】本题考查了作图-复杂作图,三角形中位线定理,三角形三条中线交于一点,圆的半径相等,等边对等角,平行线的性质,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.29.(1)点P 在外;(2)点P 可能在外,也可能在内,还可能在上,O A O A O A O A实际上,点P 位于以A 【分析】(1)点和圆的位置关系有:①在圆外,②在圆上,③在圆内,再逐个判断即可;P (2)点和圆的位置关系有①在圆外,②在圆上,③在圆内,再逐个判断即可.P解:(1),的直径为2PA = O A 点的位置只有一种情况在圆外,∴P 即点与的位置关系是点在圆外.P O A(2)的直径为2PA = O A 点的位置有三种情况:①在圆外,②在圆上,③在圆内.∴P 即点P 可能在外,也可能在内,还可能在上,实际上,点P 位于以A 为O A O A O A【点拨】本题考查了圆的认识的应用,解题的关键是做注意多种情况的考虑,注意:点和圆有三种位置关系:点在圆外,点在圆上,点在圆内.30.共圆,圆心在点O 处【分析】根据三角形中位线的性质,证出四边形EFGH 是平行四边形,根据菱形性质证出四边形EFGH 是矩形,根据矩形性质可得E ,F ,G ,H 到矩形中心的距离相等,从而得出结论.解:点E ,F ,G ,H 四点共圆,圆心在点O 处. 理由如下:连接HE ,EF ,FG ,GH ,OH ,OE ,OF ,OG .∵E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 的中点,∴EF 平行且等于AC , HG 平行且等于AC ,1212∴EF 平行且等于GH∴四边形EFGH 是平行四边形,////,HE GF BD ∴又∵四边形ABCD是菱形⊥∴AC BD∴∠AOB=90°∴∠HEF=90°,∴四边形EFGH是矩形,∴E,F,G,H到矩形中心的距离相等∴这个矩形的四个顶点在同一个圆上,圆心即为点O.【点拨】考核知识点:点和圆的位置关系.理解矩形、菱形的判定和性质和点和圆的位置关系是解题关键.。
九年级数学人教版(上册)小专题8 二次函数与几何图形的小综合

解:在 y=-x2-2x+3 中,令 y=0,得 -x2-2x+3=0, 解得 x=1 或 x=-3, ∴A(-3,0),B(1,0). 在 y=-x2-2x+3 中,当 x=0 时,y=3, ∴C(0,3).
①当 AC 为平行四边形的边时,PQ∥AC,且 PQ=AC,
如图 1,过点 P 作对称轴的垂线,垂足为 G,设 AC 交对称轴于
入,得 - n=3k3+,n=0,解得kn==13,. ∴直线 BC 的解析式为 y=x+3. 设 P(t,-t2-2t+3)(-3<t<0),则 K(t,t+3), ∴PK=-t2-2t+3-(t+3)=-t2-3t. ∴S△PBC=S△PBK+S△PCK=12PK·(t+3)+12PK·(0-t)=32PK=32(-t2
-3t).
∵S△ABC=12AB·OC=12×4×3=6, ∴S 四边形 PBAC=S△PBC+S△ABC=32(-t2-3t)+6=-32(t+32)2+785. ∵-32<0, ∴当 t=-32时,四边形 PBAC 的面积最
大,此时点 P 的坐标为(-32,145).
类型 2 线段和、周长最值问题 3.(2021·通辽节选)如图,抛物线 y=-x2+2x+3 与 x 轴交于 A, B 两点,与 y 轴交于点 C,动点 P 在抛物线的对称轴上,当以 P,B, C 为顶点的三角形周长最小时,求点 P 的坐标及△PBC 的周长. 解:在 y=-x2+2x+3 中,令 y=0,得-x2+2x+3=0, 解得 x=-1 或 x=3, ∴A(3,0),B(-1,0). 在 y=-x2+2x+3 中,令 x=0,得 y=3, ∴C(0,3).
②当 AC 为平行四边形的对角线时,
如图 2,设 AC 的中点为 M, ∵A(-3,0),C(0,3),
2022-2023学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题02 解一元二次方程(解析版)

2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题02 解一元二次方程考试时间:120分钟 试卷满分:100分一.选择题(共10小题,满分20分,每小题2分)1.(2分)(2022八下·淮北期末)若实数a ,b ,c 满足0a b c ++=,则( ) A .240b ac -> B .240b ac -< C .240b ac -≥ D .240b ac -≤【答案】C【完整解答】解:∵0a b c ++=, ∴b a c =--,∴()2244b ac a c ac -=---2224a ac c ac =++-222a ac c =-+()20a c =-≥故答案为:C【思路引导】先求出b a c =--,再代入计算求解即可。
2.(2分)(2022八下·柯桥期末)方程(x -2)2= 4(x-2)( ) A .4 B .-2C .4或-6D .6或2【答案】D【完整解答】解:移项得 (x -2)2 - 4(x —2) =0 (x-2)(x-2-4)=0 ∴x -2=0或x-6=0, 解之:x 1=2,x 2=6. 故答案为:D.【思路引导】观察方程的特点:将(x-2)看着整体,方程两边都含有公因式(x-2),因此利用因式分解法解方程.3.(2分)(2022·贵港)若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根,则方程的另一个根及m 的值分别是( )A .0,-2 B .0,0C .-2,-2D .-2,0【答案】B【完整解答】解:根据题意,∵2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根,把2x =-代入220x x m ++=,则2(2)2(2)0m -+⨯-+=,解得:0m =; ∴220x x +=, ∴(2)0x x +=, ∴12x =-,0x =, ∴方程的另一个根是0x =; 故答案为:B.【思路引导】将x=-2代入方程中可得m 的值,则方程可化为x 2+2x=0,利用因式分解法可得方程的解,据此解答.4.(2分)(2022·仙桃)若关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根1x ,2x ,且()()121222217x x x x ++-=,则m =()A .2或6B .2或8C .2D .6【答案】A【完整解答】解:∵关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根, ∴22Δ=(2)4(41)0m m m ----≥, ∴14m ≥-,∵12 x x ,是方程222410x mx m m -+--=的两个实数根, ∵21212241x x m x x m m +=⋅=--,,又()()121222217x x x x ++-=∴12122()130x x x x +--=把21212241x x m x x m m +=⋅=--,代入整理得,28120m m -+=解得,1226m m ==,故答案为:A.【思路引导】根据方程有两个实数根可得△≥0,代入求解可得m 的范围,根据根与系数的关系可得x 1+x 2=2m ,x 1x 2=m 2-4m-1,然后结合已知条件可得m 的值.5.(2分)(2022·雅安)若关于x 的一元二次方程x 2+6x+c =0配方后得到方程(x+3)2=2c ,则c 的值为( ) A .﹣3 B .0 C .3 D .9【答案】C【完整解答】解:x 2+6x+c =0, 移项得:26x x c +=-,配方得:()239x c +=-, 而(x+3)2=2c , 92c c ∴-=,解得:3c =, 故答案为:C.【思路引导】首先将常数项c 移至右边,然后给两边同时加上一次项系数一半的平方“9”,再对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x+3)2=9-c ,结合题意可得9-c=2c ,求解可得c 的值. 6.(2分)(2022九下·泉州开学考)已知x ,y 为实数,且满足 2244x xy y -+= ,记224u x xy y =++ 的最大值为M ,最小值为m ,则 M m += ( ).A .403B .6415C .13615D .315【答案】C【完整解答】解:∵2244x xy y -+= , ∴2244x y xy +=+ ,∴22424u x xy y xy =++=+ ,∵()225444xy xy x y =++-()2244x y =+-≥- ,当且仅当 2x y =- ,即 x = , y =,或 5x =, 5y =- 时,等号成立, ∴xy 的最小值为 45-, ∴22424u x xy y xy =++=+ 最小值为:125,即 125m =, ∵()223444xy xy x y =-+-()2424x y =--≤ ,当且仅当 2x y = 时,即 x =, y =,或 3x =-, 3y =- 时等号成立, ∴xy 的最大值为43, ∴22424u x xy y xy =++=+ 的最大值为203, 即 203M = , ∴20121363515M m +=+= , 故答案为:C.【思路引导】利用已知等式可得 22424u x xy y xy =++=+ ,根据 ()225444xy xy x y =++-=()242x y =--,根据偶次幂的非负性知当且仅当2x y =-时,xy 的最小值为 45-,即可得出 22424u x xy y xy =++=+ 最小值为125 ,即 125m = ;根据 ()223444xy xy x y =-+-()242x y =-- ,根据偶次幂的非负性当且仅当 2x y = 时, xy 的最大值为 43,即得M ,再代入计算即可.7.(2分)(2021七下·娄底期中)无论a ,b 为何值代数式a 2+b 2+6b+11﹣2a 的值总是( ) A .非负数 B .0C .正数D .负数【答案】C【完整解答】解:原式=(a 2﹣2a+1)+(b 2+6b+9)+1 =(a ﹣1)2+(b+3)2+1, ∵(a ﹣1)2≥0,(b+3)2≥0, ∴(a ﹣1)2+(b+3)2+1>0,即原式的值总是正数. 故答案为:C.【思路引导】把含a 的放一块,配成完全平方公式,把含b 的放一块,配成完全平方公式,根据平方的非负性即可得出答案.8.(2分)(2020八上·越秀期末)若 a , b , c 是 ABC ∆ 的三边长,且2220a b c ab ac bc ++---= ,则 ABC ∆ 的形状是( )A .等腰三角形B .等腰直角三角形C .等边三角形D .不能确定【答案】C【完整解答】解:∵2220a b c ab ac bc ++---= , ∴2 222222220a b c ab ac bc ++---= , ∴()222()()0a b b c c a -+-+-= , ∴a=b=c∴这个三角形是等边三角形. 故答案为:C .【思路引导】首先利用完全平方公式对等式进行变形,然后利用平方的非负性得出a 、b 、c 的数量关系,即可判定.9.(2分)(2019九上·涪城月考)若点 (),M m n 是抛物线 2223y x x =-+- 上的点,则 m n -的最小值是( ) A .0 B .158C .238D .3- 【答案】C【完整解答】解:根据题意可得: 把 (),M m n 的坐标代入表达式,即:2223n m m =-+- ,∴22(223)23m n m m m m m -=--+-=-+ ,函数的最值为 244ac b a- ,所以代入得 m n - 的最小值为:238;故答案为:C.【思路引导】根据题意把 (),M m n 的坐标代入表达式,得出 2223n m m =-+- ,求 m n - 的最小值即: 22(223)23m n m m m m m -=--+-=-+ ,求出最小值即可.10.(2分)(2022·海陵模拟)已知3x ﹣y =3a 2﹣6a+9,x+y =a 2+6a ﹣10,当实数a 变化时,x 与y 的大小关系是( ) A .x >y B .x =yC .x <yD .x >y 、x =y 、x <y 都有可能【答案】A【完整解答】解:∵3x﹣y =3a 2﹣6a+9,x+y =a 2+6a ﹣10, ∴()()()223369610x y x y a a a a --+=-+-+-,∴()()22222212192691231x y a a a a a -=-+=-++=-+,∵不论a 为何值,()22311a -+≥, ∴220x y ->, ∴22x y >, ∴x y >. 故答案为:A .【思路引导】先求出()()22222212192691231x y a a a a a -=-+=-++=-+,再求出220x y ->,最后求解即可。
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典例分析
例 .(2016广西河池,26)在平面直角坐标系中, 2 y x - 2x 3 与x轴交于A,B两点(A在B的 抛物线 左侧),与y轴交于点C,顶点为D. y (1)请写出点A,C,D的坐标; D
4
(2)如图,在x轴上找一点E, 使得△CDE的周长最小, 求点E的坐标;
A
C
2
· ·O F E
二次函数压轴题
类型一 特殊四边形的存在、探究问题
类型二 图形面积数量关系及最值的存在、探究问题 类型三 线段数量关系的存在、探究问题 类型四 特殊三角形的存在、探究问题 类型五 相似/全等三角形的存在、探究问题
类型六 角度数量关系的存在、探究问题
类型三 线段数量关系的存在、探究问题
------(1)周长最小问题
.M .F
周长的最小值,以及此时点F,E
的坐标.
解:如解图,作点H关于y轴的对称点 H ,点M关于x轴的 对称点M′,连接 H M,分别交x轴、y轴于点F、E,则四边 形HEFM的最小周长为HM+HE+EF+FM=HM+ H M . ∵y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9, ∴H(2,9)∴ H (-2,9), 当x=4时,y=5,∴M(4,5), ∴M (4,-5), 设直线 H M 的表达式为y= k x+ b , 例2题解图
B
x
·C
自我检测 1.(2016贺州26)如图,矩形的边OA在x轴上,边OC在y 轴上,点B(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在 BC上的E(6,8)处,抛物线 y ax bx c
2
经过O、A、E三点.
(1)求此抛物线的解析式; (2)求AD的长; (3)点P是抛物线对称轴l上的一个动点, 当△PAD的周长最小时,求点P的坐标;
课堂小结
求两线段之和最小或是求三角形周长最小问题, 可以转化为最短路径问题,通过对称性解决问 题. (1) 确定定点。 (2) 找准对称轴(一般是动点所在的直线)。 (3) 做对称点9;
作业:
大本《试题研究》: P143 第(5)题
P146 第(4)题
拓展探究 1.(2016贵阳节选)如图,直线y=5x+5交x轴于点A,交y轴 于点C,过A,C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于 另一点B.
北海:2016.26 河池:2016.26 贺州:2016.26 梧州:2016.26 柳州:2016.26;2015.26 南宁:2013.26
知识回顾
经典故事——“将军饮马问题”
A B
河
已知:直线l和同侧两点A、B 求作:直线l上一点C满足AC+BC的值最小
l
请问:怎样走才能使总路程最短呢?
知识回顾
A
变式: 求△BMN 的周长最小为______
B
N
N
D
M
2
6
C
8
小试牛刀
(2). (2016百色)如图,正△ABC的边长 为2,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与 △A′BC′关于直线l对称,D为线段BC′ 上一动点,则AD+CD的最小值是( )
A. 4 B.3 3 C. 2 3 D.2+ 3
注意:找准对称轴!
(1)求二次函数的表达式;
(2)在二次函数对称轴l上找一点G, 使得G到A的距离与到C的距离之和 最小,求出点G的坐标; 例2题图
能力提高 (3)若点H为二次函数y=ax2+4x+c图 象的顶点,点M(4,m)是该二次函 数图象上一点,F,E分别为x轴, y轴上的动点,求四边形HEFM的 .H
E.
经典故事——“将军饮马问题”
(1)求直线l上一点C,使得AC+BC的值最小
(2)求直线l上一点C,使得△ABC的周长最小
B
·
· A
C
·
A· l
B
l
两定点,一动点(一条直线)
小试牛刀 巩固练习
(1)、如图,正方形ABCD边长为8,M在BC上, BM=2,N为AC上的一动点,则BN+MN的最 小值为 10