数学人教版九年级上册周长最小问题
人教版(2024)数学九年级上册第二十二章 二次函数 单元测试(含答案)
第二十二章二次函数一、选择题1. 关于二次函数y=x2与y=−x2的图象，下列说法错误的是( )A．对称轴都是y轴B．顶点都是坐标原点C．与x轴都有且只有一个交点D．它们的开口方向相同2. 如图，关于抛物线y=(x−1)2−2，下列说法错误的是( )A．顶点坐标为(1,−2)B．对称轴是直线x=1C．开口方向向上D．当x>1时，y随x的增大而减小3. 将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( )A．y=3(x+2)2+3B．y=3(x−2)2+3C．y=3(x+2)2−3D．y=3(x−2)2−34. 如图是二次函数y=−x2+2x+4的图象，使y≤4成立的x的取值范围是( )A ． 0≤x ≤2B ． x ≤0C ． x ≥2D ． x ≤0 或 x ≥25. 一抛物线的形状、开口方向与 y =12x 2−2x +3 相同，顶点为 (−2,1)，则此抛物线的解析式为 A ． y =12(x−2)2+1 B ． y =12(x +2)2−1 C ． y =12(x +2)2+1D ． y =12(x +2)2−16. 心理学家发现：学生对概念的接受能力 y 与提出概念的时间 x (min) 之间是二次函数关系，当提出概念 13 min 时，学生对概念的接受能力最大，为 59.9；当提出概念 30 min 时，学生对概念的接受能力就剩下 31，则 y 与 x 满足的二次函数表达式为 ( )A ．y =−(x−13)2+59.9B ．y =−0.1x 2+2.6x +31C ．y =0.1x 2−2.6x +76.8D ．y =−0.1x 2+2.6x +437. 已知点 (−1,y 1)，(−312,y 2)，(12,y 3) 在函数 y =3x 2+6x +12 的图象上，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系为 ( ) A ． y 1>y 2>y 3B ． y 2>y 1>y 3C ． y 2>y 3>y 1D ． y 3>y 1>y 28. 在某建筑物上从 10 m 高的窗口 A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状，如图所示，如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m ，离地面403 m ，则水流落在点 B 与墙的距离 OB 是 ( )A ． 2 mB ． 3 mC ． 4 mD ． 5 m9. 二次函数 y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的大致图象如图所示，顶点坐标为 (−2,−9a )，下列结论：① 4a +2b +c >0；② 5a−b +c =0；③若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x1<x2，则−5<x1<x2<1；④若方程∣ax2+bx+c∣=1有四个根，则这四个根的和为−4．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题10. 如果y=(m2−1)x m2−m是二次函数，则m=．11. 若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx的函数值为．12. 若抛物线y=x2−2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为．13. 如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−3,−6)，点B(1,−2)，则关于x的不等式ax2+bx<mx+n的解集为．14. 如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，那么一元二次方程ax2+bx=0的根是．15. 已知抛物线：y=ax2+bx+c(a<0)经过A(2,4)，B(−1,1)两点，顶点坐标为(ℎ,k)，则下列正确结论的序号是．①b>1；②c>2；③ℎ>1；④k≤1．216. 物体自由下落的高度 ℎ（单位：m ）与下落时间 t （单位：s ）之间的关系是 ℎ=4.9t 2，有一个物体从 44.1m 高的建筑物上自由下落，到达地面需要s ．17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y =13x 2 经过平移得到抛物线 y =13x 2−2x ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为．三、解答题18. 已知二次函数 y =a (x−1)2+4 的图象经过点 (−1,0)．(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．19. 已知二次函数 y =x 2+4x +3．(1) 用配方法将二次函数的表达式化为 y =a (x−ℎ)2+k 的形式；(2) 在平面直角坐标系 xOy 中，画出这个二次函数的图象；(3) 根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C(1,2)，且与直线y=x交于点B(32,32)；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P作PQ∥y轴交线段OB于点Q．(1) 求抛物线的解析式；(2) 当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标；(3) 点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标．21. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4ax+3a−2(a≠0)与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．(1) 当抛物线过原点时，求实数a的值；(2) ①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；(3) 当AB≤4时，求实数a的取值范围．22. 如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A，B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．(1) 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2) 为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA，PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）(3) 为了施工方便，现需计算出点O，P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O，P之间的距离是多少？（请写出求解过程）23. 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1) 求y与x之间的函数表达式．(2) 当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？(3) 若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？24. 如图所示抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，点C(0,3)，且OB=OC．(1) 求抛物线的解析式及其对称轴．(2) 点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长最小值．(3) 点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的坐标．答案一、选择题1. D2. D3. A4. D5. C6. D7. C8. B9. B二、填空题10. 211. 612. m>113. x<−3或x>114. x1=−1，x2=315. ①②③16. 317. 9三、解答题18.(1) 把(−1,0)代入二次函数解析式得：4a+4=0，即a=−1，则函数解析式为y=−(x−1)2+4．(2) ∵a=−1<0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1,4)，对称轴为直线x=1．19.(1) y=x2+4x+3=x2+4x+22−22+3 =(x+2)2−1.(2) 略(3) 当x<−2时，y随x的增大而减小，当x>−2时，y随x的增大而增大．（答案不唯一）20.(1) ∵抛物线顶点为C(1,2)，∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+2(a≠0)．∵点B(32,32)在抛物线上，∴32=a(32−1)2+2，∴a=−2，∴抛物线的解析式为y=−2(x−1)2+2，即y=−2x2+4x．(2) 设点P的坐标为(x,−2x2+4x)(0<x<32)，则点Q的坐标为(x,x)，∴PQ=−2x2+4x−x=−2x2+3x=−2(x−34)2+98，∵−2<0，∴当x=34时，PQ的长度取最大值，∴当PQ的长度为最大值时，点Q的坐标为(34,34)．(3) (12,12)21.(1) ∵点O(0,0)在抛物线上，∴3a−2=0，a=23．(2) ①对称轴为直线x=2；②顶点的纵坐标为−a−2．(3) （i）当a>0时，依题意，{−a−2<0,3a−2≥0.解得a≥23．（ii）当a<0时，依题意，{−a−2>0,3a−2≤0,解得a<−2．综上，a<−2或a≥23．22.(1) 以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax2，由题意知点A的坐标为(4,8)．∵点A在抛物线上，∴8=a×42，解得a=12，∴所求抛物线的函数解析式为：y=12x2．(2) 找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A，D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．(3) 由题意知点B的横坐标为2，∵点B在抛物线上，∴点B的坐标为(2,2)，又∵点A的坐标为(4,8)，∴点D的坐标为(−4,8)，设直线BD的函数解析式为y=kx+b，∴{2k+b=2,−4k+b=8,解得：k=−1，b=4．∴直线BD的函数解析式为y=−x+4，把x=0代入y=−x+4，得点P的坐标为(0,4)，两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是4米．23.(1) y=300+30(60−x)=−30x+2100．(2) 设每星期的销售利润为W元，则W=(x−40)(−30x+2100)=−30(x−55)2+6750.所以当x=55时，W取最大值，为6750．所以每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6750元．(3) 由题意得(x−40)(−30x+2100)≥6480，解得52≤x≤58．当x=52时，销售量为300+30×8=540（件）；当x=58时，销售量为300+30×2=360（件）．所以若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．24.(1) ∵OB=OC，∴点B(3,0)，则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)=ax2−2ax−3a，故−3a=3，解得a=−1，故抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3 ⋯⋯①，对称轴为：直线x=1．(2) ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=10，DE=1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点Cʹ(2,3)，则CD=CʹD，取点Aʹ(−1,1)，则AʹD=AE，故：CD+AE=AʹD+DCʹ，则当Aʹ，D，Cʹ三点共线时，CD+AE=AʹD+DCʹ最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=10+1+AʹD+DCʹ=10+1+AʹCʹ=10+1+13.(3) 如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，又∵S△PCB:S△PCA=12EB×(y C−y P):12AE×(y C−y P)=BE:AE,则BE:AE=3:5或5:3，则AE=52或32，即：点E的坐标为(32,0)或(12,0)，将点E，C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=−6或−2，故直线CP的表达式为：y=−2x+3或y=−6x+3 ⋯⋯②，联立①②并解得：x=4或8（不合题意已舍去），故点P的坐标为(4,−5)或(8,−45)．。
22-3实际问题与二次函数解答题专练(试题)九年级数学人教版上册
22.3实际问题与二次函数解答题专练1．如图所示，工人师傅要用长2米宽10厘米的塑钢条作窗户内的横、纵梁（没有余料）要使窗户内的透光部分面积最大，问窗户的两边长分别为多少？2．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，求涵洞所在抛物线的函数表达式．3．用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？4．如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？5．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为多少元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？6．已知：如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x 轴上，点C在y轴上，且AC＝BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）若点P在抛物线对称轴上，且PA＝PB，求P点的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A、C分别在在x轴、y 轴上，点B的坐标是（6，4），抛物线y＝x2﹣x+c与矩形OABC的边BC和AB 分别交于点D（，4）和点E，连接DE（1）求抛物线的解析式；（2）求直线DE的函数表达式；（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，①当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；②将△BDE沿直线DE翻折至△B′DE处，点B的对称点为点B′，连接B′P，请直接写出线段B′P长度的最小值．8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y＝x2．（1）写出抛物线y＝x2的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）已知点A（2，4），直线x＝2与x轴相交于点B，将抛物线y＝x2从点O沿OA 方向平移，与直线x＝2交于点P，顶点M到A点时停止移动，设抛物线顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短？（3）如图，点C为y轴正半轴上一点，过点C任作直线交抛物线y＝x2于D，E两点，点F为y轴负半轴上一点，且∠CFD＝∠CFE，求证：OC＝OF．9．已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0），（1）若已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方式求抛物线的解析式．（2）若直线DH为抛物线的对称轴，在（1）的基础上，求线段DK的长度，并求△DBC 的面积．（3）将图（2）中的对称轴向左移动，交x轴于点p（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与线段BC、抛物线的交点分别为点K、Q，用含m的代数式表示QK的长度，并求出当m 为何值时，△BCQ的面积最大？10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）的对称轴为直线x＝3，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知点B的坐标为（8，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出符合点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．已知：如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），点B（4，0），与y轴的交点为C（1）求二次函数的关系式；（2）已知点M是线段OB上一动点，过点M作平行于y轴的直线l，直线l与抛物线交于点E，与直线BC交于点F，连接CE，若△CEF与△OBC相似，求点M的坐标；（3）已知点M是x轴正半轴上一动点，过点M作平行于y轴的直线l，直线l与抛物线交于P，与直线BC交于点Q，连接CP，将△CPQ沿CP翻折后，是否存在这样的直线l，使得翻折后的点Q刚好落在y轴上？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知抛物线y＝﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A，B与y轴交点C（0，2）．（1）抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，顶点为D，点C关于直线l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．13．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1＝2x2﹣4x+4与C2：y2＝﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．（1）求抛物线C2的解析式．（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ 的最大值．（3）在（2）的条件下，点B是抛物线C2上另一个动点，过点B作BP⊥x轴，P为垂足，求能使A、Q、B、P四点组成的四边形是平行四边形的点P的坐标，直接写出答案．14．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣4与直线y＝x交于点A、B，点M是抛物线上的一个动点，连接OM．（1）当M为抛物线的顶点时，求△OMB的面积．（2）当△OMB的面积为10时，求点M的坐标．（3）当点M在直线AB的下方，M运动到何处时，△OMB的面积最大．17．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y＝a（x﹣2）2+k经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P，（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小？若存在，求△ABM的周长；若不存在，请说明理由；（3）抛物线的对称轴是上是否存在一点N，使△ABN是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式．（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交BC于点N，求MN的最大值．（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1＝6S2，求点P的坐标．。
第22章 二次函数 人教版九年级数学上册能力测试(含答案)
第二十二章二次函数（测能力）——2022-2023学年人教版数学九年级上册单元闯关双测卷【满分：120】一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若是关于x的二次函数，则m的值为( )A.-2B.-2或1C.1D.不存在2.今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增.某药店一月份销售量是5000枚，二、三两个月销售量连续增长.若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩枚数y与x的函数关系式是( )A. B.C. D.3.二次函数的图像如图所示，若一元二次方程有实数根，则m的最大值为( )A.3B.-3C.-6D.94.在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是( )A. B.C. D.5.抛物线的函数解析式为,若将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为( )A. B.C. D.6.关于抛物线，下列说法错误的是( )A.开口向下B.顶点坐标是C.当时，y随x的增大而增大D.对称轴是直线7.将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线与这个新图象有3个公共点，则b的值为( )A.或-12B.或2C.-12或2D.或-128.在抛物线和直线上有三点,则的结果是( )A. B.0 C.1 D.29.如图，在中，，cm，cm.动点P从点A出发，沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动（不与点B重合），同时动点Q从点B出发，沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动（不与点C重合）.当四边形APQC的面积最小时，经过的时间为( )A.1 sB.2 sC.3 sD.4 s10.已知抛物线(a，b，c为常数，且)的图象如图所示，有下列结论：①；②若，则；③.其中，正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.3二、填空题（每小题4分，共20分）11.若抛物线与x轴没有交点,则m的取值范围是______.12.如图，四边形ABCD是矩形，A，B两点在x轴的正半轴上，C，D两点在抛物线上.设（），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为_________.13.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为26m.若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为__________m.14.如图，已知二次函数的图像经过，两点，且图像的对称轴与x 轴交于点C，连接BA，BC，则的面积为___________.15.已知抛物线与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程无实数根；③；④的最小值为3.其中正确的结论是__________.三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）16.（8分）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶.根据市场行情，现决定降价销售.市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款免洗洗手液”的销售单价为x （元），每天的销售量为y（瓶）.（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大？最大利润为多少元？17.（8分）抛物线与直线交于.(1)求m和n的值;(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)对于二次函数,当x在什么范围时,y随x的增大而减小?(4)抛物线与直线还有其他交点吗?若有,请求出来;若没有,说明理由.18.（10分）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.过点C作轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD.已知点A的坐标为.（1）求抛物线的表达式；（2）求梯形COBD的面积.19.（10分）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…-3-2-10123…y…3m-10-103…其中，_________.（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.（3）观察函数图象，写出两条函数的性质.（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有___________个交点，所以对应的方程有___________个不相等的实数根；②方程有__________个不相等的实数根；③关于x的方程有4个不相等的实数根时，a的取值范围是__________.20.（12分）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系.某运动员进行了两次训练.（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离02581114 x/m竖直高度20.0021.4022.7523.2022.7521.40y/m根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为；第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）.21.（12分）如图,抛物线的顶点为,与y轴交于点,点为其对称轴上的一个定点.(1)求这条抛物线的函数解析式.(2)已知直线l是过点且垂直于y轴的定直线,若抛物线上的任意一点到直线l的距离为d,求证:.(3)已知坐标平面内的点,请在抛物线上找一点Q,使的周长最小,并求此时周长的最小值及点Q的坐标.答案以及解析1.答案：A解析：若是关于x的二次函数，则解得.故选A.2.答案：B解析：该药店三月份销售口罩枚数y与x的函数关系式是.3.答案：A解析：由图像可得二次函数的最小值是-3.一元二次方程有实数根，，解得，m的最大值是3.4.答案：D解析：观察函数图象可知，，，二次函数的图象开口向上，对称轴，与y轴的交点在y轴负半轴.故选D.5.答案：C解析：根据题意知,将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度相当于将抛物线向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,则所得抛物线的解析式为.故选C.6.答案：C解析：抛物线，该函数图象开口向下，故选项A不符合题意；该函数图象的顶点坐标是，故选项B不符合题意；当时，y随x的增大而减小，故选项C符合题意；对称轴是直线，故选项D不符合题意.故选C.7.答案：A解析：如图所示，过点B的直线与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到A、B之间的抛物线只有C一个公共点时，直线与新抛物线也有三个公共点.令，解得：或6，即点B坐标.当一次函数过点B时，将点B的坐标代入，得，解得.将一次函数与二次函数表达式联立得：，整理得：，，解得：.综上，b的值为或，故选A.8.答案：D解析：如图,在抛物线和直线上有三点, ,.,∴抛物线的对称轴为直线,.在直线上,,.故选D.9.答案：B解析：设运动时间为x s，四边形APQC的面积为y，则cm，cm，cm，，即，当时，y有最小值，为12，故选B.10.答案：D解析：抛物线开口向下，.，，，故①正确；设二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别是和，，则.，，故②正确；，，，.时，，，.，，，，，，，故③正确.故选D.11.答案：解析：∵抛物线与x轴没有交点,,即,解得.12.答案：解析：，，点D的横坐标为m.把代入抛物线中，得，.把代入抛物线中，得，解得，，点C的横坐标是，故，矩形ABCD的周长，即.13.答案：14解析：设平行于墙的一边长为x m，则垂直于墙的一边长为m，总面积，当时，建成的饲养室面积最大.故答案为14.14.答案：6解析：把，代入，得解得所以抛物线的表达式为.因为抛物线的对称轴为直线，所以.又因为，，所以，，所以的面积为.15.答案：①②③④解析：，，①正确.抛物线与x轴最多有一个交点，抛物线开口向上，抛物线与直线没有交点，关于x的方程无实数根，②正确.及抛物线与x轴最多有一个交点，x取任何值时，，当时，，③正确.当时，，，，，④正确.故答案为①②③④.16.答案：（1）.（2）当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元.解析：（1）由题意得.（2）设每天的销售利润为w元，则有，，二次函数的图象开口向下.当时，w有最大值，最大值为360.当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元.17.答案：(1);(2)(0,-5)；y轴(3)(4)(-1,-3)解析：(1)∵抛物线与直线交于,∴将代入得,解得.将(2,3)代入得,解得.(2)根据(1)得出,∴抛物线的顶点坐标为(0,-5),对称轴为y轴.(3)抛物线开口向上,当时,y随x的增大而减小.(4)由题意得,解得,,故抛物线与直线还有其他交点,交点坐标为(-1,-3).18.答案：解：（1）把的坐标代入，得，.（2）令，得，.抛物线的对称轴是直线，...19.答案：（1）0（2）图见解析（3）见解析（4）①3，3，②2；③解析：（1）把代入得，即，故答案为0.（2）如图所示.（3）（答案不唯一）由函数图象知，①函数的图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而增大.（4）①由函数图象知，函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程有3个不相等的实数根；②如图，的图象与直线有两个交点，有2个不相等的实数根；③由函数图象知，关于x的方程有4个不相等的实数根时，a的取值范围是.故答案为①3，3，②2；③.20.答案：（1）（2）<解析：（1）该运动员竖直高度的最大值为23.20 m.由表格中的数据可知该抛物线的顶点坐标为，故该抛物线的解析式为，将代入，得，解得，.（2）设着陆点的纵坐标为t，则第一次训练时，，解得：或，根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离，第二次训练时，，解得：或，根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离，，，，故答案为：<21.答案：(1)(2)见解析(3)解析：(1)设抛物线的解析式为.由题意,得抛物线的顶点为.又抛物线与y轴交于,,解得.∴抛物线的解析式为.(2)证明:如图,过点P作垂直于对称轴于点M.在中,.由勾股定理,得.∵点在抛物线上,,即...又.(3)如图,作于点G,交抛物线于点Q,则点Q即为所求,此时的周长最小.由(2)可知,,.又,周长的最小值为,此时点Q的横坐标为4,纵坐标,即点Q的坐标为.。
部编数学九年级上册专题24.1圆【七大题型】(人教版)(解析版)含答案
专题24.1 圆【七大题型】【人教版】【题型1 圆的概念】 (1)【题型2 圆的有关概念】 (4)【题型3 确定圆的条件】 (6)【题型4 点与圆的位置关系】 (9)【题型5 圆中角度的计算】 (12)【题型6 圆中线段长度的计算】 (15)【题型7 圆相关概念的应用】 (18)定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．【题型1 圆的概念】【例1】（2022•金沙县一模）下列说法中，不正确的是（ ）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形B．圆有无数条对称轴C．圆的每一条直径都是它的对称轴D．圆的对称中心是它的圆心【分析】利用圆的对称性质逐一求解可得．【解答】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B．圆有无数条对称轴，正确；C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；D．圆的对称中心是它的圆心，正确；故选：C．【变式1-1】（2022•武昌区校级期末）由所有到已知点O 的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为（ ）A ．4πB ．9πC ．5πD ．13π【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．【解答】解：由所有到已知点O 的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为以3为半径的圆与以2为半径的圆组成的圆环的面积，即π×32﹣π×22＝5π，故选：C ．【变式1-2】（2022•杭州模拟）现有两个圆，⊙O 1的半径等于篮球的半径，⊙O 2的半径等于一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加1米，则面积增加较多的圆是（ ）A ．⊙O 1B ．⊙O 2C ．两圆增加的面积是相同的D ．无法确定【分析】先由L ＝2πR 计算出两个圆半径的伸长量，然后再计算两个圆增加的面积，然后进行比较大小即可．【解答】解：设⊙O 1的半径等于R ，变大后的半径等于R ′；⊙O 2的半径等于r ，变大后的半径等于r ′，其中R ＞r ．由题意得，2πR+1＝2πR ′，2πr +1＝2πr ′，解得R ′＝R +12π，r ′＝r +12π；所以R ′﹣R =12π，r ′﹣r =12π，所以，两圆的半径伸长是相同的，且两圆的半径都伸长12π．∴⊙O 1的面积＝πR 2，变大后的面积=π(R +12π)2，面积增加了π(R +12π)2−πR 2＝R +14π，⊙O 2的面积＝πr 2，变大后的面积=π(r +12π)2，面积增加了π(r +12π)2−πr 2=r +14π，∵R ＞r ，∴R +14π＞r +14π，∴⊙O 1的面积增加的多．故选：A ．【变式1-3】（2022•浙江）如图，AB 是⊙O 的直径，把AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB ＝a ，那么⊙O 的周长l ＝πa ．计算：（1）把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长l 2=12πa =12l ；（2）把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长l 3＝ 13l ；（3）把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长l 4＝ 14l ；（4）把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长l n ＝ 1n l ．结论：把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的 1n ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．【分析】把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是l n ＝π（1n a ）=1n l ，即每个小圆周长是大圆周长的1n ；根据圆的面积公式求得每个小圆的面积和大圆的面积后比较．【解答】解：（2）13l ；（3）14l ；（4）1n l ；1n ；每个小圆面积＝π（12•1n a ）2=14•πa 2n 2，而大圆的面积＝π（12•a ）2=14πa 2即每个小圆的面积是大圆的面积的1．n2【题型2 圆的有关概念】【例2】（2022•远安县期末）下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③过圆内一点P的直径仅有一条；④弧是圆的一部分．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据弦，直径，弧的定义一一判断即可．【解答】解：①弦是直线，错误，弦是线段．②圆的直径被该圆的圆心平分，正确．③过圆内一点P的直径仅有一条，错误，点P是圆心时，直径有无数条．④弧是圆的一部分，正确．故选：B．【变式2-1】（2022图木舒克月考）有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（ ）A．1B．4C．10D．11【分析】根据直径是圆中最长的弦，判断即可．【解答】解：∵一个圆的半径为5，∴圆中最长的弦是10，∴弦长不可能为11，故选：D．【变式2-2】（2022•嘉鱼县期末）如右图中有 1 条直径，有 4 条弦，以点A为端点的优弧有 2 条，有劣弧 2 条．【分析】根据直径、弦、优弧及劣弧的概念解答即可得．【解答】解：图中直径只有AB这1条，弦有AC、AB、CD、BC这4条，以点A为端点的优弧有ACD、ADC 这2条，劣弧有AC、AD这2条，故答案为：1、4、2、2．【变式2-3】（2022仪征市期末）如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有 4 个．【分析】解法一：过点P最长的弦是12，根据已知条件，△OAB的面积为18，可以求出AB＜12，根据三角形面积可得OC＝OP的长有两个整数：5，6，且OP＝6是P在A或B点时，每一个值都有两个点P，所以一共有4个．解法二：根据面积可知，OA上的高为6，也就是说OA与OB互相垂直，然后算出OC长度即可．【解答】解：解法一：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，设OC＝x，AC＝y，∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，∴AB≤12，∵△OAB的面积为18，+y2=362y⋅x=18，则y=18x，∴x2+(18x)2=36，解得x＝∴OC＝4，∴4＜OP≤6，∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．解法二：设△AOB中OA边上的高为h，则12×OAℎ=18，即12×6ℎ=18，∴h＝6，∵OB＝6，∴OA⊥OB，即∠AOB＝90°，∴AB＝OC＝同理得：点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．故答案为：4．【题型3 确定圆的条件】【例3】（2022•绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）A．①B．②C．③D．均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【变式3-1】（2022春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 能 确定一个圆（填“能”或“不能”）．【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．故答案为：能．【变式3-2】（2022•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 （2，1） ．【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．【变式3-3】（2022•任城区校级月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．∵BC＝16cm，∴BD＝8cm，∵AB＝10cm，∴AD＝6cm，设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，∴R2＝82+（R﹣6）2，cm，解得：R=253cm．∴圆片的半径R为253【题型4 点与圆的位置关系】【例4】（2022秋•宜州区期末）如已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，BC＝4cm，CM是中线，以C长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？【分析】点与圆的位置关系由三种情况：设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．【解答】解：根据勾股定理，有AB=cm）；∵CA＝2cm，∴点A在⊙O内，∵BC＝4cm，∴点B在⊙C外；由中线定理得：CM=∴M点在⊙C上．【变式4-1】（2022春•龙湖区校级月考）⊙O的面积为25πcm2，⊙O所在的平面内有一点P，当PO ＝5cm 时，点P在⊙O上；当PO ＜5cm 时，点P在⊙O内；当PO ＞5cm 时，点P在⊙O外．【分析】根据圆的面积求出圆的半径，然后确定圆上点，圆内点以及圆外的到圆心的距离．【解答】解：因为圆的面积为25πcm2，所以圆的半径为5cm．当点P到圆心的距离等于5cm时，点P在⊙O上，此时OP＝5cm．当点P到圆心的距离小于5cm时，点P在⊙O内，此时OP＜5cm．当点P到圆心的距离大于5cm时，点P在⊙O外，此时OP＞5cm．故答案分别是：PO＝5cm，PO＜5cm，PO＞5cm．【变式4-2】（2022•广东模拟）如图，已知⊙A的半径为1，圆心的坐标为（4，3）．点P（m，n）是⊙A 上的一个动点，则m2+n2的最大值为 36 ．【分析】由于圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），利用勾股定理可计算出OA＝5，OP=这样把m2+n2理解为点P与原点的距离的平方，利用图形可得到当点P运动到射线OA上时，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，然后求出此时的PO长即可．【解答】解：作射线OA交⊙O于P′点，如图，∵圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），∴OA5，OP=∴m2+n2是点P点圆点的距离的平方，∴当点P运动到P′处，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，此时OP＝OA+AP′＝5+1＝6，则m2+n2＝36．故答案为：36．【变式4-3】（2022秋•金牛区期末）如图．A（3，0）．动点B到点M（3，4）的距离为1，连接BO，BO 的中点为C，则线段AC的最小值为 2 ．【分析】先确定AC最小值时点B的位置：过B作BD∥AC交x轴于D，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，根据勾股定理和三角形中位线定理可得AC的长．【解答】解：过B作BD∥AC交x轴于D，∵C是OB的中点，∴OA＝AD，BD，∴AC=12∴当BD取最小值时，AC最小，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，∵A（3，0），∴D（6，0），∵M（3，4），∴DM==5，∴BD＝5﹣1＝4，BD＝2，即线段AC的最小值为2；∴AC=12故答案为：2．【题型5 圆中角度的计算】【例5】（2022•江宁区校级期中）如图，BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．【分析】设∠B＝x，根据等腰三角形的性质，由BD＝OD得∠DOB＝∠B＝x，再根据三角形外角性质得∠ADO＝2x，则∠A＝∠ADO＝2x，然后根据三角形外角性质得2x+x＝114°，解得x＝38°，最后利用三角形内角和定理计算∠AOD的度数．【解答】解：设∠B＝x，∵BD＝OD，∴∠DOB＝∠B＝x，∴∠ADO＝∠DOB+∠B＝2x，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2x，∵∠AOC＝∠A+∠B，∴2x+x＝114°，解得x＝38°，∴∠AOD＝180°﹣∠OAD﹣∠ADO＝180°﹣4x＝180°﹣4×38°＝28°．【变式5-1】（2022•汉阳区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．已知AB＝2DE，∠AEC＝25°，求∠AOC的度数．【分析】求∠AOC的度数，可以转化为求∠C与∠E的问题．【解答】解：连接OD，∵AB＝2DE＝2OD，∴OD＝DE，又∵∠E＝25°，∴∠DOE＝∠E＝25°，∴∠ODC＝50°，同理∠C＝∠ODC＝50°∴∠AOC＝∠E+∠OCE＝75°．【变式5-2】（2022•金牛区期末）如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD＝84°，则∠BOC＝ 48° ．【分析】根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D＝∠A，利用三角形内角和定理可计算出∠A，然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数．【解答】解：∵OD＝OC，∴∠D＝∠A，∵∠AOD＝84°，（180°﹣84°）＝48°，∴∠A=12又∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠A＝48°．故答案为：48°．【变式5-3】（2022•大丰市月考）如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O 上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．是否存在点P，使得QP＝QO；若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由．【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段AO上，点P在OB 上，点P在OA的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．【解答】解：①根据题意，画出图（1），在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP，在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO，又∵∠AOC＝30°，∴∠QPO＝∠OCP+∠AOC＝∠OCP+30°，在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC＝180°，即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP＝180°，整理得，3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°．②当P在线段OA的延长线上（如图2）∵OC＝OQ，∴∠OQP＝（180°﹣∠QOC）×1①，2∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝（180°﹣∠OQP）×1②，2在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ＝180°③，把①②代入③得∠QOC＝20°，则∠OQP＝80°∴∠OCP＝100°；③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），∵OC＝OQ，∴∠OCP＝∠OQC＝（180°﹣∠COQ）×1①，2∵OQ＝PQ，∴∠P＝（180°﹣∠OQP）×1②，2∵∠AOC＝30°，∴∠COQ+∠POQ＝150°③，∵∠P＝∠POQ，2∠P＝∠OCP＝∠OQC④，①②③④联立得∠P＝10°，∴∠OCP＝180°﹣150°﹣10°＝20°．故答案为：40°、20°、100°．【题型6 圆中线段长度的计算】【例6】（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（ ）A ．B ．8C ．6D ．5【分析】连结CD ，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．【解答】解：如图，连结CD ，∵CD 是直角三角形斜边上的中线，∴CD =12AB =12×10＝5．故选：D ．【变式6-1】（2022•海港区校级自主招生）如图，圆O 的周长为4π，B 是弦CD 上任意一点（与C ，D 不重合），过B 作OC 的平行线交OD 于点E ，则EO +EB ＝ 2 ．（用数字表示）【分析】根据圆的周长公式得到OD ＝2，根据等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵⊙O 的周长为4π，∴OD ＝2，∵OC ＝OD ，∴∠C ＝∠D ，∵BE ∥OC ，∴∠EBD ＝∠C ，∴∠EBD ＝∠D ，∴BE ＝DE ，∴EO +EB ＝OD ＝2，故答案为：2．【变式6-2】（2022•龙湖区校级开学）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，CD ⊥AB 于D ，AD ＜BD ，若CD ＝2cm ，AB ＝5cm ，求AD 、AC 的长．【分析】由直径AB ＝5cm ，可得半径OC ＝OA =12AB =52cm ，分别利用勾股定理计算AD 、AC 的长．【解答】解：连接OC ，∵AB ＝5cm ，∴OC ＝OA =12AB =52cm ，Rt △CDO 中，由勾股定理得：DO =32cm ，∴AD =52−32=1cm ，由勾股定理得：AC ==则AD 的长为1cm ，AC ．【变式6-3】（2022秋•邗江区期中）如图，半圆O 的直径AB ＝8，半径OC ⊥AB ，D 为弧AC 上一点，DE ⊥OC ，DF ⊥OA ，垂足分别为E 、F ，求EF 的长．【分析】连接OD ，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形DEOF 是矩形，利用矩形的对角线相等即可得到所求结论．【解答】解：连接OD ．∵OC ⊥AB DE ⊥OC ，DF ⊥OA ，∴∠AOC ＝∠DEO ＝∠DFO ＝90°，∴四边形DEOF是矩形，∴EF＝OD．∵OD＝OA∴EF＝OA＝4．【题型7 圆相关概念的应用】【例7】（2022秋•南岗区校级期中）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案：方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分）（1）如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π）（2）如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π）（3）如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的1，他15做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了1，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取23）【分析】（l）根据圆的周长公式：c＝xd，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可．（2）首先根据圆的周长公式：c＝元d，求出直径是4米、和6米的圆的周长和，然后与图1进行比较．（3）求出乙的钱数，再用总钱数﹣乙是钱数，可得结论．【解答】解：（1）10÷2＝5（米），2π×5×2＝20π（米）．故答案为：20π米．=8（米），8÷2＝4（米），（2）10×2＝20（米），20×223=12（米），12÷2＝6（米），20×323方案B花坛周长：2π（4+6）＝20π（米），20π＝20π，方案B与A周长一样，用的材料一样．×2×（5﹣1）×20π×10＝320（元）．（3）乙的钱数=115甲的钱数＝20π×10﹣320＝280（元），答：修完花坛后，甲，乙分别得到320元和280元．【变式7-1】（2022•南岗区期末）一个压路机的前轮直径是1.7米，如果前轮每分钟转动6周，那么这台压路机10分钟前进（ ）米．A．51πB．102πC．153πD．204π【分析】首先根据圆的周长公式C＝πd，求出前轮的底面圆周长，然后用前轮的底面周长乘每分钟转的周数（6周），求出1分钟前进多少米，再乘工作时间10分钟即可．【解答】解：前轮的底面圆周长：π×1.7＝1.7π（米），1.7π×6×10＝102π（米）故选：B．【变式7-2】（2022•罗田县校级模拟）一个塑料文具胶带如图所示，带宽为1cm，内径为4cm，外径为7cm，已知30层胶带厚1.5mm，则这卷胶带长 51.81 m．（π≈3.14，结果保留4位有效数字）【分析】首先求出胶带的体积，用胶带的体积除以一米长的胶带的体积即可求得．【解答】解：4÷2＝2（cm），7÷2＝3.5（cm），胶带的体积是：π（3.52﹣22）•1＝8.25πcm3＝8.25π×10﹣6（m3），一米长的胶带的体积是：0.01×1×5×10﹣5＝5×10﹣7（m3），因而胶带长是：（8.25π×10﹣6）÷（5×10﹣7）≈51.81（m）．故答案为：51.81．【变式7-3】（2022•张店区期末）如图，大圆和圆的半径都分别是4cm和2cm，两圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序沿着两圆圆周不断地爬行，其中各点分别是两圆周的四等分点，蚂蚁直到行走2010πcm后才停下来．则这只蚂蚁停在点 E ．【分析】首先求得蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序走一周的路线长，然后确定走2010πcm是走了多少周，即可确定．【解答】解：A开始ABCDEFCGA的顺序转一周的路径长是：8π+4π＝12πcm，蚂蚁直到行走2010πcm所转的周数是：2010π÷12π＝167…6π．即转167周以后又走了6πcm．从A到B得路长是：2π，再到C的路线长也是2π，从C到D，到E的路线长是2π，则从A行走6πcm 到E点．故答案是：E．。
部编数学九年级上册专题24.7切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】(人教版)(解析版)含答案
专题24.7 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】【人教版】【题型1 利用切线长定理求周长】 (1)【题型2 三角形内切圆中求角度】 (5)【题型3 三角形内切圆中求面积】 (9)【题型4 三角形内切圆中求线段长度】 (13)【题型5 三角形内切圆中求半径】 (17)【题型6 三角形内切圆中求最值】 (20)【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】 (25)【题型1 利用切线长定理求周长】【例1】（2022秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O 是它的内切圆，点D 是其中的一个切点，已知AD ＝10cm ，小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的任意一条直线MN 剪下一块三角形（△AMN ），则剪下的△AMN 的周长为 20cm ．【分析】利用切线长定理得出DM ＝MF ，FN ＝EN ，AD ＝AE ，进而得出答案．A B C I【解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．故答案是：20cm．【变式1-1】（2022秋•莒南县期末）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，求△PCD的周长．【分析】由PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理，可得PA＝PB，又由PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，根据根与系数的关系，可求得PA与PB的长，又由CD切⊙O于点E，即可得△PCD的周长等于PA+PB．【解答】解：∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，∴PA+PB＝m，PA•PB＝m﹣1，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，∴PA＝PB=m2，即m2•m2=m﹣1，即m2﹣4m+4＝0，解得：m＝2，∴PA＝PB＝1，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，∴AD＝ED，BC＝EC，∴△PCD的周长为：PD+CD+PC＝PD+DE+EC+PC＝PD+AD+BC+PC＝PA+PB＝2．【变式1-2】（2022•雨花区校级三模）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（ ）A．14B．20C．24D．30【分析】设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，根据题意可得四边形OECF为正方形，则CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出x，然后求其周长．【解答】解：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，∵⊙O与Rt△ABC的三边分别点D、E、F，∴OE⊥AC，OF⊥BC，∴四边形OECF为正方形，∵⊙O的半径为2，BC＝5，∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，∴在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2，解得x＝10，∴△ABC的周长为12+5+13＝30．故选：D．【变式1-3】（2022秋•崇川区月考）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是劣弧AB上任意一点，过C作⊙O切线DE，交PA、PB于点D、E，已知PA的长为5cm，∠DOE＝65°，点M、N分别在PA、PB的延长线上，MN与⊙O相切于点F，已知DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．（1）求∠P的度数；（2）求△PDE的周长；（3）求四边形DEMN的周长．【分析】（1）只要证明∠AOB＝130°，∠PAO＝∠PBO＝90°，再利用四边形内角和定理即可解决问题；（2）利用切线长定理即可解决问题；（3）因为DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．可得DN+EM＝10，再利用切线长定理即可解决问题；【解答】解：（1）连接OA、OB、OC．∴PA、PB、DE是⊙O的切线，∴PA⊥OA，OB⊥PB，∠DOA＝∠DOC，∠EOB＝∠EOC，∵∠DOE＝65°，∴∠AOB＝130°，∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°．（2）∵PA、PB、DE是⊙O的切线，∴DA＝DC，EC＝EB，PA＝PB＝5，∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DA+PE+EB＝PA+PB＝10．（3）∵DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．∴DN+EM＝10，∴PN，PM，MN是⊙O的切线，∴AN＝NF，MF＝MB，DA＝DC，EC＝EB，∴四边形EMND的周长＝EM+MN+DN+DE＝EM+BM+NA+DA+EB+DN＝2（DN+EM）＝20．【题型2 三角形内切圆中求角度】【例2】（2022•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O是它的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，若∠ACB＝40°，则∠DOE＝ 130° ．【分析】利用直角三角形性质求出∠ABC＝50°，再利用切线性质求出∠BDO＝∠BEO＝90°，再利用四边形内角和为360°，即可求得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，∴AB、BC是⊙O的切线，∴∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE＝360°﹣∠BDO﹣∠BEO﹣∠ABC＝130°，故答案为：130°．【变式2-1】（2022秋•昌平区期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，已知∠A＝40°，连接OB，OC，DE，EF，则∠BOC＝ 110 °，∠DEF＝ 70 °．【分析】连接OD和OF，根据内切圆的性质可得OB，OC平分∠ABC，∠ACB，再根据三角形内角和定理即可求出角BOC的度数；根据切线的性质可得∠DOF的度数，进而根据圆周角定理可得∠DEF的度数．【解答】解：如图，连接OD和OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠A＝40°，∴OB，OC平分∠ABC，∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝180°−12×140°＝180°−12＝110°，∵OD⊥AB，OF⊥AC，∴∠ADO＝∠AFO＝90°，∴∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∠DOF＝70°．∴∠DEF=12故答案为：110，70．【变式2-2】（2022•万年县校级模拟）如图，△ABC中，内切圆I与AB，BC，CA分别切于F，D，E，连接BI，CI，再连接FD，ED，（1）若∠A＝40°，求∠BIC与∠FDE的度数．（2）若∠BIC＝α；∠FDE＝β，试猜想α，β的关系，并证明你的结论．（∠ABC+∠ACB），求出∠ABC+∠ACB 【分析】（1）根据圆I是△ABC的内切圆求出∠IBC+∠ICB=12的度数，求出∠IBC+∠ICB即可；连接IF、IE，求出∠FIE，即可求出∠FDE；（2）由（1）得出∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB），∠FDE＝180°﹣2∠A，根据三角形的内角和定理求出∠BIC ＝90°+12∠A ，代入即可求出答案．【解答】解：（1）∵圆I 是△ABC 的内切圆，∴∠IBC =12∠ABC ，∠ICB =12∠ACB ，∴∠IBC +∠ICB =12（∠ABC +∠ACB ），∵∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠A ＝140°，∴∠IBC +∠ICB ＝70°，∴∠BIC ＝180°﹣（∠IBC +∠ICB ）＝110°，如图，连接IF 、IE ，∵圆I 是△ABC 的内切圆，∴∠IFA ＝∠IEA ＝90°，∵∠A ＝40°，∴∠FIE ＝360°﹣∠IFA ﹣∠IEA ﹣∠A ＝140°，∴∠EDF =12∠EIF ＝70°，答：∠BIC ＝110°，∠FDE ＝70°；（2）解：α＝180°﹣β，证明：由圆周角定理得：∠FIE ＝2∠FDE ，由（1）知：2∠FDE ＝180°﹣∠A ，即∠A ＝180°﹣2∠FDE ，∴∠A ＝180°﹣∠EIF ，由（1）知：2∠FDE ＝180°﹣∠A ，∴∠A ＝180°﹣2∠FDE ＝180°﹣2β，∠BIC ＝180°﹣（∠IBC +∠ICB ）＝180°−12（∠ABC +∠ACB ）＝180°−1（180°﹣∠A）2∠A，＝90°+12（180°﹣2β），∴∠BIC＝α＝90°+12即α＝180°﹣β．【变式2-3】（2022秋•邗江区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点M是△ABC内一点，连接BM交AD于点N，已知∠AMB＝108°，若点M是△CAN的内心，则∠BAC的度数为（ ）A．36°B．48°C．60°D．72°【分析】过点M作ME⊥AD于点E，根据已知条件可得△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，证明ME∥BC，可得∠NME＝∠NBD，由点M是△CAN的内心，可得点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，所以∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∠ENM＝∠CNM＝2y，然后利用∠AMB＝108°，列出方程组y−x=18°2y+x=72°，求解即可得结论．【解答】解：如图，过点M作ME⊥AD于点E，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，∴NB＝NC，∠BAD＝∠CAD，∴∠NBD＝∠NCD，∵ME⊥AD，AD⊥BC，∴ME∥BC，∴∠NME＝∠NBD，∵点M是△CAN的内心，∴点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上，∴∠NAM＝∠CAM，∠ANM＝∠CNM，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，∴∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∴∠ENM＝∠CNM＝∠NBC+∠NCB＝2y，∵∠AMB＝108°，∴∠AME＝∠AMB﹣∠EMN＝108°﹣y，在△AEM中，∠EAM+∠AME＝90°，∴x+108°﹣y＝90°，∴y﹣x＝18°，在△ANM中，∠NAM+∠ANM＝180°﹣108°，∴x+2y＝72°，y−x=18°2y+x=72°，解得x=12°y=30°，∴∠BAC＝4x＝48°．故选：B．【题型3 三角形内切圆中求面积】【例3】（2022秋•黄冈期中）如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E 为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．【分析】设AF＝x，由切线长定理可得EF＝AF＝x，则FD＝1﹣x，CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x，利用勾股定理建立方程求出x的值，再根据三角形的面积公式即可求出问题的答案．【解答】解：设AF＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∴DA⊥AB，∴AD是圆的切线，∵CF是⊙O的切线，E为切点，∴EF＝AF＝x，∴FD＝1﹣x，∵CB⊥AB，∴CB为⊙O的切线，∴CB＝CE，∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，即（1+x）2＝1+（1﹣x）2，解得x=14，∴DF＝1﹣x=34，∴S△CDF =12×1×34=38．【变式3-1】（2022•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E是△ABC的内心，OE⊥EB．若AE＝ABE的面积为（ ）A ．B ．2CD ．1【分析】延长BE 交⊙O 于点F ，连接AF ，OF ，根据AB 是⊙O 的直径，可得∠AFB ＝∠C ＝90°，证明△FEA 是等腰直角三角形，可得AF ＝EF ＝2，根据垂径定理可得EF ＝BE ＝2，进而可得△ABE 的面积．【解答】解：如图，延长BE 交⊙O 于点F ，连接AF ，OF ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB ＝∠C ＝90°，∴∠CAB +∠CBA ＝90°，∵E 是△ABC 的内心，∴∠EAB =12∠CAB ，∠EBA =12∠CBA ，∴∠EAB +∠EBA =12（∠CAB +∠CBA ）＝45°，∴∠FEA ＝45°，∴△FEA 是等腰直角三角形，∴AE ==，∵AE ＝∴AF ＝EF ＝2，∵OE ⊥EB ，∴EF ＝BE ＝2，∴△ABE 的面积为：12BE •AF =12×2×2＝2．故选：B ．【变式3-2】（2022春•海曙区校级期中）如图，花边带上正三角形的内切圆半径为1cm ．如果这条花边带有100个圆和100个正三角形，则这条花边的面积为（ ）A ．150πB ．C ．D ．200【分析】画出图形，连接AD ，OB ，则AD 过O ，求出∠OBD ＝30°，求出OB ，根据勾股定理求出BD ，同法求出CD ，求出BC 的长后求得一个三角形的面积即可求得花边的面积．【解答】解：从中选择一个等边三角形和其内接圆如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，⊙O 切AB 于F ，切AC 于E ，切BC 于D ，连接AD ，OB ，则AD 过O （因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上，也在底边的垂直平分线上），∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴∠OBC =12∠ABC ＝30°，∵⊙O 切BC 于D ，∴∠ODB ＝90°，∵OD ＝1，∴OB ＝2，由勾股定理得：BD ==∴BC ＝∴S △ABC =12BC •AD =12××3＝∴这条花边的面积＝100S △ABC ＝故选：C ．【变式3-3】（2022•齐齐哈尔一模）如图，正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）cm2A．12B．24C．8D．6【分析】由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC；设EF＝EC＝xcm．则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面积．【解答】解：∵AE与圆O切于点F，显然根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC，设EF＝EC＝xcm，则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，在三角形ADE中由勾股定理得：（4﹣x）2+42＝（4+x）2，∴x＝1cm，∴CE＝1cm，∴DE＝4﹣1＝3cm，＝AD•DE÷2＝3×4÷2＝6cm2．∴S△ADE故选：D．【题型4 三角形内切圆中求线段长度】【例4】（2022秋•乌兰察布期末）如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB ＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF的长．【分析】由切线长定理，可知：AF ＝AD ，CF ＝CE ，BE ＝BD ，用未知数设AD 的长，然后表示出BD 、CF 的长，即可表示出BE 、CE 的长，根据BE +CE ＝7，可求出AD 的长进而求出BE 、CF 的长．【解答】解：假设AD ＝x ，∵⊙O 分别切△ABC 的三条边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ；∴根据切线长定理得出AD ＝AF ，BD ＝BE ，EC ＝FC ，∴AF ＝x ，∵AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，∴BE ＝BD ＝AB ﹣AD ＝5﹣x ，FC ＝EC ＝AC ﹣AF ＝6﹣x ，∴BC ＝BE +EC ＝5﹣x +6﹣x ＝7，解得：x ＝2，∴AD ＝2，BE ＝BD ＝5﹣2＝3，CF ＝AC ﹣AF ＝6﹣2＝4．【变式4-1】（2022秋•崇川区月考）如图，已知△ABC 的内切圆O 与三边分别切于D 、E 、F ，∠A ＝60°，CB ＝6cm ，△ABC 的周长为16cm ，则DF 的长等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm【分析】利用三角形内切圆的性质以及切线长定理得出BD ＝BE ，CE ＝CF ，AD ＝AF ，进而得出△ADF 是等边三角形，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC 的内切圆O 与三边分别切于D 、E 、F ，CB ＝6cm ，△ABC 的周长为16cm ，∴BD ＝BE ，CE ＝CF ，AD ＝AF ，∵BE +EC ＝BD +FC ＝6，∴AD ＝AF =12（AB +AC +BC ﹣BC ﹣BD ﹣CF ）=12（16﹣6﹣6）＝2，∵∠A ＝60°，∴△ADF 是等边三角形，∴DF ＝2．故选：A ．【变式4-2】（2022秋•龙凤区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，⊙O 是△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD的长度是 ．【分析】如图连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是r，由勾股定理求出AB＝5，根据△ABC的内切圆，得到OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，推出四边形CFOE是正方形，得到CE＝CF＝OF＝OE，根据3﹣r+4﹣r＝5求出r、AQ、OQ的长求出AD、DQ的长【解答】解：如图连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是r，由勾股定理得：AB=5，∵⊙O是三角形ABC的内切圆，∴OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，AE＝AQ，BF＝BQ，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠CFO＝∠CEO＝90°，∴四边形CFOE是正方形，∴CE＝CF＝OF＝OE，∴3﹣r+4﹣r＝5，r＝1，AQ＝AE＝3﹣1＝2，OQ＝1，∵D是AB的中点，，∴AD=52，∴DQ＝AD﹣AQ=12∴OD2＝OQ2+DQ2，∴OD=【变式4-3】（2022•永定区模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，点E、F为切点，则EF的长是 4 cm．【分析】根据矩形的性质得到AC＝20，△ABC≌△CDA，则⊙O1和⊙O2的半径相等．如图，过O1作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、P，过O2作BC，CD、AD的垂线分别交BC，CD、AD于Q，G、H，由∠B＝90°，推出四边形O1NBP是正方形，设圆的半径为r，根据切线长定理12﹣r+16﹣r＝20，解得r＝4，过O1作O1M⊥FO2于M，则O1M＝PQ＝8，QM＝BN＝4，同法可得DG＝4，根据EF＝AC﹣AE﹣CF计算即可．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，∴AC＝20，△ABC≌△CDA，则⊙O1和⊙O2的半径相等．如图，过O1作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、P，过O2作BC，CD、AD的垂线分别交BC，CD、AD于Q，G、H，∵∠B＝90°，∴四边形O1NBP是正方形，设圆的半径为r，根据切线长定理12﹣r+16﹣r＝20，解得r＝4，∴BP＝BN＝4，同法可得DG＝4，∴AN＝AE＝CG＝CF＝8，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝20﹣16＝4故答案为：4．【题型5 三角形内切圆中求半径】【例5】（2022•定安县二模）如图，在矩形ABCD中，AD＜AB，AD＝9，AB＝12，则△ACD内切圆的半径是（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】根据矩形性质和勾股定理可得AC＝15，设△ACD内切圆的圆心为O，△ACD内切圆的半径为r，连接OE，OF，OG，得四边形DFOG是正方形，然后根据切线长定理即可解决问题．【解答】解：在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC＝9，AB＝12，根据勾股定理，得AC==15，设△ACD内切圆的圆心为O，△ACD内切圆的半径为r，如图，连接OE，OF，OG，得四边形DFOG是正方形，∴DF＝DG＝r，∴AG＝AE＝AD﹣DG＝9﹣r，CF＝CE＝CD﹣DF＝AB﹣DF＝12﹣r，∵AE+CE＝AC，∴9﹣r+12﹣r＝15，解得r＝3．∴△ACD内切圆的半径是3．故选：C．【变式5-1】（2022秋•张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC 的内切圆，则⊙O的半径为（ ）A ．1BC ．2D ．【分析】根据三角形内切圆与内心的性质和三角形面积公式解答即可．【解答】解：∵∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，∴AC ==4，如图，分别连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，∵⊙O 是△ABC 内切圆，D 、E 、F 为切点，∴OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB 于D 、E 、F ，OD ＝OE ＝OF ，∴S △ABC ＝S △BOC +S △AOC +S △AOB =12BC •DO +12AC •OE +12AB •FO =12（BC +AC +AB ）•OD ，∵∠C ＝90°，∴12×AC •BC =12（BC +AC +AB ）•OD ，∴OD =3×4345=1．故选：A ．【变式5-2】（2022秋•虎丘区校级期中）若四边形ABCD 有内切圆（与四边形四边均相切），四边形面积为S ，各边长分别为a ，b ，c ，d ，则该圆的直径为（ ）A ．a b c d SB ．S a cC ．c−d S(a b)D ．2S a b c d【分析】连接OA 、OB 、OC 、OD ．由S 四边形ABCD ＝S △OAB +S △OBC +S △OCD +S △AOD ，由S 四边形ABCD =12AB •r +12BC •r +12CD •r +12AD •r =12（a +b +c +d ）•r ＝S ，即可推出r =2S a b c d ．【解答】解：如图，连接OA 、OB 、OC 、OD ．∵S 四边形ABCD ＝S △OAB +S △OBC +S △OCD +S △AOD又∵S △OAB =12AB •r ，S △OBC =12BC •r ，S △OCD =12CD •r ，S △AOD =12AD •r ，∴S 四边形ABCD =12AB •r +12BC •r +12CD •r +12AD •r =12（a +b +c +d ）•r ＝S ，∴r =2S a b c d ．故选：D ．【变式5-3】（2022秋•南丹县期末）如图，△ABC 的内切圆⊙O 分别与AB ，AC ，BC 相切于点D ，E ，F ．若∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则⊙O 的半径等于 2 ．【分析】连结OD ，OE ，OF ，设⊙O 半径为r ，根据勾股定理可得AB ＝10，证明四边形OECF 是正方形，可得CF ＝CE ＝OF ＝r ，然后根据切线长定理可得AE ＝AE ＝AC ﹣CE ＝6﹣r ，BF ＝BD ＝BC ﹣CF ＝8﹣r ，进而可以解决问题．【解答】解：如图，连结OD ，OE ，OF ，设⊙O 半径为r ，∵∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴AB ==10，∵△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，AC 分别相切于点D ，F ，E ，∴AC ⊥OE ，AB ⊥OD ，BC ⊥OE ，且OF ＝OD ＝OE ＝r ，∴四边形OECF 是正方形，∴CF ＝CE ＝OF ＝r ，∴AE ＝AE ＝AC ﹣CE ＝6﹣r ，BF ＝BD ＝BC ﹣CF ＝8﹣r ，∵AD +BD ＝AB ＝10，∴6﹣r +8﹣r ＝10，∴r ＝2．∴⊙O 的半径等于2．故答案为：2．【题型6 三角形内切圆中求最值】【例6】（2022春•长兴县月考）如图，矩形ABCD ，AD ＝6，AB ＝8，点P 为BC 边上的中点，点Q 是△ACD 的内切圆圆O 上的一个动点，点M 是CQ 的中点，则PM +1 ．【分析】由矩形性质和勾股定理可得AC ＝10，设△ADC 内切圆半径为r ，由面积法可得r ＝2，连接BQ ，易证PM 为△BCQ 的中位线，得出PM =12BQ ，当BQ 经过圆心O 时，BQ 最长，则此时PM 最大，作OE ⊥AD 与点E ，OF ⊥AB 与点F ，则BF ＝AB ﹣AF ＝8﹣2＝6，OF ＝AE ＝AD ﹣DE ＝6﹣2＝4，由勾股定理可得BO =BQ ＝BO +OQ ＝2，从而可得PM 的结果．【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠D ＝90°，CD ＝AB ＝8，∴AC ==10，设△ADC 的内切圆半径为r ，则有12r(AC +AD +DC)=12×6×8，即12r(10+6+8)=24，解得：r ＝2．连接BQ ，∵P为BC中点，M为CQ中点，∴PM为△BQC的中位线，BQ，∴PM=12当BQ经过圆心O时，BQ最长，则此时PM最大，作OE⊥AD与点E，OF⊥AB与点F，则BF＝AB﹣AF＝8﹣2＝6，OF＝AE＝AD﹣DE＝6﹣2＝4，∴BO=∴BQ＝BO+OQ＝+2，BQ=1．∴PM=12+1．【变式6-1】（2022秋•扬州月考）如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 4πcm2． ．r 【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r，则该三角形面积可表示为：12•BC•AD，利用勾股定理可得AD，易得三角形（AB+AC+BC）＝21r，利用三角形的面积公式可表示为12ABC的面积，可得r，求得圆的面积．【解答】解：如图1所示，S △ABC =12•r •（AB +BC +AC ）=12r ×42＝21r ，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，如图2，设CD ＝x ，由勾股定理得：在Rt △ABD 中，AD 2＝AB 2﹣BD 2＝400﹣（7+x ）2，在Rt △ACD 中，AD 2＝AC 2﹣x 2＝225﹣x 2，∴400﹣（7+x ）2＝225﹣x 2，解得：x ＝9，∴AD ＝12，∴S △ABC =12BC ×AD =12×7×12＝42，∴21r ＝42，∴r ＝2，该圆的最大面积为：S ＝πr 2＝π•22＝4π（cm 2），故答案为：4πcm 2．【变式6-2】（2022•温州自主招生）设等边△ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足PI ＝1，则△ABC 与△APC 的面积之比的最大值为 6 ．【分析】P 满足PI ＝1，则P 在以I 为圆心，以1位半径的圆上，当P 是⊙O 和BE 的交点时，△ACP 的面积最小，即△ABC 与△APC 的面积之比最大．此时PE ＝2﹣1＝1，则△ABC 与△APC 的面积的比值是BE 与PE 的比值，据此即可求解．【解答】解：点P 满足PI ＝1，则P 在以I 为圆心，以1位半径的圆上．作BE ⊥AC ，则BE 一定过点I ，连接AI ．∵在直角△AIE 中，∠IAE =12∠BAC =12×60°＝30°，IE ＝2，∴AI ＝2IE ＝4，∴BE ＝IE +BI ＝IE +AI ＝2+4＝6．当P是⊙I和BE的交点时，△ACP的面积最小，即△ABC与△APC的面积之比最大．此时PE＝2﹣1＝1，则△ABC与△APC的面积的比值是BEPE =61=6．故答案是：6．【变式6-3】（2022秋•滨湖区期末）已知点C是⊙O上一动点，弦AB＝6，∠ACB＝120゜．（1）如图1，若CD平分∠ACB，求证：AC+BC＝CD；（2）如图2，△ABC内切圆半径为r．①用含r的代数式表示AC+BC；②求r的最大值．【分析】（1）在CD上截取CE＝BC，由∠ACD＝∠BCD＝60°得到△BCE为等边三角形，根据圆周角定理得∠ABD＝∠ACD＝60°，则BE＝BC＝CE，∠1+∠ABE＝60°，∠ABE+∠2＝60°，所以∠1＝∠2，于是可根据“AAS”判断△ACB≌△DEB，得到AC＝DE，由此得到CD＝CE+DE＝BC+AC；（2）①作弦CD平分∠ACB，设△ABC的内心为P点，作PQ⊥AB于Q，PH⊥BC于H，PF⊥AC于F，根据内心的性质得PF＝PQ＝PH＝r，由∠ACD＝∠BCD＝60°得到∠CPF＝∠CPH＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CF，CH==，然后根据切线长定理得到AF＝AQ＝AC﹣CF＝AC，BH＝BQ＝BC﹣CH＝BC，而AB＝AQ+BQ，所以AC+BC＝6，整理得AC+BC＝6+；②由于AC+BC＝CD得到CD＝6，所以当CD为直径时，r最大；当CD为直径，根据垂径定理的推论得CD⊥AB，AM＝BM=12AB＝3，AC＝BC，可计算出CD=AC＝2CD＝+=6+，可解得r＝6﹣【解答】（1）证明：在CD上截取CE＝BC，如图1，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120゜，∴∠ACD＝∠BCD＝60°，∴△BCE为等边三角形，∠ABD＝∠ACD＝60°，∴BE＝BC＝CE，∠1+∠ABE＝60°，∠ABE+∠2＝60°，∴∠1＝∠2，在△ACB和△DEB中∠A=∠D∠1=∠2，BC=BE∴△ACB≌△DEB，∴AC＝DE，∴CD＝CE+DE＝BC+AC；（2）解：①作弦CD平分∠ACB，设△ABC的内心为P点，作PQ⊥AB于Q，PH⊥BC于H，PF⊥AC 于F，如图，则PF＝PQ＝PH＝r，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120゜，∴∠ACD＝∠BCD＝60°，∴∠CPF＝∠CPH＝30°，∴CF=，CH==，∴AF＝AQ＝AC﹣CF＝AC，BH＝BQ＝BC﹣CH＝BC，而AB＝AQ+BQ，∴AC+BC＝6，∴AC+BC＝6+；②∵AC+BC＝CD，∴CD＝6+，∴当CD为直径时，r最大，如图3，当CD为直径，∴CD⊥AB，垂足为M，AB＝3，AC＝BC，∴AM＝BM=12∵∠ACD＝60°，∴∠CAM＝30°，∴CD∴AC＝2CD＝∴+6，∴r＝6﹣即r的最大值为6﹣【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】【例7】（2022秋•滨湖区期末）设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R 和r，则R﹣r＝ 1.5 ．【分析】利用三角形的外心与内心的性质即可进行计算．【解答】解：因为直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，所以R==2.5；如图，若Rt △ABC 的边AC ＝3，BC ＝4，根据勾股定理，得AB =5，其内切圆⊙O 分别切AB 、BC 、AC 于D 、E 、F ．设OE ＝OF ＝OD ＝r ，∴S △ABC ＝S △AOB +S △BOC +S △AOC ，即12AC •BC =12AB •OD +12BC •OE +12AC •OF ，12×3×4=12×5×r +12×4×r +12×3×r ，6=12r （5+4+3），6＝6r ，∴r ＝1，则R ﹣r ＝2.5﹣1＝1.5．故答案为：1.5．【变式7-1】（2022•鞍山模拟）如图，⊙O 内切于Rt △ABC ，切点分别为D 、E 、F ，∠C ＝90°．已知∠AOC ＝120°，则∠OAC ＝ 15 °，∠B ＝ 60 °．已知AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，则△ABC 的外接圆的半径为 52 cm ，内切圆的半径为 1 cm ．【分析】由三角形内心的性质得到OC 平分∠ACB ，求得∠ACO =12∠ACB ＝45°，根据三角形的内角和得到结论；根据勾股定理得到AB ==5，于是得到结论．【解答】解：∵⊙O 内切于Rt △ABC ，∠C ＝90°，∴OC 平分∠ACB ，∴∠ACO =12∠ACB ＝45°，∵∠AOC ＝120°，∴∠OAC ＝180°﹣45°﹣120°＝15°，∵AO 平分∠BAC ，∴∠BAC ＝2∠OAC ＝30°，∴∠B ＝90°﹣30°＝60°；∵AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，∠C ＝90°，∴AB ==5，∴△ABC 的外接圆的半径为52；设内切圆的半径为r ，∴r =34−52=1，故答案为：15，60，52，1．【变式7-2】（2022•游仙区模拟）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，其周长为20，⊙I 是△ABC 的内切BIC 的外接圆直径为 ．【分析】设△BIC 的外接圆圆心为O ，连接OB ，OC ，作CD ⊥AB 于点D ，在圆O 上取点F ，连接FB ，FC ，作OE ⊥BC 于点E ，设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，根据三角形内心定义可得S △ABC =12lr =12×20×=12AB •CD ，可得bc ＝40，根据勾股定理可得BC ＝a ＝7，再根据I 是△ABC 内心，可得IB 平分∠ABC ，IC 平分∠ACB ，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得∠BOC ＝120°，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OB 的长．【解答】解：如图，设△BIC 的外接圆圆心为O ，连接OB ，OC ，作CD ⊥AB 于点D ，在圆O 上取点F ，连接FB ，FC ，作OE ⊥BC 于点E ，设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，∵∠BAC ＝60°，∴AD =12b ，CD ，∴BD ＝AB ﹣AD ＝c −12b ，∵△ABC 周长为l ＝20，△ABC 的内切圆半径为r∴S △ABC =12lr =12×20×12AB •CD ，∴=•c ，∴bc ＝40，在Rt △BDC 中，根据勾股定理，得BC 2＝BD 2+CD 2，即a 2＝（c −12b ）2+）2，整理得：a 2＝c 2+b 2﹣bc ，∵a +b +c ＝20，∴a 2＝c 2+b 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（20﹣a ）2﹣3×40，解得a ＝7，∴BC ＝a ＝7，∵I 是△ABC 内心，∴IB 平分∠ABC ，IC 平分∠ACB ，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠IBC+∠ICB＝60°，∴∠BIC＝120°，∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OE⊥BC，，∠BOE＝60°，∴BE＝CE=72÷∴OB=72【变式7-3】（2022秋•鄞州区校级月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．【分析】连接ID、IE、IF，如图，由AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，根据圆周角定理的推论和勾股定理AB＝5，连接OI，设⊙I的得到AB为△ABC的外接圆的直径，AB＝10，则外心O为AB的中点，BO=12半径为r，根据切线的性质和切线长定理得ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD＝AF，BE＝BF，易得四边形IDCE为正方形，则DC＝CE＝r，所以AD＝AC﹣DC＝8﹣r，BE＝BC﹣CE＝6﹣r，即AF＝8﹣r，BF＝6﹣r，利用AF+BF＝AB得8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，所以BF＝4，则OF＝OB﹣BF＝1，在Rt△IOF中，根据勾股定理得IO【解答】解：连接ID、IE、IF，如图，∵AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，∴AB为△ABC的外接圆的直径，AB=10，∴外心O为AB的中点，AB＝5，∴BO=12连接OI，如图，设⊙I的半径为r，∵⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，∴ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD＝AF，BE＝BF，而∠C＝90°，∴四边形IDCE为正方形，∴DC＝CE＝r，∴AD＝AC﹣DC＝8﹣r，BE＝BC﹣CE＝6﹣r，∴AF＝8﹣r，BF＝6﹣r，而AF+BF＝AB，∴8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，∴BF＝6﹣r＝4，∴OF＝OB﹣BF＝5﹣4＝1，在Rt△IOF中，IF＝2，OF＝1，∴IO=即Rt△ABC的内心I与外心O。
人教数学九年级上册-圆及有关概念人教版
专题24.2 圆及有关概念（专项练习）一、单选题1．如图所示，在⊙O 中，点A ，O ，D 以及点B ，O ，C 分别在一条直线上，则图中的弦有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条2．⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离OA ＝3cm ，则点A 与⊙O 的位置关系为( )A ．点A 在⊙O 上B ．点A 在⊙O 内C ．点A 在⊙O 外D ．无法确定3．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）A ．27倍B ．14倍C ．9倍D ．3倍4．把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm ，那么钢丝大约需要加长A ．102cmB ．104cmC ．106cmD ．108cm5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （4，3），以原点O 为圆心，5为半径作⊙O ，则（ ）A ．点A 在⊙O 上B ．点A 在⊙O 内C ．点A 在⊙O 外D ．点A 与⊙O 的位置关系无法确定6．已知，以点C 为圆心r 为半径作圆，如果点A 、点B 只有一,3,4ABC AC CB ==A个点在圆内，那么半径r 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3r >34r <<34r <≤34r ≤≤7．下列4个说法中：①直径是弦；②弦是直径；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④弧是半圆； 正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．一个圆的周长是，它的面积是（ ）10πA ．B ．C ．D ．25π5π100π10π9．矩形ABCD 中，AB ＝8，P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是BC =以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．A ．点B 、C 均在圆P 外；B ．点B 在圆P 外、点C 在圆P 内；C ．点B 在圆P 内、点C 在圆P 外；D ．点B 、C 均在圆P 内．10．若⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是A ．点A 在圆外B ．点A 在圆上C ．点A 在圆内D ．不能确定11．如图，四边形为矩形，，．点P 是线段上一动点，点M ABCD 3AB =4BC =BC 为线段上一点．，则的最小值为（ ）AP ADM BAP ∠=∠BMA ．B ．CD 52125322-12．已知：等腰直角三角形ABC 的腰长为4，点M 在斜边AB 上，点P 为该平面内一动点，且满足PC ＝2，则PM 的最小值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．D ．二、填空题13．已知的面积为．O A 25π（1）若，则点P 在________；5.5PO =（2）若，则点P 在________；4PO =（3）若_________，则点P 在上．PO =O A 14．如图，⊙M 的半径为4，圆心M 的坐标为（5，12），点P 是⊙M 上的任意一点，PA ⊥PB ，且PA 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点，若点A 、点B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为_______．15．连接圆上任意两点的线段（如图中的______）叫做弦，经过圆心的弦（如图中的_____）叫做直径．【注意】凡直径都是弦，是圆中最长的弦，但弦____是直径．16．圆上任意两点间的部分叫做________，简称___．以A 、B 为端点的弧，记作__________，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做_______．17．如图，以△ABC 的顶点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交于点，连接BC D AD ．若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC 的大小为_____度．18．点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，P P O A 4cm 9cm 则的半径是______．O A 19．如图，、是的半径，点C 在上，，，则OA OB O A O A 30AOB ∠=︒40OBC ∠=︒______．OAC ∠=︒20．我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．(2,1)A21．如图，用等分圆的方法，在半径为OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA ＝2，则四叶幸运草的周长是________．22．如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC 为直径的半圆交AB 于Rt ABC AD ，P 是上的一个动点，连接AP ，则AP 的最小值是_____．A CD23．如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折,得到△B′CP,连接B′A,则B′A 长度的最小值是________．24．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆，若要求另外三个顶点A ，B ，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的取值范围是__________．三、解答题25．如图所示，，，试证明：、、、在同一圆上．AC BC ⊥AD BD ⊥A B C D26．在平面直角坐标系中，作以原点O 为圆心，半径为4的，试确定点O A与的位置关系．()2,3(4,2),,(2)A B C ----O A 27．如图，在图中求作⊙P ，使⊙P 满足以线段MN 为弦且圆心P 到∠AOB 两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）28．如图，点C 是以AB 为直径的半圆O 内任意一点，连接AC ，BC ，点D 在AC 上，且AD ＝CD ，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．(1)在图（1）中，画出的中线AE ；ABC A (2)在图（2）中，画出的角平分线AF ．ABC A 29．已知A 为上的一点，的半径为1，所在的平面上另有一点P ．O A O A O A（1）如果P 与有怎样的位置关系？PA =O A（2）如果，那么点P 与有怎样的位置关系？PA =O A 30．如图，菱形的对角线相交于点O ，四条边的中点分别ABCD ,AC BD ,,,AB BC CD DA为．这四个点共圆吗？圆心在哪里？,,,E F G H参考答案1．B【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．解：图中的弦有AB ，BC ，CE 共三条，故选B ．【点拨】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦．2．B解：将点到圆心的距离记为d ，圆的半径记为r ,∵d =OA =3,∴d <r ，∴点A 在圆内，故选：B ．3．B【分析】设OB =x ，则OA =3x ，BC =2x ，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．解：由圆和正方形的对称性，可知：OA =OD ，OB =OC ，∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，∴设OB =x ，则OA =3x ，BC =2x ，∴圆的面积=π(3x )2=9πx 2，正方形的面积==2x 2，()2122x ∴9πx 2÷2x 2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，9142π≈故选B ．【点拨】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键．4．A解：设地球半径为：rcm ，则地球的周长为：2πrcm ，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm ，故此时钢丝围成的圆形的周长变为：2π（r+16）cm ，∴钢丝大约需要加长：2π（r+16）﹣2πr≈100（cm ）=102（cm ）．故选：A ．5．A【分析】先求出点A 到圆心O 的距离，再根据点与圆的位置依据判断可得．解：∵点A （4，3）到圆心O 的距离，5OA ==∴OA ＝r ＝5，∴点A 在⊙O 上，故选：A ．【点拨】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心r 的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内，d d r >d r =d r <也考查了勾股定理的应用．6．C【分析】由于，，当以点为圆心为半径作圆，如果点、点只有一个点在3AC =4CB =C r A B 圆内时，那么点在圆内，而点不在圆内．当点在圆内时点到点的距离小于圆的A B A A C 半径，点在圆上或圆外时点到圆心的距离应该不小于圆的半径，据此可以得到半径的B B 取值范围．解：当点在圆内时点到点的距离小于圆的半径，即：；A A C 3r >点在圆上或圆外时点到圆心的距离应该不小于圆的半径，即：；B B 4r …即．34r <…故选：．C 【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置关系的关系．7．B【分析】根据弧的分类、圆的性质逐一判断即可．解：①直径是最长的弦，故正确；②最长的弦才是直径，故错误；③过圆心的任一直线都是圆的对称轴，故正确；④半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，正确的有两个，故选B．【点拨】本题考查了对圆的认识，熟知弦的定义、弧的分类是本题的关键．8．A【分析】根据圆的周长公式，由已知的周长求出圆的半径，利用圆的面积公式即可求出所求圆的面积．解：设圆的半径为r，∵圆的周长为10π，∴2πr=10π，即r=5，则圆的面积S=πr2=25π．故选：A．【点拨】此题考查了圆的周长公式，以及圆的面积公式，根据周长求出圆的半径是解本题的关键．同时要求学生熟练掌握圆中的有关计算公式．9．C解：∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP∴AP=2，∴根据勾股定理得出，，=，∵PB=6＜r，PC=9＞r∴点B在圆P内、点C在圆P外,故选C．【点拨】点与圆的位置关系的判定，难度系数中等，此题应根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断10．C【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d ＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上；当d ＜r 时，点在圆内判断出即可．解：∵⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，∴d ＜r ，∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在圆内，故选C ．11．D【分析】证明，得出点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的园上，从而计算出答案．=90AMD ︒∠解：设AD 的中点为O ，以O 点为圆心，AO 为半径画圆∵四边形为矩形ABCD ∴+=90BAP MAD ︒∠∠∵ADM BAP∠=∠∴+=90MAD ADM ︒∠∠∴=90AMD ︒∠∴点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的园上连接OB 交圆O 与点N∵点B 为圆O 外一点∴当直线BM 过圆心O 时，BM 最短∵，222BO AB AO =+1==22AO AD ∴29413BO =+=∴BO =∵2BN BO AO =-=故选：D ．【点拨】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．12．B【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB ＝P 在以C 为圆心，PC 为半径的圆上，当点P 在斜边AB 的中线上时，PM 的值最小，于是得到结论．解：∵等腰直角三角形ABC 的腰长为4，∴斜边AB ＝∵点P 为该平面内一动点，且满足PC ＝2，∴点P 在以C 为圆心，PC 为半径的圆上，当点P 在斜边AB 的中线上时，PM 的值最小，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CM ＝AB ＝12∵PC ＝2，∴PM ＝CM ﹣CP ＝﹣2，故选：B ．【点拨】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解．13． 圆外 圆内 5【分析】（1）先求出的半径，再根据PO 的长度和圆的半径进行比较即可得；O A （2）根据PO 的长度和圆的半径进行比较即可得；（3）根据点在圆上得点到圆心的距离等于半径，即可得．解：设的半径为r ，O A ，225r ππ=，=5r （1）∵PO =5.5>5，∴点P 在圆外；（2）∵PO =4<5，∴点P 在圆内；（3）若要点P 在上，O A 则PO =r =5；故答案为：（1）圆外；（2）圆内；（3）5．【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是判断点与圆的位置关系的方法．14．18【分析】连接OP ，因为PA ⊥PB ，所以在中AB ＝2PO ，若要使AB 取得最小值，则Rt APB △PO 需取得最小值，连接OM ，交⊙M 于点P ′，当点P 位于P ′位置时，OP ′取得最小值，据此求解即可得．解：如图所示，连接OP ，∵PA ⊥PB ，∴∠APB ＝90°，∵AO ＝BO ，∴AB ＝2PO ，若要使AB 取得最小值，则PO 需取得最小值，连接OM ，交⊙M 于点P ′，当点P 位于P ′位置时，OP ′取得最小值，过点M 作MQ ⊥x 轴于点Q ，则OQ ＝5，MQ ＝12，在中，根据勾股定理，得Rt MQB A，13OM ===又∵MP ′＝4，∴OP ′＝9，∴AB ＝2OP ′＝18，故答案为：18．【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，关于圆点对称的点的坐标和勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB 取得最小值时点P 的位置．15． AC AB 不一定略16． 圆弧 弧 半圆A AB 略17．34【分析】先根据同圆的半径相等可得，再根据等腰三角形的性质可得AB BD =，然后根据三角形的外角性质即可得．70BAD BDA ∠=∠=︒解：由同圆的半径相等得：，AB BD =，11(180)(18040)7022BAD BDA B ∴∠=∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒，36C ∠=︒ ，34DAC BDA C ∴∠=∠-∠=︒故答案为：34．【点拨】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握同圆的半径相等是解题关键．18．或6.5cm 2.5cm【分析】分点在外和内两种情况分析；设的半径为，根据圆的性质列一元一P O A O A O A xcm 次方程并求解，即可得到答案．解：设的半径为O A xcm 当点在外时，根据题意得：P O A 429x +=∴2.5x cm =当点在内时，根据题意得：P O A 294x =+∴6.5x cm =故答案为：或．6.5cm 2.5cm 【点拨】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．19．25【分析】连接OC ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC =100°，求出∠AOC ，根据等腰三角形的性质计算．解：连接OC ，∵OC =OB ，∴∠OCB =∠OBC =40°，∴∠BOC =180°-40°×2=100°，∴∠AOC =100°+30°=130°，∵OC =OA ，∴∠OAC =∠OCA =25°，故答案为：25．【点拨】本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．201-【分析】连接OA ，与圆O 交于点B ，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB ，再求出OA ，结合圆O 半径可得结果.解：根据题意可得：点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，连接OA ，与圆O 交于点B ，可知：点A 和圆O 上点B 之间的连线最短，∵A （2，1），∴∵圆O 的半径为1，∴，1∴点到以原点为圆心，以1，(2,1)A 1.1【点拨】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题.21．．【分析】由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周长，求出圆的半径，由圆的周长公式即可得出结果．解：由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，∴四叶幸运草的周长＝＝；故答案为．【点拨】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸运草的周长=2个圆的周长是解题的关键．22.1-【分析】找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可．解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，=∵AE P2E=1，∴AP2.1.123．1试题分析：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：，由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．故答案为1．【点拨】1．翻折变换（折叠问题）；2．动点型；3．最值问题；4．综合题．24．.35r <<试题分析：根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A 、B 、C 中至少有一个点在圆内,点A 与点D 的距离最近，点A 应该在圆内，所以r>3，三个顶点A 、B 、C 中至少有一个点在圆外，点B 与点D 的距离最远，点B 应该在圆外，所以r<5，所以r 的取值范围是.35r <<【点拨】勾股定理；点和圆的位置关系.25．见分析【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出进而得出答AE BE CE DE ===案．解：如图，取的中点，连接，，AB E CE DE∵，，AC BC ⊥AD BD ⊥∴和为直角三角形，ABC A ABD △∴，，12CE AB AE BE ===12DE AB =∴，AE BE CE DE ===∴，，，四点都在以点为圆心，长为半径的圆上．A B C D E AE 【点拨】本题主要考查了四点共圆和直角三角形的性质，得出是AE BE CE DE ===解题的关键．26．点A 在内；点B 在外；点C 在上．O A O A O A 【分析】连接OA 、OB 、OC ，根据点的坐标，分别求出OA 、OB 、OC 的长，和⊙O 的半径4比较即可得出答案．解：连接OA 、OB 、OC ，∵，()2,3A --由勾股定理得 OA 4，=∴点A 与的位置关系是点A 在内；O A O A ∵，(4,2)B -由勾股定理得OB 4，==∴点B 与的位置关系是点B 在外；O A O A∵，(2)C -由勾股定理得OC =4，4=∴点C 与的位置关系是点C 在上．O A O A 【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理．点与圆的位置关系有三种：①当d =r 时，点在圆上；②当d >r 时，点在圆外；③当d <r 时，点在圆内．27．见分析．试题分析：先做出∠AOB 的角平分线，再求出线段MN 的垂直平分线就得到点P ．试题解析：【点拨】尺规作图角平分线和线段的垂直平分线、圆的性质．28．(1)见分析(2)见分析【分析】（1）连接CO 、BD ，CO 交BD 于点G ，连接AG 并延长交BC 于E ，线段AE 即为所求作；（2）利用（1）的中点E ，过点E 作半径OH ，连接AH 交BC 于点F ，则线段AF 即为所求作．(1)解：如图（1），线段AE 即为△ABC 的中线；；根据三角形三条中线交于一点即可证明；(2)解：如图（2），线段AF 即为△ABC 的角平分线；证明：∵OA =OH ，∴∠HAO =∠H ，∵点O 是AB 的中点，点E 是BC 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ∥AC ，∴∠CAH =∠H ，∴∠CAF =∠BAF ，∴AF 为△ABC 的角平分线．【点拨】本题考查了作图-复杂作图，三角形中位线定理，三角形三条中线交于一点，圆的半径相等，等边对等角，平行线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．29．（1）点P 在外；（2）点P 可能在外，也可能在内，还可能在上，O A O A O A O A实际上，点P 位于以A 【分析】（1）点和圆的位置关系有：①在圆外，②在圆上，③在圆内，再逐个判断即可；P （2）点和圆的位置关系有①在圆外，②在圆上，③在圆内，再逐个判断即可．P解：（1），的直径为2PA = O A 点的位置只有一种情况在圆外，∴P 即点与的位置关系是点在圆外．P O A（2）的直径为2PA = O A 点的位置有三种情况：①在圆外，②在圆上，③在圆内．∴P 即点P 可能在外，也可能在内，还可能在上，实际上，点P 位于以A 为O A O A O A【点拨】本题考查了圆的认识的应用，解题的关键是做注意多种情况的考虑，注意：点和圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内．30．共圆，圆心在点O 处【分析】根据三角形中位线的性质，证出四边形EFGH 是平行四边形，根据菱形性质证出四边形EFGH 是矩形，根据矩形性质可得E ，F ，G ，H 到矩形中心的距离相等，从而得出结论．解：点E ，F ，G ，H 四点共圆，圆心在点O 处． 理由如下：连接HE ，EF ，FG ，GH ，OH ，OE ，OF ，OG ．∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴EF 平行且等于AC , HG 平行且等于AC ，1212∴EF 平行且等于GH∴四边形EFGH 是平行四边形，////,HE GF BD ∴又∵四边形ABCD是菱形⊥∴AC BD∴∠AOB＝90°∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是矩形，∴E，F，G，H到矩形中心的距离相等∴这个矩形的四个顶点在同一个圆上，圆心即为点O．【点拨】考核知识点：点和圆的位置关系．理解矩形、菱形的判定和性质和点和圆的位置关系是解题关键．。
九年级数学人教版(上册)小专题8 二次函数与几何图形的小综合
解：在 y＝－x2－2x＋3 中，令 y＝0，得 －x2－2x＋3＝0， 解得 x＝1 或 x＝－3， ∴A(－3，0)，B(1，0)． 在 y＝－x2－2x＋3 中，当 x＝0 时，y＝3， ∴C(0，3)．
①当 AC 为平行四边形的边时，PQ∥AC，且 PQ＝AC，
如图 1，过点 P 作对称轴的垂线，垂足为 G，设 AC 交对称轴于
入，得 － n＝3k3＋，n＝0，解得kn＝＝13，. ∴直线 BC 的解析式为 y＝x＋3. 设 P(t，－t2－2t＋3)(－3<t<0)，则 K(t，t＋3)， ∴PK＝－t2－2t＋3－(t＋3)＝－t2－3t. ∴S△PBC＝S△PBK＋S△PCK＝12PK·(t＋3)＋12PK·(0－t)＝32PK＝32(－t2
－3t)．
∵S△ABC＝12AB·OC＝12×4×3＝6， ∴S 四边形 PBAC＝S△PBC＋S△ABC＝32(－t2－3t)＋6＝－32(t＋32)2＋785. ∵－32＜0， ∴当 t＝－32时，四边形 PBAC 的面积最
大，此时点 P 的坐标为(－32，145)．
类型 2 线段和、周长最值问题 3．(2021·通辽节选)如图，抛物线 y＝－x2＋2x＋3 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，动点 P 在抛物线的对称轴上，当以 P，B， C 为顶点的三角形周长最小时，求点 P 的坐标及△PBC 的周长． 解：在 y＝－x2＋2x＋3 中，令 y＝0，得－x2＋2x＋3＝0， 解得 x＝－1 或 x＝3， ∴A(3，0)，B(－1，0)． 在 y＝－x2＋2x＋3 中，令 x＝0，得 y＝3， ∴C(0，3)．
②当 AC 为平行四边形的对角线时，
如图 2，设 AC 的中点为 M， ∵A(－3，0)，C(0，3)，
2022-2023学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题02 解一元二次方程(解析版)
2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题02 解一元二次方程考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022八下·淮北期末）若实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，则（ ） A ．240b ac -> B ．240b ac -< C ．240b ac -≥ D ．240b ac -≤【答案】C【完整解答】解：∵0a b c ++=， ∴b a c =--，∴()2244b ac a c ac -=---2224a ac c ac =++-222a ac c =-+()20a c =-≥故答案为：C【思路引导】先求出b a c =--，再代入计算求解即可。
2．（2分）（2022八下·柯桥期末）方程（x －2）2= 4（x-2）（ ） A ．4 B ．－2C ．4或－6D ．6或2【答案】D【完整解答】解：移项得 （x －2）2 - 4（x —2） =0 （x-2）（x-2-4）=0 ∴x -2=0或x-6=0， 解之：x 1=2，x 2=6. 故答案为：D.【思路引导】观察方程的特点：将（x-2）看着整体，方程两边都含有公因式（x-2），因此利用因式分解法解方程.3．（2分）（2022·贵港）若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（ ）A ．0，-2 B ．0，0C ．-2，-2D ．-2，0【答案】B【完整解答】解：根据题意，∵2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，把2x =-代入220x x m ++=，则2(2)2(2)0m -+⨯-+=，解得：0m =； ∴220x x +=， ∴(2)0x x +=， ∴12x =-，0x =， ∴方程的另一个根是0x =； 故答案为：B.【思路引导】将x=-2代入方程中可得m 的值，则方程可化为x 2+2x=0，利用因式分解法可得方程的解，据此解答.4．（2分）（2022·仙桃）若关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根1x ，2x ，且()()121222217x x x x ++-=，则m =（）A ．2或6B ．2或8C ．2D ．6【答案】A【完整解答】解：∵关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根， ∴22Δ=(2)4(41)0m m m ----≥， ∴14m ≥-，∵12 x x ，是方程222410x mx m m -+--=的两个实数根， ∵21212241x x m x x m m +=⋅=--，，又()()121222217x x x x ++-=∴12122()130x x x x +--=把21212241x x m x x m m +=⋅=--，代入整理得，28120m m -+=解得，1226m m ==，故答案为：A.【思路引导】根据方程有两个实数根可得△≥0，代入求解可得m 的范围，根据根与系数的关系可得x 1+x 2=2m ，x 1x 2=m 2-4m-1，然后结合已知条件可得m 的值.5．（2分）（2022·雅安）若关于x 的一元二次方程x 2+6x+c ＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c ，则c 的值为（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．3 D ．9【答案】C【完整解答】解：x 2+6x+c ＝0， 移项得：26x x c +=-，配方得：()239x c +=-， 而（x+3）2＝2c ， 92c c ∴-=，解得：3c =， 故答案为：C.【思路引导】首先将常数项c 移至右边，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方“9”，再对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x+3)2=9-c ，结合题意可得9-c=2c ，求解可得c 的值. 6．（2分）（2022九下·泉州开学考）已知x ，y 为实数，且满足 2244x xy y -+= ，记224u x xy y =++ 的最大值为M ，最小值为m ，则 M m += （ ）.A ．403B ．6415C ．13615D ．315【答案】C【完整解答】解：∵2244x xy y -+= ， ∴2244x y xy +=+ ，∴22424u x xy y xy =++=+ ，∵()225444xy xy x y =++-()2244x y =+-≥- ，当且仅当 2x y =- ，即 x = ， y =，或 5x =， 5y =- 时，等号成立， ∴xy 的最小值为 45-， ∴22424u x xy y xy =++=+ 最小值为：125，即 125m =， ∵()223444xy xy x y =-+-()2424x y =--≤ ，当且仅当 2x y = 时，即 x =， y =，或 3x =-， 3y =- 时等号成立， ∴xy 的最大值为43， ∴22424u x xy y xy =++=+ 的最大值为203， 即 203M = ， ∴20121363515M m +=+= ， 故答案为：C.【思路引导】利用已知等式可得 22424u x xy y xy =++=+ ，根据 ()225444xy xy x y =++-=()242x y =--，根据偶次幂的非负性知当且仅当2x y =-时，xy 的最小值为 45-，即可得出 22424u x xy y xy =++=+ 最小值为125 ，即 125m = ；根据 ()223444xy xy x y =-+-()242x y =-- ，根据偶次幂的非负性当且仅当 2x y = 时， xy 的最大值为 43，即得M ，再代入计算即可.7．（2分）（2021七下·娄底期中）无论a ，b 为何值代数式a 2+b 2+6b+11﹣2a 的值总是（ ） A ．非负数 B ．0C ．正数D ．负数【答案】C【完整解答】解：原式＝（a 2﹣2a+1）+（b 2+6b+9）+1 ＝（a ﹣1）2+（b+3）2+1， ∵（a ﹣1）2≥0，（b+3）2≥0， ∴（a ﹣1）2+（b+3）2+1＞0，即原式的值总是正数. 故答案为：C.【思路引导】把含a 的放一块，配成完全平方公式，把含b 的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．8．（2分）（2020八上·越秀期末）若 a ， b ， c 是 ABC ∆ 的三边长，且2220a b c ab ac bc ++---= ，则 ABC ∆ 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．不能确定【答案】C【完整解答】解：∵2220a b c ab ac bc ++---= ， ∴2 222222220a b c ab ac bc ++---= ， ∴()222()()0a b b c c a -+-+-= ， ∴a=b=c∴这个三角形是等边三角形． 故答案为：C ．【思路引导】首先利用完全平方公式对等式进行变形，然后利用平方的非负性得出a 、b 、c 的数量关系，即可判定．9．（2分）（2019九上·涪城月考）若点 (),M m n 是抛物线 2223y x x =-+- 上的点,则 m n -的最小值是（ ） A ．0 B ．158C ．238D ．3- 【答案】C【完整解答】解：根据题意可得： 把 (),M m n 的坐标代入表达式，即：2223n m m =-+- ，∴22(223)23m n m m m m m -=--+-=-+ ，函数的最值为 244ac b a- ，所以代入得 m n - 的最小值为：238；故答案为：C.【思路引导】根据题意把 (),M m n 的坐标代入表达式，得出 2223n m m =-+- ,求 m n - 的最小值即： 22(223)23m n m m m m m -=--+-=-+ ，求出最小值即可.10．（2分）（2022·海陵模拟）已知3x ﹣y ＝3a 2﹣6a+9，x+y ＝a 2+6a ﹣10，当实数a 变化时，x 与y 的大小关系是（ ） A ．x ＞y B ．x ＝yC ．x ＜yD ．x ＞y 、x ＝y 、x ＜y 都有可能【答案】A【完整解答】解：∵3x﹣y ＝3a 2﹣6a+9，x+y ＝a 2+6a ﹣10， ∴()()()223369610x y x y a a a a --+=-+-+-，∴()()22222212192691231x y a a a a a -=-+=-++=-+，∵不论a 为何值，()22311a -+≥， ∴220x y -＞， ∴22x y ＞， ∴x y ＞． 故答案为：A ．【思路引导】先求出()()22222212192691231x y a a a a a -=-+=-++=-+，再求出220x y -＞，最后求解即可。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
典例分析
例 .（2016广西河池，26）在平面直角坐标系中, 2 y x - 2x 3 与x轴交于A,B两点（A在B的 抛物线 左侧），与y轴交于点C，顶点为D． y （1）请写出点A,C,D的坐标； D
4
（2）如图，在x轴上找一点E， 使得△CDE的周长最小， 求点E的坐标；
A
C
2
· ·O F E
二次函数压轴题
类型一 特殊四边形的存在、探究问题
类型二 图形面积数量关系及最值的存在、探究问题 类型三 线段数量关系的存在、探究问题 类型四 特殊三角形的存在、探究问题 类型五 相似/全等三角形的存在、探究问题
类型六 角度数量关系的存在、探究问题
类型三 线段数量关系的存在、探究问题
------（1）周长最小问题
.M .F
周长的最小值，以及此时点F，E
的坐标.
解：如解图，作点H关于y轴的对称点 H ，点M关于x轴的 对称点M′,连接 H M,分别交x轴、y轴于点F、E，则四边 形HEFM的最小周长为HM+HE+EF+FM=HM+ H M . ∵y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9, ∴H(2,9)∴ H (-2,9), 当x=4时,y=5,∴M(4,5), ∴M (4,-5), 设直线 H M 的表达式为y= k x+ b , 例2题解图
B
x
·C
自我检测 1.（2016贺州26）如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y 轴上，点B(10,8),沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在 BC上的E(6,8)处，抛物线 y ax bx c
2
经过O、A、E三点.
(1)求此抛物线的解析式； (2)求AD的长; (3)点P是抛物线对称轴l上的一个动点， 当△PAD的周长最小时，求点P的坐标；
课堂小结
求两线段之和最小或是求三角形周长最小问题， 可以转化为最短路径问题，通过对称性解决问 题. (1) 确定定点。 (2) 找准对称轴（一般是动点所在的直线）。 (3) 做对称点9;
作业:
大本《试题研究》: P143 第（5）题
P146 第（4）题
拓展探究 1.（2016贵阳节选）如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴 于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于 另一点B.
北海：2016.26 河池：2016.26 贺州：2016.26 梧州：2016.26 柳州：2016.26；2015.26 南宁：2013.26
知识回顾
经典故事——“将军饮马问题”
A B
河
已知：直线l和同侧两点A、B 求作：直线l上一点C满足AC+BC的值最小
l
请问：怎样走才能使总路程最短呢？
知识回顾
A
变式： 求△BMN 的周长最小为______
B
N
N
D
M
2
6
C
8
小试牛刀
(2). (2016百色)如图，正△ABC的边长 为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与 △A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′ 上一动点，则AD＋CD的最小值是( )
A. 4 B.3 3 C. 2 3 D.2+ 3
注意：找准对称轴！
(1)求二次函数的表达式；
(2)在二次函数对称轴l上找一点G， 使得G到A的距离与到C的距离之和 最小，求出点G的坐标； 例2题图
能力提高 (3)若点H为二次函数y=ax2+4x+c图 象的顶点，点M(4,m)是该二次函 数图象上一点，F，E分别为x轴， y轴上的动点，求四边形HEFM的 .H
E.
经典故事——“将军饮马问题”
（1）求直线l上一点C，使得AC+BC的值最小
（2）求直线l上一点C，使得△ABC的周长最小
B
·
· A
C
·
A· l
B
l
两定点，一动点（一条直线）
小试牛刀 巩固练习
(1)、如图，正方形ABCD边长为8，M在BC上， BM＝2，N为AC上的一动点，则BN+MN的最 小值为 10