平面解析几何双曲线共49页
高三数学一轮复习 第九篇 平面解析几何 第4节 双曲线课件 理
【重要结论】
1.双曲线 x2 - y 2 =1(a>0,b>0)中,过焦点垂直于实轴所在直线的弦长为 2b2 .
a2 b2
a
2.双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长.
3.已知双曲线 x2 - y 2 =λ(a>0,b>0,λ≠0)求其渐近线的方程只需把λ改写 a2 b2
为 0 整理即可.
夯基自测
所以点 P 的坐标是(8,±3 3 ).
答案:(8,±3 3 )
5.(2016 河北质量监测)若双曲线 x2 - y 2 =1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐 a2 b2
近线的距离等于焦距的 1 ,则该双曲线的离心率是
.
4 解:设双曲线的一个焦点为(c,0),一条渐近线为
y=
b
x,
a
| bc | 则a =
bc
= bc =b= 1 ×2c.即 c=2b.
1
b2 a2
a2 b2 c
4
所以 c=2 c2 a2 ,即有 3c2=4a2.所以 e= c = 2 3 . a3
答案: 2 3 3
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 双曲线的定义及其应用
【例 1】 (1)(2015 高考福建卷)若双曲线 E: x2 - y 2 =1 的左、右焦点分别为 9 16
(A)x2- y 2 =1 4
(B) x2 -y2=1 4
(C)x2- y 2 =1 2
(D) x2 -y2=1 2
解析:对于 A,令 x2- y 2 =0,得 y=±2x; 4
对于 B,令 x2 -y2=0,得 y=± 1 x;
4
2
对于 C,令 x2- y 2 =0,得 y=± 2 x; 2
高中数学第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一
e=
=
从而
−
2
5
,
3
5
b=4,c=3a,代入 c2=a2+b2,得 a2=9,
2
故双曲线的标准方程为
9
2
− =1.
16
2 =1(a>0,b>0),由题意知
2b=8,
(2)由题意知,所求双曲线的焦点在 x 轴上,
2
2
故可设其方程为64 − 16=λ(λ>0),
将点(2,0)的坐标代入方程得
且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”,就得到了此双曲
线的渐近线方程.
2
2
2
2.与双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为 2 −
2
2 =λ(λ≠0);若已知双曲线的渐近线方程 ± =0 或 y=±x,则双曲线方程可设为
2
k2x2-y2=λ(λ≠0)
渐近线为 ax±by=0 的双曲线
a2x2-b2y2=λ(λ≠0)
变式训练2
求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在 x 轴上,虚轴长为
5
8,离心率为3;
2
2
(2)过点(2,0),与双曲线64 − 16=1
的离心率相等.
2
解(1)设所求双曲线的标准方程为2
2
A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 1 + 2 |x1-x2|= 1 + 2 · (1 + 2 ) -41 2 或
|AB|= 1 +
1
1
2
双曲线-完整版PPT课件可编辑全文
∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
解析几何《双曲线》
解析几何【6】双曲线1、双曲线的定义（1）平面内到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （122a F F ）的点的轨迹称为双曲线，这两个定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，两个焦点的距离12F F 称为焦距．为空集．2、在x a 和x a 两条平行线的外侧，向左、右两旁无限伸展y a 和y a 两条平行线的外侧，向上、下两方无限伸展关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称1,0A a ， 2,0A a 10,A a ， 20,A a ,0F c ，,0F c 0,F c ，0,F c3、等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．焦点在x 轴上，标准方程为222x y a （0a ）；焦点在y 轴上，标准方程为222y x a （0a ）．渐近线方程为y x ．以坐标轴为渐近线的双曲线方程为xy m （0m ）．4、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线．互为共轭的两双曲线22221x y a b 和22221y x （0a ，0b ）有相同的渐近线，它们的四个焦点共圆．5、设直线kx m （0k ），双曲线22221x y a b （a 221my b，消去y 得222222220ba x a mkx a m ab ．（1）220a k ，即bk a，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．（2）若2220b a k ，即b k a， 22222222224a mk b a k a m a b ．①0 直线与双曲线相交，有两个交点；若相交于同侧（两个交点在一支上）的条件为120x x，若相交于异侧（两个交点在不同支上）的条件为120x x ．②0 直线与双曲线相切，有一个交点；注意：直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件．③0 直线与双曲线相离，无交点．【温馨点睛】1、求双曲线的标准方程的两种方法：（1）定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a 、2b 或2c ，从而求出2a 、2b ，写出双曲线方程．（2）待定系数法：先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定2a 、2b 的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为2222x y m n（0 ），根据条件求 的值．2、【例（1）（2）【同类变式】设直线l 的方程为210x By ，倾斜角为 ．（1）试将 表示为B 的函数；（2）若263，求B 的取值范围：（3）若 ,21,B ，求 的取值范围．【例（1）（2）（3）【同类变式】求适合下列条件的直线方程．（1）经过点 0,2A ，它的倾斜角的正弦值是35；（2）经过点 5,2B ，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍；（3）经过点 5,4C ，与两坐标轴围成的三角形面积为5．【考点三】直线过定点问题【例3】已知直线 :2311l a y a x ．（1）求证；无论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）直线l 是否有可能不经过第二象限？若有可能，求出a 的范围；若不可能，说明理由．【同类变式】已知直线方程为 22140m x m y ．（1）该直线是否经过定点？若经过，求出该点坐标；若不经过，说明你的理由；（2）当m 为何值时，点 3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）当m 在什么范围时，该直线与两坐标轴负半轴均相交？【例轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求ABO 的面积的最小（1）（2）【真题自测】1.现有下列四个命题：①经过定点 000,P x y 的直线都可以用方程 00y y k x x ；②经过任意两个不同的点 111,P x y 、 222,P x y 的直线都可以用方程121121x x y y y y x x 表示；③不经过原点的直线都可以用方程1x ya b表示：④经过定点 0,A b 的直线都可以用方程y kx b 表示．其中真命题的个数是（）.A 0；.B 1；.C 2；.D 3．2..A .B .C .D3.直线:tan105l x y 的倾斜角．4.已知点 2,3A 、 1,4B ，则直线AB 的点法式方程为．5.已知点 3,4A 、 2,2B ，直线20mx y m 与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是．6.1212x y y ．k ，0k。
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第2章 平面解析几何 2.6.2 双曲线的几何性质
故 e2-2e-1<0,解得-√2+1<e<√2+1.
又 e∈(1,+∞),故双曲线的离心率 e∈(1,√2+1).
答案:(1,√2+1)
随堂练习
1.双曲线y2-2x2=1的渐近线方程为(
A.y=±2x
B.y=±√2x
1
C.y=± x
2
√2
D.y=± x
2
答案:B
)
2.在平面直角坐标系
2
=1.
49
7
b= 或
2
3
b= (舍去).
2
解析几何中的面积、距离、范围等问题,往往可以转化为函数问题求解,这
样能使解题思路更清晰.
【变式训练】
2
已知双曲线 2
2
− 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在一点
的取值范围是
.
sin∠ 1 2
(2)双曲线在无穷远处可与渐近线相交.( × )
(3)双曲线的实轴比虚轴长.( × )
(4)双曲线的离心率e的取值范围为(0,1).( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
双曲线的几何性质
【例1】 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、
离心率和渐近线方程.
解:将 9y2-4x2=-36
2
解:设双曲线的方程为 2
2
− 2 =1(a>0,b>0).因为离心率
2 2
所以双曲线的方程为 -x =b2.设
4
意,|PQ|=
2
中职数学双曲线
第7页，共60页
基础过关 1 2 3 4 5 6
2．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离心
率为( B )
A． 2
2
B． 2
C． 3
D．2
【提示】 根据等轴双曲线的特点．
第8页，共60页
基础过关 1 2 3 4 5 6
3．双曲线
x2
y2 =1
的渐近线方程为(
9 25
C
)
A．y＝±3 x
y2 x2
(或 a2 b2 ＝0)
质 焦距 |F1F2|＝____2_c___，c2＝a2＋b2，c>b>0，
c>a>0
第4页，共60页
知识要点
项目
几
轴
何
性
质 离心率
内容 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；实
轴长：|A1A2|＝____2_a___；虚轴长：|B1B2| ＝____2_b___ e＝____ac____(e>1)，e越大，双曲线开口
16 20
第19页，共60页
典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【变式训练2】 (1)虚半轴长为6，且其中一个焦点坐标为(－10，0)的双曲
x2 y2
线的标准方程为_6_4__3_6__=_1； 【提示】 ∵b＝6，c＝10，∴a＝8.
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典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【变式训练2】 (_2_)_实x4_2_轴__y5长2_=_为1_或_4_，y_42_离__x心5_2 _=率_1_为__32__的. 双曲线的标准方程为
【提示】 ∵2a＝4，a＝2，e＝c 3 , ∴c＝3，∴b2＝c2－a2＝5.∵
2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何9-7双曲线课件文
[答案] 2
3．(2015·北京卷)已知(2,0)是双曲线 x2－by22＝1(b>0)的一个焦 点，则 b＝________.
[解析] 因为(2,0)是双曲线 x2－by22＝1(b>0)的一个焦点，所以 1＋b2＝4，则 b＝ 3.
[答案] A
5．已知 F1、F2 是双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两个焦
点，P 是 C 上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2 最小内角的
大小为 30°，则双曲线 C 的渐近线方程是( )
A. 2x±y＝0
B．x± 2y＝0
C．x±2y＝0
D．2x±y＝0
[解析] 由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据双曲线的定义得， |PF1|－|PF2|＝2a， 又|PF1|＋|PF2|＝6a， 解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. 在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c，而 c>a，所以|PF2|<|F1F2|，
[小题速练] 1．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线ax22－y92＝1(a>0)的一条渐近线方程 为 y＝35x，则 a＝________.
[解析] 因为双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y ＝±bax，所以 a＝5.
[答案] 5
2．(2017·北京卷)若双曲线 x2－ym2＝1 的离心率为 3，则实数 m＝________.
提示：a＝8，b＝6，c＝10，所以||PF1|－|PF2||＝16，又|PF1| ＝17，所以|PF2|＝1 或|PF2|＝33，又 c－a＝2>1，所以|PF2|＝33.
高考数学一轮总复习第八章平面解析几何 6双曲线课件
9
且 = 5，则△ 1 2 的面积为___.
解：由双曲线定义,知 1 − 2
= 5 =
1
2
= 2 = 8， 1 2 = 2 = 10.因为
1 2 ，所以点在以1 2 为直径的圆上，即△ 1 2 是以为直角顶点的
直角三角形.故 1
又 1 − 2
22
（3）通径长为 .
（4）为双曲线上一点，则 ≥ ， 1 ≥ − ，△ 1 2 的面积为
=
2
⋅
sin
1−cos
=
2
tan 2
= ∠1 2 .
（5）设,,是双曲线上的三个不同点,其中,两点关于原点对称,直线,的
2
斜率存在且不为0,则直线与的斜率之积为 2 （适用于焦点在轴上时）.
将直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为 2 + + = 0的形式，
在 ≠ 0的情况下考查方程的判别式.
两个
（1）Δ > 0时，直线与双曲线有______不同的公共点.
一个
（2）Δ = 0时，直线与双曲线有______公共点.
没有
（3）Δ < 0时，直线与双曲线______公共点.
D.15
= 6,而 1 = 7,解得 2 = 13或1.
（3）经过点 4,1
2
2
− =1
15
15
，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为___________.
2
解：设双曲线的方程为 2
把点 4,1 代入，得2 =
2
故所求方程为
15
2
−
15
=
2
− 2
2023版高考数学一轮总复习第七章平面解析几何第六讲双曲线课件
【变式训练】 1.过双曲线 x2－y42＝1 的左焦点 F1 作一条直线 l 交双曲 线左支于 P，Q 两点，若|PQ|＝4，F2 是双曲线的右焦点， 则△PF2Q 的周长是________.
解析：由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2. ∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝4，∴|PF2|＋|QF2|－4＝4， ∴|PF2|＋|QF2|＝8.∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ| ＝8＋4＝12.
3.通过圆锥曲线与方程的学习，曲线的要求比椭圆要低.以
进一步体会数形结合的思想 选择题、填空题为主
1.双曲线的概念 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于非 零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做
双曲线的焦距.
集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}，|F1F2|＝ 2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0.
B.x2－y32＝1
C.5x2－3y2＝1
D.x22－y62＝1
答案：B
考点一 双曲线的定义
[例 1](1)(2020 年浙江)已知点 O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0). 设点 P 满足|PA|－|PB|＝2，且 P 为函数 y＝3 4－x2图象上 的点，则|OP|＝( )
22 A. 2
质 对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
(续表)
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0) ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
顶点
性 渐近线 质
离心率
A1(－a,0)，A2(a,0) y＝±bax
新教材高中数学第二章平面解析几何6双曲线及其方程2双曲线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一册
=4
2
2
，此时双曲线的方程为 − = 1；
16
8
=2 2
2
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为 2
2
− 2
= 1(＞0, ＞0)，
由ቐ
=
2
2 ，解得ቊ
2 = 8
=4
2
2
，此时双曲线的方程为， − = 1.
16
32
=4 2
2
所以双曲线的方程为
16
−
2
8
2 = .
2
所以所求双曲线的方程为
9
−
2
=
2
1①或
9
2
−
= 1②.
把(3,9 2)代入①，得 = −161，与＞0矛盾，舍去；
把(3,9 2)代入②，得 =
2
9，故所求双曲线的方程为
81
2
−
9
= 1.
解题感悟
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法.
（1）当焦点位置明确时，直接设出双曲线的标准方程即可；当焦点位置不
4
− 2 = 1
−
2
3
=1
[解析] 由题意可知双曲线C的渐近线方程为 ± = 0， = 2，
将 = 2代入双曲线方程，可得 =
则点到两条渐近线的距离之和为
2
2
± ，则(2, ± )，
2+2
2 +2
∵ 2 + 2 = 4，∴ = 3， = 1，
因此双曲线的方程为 2
3 4 ，
∴ 162 2 − 164 = 3 4 ，即3e4 − 16e2 + 16 = 0，
高中数学解析几何ppt课件《双曲线》
C.x22－1y42 ＝1
D.x22－1y42 ＝1 或 x＝0
解析：选D.当⊙M与⊙C1，⊙C2同时内切、外切时，M点在y 轴上，∴x＝0.当⊙M与⊙C1内切、与⊙C2外切时有|MC2|－|MC1| ＝2 2＜8，M为双曲线2a＝2 2，a＝ 2.
当⊙M与⊙C1外切，与⊙C2内切时有|MC1|－|MC2|＝2 2 ＜ 8,2a＝2 2，即M轨迹为双曲线．b2＝c2－a2＝16－2＝14，故轨迹 方程为x22－1y42 ＝1或x＝0，故选D.
图形 一般方程
mx2＋ny2＝1(mn＜0)
几 范围 何 焦点 性 顶点 质 对称性
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
关于x轴、y轴对称，关于原点对称
实、虚 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
思考 3：当 2a＝|F1F2|时，轨迹是什么曲线？ 提示 3：当 2a＝|F1F2|时，轨迹为分别以 F1、F2 为端点的两条 射线． 思考 4：当 2a＞|F1F2|时，动点轨迹是什么？ 提示 4：当 2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在．
知识点2 双曲线的标准方程及性质 标准方程 ax22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
2．(知识点2)双曲线x32－y22＝1的焦距为( C )
⇐ 源自选修2－1 P78定义
A．3 2
B． 5
C．2 5
D．4 5
3．(知识点2)已知双曲线C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的一条渐
近线方程为y＝
高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第六节双曲线课件
cm,则|AD|=(
A.12 10 cm
B.6 38 cm
C.38 cm
D.6 37 cm
)
答案 (1)B
(2)D
解析(1)由题可知 a2=3-m,b2=m,所以 c= 3.
1
因为|OP|=2|F1F2|,所以
PF1⊥PF2.
又∠PF1F2=30°,所以|PF1|=3,|PF2|= 3,
所以由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=3- 3=2 3-,解得
3 3
m= 2 .故选
B.
(2)以双曲线的对称中心为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.
因为双曲线的离心率为2,
2
所以可设双曲线的方程为 2
依题意可得 2a=30,则
−
2
=1(a>0).
2
3
2
a=15,即双曲线的方程为152
因为|AB|=36 cm,所以 A 的纵坐标为 18.
1 2
)
2.(多选)已知双曲线
2
C:12
−
A.实轴长是虚轴长的 2 倍
B.焦距为 8
C.离心率为 3
D.渐近线方程为 x± 3y=0
2
=1,下列对双曲线
4
C 的判断正确的是(
)
答案 BD
解析 由双曲线
2
C:12
−
2
=1,可得
4
a2=12,b2=4,则 c2=a2+b2=16,
所以 a=2 3,b=2,c=4.所以选项 A 不正确,选项 B 正确;
当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在;
当2a=0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.