矩阵的基本运算
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——A可左乘B的可相乘条件.
例如
1 3 5
2 2 8
3 1 9
1 6
6 0
8 不存在. 1
乘积AB 维的关系
A
mn
B
n s
=
C ms
注 两个矩阵相乘, 乘积有可能是一个数.
1
2
3
3 2
1 3
22
3 1
10.
1
练习 计算下列矩阵的乘积，并观察结果.
1
1 2 1 4 1 2 1 4
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
注 只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算.
10 3 5 1 8 9 10 1 3 8 5 9 11 11 4
1
3
9 3
0
6
8 3
5 2
4
1
1 3
6 3
9 5 3 2
0
4
EA=AE=A
证明
设 A
aij
为任意n阶矩阵,则有
nn
1
EA
1
a11 a12
a21
a22
1
an1
an2
a1n
a2n
aij
A
nn
ann
a11 a12
AE
a21
a22
an1 an2
a1n 1
a2n
1
ann
aij
A
nn
1
注 此例表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位与数1在 数的乘法中的地位相当. 即
s
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj k 1
(i 1, 2, m; j 1, 2, , n)
把此乘积记作 C AB
例如
C 2 1
4 2
222 3
4
16
?
32
622 8 16 22
1 0
例
若
A
1
1
0 5
求AB.
1 3 1
Em Amn Amn En
注 矩阵乘法不满足消去律，即
AB AC, A 0 不能推出 B C
例如
设A
1
1
1
,
B
结论 在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序 “左乘” & “右乘”
但也有例外，比如设 A 2 0, B 1 1,
0 2
1 1
则有 AB
2 2
2,
2
BA
22 22
AB
BA.
定义 满足AB=BA的矩阵称为可交换的.
结论 两个同阶对角矩阵是可交换的.
结论 n阶单位矩阵与任意n阶矩阵是可交换的.即
a2
b1
b2
an nn
bn nn
a1b1
a2b2
anbn nn
结论 两个n 阶对角阵之积仍为n 阶对角阵.
结论 两个n阶上（下）三角阵之积仍为n阶上（下）三角阵.
❖矩阵乘法的运算规律 (1) 结合律: ( AB)C A(BC)
(2) 分配律: A(B＋C) AB AC (左乘分配律) (B＋C)A BA CA(右乘分配律)
的元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
则称矩阵A与矩阵B相等，记作 A B
❖矩阵的加法
设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij) 矩阵A与B的和记 为AB 规定为AB(aijbij ) 即
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
(2) ()A ( A);
(3) ( )A A A;
(4) ( A B) A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.
❖矩阵乘法
设 A (aij )是一个m×s矩阵,
B (bij ), 是一个s×n矩阵, 那么规定矩阵A与矩阵B的
乘积是一个m×n 矩阵 C (cij ), 其中
nan1
1a12 2a22
nan2
1a1s
2a2s
nans
ns
a1s
a2s
ans ns
a11 a12
a21
a22
an1 an2
a1n
a2
n
1
2
ann nn
1a11
1a21
1an1
2a12 2a22
2an2
na1n
na2n
nann
nn
n
nn
a1
§2.2 矩阵的基本运算
1、运算定义&运算规则 2、矩阵应用举例
1、运算定义&运算规则
同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
例如
1 5
62 与 184
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且对应
(3) (AB)( A)B A(B) (其中为常数)
(4) AE EA A
注 矩阵乘法不满足交换律,即 AB BA
例如
设
A
1
1
,
B
1
1
1 1
1 1
两个非零矩阵的 乘积可能是零矩阵
则
AB
0
0
BA
2
2
AB BA
0 0
2 2
问题 矩阵不满足交换律，可能有哪几种情形？ (1)AB有意义，但BA没意义； (2)AB与BA都有意义，但可能不是同阶方阵； (3)两者都有意义，且为同阶方阵，但仍有可能不相等.
3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 1 0 1
4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 3 3
3
❖矩阵的数乘
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
❖矩阵数乘的运算规律
(1) 1A A;
2
0
4
0
B
1
3
1
3 2 1 2
4
1
1
1
解
因
A
aij
,B
34
bij
,故 C
43
cij
.
33
1 C AB 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1 1
5 6 7
10 2 6.
2 17 10
注 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行 数时，两个矩阵才能相乘.
7
8 1 6
4 4 1 9
❖矩阵加法的运算规律 设A B C都是mn矩阵 则 (1) ABBA (2) (AB)CA(BC)
设矩阵A(aij) 记A(aij) A称为矩阵A的负矩阵； 另，把元全为零的矩阵称为零矩阵，记作O；
(3) A= A+O = O+A
由此，规定矩阵的减法为ABA(B)，例如
1
5
8
0
2
5
8
0
2
1 33 10 1 3 7 34 10 1 3 7 34
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2 8
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a11 a12
a21
a22
n
nn
an1
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例如
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8 不存在. 1
乘积AB 维的关系
A
mn
B
n s
=
C ms
注 两个矩阵相乘, 乘积有可能是一个数.
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3 2
1 3
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10.
1
练习 计算下列矩阵的乘积，并观察结果.
1
1 2 1 4 1 2 1 4
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
注 只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算.
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EA=AE=A
证明
设 A
aij
为任意n阶矩阵,则有
nn
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EA
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a1n 1
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1
ann
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A
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注 此例表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位与数1在 数的乘法中的地位相当. 即
s
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj k 1
(i 1, 2, m; j 1, 2, , n)
把此乘积记作 C AB
例如
C 2 1
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例
若
A
1
1
0 5
求AB.
1 3 1
Em Amn Amn En
注 矩阵乘法不满足消去律，即
AB AC, A 0 不能推出 B C
例如
设A
1
1
1
,
B
结论 在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序 “左乘” & “右乘”
但也有例外，比如设 A 2 0, B 1 1,
0 2
1 1
则有 AB
2 2
2,
2
BA
22 22
AB
BA.
定义 满足AB=BA的矩阵称为可交换的.
结论 两个同阶对角矩阵是可交换的.
结论 n阶单位矩阵与任意n阶矩阵是可交换的.即
a2
b1
b2
an nn
bn nn
a1b1
a2b2
anbn nn
结论 两个n 阶对角阵之积仍为n 阶对角阵.
结论 两个n阶上（下）三角阵之积仍为n阶上（下）三角阵.
❖矩阵乘法的运算规律 (1) 结合律: ( AB)C A(BC)
(2) 分配律: A(B＋C) AB AC (左乘分配律) (B＋C)A BA CA(右乘分配律)
的元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
则称矩阵A与矩阵B相等，记作 A B
❖矩阵的加法
设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij) 矩阵A与B的和记 为AB 规定为AB(aijbij ) 即
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
(2) ()A ( A);
(3) ( )A A A;
(4) ( A B) A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.
❖矩阵乘法
设 A (aij )是一个m×s矩阵,
B (bij ), 是一个s×n矩阵, 那么规定矩阵A与矩阵B的
乘积是一个m×n 矩阵 C (cij ), 其中
nan1
1a12 2a22
nan2
1a1s
2a2s
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§2.2 矩阵的基本运算
1、运算定义&运算规则 2、矩阵应用举例
1、运算定义&运算规则
同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
例如
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62 与 184
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为同型矩阵.
3 7 3 9
2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且对应
(3) (AB)( A)B A(B) (其中为常数)
(4) AE EA A
注 矩阵乘法不满足交换律,即 AB BA
例如
设
A
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,
B
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两个非零矩阵的 乘积可能是零矩阵
则
AB
0
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BA
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AB BA
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问题 矩阵不满足交换律，可能有哪几种情形？ (1)AB有意义，但BA没意义； (2)AB与BA都有意义，但可能不是同阶方阵； (3)两者都有意义，且为同阶方阵，但仍有可能不相等.
3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 1 0 1
4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 3 3
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❖矩阵的数乘
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11
A
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.
am1 am1 amn
❖矩阵数乘的运算规律
(1) 1A A;
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B
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解
因
A
aij
,B
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,故 C
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1 C AB 1
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0 1 5
1 3 1
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5 6 7
10 2 6.
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注 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行 数时，两个矩阵才能相乘.
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❖矩阵加法的运算规律 设A B C都是mn矩阵 则 (1) ABBA (2) (AB)CA(BC)
设矩阵A(aij) 记A(aij) A称为矩阵A的负矩阵； 另，把元全为零的矩阵称为零矩阵，记作O；
(3) A= A+O = O+A
由此，规定矩阵的减法为ABA(B)，例如
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