Allan方差

4A t 4A N = ∫ ∆vdt = ∫0 Ωdt = λL θ = Kθ 0 λL
t
1.3 光纤陀螺
探测器
分束器
设光纤线圈的匝 数为 N ，两束光之 间的相位差为
SLD
8πA Φs = Ω ⋅ N = KΩ λc
通过相位解调提取 Φ s ，即可 利用上式求出转速 Ω 。 光纤陀螺原理图
光纤线圈
Ω
1.4 IEEE标准模型与性能参数
由IEEE标准给出的光学陀螺输入输出模型为
S 0 (∆N / ∆t ) = [ I + E + D][1 + 10 ε K ]
−6
−1
" 式中：S 0 为标称的标度因子，单位： /P（角秒/脉冲数）；
P ∆N / ∆t为输出脉冲速率，单位： / s（脉冲数/秒）；
（2）基于角度测量值的Allan方差 光学陀螺直接输出的实际上是角度测量值
θ (t ) = ∫ ω (t ′)dt ′
t
角度测量值是在离散时刻 t k = kτ 0 (k = 1,2, L , N ) 上进 行的，简记为 θ k = θ (kτ 0 ) 。时刻 t k 与 t k + τ 间的平均角 速率为
2.5 Allan方差算法的程序设计
（1）测试数据说明 测试数据名称：datfile.txt 采样时间： cT=1s
数据格式（包含4列测试数据）： 前三列为x、y、z三轴输出数据，量纲为弧度； 第四列为测试时间，量纲为秒。
（2）Matlab程序 第一步：调入测试数据 clear; dat=load('datfile.txt'); cT=1; %三轴测试数据 %采样时间，单位：秒 %将弧度转化为角秒
datx=datfile(:,1)*3600*180/pi; daty=datfile(:,2)*3600*180/pi; datz=datfile(:,3)*3600*180/pi;
第二步：角增量累加过程 y11=datx; TT=0; y10=0; for %求取X轴的Allan方差 %时间 %存放累加后的角增量
θ k + m−θ k ωk (τ ) = τ
τ 式中， = mτ 0 。
则由角度测量值定义的Allan方差为
2 σA
1 (τ ) = (ωk +1 (m ) − ωk (m ))2 2 N − 2m 1 (θ k + 2m − 2θ k + m + θ k )2 = 2 ∑ 2τ ( N − 2m ) k =1
14 244 144 2444 4 3 4 3
k =1 k =2
1444 24444 4 3
k =K
每一组的持续时间 τ M = Mτ 0 称为相关时间，计算每 一组的平均值
1 ω k (M ) = M
Allan方差定义为
2 σA
∑ ω(k −1)M + i
i =1
M
k = 1,2,L, K
1 (τ M ) ≡ (ωk +1 (M ) − ωk (M ))2 2 K −1 1 (ωk +1 (M ) − ωk (M ))2 = ∑ 2(K − 1) k =1
速率斜坡 σ (τ ) - τ 双对数图
（6）指数相关噪声 指数相关噪声，即马尔柯夫过程，用具有有限相关时间的 指数衰减函数描述，其可能噪声源是随机机械抖动。因为抖 动机构的谐振特性，使得不允许所有的频率等幅作用在陀螺 体上。 马尔柯夫过程的 相关时间为 Tc 。 当 τ >> Tc ，有
σ
2 M
M2
有源谐振腔激光陀螺原理图
旋转能使与 Ω 反向的光波的谐振频率 v −大于与同向的光 波的谐振频率 v +，而且其频差与转动角速度成正比
4A ∆v = v − v = Ω Lλ
− + 实际应用中激光陀螺的测速原理： 用电子线路将每个振荡周期变成一个脉冲，通过检测脉冲 数可以求出转角，进而求出转动角速度。
σ
2 rrw
K τ (τ ) = 3
2
角速率随机游走 σ (τ ) - τ 双对数图
（5）速率斜坡 速率斜坡本质上是一种确定性误差，而不是随机噪声。它 的出现，可能是由于光学陀螺光强在长时间内有非常缓慢的 单调变化，并持续很长时间，表现为光学陀螺的真实输入
ω( t ) = Rt
Allan方差为
R 2τ 2 2 σ rr (τ ) = 2
Q=
π × 10 6 × A−2
3600 × 180 × 3
µrad
A−1 deg / h N= 60 A0 deg / h B= 0.6643
K = 60 3 A1 (deg / h ) / h
R = 3600 2 A2 deg / h / h
2.4 Allan方差的估计精度
为了估计的准确，陀螺仪输出数据的样本必须足够长。当 样本长度比较短时，Allan方差的可信度低，从而导致误差 系数估计的可信度不高。 在实际中，Allan方差的估计是基于有限长度数据，估计 精度依赖于独立数组的数量。设共有 N 个数据点，将其分成 长度为 M 个数据点的数组，则Allan方差估计的百分比误差 为
% error =
1 ⎛N ⎞ 2⎜ −1⎟ ⎝M ⎠
例如，要证明某种随机过程的存在，在数据中其特性周 期为24小时，要求其误差小于25%。 首先设
% error = 0.25
得到
M max = N 9
由于认为特征时间为24小时，故需产生相同长度的数据 组。由此，为满足要求所需的测试总长度应为
24 × 9 = 216 小时
2 σ A (τ ) = 4 ∫0 ∞
sin 4 (πfτ ) Sω ( f ) df 2 (πfτ )
上式说明：当通过一个传递函数为 sin 4 (πfτ ) (πfτ )2 的滤 波器时，Allan方差与陀螺仪输出的噪声总能量成正比。 由此，Allan方差提供了一种方法，能够识别并量化存在 于数据中的不同噪声项。
" I 为输入角速度，单位：/ s（角秒/秒）； " E 为环境敏感误差，主要由温度变化引起，单位： / s " D 为漂移误差，单位： / s ；
；
ppm ε k 为标度因子误差，单位： 。
表征光学陀螺的主要性能指标有: 标度因数： 陀螺仪输出量与输入角速度的比值，通常取（脉冲 数/角秒）的量纲。 零 偏：
(τ ) =
(qcTc )
τ
2
当 τ << Tc ，有
q c2 2 σ M (τ ) = τ 3
指数相关噪声 σ (τ ) - τ 双对数图
（7）正弦噪声 这种噪声用一组特定的频率函数描述。其高频噪声可能 来自于激光放电中的等离子体振荡，而低频噪声是由于环 境的周期性变化引起测试平台的缓慢运动而造成的。 包含单一频率的正 弦噪声的Allan方差 为
速率斜坡 斜率=1
零偏稳定 斜率=0
双对数图
τ
随机噪声的 σ (τ ) - τ
2.3 光学陀螺随机噪声源的分析
若各噪声源是统计独立的，则Allan方差可以表示成各类 型误差的平方和
2 2 2 2 2 σtotal(τ ) = σ N (τ ) + σ arw(τ ) + σb (τ ) + σ rrw(τ ) 2 2 2 +σ rr (τ ) + σ M (τ ) + σ s (τ )
2 σb
⎛ B ⎞ (τ ) = ⎜ ⎟ ⎝ 0.6648 ⎠ 1 τ >> f0
2
f 0 为噪声的截止频率。
由曲线的平直部分可 估计出零偏不稳定性系 数 B。
零偏不稳定性 σ (τ ) - τ 双对数图
（4）角速率随机游走 角速率随机游走是带宽角加速度信号的功率谱密度积分的 结果。其来源不太确定，可能是具有长相关时间的指数相关 噪声的极限情况，也可能是由于晶体振荡器的老化效应。 Allan方差为
2.1
Allan方差的定义与计算
（1）基于角速率测量值的Allan方差 以采样时间 τ 0 对陀螺仪输出角速率进行采样，共 采样了 N 个点，把所获得的数据分成 K 组，每组包 含 M (M ≤ ( N − 1) 2 ) 个采样点
ω1,ω2, L, ωM , ω M +1,ω M + 2, L, ω2 M ,L, ω N − M +1,ω N − M + 2, L, ω N ,
2.2 随机噪声的Allan方差
（1）量化噪声 量化噪声，代表了 光学陀螺的最低分辨 率水平。 Allan方差为：
σ (τ ) =
2 Q
3Q
2
τ
2
量化噪声 σ (τ ) - τ 双对数图
（2）角度随机游走 光学陀螺具有速率积分的特性，由角速率随机白噪声积 分引起的误差角增量具有随机游动的特性，这一误差被称 为光学陀螺的角度随机游走。 角度随机游走的 特征是具有角速率 白噪声功率谱
⎡ sin ( πf 0τ )⎤ σ (τ ) = ω ⎢ ⎥ πf 0τ ⎦ ⎣
2 2 s 2 0
2
ω0 为速率幅度，
f 0 为噪声的频率。
正弦噪声 σ (τ ) - τ 双对数图
σ (τ )
角度随机游走 斜率= − 1 2
正弦 噪声 速率随机游走 斜率=1 2
量化噪声 斜率=-1
指数相 关噪声
随机游走系数： 由白噪声产生的随时间积累的输出误差系数，其量 纲为 o / h ，它反映了光学陀螺输出随机噪声的强度。 由于零偏与标度因数受环境温度影响很大，所以在测 试这两项指标时需要考虑温度因素。
2
光学陀螺随机漂移误差的 Allan方差分析
光学陀螺的随机误差主要包括：量化噪声、角度随机游走、 零偏不稳定性、角速率随机游走、速率斜坡和正弦分量。 对于这些随机误差，利用常规的分析方法，例如计算样本 均值和方差，并不能揭示出潜在的误差源。另一方面，在实 际工作中通过对自相关函数和功率谱密度函数加以分析将随 机误差分离出来是很困难的。 Allan方差法是20世纪60年代由美国国家标准局的David Allan提出的，它是一种基于时域的分析方法。Allan方差法 的主要特点是能非常容易地对各种误差源及其对整个噪声统 计特性的贡献进行细致的表征和辨识，而且具有便于计算、 易于分离等优点。