平面、空间直线及其方程

一、向量的向量积：b a ⨯

二、平面及其方程

一、平面的点法式方程

1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。

平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。

2．平面的点法式方程

已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量},,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M M 0n ，即

00M M ⋅=n

代入坐标式，有：

0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 此即平面的点法式方程。

【求平面方程的方法】

233231131221{, , }.

a b a b a b a b a b a b a b ⨯=---;(1)在平面上找出一个点.

(2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)

二、 平面的一般方程

任一平面都可以用三元一次方程来表示。

平面的一般方程为： 0=+++D Cz By Ax

几个平面图形特点：

1）D ＝0：通过原点的平面。

2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。

同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。

3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。

同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。

4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n

例2：设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程。

解：设平面为0=+++D Cz By Ax ，由平面过原点知 0=D

由平面过点)2,3,6(-知 0236=+-C B A ，

{4,1,2}⊥-n 024=+-∴C B A C B A 3

2-==⇒ 所求平面方程为0322=-+z y x

三、空间直线及其方程

一、空间直线的一般方程

空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：

⎩⎨⎧=+++=+++002222

1111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程

平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。

已知直线上的一点),,(0000z y x M 和它的一方向向量},,{p n m =s ，设直线上任一点为),,(z y x M ，那么M M 0与s 平行，由平行的坐标表示式有：

p

z z n y y m x x 000-=-=- 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。

.的直线为方向向量)3,0,2(且以)3,2,1(表示过点3-30221例如--=-=-s z y x

如设

t p z z n y y m x x =-=-=-000 就可将对称式方程变成参数方程（t 为参数）

⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nt y y mt x x 000

三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。

例2：求过点（2，1，3）且与直线1

2131-=-=+z y x 垂直相交的直线方程． 解：先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的法线向量），这平面的方程为

0)3()1(2)2(3=---+-z y x

再求已知直线与这平面的交点。将已知直线改成参数方程形式为

x = -1+3t y =1+2t

z=-t 并代入上面的平面方程中去，求得t ＝73，从而求得交点为)7

3,713,72(-． 以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s 即为所求直线的方向向量：

}4,1,2{7

6}733,7131,722{-=+--=s 故所求直线方程为

4

31122-=--=-z y x