4-5含变限积分的极限问题(个性化模块) - 副本
含有变限积分或定积分的极限的求法
含有变限积分或定积分的极限的求法【摘要】通过对变限积分和定积分的学习和研究,认识到处理含积分极限问题需利用被积函数、变限积分的相关性质,根据极限变量的类型需要相应的解决方法。
【关键词】变限积分定积分极限洛必达法则等价无穷小积分中值定理夹逼准则积分估值定理1.含变限积分的极限的求法。
1.1 利用洛必达法则。
洛必达法则则是在求解型或者型未定式极限的一种行之有效的法则,同时也要注意某些技巧,如:等价无穷小因子代换、变量代换法、恒等变形、有确定极限对的因子先求出极限等。
小结:对变限积分施行适当的变量代换,变形成带有型或型的极限问题后,一般用洛必达法则求解。
而对于积分变量不是连续型变量,一般不用洛必达法则求之。
当然,洛必达法则也不是处处可以用的,例如“已知是以T为周期的连续函数,设求”,此题不能用洛必达法则,是因为分子和分母同时求导后得到,其极限不存在。
一个比较直观的解法是令,其中。
利用被积函数的周期性将积分区间分解成和,最终得到1.2 换元法。
积分中使用换元法实质就是对积分实施适当的变量替换,运用积分基本性质和运算法则,推出所要证明的结果,这是积分中经常使用的方法。
例2.设函数可导,且,求例3.设在点x=0的某领域内连续,并且,求解:当时,,令则于是小结:但是要注意的是在使用换元法时要注意积分上下限要跟着变化,在等式两边上下限相同时,要把等式的一边化为另一边时,一般使用换元法来达到目的。
1.3 利用变限积分的等价无穷小代换。
作等价无穷小代换时,如果只对分子或(分母)中的某一项做替换就会出错,必须将分子和分母的整体分别换成它们各自的等价无穷小,但是如果分子或者分母为若干个无穷小因子做替换,这时可以保证所得的新的分子或(分母)的整体与原来的分子或(分母)的整体式等价无穷小。
1.4 使用积分中值定理。
积分中值定理就是:设在上连续,则存在,使得例5.证明证明:设,,则在(0,1)上不变号。
由积分中值定理:=小结:若积分算不出来,或不易算,可先用积分中值定理处理,或者去掉积分号,或者再积分。
定积分专题05：含参数定积分极限与变限积分极限问题求解思路与方法
定积分专题05：含参数定积分极限与变限积分极限问题求解思
路与方法
本系列专题由学友“亭亭小可爱”整理分享，专题内容既适用于课程学习，也适用于竞赛、考研，内容为总结性概括，例题属于提高型典型问题。
例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：证明如下等式成立.
练习2：设 ,
(1) 求极限；
(2) 证明单调递减.
练习3：求.练习4：求.练习5：设在上连续，求练习6：设在上连续，求练习7：求.
练习8：求.
练习9：已知，求极限练习10：设在区间上连续，由积分中值公式，有
若存在且非零，求.
练习11：试求正常数，它们由下式确定：
【注】对于例题或练习题，建议自己在草稿纸上动手做完以后再参见下面给出的参考答案！参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
参考解答
更多相关专题可以参见如下列表：
•定积分专题01：定积分关键定义、定理、公式与相关结论总结•定积分专题02：定积分部分结论、公式的证明思路与方法
•定积分专题03：定积分计算常用方法与典型题分析
•定积分专题04：应用定积分定义求部分和极限题型与典型例题解析
•一道积分算一天，你确信积分对了吗？。
积分型极限的几种解法
ｆ 。 。 Ｆ （ 枷ｉ ｎ ｔ ｄ ｔ ＝ Ｏ 。
证 明 ： （ ｉ １ ｘ Ｆ （ ｘ ） ０ ， （ ｉ ｉ ） Ｊ 。Ｆ （ ｔ ） ｓ ｉ ｎ （ ｘ ｔ ） ｄ ｔ ０ 。
证： 我们 只说 明怎样 利用放缩法来证 明（ ｉ ｉ ） 成立 。由（ ｉ ） 知， ｘ Ｆ （ ｘ ） 在 『 Ｏ Ｏ ， Ⅱ ） ， 当ｚ ＞０ 时， 我们有
＝— ｚ ／ （ 一ｔ Ｚ ） ｄ （ ｘ 一 ｔ ２ ） ＝ 可（ ｚ ） ，
ｒ
Ｌ １ 雨 ｃ ａ ｒ＝ ｌ ｎ ２ ｅ 。
ｌ 。 ｍ ｌ＋ （
故 蛾 ＝ ｌ ｉ Ｌ ｍ ￣ ： ｌ ｉ ａ ｒ ： 等 ： ＝ 击
方法 二： 利用 放缩法或夹逼准则 。该方法 的基本思想是 ： 找到一个 适 当的下函数和一个上函数 ， 使得被积 函数处在这两个 函数 之间 ， 从而 达到化简并求解 。 例２ （ ２ ０ １ １ 年 第三届 全 国大学生 数学竞 赛预赛 数学类 试题第 七 题 ） 设 Ｆ（ ｘ ）是 ｌ Ｏ， ＋ 。 。 ）上 的 单 调 递 减 函 数 ， ｌ ｉ ｍ Ｆ（ ｚ ） 一Ｏ， 且
解： 通过初步探讨 ， 该题用洛必达等法则 不能处理。首先我们估计
该 极 限 的 值， 令 ＝ 丁 ， 一∞时 有
Ｔ 。
ｒ 厂 ＿ ｋ ｔ ｆ ＝ 亍 １ Ｊ 。 Ｔ － ， （ 删 ｆ 。
， 又因为 ：
当 ２ ２ Ｃｎ Ｔ 时 ，设 ｚ＝ 丁＋￡ ， ｅ Ｅ（ Ｏ， 丁 则 根 据 周 期 性 知
方法 六 ： 利用 分段技 术处理 。 即 ： 在讨 论积分 型极限 问题时所 需 要的函数性质仅在部 分区域满足， 或它仅是 函数的局部性质 时， 我们可 采用分段技术处理 。
浅谈变上、下限积分函数的有关计算
临沧师范 高等专科学校学报
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｏ ｒ ａ ｆ Ｕ Ｔｅ ｅｅ￣ Ｃ ｌ ｇ ａｈ ｒ＇ ｏｌ ｅ ｅ
Ｖｏ ．２ ． １ ０ Ｎｏ １ Ｍａ ． ０ ０ ｙ２ １
浅谈变上 、下限积分函数 的有关计算
苏有菊 （ 师范 高等专科学校数理系 ，云南 临沧 临沧 ６７０） ７００
因此 ｔ ｄ
＝１ 。 ＋
： １ｍ — ｍ ｉ
ｘ
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所 以 ２ （ ＋ｃ ｓ ． （ ￣ ） ｄ ｘ １ ｏ ｔ ｅｘ ’ － ，
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（ｚ （—ｉ ） ） ｘ ｓ ； ｎ
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（ ６ 数 二考研 ） ９年
解 ：因为 ＝ｆ ｔ） ａ （２ ， ｙ＝４ ＇ ｔ（ ） ｆｔ
ｄｔ ｄｔ
ห้องสมุดไป่ตู้
则： ： 塞
］ ｄｄ ： （） ｙ
：
分 母 的 积分 再去 求 极 限 ，可直 接利 用 洛 比达法
则和 变 限求导 公式求 极 限 。
原式：ｉ ｌ ｍ
‘
要 工具 ，是联 结众 多知 识 点 的纽带 ， 是学 生学
考研数学二(填空题)模拟试卷54(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷54(题后含答案及解析) 题型有：1.1．=______。
正确答案：解析：将分子化简后用等价无穷小因子代换。
易知则原式= 知识模块：函数、极限、连续2．当x＝______时，函数y＝x.2x取得极小值．正确答案：；涉及知识点：一元函数微分学3．＝________．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学4．设函数y=y(x)由e2x+y-cosxy=e一1确定，则曲线y=y(x)在x=0对应点处的法线方程为______．正确答案：解析：当x=0时，y=1，e2x+y一cosxy=e一1两边对x求导得知识模块：高等数学5．若f(x)=2nx(1-x)n，记Mu=Mn=______．正确答案：解析：由f’(x)=2n(1-x)n-2n2x(1-x)n-1=0得x=，当x∈时，f’(x)＞0；当x∈时，f’(x)＜0，则x=为最大点，知识模块：高等数学6．设α1,α2,α3是3维向量空间R3的一组基，则由基到基α1+α2，α2+α3，α3+α1的过渡矩阵为_____________.正确答案：解析：本题考查过渡矩阵的概念和基变换公式，所涉及的知识点是过渡矩阵的概念；基变换公式(β1β2……βn)=(α1,α2……αn)C，其中β1β2……βn 和α1,α2……αn分别是Rn的两组基，C是基α1,α2……αn到基β1β2……βn的过渡矩阵．知识模块：向量7．设y=y(x)是由方程xy+ey=x+1确定的隐函数，则=_________。
正确答案：一3解析：方程两边对x求导可得，y+xy’+y’ey=1，解得y’=。
再次求导可得，2y’+xy’’+y’’ey+(y’)ey=0，整理得y’’= (*)当x=0时，y=0，y’(0)=1，代入(*)得，y’’(0)==一(2+1)=一3。
知识模块：一元函数微分学8．当χ→0时，3χ－4sinχ＋sinχcosχ与χn为同阶无穷小，则n＝_______．正确答案：5解析：于是3χ－4sinχ＋sincosχ～，则n＝5．知识模块：函数、极限、连续9．微分方程的通解为__________。
变限积分的性质
变限积分的性质摘要变限积分是微积分学基本定理之一，是一类很重要的函数，是产生新函数的重要工具，同时它也是连接不定积分和定积分的桥梁，可见它在微积分学中的重要地位。
本文通过对变限积分的定义进行简介，对变限积分的性质进行介绍及举例，包括变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性，还介绍了变限积分的一些应用。
通过这些介绍及得到的有关结论，希望可以让我们更加理解变限积分的作用、地位和价值，在以后研究学习中有所帮助。
关键词:变限积分;连续性;可微性;奇偶性;单调性;周期性;应用引言随着时代的要求和科技的进步，由于函数概念的产生和运用的加深，一门新的数学分支——微积分学产生了，而极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，微积分是与实际联系着发展起来的在许多科学领域中，有越来越广泛地应用，可见微积分在数学发展中的地位是十分重要的，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
积分学是微积分中重要的一部分内容，积分学可分为不定积分和定积分，而变限积分就是一种特殊的定积分，它具有许多特殊的性质，比如连续性、可微性、奇偶性等，它是我们学习积分学经常考察的一个知识点，研究它的性质对我们学习微积分有重要的意义。
下面我们将介绍变限积分的概念、性质和应用。
1. 变限积分的概念与理解1.1变限积分的定义[,]abxab,[,]ff[,]ax设在上可积，根据定积分的性质，对任何，在也可积，于是，由x,,,()(),[,]xftdtxab (1) ,a定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分或积分上x 限函数.类似地，又可定义变下限的定积分:b,,,(),(),[,].xftdtxab (2) ,x与统称为变限积分; 变量复合函数定义为: ,,uxbux()()ftdtftdtftdt(),(),(), ,,,avxvx()()[,],,,[,]abux()vx()ux()vx() 其中、是定义在上的函数且，.xfxdx() 注:在变限积分(1)与(2)中，不可再把积分变量写成(例如)，x,a 以免与积分上、下限的混淆。
考研数学一(一元函数积分学)模拟试卷15(题后含答案及解析)
考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设，则F(x) ( )A．为正常数B．为负常数C．恒为零D．不为常数正确答案：A解析：因esinxsinx是以2π为周期的周期函数，所以又esinxcos2x≥0，故选(A)．知识模块：一元函数积分学2．设f(x)是以l为周期的周期函数，则之值( )A．仅与a有关B．仅与a无关C．与a及k都无关D．与a及k都有关正确答案：C解析：因为f(x)是以l为周期的周期函数，所以故此积分与a及k都无关．知识模块：一元函数积分学3．设f(x)是以T为周期的可微函数，则下列函数中以T为周期的函数是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：当g(x+T)=g(x)时，因为因为f(x)是以T为周期的函数，所以4个选项中的被积函数都是以T为周期的周期函数，但是仅是以T为周期的函数．知识模块：一元函数积分学4．下列反常积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：选项(A)中，知识模块：一元函数积分学5．以下4个命题正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：A解析：设f(x)=x，则f(x)是(-∞，+∞)上连续的奇函数，且.但是故f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．设f(x)=x，g(x)=-x，由上面讨论可知g(x)]dx收敛，这表明命题③是真命题．故应选(A)．知识模块：一元函数积分学填空题6．设f(x)是连续函数，且f(t)dt=x，则f(7)=________正确答案：解析：要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导．等式两边对x 求导得f(x3-1).3x2=1，f(x3-1)=令x=2，即得f(7)= 知识模块：一元函数积分学7．设=________正确答案：解析：令3x+1=t，x= 知识模块：一元函数积分学8．设，则a=_________正确答案：2解析：知识模块：一元函数积分学9．设=_______正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学10．=_______正确答案：ln3解析：因知识模块：一元函数积分学11．=_______正确答案：，其中C为任意常数解析：知识模块：一元函数积分学12．设f’(sinx2)=cos2x+tan2x(0＜x＜1)，则f(x)=________正确答案：-ln(1-x)-x2+C，其中C为任意常数解析：知识模块：一元函数积分学13．设y=y’(x)，若，且x→+∞时，y→0，则y=_______正确答案：e-x解析：由已知得，分离变量，两边积分，再由已知条件得结果y=e-x．知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
通项含有变限积分的数列极限问题
定理２ 设数列｛ ｝ 的通项为％ ＝Ｊ
ＪＶｎ
）ｘ其中ｌ ｖ ＝ ∞，ｍ 一 ） ｄ， ｉ 一 ｌ ｕ ＝ ∞ ｍ ｉ 在区间（ ∞， 一
ｂ 上连续， ］ 若无穷限积分Ｊ 收敛，ｌｍ ＝０ ￣ｌ ａ Ｊ ｉ 。
通 项 含有 变限 积分 的数 列 极限 问题
刘俊 先
（ 台学院 数学系 ， 邢 河北 邢 台 ０ ４０ ） ５０ １ ［ 摘 要］ 对于数 列通项含有变限积分的极 限问题 ，以定理形式总结概括 出几类数列极限存在的充分
条 件 ， 附 以实例 。 并
［ 关键词］ 积分 ； 数列 ； 极限问题 ［ 中图分类号】 ０ ７ ［ １ １ 文献标识码 ］ Ａ ［ 文章编号 ］ １０ ４ ５ （００ ０ ０ ４ 一 ２ ０８－ ６ ７ ２ １ ）５— ｏ－ ｏ ４
０。 敛 ， 由定理 １ 上 亟 ： ｚｒ 得 ｍ
ｎ— ・∞ Ｊ
注： 参考文献 ［ ］的解答 中用到积分第一 中值定理 、 ２ 无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量及迫敛性 。
应 上 定 易 一 列 论如 岬 ＝， 岬 ＝， 用 述理 得 系结 ， 。 。 ｒ ｒ
例 １ 】 证明 ｆ
— ∞ Ｊｎ
ｓ 了ｘ ｉ ｎ
０， Ｐ为某 实数 。
，
证 明 因ｌ ｉ ｍｎ＝ ｌ （ ｉ ｎ ａ ｒ
ｎ—＋∞ 了 ｎ １
＋ ） 续而 狄 克 判 法 Ｊ ｓ 。 连 ，由 利 雷 别 知＝ ｉ 收 。 ｎ ｘ
注： 定理 ２与定理 ３的证明类似定理 １ 略。 ， ［ 收稿 日期］２ １ ０ ｏ ００— ２一 ８
［ 基金项 目】河北省教育学会“ 十一五 ” 规划课题 ： 新建本科 院校 数学分析、 教学改革模式探究与 实践（ Ｈ Ｘ Ｘ项 目编
变限积分
变限积分的性质及其应用作者：葛芹 指导老师：岳素芳摘要：本文在给出变限积分定义的基础上，讨论变限积分的一些性质，例如连续性，奇偶性，单调性，周期性等.又结合着例题探讨了变限积分的在题目中的具体应用，比如求分段函数的原函数，函数的极限值，求函数的导数等，变限积分还可以作为辅助函数证明等式以及不等式等等.关键词：变限积分;连续;可微性;奇偶性;单调性;周期性.1引言变限积分是一种特殊的定积分，它具有很多特殊的性质，比如它的连续性，可微性，连续性奇偶性，周期性，特殊性决定了它的重要性，它是产生新函数的重要工具，是一种新的函数的表示方法，解决了在闭区间上连续的初等函数的原函数存在问题，可用积分上限函数表示非初等函数，为研究非初等函数的性质提供了工具.变限积分除了能拓展我们对函数概念的理解外，在许多场合都有重要的应用，因此，有必要对其进行广泛和深入的探讨，以便对其有一个较全面地认识和较深刻地掌握.2 变限积分的定义如果函数()f x 在区间[],a b 上可积，则称()x ϕ=()xa f t dt ⎰，x ∈[],a b (1)为变上限积分， 如果函数()f x 在区间[],a b 上可积，则称()x ψ=()xaf t dt ⎰,x ∈[],a b (2)为变下限积分，其中，变上限积分和变下限积分通称为变限积分.3变限积分的性质 3.1变限积分的连续性定理1若函数()f x 在区间[],a b 上可积，则变上限积分()x ϕ=()xa f t dt ⎰在[],ab 上连续且可积3.2变限积分的可导性（原函数存在定理）定理2若函数()f x 在[],a b 上连续，则由(1)式所定义的函数()x ϕ在[],a b 处处可导，且()()xad d f t dt f x dx dx ϕ==⎰,x ∈[],a b . 例1 设()f x 在[],a b 上连续, ()F x =()()xaf t x t dt -⎰证明''()F x =()f x ,x ∈[],a b .证明 因为()F x =()()x x aaxf t dt tf t dt -⎰⎰=()()x xaax f t dt tf t dt -⎰⎰从而'()F x =()xaf t dt ⎰+()xf x -()xf x =()xaf t dt ⎰故''()F x =()f x ,[],x a b ∀∈.变限积分的求导法则：如果()f x 在[],a b 上连续, ()f x 在(),()u t v t 在上可导，那么()()()(())(())v t u t d dv duf x dx f v t f u t dx dt dt =-⎰ 3.3变限积分的奇偶性定理3若函数()f x 为[],a a -上的奇函数，则()x ϕ=0()xf t dt ⎰,x ∈[],a a -为偶函数若函数()f x 为[],a a -上偶函数，则()x ϕ=()xf t dt ⎰,x ∈[],a a -奇函数.证明 设()x ϕ=0()xf t dt ⎰,其中函数()f x 在区间[],a a -上可积，若函数()f x 为[],a a -上的奇函数. 由变量替换有:()()()()()()x x xx f t dt f u d u f u du x ϕϕ-==--==⎰⎰⎰即()x ϕ为偶函数若函数()f x 为[],a a -上的偶函数，由变量替换有：()()()()()()x x xx f t dt f u d u f u du x ϕϕ-==--=-=-⎰⎰⎰即()x ϕ为奇函数3.4变限积分的单调性定理4设()f x 在(),-∞+∞在上连续，()F x =0()(2)xf t x t dt -⎰，()f x 单调递减，则()F x 单调递增证明 因为()F x =0()(2)x f t x t dt -⎰=0()2(),x xx f t dt tf t dt -⎰⎰又f(x)在R 上连续，所以'()F x =0()+()2()()()x xf t dt xf x xf x f t dt xf x -=-⎰⎰由积分中值定理存在ξ介于0与x 之间，使'()()()(()())F x xf xf x x f f x ξξ=-=- 0故()F x 单调递增3.5变限积分的周期性定理5以T 为周期的连续函数()f x 的原函数以T 为周期的充分必要条件是0()0Tf x dx =⎰例2设()f x 是在(),-∞+∞内以T 为周期的连续函数，则0()()x xf t dt f t dt --⎰⎰也以T 为周期证明 由周期函数的积分性质得，()()()()()x Tx x Tx Txf t dt f t dt f t dt f t dt f t dt ++=+=+⎰⎰⎰⎰⎰000()()()()()xTx Txx Txf t dt f t dt f t dt f t dt f t dt -------=+=+⎰⎰⎰⎰⎰因而()Tf x dx ⎰不一定为零，所以0()x f x dx ⎰与0()xf t dt -⎰不一定以T 为周期，而()()()()x Tx x Txf t dt f t dt f t dt f t dt +----=-⎰⎰⎰⎰所以()xf x dx ⎰-0()xf t dt -⎰以T 为周期4变限积分的应用应用[]41 求分段函数的原函数分段函数的变限积分；由于a t x ≤≤，所以被积函数各分段的表达式要依x 的取值范围而定，从而分段函数的变限积分一般仍是分段函数例3 设2,01()2,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩ 求()f x 的原函数解 []320(),0,13x x x t dt x φ==∈⎰；1201()xx tdt t dt φ=+=⎰⎰31136x + (],1,2x ∈ 例4 设2,01(),12x x f x x x ≤≤⎧=⎨≤≤⎩ 求()f x 的原函数解 []20(),0,12xx x tdt x φ==∈⎰;1201()xx tdt t dt φ=+=⎰⎰31136x + (],1,2x ∈ 应用[]42 求函数的极限值运用变限积分的定义及可微性，可以解决有关定义函数式，求函数极限值与最值，求解方程和积分方程等的重要应用例5求23lim (sin )(),x xx t f t dt t+→∞⎰其中()f t 可微,且已知lim () 1.t f t →∞=解 由积分中值定理,存在[],2x x ξ∈+,使23(sin )()x xt f t dt t+⎰32sin ()f ξξξ=,所以23lim(sin )()x xx t f t dt t+→∞⎰=3lim 2sin()()x f ξξξ→∞=3sin6limlim ()61163x f ξξξξ→∞→∞==例6设201lim1sin x x bx x →=-⎰，试求正常数,a b . 解显然有200lim0,lim(sin )0xx x bx x →→=-=⎰，这是00的不定式，如果200xx x →→=则它与所求极限相等若221011,1-cos x 2121cos 1,42x x b b x a ≠≠=→=-== 则上述极限为，故则有（.例7设()f x=21(1)sin 2tx xt +⎰(0)x ，求1lim ()sin n f n n →∞解 首先由积分中值定理可得()f x=21(1)sin )2c x x c +- ，其中c 介于x 与2x 之间，当x →+∞时，1l i m (1)2c x c →+∞+=12e，221)sin ()x x x x x -- ，而21lim sin ()x x x x →+∞- =+∞，所以lim ()x f x →+∞=+∞，由罗必塔法则可知1lim ()sin x f x x →+∞=2lim 1sin tx x x→+∞=222limcos 11sin x x x x→+∞2221lim lim cos 1sin x x x x x→+∞→+∞ =12120211e e -=应用[]43求函数以及函数值例8设[)00()0+()(),0()3xxx f x tf t dt f t dt t f x ∞=⎰⎰ 在，上可微，且满足，求解 001()()()()2().33x x xxf x f t dt f x f t dt f x =+∴=''⎰⎰两边继续对x 求导，得f(x)=2f(x)+2xf (x),即2xf (x)=-f(x)解此微分方程得())f x c =为常数 若c 00lim ()()x f x f x →+≠，则不存在，这与在x=0处连续矛盾，故c=0,从而f(x)=02()xf t dt ⎰由f (x)=，方程两边对x 求导，' 得2f(x)f(x)=f(x). 而x 0时,f(x)0,1122'所以f (x)=,从而f(x)=x+c(c 为常数)又因为且f(x)连续,001lim lim (),2x x x c c →+→++=故f(0)=f(x)=0c ∴=1,02x x ≥因此f(x)=例9设()f x 连续，0x ∀ ， ()f x 0 ，且0x ≥时，有()f x0x ≥时的()f x . 解法一：当0x =时，，当 x 0时'f (x)=12所以()f x =12x +C 又因为()f x 连续，可得0+C=0,所以C=0 故()f x =12x ，0x ≥. 解法二：当 x 0时，()0f x ，2()f x =0()xf t dt ⎰又因为()f x 连续，所以()xf t dt ⎰可导，所以2()f x 也可导，所以2()f x '∙f (x)=()f x 0 '1f (x)=2，故()f x =12x +C.又f(0)=0=02C + , 所以()f x =12x ，0x ≥.应用[]44 可以应用于求一些导数. 例10设(),x F x t dt -=⎰求(0)F '. 解 (0)F '+=0limx →+=0limx →+=0limx x →=0ln limx x→+=01lim11(x xx →+=0类似 ， (0)F '-=0)limxx t dt x→--⎰=-0lim)x x →-=0 所以(0)F '=0例11设0x ，()f x =2sin x xuxdu u⎰，求解()f x ' 解 ()f x '=2sin ()x xuxdu u '⎰+32sin 2x x x 2sin x x - =2cos x xuxdu +⎰322sin sin x x x- =3sin x x 2sin x x -322sin sin x x x-+=321(3sin 2sin )x x x- 例12设()f x 可导，且()g x =0()()x yf x y dy g x ''-⎰求解法一：'g (x)='⎰xyf (x-y)dy +(0)f x=()x yf x y --+()xf x y dy -⎰+(0)f x=(0)f x -+0()x f x y dy -⎰+(0)f x=0()xf x y -⎰()g x ''='⎰xf (x-y)dy +(0)f=()x f x y --+(0)f=(0)f -+()f x (0)f +=()f x解法二：() g x =⎰xyf(x-y)dyx y u dy du+==−−−→←−−−0()()()x x u f u du --⎰ =0()xxf u du ⎰()xuf u du -⎰'g (x)=0()xuf u du ⎰+()()xf x xf x -=()xuf u du ⎰故而， ()g x ''=()f x应用[]45 求解极大值与极小值例13 设()F x =0cos ,(0)(0)(0)xt e tdt F F F -'''⎰试求：（1），，（2）()F x 在闭区间[]0π，上的极大值与极小值.. 解（1）(0)F =cos t e tdt -⎰=0， ()cos (0)=1x F x e x F -''=，所以又()cos sin ,xx F x e x e x --''=--(0)F ''所以=-1（2）令()F x '=0，x ∈[]0π，，方程cos xex -=0，在[]0π，上有一个根x =2π 当x 2π时，()F x '0 ；当x 2π时，()F x '0 .所以在x=2π时，()F x 取极大值为2201()cos 22teF e tdt πππ--+==⎰，()F x 在[]0π，上无极小值 应用[]46应用于求最值的问题中例13求证()()(sin )xn f x t t t dt =-⎰（n 为正整数）在0x ≥上不超过1(22)(23)n n ++证明 因为22()()(sin )n f x x x x '=-，所以当01x 时，()0f x ' ；当1x 时，()0f x ' ；故对一切0x ≥，()(1)f x f ≤而 1220(1)()(sin )n f t tt dt =-⎰1220()()n t t t dt ≤-⎰=22231()22230n n t t n n ++-++ 112223n n =-++ 1(22)(23)n n =++所以当 0x ≥时，1()(22)(23)f x n n ≤++，从而得证.应用[]47 求方程的根对于某些含有积分变限的函数方程可以利用分析方法（求极限，求导或积分运算）去求方程的根例14求x 使2lim()x tt t t x te dt t x-∞→∞+=-⎰解 分别运用求极限和积分运算，有(1)lim()lim (1)t x xtx tx t t x t t x t x x t -→∞→∞-⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦=-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=2x xx e e e-==且2212xx t tte dt tde -∞-∞=⎰⎰ 221()2x t t xte e dt -∞=--∞⎰2221111()()2224x x x xe e x e =-=- 所以 2211()24xx e x e =-解得 52x =例15 设函数()f x 在[]0,π上连续，且0()0f x dx π=⎰，0()cos 0f x xdx π=⎰，求证：在()0,π内至少存在两个不同的点1ξ，2ξ，使1()0f ξ=，2()0f ξ=证明 令0()()xF x f t dt =⎰[](0,)x π∈，则有(0)()F F π=，又因为0()cos cos ()f x xdx xdF x ππ==⎰⎰=0()cos ()sin ()sin 0F x xF x xdx F x xdx πππ+=⎰⎰所以存在(0,)ξπ∈，使得()sin 0f ξξ=.因若不然，则在(0,)π内或()sin f ξξ恒为正，或()sin f ξξ恒为负，都与()sin 0F x xdx π=⎰矛盾，又当(0,)ξπ∈时，sin 0ξ≠，故()0F ξ=，于是()F x 在[]0,π上有三个不同的零点；0ξπ ，再用罗尔定理，则存在2(,)ξξπ∈，使得1()0F ξ'=，2()0F ξ'=，即1()0f ξ=，2()0f ξ=例16设函数()f x 在[],a b 上连续，()0f x ，又1()()()x xabF x f t dt dt f t =+⎰⎰， 证明：（1）()2F x '≥；（2）()0F x =在[],a b 中有且仅有一个实根.证明 因为函数()f x 在[],a b 上连续，所以()F x 在[],a b 上可微，且1()()2()F x f x f x '=+≥= （2）由（1）可知()20F x '≥≥，所以()F x 在[],a b 上单调递增. 因为对一切[],x a b ∈，()0f x ， 所以 11()0()()ab ba F a dt dt f t f t ==-⎰⎰()F b =()baf t dt ⎰由零值定理及()F x 的单调性可知，()0F x =在[],a b 中有且仅有一个实根..应用[]48求解积分方程对于一些含有积分变限函数的积分方程，可以利用积分变限函数的可导性，将原积分方程转化为微分方程，从而得解.例17设函数()y f x =满足方程0cos y xt e dt tdt +⎰⎰求函数()y f x =和y '.解：对方程两边关于x 求导得cos 0y e y x '+=此为一阶分离型微分方程有cos y dy xdx e=- cos y e dy xdx =-⎰⎰即sin y e x c =-+ 所以ln(sin )y c x =-又知原方程 当0x =时10ye -=，所以0y = 即(0)0y =代入有ln(1sin )y x =-且cos cos 1sin sin 1x xy x x -'==-- 应用[]49 求幂级数的和函数例18求幂级数01nn e n -∞=+∑解 考虑幂级数01nn x n ∞=+∑，其收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-，当1x =-时，001(1)11n nn n x n n ∞∞===-++∑∑收敛；当1x =时，00111n n n x n n ∞∞===++∑∑发散，因此其收敛域[)1,1-， 设其和函数为()s x ，则x ∀∈(1,1)-，0000()11n n xx x n n t t s t dt dt dt n n ∞∞====++∑∑⎰⎰⎰=101n n xx x ∞+==-∑， 于是 21()()1(1)x s x x x '==--，故2201()1(1)n n e e s n e e -∞===+-∑ 例19给定幂级数232132(1)nx x x n n ++++- ()1确定它的收敛半径与收敛区间；()2求出它的和函数.解 （1）对幂级数2(1)n n x n n ∞=-∑，由1(1)lim lim1(1)n n n na n n a n n +→+∞→+∞+==-, 知其收敛半径为1，收敛区间为（-1,1），当 1x =±时，级数均收敛，故其收敛域为[]1,1- （2）由逐项微分定理知122()()(1)1n n n n x x S x n n n -∞∞==''==--∑∑，12221()()11n n n n x S x x n x -∞∞-=='''===--∑∑， 故 001()()ln(1)1xxS x S t dt dt x t'''===---⎰⎰()()ln(1)xxS x S t dt t dt '==--⎰⎰=(1)ln(1)0x t t =--+0xdt ⎰ ()()1ln 1x x x =--+ 应用[]410 变限积分作为辅助函数证明例20设函数()f x 在任何有限区间上可积，且lim ()x f x l →+∞=求证：01lim ()xx f t dt l x →+∞=⎰证明 由函数()f x 在任何有限区间上可积及lim ()x f x l →+∞=可知，对任给ε0 ，存在0M 时，有()2f x l ε-，从而000111()()x x xf t dt l f t dt ldt x x x-=-⎰⎰⎰ =[][]01()()M xMf t l dt f t l dt x-+-⎰⎰[]011()()MxM f t l dt f t l dt xx≤-+-⎰⎰ []011()2Mx M f t l dt dt xx ε≤-+⎰⎰=[]01()22M Mf t l dt x εε⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦⎰显然，当x 足够大时，必有[]01()22M Mf t l dt x εε⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰，所以01()22x f t dt l x εε-+⎰ ε= 所以01lim()xx f t dt l x →+∞=⎰例21证明：若()f x 为[]0,1上的连续函数，且对一切[]0,1x ∈有0()()0x f u du f x ≥≥⎰，则()0f x ≡.证明： 显然(0)0f =，对任意()00,1x ∈，有01000()()()x f x f u du f x ξ≤≤=⎰，其中100x ξ≤≤而()f x 在[]0,1上的连续，所以()f x 在[]0,1上存在最大者M 对于上面的1ξ，有112100()()()f f u du f ξξξξ≤≤=⎰，其中210ξξ≤≤，所以20210200()()()f x f x f x ξξξ≤≤≤ ，依次进行下去，可知存在[]00,n x ξ∈，使得0000()()nnn f x f x Mx ξ≤≤≤当0lim 0,nx n Mx →+∞→+∞=时，有所以0()0f x =又()f x 在[]0,1上的连续，所以1(1)lim (1)0x f f →-==所以，对一切[]0,1x ∈，有()0f x ≡应用[]411 变限积分函数作为辅助函数证明不等式 例22 设12()sin x xf x t dt +=⎰，求证：0x 时，1()f x x. 证明作变换t =，则12()s i n x xf x t d t +=⎰=22(1)sin x xu +⎰=22(1)1(cos )2x x u +-⎰=222(1)322(1)11cos cos )24x x x u u du xu ++--⎰ =22(1)2232111cos cos cos (1)22(1)4x x u x x du x x u +⎡⎤-+-⎣⎦+⎰ 从而，当0x 时，有()f x 223(1)211122(1)4x x u du x x -++++⎰=1122(1)x x ++111()21x x --+=1x例23若()f x 在[],a b 上二次可微，()02a bf +=，证明3()()24baM b a f x dx -≤⎰，其中max ()M f x ''=（[],x a b ∈）.证明 考虑函数()()xaF x f t dt =⎰，则()F x 在[],a b 三阶可微，且()()F x f x '=，()()F x f x '''=，()()F x f x '''''=由泰勒公式知()()()222a b a b b a F a F F ++-'=- 21()()222a b b a F +-''+ 311()()62b a F ξ-'''- 21()()()()()222222a b a b b a a b b a F b F F F ++-+-'''=++ 321()()62b a F ξ-'''+其中122a ba b ξξ+ ，从而()()()baf x dx F b F a =-⎰=[]312()()()()248a b b a F F F ξξ+-'''''''++=[]312()()()()()248a b b a b a f f f ξξ+-''''-++又已知()02a bf +=，所以 []312()()()()48bab a f x dx f f ξξ-''''=+⎰3312()()()()4824b a M b a f f ξξ--⎡⎤''''≤+≤⎣⎦ 其中max ()M f x ''=（[],x a b ∈）应用[]412 变限积分证明某些级数的一致收敛性例24若(,)K x t 在{},D a x b a t b =≤≤≤≤上连续，0()u x 在[],a b 上连续，且对任意的[],x a b ∈，令1()(,)(),1,2,3xn n a u x K x t u t dt n -==⎰则函数列{}()n u x 在[],a b 上一致收敛.证明 (,)K x t 在闭区域D 上连续，从而在D 上有界，即10M ∃ ，使得对(,)x t D ∀∈，1(,)k x t M ≤， 0()u x 在[],a b 上连续，从而在[],a b 上有界，即20M ∃ ，使得对[],x a b ∀∈，02()u x M ≤，所以101212()(,)()()()xau x K x t u t dt M M x a M M b a =≤-≤-⎰22112()(,)()()xxaau x K x t u t dt M M t a dt =≤-⎰⎰22221212()()2!2!M M x a M M b a --≤≤， 由数学归纳法可知()n u x ≤12()!n n M M b a n -，由12()lim0!n nn M M b a n →+∞-=及柯西准则可知 ()n u x 在[],a b 上一致收敛.例25设()f x 在上连续，1()()f x f x =，11()()n n xf x f t dt +=⎰，x ∀∈[]0,1，1,2,3,n =求证1()nn fx ∞=∑在01x ≤≤一致收敛.证明 由于 ()f x 在[]0,1上连续可知，0M ∃ ，使得()f x M ，()01x ≤≤，从而121()()(1)xf x f t dt M x M =≤-≤⎰，2132(1)()()2!2!xM x Mf x f t dt -=≤≤⎰，111(1)()()(1)!(1)!n n n xM x Mf x f t dt n n ---=≤≤--⎰又由于1(1)!n Mn ∞=-∑收敛，所以1()n n f x ∞=∑在01x ≤≤上一致收敛5其它一些应用5.1从定积分的信息中提取被积函数的信息例26设函数()f x [],C a b ∈，()0f x ≥，且()0ba f x d x =⎰，求证：在[],a b 上，()0f x ≡. 证明：因为对区间(),a b 上的每一个点x ，0()()0x baaf t dt f t dt ≤≤=⎰⎰，所以()0xaf t dt ≡⎰，所以 ()(())0xaf x f t dt '=≡⎰，故()0f x ≡()(,)x a b ∀∈，又函数()f x 在[],a b 上连续，故有()0f x ≡[](,)x a b ∀∈例27 设函数()f x [],C a b ∈，()0f x ≥，且()0ba f xd x=⎰，求证：在[],a b 上，()0f x ≡. 证明：因为对区间(),a b 上的每一个点x ，0()()0x baaf t dt f t dt ≤≤=⎰⎰，所以()0xaf t dt ≡⎰，所以 ()(())0xaf x f t dt '=≡⎰，故()0f x ≡()(,)x a b ∀∈，又函数()f x 在[],a b 上连续，故有()0f x ≡[](,)x a b ∀∈.2设平面上一点A(0,a)和抛物线0)a ，动点P 从坐标原点出发，沿抛物线移动，假定线段OA,AP 和抛物线所围成图形的面积对时间的增大速率为常数k ，求P 点的横坐标的变动速率.解由24x y a=设动点坐标P 的坐标为2(,)4x x a，设P 点在x 轴投影为Q ，则点Q 的坐标为(,0)x .再设曲边三角形OAP 的面积为S ，则S=梯形AOQP 的面积-曲边三角形OPQ 的面积=2201()244x x t a x dt a a +-⎰=31224a x x a+，由题设，k=228dS a dx x dxdx dt a dt=+解得2284dx akdt a x=+ 参考文献[1]. 华东师范大学数学系编,数学分析[M]，北京：高等教育出版社，1981. [2]复旦大学数学系编,数学分析[M]，上海：科学技术出版社，1978. [3] 裴礼文,数学分析中的典型问题与方法[M],高等教育出版社,1998. [4] 陈纪修 金路 於崇华编,数学分析上册[M],高等教育出版社,1979.[5] 孙本旺 汪浩编,数学分析中的典型例题和解题方法[M],长沙湖南:科学技术出版社,1981.Change to limit quality and its application of the integralAuthor:ge qin Superviser:yue su fangAbstract: In this paper,we discuss the definition of change to limit integral ，and discuss some qualities of change to limit integral .For example, continuity,micro ,strange doublet,monotone, periodic and so on .we combine an instance inquired into changing to limit integral in the subject of concrete application,For example , solve the original function of segmentation function and the limiting value of function, and so on. In addition, it can be lend support to a function verification equation and inequality.Keywords: change to limit integral; continuity; micro; strange doublet monotone;periodic.。
关于变限积分问题(1)
3
高等数学研究
2
2010 年 11 月
解
d x sin( x - t) 2 dt . dx 0 不妨令 t - x = u, 那么,
0 -x
d x sin( x - t) 2 dt = d dx 0 dx 3. 3 最值问题
sinu2 du = sinx 2 .
例 6 在区间 [ 1, e] 上求一点 , 使得图 1 中所示 的阴影部分的面积为最小.
b
数的因子时, 总是用分部积分法求解 , 且取积分上限 函数为分部积分公式中的 u( x ) . 例 9 试求 ∀( x ) =
x
f ( t) dt 0 0 ∋ x ∋ 1, 1 < x ∋ 2, x < 0, x > 2.
在(- & , + & ) 内的表达式. 其中 x, f (x) = 2- x, 0,
t
f ( x) = 的最大值不超过 解
0
( t - t 2 ) sin 2nt dt
1 . ( 2n + 2) ( 2 n+ 3) 先求出函数的最大值点 , 然后估计作为函
c = 1.
数最大值的定积分的上界. 由 f ( x ) = ( x - x 2 ) sin2nx = 0, ( x # 0) 解出驻点 x = 1, k ! ( k = 1, 2 , ∃) , 由于当 x % ( 0, 1) 时, f ( x ) > 0, 而当 x % ( 1, + & ) 时, f ( x ) ∋ 0 ( 等号仅在 x = k! 处成立) , 故 f ( 1) 是 f ( x ) 在区间 [ 0, + & ) 上的最大值.
含参积分极限与积分不可交换的例子
含参积分极限与积分不可交换的例子1. 引言含参积分是微积分中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
然而，在某些情况下，含参积分与极限运算的交换是不成立的，即积分与极限不可交换。
本文将通过一些具体的例子，来说明含参积分与极限不可交换的情况。
2. 例子1：函数列的积分极限考虑函数列f_n(x) = nxe^(-nx)，我们想要计算它的积分极限lim(n->∞)∫[0,1]f_n(x)dx。
首先，我们可以进行积分运算，得到∫[0,1]nxe^(-nx)dx = [-xe^(-nx)]_[0,1] + ∫[0,1]e^(-nx)dx = -e^(-n) + 1/n。
然后，我们再计算极限lim(n->∞)-e^(-n) + 1/n。
由于极限运算与积分运算是可交换的，我们可以得到lim(n->∞)∫[0,1]f_n(x)dx = lim(n->∞)-e^(-n) + 1/n = 0 + 0 = 0。
这个结果表明积分极限为0。
然而，如果我们先计算极限lim(n->∞)-e^(-n) + 1/n，再进行积分运算，即lim(n->∞)∫[0,1]nxe^(-nx)dx = lim(n->∞)0 = 0。
这与之前的结果相同。
因此，在这个例子中，含参积分与极限运算是可交换的。
3. 例子2：含参极限下的积分考虑函数f(x, a) = sin(ax)/x，其中a是一个常数。
我们想要计算积分∫[0,1]lim(x->0)f(x, a)dx。
首先，我们可以计算极限lim(x->0)f(x, a) = lim(x->0)(sin(ax)/x) = a。
然后，我们再进行积分运算，得到∫[0,1]a dx = a。
这个结果表明积分为a。
然而，如果我们先进行积分运算，再计算极限，即∫[0,1]lim(x->0)f(x, a)dx = ∫[0,1]adx = a。
这与之前的结果相同。
函数的24种极限总结
函数的24种极限总结极限是微积分的核心概念之一，它在数学和物理等学科中具有重要的应用价值。
本文将对24种极限进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、极限的基本概念极限是指当自变量趋于某一特定值时，取值逐渐接近于一个确定的值。
可以用数列逼近的思想进行理解。
极限常用的符号表示是“lim”。
二、一元极限1.常数函数极限常数极限是其本身的值，即 lim(a) = a。
2.幂函数极限幂极限取决于指数的大小关系。
当指数小于1时，函数趋于无穷大；当指数等于1时，函数趋于1；当指数大于1时，函数趋于有限值或无穷大。
3.指数函数极限指数极限是通过不同的底数和指数，对数值进行无穷逼近得到的。
例如，底数为e时，指数极限是e；底数为2时，指数极限是2。
4.对数函数极限对数极限是自然对数的极限。
当自变量趋于无穷大时，对数极限趋近于无穷大。
5.三角函数极限三角极限取决于自变量趋于无穷大时的周期性变化。
对于正弦函数和余弦函数，它们的极限是区间[-1,1]内的一系列值。
6.反三角函数极限反三角极限取决于自变量趋于无穷大时的周期性变化。
对于正切函数和余切函数，它们的极限不存在；而对于正割函数和余割函数，它们的极限是一系列值。
7.指数对数函数极限指数对数极限取决于底数和自变量之间的关系。
当自变量趋于无穷大时，指数对数极限趋近于无穷大。
8.复合函数极限复合极限是通过两个或多个极限运算得到的。
根据复合特性，可以通过分解成多个简单函数，再对每个极限进行计算。
三、多元极限9.二元函数极限二元极限是自变量趋于某个点时，取值逐渐接近于一个确定的值。
常用的符号表示是“lim(f(x,y))”。
10.多元函数序列极限多元函数序列的极限是对每个变量的极限进行运算得到的。
可以通过求极限的方法，得到多元极限。
11.多元孤立点多元孤立点是指在某个点上极限值不存在或无法确定的情况。
针对这种情况，需要进行特殊处理或进行极限的推导。
四、变限积分的极限12.定积分极限定积分的极限是指当积分区间的长度趋于无穷大时，函数在区间上的取值逐渐接近于极限值。
变限积分函数的性质及其应用
404§3 变限积分函数的性质及其应用由于定积分概念是利用极限工具给出的，所以利用定积分的定义计算定积分是十分困难的，有时甚至是不可能的。
为了让定积分概念能得到实际应用，必须寻找简便有效的计算定积分的方法，那么我们必须探求定积分更加深刻的性质。
本节将介绍两个重要的定理，通过沟通定积分与不定积分的关系，给出了一个解决定积分计算问题的有效途径。
3.1 变限积分定积分有一个十分特殊而重要的性质，它对进一步考察微分和积分的关系起十分关键的作用。
但需要先介绍一个概念：注 由于⎰⎰-=xbbxdt t f dt t f )()(，因此，只要讨论变上限函数即可。
证 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。
对[a ，b ]上的任一点x ，只要[],x x a b +∆∈，按照Φ的定义有 ()()x x xaax x x fdt f dt +∆∆Φ=Φ+∆-Φ=-⎰⎰。
又函数)(x f 在[a ， b ]上可积，则)(x f 在[a ， b ]上有界，即存在正数M ，对一切[],x a b ∈有()f x M ≤。
又当0x ∆≥时有x xx xx xxxxf dt f dt Mdt M x +∆+∆+∆∆Φ=≤≤=∆⎰⎰⎰。
405又不难验证，当0x ∆<时，上述不等式M x ∆Φ≤∆仍然成立。
从而有lim 0x ∆→∆Φ=。
这就证得Φ在[],a b 上的连续性。
3.2 微积分学基本定理1 变限积分的可微性 ——微积分学基本定理当函数得可积性问题获得解决后，接着是要找到一种计算定积分得有效方法。
下面将通过揭示定积分与不定积分之间的内在联系来完成这一任务。
下面的两个定理，由于所起的重要作用而被称为微积分学基本原理。
证 ],[b a x ∈∀，任取0≠∆x ，且],[b a x x ∈∆+，则⎰⎰-=Φ-∆+Φ=∆Φ∆+xaxx at d t f t d t f x x x )()()()(⎰⎰⎰⎰∆+∆+=-+=xx xxaxx xxat d t f t d t f t d t f t d t f )()()()(，由积分中值定理知，存在ξ 介于x 与x +∆x 之间，使得x f ∆=∆Φ)(ξ，由于x x →⇒→∆ξ0，再由导数定义及)(x f 的连续性知)()(lim )(lim lim )(00x f f f x x xx x ===∆∆Φ=Φ'→→∆→∆ξξξ。
数学函数、极限、连续考点
第1章 函数、极限、连续1.1函数及其性质考点点睛1.有界性(1)()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界.(2)()f x 在(),a b 上连续,且()lim x af x A +→=,()lim x bf x B -→=,则()f x 在(),a b 上有界. (3)()'f x 在有限区间I 上有界,则()f x 在I 上有界. 2.奇偶性(1)()f x 是可导的奇(偶)函数,则()'f x 是偶(奇)函数. (2)()f x 是连续的奇函数,则其所有原函数都是偶函数;()f x 是连续的偶函数,则其所有原函数中只有一个是奇函数.(3)设()f x 在(),a a -上有定义,则()()f x f x +-是偶函数,()()f x f x --是奇函数. 3.周期性(1)()f x 是可导的以T 为周期的周期函数,则()'f x 也以T 为周期. (2)()f x 是以T 为周期的连续函数,则对于定义域内任意点a .()()x aF x f t dt =⎰以T 为周期()00Tf t dt ⇔=⎰.(3)()f x 是以T 为周期的连续函数，则()()()0Txf t dt F x f t dt x T=-⎰⎰以T 为周期.4.单调性设函数()f x 在区间I 上可导，(1)任意x I ∈,()()'0f x f x >⇒在I 上单调增加; 任意x I ∈,()()'0f x f x <⇒在I 上单调减少. (2)任意x I ∈,()()'0f x f x ≥⇔在I 上单调不减; 任意x I ∈,()()'0f x f x ≤⇔在I 上单调不增.在用单调性说明方程的根的问题时只能使用(1)中的单调增加(减少),而不能使用(2)中的单调不减(不增).1.[1988-I]已知()2x f x e =,()1f x x ϕ⎡⎤=⎦-⎣,且()0x ϕ≥,求()x ϕ并写出它的定义域.解由()21x ex ϕ⎡⎤⎣⎦=-,得()x ϕ=由()ln 10x -≥得1-1,x ≥即0x ≤,所以()0x x ϕ=≤.2[1990-I]设函数()1,10,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则()f f x =⎡⎤⎣⎦________. 答应填1. 解由()1,10,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩知,对一切的x 有()1f x ≤,则()1f f x =⎡⎤⎣⎦. 注函数的复合是一种重要的运算,求两个分段函数()y f u =和()u g x =的复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦,实际上就是将()u g x =代入()y f u =中,关键是搞清楚()u g x =的函数值落在()y f u =定义域的哪部分.3[1999]设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则 (A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数. (B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数. (C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数. (D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数.答应选(A).解直接法.据“1.1考点点睛”中的“2.奇偶性”可知(A)正确. 排除法.(B)的反例:()cos f x x =,()sin 1F x x =+不是奇函数. (C)的反例:()2cos f x x =,()11224F x x sin x C =++ ,不论C 取什么常数,()F x 都不是周期函数. (D)的反例()1f x x=-在(0,)+∞内是单调增加的,但()ln F x x =-在(0,)+∞内是单调减少的. 注连续函数()f x 的原函数()F x 可以表示为()0xf t dt C +⎰,考查()()()()0xx F x f t dt C f u d u C --=+=--+⎰⎰()0x f u du C =--+⎰.若()f x 是奇函数,则()()f u f u =--,进而对任意的常数C 都有()()F x F x =-; 若()f x 是偶函数,则()()f u f u =-,进而当且仅当0C =时有()()F x F x =--.4[2005]设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,“M N ⇔”表示“M 的充分必要条件是N ”,必有(A)()F x 是偶函数台()f x ⇔是奇函数. (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数 (C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数答应选(A)解 本题同上一题都是在考查原函数的奇偶性与周期性等性质,根据对上一题的分析,便可直接选(A).1.2极限的定义及性质5[2003]设{}{}{},,n n n a b c 均为非负数列,且lim 0,lim 1,lim n n n n n n a b c →∞→∞→∞===∞,则必有(A)n n a b <对任意n 成立. (B)n n b c <对任意n 成立. (C)极限lim n n n a c →∞不存在.(D)极限lim n n n b c →∞不存在.答应选(D).解假设lim n n n b c A →∞=(存在),则lim lim limlim n nn n n n n n n nn b c b c c A b b →∞→∞→∞→∞===(存在),这与lim n n c →∞=∞矛盾,故lim n n n b c →∞不存在.注由极限的局部保号性容易得到极限的局部保序性：若lim ,lim n n n n a A b B →∞→∞==,且A B >,则存在0N >,当n N >时,有n n a b >.对于本题,选项(A),(B)说对任意的n 成立,显然错了；对于选项(C),lim n n n a c →∞是典型的“0⋅∞”型未定式,其极限可能存在也可能不存在.1.3求函数的极限求函数极限首先是化简,其次是判别类型选择方法.常用的化简方法有:①非零常数因子先求出;②有理化;③通分;④倒代换.常用的方法有:①四则运算法则及基本极限;②等价代换;③洛必达法则;④泰勒公式. 1.常用的等价代换(0x →)()sin ~arcsin ~tan ~arctan ~ln 1~1~x x x x x x e x +-； ()211cos ~,1~ln ,11~2ax x x a x a x ax --+-； 3311tan ~,arctan ~33x x x x x x ---；()31ln 1~2x x x -+. 2.几个重要函数的泰勒展开式()233126xx x e x o x =++++；()33sin 6x x x o x =-+；()23cos 16x x o x =-+；()()233ln 123x x x x o x +=-++；()()()221112!x x x o x αααα-+=+++，其中()k o x 为0x →时x 的k 阶无穷小量. 3.极限值与无穷小的关系()()lim f x A f x A α=⇔=+,其中lim 0α-.1.3.1需要分别求左右极限的情形求分段函数在分段点处的极限,含绝对值函数、取整函数在相应点的极限,“e ∞”及“arctan ∞”型（()(),0,arctan arctan 22ee ππ+∞-∞=+∞=+∞=-∞=-,）的极限往往需要分别考查左右极限.6[1992-I]当1x →时,函数11211x e x x ---的极限 (A)等于2. (B)等于0.(C)为∞.(D)不存在但不为∞.答应选(D)解由于()11121111limlim 101x x eex x x x x ----→→-=+=-，而 ()11211111lim lim 11x x e x x x e x x -++-→→-=+=+∞-，则1x →时,函数11211x ex x ---的极限不存在,但不是∞.7[2000]求1102sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 解因14344002sin 2sin lim lim 111x x xx x x x e x e e x x x e e ++--→→-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 1144002sin 2sin lim lim 21111x xx x x x e x e x x x e e --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 故原式=1.1.3.2七种未定式的极限 未定式的基本类型是“00”和“∞∞”型,其余的五种未定式“0⋅∞”,“∞-∞”,“0∞”,“00”,“1∞”都可以转化为“00”和“∞∞”型,对“0∞”,“00”,“1∞”型未定式的极限lim u υ往往都是先改写为lim ln ueυ的形式再去计算，特别地对“1∞”型极限作如下处理:()lim 1lim ln lim u uu ee υυυ-==.8[1990—1]设a 是非零常数,则lim xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭__________. 答应填2ae ,解这是“1∞”型,直接有lim 1lim x xx ax x a x x a e x a →∞+⎛⎫- ⎪-⎝⎭→∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭,而2lim 1lim 2x x x a ax x a x a x a →∞→∞+⎛⎫-== ⎪--⎝⎭，故2lim xa x x a e x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 9[1991-I]求()0lim xx π+→.解这是“1∞”型,直接有()()0lim1lim x xxx eππ+→+→=，而()11lim 1lim 22x x x xx πππ++→→⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故(20lim xx e ππ+-→=.10[1992-I]0x x →.解 原式()0002sin 1cos limlim lim sin 112x x x x x x e x e xe x x x→→→---===+=. 11 [1993-I] 求21lim sin cos xx x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解 这是“1∞”型，直接有21lim sin cos 121lim sin cos x xx x x e x x →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而10021sin 2cos 1sin 2cos 1lim sin cos 1limlim lim 202t xx t t t t t t t x x t t t=→∞→→→+--⎛⎫+-=+=+= ⎪⎝⎭ 故 221lim sin cos xx e x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.注 在x →∞（或,+∞-∞）且极限式中含有“1x ”时，考虑作倒代换10t x=→（或0,0+-）往往很方便.12[1994-I] 011lim cot sin x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭___________.答应填16. 解原式()32330001cos sin sin 16lim lim lim sin 6x x x x x x x x x x x x x →→→--====. 13[1995-I]()2sin 0lim 13xx x →+=____________.答应填6e .解这是“1∞”型,直接有()022lim36sin sin 0lim 13x xx xx x ee →⋅→+==.14[1997]()()2013sin coslim1cos ln 1x x x x x x →+=++__________. 答应填32.解法1 ()()()2220001113sin cos3sin cos 3sin cos11limlim lim 1cos ln 12ln 12x x x x x x x x x x x x x x x x→→→+++==+++ 0013sin 113lim lim cos 222x x x x x x →→=+=. 解法2由于2001cos1limlim cos 0sin x x x x x x x→→==，故0x →时，21cos x x 是比sin x 高阶的无穷小,故加减中可直接略去,于是便有()()()()200013sin cos3sin 13sin 3lim lim lim 1cos ln 11cos ln 122x x x x x x x x x x x x x →→→+===++++.注本题解法1第一步利用“非零常数因子先求出”这一化简方法,对处理后续极限带来很大的方便,另外本题不能使用洛必达法则,因为求导后的极限不存在,且非无穷大,洛必达法则失效但这里充分利用极限的四则运算法则,将其拆分成两个单独的极限就很方便.15[1998]22limx x →=___________.答应填14-.解()()222222001111112212828lim 4x x x x o x x x o x x x →→+-++--+-==- 16[1999] 2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭__________. 答应填13解322330000111tan tan 13lim lim lim lim tan tan 3x x x x xx x x x x x x x x x x →→→→--⎛⎫-==== ⎪⎝⎭. 17[2003]()()21ln 10lim cos x x x +→=__________.12e -.解这是“1∞~”型,直接有()()()22112ln 1220001cos 12lim cos exp lim exp lim ln 1x x x x x x x e x x -+→→→⎧⎫-⎧⎫⎪⎪-⎪⎪===⎨⎬⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭.18[2006] ()ln 1lim1cos x x x x→+=-___________.答应填2.解 ()2002ln 1limlim 211cos 2x x x x x x x →→+==-. 19[2008]求极限()40sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦. 解法1()()()432000sin sin sin sin sin sin sin cos cos sin cos lim lim lim 3x x x x x x x x x x x x x x →→→-⎡⎤--⋅⎣⎦==()()22220001sin cos 1cos sin 1cos sin 12lim lim lim 3336x x x x x x x x x x →→→-⎡⎤-⎣⎦==== 解法2()()()433000sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin lim lim lim sin x x x x x x x x x x x x x→→→-⎡⎤--⎣⎦==3200sin 1cos 1limlim 36t t t t t t t →→--===.解法3由当0x →时()331sin 6x x x o x =-+,知()()331sin sin sin sin sin 6x x x o x =-+，于是 ()()()334330001sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 6lim lim lim x x x x x x o x x x x x x x x x →→→⎡⎤--+⎢⎥-⎡⎤-⎣⎦⎣⎦== ()33301sin sin 16lim 6x x o x x →+== 解法4 由于()31sin ~06x x x x -→，则()()31sin sin sin ~sin 06x x x x -→，于是 ()444001sin sin sin sin sin 16lim lim 6x x x x x x x x →→-⎡⎤⎣⎦==. 20 [2010] 极限()()2lim xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦（A ）1. （B ）e.(C)a be-.(D)b ae-.答应选(C)解这是“1∞”型,直接有()()()()22limx 1lim x xx x a x b x xe x a x b →∞⎡⎤-⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦→∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦而()()()()()22lim 1lim x x a b x abx x x a b x a x b x a x b →∞→∞⎡⎤-+-==-⎢⎥-+-+⎣⎦，于是()()2lim xa b x x e x a x b -→∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦，选（C ）. 21 [2001] 求极限()110ln 1lim xex x x -→+⎡⎤⎢⎥⎣⎦.解 这是“1∞”型，()()01ln 111lim ln10ln 1lim xx x x e xe x x ex →+-⋅-→+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而()()()000ln 1ln 1ln 111ln 11lim ln lim lim 1x x x x x x x x x e x x x→→→+⎡⎤++-⎢⎥-+⎣⎦⋅==- ()()()200011ln 1111limlim lim 2212x x x x x x x x x x →→→-+--+==-+.故()11120ln 1lim xex x e x --→+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.注 （*）也可利用泰勒公式处理()()2222001ln 112lim lim 2x x x x o x x x x x x →→-+-+-==-. 22 [2015] ()20ln cos limx x x→=________. 答 应填12-. 解法1 ()()2001sin ln cos 1cos limlim 22x x x x x x x →→-=-洛必达法则. 解法2 用等价无穷小替换()()()21ln cos ln 1cos 1~cos 1~02x x x x x =+---→⎡⎤⎣⎦， 故 ()222001ln cos 12lim lim 2x x x x x x →→-===-. 23 [2018] 若1sin 01tan lim 31tan kxx x x →-⎛⎫= ⎪+⎝⎭，k =__________.答 应填-2.解 这是“1∞”型，由题干可知1sin 001tan 11tan lim exp lim 11tan sin 1tan kxx x x x e x kx x →→-⎧-⎫⎛⎫⎛⎫=-=⎨⎬⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎩⎭，则 ()0011tan 2tan 2lim1lim 1sin 1tan sin 1tan x x x x kx x kx x k →→--⎛⎫-==-= ⎪+⋅+⎝⎭， 故2k =-.1.3.3含有变限积分函数的极限含有变限积分函数的极限往往可以通过洛必达法则去掉积分符号(变限积分函数求导),转化为一般类型的未定式,再去求解。
二元函数求极限的积分变限法与应用
二元函数求极限的积分变限法与应用在数学中，函数的极限是求解问题、研究函数性质的基础。
在二元函数中，求取函数的极限可能涉及到积分变限法。
本文将介绍二元函数求极限的积分变限法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、积分变限法简介积分变限法是一种通过引入积分变量的方法，将多重极限问题转化为一重极限问题的方法。
对于一个定义在闭区域D上的函数f(x,y)，如果可以通过积分变限法求出函数在特定点(x,y)处的极限值，那么该点的极限即为该函数在该点的极限。
具体来说，我们可以通过将函数的定义域限制在线段、曲线或曲面上，并引入一个辅助函数来进行积分变限。
这样一来，多元函数的极限问题就可以转换成一个一元函数的极限问题。
通过求出该一元函数在特定点的极限，我们可以得到多元函数在该点的极限。
二、积分变限法的具体应用1. 求二元函数的极限考虑一个二元函数f(x,y)，我们要求这个函数在点P(x0,y0)处的极限。
首先，我们可以通过引入变量t，并定义一个辅助函数F(t)如下：F(t)= integral(f(x0+t,y0+t)dt, 0, 1)其中integral表示积分运算。
接着，我们可以求解F(t)在t=0处的极限值。
如果我们得到的极限值存在，那么这个极限值就是f(x,y)在点P(x0,y0)处的极限。
2. 求曲面的切平面积分变限法还可以应用于求取曲面的切平面问题。
考虑一个定义在空间区域D上的曲面S，我们要求曲面在点P(x0,y0,z0)处的切平面。
同样地，我们可以引入一个参数方程，定义一个辅助函数F(t)如下：F(t)= integral(f(x0+ta,y0+tb,z0+tc)d(t), 0, 1)其中a、b、c为常数，f表示曲面上的函数。
接着，我们可以求解F(t)在t=0处的极限值。
如果该极限存在，那么这个极限值就是曲面在点P(x0,y0,z0)处的切平面。
三、积分变限法的优势与局限性积分变限法在求解二元函数的极限问题时有其独特优势。
含变限积分的极限求解
含变限积分的极限求解$\lim{x \to 0} \frac{\int{0}^{x} \sin(t^{2}) \, dt}{x^{2}}$解：首先，我们观察到分子中的积分项$\int_{0}^{x} \sin(t^{2}) \, dt$是一个变限积分。
为了求解这个极限，我们可以先对分子进行变形，使其变为一个更易于处理的形式。
根据变限积分的性质，我们有$\int{0}^{x} \sin(t^{2}) \, dt = \frac{1}{2} \int{0}^{x^{2}} \sin(u) \, \frac{du}{u}$接下来，我们将这个积分项代入原极限表达式中，得到$\lim{x \to 0} \frac{\int{0}^{x} \sin(t^{2}) \, dt}{x^{2}} = \lim{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} \int{0}^{x^{2}} \sin(u) \, \frac{du}{u}}{x^{2}}$由于$x \to 0$，我们可以将$x^{2}$替换为$0$，得到$\lim{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} \int{0}^{x^{2}} \sin(u) \, \frac{du}{u}}{0}$此时，我们可以直接计算这个极限，得到$\lim{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} \int{0}^{x^{2}} \sin(u) \, \frac{du}{u}}{0} = \frac{1}{2} \lim{x \to 0} \frac{\int{0}^{x^{2}} \sin(u) \, du}{x^{2}}$由于$\lim_{x \to 0} x^{2} = 0$，我们可以将分母中的$x^{2}$替换为$0$，得到$\frac{1}{2} \lim{x \to 0} \frac{\int{0}^{x^{2}} \sin(u) \, du}{0}$此时，我们可以利用洛必达法则求解这个极限，得到$\frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^{2})}{2x} = 0$。
浅议变限定积分
浅议变限定积分作者：郭胜红来源：《速读·中旬》2016年第09期摘要：给出了原函数存在定理的两个简单推论，并讨论了含有变限定积分的函数性状及其应用。
关键词：原函数存在定理；变限积分；极限微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，变限积分就是一种特殊的定积分，也是经常考察的一个知识点。
它具有很多特殊的性质，比如它的导数很特殊。
特殊性决定了它的重要性，现就它的几个性质加以说明并举例阐述其应用。
此外，为了解决在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数这一问题，必须引入变限积分这一内容。
1知识点设函数在上可积，变限定积分定义了上的一个新函数。
定理1（原函数存在定理）如果函数在上连续，则变上限积分在内可导，且其导数为.即是被积函数的一个原函数。
推论1：若函数在区间上连续，为内任一定点，则变动上限积分函数在上处处可导，且，。
此推论是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量（不是含的其他表达式）；第二，被积函数中只含积分变量，不含参变量。
推论2：若是函数在区间上的连续点时，还在点可导，且。
而对函数，当连续，和可微时，可导且有。
讨论含有变限定积分的函数性状时，往往利用这些重要的结论。
2应用2.1求极限解：令，。
定义，在（或）上连续，利用洛必达法则可得：2.2设函数连续，，存在，求极限解：令，作代换，有：，由于连续，可导，由于，，以及时，利用洛必达法则可得：2.3设函数在上连续且递增，则函数在内递增证：容易看出在上连续，存在，使得，，所以：，即函数在内递增。
2.4设为上周期是1的连续函数，且，函数在上有连续导数，又设，试证明收敛。
证明：令，则可导。
因为在在上连续，所以，使得，都有，，而收敛，故由级数收敛的比较判别法知级数收敛。
尽管2.4从题目看来与变限积分函数求导无关，但是引入变限积分会有柳暗花明又一村的感觉。
有关变限积分函数的应用是比较多的，本文只给出了变限积分函数的一些性质和应用的简单探讨，以上讨论只是一个开始，如果进一步对其进行讨论，会得到一些更好的结论，也期望可以从其他的角度来研究变限积分函数，使得变限积分函数像初等函数一样充分的被讨论，并给予足够的重视。
变限积分求极限例题
变限积分求极限例题变限积分求极限是高等数学中常见的一类问题，它涉及到求函数在一个变化的区间上的积分的极限。
下面我将以一个例题为例，介绍求解变限积分极限的方法。
例题：求极限$\lim_{x\to 2}\int_{0}^{x}(t^3-2t)dt$对于这个例题，我们需要用到积分和极限的性质。
首先，我们可以对原函数进行积分，得到不定积分：$\int(t^3-2t)dt=\frac{1}{4}t^4-t^2+C$然后，根据极限的性质，我们可以将极限符号移到积分内部：$\lim_{x\to 2}\int_{0}^{x}(t^3-2t)dt=\int_{0}^{2}(t^3-2t)dt$接下来，我们可以将积分的上限和下限带入积分表达式中，得到：$\int_{0}^{2}(t^3-2t)dt=\left[\frac{1}{4}t^4-t^2\right]_{0}^{2}$ 继续化简，我们可以计算出积分的值：$\left[\frac{1}{4}t^4-t^2\right]_{0}^{2}=\left(\frac{1}{4}(2^4)-2^2\right)-\left(\frac{1}{4}(0^4)-0^2\right)=2$最后，我们得到求解的结果为2。
上述例题给出了求解变限积分极限的一般步骤。
总结起来，求解变限积分极限的一般方法如下：1. 对积分函数进行积分，得到不定积分形式；2. 将极限符号移到积分内部；3. 将积分的上限和下限带入积分表达式中，计算积分的值；4. 得到极限的结果。
需要注意的是，在进行变限积分求极限的过程中，要注意积分函数是否存在间断点或奇点，以确保积分的计算的可行性。
此外，也要注意函数的连续性和可导性，以确保积分和极限的存在性。
除了以上方法，还可以应用洛必达法则、泰勒展开等数学工具来求解变限积分的极限，具体方法可以根据具体问题的特点和要求选择。
综上所述，求解变限积分极限需要用到积分和极限的性质，在特定的步骤和方法下进行计算，得出最终的结果。
导数在解决含有变限积分问题中的应用
导数在解决含有变限积分问题中的应用
王凤媛
【期刊名称】《山西财经大学学报》
【年(卷),期】2000()S1
【摘要】解题能力是数学的一项基本能力 ,如何解决具体问题不仅需要对问题中所涉及的概念有一定的了解 ,更重要的是要领悟蕴含在其中的数学思想方法 ,并且通过对数学思想的不断积累逐渐内化为自己的经验 ,形成观念 ,成为解决问题的自觉意识。
通过研究变限积分的构造。
【总页数】2页(P178-191)
【关键词】变上限积分;导数
【作者】王凤媛
【作者单位】山西财经大学
【正文语种】中文
【中图分类】O172
【相关文献】
1.含有变限积分或定积分的极限的求法 [J], 赵丽娜;何杰;张跃
2.通项含有变限积分的数列极限问题 [J], 刘俊先
3.含高阶导数和变积分限的Opial型不等式 [J], 杨恩浩
4.浅析如何处理含有变限积分的极限 [J], 杨磊
5.变限积分函数求导数的F-方法 [J], 侯玉双;何莉敏
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原式= .
练习 求极限 .
例2求极限 .
解：
练习 求极限 .
2、换元法和洛必达法则相结合
例3若 连续， ，求 .
解析：这是一个 型不定式极限，可以运用洛必达法则，但分子
中的被积函数含参数x，需要先将x分离出来，提到积分号外面去，这可以通过积分换元法实现，具体过程如下：
则原式
因为 ，所以原式= .
练习 求 .
3、结合等价无穷小求变限积分的极限
例4求 .
解
(等价无穷小代换)
(洛必达法则)
(变量代换)
(洛必达法则)
.
练习 求 .
三、能力反馈部分（考查学生对变限积分函数求极限的理解）
（1）求 .
（2）设 连续， ， ，求 .
（3）求
模块基本信息
一级模块名称
积分学
二级模块名称
应用模块三级模ຫໍສະໝຸດ 名称含变限积分的极限问题模块编号
4-5
先行知识
变上限积分函数及其导数
模块编号
4-4
3-2
洛必达法则
模块编号
知识内容
教学要求
掌握程度
变上限积分函数的导数求极限
会利用变上限积分函数的导数求极限
一般掌握
能力目标
1、培养学生理解问题的能力
2、培养学生的计算能力
时间分配
0分钟
编撰
秦小娜
校对
方玲玲
审核
危子青
修订人
张云霞
二审
危子青
一、正文编写思路及特点
思路：复习变上限积分函数定义及其求导，同时利用变上限积分函数的导数求极限,采用讲练结合来强化重点.
二、授课部分
（一）旧课复习
1、积分变上限函数的定义
2、积分变上限函数的导数
（二）新课讲授
1、直接利用洛必达法则
例1求极限 .