巧用定积分求极限(数学分析)
定积分的定义在求无穷和式极限中的应用
度、操作技能的掌握程度、收集整理资料的能力以及观察 问题和分析解决问题的能力等，充分发挥学生的主观能动 性。 ３ 实施方案
（１）根据素质教育要求和教育部“关于进一步深化本 科教学改革全面提高教学质量的若干意见”，结合专业实 际在充分调研的基础上调整好食品质量与安全专业实践教 学体系。
（２）以学科与课程组为单位，编写实验教学大纲和实 习实践教学大纲，在修订实验大纲以及实验教材时，增加 综合性、设计性实验比重，并把学科发展的新成果充实到 教学内容中去。
（６）对已建立协议的教学实习基地要不断加强联系与 交流，建立牢固的长期合作关系，每学年邀请基地领导来 我院共同研究实习基地建设问题，并做好年度实习基地建 设工作总结。继续考察、遴选新的实习基地，加快建立满 足新专业要求的实习基地。
（７）积极开展第二课堂活动，推进导师制，言传身教 使学生在参加科技实践创新活动中，提高实践能力及创新 能力。
在高等数学的教学中，介绍了很多求函数极限的方
法。但是当我们遇到极限为“无穷多个无穷小之和”的形
式（以下简称无穷和式），就不能用这些常规的方法了。
通常是先求出无穷数列前ｎ项的和，再求和式的极限。但当
数列的前ｎ项的和不易求出时，我们就可以考虑用定积分的
定义来求它的极限了。
学过定积分的定义，我们知道定积分是积分和的极
参考文献： ［１］ 常 庚 哲 等 ．数 学 分 析 教 程 （上 ）［Ｍ］．北 京 ：高 等 教 育 出 版
社，２００３：３００～３３１． ［２］ 吉米多维奇．数学分析习题集题解（六）［Ｍ］．济南：山东科学技术
出版社，２００２：１０３～１４８． ［３］ 上海财经大学应用数学系．高等数学［Ｍ］．上海：上海财经大学出
（３）出台相应的激励政策，鼓励教师参与实践教学的 改革，并通过实践教学活动和科研有机结合起来，产学研 相长，不断提高实践教学水平。
数学分析中极限问题的浅析 (1)
《数学分析》中极限问题的浅析极限理论是数学分析这门学科的基础，极限方法是数学分析的基本方法，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，可以说，极限贯穿整个数学分析的始末，学好极限十分重要。
完整的极限理论的建立，依赖于实数的基本性质，即实数系的所谓连续性，我们已经熟悉的单调有界原理，就是连续性的一个等价命题。
极限问题类型很多，变化复杂，解决极限问题在数学分析中更显得尤为重要。
这里举一些比较典型的实例，希望从中归纳出解决极限问题的方法。
下面举例说明求解极限问题的若干方法，其主要是根据极限的定义、运算法则和性质、定理，以及数学上的其他知识和技巧。
一 求数列极限（一） 利用迫敛性定理求极限首先说明迫敛性定理[1]求极限，这是一种简单而常用的方法。
例1、证明 （1） (a > 0)（2） 证明： （1）当a = 1时，等式显然成立。
当a >1时，令则：a = (1 + h n )n = 1 + nh n + 故0 < h n <h n = 0即： (1 + h n ) = 1 当 0 < a < 1时：lim ∞→n 1=n a lim ∞→n 1=n n n n h a +=1 (h n > 0)n nn n nh h h n n >++- 22)1(na由迫敛性定理lim∞→n lim ∞→n =n a lim∞→n lim ∞→n =n a lim ∞→n =na 11 1 lim ∞→n n a1= 1（2） 设n = (1 + h n )n = 1 + nh n +>由迫敛性定理得 h n = 0从而：例：求极限即：e n由迫敛性定理可得：从而：由连续函数定义知：极限定义是判定极限是某个数的充要条件，因此有时要用到它的否定形式[2]，现叙述如下：（二）单调有界原理求极限单调有界原理是判定极限存在的重要法则，虽然它不能判定极限是什么nn h n +=1其中h n > 0 则2≥n nn n h h n n ++- 22)1(22)1(nh n n -即： 0 < h n <)2(12≥-n n lim∞→n lim ∞→n =n n lim ∞→n (1 + h n ) = 1lim+→0λ⎪⎪⎭⎫+++ ⎝⎛λλλn e e e n 21时：解：当0>λλλλλnnn ne e e e ≤++< 1n n e n e e λλλλ≤ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫++≤ 1令 +→0λlim +→0n n n e e e e =⎪⎪⎭⎫+++ ⎝⎛λλλλ21lim+→0n λn ee n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++λλ 1⋅λ{}，，，对任意自然数，若存在设数列01000N N N a n >∃>ε{}为极限。
浅谈数学分析中求极限的常用方法
浅谈数学分析中求极限的常用方法Preliminary analysis on the common method of limit problem inmathematical analysis摘要求极限问题是数学分析学习的基础，也是其极为重要的内容之一。
极限问题分为函数极限和数列极限两类，其他很多重要的数学概念的学习都建立在极限基础上，比如导数，积分，级数等等。
因此要学好数学分析，就要学好极限。
解决极限问题看似简单，但却很抽象，往往很难求出。
我们不能仅仅局限于用极限的概念求极限，我们应该掌握多种方法，并且运用各种方法结合，快速而准确的求出极限。
因为极限贯穿于数学分析学习的始终，许多数学概念是从极限出发而得出的。
所以反过来，我们也可以通过有关于极限的数学概念而求出极限。
但是这并不是非常容易的事情，因为极限问题过于抽象，所以我们应该单独的学习各种方法针对性的求极限，最后再进行整合，把多种方法相结合来求极限。
由此可以看出求极限问题是十分繁琐的，针对这种情况，本文中介绍了多种基本的求极限方法和注意事项，并且通过例题的运算过程清晰明了的展现了极限问题的解决过程，使极限问题变得相对简单易懂，为数学分析的学习打下基础。
关键词：数列极限；函数极限；方法Preliminary analysis on the common method of limit problem inmathematical analysisAbstractLimit problem is the base of mathematical analysis. It can be divided into function limit and sequence limit, both of them are very important. Mary other important mathematical ideas are based on limit, such as derivative integral and progression. If one wants to learn mathematical analysis well, he must learn limit well. It is usually very hard to solve limit problem, it seems to be simple, but rather abstract in fact we can not be restricted to solve limit problem by using the concept of limit. We should master multiple methods and use them together to solve the limit problem quickly and accurately. Limit exists in the whole process of mathematical analysis many mathematical concepts start from limit. On the contrary, we can use these concepts to solve limit problem. All these are no easy things. Because of the abstract of limit problem, we should learn multiple of methods in a target way and eventually combine them to solve limit problem. We can see that solving limit problem is very complicated. Aiming at this circumstances, this article introduce multiple basic ways to solve the problem and master needing attention, The calculation of example shows the solving process of limit problem. It make limit problem easier to understand and provide a foothold for the study of mathematical analysis.目录摘要 (I)Abstract (III)引言 (1)1 极限相关的概念 (2)1.1 数列极限 (2)1.2 函数极限 (2)1.3 函数极限和数列极限的关系 (3)2 求极限的常用方法 (4)2.1 极限的四则运算法则 (4)2.2 两个重要极限 (5)2.3 用函数的连续性求极限 (7)2.4 等价无穷小代换 (8)2.5 洛必达法则 (9)2.6 根据定积分的定义求极限 (11)2.7 利用泰勒公式求极限 (12)2.8 利用极限存在准则求极限 (13)2.9 拉格朗日中值定理求极限 (15)3 求极限的小技巧 (15)3.1 有界函数与一个无穷小量的积仍为无穷小量 (16)3.2 换元法 (16)3.3 数列极限转化成函数极限 (17)结论 (18)参考文献 (19)引言求数列极限和函数极限是数学分析中的基础，求极限问题贯穿在数学分析学习的始终。
定积分的计算方法与技巧解析
出定积分的值。
2.5 利用被积函数的性质及积分区间的特点求解定积分
在求解定积分时，有时候被积函数具有奇偶性和周期性，
而积分区间也比较特殊，这时可利用性质求解[1-2]：
（1）若函数 在区间
上连续且为奇函数，
则
；
（2）若函数 则：
在区间
上连续且为偶函数，
①
；②
（3）若 在上 可积，且是周期为 的周期函数， 为 任意实数，则有[3]：
定积分的换元法主要针对当被积函数中含有
等因子时，可
令
消去根号，或通过作三角代换消去根号，再进行求解，值得注意的是换元必
相应改变定积分的上下限。
例3 求
。
解令
，则
。当
时， ；当
时， 。
例4 解令
。 ，则
。当
时，
；当 时， 。
2.4 利用分部积分法 分部积分法主要用于求解当被积函数是两类函数的乘积的形式的定积分，分部积分法 的关键是要正确选择 和 。分部积分法在解题过程中可以多次使用，但应注意在多次 使用分部积分法时要“从一而终”，即若第一次选取指数函数作为 ，那么后面再次使用③
， 为自然数；④正弦函
数在周期区间上的积分值为0，余弦函数在半周期区间上的积分 值为0。
探讨数学分析中求极限的方法x
探讨数学分析中求极限的方法摘要：极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念 ,极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具 ,因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法 ,对学好高等数学是十分重要的。
极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法。
本文详细介绍了一些典型的极限计算方法 ,给出解题思路及相应技巧 ,并辅以典型的例题 ,最后还强调了求极限时的注意事项。
关键词：极限；类型；方法。
一、 利用函数连续性求极限由于初等函数在定义区间内处处连续，所以求初等函数在定义区内任意点处的极限值，就是求其函数在该点处的函数值。
由函数)(x f y =在x 0 点连续定义知，)()(lim 00x f x f x x =→。
例1 求)52(lim 22-+→x x x . 解 ∵52)(2-+=x x x f 是初等函数，在其定义域（全体实数）内连续∴所以用代入法求出该点的函数值就可。
即原式=2⨯2＋2⨯2－5=3 例2 求632lim 220++-→x x x x . 解 由于632)(22++-=x x x x f 在x=0处连续 所以2163632lim 220==++-→x x x x 例3 求1352lim 22+-+→x x x x分析 由于552225lim lim lim 2)52(lim 2222222=-+⨯=-+=-+→→→→x x x x x x x x 71231lim lim 3)13(lim 222=+⨯=+=+→→→x x x x x所以采用直接代入法解 原式=751235222)13(lim )52(lim 2222=+⨯-+⨯=+-+→→x x x x x二、利用无穷小的性质求极限我们知道无穷小的性质有：性质1：有限个有界函数与无穷小的乘积为无穷。
性质2：在自变量同一变化的过程中无穷大量的倒数为无穷小。
数学分析中求极限的几种重要方法
而+@$/=0+ H5* 存在+ # 再对式两边取极限得 5H槡,P5"所以 5)
R5R, H%" 解 得 5H$P槡$P3, 和 5H$R槡$P3, * 舍 去 + " 所
)
)
以+@$/=0+ H$
P槡$ )
P3,
#
' 十一( 利用对数法求极限
形如 3* 0+ 4*0+ 的极限"通常利用指数与对数恒等变形式
H ." )
,+P$
H .P,)+ ))
"证明!{,+ }
收敛"
并求其极限#
证5用数学归纳法可以证明!%d,+ d."* + H$")"3+
事实上
%
d,$
H .d."假设 )
%
d,+
d.d$
"则!
% d, +P$
H .P,)+ ))
d.P.) d.P.H. ))))
令 3* 0+H .P0) "则 3s* 0+H0# ))
关键词数学分析极限方法
一极限的简单概述
极限是数学分析中最基本的概念"因为数学分析的其他
基本的都用到极限来刻画# 如函数在某一点 0% 处连续'函数 在某点 0% 可导'偏导数$定积分$二重积分和三重积分定义' 无穷积分瑕积分$无穷级数的收敛的定义等# 因此极限是贯
穿数学分析的一条主线"它将数学分析的各个知识点联系在
*
7P$+
分析例说求极限的几种方法
分析例说求极限的几种方法导读：四那么运算法那么指：如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为零法那么本身很简单，但有些函数求极限往往不能直接利用法那么需要先对函数做某些恒等变形或化简，常用的变形或化简方法主要有分式的分子或分母分解因式、分式的约分或通分、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形等。
利用单调有界准那么求极限，首先讨论数列的单调性和有界性，再解方程可求出极限。
总之，极限的求法很多，但如果在解题过程能根据算式的特点注意使用适当的解题方法，那么可以化难为易，使问题得到圆满解决，并可提高解题效率。
:数列，函数,极限,求法极限思想贯穿于整个微积分的课程之中,掌握好求极限的方法是分必要的。
由于极限的求法众多，且灵活性强，因此有必要对极限的求法加以归纳总结，本文就师范数学微积分的内容总结了如F 12种方法:【一】利用极限四那么运算法那么求极限四那么运算法那么指：如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为零）。
法那么本身很简单，但有些函数求极限往往不能直接利用法那么，需要先对函数做某些恒等变形或化简，常用的变形或化简方法主要有分式的分子或分母分解因式、分式的约分或通分、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形等。
解：原式== 例2.解:原式=【二】利用两个重要极限求极限两个重要极限为:,或它们的扩展形式为:,或，利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四那么运算法那么求极限。
例3.解:原式=。
例4.解:原式=。
例5.解:原式=【三】利用函数的连续性求极限由函数f(x)在x0点连续定义知,,由于初等函数在定义区间内处处连续，所以求初等函数在定义区间内任意点处的极限值，只要求其函数在该点处的函数值，因此可直接代入计算。
定积分的和式极限
定积分的和式极限
数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值a不断地逼近而被人为规定为“永远靠近而不停止”。
另外，极限是一种“变化状态”的描述。
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。
用音速思想解决问题的通常步骤可以归纳为：
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
音速思想就是微积分的基本思想，就是数学分析中的一系列关键概念，例如函数的连续性、导数（为0获得极大值）以及的定分数等等都就是借助音速去定义的。
如果必须反问：“数学分析就是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用音速思想去研究函数的一门学科，并且计算结果误差大至难于想象，因此可以忽略不计。
浅谈数学分析中极限的求法
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３６浅谈数学分析中极限的求法浅谈数学分析中极限的求法Һ马金玲㊀（吉林师范大学，吉林㊀长春㊀１３００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ极限理论是帮助学生将对数学的有限认识拓展到无限认识㊁近似认识拓展到精确认识的一种方法，在高等数学的学习中起到基础性的作用．在极限理论中存在两个基本问题，分别是极限存在性的证明和极限值的计算，二者密切相关，如果能求出某极限的值，则其存在性就会被证实，因此，如何求解极限尤为重要．但由于数列或函数形式的多样性和复杂性，在求解其极限值时不可能找到统一的方法，只能根据具体情况具体分析和处理．本文主要介绍一些极限的基本类型，提供一些求解极限的常用方法和技巧，并探究在某些方法中的转化思想．ʌ关键词ɔ极限；单调有界；重要极限；洛必达法则；归纳总结在数学分析的学习中，我们发现数列和函数极限的形式很复杂，因此，求解极限的方法也多种多样，当然，对于不同的方法有其各自的优势及适用范围．本文通过对典型例题的探究求解，归纳总结出一些常用的求解方法，以探究数学中的技巧性，提升学生对数学知识体系的梳理能力．另外，本文旨在通过应用无穷小量㊁重要极限㊁洛必达法则等方法，在求解极限的过程中体会数学思维的转化，感受数学知识的紧密联系，构建条理清晰㊁逻辑严谨的数学知识框架．一㊁极限的定义数列极限的ε Ｎ定义㊀设｛ａｎ｝为数列，ａ为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ时有｜ａｎ－ａ｜＜ε，则称数列｛ａｎ｝收敛于ａ，定数ａ称为数列｛ａｎ｝的极限，并记作ｌｉｍｎңɕａｎ＝ａ或ａｎңａ（ｎңɕ）．函数极限的ε δ定义㊀设函数ｆ在点ｘ０的某个空心邻域Ｕʎ（ｘ０；δᶄ）内有定义，Ａ为定数．若对任给的ε＞０，存在正数δ（＜δᶄ），使得当０＜｜ｘ－ｘ０｜＜δ时有｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε，则称函数ｆ当ｘ趋于ｘ０时以Ａ为极限，记作ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ或ｆ（ｘ）ңＡ（ｘңｘ０）．二㊁极限的求解１．单调有界定理定理１㊀在实数域中，若数列｛ａｎ｝单调且有界，则数列｛ａｎ｝一定存在极限．注㊀（１）在应用单调有界定理求解极限时，首先要满足数列｛ａｎ｝是单调数列，即满足ａｎɤａｎ＋１（或ａｎȡａｎ＋１），其次要保证数列｛ａｎ｝有界．（２）证｛ａｎ｝的单调性：①考察ａｎ＋１－ａｎ的符号；②当ａｎ＞０时，考察ａｎ＋１ａｎȡ１或ａｎ＋１ａｎɤ１æèçöø÷；③若得到一个一元可导函数的递推公式ａｎ＋１＝ｆ（ａｎ），则可求导，然后根据ｆᶄ（ｘ）的符号来确定其单调性．证｛ａｎ｝的有界性常利用数学归纳法或已知不等式推证．例１㊀设ａ１＝４，ａｎ＝１ａｎ－１＋ａｎ－１２，ｎ＝２，３， ，求ｌｉｍｎңɕａｎ．解㊀由于ａｎ＋１－ａｎ＝ａ２ｎ＋２－２ａ２ｎ２ａｎ＝２－ａ２ｎ２ａｎ．接下来证２－ａ２ｎɤ０，即证ａｎȡ２，ｎ＝１，２， 由于ａｎ２＝１２１ａｎ－１＋ａｎ－１２æèçöø÷ȡ１ａｎ－１㊃ａｎ－１２＝１２，故｛ａｎ｝单调递减，且其下界为２．根据定理１可判断数列｛ａｎ｝，故设ｌｉｍｎңɕａｎ＝ａ（ａ＞０）．又对上式两边取极限，得ａ－ａ＝２－ａ２２ａ，解得ａ＝２，即ｌｉｍｎңɕａｎ＝２．归纳小结㊀在应用单调有界定理求解数列极限时，首先要证明的是数列存在极限，也就要证明数列满足单调性和有界性．证明单调性的过程考查了学生对初等数学中数列知识的掌握，其证明方法的选用要根据具体问题而定；而在证明有界性时常应用数学归纳法．在证明极限存在时应分两步走，且将高等数学的问题转化为初等数学的知识，让难题迎刃而解，最后依据极限的唯一性求出极限值．值得注意的是，单调有界定理只适用于满足条件的数列求解极限问题．２．迫敛性（１）设有三个数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝，｛ｃｎ｝，满足：∃Ｎ，∀ｎ＞Ｎ，有ａｎɤｂｎɤｃｎ，且ｌｉｍｎңɕａｎ＝ｌｉｍｎңɕｃｎ＝ｌ，则ｌｉｍｎңɕｂｎ＝ｌ．（２）设有三个函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），ｈ（ｘ）在Ｕʎ（ａ；δ）内有定义，若它们满足ｆ（ｘ）ɤｇ（ｘ）ɤｈ（ｘ），ｘɪＵʎ（ａ；δ），且ｌｉｍｘңａｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘңａｈ（ｘ）＝Ａ，则ｌｉｍｘңａｇ（ｘ）＝Ａ．例２㊀求ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋１＋１ｎ２＋２＋ ＋１ｎ２＋ｎæèçöø÷．解㊀在这ｎ个数１ｎ２＋１，１ｎ２＋２， ，１ｎ２＋ｎ中，１ｎ２＋１最大，１ｎ２＋ｎ最小，因而ｎｎ２＋ｎɤ１ｎ２＋１＋１ｎ２＋２＋ ＋１ｎ２＋ｎɤｎｎ２＋１，而且ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋ｎ＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ＝１，ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋１＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ２＝１，所以，由迫敛性得. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３６ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋１＋１ｎ２＋２＋ ＋１ｎ２＋ｎæèçöø÷＝１．归纳小结㊀在应用迫敛性求解数列或函数极限时，可将对极限的直接求解转化为先对极限变量进行放缩，再找出易求得极限的上下界，从而间接求得原极限．值得注意的是，在遇到极限变量可以进行放缩的求解极限问题时可以优先考虑迫敛性．３．两个重要极限（１）ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ＝１；（２）ｌｉｍｘңɕ１＋１ｘ()ｘ＝ｅ．注㊀在应用重要极限求解极限时，首先要进行初等变形．这里的初等变形是指用初等数学的方法将数列或函数转化成上述两个重要极限的形式．例３㊀求ｌｉｍｘң０ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ２ｘ３．解㊀将原式中的函数凑成如下形式，ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ２ｘ３＝１２㊃１ｃｏｓｘ㊃ｓｉｎｘｘ㊃１－ｃｏｓｘｘ２＝１２㊃１ｃｏｓｘ㊃ｓｉｎｘｘ㊃２ｓｉｎ２ｘ２ｘ２＝１２㊃１２ｃｏｓｘ㊃ｓｉｎｘｘ㊃ｓｉｎｘ２ｘ２æèçççöø÷÷÷２，又ｌｉｍｘң０１２ｃｏｓｘ＝１２，ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ＝１，ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ２ｘ２æèçççöø÷÷÷２＝１，于是有ｌｉｍｘң０ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ２ｘ３＝１４．定理２（归结原则）㊀设函数ｆ在Ｕʎ（ｘ０；δᶄ）上有定义，那么ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）存在等价于：对任何Ｕʎ（ｘ０；δᶄ）中的数列｛ｘｎ｝，满足ｌｉｍｎңɕｘｎ＝ｘ０，且ｌｉｍｎңɕｆ（ｘｎ）都存在且相等．注㊀归结原则在数列（离散变量）极限与函数（连续变量）极限之间建立起了桥梁，使二者在一定条件下可以相互转化，这对处理极限问题起到了重要的作用．例４㊀求ｌｉｍｎңɕ１＋１ｎ＋１ｎ２æèçöø÷ｎ．解㊀令ｆ（ｘ）＝１＋１ｘ＋１ｘ２æèçöø÷ｘ，则ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘң＋ɕ１＋ｘ＋１ｘ２æèçöø÷ｘ２ｘ＋１㊃ｘ＋１ｘ＝ｌｉｍｘң＋ɕ１＋ｘ＋１ｘ２æèçöø÷ｘ２ｘ＋１éëêùûúｘ＋１ｘ＝ｅ，由归结原则，得ｌｉｍｎңɕ１＋１ｎ＋１ｎ２æèçöø÷ｎ＝ｅ．归纳小结㊀在应用两个重要极限求解极限问题时，首先要应用初等数学的方法将数列或函数化成两个重要极限的形式之一，再进行求解．应用该方法的关键就在于将原极限形式 凑成 上述两个重要极限．值得注意的是，在遇到三角函数形式和 １ɕ 形式的极限问题时要优先考虑应用两个重要极限．另外，在求解 １ɕ 形式的数列极限时，要结合归结原则将数列问题转化成函数问题，再进行求解．４．洛必达法则洛必达法则是求不定式极限的重要方法，它将两函数之比的极限求解问题转化为两函数导数之比的极限求解问题．其几何意义是：两曲线上的点的纵坐标之比的极限可转化为两曲线上的点的切线斜率之比的极限．不定式极限包含两种基本形式：００与ɕɕ．（１）００型不定式极限定理３㊀若函数ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）满足条件：（ⅰ）ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｘ０ｇ（ｘ）＝０；（ⅱ）在点ｘ０的某空心邻域Ｕʎｘ０()上，ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）都可导，且ｇᶄ（ｘ）ʂ０；（ⅲ）ｌｉｍｘңｘ０ｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝Ａ（ＡɪＲ，或为ʃɕ，ɕ），则ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｘ０ｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝Ａ．例５㊀求ｌｉｍｘңπ２＋ｃｏｓｘｔａｎ２ｘ．解㊀因为ｆ（ｘ）＝２＋ｃｏｓｘ与ｇ（ｘ）＝ｔａｎ２ｘ在点ｘ０＝π的邻域上满足（ⅰ）与（ⅱ），又ｌｉｍｘңπｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝ｌｉｍｘңπ－ｓｉｎｘ２ｔａｎｘｓｅｃ２ｘ＝－ｌｉｍｘңπｃｏｓ３ｘ２＝１２．故由洛必达法则求得ｌｉｍｘңπｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘңπｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝１２．（２）ɕɕ型不定式极限定理４㊀若函数ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）满足条件：（ⅰ）在Ｕʎ＋（ｘ０）上二者皆可导，且ｇᶄ（ｘ）ʂ０；（ⅱ）ｌｉｍｘңｘ＋０ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｘ＋０ｇ（ｘ）＝ɕ；（ⅲ）ｌｉｍｘңｘ＋０ｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝Ａ（ＡɪＲ，或为ʃɕ，ɕ），则ｌｉｍｘңｘ＋０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｘ＋０ｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝Ａ．例６㊀求ｌｉｍｘң＋ɕｅｘｘ３＋１．解㊀可判定该极限是ɕɕ型不定式极限，故直接应用洛必达法则，有ｌｉｍｘң＋ɕｅｘｘ３＋１＝ｌｉｍｘң＋ɕｅｘ３ｘ２＝ｌｉｍｘң＋ɕｅｘ６ｘ＝ｌｉｍｘң＋ɕｅｘ６＝＋ɕ．归纳小结㊀应用洛必达法则求解极限问题，其实质在于将求解两个函数之比的极限转化为两函数导数之比的极限，使得复杂函数的求极限问题转化为简单函数的求极限问题．但在应用洛必达法则时有些需要注意的问题：（１）不是所有比式极限都可以应用洛必达法则求解，一方面必须注意它是不是不定式极限，另一方面要看是否满. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３６足洛必达法则的应用条件；（２）在求解极限的过程中，有时可能需要对ｆᶄ（ｘ）与ｇᶄ（ｘ）再应用洛必达法则，甚至有时需要对ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的高阶导数反复使用洛必达法则．５．定积分利用定积分求极限，通常有两种类型：一种是应用定积分的定义求解数列极限，另一种是应用变限积分和洛必达法则求解极限．（１）用定积分定义求解数列极限例７㊀求ｌｉｍｎңɕｎ１（ｎ＋１）２＋１（ｎ＋２）２＋ ＋１（ｎ＋ｎ）２éëêùûú．解㊀做如下变形：令Ｊ＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ()２＋１１＋２ｎ()２＋ ＋１１＋ｎｎ()２éëêêêùûúúú㊃１ｎ＝ｌｉｍｎңɕðｎｉ＝１１１＋ｉｎ()２㊃１ｎ．不难看出，其中的和式是函数ｆ（ｘ）＝１（１＋ｘ）２在区间［０，１］上的一个积分和．（这里取等分分割，Δｘｉ＝１ｎ，ξｉ＝ｉｎɪｉ－１ｎ，ｉｎ[]，ｉ＝１，２， ，ｎ）．所以有㊀ｌｉｍｎңɕｎ１ｎ＋１()２＋１ｎ＋２()２＋ ＋１（ｎ＋ｎ）２éëêùûú＝ʏ１０１（１＋ｘ）２ｄｘ＝ʏ１０１（１＋ｘ）２ｄ（１＋ｘ）＝１２．例８㊀求ｌｉｍｎңɕ１ｎ４（１＋２３＋ ＋ｎ３）．解㊀做如下变形：㊀ｌｉｍｎңɕ１ｎ４（１＋２３＋ ＋ｎ３）＝ｌｉｍｎңɕ１ｎ()３＋２ｎ()３＋ ＋ｎｎ()３[]㊃１ｎ＝ｌｉｍｎңɕðｎｉ＝１ｉｎ()３㊃１ｎ．不难看出，其中的和式是函数ｆ（ｘ）＝ｘ３在区间［０，１］上的一个积分和．（这里取等分分割，Δｘｉ＝１ｎ，ξｉ＝ｉｎɪｉ－１ｎ，ｉｎ[]，ｉ＝１，２， ，ｎ），所以有ｌｉｍｎңɕ１ｎ４１＋２３＋ ＋ｎ３()＝ʏ１０ｘ３ｄｘ＝１４．归纳小结㊀在应用定积分的定义求极限的过程中，我们将所求的数列极限转化归结为某可积函数ｆ（ｘ）在某区间［ａ，ｂ］上的某特殊的积分和，则该数列极限就等于ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ．通过对一些例题的探究，我们发现这些和式极限中的每一项都可以转化成ｉｎ的形式，并且能提出形如１ｎ的公因式，这样就可以把极限和转化为定积分来计算了．这一规律有助于求解某些和式极限问题．（２）应用变限积分求解极限定理５（原函数存在定理）㊀若ｆ在［ａ，ｂ］上连续，则函数Ф在［ａ，ｂ］上处处可导，且Фᶄ（Ｘ）＝ｄｄｘʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｘ），ｘɪ［ａ，ｂ］．例９㊀求ｌｉｍｘң０１ｘʏｘ０（１＋ｓｉｎ２ｔ）１ｔｄｔ．解㊀这是一个００型的不定式极限，先应用洛必达法则，可以得到㊀ｌｉｍｘң０１ｘʏｘ０（１＋ｓｉｎ２ｔ）１ｔｄｔ＝ｌｉｍｘң０ʏｘ０（１＋ｓｉｎ２ｔ）１ｔｄｔ()ᶄｘᶄ＝ｌｉｍｘң０（１＋ｓｉｎ２ｘ）１ｘ，（１ɕ）恒等变换后有（１＋ｓｉｎ２ｘ）１ｘ＝ｅ１ｘｌｎ（１＋ｓｉｎ２ｘ），于是有㊀ｌｉｍｘң０１ｘʏｘ０（１＋ｓｉｎ２ｔ）１ｔｄｔ＝ｌｉｍｘң０（１＋ｓｉｎ２ｘ）１ｘ＝ｅｌｉｍ１ｘｌｎ（１＋ｓｉｎ２ｘ）＝ｅ２．归纳小结㊀应用变限积分求解极限的过程中，主要是将原函数存在定理与洛必达法则相结合，进而求得原极限．三㊁结㊀语本文主要介绍了求解极限的多种方法．在极限理论中，求解极限问题占据着重要地位，由于极限的类型复杂繁多，我们根据对典型例题的探究，归纳总结了求解极限不同方法的适用条件及其中所蕴含的转化思想．因此，在面对极限求解问题时，我们首先要判断所求极限的类型，再选取合适的方法进行求解．当然，在选择方法时，要注意其适用条件，这一过程是非常重要的，否则会得出错误的结论．另外，在求解极限的过程中，数学思维的多样转化也让我们体会到了数学知识之间的紧密联系，从而建立了逻辑清晰的数学知识体系．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析：第４版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１１．［２］张天德，孙书荣．数学分析辅导及习题精解［Ｍ］．延吉：延边大学出版社，２０１１．［３］旷雨阳，刘维江．数学分析精要解读［Ｍ］．合肥：中国科学技术大学出版社，２０１６．［４］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义：第３版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９７．［５］桑旦多吉．高等数学中函数极限的求法分析［Ｊ］．学园，２０１５（１１）：８２－８３．［６］姜玉秋．巧用等价无穷小替换求解复杂极限的研究［Ｊ］．吉林师范大学学报（自然科学版），２００５（０４）：９３－９４．［７］温录亮．论求解极限的若干方法［Ｊ］．佛山科学技术学院学报（自然科学版），２０１１（０２）：３１－３６．［８］周学勤．探讨洛必达法则求极限［Ｊ］．濮阳职业技术学院学报，２０１０（０４）：１４３－１４４．［９］范钦杰，付军．数学分析问题解析［Ｍ］．长春：吉林人民出版社，２００４．. All Rights Reserved.。
1∞型求极限计算
1∞型求极限计算要求极限的1∞型是指当自变量趋于无穷时，函数中有1的幂次的极限问题。
这类极限计算在数学分析中常见，涉及到广义复数、极限的性质以及无穷性质的运算等等。
先举一个简单的例子来帮助理解1∞型极限的计算。
例1：计算lim[x→∞] (1 + 1/x)^x。
解法：首先可以将这个1∞型极限转化为e型极限，即取自然对数。
ln(lim[x→∞] (1 + 1/x)^x) = lim[x→∞] ln((1 + 1/x)^x)。
接下来我们可以利用极限的性质和对数的性质进行简化。
ln(lim[x→∞] (1 + 1/x)^x) = lim[x→∞] x * ln(1 + 1/x)。
接下来，利用定积分的定义对ln(1 + 1/x)进行求解。
设t=1/x，当x趋于无穷时，t趋于0。
则原式可以转化为：lim[t→0] (1/t) * ln(1 + t^(-1))。
再利用ln(1 + t^(-1))的泰勒展开式：ln(1 + t^(-1)) = t^(-1) - (1/2)t^(-2) + (1/3)t^(-3) - ...。
代回原式，得到：lim[t→0] (1/t) * (t^(-1) - (1/2)t^(-2) + (1/3)t^(-3) - ...)。
去掉极限符号，简化表达式：=1-(1/2)(1/t)+(1/3)(1/t)^2-...再回代得：=1-(1/2)(1/x)+(1/3)(1/x)^2-...=1-1/(2x)+1/(3x^2)-...当x趋于无穷时，高次幂的项趋于0，只保留x的项。
=1所以原式的极限为1综上所述，1∞型极限的计算需要利用数学分析的知识和极限的性质，可以通过取对数、泰勒展开等方法进行计算。
接下来我们继续探讨一些其他的1∞型极限求解方法。
例2：计算lim[x→∞] (1 + 1/x)^(kx)，其中k为常数。
解法：利用类似的方法，先取对数。
ln(lim[x→∞] (1 + 1/x)^(kx)) = lim[x→∞] kx * ln(1 + 1/x)。
定积分求极限例题
定积分求极限例题定积分是微积分中的重要概念之一，用于计算曲线下方的面积或者曲线围成的图形的面积。
在求定积分的过程中，有时需要考虑极限的问题。
下面我们来看一个例题：已知函数$f(x)=frac{1}{x}$，求$lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^{n}frac{1}{n+i}$的极限。
首先，我们将$sum_{i=1}^{n}frac{1}{n+i}$转化为定积分的形式。
对于函数$f(x)=frac{1}{x}$，我们需要计算从1到2的定积分，即$int_{1}^{2}frac{1}{x}dx$。
根据定积分的定义，我们可以将区间$[1,2]$分成$n$个小区间，每个小区间的宽度为$frac{1}{n}$。
于是，我们可以将$int_{1}^{2}frac{1}{x}dx$近似为$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}frac{1}{1+frac{i}{n}}$。
进一步，我们可以将$frac{1}{1+frac{i}{n}}$展开为$frac{1}{1+frac{i}{n}}=frac{n}{n+i}$。
于是，我们的问题可以转化为求$lim_{ntoinfty}frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}frac{n}{n+i}$的极限。
接下来，我们可以将$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}frac{n}{n+i}$简化为$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}frac{1}{1+frac{i}{n}}$，再进一步化简为$int_{0}^{1}frac{1}{1+x}dx$。
计算出$int_{0}^{1}frac{1}{1+x}dx$，我们得到结果为$ln(2)$。
所以，原问题的极限为$ln(2)$。
通过这个例题，我们可以看到定积分在求极限问题中的应用。
将求和转化为定积分，可以更方便地计算极限。
同时，这个例题也展示了定积分的定义和计算过程。
除了这个例题之外，定积分求极限还有很多其他的例题。
用定积分定义求极限的n次方
用定积分定义求极限的n次方在数学分析领域中是一个非常重要且常见的问题。
在研究这个问题之前，我们首先需要了解定积分的定义和性质。
定积分是微积分的一个重要概念，它描述了函数在一定区间上的面积或曲线下的面积。
而求极限则是计算函数在某一点或趋于某一点时的取值。
在本文中，我们将探讨如何利用定积分的定义求极限的n次方，并深入研究这个问题的数学原理和推导过程。
# 定积分的定义和性质定积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在一定区间上的面积或曲线下的面积。
在数学上，定积分可以定义为函数在一个区间上的面积，它可以被用来描述曲线下的面积、求函数的平均值等。
定积分的定义如下所示：\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n→∞}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)Δx其中，a和b是积分区间的上下限，f(x)是被积函数，dx表示积分变量，n 表示将区间分成的小区间的个数，x_i^*是每个小区间的取样点，Δx表示每个小区间的长度。
定积分具有一些重要的性质，如线性性、可加性等，这些性质在求解极限的n次方问题中发挥着重要作用。
# 求极限的n次方的定义求极限的n次方是一个常见且重要的数学问题，在实际问题中也经常遇到。
当我们要计算一个函数在某一点或趋于某一点时的取值时，就需要求该函数的极限。
求极限的n次方问题可以表示为：\lim_{x→a}(f(x))^n其中，f(x)是一个函数，n是一个正整数，a是函数的极限点。
当n为奇数时，求解这个极限问题比较简单，但当n为偶数时，就需要一些特殊的技巧和方法来求解。
在本文中，我们将重点讨论求极限的n次方问题中n为偶数的情况，并探讨如何利用定积分的定义来求解这个问题。
# 利用定积分定义求极限的n次方在求解极限的n次方问题中，当n为偶数时，我们可以利用定积分的定义来求解这个问题。
具体的推导过程如下：首先，我们将求解的问题转化为求解函数f(x)在区间[a,b]上的平均值的n 次方的极限。
利用定积分求极限
科技信息定理１：连续函数的定积分一定存在根据该定理，只要ｙ＝ｆ（ｘ）是连续函数，ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍλ→０ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）Δｘｉ，而且该极限与｛ξｉ｝的取法无关，与｛ｘｉ｝的分法无关。
其中Δｘｉ＝ｘｉ－ｘｉ－１。
正因为该极限与｛ξｉ｝的取法无关，与｛ｘｉ｝的分法无关，经常取｛ｘｉ｝使［ａ，ｂ］区间等分，取ξｉ＝ｘｉ或ξｉ＝ｘｉ－１所以Δｘｉ＝ｂ－ａｎ，ξｉ＝ａ＋ｂ－ａｎｉ或ξｉ＝ａ＋ｂ－ａｎ（ｉ－１）。
于是：ｌｉｍλ→∞ｂ－ａｎｎｉ＝１"ｆ（ａ＋ｂ－ａｎｉ）＝ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ或ｌｉｍλ→∞ｂ－ａｎｎｉ＝１"ｆ（ａ＋ｂ－ａｎ（ｉ－１））＝ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ一、形如ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）Δｘｉ的极限推论１如果函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上可积，将区间［ａ，ｂ］等分为ｎ个小区间，ξｉ为小区间ｉ－１ｎ（ｂ－ａ），ｉｎ（ｂ－ａ#$）上任意一点，Δｘｉ＝ｂ－ａｎ，则ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍｎ→∞ｂ－ａｎｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）。
例１．求极限ｌｉｍｎ→∞（ｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋…＋ｎｎ２＋ｎ２）解：原式＝ｌｉｍｎ→∞１ｎｎｉ＝１"１１＋（ｉｎ）２＝ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"１ｎ１１＋（ｉｎ）２＝ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）１ｎ（１）（１）式是函数ｆ（ｘ）＝１１＋ｘ２在区间［０，１］上的一个积分和，它是把区间［０，１］分成ｎ等份，ξｉ取ｉ－１ｎ，ｉｎ%&的右端点构成的积分和，由推论１可得ｌｉｍｎ→∞（ｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋…＋ｎｎ２＋ｎ２）＝１０!１１＋ｘ２ｄｘ＝π４利用定积分求ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）Δｘｉ关键为（１）寻找被积函数；（２）确定积分的下限ａ及上限ｂ。
具体步骤如下：（4）通过恒等变形，将Ｓｎ化为特殊形式的积分和：Ｓｎ＝ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）ｂ－ａｎ（5）寻找被积函数ｆ确定积分下限及上限：令ξｉ＝ｘ，被积函数为ｆ（ξｉ）＝ｆ（ｘ）；积分下限ａ＝ｌｉｍｎ→∞ξｋ（ｋ为ｉ的第一个取值）；积分上限ｂ＝ｌｉｍｎ→∞ξｍ（ｍ为ｉ的最后一个取值）。
求极限的多种方法
求极限的多种方法求极限的多种方法对于极限我们可以有多种的求解方法，针对不同的题型特点我们可以采取不同的方法使求解变的简便。
下面我利用自己的所学介绍几种求极限的方法。
一，根据迫敛性求极限1，求数列极限定理2.6：设收敛数列{a n }，{b n }都以a 为极限，数列{c n }满足：存在正数N 0,当n>N 0,时有a n ≢c n ≢ b n ，则数列{c n }收敛，且anc n =∞-lim 。
例 l i m ∞-n （nnnn++++++2221 (2)111）nnn +2≢nnnn++++++2221 (2)111≢nn2≡1lim∞-n nnn+2= lim∞-n nn2=1所以lim ∞-n （nnnn++++++2221 (2)111）=1把一个复杂的数列，规划在两个简单的式子范围里，简单的式子极限容易求得，在依据迫敛性，即可求出所要求的复杂数列极限。
2，求函数极限 定理3.6：设,)()(limlim 0A x g x f x x x x ==--且在某);(0δx u 内有则Ax h x x =-)(lim 0例 求]1[limxx x -当x.>0时，1-x ＜]1[xx ≢1而lim 0+-x （1-x ）=1故由迫敛性可知，]1[limxx x -=1另一方面，当x<0时，有1＜]1[xx ≢1-x ，故由迫敛性又可得，]1[lim 0xx x -=1综上我们求得]1[limxx x -=1二，利用四则运算求极限定理3.7：若极限lim 0x x -f(x)与lim 0x x -g(x)都存在，则函数f+g,f-g,f.g,，当x x 0→的极限也存在，且1) lim 0x x -[f(x)±g(x)]＝lim 0x x -f(x)±lim 0x x -g(x)2) lim 0x x -[f(x)g(x)] ＝lim 0x x -f(x).lim 0x x -g(x)3) limx x -)()(x g x f ＝lim 0x x -f(x)／lim 0x x -g(x)例2 lim 4π-x (xtanx-1)解 由xtanx=xxx cos sinlim 4π-x sinx=22= lim 4π-x cosx按四则运算法则有lim 4π-x (xtanx-1)= lim 4π-x x.xxx x cos sin lim lim 44ππ--－lim 4π-x 1=14-π利用四则运算可把复杂的式子转化为简单的式子加减乘除形式分别求简单式子的极限，这样就容易求出复杂的式子极限。
巧用定积分求极限(数学分析)
定积分在求极限中的应用1.常识预备微积分学在大学的数学进修中占领相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中经常要面对的问题.是以,积聚更多求极限的办法应是每位大学生必备的素养.“00”型的极限和“∞∞”型极限的.泰勒公式合适于解决求分式极限平分子或分母有加减运算的问题,经由过程泰勒展式后可以达到某些项抵消后果.但若细心不雅察这些办法,其特色不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学常识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时期进修过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘使也能用到积分学常识来解决求极限的问题,那么求极限的办法才算完美.而应用定积分求极限正表现了这一理念. 1.2定积分的概念下面起首让我们回想一下定积分以及极限的界说:定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有界说,在闭区间[],a b 内随意率性拔出n-1个分点将[],a b 分成n个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ∆=-=）,1[,]i i x x ξ-∀∈,作乘积()i i f x ξ∆(称为积分元),把这些乘积相加得到和式1()niii f xξ=∆∑(称为积分情势)设{}max :1i x i n λ=∆≤≤,若1lim ()ni ii f x λξ→=∆∑极限消失独一且该极限值与区是[],a b 的分法及分点i ξ的取法无关,则称这个独一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作b a ()f x dx⎰,即1()lim ()nbai ii f x dx f x λξ→=⎰=∆∑.不然称()f x 在[],a b 上不成积.注1:由牛顿莱布尼兹公式知,盘算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号.注2:若()b a f x dx⎰消失,区间[],a b 进行特别朋分,分点i ξ进行特别的取法得到的和式极限消失且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思惟在考题中经常消失,请读者要真正懂得.注3:定积分是否消失或者值是若干只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母暗示无关,即()()().b b ba a a f x dx f t dt f u du ⎰=⎰=⎰细心不雅察定积分的界说,我们必定会发明定积分的极限有以下两个特点.第一,定积分是无穷项和式的极限,轻易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必定趋近于零,不然和式极限不消失.第二,定积分与某一持续函数有慎密的关系,它的一般项受到这一持续函数的束缚,它是持续函数在某个区间长进行了无穷的朋分,各小区间上随意率性的函数值与区间长度的乘积的累加.对于极限,大学重要进修了数列的极限和函数的极限.数列的极限是用于解决离散的天然数的相干极限,而函数的极限则重要用于解决持续函数的相干极限.那么就让我们先一一往返想它们吧！ 极限的概念数列的极限设{}n a 为数列,a 为实数,若对任给的正数ε,总消失正整数N ,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a ,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a→∞=或()n a a n →→∞.(读作:当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a趋于a ).因为n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a→∞=或()n a a n →→∞.若数列{}n a 没有极限,则称{}n a 不收敛,或称{}n a 为发散数列.注1:关于ε:①εε的感化在于权衡数列通项n a 与常数a 的接近程度,ε越小,暗示接近得越好;而正数ε可以随意率性小,解释n a 与常数a 可以接近到任何程度;②εε有其随意率性性,但一经给出,就临时地被肯定下来,以便依附它来求出Ｎ;③ε的多值性.ε既是随意率性小的正数,那么2,3,2εεε等等,同样也是随意率性小的正数,是以界说１中的不等式||n a a ε-<中的ε可用2,3,2εεε“||n a a ε-<”可用“||n a a ε-≤”代替;④正因为ε是随意率性小的正数,我们可以限制ε小于一个肯定的正数.注2:关于N :①响应性,一般地,N 随ε的变小而变大,是以常把N 界说作()N ε来强调,N 是依附于ε的;ε一经给定,就可以找到一个N ;②N 多值性N 的响应性其实不料味着N 是由ε独一肯定的,因为对给定的ε,若100N =时能使得当n N >时,有||n a a ε-<,则101N =N 不是独一的.事实上,在很多场合下,最重要的是N 的消失性,而不是它的值有多大.基于此,在实际应用中的N 也不必限于天然数,只如果N 正数即可;并且把“n N >”改为“n N >”也无妨.函数的极限设函数()f x 在点0x A ,对于随意率性给定的正数ε(不管它有何等小),总消失某正数δ,使得当x 知足不等式00x x δ<-<时,对应的函数值()f x 都知足不等式()f x A ε-<,那么常数A 就叫做函数()f x 当0x x →时的极限,记为0lim ()()()x x f x A f x A x x →=→→或当.可以看出,数列极限与函数极限界说的思惟是一致的,都是响应的某个表达上的值无穷地接近某个常数值.不合的是数列是离散的,数列中的项在跳跃式地接近,而函数是持续的,函数值在逐渐地接近,但二者都能与响应的常数值以随意率性程度地接近. 2.定积分与极限定积分在求极限中应用概述不难看出,无论是数列的极限照样函数的极限,它们都与定积分的界说消失着千丝万缕的关系,那么就让我们来揭晓它们之间玄机与奥妙吧.事实上,定积分的界说中蕴含着一列数｛()i i f x ξ∆｝的和,并且只要ix ∆充分地小,和式1()niii f xξ=∆∑就可以随意率性地接近肯定的实数J=()b a f x dx⎰,这恰是极限思惟的消失,即1lim ()J ()nb i i a n i f x f x dxξ→∞=∆==⎰∑.这就为我们求极限供给了一种奇特而有力的办法——应用定积分求极限.因为在积分学中有大量的积分公式,所以我们应用之解决浩瀚类型的和式极限. 定积分求极限中应用思惟的形成先让我们看一个简略的例子: 例1.求极限111lim()122n J n n n →∞++=++….分析:此极限式的求解,不轻易直接用极限的界说解决,因为该法往往是用来一边盘算一边证实某个极限成果已经比较明显的问题,是以这里不合适;重要极限的结论显然也在这里没有效武之地,因为情势上根本不合;再斟酌洛必达轨则,它不是无穷比无穷型的极限也非零比零型的极限,也不成能用到此法;那么泰勒公式呢？泰勒公式往往是用来解决持续函数的极限问题,经由过程泰勒展式往往能把非多项式情势的表达式转化成多项式情势,以简化情势从而求解,看来这里也不实用.那是不是就没有什么合适的办法了呢？答案当然是否认的,事实上,它从情势上与定积分的界说照样有一些相像的,那么就让我们测验测验用定积分的办法来解决这个问题吧！解:把此极限式转化为某个积分情势,从而盘算定积分.为此做如下变形:111lim 1nn i J i n n →∞==+∑.不难看出,个中的和式是函数1()1f x x =+在区间[]0,1上的一个积分和(这里取得是等量朋分,11,[,],1,2,i i i i i x i nn n n n ξ-∆==∈=…).所以,J=11001ln(1=ln21dx x x =++⎰）.从该例题的解法中可以看出,本题的症结是将极限和转化为积分和,从而应用了定积分将所求极限水到渠成.于是,我们可以总结出定积分在求极限中应用的一般办法步调:Sept1将和式极限1lim ()nn i g i →∞=∑经由变形,使其成为积分情势1lim ()ni in i f x ξ→∞=∆∑.这里常取11,[,],1,2,i i i i i x i nn n n n ξ-∆==∈=…;Sept2肯定积分函数的高低限. a=lim (i n i ξ→∞取第一个值）lim (i n b i ξ→∞=取最后一个值）;Sept3用x 代换i ξ,写出定积分表达式()baf x dx⎰,并求出原极限的值.经由过程以上的一般办法步调,我们在面对无穷项和式的极限问题时就有方可依,有法可循了.如今让我们再来看一个例子,并从中细心领会以上办法步调. 例2.求极限222222111lim (12n n n n n n →∞+++++…+）.解:Sept1 化和式极限为积分情势.原极限=22211111lim lim 1(nn n n i i i n i n n →∞→∞===++∑∑）. 显然,这里1,(i i ix n nξ=∆=即是进行N 等分）,被积函数可算作()21f x ,1,2,.1+i n x ==…Sept2 肯定积分函数高低限.Sept3 写出积分表达式并求出积分值.原极限=110201arctan 14dx x x π==+⎰.对于本题,我们是紧紧按照方才总结出的办法步调进行的,并顺遂地求出了原题的极限值.这是一个具体的例子,那么我们是否可以总结出更为一般性结论呢？答案天然是肯定的. 3.应用定积分求极限 一般性结论的综述及其应用至此,我们可以得出如下结论:结论1假如函数()f x 在区间[],a b 上持续,将区间[],a b 进行n 等分,1[(()],i i i i b a b a b a x n n n ξ--∈--∆=），,那么,1lim ()()nb i a n i b a f f x dx n ξ→∞=-=∑⎰.事实上,持续函数必定可积,而将区间[],a b 进行n 等分也是朋分T的一种特别情况.依据定积分的界说,上述结论成立.当然,其实不是所有的用到定积分求极限的问题中都要严厉用到上面总结出的三个步调,我们可视情况灵巧处理,比方无需用到某一步调或者还需用到其他求极限的思惟等.下面我们再看一组求极限的习题,以充分感触感染结论1的用处. 习题组11)sinsinsinlim[]1112n n n n n n n n πππ→∞+++++2n ….这组习题都是无穷项式子和的极限问题,都可以把定积分的思惟应用到求极限中去.如今就让我们用结论1来解决这些求极限的问题,并从不合习题中查找出异同,以加深对结论1的控制和熟习.解:(1) 分析 原极限显然可以算作()sin f x x π=在[]0,1上的定积分.故(2)分析 先经由过程恒等变形,原极限式=11lim nn i n →∞=,被积函数()f x =,积分区间是[]0,1,于是原极限值=11022(13)33dx x =+=⎰; (3)分析 原和式极限的通项是sin in i n n π+不成以算作是关于i n的某一个函数,但是留意到:应用结论1,上面不等式左端可以取极限,即111211lim (sin sin sin )lim sin [lim sin ][lim ]1+1+1nn n n n n i i n n i i n n n n n n n n n n n πππππ→∞→∞→∞→∞==+++=⋅⋅=⋅+∑∑…=12[sin ]1xdx ππ⋅=⎰,上面不等式右端可以取极限,即1011212lim (sin sin sin )lim sin sin n n n i n i xdx n n n n nn ππππππ→∞→∞=+++=⋅==∑⎰…. 于是,由极限的迫敛性可知原极限值=2π.这组题均典范地应用了定积分的盘算,从而求出了各极限.我们发明,只要找到某个持续函数()f x ,并能把这个和式极限1lim ()nn i g i →∞=∑转化成积分情势1limf ()n i n n→∞⋅,我们就只需盘算出f(x)在[0,1]上的积分值,从而肯定出原极限值.这三个习题中,例题1的式子无需再进行恒等变形,因为其情势上已经是limn →∞f(i n )1n ⋅了;习题2与习题3情势上直不雅上不是limn →∞f(i n )1n⋅的情势,因为式子n →∞与式子sinsinsinlim[]1112n n n n n n n n πππ→∞+++++2n …都不含i n的项.为此,我们须要对习题2以及习题3极限的式子进行恒等变形,经由过程提取公因式等手腕使其消失in ()f x ,例如习题3,我们可以用极限的一些性质,如极限的迫敛性,从而间接地求出原和式极限的极限值. 一般性结论的深化及推广接下来,我们对结论1进行恰当的推广,以得到更多情势的极限的求法.推论1假如函数(),(),()()f x g x f x g x ⋅均在[],a b 上可积, 证实:起首,(),(),()()f x g x f x g x ⋅均在[],a b 上可积. 又因为1,,i i i i n n ξη-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,0(i x n ∆→→∞当）,所以,lim lim .i i n n ξη→∞→∞=于是,1lim ()()ni i ii f g x λξη→=∆∑=1lim ()()ni i ii f g x λξξ→=∆∑=()()baf xg x dx⎰.例3.求极限:122lim [sin cos()sin cos()sin cos()]222n n n n n n n n n n n n n πππππππππ→∞-+-++-….解:由推论1可知,f(x)= 于是,原极限式=1210011sin cos sin 02x xdx x ππππ=⋅⋅=⎰.推论2设1ln ()ln ()0,1]lim.f x dx n f x e →∞⎰=在区间[上可积，则例4.试求:112lim()nn n n n n n n n →∞+++⋅⋅….推论3假如函数()f x 在区间[]0,1上可积,且()1()11121f x 0,lim[1+()][1+()][1+()]f x dx n nf f f e n n n n n n →∞⎰≥⋅⋅=则….证实:记A=11121lim[1+()][1+()][1+()]n nf f f n n n n n n→∞⋅⋅…,则11ln lim ln[1+()]nn i i A f n n →∞==∑10()()11()1011()1111lim ln[1+()]lim ln[1+()]11lim ln lim ()()A .n if i n nnf n nn n i i i nn f n n n i i f x dx i if f n n n nn n ie f f x dxn nn e ⋅→∞→∞==→∞→∞======⋅=⎰=∑∑∑∑⎰于是，例5.盘算22212lim(1)(1)(1)333n n n n n →∞+⋅++….解:本题也可以直接应用推论3,这三个推论是对结论1的须要填补与完美.情势上我们不但有无穷项式子和的极限,还衍生出了无穷项式子乘积的极限.它们都是顺着结论1的思绪持续进行摸索,从情势上丰硕了定积分在求极限中应用这一思惟,但从本质上讲,它们与结论1是一致的.它们都紧紧抓住了定积分概念的本质,意识到定积分是无穷项和的极限,应用数学的一些基赋性质,对各式子进行恒等变形,尽量把不合情势的极限向定积分界说中的和式上去挨近.最终经由过程简略清楚明了的定积分公式,求出定积分的值来,以肯定出原极限的值.由这三个推论来看,111111111lim (),lim ()(),,[,],lim [()],lim [1+()]n n nn ni i i i n n n n i i i i i i i i i f f g f f n n n n n n n n ξηξη→∞→∞→∞→∞====-⋅∈∑∑∏∏对于等情势的极限,我们都有方可循,用定积分的办法轻易求出其极限来.对于任何一种数学办法,只要我们细心地不雅察与推究,都能将其结论或应用规模加以推广,就像结论1.如今让我们来看一组习题,以领会以上诸推论.如今,我们已经积聚了多种乞降式极限的办法,它们是往后应用定积分化决极限类问题的最佳模子与典范.那就再让我们来看一组习题,以熟习与巩固1111lim (),lim nnn n i i i f n n n →∞→∞==∑∑等情势的极限吧.下面这组习题分解用到了以上各结论与推论. 习题组2用定积分的办法盘算下列各极限.11111()(),,[,],lim [()],lim [1+()]n nn i i i in n i i i i i i f g f f n n n n n ξηξη→∞→∞==-⋅∈∏∏(1)222111lim [](1)(2)()n n n n n n →∞++++++…; (2)11111212111lim [()sin(+()sin(++()sin(]232323n n n n n n n n n n n n n n n n →∞------））…）;(3)lim n →∞(4)111lim(1)(1)(1)12n n n n n →∞++++++….解:分析以上例题都轻易恒等变形,使其知足结论1或者推论1至推论3的前提.于是, (1)122222*********lim []();(1)(2)()(1)21n n i n dx i n n n n n x n →∞=+++===+++++∑⎰ (2)11111212111lim [()sin(+()sin(++()sin(]232323n n n n n n n n n n n n n n n n →∞------））…） =11sin ni i i n ξη=⋅∑,1,[,],1,2,1i i i i i n n n ξη-∈=-… =10sin sin1cos1;x xdx =-⎰(3)1011ln(1)21lim lim[(1)]2n x dx n n n i i e n ππ-+→∞→∞=⎰=+⋅=∏ 22(1)ln(1)1ππ=++-; (4)1011111111lim(1)(1)(1)(1)2121n dx x n i e i n n n n n n +→∞=⎰+++=+⋅==++++∏….定积分在求极限中应用思惟的转移至此,我们已经深深的领会到了各类情势的定积分在极限中应用的感化.仅仅于此,我们尚不克不及知足,我们可以把定积分在求极限中的应用思惟借鉴到其他方面.例如,应用这种思惟办法来证实一些不等式,或者用之解决一些庞杂一点的求极限问题.下面将举例解释.例 6.证实:若函数()f x 在[],a b 上持续,且对于[],x a b ∀∈,有()0f x >,则21()()()bb a a f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰.证实:已知()f x 与()g x 在[],a b [],a b 进行N 等分,分点是01n a x x x b =<<=…<.在第K 个区间上取1,k k k k b a x x x n ξ--=-=.由算数平均不小于几何平均,有 121111(()1(()()n n k n nk k k k k k k f x f x b a b a f x b a n f x n n n ====--⋅⋅⋅=-⋅⋅≥∑∑∑∑））22(()b a b a -=-）21()()()b b a a n f x dx dx b a f x →∞≥-⎰⎰当时，有.领会:本例刚巧反过来,将积分和转化为极限和的情势,并应用了算术平均数不小于几何平均数这一结论,将问题化繁为简.较好地熟习与控制定积分与极限之间的关系是解决本问题的症结.该例题解释,我们应当充分熟习到定积分在极限中的感化,并能做到灵巧变通,恰当情况下,二者可以互相转化,将问题化难为易,从而达到解决问题的目标.例7.试求极限(21)!!lim[](2)!!n m m →∞-.分析:该问题似乎不克不及直接应用结论1或推论1至推论3来求极限.因为极限的表达式不轻易化成以上结论或者推论的情况.但是,该问题的解决就真用不到定积分了吗？答案是否认的.在解决该问题之前,照样先让我们看一下沃利斯公式的由来吧！沃利斯公式:2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+.证实:令20sin ,1,2,n n J xdx n π==⎰…,则当2n ≥时用分部积分法轻易求得移项并整顿后可得递推公式:21, 2.n n n J J n n --=≥因为 220100,sin 1,2J dx J xdx πππ====⎰⎰反复应用上面的递推公式可得2212123122222()2222121213m m m m J m m m m J m m π+--⎫=⋅⋅⋅⎪⎪-**⎬-⎪=⋅⋅⋅⎪+-⎭……, 又因为2122-1222000sin sin sin m m m xdx xdx xdx πππ+<<⎰⎰⎰,再将**（）式代入,即可以得到 22(2)!!1(2)!!1[][](21)!!212(21)!!2m m m m A B m m m m π=<<=-+-,因为2(2)!!110[]0()(21)!!2(21)22m m m B A m m m m m π<-=<⋅→→∞-+,依据极限的迫敛性可知lim()0m m m B A →∞-=.而02m m m A B A π<-<-,故得沃利斯公式2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+.如今让我们来细心看看沃利斯公式毕竟与定积分有什么关系吧!事实上,在盘算定积分20sin ,1,2,n n J xdx n π==⎰…时,我们奇妙地应用了定积分的递推表达式,如许我们才正真地查找到懂得决极限问题的金钥匙,看来定积分的运算照样在个中施展了不成低估的感化.那么就让我们直接应用该公式来商量例8问题吧！ 依据沃利斯公式2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+,可知1(21)!!21lim lim 0(2)!!2m m m m m π→∞→∞-+==.从某种程度上讲,我们应用了定积分办法解决了例8中极限的问题.倘使我们采取其办法来求这个极限,生怕会走一些弯路.定积分在求极限中应用思惟的完美我们知道反常积分也是定积分在极限下界说出来的.以上的所有求极限问题都是将极限的表达式整体转化成积分情势,从而应用了定积分奇妙地求出了原极限的成果,那么能不克不及把定积分在求极限中局部应用呢？如今我们再来看一个有味的问题,以便解释此问题.例8.证实:1112lim 1ln n n n →∞++=…+.分析:这个例题不合于前面所有的例题,前面的例题,我们都能敏捷地将所求极限的表达式转化成1lim ()n i i n i f x ξ→∞=∆∑,而本例不成,但它情势上与我们评论辩论的定积分在求极限中应用的例子异常相像,因为式子中有无穷多项和11n i i =∑,所以我们就测验测验用定积分的办法来求它吧！ 把这个极限式子的分子进行恰当变形11111n n i i i in n ===∑∑.假如依据前面的经验,我们知道101111lim n n i dx i n x n →∞==∑⎰的.可是如今我们对两个问题有所质疑.第一,我们并没有把原极限式直接转化成积分情势;第二,即使局部用到了定积分101dx x ⎰,但我们知道101dx x =∞⎰ 110001111111lim(ln )lim(ln )ln 2lim lim lim 1ln ln lim ln lim ln lim ln ln n i x x n n x x x x i n dx x x n n x x n n x x x x ++=→→→∞→∞→+∞→+∞→+∞→+∞++-======∑⎰…+(这里我们同一了分子分母中的变量,同一用变量x,这里已经暗示变量x 是慢慢趋近,由数学分析中归结道理”,这个手腕是不影响极限成果的).最后我们求得其成果,1112lim 1ln n n n →∞++=…+.由此可以看到,在求极限的问题中,定积分的思惟不但可以对表达式整体应用,也可以对其进行局部应用.总之,只要我们擅长思虑书本上的一些概念以及分析它们之间接洽,我们就往往可以或许游刃有余地把一种数学思惟用于解决其他数学问题上.最后,让我们再来总结一下,定积分在求极限中应用时所应当留意的几个问题.第一,极限必须是无穷项和的极限,并且这些和的极限经由恰当的恒等变形之后能转化为定积分的情势.第二,应用定积分求极限时,往往还须要用到其他的一些求极限的办法和手腕,例如极限的迫敛性,重要极限的结论,取对数手腕等.第三,求极限一类问题往往须要应用各类手腕,如许才干做到事半功倍.4.论文总结再熟习数学经由过程以上商量,我们从新熟习了数学.我们在进行推理与应用时,是有深切领会的.数学本身是一门严谨的天然科学,因为它是一种思维的对象,是一种思惟办法,它照样一种理性的艺术.,数学具抽象性.数学概念是以极端抽象的情势消失的.本文中评论辩论的定积分以及极限更是如斯.与此同时,数学的研讨办法也是抽象的,这就是说数学命题的真谛性不克不及树立在经验之上,而必须依附于严厉的证实.当数学应用于实际问题的研讨时,其症结在于能树立一个较好的数学模子.我们在应用定积分求极限时,就已经失去了较好的数学模子——函数模子.解决实际问题的表现.第二,数学付与科学常识以逻辑的周密性和结论的靠得住性,是使熟习从感性阶段成长到理性阶段,并使理性熟习进一步深化的重要手腕.在数学中,每一个公式,定理都要严厉地从逻辑上加以证实今后才干够确立.当我们发清楚明了“结论1”之后,接踵经由周密的推理与论证后才拓展到了“推论1”至“推论3”.第三,数学是一种帮助对象和表示方法.我们在解决数学问题本身时,还必须依附于数学中的其他相干办法思绪.别的数学反应的是一种庞杂而抽象事物内部关系,但是我们仍然有简明的数学符号与形象光鲜的图形等来暗示它.无论是定积分照样极限,个中都用到了丰硕的数学符号,分开这些数学符号,我们的表达似乎显得寸步难行.数学是一种思惟办法.数学是研讨量的科学.它研讨客不雅对象量的变更,关系等,并在提炼量的纪律性的基本上形成各类有关量的推导和演算的办法.数学的思惟办法表现着它作为一般办法论的特点和性质,是物资世界质与量的同一,内容与情势的同一的最有效的表示方法.无论是定积分照样极限都离不开盘算,这就意味着它们中都蕴含着量的变更.数学照样一种理性的艺术.一般我们认为,艺术与数学是两种作风与本质都有着明显不合的事物.它们一个处于高度理性化的峰顶,另一个则位于精力世界的枢纽地带;一个是天然科学的代表,另一个则是美学的佳构.但是,在各种概况上无关甚至完整不合的现象死后却隐蔽着艺术与数学相当一致的一般意义.我们进行学术研讨纯粹是我们朝长进步以及求知欲的使令.艺术与数学都是公认的地球说话.艺术与数学在描写万事万物的进程中,还同时完美了自身的表示情势,这种表示情势最根本的载体等于艺术与数学各自奇特的说话特点.其配合特色有(1)超文化性.艺术与数学所表达的是一种带有广泛意义的人类配合的心声,因而它们可以超出时光和地域界线,实现不合文化群体之间的广泛传播和交换.(2)整体性.艺术的整体性来自于其艺术表示的广泛性和广泛性;数学的整体性来自于数学同一的符号系统,各个分支之间的有力接洽,配合的逻辑轨则和既约的表达方法.(3)简明性.它起首表示为很高的抽象程度,其次是凝冻与浓缩.(4)代表代表性可以诱发某种强烈的情绪体验,唤起某种美的享受,而意义则在于把留意力转向思维,上升为理念,成为表示人类心坎意图的方法.(5)情势性.在艺术与数学各行其是的符号与信息的寄义交换中,其配合的特点就是达到了实体与情势的分别.我们研讨的定积分在求极限中的应用,那种思惟以及符号呈现方法可被世界人悦纳.艺术与数学具有配合的精力价值.接洽关系的;艺术的价值也是不克不及以人的意志而转移.艺术与数学的价值根本上是在自身框架内被辨别,鉴赏和评价的.(2)超出性.它们可以超出时空,彰显永恒.在艺术与数学的价值超出进程中,实际得以异于其他种类文化与科学的明显特点之一.(4)多样化,物资化与广泛化.在现代技巧与贸易化的推进下,艺术与数学的价值也开端产生升华,消失了各自价值在很多范畴内的散射,渗入渗出,应用,交叉等情况.定积分在求极限中的应用,不但仅进献于数学本身,它将逐渐在其他范畴也施展必定的感化.停止语我们已经见到了定积分在求极限问题中应用的各类情势.事实上,只要我们对学过的某些概念居心的领会,并加以深入的思虑,我们就可能将其精华应用到数学的其他范畴.正如我们这里把定积分与极限联合起来,并进行了恰当推广,得到了较为知足的结论和推论.本文重要给大家介绍了定积分在求极限中应用.一开端我们就回想了定积分以及极限等大学数学进修中的重要概念.然后分析它们之间的内涵接洽,进而查找到了一种奇特的求极限的办法——借助定积分求极限.当然,这种思惟也并不是空穴来风,它是源于教材中某些例题中具有创新性思惟办法或者一些奇特的步调.因为不是所有的数学概念之间经由思虑推理,互相之间就能树立起接洽来.是以,在日常平凡的数学进修中,我们务必对教材中的根本概念加深领会,尤其是要把互相之间或多或少消失着某种关系的概念加以比较与分析.然后对其进行大胆的假设,并进行必定的逻辑证实.假如我们的假设成立,那就是我们发明的新事物,这对于我们发散思维与创新思维都是大有裨益的;假设不成立,我们也可更好地控制不合概念之间差别,这对于我们懂得常识都是有利益的.所以,在我们日常平凡的进修进程中,我们要积极去思虑,并大胆地进行某些恰当的假设,以晋升我们创新思维才能.求极限的办法可能还有更多,值得大家去思虑与发掘.愿望本文能起到抛砖引玉的目标,能激发更多的数学快活爱好者携起手来摸索出更多实用与奇妙的求极限的办法来.迎接大家对本文进行批驳与斧正.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].高级教导出版社,2001．[2]刘玉琏,刘伟等.数学分析课本习题选解.北京,高级教导出版社,2002．[3]同济大学数学教研室.高级数学[M]北京, 高级教导出版社,1997．[4]王业.关于积分在求极限中的初探[R].全国专科院校数学会,1992．[5]刘树利.盘算机数学基本.北京.高级教导出版社,2001．[6]刘利茹,孙永华.高级黉舍经济数学系列教材.北京,高级教导出版社,2004．[7]陈吉象,戴英等.文科数学基本.北京高级教导出版社,2003．[8]天津大学数学比赛(人文学科及医学等类),2005．英文摘要Abstract:In solving limit problem, we often think of the ways including the definition of limit, important limits, L’Hospital’s rule an d Taylor’s formula etc. These methods have some limitations, however the definite integral is also limit form in essentially, it is also simple in。
巧用定积分的概念求和式极限的方法技巧
1 n
，然后可变为
lni®m¥ççèæ
1+ n2 + 4
1 +L+ n2 + 16
n2
1 +
4n2
÷÷øö
然后让第一项出现 1 ，第二项出现 2 ，…。
n
n
只要分子、分母同除以 n2 即可
解: lni®m¥ççèæ
1+ n2 + 4
1 +L+ n2 + 16
n2
1 +
4n2
÷÷øö
å = lim 1 n
无论(2)式或(3)式第 i 项都必须含有 i ，其余的不能含多余的 n ，这样的和式极限就是 n
一个 [0,1] 上的一个定积分， i 就是积分中 f (x) 的 x ，所谓的规律就是，通过求出定积分
n
的值就可求出和式极限的值。
三、利用定积分概念求和式极限的实例分析
实例
1.求极限
nli®m¥ççèæ
n®¥ î n k=1 è n øþ
=
ì expílim
n
å
çæ1
+
k
÷ö
1
ü ý
în®¥ k =1 è n ø n þ
4
{ } =
exp
1
ò0
ln(1
+
x )dx
= exp{ln 4 -1} = 4 .
e
注：（1）这里的数列通项为各项之积，不能只表示为积分的形式，我们可以采用对数法， 把积变为和的形式，进而将所求极限化为定积分，把被积函数转化为对数函数。
（2）如果区间不是 [0,1]而是 [a,b]，只需注意分点 xi
求极限的若干技巧
Abstract :based on t he principal met hods ,t he aut hor expounds and applies several techeques to evaluate limit , such as Taylor formula ,Definition of derivative ,Definite integral ,First of t ransformation. Key words : Taylor formula ; Definte integral ;Derivative.
4 导数定义求极限
f ( x0 +Δx) - f ( x0 ) ( x0 ) 把极限运算转化为在某一点处的导数 = f′ Δx x→ 0 Δx) - f ( x0 - α Δx) f ( x0 +α ・ ・ ( x0 ) ,确定系数 k1 例5 已知函数 f ( x) 在点 x0 处可导 ,表达式Δ lim = kf′ Δx x→ 0 Δx) - f ( x0 - α Δx) Δx) - f ( x0 ) - [f ( x0 - α Δx) - f ( x0 ) ] f ( x0 +α ・ ・ f ( x0 +α 解 :Δ lim =Δ lim Δx Δx x→ 0 x→ 0 Δx) - f ( x0 ) Δx) ] - f ( x0 ) f ( x0 +α f [ x0 + ( - α ( x0 ) +α ( x0 ) = 2 α ( x0 ) =αΔ lim +αΔ lim =α f′ f′ f′ α Δx ( -α Δx) x→ 0 x→ 0 ( x0 ) ・ α ( x0 ) ・ k = = f′ 2 由于 f′ α 故 k=2 ln ( x + 1) 例6 求取极限lim x→ 0 x ( 法一) ln ( x + 1) 解 :lim x→ 0 x ( ln x + 1) - ln ( 0 + 1) 1 = lim = [ln ( x + 1) ]′ | x=0 = | =1 x→ 0 x- 0 x + 1 x=0 此例运用导数定义求极限 ,也从另一个角度认证了洛必达法则 ,对此有另一种解法 。 ( 法二) ln ( x + 1) 0 解 :lim ( ) x→ 0 x 0 1 x+1 = lim =1 x→ 0 1 本文阐述了四种求极限技巧 。在实际运用过程中不要死套方法 , 最好做到一题多解 , 多种方法灵活运
求极限的一些特殊方法
求极限的一些特殊方法作者：熊杰来源：《考试周刊》2013年第34期摘要：求极限的方法很多，本文阐述了求极限的几种特殊方法，并且举例进行说明.关键词：极限收敛性泰勒展开式1.利用定积分求和式的极限利用定积分求和式的极限时，首先选好恰当的可积函数f（x），把所求极限的和式表示成f（x）在某区间［a，b］上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限.例1:■［■+■+■+…+■］解：■+■+■+…+■=■［■+■+…+■］可取函数f（x）=■区间为［a，b］，上述和式恰好是f（x）=■在［0，1］上n等分的积分和.所以■［■+■+■…+■］=■■［■+■+…+■］=?蘩■■■dx=■2.利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数■μ■收敛，则μ■→0（n→∞）.运用这个方法首先判定级数■μ■收敛，然后求出它的通项的极限.例2：求■■解：设a■=■，则■■=■■·■=■■·（1+■）■=0＜1.由比值判别法知■a■收敛，由必要条件知■■=0.3.利用泰勒公式求极限例3：求■■=■■=-■-■+■+0（x■）解：本题可用洛比达法则求解，但是运算过程比较繁琐，这里用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为x■，用麦克劳林公式表示极限的分子，取（n=4）cosx=1-■+■+0（x■）；e■=1-■+■+0（x■）cosx-e■=-■+0（x■）因而求得■■=■■=-■4.利用迫敛性求极限设■f（x）=■（x）=A，且在某u■（x■，δ′）内有f（x）≤h（x）≤g（x），则■h（x）=A.例4：求■x［■］的极限解.∵1≤x［■］＜1-x，且■（1-x）=1由迫敛性知■x［■］=1做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须收敛于同一个极限.5.小结从上述介绍中可以看出求极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析，不能机械地套用某种方法，对具体题目要注意观察，灵活运用恰当的方法，有时还可多种方法结合使用.参考文献：［1］华东师范大学数学系.数学分析（第三版）（上册）［M］.北京：高等教育出版社，2001：119-121.［2］华东师范大学.数学分析习题解析［M］.陕西：陕西师范大学出版社，2004：87-91.［3］钱吉林.数学分析题解精粹［M］.武汉：崇文书局，2003：61-83.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定积分在求极限中的应用欧阳学文1、知识准备1.1绪论微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养.求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格,也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“”型的极限和“”型极限的.泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念.1.2定积分的概念下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义:定积分:设函数在闭区间上有定义,在闭区间内任意插入n1个分点将分成n个区间,记,,作乘积(称为积分元),把这些乘积相加得到和式(称为积分形式)设,若极限存在唯一且该极限值与区是的分法及分点的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数在上的定积分,记作,即.否则称在上不可积.注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号.注2:若存在,区间进行特殊分割,分点进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理解.注3:定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关,即仔细观察定积分的定义,我们一定会发现定积分的极限有以下两个特征.第一,定积分是无穷项和式的极限,容易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必然趋近于零,否则和式极限不存在.第二,定积分与某一连续函数有紧密的关系,它的一般项受到这一连续函数的约束,它是连续函数在某个区间上进行了无穷的分割,各小区间上任意的函数值与区间长度的乘积的累加.对于极限,大学主要学习了数列的极限和函数的极限.数列的极限是用于解决离散的自然数的相关极限,而函数的极限则主要用于解决连续函数的相关极限.那么就让我们先一一来回忆它们吧！1.3极限的概念数列的极限设为数列,为实数,若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有, 则称数列收敛于,实数称为数列的极限,并记作或.(读作:当趋于无穷大时,的极限等于或趋于).由于限于取正整数,所以在数列极限的记号中把写成,即或.若数列没有极限,则称不收敛,或称为发散数列.注1:关于:①的任意性.定义１中的正数的作用在于衡量数列通项与常数a的接近程度,越小,表示接近得越好;而正数可以任意小,说明与常数a可以接近到任何程度;②的暂时固定性.尽管有其任意性,但一经给出,就暂时地被确定下来,以便依靠它来求出Ｎ;③的多值性.既是任意小的正数,那么等等,同样也是任意小的正数,因此定义１中的不等式中的可用等来代替.从而“”可用“”代替;④正由于是任意小的正数,我们可以限定小于一个确定的正数.注2:关于:①相应性,一般地,随的变小而变大,因此常把定义作来强调,是依赖于的;一经给定,就可以找到一个;②多值性的相应性并不意味着是由唯一确定的,因为对给定的,若时能使得当时,有,则或更大的数时此不等式自然成立.所以不是唯一的.事实上,在许多场合下,最重要的是的存在性,而不是它的值有多大.基于此,在实际使用中的也不必限于自然数,只要是正数即可;而且把“”改为“”也无妨.函数的极限设函数在点的某一去心邻域内有定义.如果存在常数,对于任意给定的正数(不论它有多么小),总存在某正数,使得当满足不等式时,对应的函数值都满足不等式,那么常数就叫做函数当时的极限,记为.可以看出，数列极限与函数极限定义的思想是一致的,都是相应的某个表达上的值无限地接近某个常数值.不同的是数列是离散的,数列中的项在跳跃式地接近,而函数是连续的,函数值在逐渐地接近,但二者都能与相应的常数值以任意程度地接近.2、定积分与极限2.1定积分在求极限中应用概述不难看出,无论是数列的极限还是函数的极限,它们都与定积分的定义存在着千丝万缕的关系,那么就让我们来揭晓它们之间玄机与奥秘吧.事实上,定积分的定义中蕴含着一列数｛｝的和,并且只要充分地小,和式就可以任意地接近确定的实数J=,这正是极限思想的存在,即.这就为我们求极限提供了一种独特而有力的方法——利用定积分求极限.因为在积分学中有大量的积分公式,所以我们运用之解决众多类型的和式极限.2.2定积分求极限中应用思想的形成先让我们看一个简单的例子:例1.求极限.分析:此极限式的求解,不容易直接用极限的定义解决,因为该法往往是用来一边计算一边证明某个极限结果已经比较明显的问题,因此这里不适合;重要极限的结论显然也在这里没有用武之地,因为形式上根本不同;再考虑洛必达法则,它不是无穷比无穷型的极限也非零比零型的极限,也不可能用到此法;那么泰勒公式呢？泰勒公式往往是用来解决连续函数的极限问题,通过泰勒展式往往能把非多项式形式的表达式转化成多项式形式,以简化形式从而求解,看来这里也不适用.那是不是就没有什么合适的办法了呢？答案当然是否定的,事实上,它从形式上与定积分的定义还是有一些相像的,那么就让我们尝试用定积分的办法来解决这个问题吧！解:把此极限式转化为某个积分形式,从而计算定积分.为此做如下变形:.不难看出,其中的和式是函数在区间上的一个积分和(这里取得是等量分割,).所以,J=.从该例题的解法中可以看出,本题的关键是将极限和转化为积分和,从而利用了定积分将所求极限迎刃而解.于是,我们可以总结出定积分在求极限中应用的一般方法步骤:Sept1将和式极限经过变形,使其成为积分形式.这里常取;Sept2确定积分函数的上下限.a=;Sept3用x代换,写出定积分表达式,并求出原极限的值.通过以上的一般方法步骤,我们在面对无穷项和式的极限问题时就有方可依,有法可循了.现在让我们再来看一个例子,并从中仔细体会以上方法步骤.例2.求极限.解:Sept1 化和式极限为积分形式.原极限=.显然,这里,被积函数可看成Sept2 确定积分函数上下限.Sept3 写出积分表达式并求出积分值.原极限=.对于本题,我们是紧紧按照刚刚总结出的方法步骤进行的,并顺利地求出了原题的极限值.这是一个具体的例子,那么我们是否可以总结出更为一般性结论呢？答案自然是肯定的.3、应用定积分求极限3.1一般性结论的综述及其应用至此,我们可以得出如下结论:结论1如果函数在区间上连续,将区间进行等分,,那么，.事实上,连续函数一定可积,而将区间进行n等分也是分割的一种特殊情况.根据定积分的定义,上述结论成立.当然,并不是所有的用到定积分求极限的问题中都要严格用到上面总结出的三个步骤,我们可视情况灵活处理,比如无需用到某一步骤或者还需用到其他求极限的思想等.下面我们再看一组求极限的习题,以充分感受结论1的用途.习题组11).这组习题都是无穷项式子和的极限问题,都可以把定积分的思想应用到求极限中去.现在就让我们用结论1来解决这些求极限的问题,并从不同习题中寻找出异同,以加深对结论1的掌握和认识.解:(1) 分析原极限显然可以看成在上的定积分.故(2)分析先通过恒等变形,原极限式=,被积函数,积分区间是,于是原极限值=;(3)分析原和式极限的通项是不可以看成是关于的某一个函数,但是注意到:应用结论1,上面不等式左端可以取极限,即=,上面不等式右端可以取极限,即.于是,由极限的迫敛性可知原极限值=.这组题均典型地运用了定积分的计算,从而求出了各极限.我们发现,只要找到某个连续函数,并能把这个和式极限转化成积分形式,我们就只需计算出f(x)在[0,1]上的积分值,从而确定出原极限值.这三个习题中,例题1的式子无需再进行恒等变形,因为其形式上已经是f()了;习题2与习题3形式上直观上不是f()的形式,因为式子与式子都不含的项.为此,我们需要对习题2以及习题3极限的式子进行恒等变形,通过提取公因式等手段使其出现的因子.当然有的题可能不容易找到对应的连续函数,例如习题3,我们可以用极限的一些性质,如极限的迫敛性,从而间接地求出原和式极限的极限值.3.2一般性结论的深化及推广接下来,我们对结论1进行适当的推广,以得到更多形式的极限的求法.推论1如果函数均在上可积,证明:首先,均在上可积.又由于,,所以,于是,==.例3.求极限:.解:由推论1可知,f(x)=于是,原极限式=.推论2设例4.试求:.推论3如果函数在区间上可积,且.证明:记A=,则例5.计算.解:本题也可以直接运用推论3,这三个推论是对结论1的必要补充与完善.形式上我们不仅有无穷项式子和的极限,还衍生出了无穷项式子乘积的极限.它们都是顺着结论1的思路继续进行探索,从形式上丰富了定积分在求极限中应用这一思想,但从本质上讲,它们与结论1是一致的.它们都紧紧抓住了定积分概念的实质,意识到定积分是无穷项和的极限,应用数学的一些基本性质,对各式子进行恒等变形,尽量把不同形式的极限向定积分定义中的和式上去靠拢.最终通过简单明了的定积分公式,求出定积分的值来,以确定出原极限的值.由这三个推论来看,等形式的极限，我们都有方可循,用定积分的方法容易求出其极限来.对于任何一种数学方法,只要我们仔细地观察与推究,都能将其结论或应用范围加以推广,就像结论1.现在让我们来看一组习题,以体会以上诸推论.现在,我们已经积累了多种求和式极限的方法,它们是今后应用定积分解决极限类问题的最佳模型与范例.那就再让我们来看一组习题,以熟悉与巩固等形式的极限吧.下面这组习题综合用到了以上各结论与推论.习题组2用定积分的方法计算下列各极限.(1);(2);(3);(4).解:分析以上例题都容易恒等变形,使其满足结论1或者推论1至推论3的条件.于是,(1)(2)=，=(3);(4).3.3定积分在求极限中应用思想的转移至此,我们已经深深的体会到了各种形式的定积分在极限中应用的作用.仅仅于此,我们尚不能满足,我们可以把定积分在求极限中的应用思想借鉴到其他方面.例如,利用这种思想方法来证明一些不等式,或者用之解决一些复杂一点的求极限问题.下面将举例说明.例 6.证明:若函数在上连续,且对于，有，则.证明:已知与在上都可积.将进行等分,分点是.在第K个区间上取.由算数平均不小于几何平均,有.体会:本例恰巧反过来,将积分和转化为极限和的形式,并运用了算术平均数不小于几何平均数这一结论,将问题化繁为简.较好地认识与掌握定积分与极限之间的关系是解决本问题的关键.该例题说明,我们应该充分认识到定积分在极限中的作用,并能做到灵活变通,适当情形下,二者可以相互转化,将问题化难为易,从而达到解决问题的目的.例7.试求极限.分析:该问题似乎不能直接运用结论1或推论1至推论3来求极限.因为极限的表达式不容易化成以上结论或者推论的情形.但是,该问题的解决就真用不到定积分了吗？答案是否定的.在解决该问题之前,还是先让我们看一下沃利斯公式的由来吧！沃利斯公式:.证明:令,则当时用分部积分法容易求得移项并整理后可得递推公式:由于重复应用上面的递推公式可得,又由于,再将式代入,便可以得到,因为,根据极限的迫敛性可知.而,故得沃利斯公式.现在让我们来仔细看看沃利斯公式究竟与定积分有什么关系吧!事实上,在计算定积分时,我们巧妙地运用了定积分的递推表达式,这样我们才正真地寻找到了解决极限问题的金钥匙,看来定积分的运算还是在其中发挥了不可低估的作用.那么就让我们直接运用该公式来探究例8问题吧！根据沃利斯公式,可知.从某种程度上讲,我们利用了定积分方法解决了例8中极限的问题.倘若我们采用其方法来求这个极限,恐怕会走一些弯路.3.4定积分在求极限中应用思想的完善我们知道反常积分也是定积分在极限下定义出来的.以上的所有求极限问题都是将极限的表达式整体转化成积分形式,从而应用了定积分巧妙地求出了原极限的结果,那么能不能把定积分在求极限中局部应用呢？现在我们再来看一个有趣的问题,以便说明此问题.例8.证明:.分析:这个例题不同于前面所有的例题,前面的例题,我们都能迅速地将所求极限的表达式转化成,而本例不行,但它形式上与我们讨论的定积分在求极限中应用的例子非常相像,因为式子中有无穷多项和,所以我们就尝试用定积分的方法来求它吧！把这个极限式子的分子进行适当变形.如果根据前面的经验,我们知道的.可是现在我们对两个问题有所质疑.第一,我们并没有把原极限式直接转化成积分形式;第二,即使局部用到了定积分,但我们知道的.事实上,原式经变形后,我们会发现分子与分母中的无穷大量是等价的.即(这里我们统一了分子分母中的变量,统一用变量x,这里已经表示变量x是逐步趋近,由数学分析中归结原理”,这个手段是不影响极限结果的).最后我们求得其结果,.由此可以看到,在求极限的问题中,定积分的思想不仅可以对表达式整体使用,也可以对其进行局部使用.总之,只要我们善于思考书本上的一些概念以及分析它们之间联系,我们就往往能够游刃有余地把一种数学思想用于解决其他数学问题上.最后,让我们再来总结一下,定积分在求极限中应用时所应该注意的几个问题.第一,极限必须是无穷项和的极限,并且这些和的极限经过适当的恒等变形之后能转化为定积分的形式.第二,应用定积分求极限时,往往还需要用到其他的一些求极限的方法和手段,例如极限的迫敛性,重要极限的结论,取对数手段等.第三,求极限一类问题往往需要使用各种手段,这样才能做到事半功倍.4、论文总结4.1再认识数学通过以上探讨,我们重新认识了数学.我们在进行推理与应用时,是有深切体会的.数学本身是一门严谨的自然科学,因为它是一种思维的工具,是一种思想方法,它还是一种理性的艺术.数学是一种思维的工具.第一,数学具抽象性.数学概念是以极度抽象的形式出现的.本文中讨论的定积分以及极限更是如此.与此同时,数学的研究方法也是抽象的,这就是说数学命题的真理性不能建立在经验之上,而必须依靠于严格的证明.当数学应用于实际问题的研究时,其关键在于能建立一个较好的数学模型.我们在运用定积分求极限时,就已经拥有了较好的数学模型——函数模型.在一个较好的数学模型上展开数学的推导和计算,以形成对问题的认识,判断和预测.这就是运用抽象思维去解决现实问题的体现.第二,数学赋予科学知识以逻辑的严密性和结论的可靠性,是使认识从感性阶段发展到理性阶段,并使理性认识进一步深化的重要手段.在数学中,每一个公式,定理都要严格地从逻辑上加以证明以后才能够确立.当我们发现了“结论1”之后,相继经过严密的推理与论证后才拓展到了“推论1”至“推论3”.第三,数学是一种辅助工具和表现方式.我们在解决数学问题本身时,还必须依赖于数学中的其他相关方法思路.另外数学反映的是一种复杂而抽象事物内部关系,但是我们仍然有简明的数学符号与形象鲜明的图形等来表示它.无论是定积分还是极限,其中都用到了丰富的数学符号,离开这些数学符号,我们的表达似乎显得寸步难行.数学是一种思想方法.数学是研究量的科学.它研究客观对象量的变化,关系等,并在提炼量的规律性的基础上形成各种有关量的推导和演算的方法.数学的思想方法体现着它作为一般方法论的特征和性质,是物质世界质与量的统一,内容与形式的统一的最有效的表现方式.无论是定积分还是极限都离不开计算,这就意味着它们中都蕴含着量的变化.数学还是一种理性的艺术.一般我们觉得,艺术与数学是两种风格与本质都有着明显不同的事物.它们一个处于高度理性化的峰顶,另一个则位于精神世界的枢纽地带;一个是自然科学的代表,另一个则是美学的杰作.但是,在种种表面上无关甚至完全不同的现象身后却隐藏着艺术与数学相当一致的一般意义.我们进行学术研究纯粹是我们进取以及求知欲的驱使.艺术与数学都是公认的地球语言.艺术与数学在描绘万事万物的过程中,还同时完善了自身的表现形式,这种表现形式最基本的载体便是艺术与数学各自独特的语言特征.其共同特点有(1)超文化性.艺术与数学所表达的是一种带有普遍意义的人类共同的心声,因而它们可以超越时间和地域界限,实现不同文化群体之间的广泛传播和交流.(2)整体性.艺术的整体性来自于其艺术表现的普遍性和广泛性;数学的整体性来自于数学统一的符号体系,各个分支之间的有力联系,共同的逻辑法则和既约的表达方式.(3)简明性.它首先表现为很高的抽象程度,其次是凝冻与浓缩.(4)代表性.艺术与数学语言各自代表性可以诱发某种强烈的情感体验,唤起某种美的享受,而意义则在于把注意力转向思维,上升为理念,成为表现人类内心意图的方式.(5)形式性.在艺术与数学各自进行的符号与信息的含义交换中,其共同的特征就是达到了实体与形式的分离.我们研究的定积分在求极限中的应用,那种思想以及符号呈现方式可被世界人悦纳.艺术与数学具有共同的精神价值.其共同的特点有:(1)自律性.数学价值的自律性是与数学价值的客观性相关联的;艺术的价值也是不能以人的意志而转移.艺术与数学的价值基本上是在自身框架内被鉴别,鉴赏和评价的.(2)超越性.它们可以超越时空,彰显永恒.在艺术与数学的价值超越过程中,现实得以扩张,延伸.艺术与数学的超越性还表现为超前的价值.(3)非功利性.艺术与数学的非功利性是其价值判断异于其他种类文化与科学的显著特征之一.(4)多样化,物质化与广泛化.在现代技术与商业化的推动下,艺术与数学的价值也开始发生升华,出现了各自价值在许多领域内的散射,渗透,应用,交叉等情况.定积分在求极限中的应用,不仅仅贡献于数学本身,它将逐渐在其他领域也发挥一定的作用.4.2结束语我们已经见到了定积分在求极限问题中应用的各种形式.事实上,只要我们对学过的某些概念用心的体会,并加以深刻的思考,我们就可能将其精髓运用到数学的其他领域.正如我们这里把定积分与极限结合起来,并进行了适当推广,得到了较为满意的结论和推论.本文主要给大家介绍了定积分在求极限中应用.一开始我们就回忆了定积分以及极限等大学数学学习中的重要概念.然后剖析它们之间的内在联系,进而寻找到了一种独特的求极限的办法——借助定积分求极限.当然,这种思想也并非空穴来风,它是源于教材中某些例题中具有创新性思想方法或者一些独特的步骤.因为不是所有的数学概念之间经过思考推理,相互之间就能建立起联系来.因此,在平时的数学学习中,我们务必对教材中的基本概念加深体会,尤其是要把相互之间或多或少存在着某种关系的概念加以比较与分析.然后对其进行大胆的假设,并进行一定的逻辑证明.如果我们的假设成立,那就是我们发现的新事物,这对于我们发散思维与创新思维都是大有裨益的;假设不成立,我们也可更好地掌握不同概念之间区别,这对于我们理解知识都是有好处的.所以,在我们平时的学习过程中,我们要积极去思考,并大胆地进行某些适当的假设,以提升我们创新思维能力.求极限的方法可能还有更多,值得大家去思考与挖掘.希望本文能起到抛砖引玉的目的,能激发更多的数学爱好者携起手来探索出更多实用与巧妙的求极限的方法来.欢迎大家对本文进行批评与指正.。