8定积分应用(积分中值定理,求极限,变上限
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2 3
4
证明 2,4，使2 f ( ) (1 ) f ( )
变上限积分问题
1.变上限积分问题
( x) f (t ) d t
a
x
( x) ( f (t ) d t ) f ( x)
a
x
(被积函数中不含自变量x)
d ( x) a f (t ) d t dx
例.
d x2 2 求 0 1 t dt dx
例.
d x3 1 求 x2 1 t 4 dt dx
d cos x 求 1 t 2 dt sinx dx
例.
例. 求
0 0
例.
确定常数 a , b , c 的值, 使
例.
lim
x 0
1
cos x
t ln tdt
3
x(arctan x)
积分中值定理与罗尔定理的应用
证明下列各题:
(1).设f ( x)在1,3上连续，在1,3上可导,
且f (1) x f ( x)dx 。证明 1,3，使
3 2 2
2 f ( ) f ( ) 0
(2).设f ( x)在2,4上可导, 且
f (2) ( x 1) f ( x)dx 。
x 2
Leabharlann Baidu 例
设f ( x )是连续函数，f ( 1 ) 1
ab a
若对的a , b有 f ( t )dt与a无关,求f ( x )
例.
例
.设f ( x )在0,1上连续，在0,1上可导
且f ( 0 ) 0 ,
1
0 f ( x ) 1
2
f ( x )dx 1 f 3 ( x )dx 求证 : 0 0
x t2 0
例.
lim
x 0
(e 1 t ) dt
2 2 4
t (arct ant )
例.
例
3
设隐函数y y( x )由
x e dt y 0确定, 求y( x )
t 2 0 y2
几个重要结论
结论1
设f ( x )是以T为周期的连续函数，证 明：
对的x有
a a
结论3
设f ( x )是 a, a 内的连续函数，
证明若f ( x )为奇（偶）函数 ,
则0 f (t )dt 偶（奇）函数
x
例： 当f ( x )是以2为周期的连续函数时，
证明：函数 ( x) 20 f (t )dt－ 0 f (t )dt G x
也是以 为周期的周期函数 08研 2
f [ ( x )] ( x )
d ( x) d a ( x) ( x ) f ( t ) d t d x ( x ) f (t ) d t a f (t ) d t dx
f [ ( x )] ( x ) f [ ( x )] ( x )
例.
0
f ( x )dx f ( x )dx,
1 0
提示：去证明
0
f ( x )dx
1
0
f ( x )dx 1 ,
即证
x
0
f ( x )dx x
递减
x T
x
f ( t )dt f ( t )dt
T 0
结论2
设f (t )在 a，a上连续，证明： －
－a f (t )dt 0 f (t )＋f (－t )dt
a a
且
1若f (t )是奇函数时，a f (t )dt 0 －
a
2若f (t )是偶函数时，
－a f (t )dt 20 f (t )dt
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证明 2,4，使2 f ( ) (1 ) f ( )
变上限积分问题
1.变上限积分问题
( x) f (t ) d t
a
x
( x) ( f (t ) d t ) f ( x)
a
x
(被积函数中不含自变量x)
d ( x) a f (t ) d t dx
例.
d x2 2 求 0 1 t dt dx
例.
d x3 1 求 x2 1 t 4 dt dx
d cos x 求 1 t 2 dt sinx dx
例.
例. 求
0 0
例.
确定常数 a , b , c 的值, 使
例.
lim
x 0
1
cos x
t ln tdt
3
x(arctan x)
积分中值定理与罗尔定理的应用
证明下列各题:
(1).设f ( x)在1,3上连续，在1,3上可导,
且f (1) x f ( x)dx 。证明 1,3，使
3 2 2
2 f ( ) f ( ) 0
(2).设f ( x)在2,4上可导, 且
f (2) ( x 1) f ( x)dx 。
x 2
Leabharlann Baidu 例
设f ( x )是连续函数，f ( 1 ) 1
ab a
若对的a , b有 f ( t )dt与a无关,求f ( x )
例.
例
.设f ( x )在0,1上连续，在0,1上可导
且f ( 0 ) 0 ,
1
0 f ( x ) 1
2
f ( x )dx 1 f 3 ( x )dx 求证 : 0 0
x t2 0
例.
lim
x 0
(e 1 t ) dt
2 2 4
t (arct ant )
例.
例
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设隐函数y y( x )由
x e dt y 0确定, 求y( x )
t 2 0 y2
几个重要结论
结论1
设f ( x )是以T为周期的连续函数，证 明：
对的x有
a a
结论3
设f ( x )是 a, a 内的连续函数，
证明若f ( x )为奇（偶）函数 ,
则0 f (t )dt 偶（奇）函数
x
例： 当f ( x )是以2为周期的连续函数时，
证明：函数 ( x) 20 f (t )dt－ 0 f (t )dt G x
也是以 为周期的周期函数 08研 2
f [ ( x )] ( x )
d ( x) d a ( x) ( x ) f ( t ) d t d x ( x ) f (t ) d t a f (t ) d t dx
f [ ( x )] ( x ) f [ ( x )] ( x )
例.
0
f ( x )dx f ( x )dx,
1 0
提示：去证明
0
f ( x )dx
1
0
f ( x )dx 1 ,
即证
x
0
f ( x )dx x
递减
x T
x
f ( t )dt f ( t )dt
T 0
结论2
设f (t )在 a，a上连续，证明： －
－a f (t )dt 0 f (t )＋f (－t )dt
a a
且
1若f (t )是奇函数时，a f (t )dt 0 －
a
2若f (t )是偶函数时，
－a f (t )dt 20 f (t )dt